专题01 二次函数与反比例函数（考点清单+16个考点清单&题型解读）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（沪科版）

清单01 二次函数与反比例函数 （16个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】二次函数 1、二次函数的定义： 一般地，形如（是常数，且）的函数叫做的二次函数，其中是自变量. 2、二次函数的三要素： （1）自变量的最高次数必须是2； （2）等号右边的是关于自变量的整式； （3）二次项系数不等于0. 【清单02】根据实际问题列二次函数表达式 在实际问题中，列二次函数表达式的一般步骤： 1、 审清题意： 找出问题中的已知量(常量)和未知量(变量)，把问题中的文字或图形语言转化成数学语言； 2、 找相等关系： 分析常量和变量之间的关系，列出等式； 3、 列二次函数表达式： 设出表示变量的字母，把相等关系用含字母的式子表示，并把它整理成二次函数的一般形式； 4、 确定自变量的取值范围： 根据自变量所表示的实际意义确定其取值范围. 【清单03】二次函数的图象与性质 函数 （是常数，） 的符号 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 顶点坐标 增减性 当时，随的增大而减小 当时，随的增大而增大 当时，随的增大而减小 当时，随的增大而增大 最值 当时， 当时， 【清单04】二次函数的图象特征与的符号关系 二次函数的中，的符号决定抛物线的开口方向，的否好决定抛物线对称轴的大致位置，的否好决定抛物线与轴交点的大致位置，具体如下表： 字母（或式子） 符号 特征 开口向上 开口向下 对称轴为轴 对称轴在轴左侧 对称轴在轴右左侧 图象过原点 图象与轴正半轴相交 图象与轴负半轴相交 【注意】对于二次函数： （1）当时， ，此时： 若，则； 若，则； 若，则. （2）当时， ，此时： 若，则； 若，则； 若，则. 【清单05】用待定系数法求二次函数的表达式 方法名称 函数表达式 适用情形 一般步骤 待定系数法 一般式： 已知二次函数图象上任意三个点的坐标或的三组对应值 顶点式： 已知抛物线的定点坐标或对称轴和最值 交点式： 其中，是抛物线与轴交点的横坐标 已知二次函数的图象与轴的两个交点的坐标 【清单06】二次函数与一元二次方程之间的关系 1、二次函数图象与轴的交点横坐标与一元二次方程根的关系： 一般地，从二次函数的图象可知：如果抛物线与x轴由交点，交点的横坐标是，那么当时，函数值是0，因此是方程的一个根. 2、二次函数与一元二次方程的联系与区别： 一元二次方程的根的情况 有两个不等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 二次函数的图象 抛物线与轴的交点 （），（） （） 没有交点 【清单07】二次函数的图象与一元二次方程的近似解的关系 二次函数的图象与轴的公共点的横坐标是一元二次方程的解，因此可以借助二次函数的图象求一元二次方程的解. 1、利用二次函数的图象与轴的公共点求一元二次方程的解 （1）作出二次函数的图象，确定图象与轴公共点的个数，也就是方程的解的个数. （2）观察图象，函数图象与轴的交点的横坐标就是一元二次方程的解，当函数图象与轴有两个交点，且交点的横坐标不是整数时，可通过不断缩小解所在的范围估计一元二次方程的解； （3）交点横坐标即为一元二次方程的解. 2、利用二次函数的图象与直线的公共点求方程的解 （1）将方程化为的形式； （2）在平面直角坐标系中画出抛物线和直线，并确定抛物线与直线的公共点的坐标； （3）公共点的横坐标即为一元二次方程的解. 【清单08】二次函数与一元二次不等式的关系 求不等式的解集，就是求为何值时，二次函数的函数值；求不等式的解集，就是求为何值时，二次函数的函数值，列表如下：（因为例） 的符号 的图象与轴的交点个数 的根 两个等实数根 两个相等实数根 没有实数根 一元二次不等式的解集 或 全体实数 无解 无解 【清单09】用二次函数解决实际问题 1、一般步骤： （1）审：仔细审题，厘清题意； （2）设：找出问题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； （3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，把实际问题转化成数学问题，根据题中的数量关系列出二次函数的表达式； （4）解：依据已知条件，借助二次函数的表达式、图象和性质等求解实际问题； （5）检：检验结果，得出符合实际意义的结论. 【清单10】反比例函数的定义 1、定义： 一般地，表达式形如（为常数，且）的函数叫做反比例函数，其中是自变量，是的函数.自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 2、反比例函数的三种表达形式： （1）； （2）； （3）（为常数，且） 【注意】反比例函数的表达式中，无论x，y怎样变化，k的值始终等于x与y的乘积，因此人们习惯上称k为比例系数. 【清单11】反比例函数图象与性质 1、 图象的特点： （1）反比例函数 (k为常数，且k≠0)的图象是双曲线； （2）反比例函数图象的两支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限； （3）双曲线的两支都无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交； （4）双曲线既是中心对称图形(对称中心是原点)，又是轴对称图形(对称轴是直线y=x 和直线y=-x).如图： 2、反比例函数的性质： 反比例函数 （） K的符号 图象 图像位置 第一、三象限 第二、四象限 增减性 在每一个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 【清单12】求反比例函数的表达式 1、确定反比例函数表达式的方法 由于在反比例函数 ( k≠0)中只有一个待定系数，因此只需要一对x，y的对应值或图象上一个点的坐标，用待定系数法即可求出k的值，从而确定其表达式. 2、用待定系数法求反比例函数表达式的一般步骤 【注意】 （1） 用待定系数法求反比例函数的表达式的实质是代入一对对对应值，解一元一次方程. （2） 当题目中已经明确“y是x的反比例关系”时，可直接设函数的表达式为 ( k≠0). 【清单13】反比例函数中k的几何性质 1、矩形面积 如图，过双曲线上任意一点p（x，y）分别作x轴、y轴的垂线PM，PN，所得的矩形PMON的面积S=PMS=PM•PN=，即过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线所得的矩形的面积为. 2、三角形的面积 如图，过双曲线上的任意一点E作EF垂直于y轴，垂足为F，连接EO，则，即过双曲线上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点与原点，所得的三角形的面积为. 【考点题型一】二次函数 【例1】（23-24九年级上·北京·期中）如图，是等腰直角三角形，，，点为边上一点，过点作，，垂足分别为，，点从点出发沿运动至点．设，，四边形的面积为，在运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．y与x满足一次函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最大值 B．y与x满足一次函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最小值 C．y与x满足反比例函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最大值 D．y与x满足反比例函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最小值 【答案】A 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，一次函数和二次函数的定义，二次函数求最值．由等腰直角三角形的性质可得，再由，，推出和是等腰直角三角形，四边形是矩形，进而可得y与x的关系，再根据矩形的面积公式可得S与x的关系式，化为顶点式，即可得到最值． 【详解】解：是等腰直角三角形，， ， ，， 和是等腰直角三角形，四边形是矩形， ，， ， 即， y与x满足一次函数关系， ，最大值为1， S与x满足二次函数关系，且S存在最大值． 故选：A． 【变式1-1】. （23-24九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，利用一面墙（墙的长度为），用长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道宽的门，设的长为． (1)若两个鸡场的面积和为，求关于的关系式； (2)两个鸡场面积和可以等于（）吗？如果可以，求出此时的值． 【答案】(1) (2)不能 【分析】本题考查了列二次函数关系，解一元二次方程的应用； （1）根据题意和图形可以求得关于的关系式； （2）令，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 即关于的关系式是； （2）解：依题意， 即 ∵， 原方程无实数解， ∴两个鸡场面积和不能等于（） 【变式1-2】. （21-22八年级下·浙江宁波·期末）荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为18元/千克的荔枝，以28元/千克售出时，每天能售出40千克．市场调研表明：当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克．设降价x元． (1)降价后平均每天可以销售荔枝 千克（用含x的代数式表示）． (2)设销售利润为y，请写出y关于x的函数关系式． (3)该水果店想要使荔枝的销售利润平均每天达到480元，且尽可能地减少库存压力，应将价格定为多少元/千克？ 【答案】(1) (2) (3)24元/千克 【分析】（1）根据“当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克”可直接得出结论； （2）利用利润=（售价-成本）×销售量可得出结论； （3）令y=480，求出x的值，再根据题意对x的值进行取舍即可． 【详解】（1）根据题意得，降价后平均每天可以销售荔枝：（40+10x）千克， 故答案为：（40+10x）． （2）根据题意得， 整理得 （3）令，代入函数得， 解方程，得， 因为要尽可能地清空库存，所以舍去取 此时荔枝定价为（元/千克） 答：应将价格定为24元/千克． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，列函数关系式，列代数式，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 【变式1-3】. （22-23九年级下·吉林长春·开学考试）如图，中，，，，点从点出发，沿边以每秒个单位的速度向终点运动，过点作，交边（或边）于点，设点运动的时间为秒．    (1)用含的代数式表示线段的长为______． (2)当点与点重合时，求的值． (3)若的面积为，求与之间的函数关系式． (4)当线段把分成的两部分图形面积之比为：时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）根据题意列出代数式，即可求解； （2）勾股定理求得，当与点重合时，则，进而勾股定理求得，根据路程除以速度，即可求解； （3）分，两种情况，根据三角形的面积公式列出函数关系式，即可求解； （4）同（3）的方法，分2种情况讨论，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，，， ∴ 故答案为：． （2）解：在中，，，， ∴，； 当与点重合时，则 ∵，， ∴ 在中， ∴    （3）解：当时，，， ∴ 当时，在上，如图所示，    ∵中，，， ∴ ∵ ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ （4）∵中，，，， ∴, ∴， 当时，点在上，当时， 解得：（负值舍去） 当时，则 解得：（舍去）或（舍去） 当时，在上， ∵， ∴ 依题意，时， 即 解得：或（舍去） 当， 解得：（舍去）或（舍去）    综上所述，或时，线段把分成的两部分图形面积之比为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，列函数关系式，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，列代数式，分类讨论是解题的关键． 【考点题型二】二次函数的图象和性质 【例2】（22-23九年级·山东泰安·自主招生）如图，平行于x轴的直线分别交抛物线与于B、C两点，过点C作y轴的平行线交于点D，直线，交于点E，则（   ） 如图， A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数图象上点的坐标特征，根据平行于x轴的点的纵坐标相同，平行于y轴的点的横坐标相同，求出用点A的纵坐标表示出各点的坐标是解题的关键．设A点坐标为，利用两个函数解析式求出点B、C的坐标，然后求出的长度，再根据轴，利用的解析式求出D点的坐标，然后利用求出点E的坐标，从而得到的长度，然后求出比值即可得解． 【详解】解：设A点坐标为，， 则，解得， ∴点B， ∴点C， ∵轴， ∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，为， ∴点D的坐标为， ∵， ∴点E的纵坐标为3a， ∴点E的坐标为， ∴， ∴． 故选：A． 【变式2-1】. （24-25九年级上·云南昆明·开学考试）已知二次函数图象上有两个不同点，，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键，根据二次函数的图象与性质及点的坐标可得关于轴对称，从而可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴点的纵坐标相等， ∴点关于轴对称， ∴， 故答案为：0． 【变式2-2】. （2024·广东佛山·二模）如图，菱形的边长为，点在轴的负半轴上，抛物线过点．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和菱形的性质，过点作轴交轴于点，求出点的坐标，代入即可求解，求出点的坐标是解题的关键． 【详解】过点作轴交轴于点， ∵菱形的边长为， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 把代入， ∴， ∴， 故答案为： 【考点题型三】二次函数的图象和性质 【例3】（23-24九年级上·山东临沂·期末）如图，抛物线经过正方形的三个顶点，，，点在轴上，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质，二次函数的图象和性质，先根据抛物线解析式求出，再根据正方形的性质得出，进而可得点，将A点坐标代入抛物线解析式，即可求出的值． 【详解】解：如图，连接交y轴于点D， 对于，当时，， ， 四边形是正方形， ， ， ， 解得， 故选D． 【变式3-1】. （24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）抛物线的图象交y轴于点A，点A关于x轴的对称点为点B． （1）点B坐标为 ； （2）点，，且线段与抛物线恰有一个公共点，则m的取值范是 ． 【答案】 / 【分析】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，能对m进行分类讨论，并能数形结合解决函数与线段的交点问题是解题的关键． （1）求出A点坐标，再由点B关于x轴对称，根据点的对称性可求B点坐标； （2）根据题意，分两种情况分别求：当和时，根据“线段与抛物线恰有一个公共点”列出不等式，再结合图象可确定m的范围． 【详解】解：（1）抛物线与y轴交于点A， ∴， 点A关于x轴的对称点为点B， ∴， 故答案为：； （2）当时， 通过观察可得：C在直线l上，若要与抛物线有一个交点， 则， 解得（舍）， 当时， ， 解得，即． 【变式3-2】. （2023九年级下·安徽·专题练习）已知，是抛物线上的两点，点的横坐标为，点的横坐标为，为线段AB的中点，轴，交抛物线于点． （1）抛物线的顶点坐标是 ； （2）线段的长为 ． 【答案】 ； ． 【分析】（）根据二次函数表达式特点可求顶点坐标； （）由题意写出、的坐标，再根据中点坐标得出点坐标，再由轴得出点坐标即可． 【详解】解：（1）∵， ∴抛物线的顶点坐标是， 故答案为：， （2）依据题意可知，点的坐标为，点的坐标为，， ∵为线段的中点， ∴的坐标为， ∵轴， ∴点的坐标为， ∴CD＝． 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的相关知识点是解决本题的关键． 【变式3-3】. （22-23九年级上·湖北恩施·阶段练习）已知抛物线过点，． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)若在抛物线上，求点A的坐标； (3)在y轴上有点P，且是等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)，，． 【分析】（1）根据已知抛物线过点，，代入即可求解； （2）将代入，求得n的值即可； （3）设点，则，再分三种情况建立方程求解即可； 【详解】（1）∵抛物线过点，， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）∵在抛物线上， ∴， ∴点A的坐标为； （3）设点， 则， ∵是等腰三角形， ∴①当时，则， ∴， ∴，， ∴； ②当时，则， ∴， ∴，， ∴； ③当时，则， ∴， ∴（不合题意，舍去）， ∴； 即满足条件的点E的坐标为，，． 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，等腰三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 【考点题型四】二次函数的图象和性质 【例4】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）设函数，，直线与函数，的图象分别交于点，得（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据题意分别画出，的图象，继而根据图象即可求解． 【详解】解：如图所示，若，则， 故A选项错误； 如图所示，若，则或， 故B、D选项错误； 如图所示，若，则， 故C选项正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，理解题意，画出图象，数形结合是解题的关键． 【变式4-1】. （2024九年级下·江苏·专题练习）已知二次函数（h是常数），且自变量取值范围是． （1）当时，函数的最大值是 ； （2）若函数的最大值为，则h的值是 ． 【答案】 0 6或1/1或6 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质； （1）根据顶点式可直接得出答案； （2）根据函数的最大值为分情况讨论：若，则当时，y最大；若，则当时，y最大；若，则最大值为0，与题意不符；根据最大值为分别求解即可． 【详解】解：（1）当时，二次函数为， ∴当时，函数有最大值为0， 故答案为：0； （2）∵二次函数（h是常数），当自变量x满足时，其对应函数y的最大值为， ∴若，则当时，y最大，即， 解得（舍去），； 若，则当时，y最大，即， 解得，（舍去）； 若，则最大值为0，与题意不符； 综上，h的值是6或1． 故答案为：6或1． 【变式4-2】. （22-23九年级上·河南南阳·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求点、的坐标； (2)求抛物线的对称轴； (3)在对称轴上是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)直线 (3)和 【分析】（1）根据坐标轴上的点的坐标的特征，即可求出点、的坐标； （2）根据二次函数的图象与性质，可得抛物线的对称轴； （3）根据平行四边形的判定和性质可知，，得出点的位置，再求出其坐标即可． 【详解】（1）解：∵令，则，解得， ∴， ∵令，则， ∴． ∴，． （2）解：∵二次函数的表达式为， ∴抛物线的对称轴为直线． （3）解：∵， ∴， ∵对称轴上一点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形， ∴，， ∴则存在如下图四边形和四边形两种平行四边形， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴此时，． 【点睛】本题考查了二次函数与特殊平行四边形的综合，主要利用了抛物线与坐标轴交点的求法，平行四边形的对边平行且相等的性质，熟练掌握二次函数的相关知识点是解答本题的关键． 【变式4-3】. （21-22九年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，过点、两点的抛物线的顶点C在x轴正半轴上． (1)求抛物线的解析式； (2)求点C的坐标； (3)为线段AB上一点，，作轴交抛物线于点M，求PM的最大值与最小值． 【答案】(1) (2) (3)最大值是，最小值是4 【分析】（1）根据题意设抛物线的解析式为，然后把点、代入关系式进行计算即可解答； （2）把代入（1）中所求的抛物线的解析式进行计算即可解答； （3）先求出解析式，然后计算当，，，的长度，然后设，，表示出的值，然后再进行计算即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点在轴正半轴上， ∴设抛物线的解析式为， 把点、代入中可得：， 解得：舍去或， ∴， ∴抛物线的解析式为：； （2）把代入中可得：， ∴， ∴点的坐标为； （3）设的解析式为：， 把点、代入中可得：， 解得：， ∴的解析式为：， ∵点为线段上一点，点为抛物线上一点，且，轴， ∴当时，，， ∴， 当时，，， ∴， 当时，，， ∴， 设，， ∴， 当时，的最大值为：， ∴的最大值是，最小值是4． 【点睛】本题考查了二次函数的最值，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【考点题型五】二次函数的图象和性质 【例5】（2024·广东广州·一模）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（    ）． A．或4 B．或 C．或4 D．或4 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的性质，分两种情况讨论，并且利用二次函数的性质即可解答． 【详解】解：二次函数的对称轴为：直线， （1）当时，当时，随的增大而减小，当，随的增大而增大， 当时，取得最小值， ， ； （2）当时，当时，随的增大而增大，当，随的增大而减小， 当时，取得最小值， ， ． 故选：D． 【变式5-1】. （23-24九年级上·天津和平·期末）关于二次函数的图象，下列说法中错误的是（    ） A．抛物线开口向下 B．抛物线的顶点坐标是 C．抛物线与轴有两个交点分别是和 D．当和是抛物线上的点，则当时，则 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质逐项分析判断即可得解，解题的关键数是熟练掌握抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及二次函数的增减性． 【详解】、由，则抛物线开口向下，此选项判断正确，不符合题意； 、抛物线的顶点坐标是，此选项判断正确，不符合题意； 、当时，，解得：，，则与轴有两个交点分别是和，此选项判断错误，符合题意； 、，当时，随的增大而增大，则有，此选项判断正确，不符合题意； 故选：． 【变式5-2】. （2024·吉林长春·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线（a、h为常数）与直线（m为常数）相交于A、B两点，若抛物线上有且只有一点C到x轴的距离与A、B两点到x轴的距离相等，且的面积为4，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的对称性，三角形面积公式，待定系数法求解析式，是解决问题的关键． 根据轴，抛物线上有且只有一点C到x轴的距离与到x轴的距离相等，可知C为顶点，，对称轴为直线，得到在x轴的上方， ，C到的距离为4，根据的面积为4，得到，设，，得到，即得． 【详解】∵抛物线（a、h为常数）与直线（m为常数）相交于A、B两点， ∴轴，作图如下， ∵抛物线上有且只有一点C到x轴的距离与A、B两点到x轴的距离相等， ∴C为顶点，，对称轴为直线， ∴C在x轴下方，到x轴的距离为2， ∴在x轴的上方，到x轴的距离为2， ∴， ∴C到的距离为：， ∵， ∴， 设点A在点B的左边，则，， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式5-3】. （24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知二次函数． (1)求证：不论n取何值时，抛物线的顶点始终在一条直线上． (2)若点，都在二次函数图象上，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质并灵活运用是解此题的关键． （1）由二次函数解析式得出顶点坐标为，设，，则，即可得解； （2）由二次函数的性质得出，从而得出，再将代入二次函数解析式即可得出答案． 【详解】（1）证明：由二次函数知，抛物线顶点坐标为 设，，则， ∴抛物线的顶点始终在直线上； （2）证明：由题可得，则 ∴， 把代入得， ∴． 【考点题型六】二次函数的图象和性质 【例6】（24-25九年级上·全国·课后作业）已知点为抛物线上两点（点在点的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点为抛物线上点之间（含点）的一个动点，则点的纵坐标的最大值是 ． 【答案】或4 【分析】题目主要考查二次函数的基本性质及最值问题，根据题意，将解析式化为顶点式，然后确定对称轴为直线，顶点的坐标为，再由题意确定点坐标为或，点坐标为，然后分两种情况分析即可求解，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 【详解】解：抛物线解析式为， ∴对称轴为直线，顶点的坐标为， ∵点为抛物线上两点（点在点的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度， 点的横坐标为或4，点的横坐标为， ∴点坐标为或，点坐标为， ∵点为抛物线上点之间（含点）的一个动点， 当在对称轴的同侧时，； 当在对称轴的两侧时， ∴点的纵坐标的最大值为或4， 故答案为：或4． 【变式6-1】. （2024·安徽合肥·三模）平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点． （1）点的坐标为 ； （2）已知点，．若线段与抛物线只有一个公共点，的取值范围为 ． 【答案】 － 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，通过分类讨论及数形结合的方法求解． （1）当时，，进而即可求解； （2）分点在轴的右侧和点在轴的左侧包括轴两种情况，通过数形结合求解． 【详解】解：（1）当时，， ∴点的坐标为， 故答案为：； （2）∵抛物线的对称轴为． 设点关于对称轴的对称点为点， ∴． ∵，， ∴点都在直线上． 当点在轴的右侧时， ∵线段与抛物线只有一个公共点，． ∴． ∴， ②当点在轴的左侧包括轴时， ∴， ∵线段与抛物线只有一个公共点，． ∴． ∴（不符合题意，舍去）． 故答案为：． 【变式6-2】. （2024·浙江宁波·模拟预测）已知二次函数的图象经过原点和点，其中． (1)当时． ①求关于的函数解析式，求出当为何值时，有最大值？最大值为多少？ ②当和时，函数值相等，求的值． (2)当时，在范围内，有最大值，求相应的和的值． 【答案】(1)①；时，有最大值，最大值为；② (2)， 【分析】本题考查了二次函数综合，二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的对称性，二次函数的最值，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）①当时，求出点坐标，利用待定系数法即可求出函数解析式，根据函数解析式即可求出二次函数的顶点坐标，进而解答问题； ②根据和时，函数值相等，列得方程，解方程即可求解； （2）求出二次函数的对称轴，由二次函数图象经过原点和点，可得，分和两种情况，根据二次函数的性质解答即可求解． 【详解】（1）①解：当时，则， 把和分别代入可得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为： ， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为； ②解：当和时，函数值相等， ∴， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）或， ∴的值为； （2）∵二次函数的图象经过原点， ∴， ∴二次函数， ∴对称轴为直线， ∵二次函数过点和， ∴， 当时，对称轴， ∵， ∴时，有最大值， 整理可得：， ∴或， ∵， ∴， ∴， 当时，对称轴， ∵， ∴在对称轴的左侧，的值随的增大而增大， ∵， ∴当时，有最大值， 即， 解得：， ∴， ∴， 综上，，． 【变式6-3】. （2024·山西朔州·模拟预测）综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，D为第一象限内的点，四边形为平行四边形，P是线段上的动点，过点P作轴，垂足为F，直线与抛物线相交于点E，设点P的横坐标为m． (1)求A，B，D三点的坐标． (2)若，求m的值 (3)如图2，连接，当时，请直接写出的长． 【答案】(1)，， (2)m的值为或或 (3)的长为5 【分析】（1）先求得A、B、C三点的坐标，即可求解； （2）由，，得到，即可求解； （3），，而，得，即可求解． 【详解】（1）解：当时，则，解得：，， ，． 当时，则， ． 四边形为平行四边形， ，； （2）解： 点P的横坐标为m， ，， ，整理得：或． 当时，解得：，（舍去）． 当时，解得，， 综上所述，m的值为或或． （3）解：由题意可知，， ． ， ，整理得或， 当时，解得：，（舍去）， 当时，解得：（舍去），（舍去）． 综上所述，． 当时，， ， ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，平行四边形的性质，勾股定理，三角形面积等知识，掌握相关知识是解题的关键． 【考点题型七】二次函数表达式的确定 【例7】（22-23九年级·山东泰安·自主招生）已知二次函数的对称轴为直线，且二次函数有最小值；又知二次函数的图象与轴有两个交点，它们之间的距离为6．求二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据题意设，由一元二次方程根与系数的关系可得出，， 再结合已知条件可得出，代入求出a的值即可得出答案． 【详解】解：设， 是方程的两根． 则，．又， ∴． 则， 得． 故． 【变式7-1】. （21-22九年级上·全国·单元测试）如图，二次函数的图象经过A、B、C三点，点A的坐标为，点B的坐标为，点C在y轴正半轴上，且． (1)求点C的坐标； (2)求二次函数的解析式，并求出函数的最大值． 【答案】(1) (2)；函数的最大值为 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式； （1）由于点的坐标为，则，于是利用轴上点的坐标特征可写出点坐标； （2）设交点式，再把点坐标代入求出的值即可得到抛物线解析式，然后把解析式配成顶点式可得二次函数的最大值． 【详解】（1）点的坐标为，点在轴正半轴上，且， ， （2）设抛物线解析式为：， 把代入得，解得， 抛物线解析式为，即， ， 函数的最大值为． 【变式7-2】. （23-24九年级上·吉林·期中）如图，已知抛物线经过点和点，与轴相交于点． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点是直线下方的抛物线上一动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交直线于点．设点的横坐标为，用含有的代数式表示线段的长． 【答案】(1)抛物线解析式为； (2)． 【分析】（）根据已知抛物线经过点和点代入即可求解；（）求出坐标及解析式，根据过点作轴的平行线交直线于点，即可用含的代数式表示出和的坐标，进而求解； 本题考查了二次函数和一次函数的图象与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）∵抛物线经过点和点，与轴相交于点， ∴， ∴，即， ∴抛物线解析式为； （2）由可知，对称轴为直线，点， 设直线解析式， 将点、代入解析式， 则 ，解得：， ∴直线解析式， 设， ∵过点作轴的平行线交直线于点， ∴， ∴． 【变式7-3】. （2024·陕西渭南·一模）如图，抛物线经过点和，与两坐标轴的交点分别为，，，它的对称轴为直线． (1)求该抛物线的表达式； (2)点在对称轴上，点在抛物线上，过点作对称轴的垂线，垂足为，若使以、、为顶点的三角形与全等，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或； 【分析】本题考查二次函数的图像和性质、待定系数法求二次函数解析式及全等三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题关键． （1）将和代入，用待定系数法即得抛物线的表达式； （2）由得对称轴为直线，，，即知是等腰直角三角形，根据以、、为顶点的三角形与全等，得，即可求得或． 【详解】（1）解：将和代入得： ， 解得， 抛物线的表达式为； （2）如图： 由得对称轴为直线，，， ， 是等腰直角三角形， 在对称轴上，点在抛物线上，过点作对称轴的垂线，垂足为， ， 以、、为顶点的三角形与全等， ， 或， 或； 【考点题型八】二次函数与一元二次方程 【例8】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，二次函数图象与x轴交于A、B两点，顶点为C，其中点A、C坐标如图所示，则是一元二次方程的根是（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据函数图象和二次函数的性质可以得到点B的坐标，从而可以得到该函数图象与x轴的交点坐标，进而得到一元二次方程的根，本题得以解决． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于、B两点，顶点为， ∴点B的坐标为， ∴当时，即此时或， ∴一元二次方程的根是 故选：B． 【变式8-1】. （2024·江西九江·模拟预测）已知抛物线与轴交于两点，则方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象的平移，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．把方程化简为，已知抛物线与轴交于两点，根据抛物线的平移规律可得与x轴交点为，即可得解． 【详解】解：化简得：， 已知抛物线与轴交于两点， ∴与x轴交点为， ∴方程的解为． 故答案为： 【变式8-2】. （23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）已知二次函数（是常数）． (1)求证：不论为何值，该函数的图象与轴没有公共点； (2)把该函数的图象沿轴向下平移多少个单位长度后，顶点在轴上？ 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）求出根的判别式，根据判别式判断一元二次方程根的情况，即可得出答案； （2）先化成顶点式，根据顶点坐标和二次函数图象的平移即可得出答案． 【详解】（1）证明：， 一元二次方程没有实数解， 即：不论为何值，该函数的图象与轴没有公共点； （2）解：将二次函数化成顶点式，得： ， 把二次函数的图象沿轴向下平移个单位长度后，得到二次函数的图象，它的顶点坐标是， 二次函数的图象的顶点在轴上， 把二次函数的图象沿轴向下平移个单位长度后，顶点在轴上， 答：把该函数的图象沿轴向下平移个单位长度后，顶点在轴上． 【点睛】本题主要考查了二次函数和轴的交点问题，根据判别式判断一元二次方程根的情况，把二次函数化成顶点式，二次函数的图象与性质，二次函数图象的平移等知识点，熟练掌握根的判别式及二次函数图象的平移是解题的关键． 【变式3-3】. （2024·浙江杭州·模拟预测）在二次函数中， (1)若该二次函数图象经过，求该二次函数的解析式和顶点坐标； (2)求证：不论取何值，该二次函数图象与轴总有两个公共点； (3)若时，点，，都在这个二次函数图象上且，求的取值范围． 【答案】(1)，顶点坐标 (2)见解析 (3) 【分析】（1）二次函数的图象经过，即可求得，得到抛物线为，解析式化成顶点式即可求得顶点坐标； （2）依据题意，由，又对于任意的都有，从而可以判断的大小，进而可以得解； （3）依据题意，由，在二次函数图象上，从而对称轴直线，故，即，又抛物线开口向上，可得抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，再结合可得 ，再分类讨论即可得解． 【详解】（1）解：二次函数图象经过， ， ， 抛物线为， ， 顶点坐标为； （2）证明： ∴二次函数图象与轴总有两个公共点； （3）解：对称轴直线， ∴即． ∵， ∴， ∵抛物线过， ∴，即， ∵， ∴， 解得，即 ∵抛物线开口向上， ∴当抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小． ∵， ∴， 当，解得（不合题意舍去）； 当，解得， ∴． 【点睛】本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 【考点题型九】二次函数与一元二次不等式 【例9】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知抛物线在的范围内能使恒成立，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键．分三种情况：当时，当时，当时，讨论即可． 【详解】解：的对称轴为直线，开口向上， ①当时，即时， 要使在的范围内能使恒成立， 只需时的函数值大于等于，即， 解得：， 结合，得：； ②当时，即时， 要使在的范围内能使恒成立， 只需时的函数值大于等于，即， 解得： 结合，得无解； ③当时，即时， 要使在的范围内能使恒成立， 只需时的函数值大于等于，即， 化简得：， 解得：， 结合，得无解； 综上，得， 故答案为：． 【变式9-1】. （23-24九年级上·山东德州·开学考试）如图，抛物线的对称轴为直线，点为其与x轴的一个交点，则 （1）抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为 ； （2）当 时，； （3）当 时，； （4）当 时，． 【答案】 或3 或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质： （1）根据对称性求出另外一个交点的坐标即可； （2）与轴的交点的横坐标即为所求； （3）抛物线在轴上方的自变量的取值范围即为所求； （4）抛物线在轴下方的自变量的取值范围即为所求． 【详解】解：（1）对称轴为，则由利用抛物线的对称性得到，故可得B的坐标为； 故答案为：； （2）由（1）可得时，或3； 故答案为：或3； （3）由二次函数的图象可知，抛物线开口向下时，； 故答案为：； （4）当时，或． 故答案为：或． 【变式9-2】. （24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）已知二次函数的图象经过点，． (1)求二次函数的解析式，并写出抛物线的对称轴及顶点坐标； (2)当时，求y的取值范围． 【答案】(1)二次函数的解析式为．对称轴为直线，顶点坐标为 (2) 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象和性质，熟知待定系数法及二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将，两点坐标代入函数解析式即可解决问题． （2）利用数形结合的思想即可解决问题． 【详解】（1）将，两点坐标代入函数解析式得， ， 解得， 所以二次函数的解析式为． 因为， 所以抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． （2）因为，且抛物线开口向上，对称轴为直线， 所以当时，；当时，， 所以的取值范围是：． 【变式9-3】. （24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，已知抛物线与轴交于点两点，过点作轴的平行线交抛物线于两点． (1)求的长； (2)结合图像，直接写出当时，的取值范围是 ． 【答案】(1)3 (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数图像上点的特征、二次函数与不等式等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）根据题意可知，对于抛物线，令，并解得的值，即可确定点的坐标，然后计算的长； （2）结合函数图像以及点的坐标，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵轴，且经过点， ∴， 对于抛物线，令， 可得，解得，， ∴，， ∴； （2）由（1）可知，，， ∴结合图像可知，当时，的取值范围是或． 故答案为：或． 【考点题型十】二次函数的应用——几何图形 【例10】（23-24九年级上·全国·单元测试）某小区业主委员会决定把一块长，宽的矩形空地建成健身广场，设计方案如图所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区为全等的矩形），空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，其宽度不小于，且不大于，设每块绿化区的较长边为，活动区的面积为． (1)写出y与x之间的函数关系式及x的取值范围； (2)求活动区的面积y的最大值； (3)预计活动区造价为50元，绿化区造价为40元，如果业主委员会计划投资不超过72000元来建造，则当x为整数时，共有几种建造方案？ 【答案】(1) (2) (3)4种 【分析】本题考查了二次函数的应用， （1）首先根据其宽度不小于，不大于，求出，然后用大矩形的面积减去4个小矩形的面积即可求解； （2）将整理为顶点式，利用抛物线性质即可求解； （3）设费用为w，由题意得，利用抛物线性质和x的取值范围结合即可求解． 【详解】（1）出口的宽度为， ∵其宽度不小于，不大于， ∴． 解得， ∵四周的4个出口宽度相等，设绿化区的宽为a， ∴ ∴ 根据题意得， ∴y与x的函数关系式为； （2）， ∵，抛物线的开口向下，对称轴为， 当时，y随x的增大而减小， ∴当时，． ∴活动区的面积y的最大值为； （3）设投资费用为w， 由题意得，， ∴当时，解得，． ∵，对称轴为， ∴当时，W随x增大而减小， 又∵w不超过72000元， ∴，且x为整数， ∴共有4种建造方案． 【变式10-1】. （24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）小明的爸爸投资1200元围一个矩形菜园（如图），其中一边靠墙（墙长24m），另外三边选用不同材料建造．平行于墙的边的费用为20元/m，垂直于墙的边的费用为15元/m，设平行于墙的边长为xm． (1)设垂直于墙的一边长为ym，求y与x之间的函数关系式； (2)设菜园的面积为，求S与x的函数关系式，并求出当时x的值； (3)请问菜园的最大面积能达到吗？如能，求出x的值；如不能，说明理由． 【答案】(1)； (2)，当时，； (3)菜园的最大面积不能达到． 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是将实际问题转化为一元二次方程和二次函数的问题． （1）根据“垂直于墙的长度”可得函数解析式； （2）根据矩形的面积公式列出总面积关于的函数解析式； （3）根据矩形的面积公式列出总面积关于的函数解析式，配方成顶点式后利用二次函数的性质求解可得． 【详解】（1）解：根据题意知，， 故与之间的函数关系式为； （2）解：根据题意得，， 当时，， 解这个方程，得，， ， 当时，； （3）解：菜园的最大面积不能达到， 理由：， ， 当时，随的增大而增大． 当时，最大，此时． 菜园的最大面积不能达到． 【变式10-2】. （2024九年级上·全国·专题练习）在中，，，D为上一个动点（不与B、C重合），在上取E点，使． (1)求证：； (2)设，，求关于的函数关系式及自变量取值范围，并求当为何值时，取最小值，最小值为多少？ 【答案】(1)见详解 (2)当时，有最小值，最小值为 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质． （1）根据等腰直角三角形的性质及三角形内角与外角的关系，易证． （2）由，对应边成比例及等腰直角三角形的性质可求出与的函数关系式，根据函数图象的顶点坐标可求出其最小值． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）由（1）得， ∴， ∵，， ∴，，， ∴，即， 当时，有最小值，最小值为． 【变式10-3】. （2024·广西桂林·一模）如图，正方形的边长是4，M是的中点，动点在线段上运动，连接并延长交射线于点，过点作的垂线交射线于点，连接，． (1)求证：是等腰三角形． (2)设，的面积为，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (3)在点运动过程中，是否可能成为等边三角形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)不可能，理由见解析 【分析】（1）由四边形是正方形，正方形的四个边相等且对边平行，四个角都是直角，证明，从而可得出结论． （2）设时，的面积为，有两种情况，当点与点重合时，即时，可求出的值，当点不与点重合时，，根据条件可证明，根据相似三角形的对应边成比例，可得出函数式． （3）不可能，因为，所以，所以不可能是等边三角形． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ， 在和中， 又， 故是等腰三角形； （2）解：当点与点重合时，如图所示， ， 当点不与点重合时， 在中，， 过作，垂足为 则，， 即 ； （3）解：不可能， 在中 不可能是等边三角形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质定理，勾股定理，正方形的性质，相似三角形的判定和性质定理，解题的关键是掌握以上知识点． 【考点题型十一】二次函数的应用——运动抛物线 【例11】（2024·河南开封·一模）开封黑岗口引黄调蓄水库上的东京大桥，又名“彩虹桥”．夜晚在桥上彩灯的映衬下好似彩虹般绚丽．主景观由三个抛物线型钢拱组成（如图①所示），其中最高的钢拱近似看成二次函数的图象抛物线，钢拱最高处 C 点与路面的距离为50米，若以点 O 为原点，所在的直线为y 轴，建立如图②所示的平面直角坐标 系，抛物线与x 轴相交于A、B 两点，且两点间的距离为80米． (1)求这条抛物线的解析式； (2)钢拱最高处C 点与水面的距离为72米，请求出此时这条钢拱之间水面的宽度； (3)当时，求y的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，以及用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤． （1）根据题意得出，，设抛物线解析式为，把代入求出a的值，即可解答； （2）先求出，则，求出把时x的值，即可解答； （3）根据二次函数的图象和性质得出当时，y取最大值50，当时，y取最小值，，即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 设抛物线解析式为， 把代入得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为． （2）解：∵， ∴， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴此时这条钢拱之间水面的宽度为； （3）解：∵， ∴抛物线的定做坐标为， ∴当时，y取最大值50， ∵， ∴抛物线开口向下，则离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，y取最小值，， ∴当时，． 【变式11-1】. （2024·广东深圳·模拟预测）如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带的距离为米． (1)求上边缘抛物线喷出水的最大射程； (2)求下边缘抛物线与轴交点的坐标； (3)若米，灌溉车行驶时喷出的水______（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带，并说明理由． 【答案】(1)上边缘抛物线喷出水的最大射程为； (2)； (3)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）求得上边缘的抛物线解析式，即可求解； （2）根据二次函数的性质，确定平移的单位，求得下边缘抛物线解析式，即可求解； （3）根据题意，求得点的坐标，判断上边缘抛物线能否经过点即可； 【详解】（1）解：由题意可得：， 且上边缘抛物线的顶点为，故设抛物线解析式为： 将代入可得： 即上边缘的抛物线为： 将代入可得： 解得：（舍去）或 即 上边缘抛物线喷出水的最大射程为； （2）解：由（1）可得， 上边缘抛物线为：，可得对称轴为： 点关于对称轴对称的点为： 下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，可得上边缘抛物线向左平移个单位，得到下边缘抛物线，即下边缘的抛物线解析式为： 将代入可得： 解得：（舍去）或 即点； （3）解：灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带，理由如下； ∵， ∴绿化带的左边部分可以灌溉到， 由题意可得： 将代入到可得： 因此灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带． 【变式11-2】. （23-24九年级上·安徽·单元测试）如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，篮球运行的水平距离为2.5米时达到最大高度，在如图所示的直角坐标系中，抛物线的表达式为，沿此​抛物线篮球可准确落入篮圈． (1)求篮圈中心到地面的距离为多少米． (2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？ (3)篮球被投出后，对方一名近身防守运动员跳起盖帽，这名防守运动员最大能摸高3.05m，若他想盖帽成功，则两名运动员之间的距离不能超过多少米？（直接写出答案） 【答案】(1)3.05米； (2)0.2米； (3)1米； 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握二次函数图象上点坐标的特征． （1）求出篮圈中心的横坐标为，在中，令可得篮圈中心到地面的距离为3.05米；（2）设球出手时，他跳离地面的高度是米，知出手点坐标为，故，解出的值可得答案； （3）在中，令得（舍去）或，即知两名运动员之间的距离不能超过1米． 【详解】（1）解：根据已知可得，篮圈中心的横坐标为， 在中，令得， 篮圈中心的纵坐标为3.05， 篮圈中心到地面的距离为3.05米； （2）解：设球出手时，他跳离地面的高度是米，则出手点坐标为， ， 解得， 球出手时，他跳离地面的高度是0.2米； （3）解：在中，令得：， 解得（舍去）或， ， 两名运动员之间的距离不能超过1米． 【变式11-3】. （22-23九年级下·青海西宁·开学考试）如图所示，一拱桥的截面呈抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是，拱桥的跨度为，拱桥与水面的最大距离是，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面景观灯． (1)求抛物线的解析式； (2)求两盏景观灯之间的水平距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查抛物线的应用，分析题意，建立合适的平面直角坐标系，解决问题． （1）由图形可知这是一条抛物线，根据图形也可以知道抛物线的顶点坐标为，与轴交点坐标是，设出抛物线的解析式将两点代入可得抛物线方程； （2）第二题中要求灯的距离，只需要把纵坐标为代入，求出，然后两者相减，就是他们的距离． 【详解】（1）解：根据题意首先建立坐标系，如图所示： 抛物线的顶点坐标为，与轴交点坐标是， 设抛物线的解析式是， 把代入， 得， ； （2）解：由已知得两景观灯的纵坐标都是， ， ， ，． 两景观灯间的距离为． 【考点题型十二】二次函数的综合运用 【例12】（2024·山西·二模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接． (1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出线段所在直线的函数表达式； (2)点P是线段上方抛物线上的一个动点，过点P作轴于点M，交于点N求线段长的最大值． 【答案】(1)；线段所在直线的函数表达式 (2)3 【分析】（1）分别令，解方程即可得到A，B，C 三点的坐标，再利用待定系数法即可求出线段所在直线的函数表达式； （2）根据题意，结合（1）线段所在直线的函数表达式，设点P的坐标为，点N的坐标为，由，利用二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：在中， 令，则， 点C的坐标为， 令，则， 即， 解得：或， 点A在点B的左侧， 点A的坐标为，点B的坐标为， 设线段所在直线的函数表达式为， 将点代入，得， 解得：， 线段所在直线的函数表达式为； （2）解：点P在抛物线上， 设点P的坐标为， 轴交于点N， 点N的坐标为， 点P在线段上方的抛物线上， 且， ，且， 当时，有最大值，线段长的最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质和一次函数的性质进行解题． 【变式12-1】. （24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上的动点，且满足，求出P点的坐标； (3)连接，点E是x轴一动点，点F是抛物线上一动点，若以B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F的坐标． 【答案】(1) (2)点或或或 (3)点F坐标为或或 【分析】（1）根据待定系数法直接将，两点待入求解即可； （2）根据题意先求出点C坐标，是设点，根据可得，求解即可； （3）根据平行四边形的性质分别讨论若为边，且四边形是平行四边形时，若为边，且四边形是平行四边形时，若为对角线，则四边形是平行四边形时三种情况即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵抛物线与y轴交于点C， ∴点， ， 设点， ， ， 或， ∴点或或或； （3）解：若为边，且四边形是平行四边形， ， ∴点F与点C纵坐标相等， ， ，， ∴点， 若为边，且四边形是平行四边形， 与互相平分， 中点纵坐标为0，且点C纵坐标为3， ∴点F的纵坐标为， ， ， ∴点或； 若为对角线，则四边形是平行四边形， 与互相平分， 中点纵坐标为，且点E的纵坐标为0， ∴点F的纵坐标为3， ∴点， 综上所述，点F坐标或或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求抛物线的解析式，二次函数综合，坐标与图形，二次函数图象与性质，平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质，并利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【变式12-2】. （2023·四川自贡·中考真题）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．    (1)求抛物线解析式及，两点坐标； (2)以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标； (3)该抛物线对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线解析式为，， (2)或或 (3) 【分析】（1）将点代入抛物线解析式，待定系数法求解析式，进而分别令，即可求得两点的坐标； （2）分三种情况讨论，当，为对角线时，根据中点坐标即可求解； （3）根据题意，作出图形，作交于点，为的中点，连接，则在上，根据等弧所对的圆周角相等，得出在上，进而勾股定理，根据建立方程，求得点的坐标，进而得出的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于， ∴ 解得：， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴， 当时， 解得：， ∴ （2）∵，，， 设， ∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形 当为对角线时， 解得：， ∴； 当为对角线时， 解得： ∴ 当为对角线时， 解得： ∴ 综上所述，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，或或 （3）解：如图所示，作交于点，为的中点，连接，    ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴在上， ∵，， ∴，， ∵， ∴在上， 设，则 解得：（舍去） ∴点 设直线的解析式为 ∴ 解得：. ∴直线的解析式 ∵，， ∴抛物线对称轴为直线， 当时，， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求解析式，平行四边形的性质，圆周角角定理，勾股定理，求一次函数解析式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式12-3】. （24-25九年级上·浙江金华·开学考试）已知二次函数的图象与轴的交于、两点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式及点坐标； (2)是二次函数图象上位于第三象限内的点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点．使以为顶点的四边形是平行四边形？若有，请求出点的坐标． 【答案】(1)，； (2)面积最大值为，； (3)点的坐标为或或． 【分析】（）利用待定系数法求出二次函数表达式，进而可求出点坐标； （）连接，求出直线的表达式为，过点作轴的垂线，交于点，得，可知当取最大值时，的面积最大，设，则，可得，，即得，最后利用二次函数的性质解答即可求解； （）先求出的长及二次函数的对称轴，再分为平行四边形的边和对角线两种情况，根据平行四边形的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数的几何应用，掌握二次函数的性质及运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：把，代入得， ， 解得， ∴二次函数的表达式为， 当时，， 解得，， ∴； （2）解：连接， 设直线的表达式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的表达式为， 过点作轴的垂线，交于点， 则， ∴当取最大值时，的面积最大， 设，则， ∵点位于第三象限， ∴，， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值为， 此时，点的坐标为； （3）解：∵， ∴， 由得，抛物线的对称轴为直线， ∵以为顶点的四边形是平行四边形， 当为平行四边形的边时，， 设点的横坐标为， ∵轴， ∴， 解得或， ∵点在抛物线上， ∴点的坐标为或； 当为平行四边形的对角线时， 则， 解得， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 【考点题型十三】反比例函数的图象与性质 【例13】（22-23九年级上·陕西榆林·阶段练习）已知反比例函数的图象经过平移后可以得到函数的图象，关于新函数，下列结论正确的是（    ） A．当时，随的增大而增大 B．该函数的图象与轴有交点 C．该函数图象与轴的交点为 D．当时，的取值范围是 【答案】C 【分析】由反比例函数的性质可知，反比例函数当或时，随的增大而减小，且关于对称；经过平移后得到，关于对称，增减性不变． 【详解】解：A．当时，随的增大而减小，本选项错误，不符合题意； B．该函数的图象与轴无限接近，但是没有交点，故本选项错误，不符合题意； C．该函数图象与轴的交点为，故本选项正确，符合题意； D．当时，的取值范围是，故本选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】考查了反比例函数图象上点的坐标特征，函数图象的平移；解题的关键是掌握反比例函数图象与系数的关系． 【变式13-1】. （23-24九年级上·广东广州·期末）已知点在函数的图像上． (1)若，求n的值； (2)抛物线与x轴交于两点M，N（M在N的左边），与y轴交于点G，记抛物线的顶点为E． ①m为何值时，点E到x轴的距离为； ②若，平面内是否存在点F，使得以点M、N、G、F为顶点的四边形是平行四边形，若不存在请说明理由，若存在，请直接写出点F的坐标（说明理由）． 【答案】(1)2 (2)①；②、、． 【分析】本题属于反比例函数和二次函数综合运用，主要考查了二次函数的性质、解直角三角形、平行四边形的性质等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）把代入求得n的值即可； （2）①根据二次函数的对称性可求得对称轴，然后再根据二次函数的性质求得顶点坐标，再根据点E到x轴的距离为列方程求得m的值，最后根据反比函数图像所在的象限，确定符合题意的m值；②先根据题意求得、，然后分为平行四边形的对角线和边两种情况，分别根据平行四边形的性质解答即可． 即可求解； 【详解】（1）解：∵点在函数的图像上， ∴， 把代入可得． 故n的值为2． （2）解：①∵， ∴该函数图像开口方向向上，对称轴为：， 当时，抛物线有最小值：， ∴抛物线的顶点坐标， ∵点E到x轴的距离为， ∴，即， ∵ ∴，解得：， ∵， ∴函数图像在第二象限，即：， ∴； ②∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ a.如图：当为平行四边形的对角线时，设， 则有：，即，解得：， ∴； b.如图：当为平行四边形的一边时，设， 由图可知：分别为点G向左或右平移所得到的， ∴． 综上，点F的坐标为、、． 【变式13-2】. （2024·河北唐山·三模）已知反比例函数． （1）若点在反比例函数的图象上，则的值为 ； （2）若反比例函数与一次函数的图象交于点，且，请写出一个满足条件的值为 ． 【答案】 0（答案不唯一） 【分析】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数和一次函数的图象和性质， （1）将代入求解即可； （2）首先判断出一次函数经过第二，四象限，然后根据题意得到，进而求解即可． 【详解】（1）将代入 得，， 解得， 故答案为：； （2）∵一次函数中 ∴一次函数经过第二，四象限 ∵反比例函数与一次函数的图象交于点，且， ∴反比例函数图象在第二，四象限 ∴ ∴ ∴满足条件的值可以为0（答案不唯一）， 故答案为：0（答案不唯一）． 【变式13-3】. （2024·贵州·中考真题）已知点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)点，，都在反比例函数的图象上，比较a，b，c的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，以及函数图象上点的坐标特点，待定系数法求反比例函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式． （1）把点代入可得k的值，进而可得函数的解析式； （2）根据反比例函数表达式可得函数图象位于第一、三象限，再根据点A、点B和点C的横坐标即可比较大小． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵， ∴函数图象位于第一、三象限， ∵点，，都在反比例函数的图象上，， ∴， ∴． 【考点题型十四】“k”的几何意义 【例14】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，点A是函数 （）图象上的点，过点A与y轴垂直的直线交y轴于点B，点C、D在x轴上，且．若四边形的面积为3，则k值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，平行四边形的判定与性质，明确四边形的面积是解题的关键． 根据已知条件得到四边形是平行四边形，于是得到四边形的面积 得到四边形的面积，即可得到结论． 【详解】解：过点作轴于点，如图： 轴， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴， 四边形的面积， ∴四边形的面积 故答案为：． 【变式14-1】. （2024·湖南娄底·模拟预测）如图，点C、E在坐标轴上，矩形分别交某反比例函数于点F、G，，，的面积为9，则该反比例函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，矩形的性质，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． 由反比例函数k的几何意义得到的面积=的面积=，根据的面积=矩形的面积-的面积-的面积-的面积可求出k，即可求出答案． 【详解】解：设反比例函数解析式为， ∵矩形分别交某反比例函数于点F、G，，， ∴,的面积=的面积=， ∵的面积=矩形的面积-的面积-的面积-的面积=9，矩形的面积， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴反比例函数解析式为． 故答案为：． 【变式14-2】. （2024·浙江宁波·模拟预测）如图，的顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴的正半轴上，，过原点作的平行线，交反比例函数的图象于点，连结交轴于点，连结．若，则的值为 ，四边形的面积为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，关键是掌握反比例函数的性质和待定系数法求函数解析式． 设点坐标为，，然后根据已知条件求出点坐标，用待定那个系数法求直线的解析式，再根据求出直线解析式，然后解方程组求出点坐标，求出点坐标，然后把，，坐标代入直线解析式，从而求出的值，再根据面积公式求面积． 【详解】解：设点坐标为，， ，点在轴上， ， 设的表达式为， 代入，得， 解得， 的表达式为， ， 的表达式为， 联立方程组， 解得， ，， ， 点，， 设直线的表达式为，代入，得：， 把点坐标代入得：， ， 解得， 点所在反比例函数解析式为， 则． 故答案为：，． 【变式14-3】. （21-22九年级上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，，两点在函数的图象上，其中，轴于点，轴于点，且． (1)若，则的长为________，的面积为________； (2)若点的横坐标为，且，当时，求的值． 【答案】(1)；1 (2) 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义以及两点间的距离公式， （1）由和的值可得出点A的坐标，利用勾股定理即可求出的长度，由点B在反比例函数图像上，利用反比例函数系数k的几何意义即可得出的面积； （2）根据反比例函数图像上点的坐标特征可找出点A、B的坐标，利用两点间的距离公式即可求出、的长度，由即可得出关于的方程，解之即可求出值，再根据即可确定值． 【详解】（1）解：∵，， ∴点， ∴， ． ∵点B在反比例函数的图像上， ∴． 故答案为；1． （2）解：∵A，B两点在函数的图像上， ∴，， ∴，． ∵， ∴， 解得：或． ∵， ∴． 【考点题型十五】反比例函数与一次函数的综合 【例15】（2024·河北·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，若将一次函数的图象向上平移个单位长度，与反比例函数图象的一个交点为M，已知点M的纵坐标为． （1）k的值为 ． （2）连接，，则的面积为 ． （3）当时，x的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查的反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数图象上点的坐标特征、函数与不等式的关系． （1）先求出平移后的一次函数解析式，然后把M的纵坐标代入，求出M的坐标，最后由待定系数法即可求解； （2）联立方程组，求出A、B的坐标，由，即可求解； （3）观察函数图象即可求解． 【详解】解：（1）一次函数的图象向上平移个单位长度，新函数解析式为， 将代入，解得， ∴， 把代入，得， 解得， 故答案为：； （2）由（1）知， 设直线与y轴相交于点C， 当时，， ∴， ∴， 联立方程组，解得或， ∴，， ∴ ， 故答案为：8； （3）由图象知，当时，x的取值范围是或， 故答案为：或． 【变式15-1】. （20-21九年级上·山东枣庄·自主招生）如图，在平面直角坐标中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，正方形的顶点C、D在第一象限，顶点D在反比例函数的图象上，若正方形向左平移n个单位后，顶点C恰好落在该反比例函数的图象上，则n的值是（    ） A．1 B．3 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的图象及性质，正方形的性质；熟练掌握反比例函数解析式的求法，灵活运用正方形的性质是解题的关键．过点作轴过点作轴，可证，，则可求，，确定函数解析式，向左移动个单位后为，进而求的值； 【详解】解：在正方形中，， 过点作轴，过点作轴， ，， ， ，， ， ，， 当时，， 令，解得， ∴，， ， 顶点在反比例函数上， ， ， 同理可证：， ，， ， 向左移动个单位后为， ， ， 故选：A． 【变式15-2】. （2023·广东潮州·二模）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A、B，点A、B的横坐标分别为1，，一次函数图象与y轴的交于点C，与x轴交于点D． (1)求一次函数的解析式； (2)对于反比例函数，当时，写出x的取值范围； (3)点P是第三象限内反比例图象上的一点，若点P满足S△BDP＝S△ODA，请求出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查二次函数性质，一次函数性质，图形的面积等，解题的关键在于利用反比例函数得出交点坐标，从而求出一次函数解析式，以及懂得观察图象，获取图象信息，从而得到自变量的取值范围，以及利用割补法求面积． （1）利用反比例函数求出交点A、点B的坐标分别为，，再利用待定系数法即可求出一次函数的解析式． （2）当时，即为B点右侧图象，观察图象，从而得出此段图象对应的自变量的取值范围为． （3）先求出的面积为1，从而确定的面积为，再通过点P的不同的位置，设点P的坐标为，根据图形面积列出方程，即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A、B，点A、B的横坐标分别为1，﹣2； ∴A，B； 把A、B的坐标代入得； 解得； ∴一次函数的解析式为． （2）∵； 由图象可知，当时，． （3）∵一次函数为； ∴D； ∵A， ∴； ∴， 设点P的坐标为： ，； ∴，； 当P在直线下方时，如图1，则； ； 解得； ∴点P． 当P在直线AB的上方时，如图2，则； ； 解得； ∴点P； 综上可得：点P的坐标为： 或 ． 【变式15-3】. （22-23九年级下·山东聊城·开学考试）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，，延长交反比例函数图象于点C． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)当时，自变量x的取值范围； (3)点P是x轴上一点，当时，请求出点P的坐标． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数为； (2)或； (3)或． 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题、利用待定系数法求函数解析式；熟练的利用数形结合的方法解题是关键； （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据图象求解即可； （3）首先得到，然后求出，然后得到，进而求解即可． 【详解】（1）将代入得， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 把代入得，， ∴， 将，代入得， 解得， ∴一次函数为； （2）由图象可知，当时， 自变量x的取值范围为：或； （3）设一次函数与x轴的交点为D 由题意可知， ∴， 把代入得，， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴或． 【考点题型十六】反比例函数与几何图形的综合 【例16】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，，在反比例函数的图象上，点，在反比例函数的图象上，轴，，在轴的两侧，，，与的距离为，则的值是（  ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，两点的坐标分别为 、 ，根据点与点的纵坐标相同，点与点的纵坐标相同，得到 ，，由，，得到，根据与的距离为5，把代入中，即可求解， 本题考查了反比例函数的几何意义，解题的关键是：根据题意列出等量关系式． 【详解】解：设，两点的坐标分别为 、 ， ∵轴 ∴点与点的纵坐标相同，即 ，解得 ，   点与点的纵坐标相同，即，解得， ∵，， ∴ ， 解得 ， ∵与的距离为5， ∴ ， 把代入中，得， 故选：D． 【变式16-1】. （21-22九年级上·北京·开学考试）如图，点A、B是函数与的图象的两个交点，作轴于C，作轴于D，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的几何意义和三角形的面积公式 根据函数的解析式得到各线段的长度，将四边形分为四个小三角形即可求出面积 【详解】解：根据反比例函数的对称性可知，， ∴的面积都等于， ∴四边形的面积为， 故选：D. 【变式16-2】. （24-25九年级上·湖南衡阳·开学考试）如图，在平行四边形中，点、、的坐标分别是、、，双曲线（，）过点． (1)写出点坐标； (2)求双曲线的解析式； (3)作直线交轴于点，连接，求的面积． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】（1）如图，连接交于，设，由平行四边形，、、的坐标分别是、、，可得，计算求解，进而可得点坐标； （2）将代入，可求，进而可得双曲线的解析式； （3）由，，可得轴，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接交于， 设， ∵平行四边形，、、的坐标分别是、、， ∴， 解得，， ∴； （2）解：将代入得，， 解得：， ∴双曲线的解析式为； （3）解：∵，， ∴轴， ∴， ∴的面积为3． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，平行四边形的性质，反比例函数解析式，坐标与图形等知识．熟练掌握反比例函数与几何综合，平行四边形的性质，反比例函数解析式，坐标与图形是解题的关键． 【变式16-3】. （23-24九年级下·山东日照·开学考试）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，在直线上取点，过点作反比例函数的图象．    (1)求反比例函数的表达式； (2)点为反比例函数图象上的一点，若，求点的坐标； (3)在轴是否存在点，使得，若存在请求出点的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，等角对等边和勾股定理等知识． （1）先把点A坐标代入一次函数解析式求出a的值，即求出点A坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式即可； （2）设，根据列方程求解； （3）分点Q在x轴的负半轴上和点Q在x轴的正半轴上两种情况求解即可． 【详解】（1）把代入中得：， ∴， 把代入中得：，解得， ∴反比例函数解析式为； （2）设， 把代入得， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）当点Q在x轴的负半轴上时，如图，设交y轴于D，，    ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴； 当点Q在x轴的正半轴上时，如图，作    ∴ ∴． 综上可知，点的坐标或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 二次函数与反比例函数 （16个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】二次函数 1、二次函数的定义： 一般地，形如（是常数，且）的函数叫做的二次函数，其中是自变量. 2、二次函数的三要素： （1）自变量的最高次数必须是2； （2）等号右边的是关于自变量的整式； （3）二次项系数不等于0. 【清单02】根据实际问题列二次函数表达式 在实际问题中，列二次函数表达式的一般步骤： 1、 审清题意： 找出问题中的已知量(常量)和未知量(变量)，把问题中的文字或图形语言转化成数学语言； 2、 找相等关系： 分析常量和变量之间的关系，列出等式； 3、 列二次函数表达式： 设出表示变量的字母，把相等关系用含字母的式子表示，并把它整理成二次函数的一般形式； 4、 确定自变量的取值范围： 根据自变量所表示的实际意义确定其取值范围. 【清单03】二次函数的图象与性质 函数 （是常数，） 的符号 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 顶点坐标 增减性 当时，随的增大而减小 当时，随的增大而增大 当时，随的增大而减小 当时，随的增大而增大 最值 当时， 当时， 【清单04】二次函数的图象特征与的符号关系 二次函数的中，的符号决定抛物线的开口方向，的否好决定抛物线对称轴的大致位置，的否好决定抛物线与轴交点的大致位置，具体如下表： 字母（或式子） 符号 特征 开口向上 开口向下 对称轴为轴 对称轴在轴左侧 对称轴在轴右左侧 图象过原点 图象与轴正半轴相交 图象与轴负半轴相交 【注意】对于二次函数： （1）当时， ，此时： 若，则； 若，则； 若，则. （2）当时， ，此时： 若，则； 若，则； 若，则. 【清单05】用待定系数法求二次函数的表达式 方法名称 函数表达式 适用情形 一般步骤 待定系数法 一般式： 已知二次函数图象上任意三个点的坐标或的三组对应值 顶点式： 已知抛物线的定点坐标或对称轴和最值 交点式： 其中，是抛物线与轴交点的横坐标 已知二次函数的图象与轴的两个交点的坐标 【清单06】二次函数与一元二次方程之间的关系 1、二次函数图象与轴的交点横坐标与一元二次方程根的关系： 一般地，从二次函数的图象可知：如果抛物线与x轴由交点，交点的横坐标是，那么当时，函数值是0，因此是方程的一个根. 2、二次函数与一元二次方程的联系与区别： 一元二次方程的根的情况 有两个不等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 二次函数的图象 抛物线与轴的交点 （），（） （） 没有交点 【清单07】二次函数的图象与一元二次方程的近似解的关系 二次函数的图象与轴的公共点的横坐标是一元二次方程的解，因此可以借助二次函数的图象求一元二次方程的解. 1、利用二次函数的图象与轴的公共点求一元二次方程的解 （1）作出二次函数的图象，确定图象与轴公共点的个数，也就是方程的解的个数. （2）观察图象，函数图象与轴的交点的横坐标就是一元二次方程的解，当函数图象与轴有两个交点，且交点的横坐标不是整数时，可通过不断缩小解所在的范围估计一元二次方程的解； （3）交点横坐标即为一元二次方程的解. 2、利用二次函数的图象与直线的公共点求方程的解 （1）将方程化为的形式； （2）在平面直角坐标系中画出抛物线和直线，并确定抛物线与直线的公共点的坐标； （3）公共点的横坐标即为一元二次方程的解. 【清单08】二次函数与一元二次不等式的关系 求不等式的解集，就是求为何值时，二次函数的函数值；求不等式的解集，就是求为何值时，二次函数的函数值，列表如下：（因为例） 的符号 的图象与轴的交点个数 的根 两个等实数根 两个相等实数根 没有实数根 一元二次不等式的解集 或 全体实数 无解 无解 【清单09】用二次函数解决实际问题 1、一般步骤： （1）审：仔细审题，厘清题意； （2）设：找出问题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； （3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，把实际问题转化成数学问题，根据题中的数量关系列出二次函数的表达式； （4）解：依据已知条件，借助二次函数的表达式、图象和性质等求解实际问题； （5）检：检验结果，得出符合实际意义的结论. 【清单10】反比例函数的定义 1、定义： 一般地，表达式形如（为常数，且）的函数叫做反比例函数，其中是自变量，是的函数.自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 2、反比例函数的三种表达形式： （1）； （2）； （3）（为常数，且） 【注意】反比例函数的表达式中，无论x，y怎样变化，k的值始终等于x与y的乘积，因此人们习惯上称k为比例系数. 【清单11】反比例函数图象与性质 1、 图象的特点： （1）反比例函数 (k为常数，且k≠0)的图象是双曲线； （2）反比例函数图象的两支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限； （3）双曲线的两支都无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交； （4）双曲线既是中心对称图形(对称中心是原点)，又是轴对称图形(对称轴是直线y=x 和直线y=-x).如图： 2、反比例函数的性质： 反比例函数 （） K的符号 图象 图像位置 第一、三象限 第二、四象限 增减性 在每一个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 【清单12】求反比例函数的表达式 1、确定反比例函数表达式的方法 由于在反比例函数 ( k≠0)中只有一个待定系数，因此只需要一对x，y的对应值或图象上一个点的坐标，用待定系数法即可求出k的值，从而确定其表达式. 2、用待定系数法求反比例函数表达式的一般步骤 【注意】 （1） 用待定系数法求反比例函数的表达式的实质是代入一对对对应值，解一元一次方程. （2） 当题目中已经明确“y是x的反比例关系”时，可直接设函数的表达式为 ( k≠0). 【清单13】反比例函数中k的几何性质 1、矩形面积 如图，过双曲线上任意一点p（x，y）分别作x轴、y轴的垂线PM，PN，所得的矩形PMON的面积S=PMS=PM•PN=，即过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线所得的矩形的面积为. 2、三角形的面积 如图，过双曲线上的任意一点E作EF垂直于y轴，垂足为F，连接EO，则，即过双曲线上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点与原点，所得的三角形的面积为. 【考点题型一】二次函数 【例1】（23-24九年级上·北京·期中）如图，是等腰直角三角形，，，点为边上一点，过点作，，垂足分别为，，点从点出发沿运动至点．设，，四边形的面积为，在运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．y与x满足一次函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最大值 B．y与x满足一次函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最小值 C．y与x满足反比例函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最大值 D．y与x满足反比例函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最小值 【变式1-1】. （23-24九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，利用一面墙（墙的长度为），用长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道宽的门，设的长为． (1)若两个鸡场的面积和为，求关于的关系式； (2)两个鸡场面积和可以等于（）吗？如果可以，求出此时的值． 【变式1-2】. （21-22八年级下·浙江宁波·期末）荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为18元/千克的荔枝，以28元/千克售出时，每天能售出40千克．市场调研表明：当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克．设降价x元． (1)降价后平均每天可以销售荔枝 千克（用含x的代数式表示）． (2)设销售利润为y，请写出y关于x的函数关系式． (3)该水果店想要使荔枝的销售利润平均每天达到480元，且尽可能地减少库存压力，应将价格定为多少元/千克？ 【变式1-3】. （22-23九年级下·吉林长春·开学考试）如图，中，，，，点从点出发，沿边以每秒个单位的速度向终点运动，过点作，交边（或边）于点，设点运动的时间为秒．    (1)用含的代数式表示线段的长为______． (2)当点与点重合时，求的值． (3)若的面积为，求与之间的函数关系式． (4)当线段把分成的两部分图形面积之比为：时，直接写出的值． 【考点题型二】二次函数的图象和性质 【例2】（22-23九年级·山东泰安·自主招生）如图，平行于x轴的直线分别交抛物线与于B、C两点，过点C作y轴的平行线交于点D，直线，交于点E，则（   ） 如图， A． B． C． D．3 【变式2-1】. （24-25九年级上·云南昆明·开学考试）已知二次函数图象上有两个不同点，，则 ． 【变式2-2】. （2024·广东佛山·二模）如图，菱形的边长为，点在轴的负半轴上，抛物线过点．若，则 ． 【考点题型三】二次函数的图象和性质 【例3】（23-24九年级上·山东临沂·期末）如图，抛物线经过正方形的三个顶点，，，点在轴上，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【变式3-1】. （24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）抛物线的图象交y轴于点A，点A关于x轴的对称点为点B． （1）点B坐标为 ； （2）点，，且线段与抛物线恰有一个公共点，则m的取值范是 ． 【变式3-2】. （2023九年级下·安徽·专题练习）已知，是抛物线上的两点，点的横坐标为，点的横坐标为，为线段AB的中点，轴，交抛物线于点． （1）抛物线的顶点坐标是 ； （2）线段的长为 ． 【变式3-3】. （22-23九年级上·湖北恩施·阶段练习）已知抛物线过点，． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)若在抛物线上，求点A的坐标； (3)在y轴上有点P，且是等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 【考点题型四】二次函数的图象和性质 【例4】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）设函数，，直线与函数，的图象分别交于点，得（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式4-1】. （2024九年级下·江苏·专题练习）已知二次函数（h是常数），且自变量取值范围是． （1）当时，函数的最大值是 ； （2）若函数的最大值为，则h的值是 ． 【变式4-2】. （22-23九年级上·河南南阳·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求点、的坐标； (2)求抛物线的对称轴； (3)在对称轴上是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式4-3】. （21-22九年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，过点、两点的抛物线的顶点C在x轴正半轴上． (1)求抛物线的解析式； (2)求点C的坐标； (3)为线段AB上一点，，作轴交抛物线于点M，求PM的最大值与最小值． 【考点题型五】二次函数的图象和性质 【例5】（2024·广东广州·一模）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（    ）． A．或4 B．或 C．或4 D．或4 【变式5-1】. （23-24九年级上·天津和平·期末）关于二次函数的图象，下列说法中错误的是（    ） A．抛物线开口向下 B．抛物线的顶点坐标是 C．抛物线与轴有两个交点分别是和 D．当和是抛物线上的点，则当时，则 【变式5-2】. （2024·吉林长春·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线（a、h为常数）与直线（m为常数）相交于A、B两点，若抛物线上有且只有一点C到x轴的距离与A、B两点到x轴的距离相等，且的面积为4，则a的值为 ． 【变式5-3】. （24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知二次函数． (1)求证：不论n取何值时，抛物线的顶点始终在一条直线上． (2)若点，都在二次函数图象上，求证：． 【考点题型六】二次函数的图象和性质 【例6】（24-25九年级上·全国·课后作业）已知点为抛物线上两点（点在点的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点为抛物线上点之间（含点）的一个动点，则点的纵坐标的最大值是 ． 【变式6-1】. （2024·安徽合肥·三模）平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点． （1）点的坐标为 ； （2）已知点，．若线段与抛物线只有一个公共点，的取值范围为 ． 【变式6-2】. （2024·浙江宁波·模拟预测）已知二次函数的图象经过原点和点，其中． (1)当时． ①求关于的函数解析式，求出当为何值时，有最大值？最大值为多少？ ②当和时，函数值相等，求的值． (2)当时，在范围内，有最大值，求相应的和的值． 【变式6-3】. （2024·山西朔州·模拟预测）综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，D为第一象限内的点，四边形为平行四边形，P是线段上的动点，过点P作轴，垂足为F，直线与抛物线相交于点E，设点P的横坐标为m． (1)求A，B，D三点的坐标． (2)若，求m的值 (3)如图2，连接，当时，请直接写出的长． 【考点题型七】二次函数表达式的确定 【例7】（22-23九年级·山东泰安·自主招生）已知二次函数的对称轴为直线，且二次函数有最小值；又知二次函数的图象与轴有两个交点，它们之间的距离为6．求二次函数的解析式． 【变式7-1】. （21-22九年级上·全国·单元测试）如图，二次函数的图象经过A、B、C三点，点A的坐标为，点B的坐标为，点C在y轴正半轴上，且． (1)求点C的坐标； (2)求二次函数的解析式，并求出函数的最大值． 【变式7-2】. （23-24九年级上·吉林·期中）如图，已知抛物线经过点和点，与轴相交于点． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点是直线下方的抛物线上一动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交直线于点．设点的横坐标为，用含有的代数式表示线段的长． 【变式7-3】. （2024·陕西渭南·一模）如图，抛物线经过点和，与两坐标轴的交点分别为，，，它的对称轴为直线． (1)求该抛物线的表达式； (2)点在对称轴上，点在抛物线上，过点作对称轴的垂线，垂足为，若使以、、为顶点的三角形与全等，求点的坐标． 【考点题型八】二次函数与一元二次方程 【例8】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，二次函数图象与x轴交于A、B两点，顶点为C，其中点A、C坐标如图所示，则是一元二次方程的根是（    ） A．2 B．1 C． D． 【变式8-1】. （2024·江西九江·模拟预测）已知抛物线与轴交于两点，则方程的解为 ． 【变式8-2】. （23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）已知二次函数（是常数）． (1)求证：不论为何值，该函数的图象与轴没有公共点； (2)把该函数的图象沿轴向下平移多少个单位长度后，顶点在轴上？ 【变式3-3】. （2024·浙江杭州·模拟预测）在二次函数中， (1)若该二次函数图象经过，求该二次函数的解析式和顶点坐标； (2)求证：不论取何值，该二次函数图象与轴总有两个公共点； (3)若时，点，，都在这个二次函数图象上且，求的取值范围． 【考点题型九】二次函数与一元二次不等式 【例9】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知抛物线在的范围内能使恒成立，则m的取值范围为 ． 【变式9-1】. （23-24九年级上·山东德州·开学考试）如图，抛物线的对称轴为直线，点为其与x轴的一个交点，则 （1）抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为 ； （2）当 时，； （3）当 时，； （4）当 时，． 【变式9-2】. （24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）已知二次函数的图象经过点，． (1)求二次函数的解析式，并写出抛物线的对称轴及顶点坐标； (2)当时，求y的取值范围． 【变式9-3】. （24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，已知抛物线与轴交于点两点，过点作轴的平行线交抛物线于两点． (1)求的长； (2)结合图像，直接写出当时，的取值范围是 ． 【考点题型十】二次函数的应用——几何图形 【例10】（23-24九年级上·全国·单元测试）某小区业主委员会决定把一块长，宽的矩形空地建成健身广场，设计方案如图所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区为全等的矩形），空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，其宽度不小于，且不大于，设每块绿化区的较长边为，活动区的面积为． (1)写出y与x之间的函数关系式及x的取值范围； (2)求活动区的面积y的最大值； (3)预计活动区造价为50元，绿化区造价为40元，如果业主委员会计划投资不超过72000元来建造，则当x为整数时，共有几种建造方案？ 【变式10-1】. （24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）小明的爸爸投资1200元围一个矩形菜园（如图），其中一边靠墙（墙长24m），另外三边选用不同材料建造．平行于墙的边的费用为20元/m，垂直于墙的边的费用为15元/m，设平行于墙的边长为xm． (1)设垂直于墙的一边长为ym，求y与x之间的函数关系式； (2)设菜园的面积为，求S与x的函数关系式，并求出当时x的值； (3)请问菜园的最大面积能达到吗？如能，求出x的值；如不能，说明理由． 【变式10-2】. （2024九年级上·全国·专题练习）在中，，，D为上一个动点（不与B、C重合），在上取E点，使． (1)求证：； (2)设，，求关于的函数关系式及自变量取值范围，并求当为何值时，取最小值，最小值为多少？ 【变式10-3】. （2024·广西桂林·一模）如图，正方形的边长是4，M是的中点，动点在线段上运动，连接并延长交射线于点，过点作的垂线交射线于点，连接，． (1)求证：是等腰三角形． (2)设，的面积为，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (3)在点运动过程中，是否可能成为等边三角形？请说明理由． 【考点题型十一】二次函数的应用——运动抛物线 【例11】（2024·河南开封·一模）开封黑岗口引黄调蓄水库上的东京大桥，又名“彩虹桥”．夜晚在桥上彩灯的映衬下好似彩虹般绚丽．主景观由三个抛物线型钢拱组成（如图①所示），其中最高的钢拱近似看成二次函数的图象抛物线，钢拱最高处 C 点与路面的距离为50米，若以点 O 为原点，所在的直线为y 轴，建立如图②所示的平面直角坐标 系，抛物线与x 轴相交于A、B 两点，且两点间的距离为80米． (1)求这条抛物线的解析式； (2)钢拱最高处C 点与水面的距离为72米，请求出此时这条钢拱之间水面的宽度； (3)当时，求y的取值范围． 【变式11-1】. （2024·广东深圳·模拟预测）如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带的距离为米． (1)求上边缘抛物线喷出水的最大射程； (2)求下边缘抛物线与轴交点的坐标； (3)若米，灌溉车行驶时喷出的水______（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带，并说明理由． 【变式11-2】. （23-24九年级上·安徽·单元测试）如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，篮球运行的水平距离为2.5米时达到最大高度，在如图所示的直角坐标系中，抛物线的表达式为，沿此​抛物线篮球可准确落入篮圈． (1)求篮圈中心到地面的距离为多少米． (2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？ (3)篮球被投出后，对方一名近身防守运动员跳起盖帽，这名防守运动员最大能摸高3.05m，若他想盖帽成功，则两名运动员之间的距离不能超过多少米？（直接写出答案） 【变式11-3】. （22-23九年级下·青海西宁·开学考试）如图所示，一拱桥的截面呈抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是，拱桥的跨度为，拱桥与水面的最大距离是，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面景观灯． (1)求抛物线的解析式； (2)求两盏景观灯之间的水平距离． 【考点题型十二】二次函数的综合运用 【例12】（2024·山西·二模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接． (1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出线段所在直线的函数表达式； (2)点P是线段上方抛物线上的一个动点，过点P作轴于点M，交于点N求线段长的最大值． 【变式12-1】. （24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上的动点，且满足，求出P点的坐标； (3)连接，点E是x轴一动点，点F是抛物线上一动点，若以B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F的坐标． 【变式12-2】. （2023·四川自贡·中考真题）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．    (1)求抛物线解析式及，两点坐标； (2)以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标； (3)该抛物线对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式12-3】. （24-25九年级上·浙江金华·开学考试）已知二次函数的图象与轴的交于、两点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式及点坐标； (2)是二次函数图象上位于第三象限内的点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点．使以为顶点的四边形是平行四边形？若有，请求出点的坐标． 【考点题型十三】反比例函数的图象与性质 【例13】（22-23九年级上·陕西榆林·阶段练习）已知反比例函数的图象经过平移后可以得到函数的图象，关于新函数，下列结论正确的是（    ） A．当时，随的增大而增大 B．该函数的图象与轴有交点 C．该函数图象与轴的交点为 D．当时，的取值范围是 【变式13-1】. （23-24九年级上·广东广州·期末）已知点在函数的图像上． (1)若，求n的值； (2)抛物线与x轴交于两点M，N（M在N的左边），与y轴交于点G，记抛物线的顶点为E． ①m为何值时，点E到x轴的距离为； ②若，平面内是否存在点F，使得以点M、N、G、F为顶点的四边形是平行四边形，若不存在请说明理由，若存在，请直接写出点F的坐标（说明理由）． 【变式13-2】. （2024·河北唐山·三模）已知反比例函数． （1）若点在反比例函数的图象上，则的值为 ； （2）若反比例函数与一次函数的图象交于点，且，请写出一个满足条件的值为 ． 【变式13-3】. （2024·贵州·中考真题）已知点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)点，，都在反比例函数的图象上，比较a，b，c的大小，并说明理由． 【考点题型十四】“k”的几何意义 【例14】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，点A是函数 （）图象上的点，过点A与y轴垂直的直线交y轴于点B，点C、D在x轴上，且．若四边形的面积为3，则k值为 ． 【变式14-1】. （2024·湖南娄底·模拟预测）如图，点C、E在坐标轴上，矩形分别交某反比例函数于点F、G，，，的面积为9，则该反比例函数解析式为 ． 【变式14-2】. （2024·浙江宁波·模拟预测）如图，的顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴的正半轴上，，过原点作的平行线，交反比例函数的图象于点，连结交轴于点，连结．若，则的值为 ，四边形的面积为 ． 【变式14-3】. （21-22九年级上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，，两点在函数的图象上，其中，轴于点，轴于点，且． (1)若，则的长为________，的面积为________； (2)若点的横坐标为，且，当时，求的值． 【考点题型十五】反比例函数与一次函数的综合 【例15】（2024·河北·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，若将一次函数的图象向上平移个单位长度，与反比例函数图象的一个交点为M，已知点M的纵坐标为． （1）k的值为 ． （2）连接，，则的面积为 ． （3）当时，x的取值范围是 ． 【变式15-1】. （20-21九年级上·山东枣庄·自主招生）如图，在平面直角坐标中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，正方形的顶点C、D在第一象限，顶点D在反比例函数的图象上，若正方形向左平移n个单位后，顶点C恰好落在该反比例函数的图象上，则n的值是（    ） A．1 B．3 C．5 D．6 【变式15-2】. （2023·广东潮州·二模）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A、B，点A、B的横坐标分别为1，，一次函数图象与y轴的交于点C，与x轴交于点D． (1)求一次函数的解析式； (2)对于反比例函数，当时，写出x的取值范围； (3)点P是第三象限内反比例图象上的一点，若点P满足S△BDP＝S△ODA，请求出点P的坐标． 【变式15-3】. （22-23九年级下·山东聊城·开学考试）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，，延长交反比例函数图象于点C． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)当时，自变量x的取值范围； (3)点P是x轴上一点，当时，请求出点P的坐标． 【考点题型十六】反比例函数与几何图形的综合 【例16】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，，在反比例函数的图象上，点，在反比例函数的图象上，轴，，在轴的两侧，，，与的距离为，则的值是（  ）    A． B． C． D． 【变式16-1】. （21-22九年级上·北京·开学考试）如图，点A、B是函数与的图象的两个交点，作轴于C，作轴于D，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 【变式16-2】. （24-25九年级上·湖南衡阳·开学考试）如图，在平行四边形中，点、、的坐标分别是、、，双曲线（，）过点． (1)写出点坐标； (2)求双曲线的解析式； (3)作直线交轴于点，连接，求的面积． 【变式16-3】. （23-24九年级下·山东日照·开学考试）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，在直线上取点，过点作反比例函数的图象．    (1)求反比例函数的表达式； (2)点为反比例函数图象上的一点，若，求点的坐标； (3)在轴是否存在点，使得，若存在请求出点的坐标，若不存在请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$