专题01 二次函数与反比例函数（考题猜想，易错必刷42题13种题型）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（沪科版）

专题01 二次函数与反比例函数 （易错必刷42题13种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 二次函数 · 二次函数的图象共存 · 利用图象比较大小 · 二次函数的性质 · 二次函数表达式的确定 · 二次函数与一元二次方程 · 二次函数的实际应用 · 二次函数中的最值问题 · 二次函数中的存在性问题 · 认识反比例函数 · 反比例函数的图象与性质 · “”的几何意义 · 反比例函数的应用 一．二次函数（共6小题） 1．（23-24九年级上·山东淄博·阶段练习）下列表达式中，y是x的二次函数的个数（    ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的定义，形如的函数叫二次函数．利用二次函数的定义逐一判断解题即可． 【详解】解：①，y不是x的二次函数； ②，整理后，不含x的二次项，y不是x二次函数； ③，y不是x的二次函数； ④，y是x的二次函数； 故选：A． 2．（2024九年级上·全国·专题练习）若是二次函数，则（　　） A．7 B． C．或7 D．以上都不对 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的定义，求参数，根据二次函数的定义得出关于m的不等式和方程，求出m的值即可． 【详解】解：∵是二次函数， ∴且， 解得． 故选：D． 3．（23-24七年级上·广东广州·期中）已知和时，多项式的值相等，且，则当时，多项式的值等于(　　) A．7 B．9 C．3 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质及多项式求值，难度中等．将和时，多项式的值相等理解为和时，二次函数的值相等是解题的关键． 【详解】解：∵和时，多项式的值相等， ∴二次函数的对称轴为直线， 又∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴，， ∴当时， ． 故选：C． 4．（23-24七年级下·辽宁本溪·期中）已知一正方体的棱长是3cm，设棱长增加时，正方体的表面积增加，则y与x之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意直接列式即可作答． 【详解】根据题意有：， 故选：D． 5．（21-22九年级上·北京海淀·期中）如图，在中，．动点M，N分别从A，点M从点A开始沿边向点C以每秒1个单位长度的速度移动，点N从点C开始沿向点B以每秒2个单位长度的速度移动．设运动时间为t，M、C之间的距离为y，的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（　　） A．正比例函数关系，一次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，正比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数，二次函数．熟练掌握一次函数、二次函数的定义是解题的关键． 根据题意分别求出y与t，S与t满足的函数关系式，然后判定作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴，， ∴y是t的一次函数，S是t的二次函数， 故选：D． 6.（21-22九年级上·全国·单元测试）二次函数中，二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． 【答案】 3 5 【分析】本题考查了二次函数的定义．二次函数：b，c是常数且，其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：由，得它的二次项系数是3，一次项系数是，常数项是5． 故答案是：3，，5． 二．二次函数的图像共存（共5小题） 7．（23-24九年级上·全国·单元测试）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数图象的综合判断，分当时，当时两种情况；先确定一次函数经过的象限，再确定二次函数的开口方向，看是否一致即可． 【详解】解：当时，一次函数的图象经过第一、二、三象限，二次函数的图象开口向上，且与y轴交于，故A符合题意，B、D不符合题； 当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，二次函数的图象开口向下，且与y轴交于，故C不符合题意； 故选：A． 8．（2024·山东青岛·中考真题）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（    ）    A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，根据二次函数与y轴交于y轴的正半轴得到，根据对称轴计算公式得到，即，则在x轴正半轴上；由二次函数顶点在第二象限，得到当时，，再由二次函数与x轴无交点，得到，则点在第二象限，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数与y轴交于y轴的正半轴， ∴， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴， ∴在x轴正半轴上； ∵二次函数顶点在第二象限， ∴当时，， ∵二次函数与x轴无交点， ∴， ∴点在第二象限， ∴经过点和点的直线一定经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故选：C． 9．（2023九年级·山东泰安·学业考试）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质以及反比例函数的图象与性质，先通过二次函数的图象确定a、b、c的正负，再利用代入解析式，得到进而可判定两个函数的图象所在的象限，即可得出正确选项． 【详解】解：由题图可知，二次函数的图象开口向上， ∴， 又∵对称轴在y轴的右侧． ∴． ∴． 又∵抛物线与y轴正半轴交于一点， ∴， 且当时， 即 ∵一次函数，反比例函数 ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限．反比例函数的图象在第一、三象限． 综上所述，符合条件的图象是B选项 故选：B. 10．（2024九年级下·辽宁·学业考试）一次函数 与二次函数 的图象如图所示，下列说法不正确的是（     ） A． B． C．方程 的根为 D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系． 根据二次函数对称轴的性质，对称轴公式二次函数与一次函数交点即可得解． 【详解】解：A、由图象可知对称轴为，故选项正确，不符合题意． B、由对称轴公式得，故选项正确，不符合题意． C、由一次函数 与二次函数 在图像上的交点可知方程 的根为 ，故选项错误，符合题意． D、由一次函数图象与y轴的交点交于负半轴，且在上方，可知，故选项正确，不符合题意． 故选：C． 11．（23-24九年级上·江西宜春·期末）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象与系数的关系，由二次函数图象判定系数大小、由系数正负决定一次函数与反比例函数的图象，牢记各函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：由二次函数的图象开口向下 对称轴在轴左侧，由左同右异得 函数图象与轴交点位于轴正半轴 则反比例函数的图象位于一、三象限 一次函数图象的图象位于二、三、四象限 所以选项符合题意． 故选：． 三．利用图象比较大小（共5小题） 12．（24-25九年级上·北京东城·开学考试）若是抛物线上的三点，则为的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握当抛物线开口方向向上时，离对称轴越远，函数值越大成为解题的关键． 先确定抛物线的对称轴，再确定抛物线开口向上，此时离对称轴越远，函数值越大，据此即可解答． 【详解】解：∵, ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵点离对称轴最远，点在对称轴上， ∴． 故选：B． 13．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）已知点，，都在二次函数的图象上，当时，y随着x的增大而增大，则，，的大小比较正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质等知识点，根据二次函数的解析式得出图象的对称轴是直线，结合题意得出抛物线开口向上，再将点求得关于对称轴对称的点，利用增减性即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴图象的对称轴是直线， ∵当时，y随着x的增大而增大， ∴， ∴点关于直线的对称点是， ∵， ∴， 故选：C． 14．（24-25九年级上·全国·单元测试）已知点是抛物线上的点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出抛物线的对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可． 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，求出对称轴是解题的关键． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线：， ∵， ∴当时，函数值最大， 又∵到的距离比到的距离小， ∴， 故选：B． 15．（22-23九年级下·辽宁鞍山·开学考试）已知抛物线的对称轴为，与轴正半轴的交点为，其部分图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④若，，是抛物线上的三点，则．其中正确结论的 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据抛物线的开口方向可得，由对称轴可得，即得，再根据抛物线与轴的交点位置可得，得到据此可判断①；把代入二次函数解析式可得，进而得，代入代数式计算可判断②、③；根据函数图象可知，当抛物线上的点距离对称轴的距离越远，函数值越大，由可判断④；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线交轴于负半轴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线经过， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②错误； ∵，故③错误； 由函数图象可知，当抛物线上的点距离对称轴的距离越远，函数值越大， ∵， ∴，故④正确； ∴正确的结论有①④， 故答案为：①④． 16．（21-22九年级·江苏南京·自主招生）已知二次函数，该函数图像上有四个点、、、，且满足，则、、、的大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是抛物线的性质，熟练的利用数形结合的方法比较二次函数值的大小是解题的关键．根据点、、且，所以抛物线的对称轴一定在、之间，且抛物线的开口向下，再确定抛物线的对称轴的范围为，从而可得答案． 【详解】解：如图，根据点、、且， 所以抛物线的对称轴一定在、之间，且抛物线的开口向下， 当对称轴时，点更接近对称轴，则有，故不符合题意， 所以对称轴，结合图像可得． 故答案为：． 四．二次函数的性质（共4小题） 17．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中： ①； ②（为任意实数）； ③； ④若是抛物线上不同的两个点，则． 其中正确的结论有 ． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题时要熟练掌握二次函数的性质并能数形结合是关键． 依据题意，由抛物线图象与性质，即可逐个判断得解． 【详解】解：由题意，抛物线开口向下， ． 又抛物线的对称轴是直线， ． 又抛物线交轴正半轴， 当时，． ，故①正确． 由题意，当时，取最大值为， 对于抛物线上任意的点对应的函数值都． 对于任意实数，当时，． ，故②正确． 由图象可得，当时，， 又， ，故③正确． 由题意抛物线为， ，故④错误． 综上，正确的有①②③共2个． 故答案为：①②③． 18．（2024·吉林·模拟预测）已知抛物线（a，b，c是常数，）经过点，其中．下列结论： ①； ②当时，y随x的增大而减小； ③关于x的方程有实数根，则n是非负数； ④代数式的值大于0． 其中正确的结论是 （填写序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数的符号问题，二次函数与方程关系，二次函数图像性质，解题的关键是能根据题目中的已知条件找到相关的数量关系． ①将代入即可得到b的范围； ②将代入即可； ③把代入可判断n的正负； ④将代入即可； 【详解】解：①将代入得， ， ， ，即.结论正确，故①符合题意； ②对称轴为直线， ，， ， 又， ， ， ，开口向下， 时，即对称轴右侧，y随x的增大而减小.结论正确，故②符合题意； ③把代入得． 方程有实数根， ， 即， ， ， ， ， ， 是负数，n为非负数不正确.故③不符合题意； ④将代入， ， ， ， ，， ， 即，④正确，故④符合题意； 故答案为：①②④． 19．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，下面四个结论中， ①；②；③若点在此抛物线上，则； ④若点在此抛物线上且，则． 所有正确结论的序号是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线开口方向判断；由对称轴可判断；由函数的性质判断；由抛物线的对称性即可判断；解题的关键是掌握二次函数的性质，利用数形结合方法分析问题． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴，故正确； ∵抛物线的顶点为， ∴对称轴为直线， ∴， ∴，故正确； ∵对称轴为直线，经过点， ∴抛物线经过另一个点， ∵抛物线开口向下，当时，随的增大而减小， 又∵， ∴，故正确； ∵抛物线与轴的交点为，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， ∴若点在此抛物线上且 ，则或，故错误； 综上，正确， 故答案为：． 20．（2024·安徽池州·模拟预测）已知关于x的函数． （1）当时，该二次函数图象的顶点坐标为 ； （2）当时，函数有最小值，则m的值为 ． 【答案】 0或2 【分析】（1）运用配方法得到二次函数的顶点式，写出顶点坐标； （2）由于开口向下，根据对称轴位置分三种情况确定最小值的情况，分别代入计算即可解题． 本题考查二次函数的性质，掌握二次函数的配方法求顶点坐标和函数的最值求法是解题的关键． 【详解】（1）当时，，顶点坐标为． （2）抛物线对称轴为直线， ①当时，且在时有最小值， 根据二次函数对称性，当或时，函数有最小值，不妨当时，最小值为，即可得到：，解得：或，不符合题意，舍去； ②当时，且在时有最小值，则时，最小值为， 即可得到：，解得：或，所以； ③当时，且在时有最小值，则时，最小值为， 即可得到：，解得：或6，所以； 综上所述：m的值为0或2． 五．二次函数表达式的确定（共3小题） 21．（22-23九年级·山东泰安·自主招生）已知二次函数的对称轴为直线，且二次函数有最小值；又知二次函数的图象与轴有两个交点，它们之间的距离为6．求二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据题意设，由一元二次方程根与系数的关系可得出，， 再结合已知条件可得出，代入求出a的值即可得出答案． 【详解】解：设， 是方程的两根． 则，．又， ∴． 则， 得． 故． 22．（2024九年级上·全国·专题练习）已知抛物线与x轴交于，两点，经过点，求抛物线的函数解析式； 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，根据待定系数法求解析式方法即可求解，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴可设抛物线的函数解析式为．      ∵抛物线经过点， 则， 解得，    ∴抛物线的函数解析式为． 23．（2024·山东泰安·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x，y轴于A，B两点，抛物线经过点A，B．点P为第四象限内抛物线上的一个动点． (1)求此抛物线的函数解析式． (2)当时，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2) 【分析】此题是二次函数的综合题，是中考的压轴题，难度较大，计算量也大，（1）本题所求二次函数的解析式含有两个待定字母，一般需要两个点的坐标建立方程组，现在可求A、B点坐标，代入列方程组可解答； （2）设点A关于y轴的对称点为，求出直线的解析式，再联立抛物线的解析式解答即可． 【详解】（1）解：令，得，则， 令，解得，则， 把，代入中， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）设点A关于y轴的对称点为，则． ∴． 直线交抛物线于P． ∴． ∵， ∴， 设直线的解析式为． ∵， ∴， 解得， ∴直线的解析式为． 再令， 得． 解得（舍去）或． ∴点P的坐标是． 六．二次函数与一元二次方程（共3小题） 24．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，二次函数图象与x轴交于A、B两点，顶点为C，其中点A、C坐标如图所示，则是一元二次方程的根是（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据函数图象和二次函数的性质可以得到点B的坐标，从而可以得到该函数图象与x轴的交点坐标，进而得到一元二次方程的根，本题得以解决． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于、B两点，顶点为， ∴点B的坐标为， ∴当时，即此时或， ∴一元二次方程的根是 故选：B． 25．（23-24九年级上·内蒙古·阶段练习）若抛物线与x轴有两个交点，则k的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的定义，二次函数与x轴有两个交点，则与之对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，据此利用判别式求出k的取值范围，再结合二次项系数不为0即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴且， 故选：C． 26．（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，直线 与抛物线 交于，两点，如果 ，那么x的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次函数与不等式，正确数形结合分析是解题关键．把代入求出m，再把代入求出n，然后利用函数的交点坐标进而结合函数图象得出不等式的解集． 【详解】解：．把代入得， ， ∴， 把代入，得 ， ∴． ∵直线 与抛物线 交于，两点， ∴关于x的不等式的解集是：或． 故选D． 七．二次函数的实际应用（共2小题） 27．（2024·河北·模拟预测）嘉琪同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛技术进行技术分析，下面是他对某次击球线路的分析．甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的线路为抛物线的一部分，如图，甲在点O正上方的点P处发出一球，羽毛球飞行的高度y（米）与水平距离x（米）之间满足函数关系式．已知点O与球网的水平距离为5米，球网的高度为1.5米． (1)当时． ①求h的值； ②通过计算判断此球能否过网； (2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7米，离地面高度为米的Q处时，乙扣球成功，求a的值． 【答案】(1)①，②此球能过网 (2) 【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）①将，代入解析式即可求解h，②把代入求出函数值与1.5比较即可； （2）将，解方程组即可． 【详解】（1）解：①由题意得，当时， 则 将代入得 解得， ②∵ ∴当时， ∵ ∴此球能过网； （2）解：将代入， 得， 解得 ∴． 28．（23-24九年级上·吉林四平·阶段练习）如图，现打算用的篱笆围成一个矩形菜园（含隔离栏），菜园的一面靠墙，墙可利用的长度为（篱笆的宽度忽略不计），设的长为，菜园的面积为． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当菜园面积为时，求边的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次函数的应用，一元二次方程的应用； （1）设的长为，菜园的面积为，再利用矩形的面积建立函数关系式即可； （2）结合（1）的关系式，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设的长为，菜园的面积为． ∴； （2）解：当菜园面积为时， ∴， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意舍去， 当时，，符合题意， ∴边的长为． 八．二次函数中的最值问题（共3小题） 29．（24-25九年级上·福建福州·开学考试）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为，点C的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线距离的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把点A、C的坐标代入解析式，求解即可； （2）过作于点，过点作轴交于点，证明是等腰直角三角形，得，当最大时，最大，运用待定系数法求直线解析式为，设，则，求得的长，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴，解得， ∴该抛物线的解析式为． （2）解：如图，过作于点，过点作轴交于点， ∵，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴， ∴当最大时，最大， 设直线解析式为， 将代入得， ∴， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，最大为， ∴此时最大为，即点到直线的距离最大值为． 【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质．熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键． 30．（24-25九年级上·云南昆明·开学考试）若直线与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象经过点，点，且与轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)若点为直线下方抛物线上一点，连接，，求面积的最大值及此时点的坐标； 【答案】(1) (2)当时，最大，最大为，这时点P的坐标为 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握的图像和性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）过点P作轴交于点Q，设点P的坐标为，则点Q的坐标为，则，然后根据计算即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴点A的坐标为， 当时，，解得， ∴点B的坐标为， 设抛物线的解析式为，代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：过点P作轴交于点Q， 设点P的坐标为，则点Q的坐标为， ∴， ∴， 当时，最大，最大为，这时点P的坐标为． 31．（24-25九年级上·全国·单元测试）某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？ 【答案】(1) (2)当每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润为6750元 【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据每降价1元，每星期可多卖30件找出销量与售价之间的关系即可得； （2）设每星期的销售利润为元，根据利润（售价成本价）销量建立与之间的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：由题意得：， 所以与之间的函数关系式是． （2）解：设每星期的销售利润为元， 由题意得： ， 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为6750， 答：当每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润为6750元． 九．二次函数中的存在性问题（共2小题） 32．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，已知抛物线（、为常数，且）与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，．抛物线的对称轴与轴交于点，与经过点的直线交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形?若存在，求出所有得合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，点的坐标为或或 【分析】本题考查待定系数法求函数表达式、坐标与图形、等腰三角形的判定与性质、一次函数图象的平移、直角三角形的性质等知识，正确求得抛物线的函数表达式是解答的关键． （1）先求点A坐标，再利用待定系数法求函数表达式即可； （2）先根据二次函数的性质求得，点的坐标为，进而可得；当时，则，可得，设点的坐标为，然后解方程求得t值即可；求直线的函数表达式，然后平移至经过点，此时直线与抛物线的交点分别为，，可得，再利用待定系数法求得直线的函数表达式，然后联立方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，，点在点左侧， ∴点的坐标为， 将，代入． ，解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形． 理由如下：由得抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵抛物线的对称轴与经过点的直线交于点， ∴当时，， ∴点的坐标为，则， ∴ 当时，则，过点作于点，如图． 则是等腰直角三角形， ∴， 设点的坐标为， ∴， 解得：，（舍）， 当时，， 点的坐标为； 设直线的函数表达式为， 将点，代入，得，解得， ∴直线的函数表达式为． 将直线平移至经过点，此时直线与抛物线的交点分别为，， 则，可设直线的函数表达式为， 将代入，得，解得， ∴直线的函数表达式为． ∴，解得：或． ∴点的坐标为或． 综上可得，在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，点的坐标为或或． 33．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）如图1，抛物线交x轴于点和点，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若点是直线下方抛物线上动点，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (3)在（2）的条件下，若点是直线上的动点，在平面内，是否存在点，使得以、、、分别为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出符合条件的所有点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，面积最大值为 (3)存在，或或或 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，掌握二次函数的性质，点的特征，分类讨论等是解题的关键． （1）将点和点代入解析式，求出和即可得到抛物线表达式； （2）过点作轴交于点，设点，，利用表示出面积，即可求解； （3），，，，分①以、为对角线，，②以、为对角线，，③以、为对角线，，三种情况进行讨论． 【详解】（1）解：交轴于点和点， ， ， ； （2）解：当时，， ， 过点作轴交于点， 设直线的解析式为， 代入，， 得：， 解得， 直线的解析式为：， 设点， ， ， ， ，且， 当，即点时，的面积取得最大值，最大值为4； （3）解：，，，， ①以、为对角线时，， ， 或（舍， ； ②以、为对角线时，， ， 或， 或； ③以、为对角线，， ， ， ； 综上所述：或或或． 一十．认识反比例函数（共1小题） 34．（23-24九年级上·全国·单元测试）下列等式中，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，一般地形如的函数叫做反比例函数，据此求解即可． 【详解】解：A、不是反比例函数，不符合题意； B、，即不是反比例函数，不符合题意； C、不是反比例函数，不符合题意； D、，即是反比例函数，符合题意； 故选：D． 一十一．反比例函数的图象与性质（共2小题） 35．（23-24八年级下·全国·单元测试）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是图（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象综合题，掌握一次函数与反比例函数的图象与系数的关系是解题关键．根据和分析，确定图象即可． 【详解】解：当时，，则函数的图象在一、三象限，的图象在二、四象限； 当时，，函数的图象在二、四象限，的图象在一、三象限， 只有C选项符合题意， 故选：C． 36．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知反比例函数的图象上有点、，且，则的值为（　　） A．正数 B．负数 C．0 D．正数或负数 【答案】D 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是正确解决本题的关键． 根据反比例函数图象位于第一、三象限,分两种情况:当A和B都在同一象限时,根据反比例函数在第一象限为减函数,根据，判断出与的大小;当A在第一象限，B在第三象限时,可得出A的纵坐标大于0,B的纵坐标小于0,比较出与的大小． 【详解】解：， ∴反比例函数的图象在第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小． 当点、在同一象限， ， ．即的值是负数； 当点、不在同一象限， ， ∵点在第一象限，点在第三象限， ．即的值是正数； 故选：D． 一十二．“”的几何意义（共2小题） 37．（2024·福建莆田·模拟预测）如图，过原点的直线与反比例函数和的图象在第一象限内分别交于点A，B．过点A作轴于点C，过点B作，交的延长线于点D．若的面积为，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数k值的几何意义，相似三角形的性质和判定，熟练掌握反比例函数值的几何意义是关键． 根据值的几何意义得到，利用相似得到，继而有，再利用相似得到，继而求出值． 【详解】解：由题意可知，， ， ， ∵点在反比例函数图象上， ， ∵的面积为， ， ， 如图，作轴，垂足为点， ， ， ， ， ， 故答案为：9． 38．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为轴正半轴上一点，过点的直线轴，且直线分别与反比例函数和的图象交于，两点，若，则的值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变． 由于，根据反比例函数比例系数的几何意义得到，然后结合函数的图象所在的象限解方程得到满足条件的的值． 【详解】解：∵， ， ， 而， ． 故答案为：． 一十三．反比例函数的应用（共4小题） 39．（2024·贵州遵义·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，且点的坐标为． (1)求的值和反比例函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2)3 【分析】本题主要考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，熟练运用图象上的点的坐标满足图象的解析式是本题的关键． （1）由一次函数求得的值，然后利用待定系数法即可求得． （2）联立方程，解方程组即可求得的坐标；令的图象交轴和轴于点，求出的坐标为，根据可得答案． 【详解】（1）解：的图象经过， ， 解得， ， 反比例函数的图象经过， 反比例函数的解析式为； （2）解：由，解得或， ， 令的图象交轴和轴于点， 则，解得：， 的坐标为， ，即的面积为3． 40．（24-25九年级上·黑龙江大庆·开学考试）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（单位：微克/毫升）与服药时间x（单位：h）之间函数关系如图所示， (1)求y与x之间的函数表达式． (2)血液中药物浓度不低于4微克/毫升的时候对人体是有效的，服药后对人体的有效时间是多少？ 【答案】(1) (2)服药后对人体的有效时间是 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用、一次函数的应用等知识点，根据题意得出函数解析式是解题关键． （1）设出解析式，利用待定系数法求解析式，并写出自变量的取值范围即可； （2）根据题意得出时两个函数中的自变量的值，即可找出取值范围． 【详解】（1）当时，函数为正比例函数，设：， ∵函数经过点， ∴，即， ∴当时，； 当时，函数为反比例函数，设：， ∵函数经过点， ∴，即， ∴当时，， ∴； （2）当药物浓度为4微克/毫升时，即时， 由，得， 由，得， ∴根据图象可以判断出：当时，血液中药物浓度不低于4微克/毫升， ∴持续时间为． 41．（2022·四川达州·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，B两点，分别连接，． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）先利用一次函数求出A点的坐标，再将A点坐标代入反比例函数解析式即可； （2）先求出B、C点坐标，再利用三角形的面积公式求解即可； （3）分三种情况，利用坐标平移的特点，即可得出答案． 【详解】（1）解：把代入一次函数，得， 解得， ， 把代入反比例函数，得， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：令，解得或， 当时，，即， 当时，， ， ； （3）解：存在，理由如下： 当OA与OB为邻边时，点先向左平移2个单位再向下平移1个单位到点，则点也先向左平移2个单位再向下平移1个单位到点，即； 当AB与AO为邻边时，点先向左平移3个单位再向下平移3个单位到点，则点也先向左平移3个单位再向下平移3个单位到点，即； 当BA与BO为邻边时，点先向右平移3个单位再向上平移3个单位到点，则点也先向右平移3个单位再向上平移3个单位到点，即； 综上，P点坐标为或或． 【点睛】本题考查了反比例函数与特殊四边形的综合题目，涉及求反比例函数解析式，三角形的面积公式，反比例函数与一次函数的交点问题，平移的性质，熟练掌握知识点并运用分类讨论的思想是解题的关键． 42．（2023·辽宁鞍山·模拟预测）如图，一次函数（）的图象与反比例函数（，）的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求与的值； (2)为轴上的一动点，连接，若的面积为面积的，求的值． 【答案】(1)，； (2)或． 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点以及一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用参数构建方程解决问题． （1）把点的坐标代入一次函数的解析式求出，再求出点的坐标，把点的坐标代入反比例函数的解析式中，可得结论； （2）根据，构建方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ， 把代入，得， ， 把代入，得， ，； （2）解：当时，， ， 为轴上的动点， ， ，， ，，的面积为面积的， ， 或． $$专题01 二次函数与反比例函数 （易错必刷42题13种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 二次函数 · 二次函数的图象共存 · 利用图象比较大小 · 二次函数的性质 · 二次函数表达式的确定 · 二次函数与一元二次方程 · 二次函数的实际应用 · 二次函数中的最值问题 · 二次函数中的存在性问题 · 认识反比例函数 · 反比例函数的图象与性质 · “”的几何意义 · 反比例函数的应用 一．二次函数（共6小题） 1．（23-24九年级上·山东淄博·阶段练习）下列表达式中，y是x的二次函数的个数（    ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2024九年级上·全国·专题练习）若是二次函数，则（　　） A．7 B． C．或7 D．以上都不对 3．（23-24七年级上·广东广州·期中）已知和时，多项式的值相等，且，则当时，多项式的值等于(　　) A．7 B．9 C．3 D．5 4．（23-24七年级下·辽宁本溪·期中）已知一正方体的棱长是3cm，设棱长增加时，正方体的表面积增加，则y与x之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 5．（21-22九年级上·北京海淀·期中）如图，在中，．动点M，N分别从A，点M从点A开始沿边向点C以每秒1个单位长度的速度移动，点N从点C开始沿向点B以每秒2个单位长度的速度移动．设运动时间为t，M、C之间的距离为y，的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（　　） A．正比例函数关系，一次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，正比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系 6.（21-22九年级上·全国·单元测试）二次函数中，二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． 二．二次函数的图像共存（共5小题） 7．（23-24九年级上·全国·单元测试）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A．B．C． D． 8．（2024·山东青岛·中考真题）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（    ）    A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．（2023九年级·山东泰安·学业考试）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为（    ） A． B． C． D． 10．（2024九年级下·辽宁·学业考试）一次函数 与二次函数 的图象如图所示，下列说法不正确的是（     ） A． B． C．方程 的根为 D． 11．（23-24九年级上·江西宜春·期末）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 三．利用图象比较大小（共5小题） 12．（24-25九年级上·北京东城·开学考试）若是抛物线上的三点，则为的大小关系为（    ） A． B． C． D． 13．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）已知点，，都在二次函数的图象上，当时，y随着x的增大而增大，则，，的大小比较正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25九年级上·全国·单元测试）已知点是抛物线上的点，则（   ） A． B． C． D． 15．（22-23九年级下·辽宁鞍山·开学考试）已知抛物线的对称轴为，与轴正半轴的交点为，其部分图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④若，，是抛物线上的三点，则．其中正确结论的 ． 16．（21-22九年级·江苏南京·自主招生）已知二次函数，该函数图像上有四个点、、、，且满足，则、、、的大小关系是 ． 四．二次函数的性质（共4小题） 17．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中： ①； ②（为任意实数）； ③； ④若是抛物线上不同的两个点，则． 其中正确的结论有 ． 18．（2024·吉林·模拟预测）已知抛物线（a，b，c是常数，）经过点，其中．下列结论： ①； ②当时，y随x的增大而减小； ③关于x的方程有实数根，则n是非负数； ④代数式的值大于0． 其中正确的结论是 （填写序号）． 19．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，下面四个结论中， ①；②；③若点在此抛物线上，则； ④若点在此抛物线上且，则． 所有正确结论的序号是 ． 20．（2024·安徽池州·模拟预测）已知关于x的函数． （1）当时，该二次函数图象的顶点坐标为 ； （2）当时，函数有最小值，则m的值为 ． 五．二次函数表达式的确定（共3小题） 21．（22-23九年级·山东泰安·自主招生）已知二次函数的对称轴为直线，且二次函数有最小值；又知二次函数的图象与轴有两个交点，它们之间的距离为6．求二次函数的解析式． 22．（2024九年级上·全国·专题练习）已知抛物线与x轴交于，两点，经过点，求抛物线的函数解析式； 23．（2024·山东泰安·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x，y轴于A，B两点，抛物线经过点A，B．点P为第四象限内抛物线上的一个动点． (1)求此抛物线的函数解析式． (2)当时，求点P的坐标． 六．二次函数与一元二次方程（共3小题） 24．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，二次函数图象与x轴交于A、B两点，顶点为C，其中点A、C坐标如图所示，则是一元二次方程的根是（    ） A．2 B．1 C． D． 25．（23-24九年级上·内蒙古·阶段练习）若抛物线与x轴有两个交点，则k的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 26．（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，直线 与抛物线 交于，两点，如果 ，那么x的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 七．二次函数的实际应用（共2小题） 27．（2024·河北·模拟预测）嘉琪同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛技术进行技术分析，下面是他对某次击球线路的分析．甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的线路为抛物线的一部分，如图，甲在点O正上方的点P处发出一球，羽毛球飞行的高度y（米）与水平距离x（米）之间满足函数关系式．已知点O与球网的水平距离为5米，球网的高度为1.5米． (1)当时． ①求h的值； ②通过计算判断此球能否过网； (2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7米，离地面高度为米的Q处时，乙扣球成功，求a的值． 28．（23-24九年级上·吉林四平·阶段练习）如图，现打算用的篱笆围成一个矩形菜园（含隔离栏），菜园的一面靠墙，墙可利用的长度为（篱笆的宽度忽略不计），设的长为，菜园的面积为． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当菜园面积为时，求边的长． 八．二次函数中的最值问题（共3小题） 29．（24-25九年级上·福建福州·开学考试）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为，点C的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线距离的最大值． 30．（24-25九年级上·云南昆明·开学考试）若直线与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象经过点，点，且与轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)若点为直线下方抛物线上一点，连接，，求面积的最大值及此时点的坐标； 31．（24-25九年级上·全国·单元测试）某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？ 九．二次函数中的存在性问题（共2小题） 32．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，已知抛物线（、为常数，且）与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，．抛物线的对称轴与轴交于点，与经过点的直线交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形?若存在，求出所有得合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 33．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）如图1，抛物线交x轴于点和点，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若点是直线下方抛物线上动点，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (3)在（2）的条件下，若点是直线上的动点，在平面内，是否存在点，使得以、、、分别为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出符合条件的所有点的坐标，若不存在，请说明理由． 一十．认识反比例函数（共1小题） 34．（23-24九年级上·全国·单元测试）下列等式中，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 一十一．反比例函数的图象与性质（共2小题） 35．（23-24八年级下·全国·单元测试）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是图（　　） A． B． C． D． 36．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知反比例函数的图象上有点、，且，则的值为（　　） A．正数 B．负数 C．0 D．正数或负数 一十二．“”的几何意义（共2小题） 37．（2024·福建莆田·模拟预测）如图，过原点的直线与反比例函数和的图象在第一象限内分别交于点A，B．过点A作轴于点C，过点B作，交的延长线于点D．若的面积为，则 ． 38．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为轴正半轴上一点，过点的直线轴，且直线分别与反比例函数和的图象交于，两点，若，则的值为 ．    一十三．反比例函数的应用（共4小题） 39．（2024·贵州遵义·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，且点的坐标为． (1)求的值和反比例函数的解析式； (2)求的面积． 40．（24-25九年级上·黑龙江大庆·开学考试）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（单位：微克/毫升）与服药时间x（单位：h）之间函数关系如图所示， (1)求y与x之间的函数表达式． (2)血液中药物浓度不低于4微克/毫升的时候对人体是有效的，服药后对人体的有效时间是多少？ 41．（2022·四川达州·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，B两点，分别连接，． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 42．（2023·辽宁鞍山·模拟预测）如图，一次函数（）的图象与反比例函数（，）的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求与的值； (2)为轴上的一动点，连接，若的面积为面积的，求的值． $$