第一次月考卷（测试范围：第1-3章）-2024-2025学年高一数学期中期末挑战满分冲刺卷（苏教版2019必修第一册，江苏专用）

2024-2025年高一数学上学期第一次月考卷（测试范围：第1-3章） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列表述中正确的是 A． B． C． D． 2．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 4．命题p：“”，命题q：“”，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 5．设，，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 6．已知﹣1＜a+b＜3，且2＜a﹣b＜4，那么的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．如图，已知矩形U表示全集，A、B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（   ） A． B． C． D． 8．已知关于的不等式的解集为，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列不等式的解集正确的是（    ） A．的解集是 B．的解集是 C．的解集是 D．的解集是 10．设正实数，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 11．设非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S.给出如下命题，其中真命题是（    ） A．若m=1，则 B．若，则≤n≤1 C．若，则 D．若n=1，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．用列举法表示集合：为 ． 13．已知命题，为真命题，则实数的取值范围为 ． 14．已知集合中有8个子集，则的一个值为 . 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15．已知集合，集合 (1)当时，求. (2)若，求实数m的取值范围. 16．设集合，集合． （1）若，求； （2）设命题，命题，若p是q成立的必要条件，求实数a的取值范围． 17．如图，某物业需要在一块矩形空地（记为矩形ABCD）上修建两个绿化带，矩形ABCD的面积为800m2，这两个绿化带是两个形状、大小完全相同的直角梯形，这两个梯形上下对齐，且中心对称放置，梯形与空地的顶部、底部和两边都留有宽度为5m的人行道，且这两个梯形之间也留有5m的人行道.设m. (1)用x表示绿化带的面积； (2)求绿化带面积的最大值. 18．已知，，． (1)当时，求的最小值； (2)当时，满足恒成立，求m的取值范围. 19．已知有限集，若，则称为“完全集”. (1)判断集合是否为“完全集”，并说明理由； (2)若为“完全集”，且，用列举法表示集合（不需要说明理由）； (3)若集合为“完全集”，且均大于0，证明：中至少有一个大于2. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025年高一数学上学期第一次月考卷（测试范围：第1-3章） 一、选择题 1．下列表述中正确的是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的定义可排除；根据点集和数集的定义可排除；根据元素与集合关系排除，确认正确. 【解析】不包含任何元素，故，错误； 为点集，为数集，故，错误； 是集合中的一个元素，即，错误； 表示自然数集，故，正确. 故选 【点睛】本题考查集合的定义、元素与集合的关系、相等集合的概念等知识，属于基础题. 2．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可. 【解析】命题“，”为全称量词命题， 其否定为：，. 故选：A 3．下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式成立的条件依次判断各选项即可得答案. 【解析】解：对于A选项，当时，不等式显然不成立，故错误； 对于B选项，成立的条件为，故错误； 对于C选项，当时，不等式显然不成立，故错误； 对于D选项，由于，故，正确. 故选：D 4．命题p：“”，命题q：“”，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分性、必要性的定义，结合方程的根进行判断即可. 【解析】由，或， 因此p是q的必要不充分条件， 故选：B 5．设，，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】利用作差法分析判断. 【解析】因为， 所以. 故选：A. 6．已知﹣1＜a+b＜3，且2＜a﹣b＜4，那么的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，列方程组可得，根据不等式的性质及题干条件，即得解 【解析】由题意， 故，解得 由﹣1＜a+b＜3，可得； 由2＜a﹣b＜4，可得； 故 故选：A 7．如图，已知矩形U表示全集，A、B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在阴影部分区域内任取一个元素x ，分析元素x 与各集合的关系，即可得出合适的选项. 【解析】解：在阴影部分区域内任取一个元素x ， 则 且，即且 ， 所以，阴影部分可表示为. 故选：D. 8．已知关于的不等式的解集为，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元二次不等式解集转化为一元二次方程的解，根据韦达定理求出，，再用基本不等式求出最值 【解析】的解集为，则是方程的两个根，故，，故 因为，所以有基本不等式得：，当且仅当即时，等号成立，所以的最大值为 故选：D 二、多选题 9．下列不等式的解集正确的是（    ） A．的解集是 B．的解集是 C．的解集是 D．的解集是 【答案】ABD 【分析】分别解出各个选项所对应的不等式，逐一对比每一选项即可. 【解析】对于A，，所以，故A选项正确； 对于B，，所以，故B选项正确； 对于C，，所以，故C选项错误； 对于D，， 而， 所以，所以，故D选项正确. 故选：ABD. 10．设正实数，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】AC 【分析】A选项，由为正实数，列不等式求的范围；B选项，直接利用基本不等式求积的最大值；C选项，消元后利用二次函数的性质求最小值；D选项，利用1的代换结合基本不等式求最小值. 【解析】对于A，正实数，满足， 则有，解得，即，A选项正确； 对于B，，有，当且仅当，即时等号成立， 则的最大值为，B选项错误； 对于C，， 由，则时，的最小值为，C选项正确； 对于D，， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值为，D选项错误. 故选：AC 11．设非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S.给出如下命题，其中真命题是（    ） A．若m=1，则 B．若，则≤n≤1 C．若，则 D．若n=1，则 【答案】BC 【分析】先由非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S，判断出或，，对照四个选项分别列不等式组，解出不等式进行一一验证即可 【解析】∵非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S. ∴当m∈S时，有m2∈S，即，解得：或； 同理：当n∈S时，有n2∈S，即，解得： . 对于A: m=1,必有m2=1∈S，故必有解得：，所以，故A错误； 对于B: ,必有m2=∈S，故必有，解得：，故B正确； 对于C: 若，有，解得：，故C正确； 对于D: 若n=1，有，解得：或，故D不正确. 故选：BC 【点睛】方法点睛：新定义题（创新题）解答的关键：对新定义的正确理解. 三、填空题 12．用列举法表示集合：为 ． 【答案】 【分析】因为且 ，所以只能是0，1，2，3，4 ；只能是4，3，2，1，0.用列举法写出即可. 【解析】由题知： = 故答案为：. 13．已知命题，为真命题，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据题意可知，需对二次项系数进行分类讨论，并结合判别式即可求出实数的取值范围 【解析】由题意得：当时，，不符题意； 当时，的对称轴为， 所以，只需，解得：， 当时，显然满足题意， 综上，的取值范围为， 故答案为： 14．已知集合中有8个子集，则的一个值为 . 【答案】4或9（写出一个即可） 【分析】由题意可知，集合中有三个元素，则有三个因数，即可求出的值. 【解析】集合中有8个子集， 由知，集合中有三个元素，则有三个因数， 因为，， 除1和它本身外，还有1个，所以的值可以为4，9. 故答案为：4或9（写出一个即可） 四、解答题 15．已知集合，集合 (1)当时，求. (2)若，求实数m的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先求出集合M，N，然后求， （2）由，分析两集合的关系可得答案 【解析】（1）当时，，则 由，得，得， 所以, 所以， （2）因为，，且， 所以， 所以实数m的取值范围为 16．设集合，集合． （1）若，求； （2）设命题，命题，若p是q成立的必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）根据题意得，，进而得 ； （2）根据题意得，再根据集合关系即可得实数的取值范围是 【解析】解：（1）由，解得，可得： ． 当时，可得：，可化为： ，解得，∴． ∴． （2）由，解得． ∴． ∵是成立的必要条件，∴， 由于，所以有：，解得： ． ∴实数的取值范围是． 【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集； （3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含． 17．如图，某物业需要在一块矩形空地（记为矩形ABCD）上修建两个绿化带，矩形ABCD的面积为800m2，这两个绿化带是两个形状、大小完全相同的直角梯形，这两个梯形上下对齐，且中心对称放置，梯形与空地的顶部、底部和两边都留有宽度为5m的人行道，且这两个梯形之间也留有5m的人行道.设m. (1)用x表示绿化带的面积； (2)求绿化带面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两个形状、大小完全相同的直角梯形可合并成一个小矩形，再结合题干的数据可求绿化带面积； （2）利用基本不等式求最大值即可. 【解析】（1）因为矩形ABCD的面积为，，所以， 两个形状、大小完全相同的直角梯形可合并成一个小矩形， 则，解得， 则绿化带面积为； （2）由（1）知 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以绿化带面积的最大值为. 18．已知，，． (1)当时，求的最小值； (2)当时，满足恒成立，求m的取值范围. 【答案】(1)36 (2) 【分析】（1）利用基本不等式得到，再利用换元法与二次不等式的解法即可得解； （2）利用代入法将不等式左式问题转化为，从而利用基本不等式“1”的妙用求得不等式左式的最小值，进而得到关于m的不等式，由此得解． 【解析】（1），，当时，， 当且仅当时等号成立， 令，得，解得：（舍去）或， ，解得，当且仅当时等号成立， 的最小值是36； （2）当时，，可得． 由得， 又，，， 当且仅当，即时等号成立． 当时，求的最小值是10． 则有，解得，即m的取值范围为. 19．已知有限集，若，则称为“完全集”. (1)判断集合是否为“完全集”，并说明理由； (2)若为“完全集”，且，用列举法表示集合（不需要说明理由）； (3)若集合为“完全集”，且均大于0，证明：中至少有一个大于2. 【答案】(1)是“完全集”，理由见解析； (2)； (3)证明见解析； 【分析】（1）由“完全集”的定义判断即可； （2）设，得到，分类讨论求解即可. （3）由“完全集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质进行求解即可； 【解析】（1）集合，由完全集的定义： ，， 所以集合为“完全集”. （2）不妨设，由于， 所以，当时，即有，又为正整数，所以， 于是，则无解，即不存在满足条件的“完全集”； 当时，，故只能，求得， 于是“完全集”只有一个，为； 当时，由， 即有，而， 又， 因此，故矛盾， 所以当时不存在“完全集”， 综上：“完全集”为. （3）证明：若是两个不同的正数，且是完全集， 设，根据根和系数的关系知，相当于的两个根， 由，解得或（舍）， 所以，又因为都是正数，若都不大于2，，矛盾， 所以中至少有一个大于2. 【点睛】方法点睛：新定义有关的问题的求解策略： ①通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的； ②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$