专题01 平面直角坐标系（考点清单+10个考点清单&题型解读）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（沪科版）

清单01 平面直角坐标系 （7个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】平面直角坐标系 （1）定义： 由两条共原点且互相垂直的数轴构成平面直角坐标系. （2）相关概念：水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；垂直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向. 【清单02】点的坐标 1、点的坐标定义：若平面直角坐标系中有一点，过点作横坐标的垂线，垂足在横轴上表示的数为，过点作纵轴的垂线，垂足在纵轴上表示的数为，则有序实数对叫做点的坐标，其中叫做横坐标，叫做纵坐标. 2、平面直角坐标系内的点与有序实数对的一一对应关系： （1）坐标平面内的任意一点，都有唯一的一个有序实数对（点的坐标）与它对应； （2）任意一个有序实数对（点的坐标）在坐标平面内都有唯一的一个点和它对应. 【清单03】平面直角坐标系中各区域的点的坐标 1、象限的划分：如图11.1—2，建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成I，II，III，IV四个部分，每个部分称为象限，分别叫第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，坐标轴上的点不属于任何一个象限. 图11.1—2 【注意】1、象限的划分是从“右上”开始的，按“逆时针”方向依次排列为第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，各象限的名称是一种规定，不能随意更改； 2、坐标原点既在轴上，又在轴上，它是两条坐标轴唯一的公共点． 2、平面直角坐标系中个区域的点的坐标特征． 点所处的位置 坐标特征 象限内的点 点在第一象限 点在第二象限 点在第三象限 点在第四象限 坐标轴上的点 点在轴上 在轴正半轴上： 在轴负半轴上： 点在轴上 在轴正半轴上： 在轴负半轴上： 【清单04】特殊位置的点的坐标特征 1、两坐标轴夹角平分线上的点的坐标特征： （1）第一、三象限的角平分线上的点的横、纵坐标相等； （2）第二、四象限的角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数． 2、平行于轴、轴的直线上的点的坐标特征： 图11.1—3 如图11.1—3所示，直线 // 轴，直线直线 // 轴，因为由上的任意一点向轴作垂线，垂足都是同一个点（不与原点重合），所以上的所有点的纵坐标都相等且不为0；因为由上的任意一点向轴作垂线，垂足都是同一个点（不与原点重合），所以上的所有点的横坐标都相等且不为0. 3、若两个点的横坐标相等，则这两个点之间的距离为纵坐标差的绝对值； 若两个点的纵坐标相等，则这两个点之间的距离为横坐标差的绝对值. 【清单05】用坐标表示点的平移 点在坐标系中的平移：在平面直角坐标系中，某个点经过平移后，其位置发生了变化，其坐标也发生 了变化. 点的平移与坐标变化的关系：根据点的平移情况可以得到平移后点的坐标变化情况；反过来，根据点 的坐标变化情况可以得到点的平移情况，即: 【清单06】用点的坐标表示图形的平移 1、图形在坐标平面中的平移：是指在坐标系中，在保持坐标轴不动的情况下，图形的整体移动. 【注意】 图形在坐标平面中平移变换的实质： （1）、图形的位置及表示位置的坐标发生变化； （2）、图形的性质、大小、方向不变. 2、图形的平移与图形上各点的坐标变化的关系： （1）因为图形的平移是图形的整体平移，所以已知图形的平移情况，即可得到图形上个点坐标的变化情况； （2）平移时，因为图形上各点的变化情况相同，所以已知图形上某点的坐标变化情况，即可知道图形的平移情况. 【考点题型一】平面直角坐标系中点的坐标特征 【例1】（23-24七年级下·全国·期末）若y轴上的点A到x轴的距离为3，则点A的坐标为（　　） A． B．或 C． D．或 【变式1-1】. （23-24七年级下·山西大同·期中）在平面直角坐标系中，点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1-2】. （23-24七年级下·全国·期中）已知点位于第四象限，则点位于（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1-3】. （23-24七年级上·四川南充·期中）若点在x轴上，则点，在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考点题型二】判断点的位置 【例2】（24-25八年级上·山东德州·开学考试）已知和互为相反数，求点所在的象限． 【变式2-1】. （22-23七年级下·陕西渭南·期末）已知，点为平面直角坐标系内一点． (1)若点P在y轴上，则m的值为______； (2)若点P的纵坐标比横坐标大6，则点P在第几象限？ 【变式2-2】. （23-24七年级下·甘肃庆阳·期中）若点在x轴上，求点 所在的象限． 【变式2-3】. （23-24七年级下·贵州黔东南·阶段练习）请给下图建立平面直角坐标系，使文化馆的坐标为，超市的坐标为． (1)画出坐标轴，并写出火车站、体育场、医院的坐标； (2)在（1）的坐标系中，标出小明家，小刚家，学校的位置． 【考点题型三】利用点的坐标特征求字母的值 【例3】（23-24七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）已知点，解答下列各题． (1)点在轴上，求出点的坐标； (2)点的坐标为，直线轴；求出点的坐标； (3)若点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求的值． 【变式3-1】. （22-23八年级上·全国·单元测试）已知点，试分别根据下列条件，求出点的坐标． (1)点在轴上； (2)点的纵坐标比横坐标大； (3)点在过点，且与轴平行的直线上． 【变式3-2】. （23-24八年级下·贵州铜仁·期中）已知，点． (1)若点P在x轴上方，且到x轴的距离为6，求点P的坐标； (2)若点Q在y轴上，且平行于x轴，，求P点的坐标． 【变式3-3】. （22-23八年级上·辽宁阜新·期中）已知：在平面直角坐标系中，点在第四象限，且到轴的距离为2，到轴的距离为1． (1)求点的坐标； (2)若轴，且点到轴的距离与点到轴的距离相等，直接写出点和点的坐标； (3)若轴，且，求出D点的坐标． 【考点题型四】用点的坐标表示地理位置 【例4】（23-24八年级下·全国·单元测试）已知，，若白棋A 飞挂后，黑棋C 尖顶，黑棋C 的坐标为（      ） A． B． C． D． 【变式4-1】. （23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）根据下列表述，不能确定一点的具体位置的是（　　） A．东经，北纬 B．礼堂6排22号 C．重庆市宏帆路 D．港口南偏东方向上距港口10海里 【变式4-2】. （22-23七年级下·云南昭通·期中）以水平数轴的原点为圆心，过正半轴上的每一刻度点画同心圆，将轴绕点O逆时针依次旋转，，，…，后得到如图所示的“圆”坐标系，其中点B、C、D的坐标分别为、、，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】. （23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）某同学要从学校回家，所有道路的方向是向西或向北，若他的路线是．则阴影部分覆盖的数对可以是（    ） A． B． C． D． 【考点题型五】求图形面积 【例5】（23-24七年级下·云南昭通·期末）在平面直角坐标系中，的位置如图所示，A、B、C三点的坐标分别为、、，把向右平移2个单位长度后得到对应的，再将向下平移3个单位长度后得到对应的． (1)分别作出和； (2)求的面积． 【变式5-1】. （23-24七年级下·湖北十堰·期中）已知：已知：，，． (1)求三角形的面积； (2)设点 P 在坐标轴上，且三角形与三角形的面积相等，求点 P 的坐标． 【变式5-2】. （22-23七年级上·湖北荆门·期中）如图，在平面直角坐标系中，、、 (1)求的面积； (2)如果在第一象限内有一点P，试用含m的式子表示四边形的面积； (3)是否存在一点P，使的面积与的面积相等？若存在，求P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式5-3】. （24-25八年级上·全国·课后作业）如图，四边形所在的网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位长度． (1)以点B为原点，边所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，写出点A，B，C，D的坐标； (2)求出四边形的面积． 【考点题型六】点在坐标系中的平移 【例6】（23-24七年级下·湖北黄冈·期中）若在轴上，将点向上平移个单位，再向左平移个单位得到点，则坐标是（   ）． A． B． C． D． 【变式6-1】. （22-23七年级下·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系中，，，其中，则下列对PQ的长度判断正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式6-2】. （23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）在平面直角坐标系中，把点先向右平移个单位，再向上平移个单位得到点．若点的横坐标和纵坐标相等，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】. （22-23七年级下·广西柳州·期末）在平面直角坐标系中，将点A（m﹣1，n+2）先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到点．若点位于第四象限，则m、n的取值范围分别是（　　） A．m＞0，n＜0 B．m＞1，n＜2 C．m＞1，n＜0 D．m＞﹣2，n＜﹣4 【考点题型七】图形在坐标系中的平移 【例7】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，点，点，将线段平移至线段，点B的对应点D的坐标为，则点A的对应点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】. （22-23七年级下·全国·课后作业）三角形ABC内任意一点P（a，b）经过平移后对应点P1的坐标为（b，2a－1），已知A（3，2）在经过此次平移后对应点A1的坐标为（5，－1），则点P的坐标是（    ） A．（0，2） B．（2，－1） C．（4，6） D．（7，2） 【变式7-2】. （22-23八年级下·陕西西安·期中）已知点，点，将线段平移至．若点，点，则的值为（　　） A． B． C．2 D．6 【变式7-3】. （22-23七年级下·全国·期末）在平面直角坐标系中，经过平移得到，位置如图所示． (1)分别下列各点的坐标：A__________，B__________，C__________； (2)是由怎样平移得到的？ (3)若点是内部一点，平移后对应点N的坐标为，求m和n的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 平面直角坐标系 （7个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】平面直角坐标系 （1）定义： 由两条共原点且互相垂直的数轴构成平面直角坐标系. （2）相关概念：水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；垂直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向. 【清单02】点的坐标 1、点的坐标定义：若平面直角坐标系中有一点，过点作横坐标的垂线，垂足在横轴上表示的数为，过点作纵轴的垂线，垂足在纵轴上表示的数为，则有序实数对叫做点的坐标，其中叫做横坐标，叫做纵坐标. 2、平面直角坐标系内的点与有序实数对的一一对应关系： （1）坐标平面内的任意一点，都有唯一的一个有序实数对（点的坐标）与它对应； （2）任意一个有序实数对（点的坐标）在坐标平面内都有唯一的一个点和它对应. 【清单03】平面直角坐标系中各区域的点的坐标 1、象限的划分：如图11.1—2，建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成I，II，III，IV四个部分，每个部分称为象限，分别叫第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，坐标轴上的点不属于任何一个象限. 图11.1—2 【注意】1、象限的划分是从“右上”开始的，按“逆时针”方向依次排列为第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，各象限的名称是一种规定，不能随意更改； 2、坐标原点既在轴上，又在轴上，它是两条坐标轴唯一的公共点． 2、平面直角坐标系中个区域的点的坐标特征． 点所处的位置 坐标特征 象限内的点 点在第一象限 点在第二象限 点在第三象限 点在第四象限 坐标轴上的点 点在轴上 在轴正半轴上： 在轴负半轴上： 点在轴上 在轴正半轴上： 在轴负半轴上： 【清单04】特殊位置的点的坐标特征 1、两坐标轴夹角平分线上的点的坐标特征： （1）第一、三象限的角平分线上的点的横、纵坐标相等； （2）第二、四象限的角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数． 2、平行于轴、轴的直线上的点的坐标特征： 图11.1—3 如图11.1—3所示，直线 // 轴，直线直线 // 轴，因为由上的任意一点向轴作垂线，垂足都是同一个点（不与原点重合），所以上的所有点的纵坐标都相等且不为0；因为由上的任意一点向轴作垂线，垂足都是同一个点（不与原点重合），所以上的所有点的横坐标都相等且不为0. 3、若两个点的横坐标相等，则这两个点之间的距离为纵坐标差的绝对值； 若两个点的纵坐标相等，则这两个点之间的距离为横坐标差的绝对值. 【清单05】用坐标表示点的平移 点在坐标系中的平移：在平面直角坐标系中，某个点经过平移后，其位置发生了变化，其坐标也发生 了变化. 点的平移与坐标变化的关系：根据点的平移情况可以得到平移后点的坐标变化情况；反过来，根据点 的坐标变化情况可以得到点的平移情况，即: 【清单06】用点的坐标表示图形的平移 1、图形在坐标平面中的平移：是指在坐标系中，在保持坐标轴不动的情况下，图形的整体移动. 【注意】 图形在坐标平面中平移变换的实质： （1）、图形的位置及表示位置的坐标发生变化； （2）、图形的性质、大小、方向不变. 2、图形的平移与图形上各点的坐标变化的关系： （1）因为图形的平移是图形的整体平移，所以已知图形的平移情况，即可得到图形上个点坐标的变化情况； （2）平移时，因为图形上各点的变化情况相同，所以已知图形上某点的坐标变化情况，即可知道图形的平移情况. 【考点题型一】平面直角坐标系中点的坐标特征 【例1】（23-24七年级下·全国·期末）若y轴上的点A到x轴的距离为3，则点A的坐标为（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标的相关知识，用到的知识点为：轴上点的横坐标为0． 根据轴上的点到轴的距离为3，可得点的纵坐标为，进而根据轴上点的横坐标为0可得具体坐标． 【详解】解：轴上的点到轴的距离为3， 点的纵坐标为， 轴上点的横坐标为0， 点的坐标为或， 故选：D． 【变式1-1】. （23-24七年级下·山西大同·期中）在平面直角坐标系中，点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标，四个象限内坐标的符号：第一象限：；第二象限：；第三象限：；第四象限：；是基础知识要熟练掌握． 根据横坐标小于0，纵坐标大于0，则这点在第二象限． 【详解】解：∵， ∴在第二象限， 故选：B． 【变式1-2】. （23-24七年级下·全国·期中）已知点位于第四象限，则点位于（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据点位于第四象限得到，即可判断所在象限. 【详解】解：∵点位于第四象限， ∴， ∴在第二象限， 故选：B 【变式1-3】. （23-24七年级上·四川南充·期中）若点在x轴上，则点，在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查判断点所在的象限，根据x轴上的点的纵坐标为0，求出的值，进而求出点的坐标，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴， ∴点在第三象限， 故选C． 【考点题型二】判断点的位置 【例2】（24-25八年级上·山东德州·开学考试）已知和互为相反数，求点所在的象限． 【答案】在第四象限． 【分析】由条件可得可得，求解的值即可得到答案． 【详解】解：∵和互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴在第四象限． 【点睛】本题考查的是相反数的含义，非负数的性质，算术平方根的非负性的应用，二元一次方程组的解法，坐标与图形，掌握以上基础知识是解本题的关键． 【变式2-1】. （22-23七年级下·陕西渭南·期末）已知，点为平面直角坐标系内一点． (1)若点P在y轴上，则m的值为______； (2)若点P的纵坐标比横坐标大6，则点P在第几象限？ 【答案】(1)3 (2)第二象限 【分析】本题主要考查了y轴上坐标的特点，根据点的坐标判断点所在的象限，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）根据在y轴上的坐标，横坐标为0，计算出m，即可得到P的坐标； （2）根据P的纵坐标比横坐标大6，列出等式，求出m，然后根据四个象限点的符号特点进行判断即可． 【详解】（1）解：∵点在y轴上， ∴， 解得：； 故答案为：3 （2）解：∵点的纵坐标比横坐标大6， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为， ∴点P在第二象限． 【变式2-2】. （23-24七年级下·甘肃庆阳·期中）若点在x轴上，求点 所在的象限． 【答案】第三象限 【分析】此题考查了已知点所在的象限求参数，根据点坐标确定点所在的象限，根据点在x轴上，得到，求出，即可确定点B的坐标． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴， ∴, ∴点在第三象限． 【变式2-3】. （23-24七年级下·贵州黔东南·阶段练习）请给下图建立平面直角坐标系，使文化馆的坐标为，超市的坐标为． (1)画出坐标轴，并写出火车站、体育场、医院的坐标； (2)在（1）的坐标系中，标出小明家，小刚家，学校的位置． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了建立平面直角坐标系和点的坐标，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先建立合适的坐标系，再表示出所求点的坐标即可； （2）直接在坐标系中标出各点即可． 【详解】（1）解：画坐标轴如图所示，火车站，体育场，医院； （2）解：如图所示． 【考点题型三】利用点的坐标特征求字母的值 【例3】（23-24七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）已知点，解答下列各题． (1)点在轴上，求出点的坐标； (2)点的坐标为，直线轴；求出点的坐标； (3)若点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据题意得：点在轴上，得到，解出的值，由此得到答案． （2）根据直线轴，得到，解出的值，由此得到答案． （3）根据点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，得到，，故，解出的值，由此得到答案． 本题考查了坐标与图形性质及立方根，熟知坐标轴上的点及平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征，是解答本题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得： ∵点在轴上， ， 解得：， 则， 点的坐标为：； （2）解：直线轴， 直线上所有点的横坐标都相等， ， 解得：， 则， 即点的坐标为； （3）解：点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等， ，， ， 即， 解得：， 【变式3-1】. （22-23八年级上·全国·单元测试）已知点，试分别根据下列条件，求出点的坐标． (1)点在轴上； (2)点的纵坐标比横坐标大； (3)点在过点，且与轴平行的直线上． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了坐标与图形，解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据点在轴上，可得，解得的值即可求得点的坐标； （2）根据点的纵坐标比横坐标大，可得，解得的值即可求得点的坐标； （3）根据题意可知，解得的值即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：点，点在轴上， ，解得：， 则， 故； （2）解：点的纵坐标比横坐标大， ，解得：， ，， 故； （3）解：点在过点且与轴平行的直线上， ，解得：， ， 故． 【变式3-2】. （23-24八年级下·贵州铜仁·期中）已知，点． (1)若点P在x轴上方，且到x轴的距离为6，求点P的坐标； (2)若点Q在y轴上，且平行于x轴，，求P点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的特点；熟练掌握平面直角坐标系中坐标轴上点的特点，与坐标轴平行的直线上点的特点是解题的关键． （1）根据点的坐标轴的距离及在x轴上方得到，求解出m的值可得答案； （2）根据y轴上点的横坐标为0，得到点Q的横坐标为0，由平行于x轴，，得到，求解出m的值可得答案． 【详解】（1）解：根据题意得：， ， ； （2）解：根据题意得：点Q的横坐标为0， 平行于x轴，， ， ， 或， 当时，， 则； 当时，， 则； 综上，点P的坐标为：或． 【变式3-3】. （22-23八年级上·辽宁阜新·期中）已知：在平面直角坐标系中，点在第四象限，且到轴的距离为2，到轴的距离为1． (1)求点的坐标； (2)若轴，且点到轴的距离与点到轴的距离相等，直接写出点和点的坐标； (3)若轴，且，求出D点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】本题考查直角坐标系，解题的关键是掌握点到坐标轴的距离，点所在象限的特征，当轴时，轴时，点的坐标特点，坐标轴上两点间的距离． （1）根据题意可求得，的值，代入到中即可解题； （2）根据题意可得，，根据点坐标解题即可，注意点坐标不能与点坐标重合； （3）根据题意可得，，根据点坐标解题即可． 【详解】（1）解：点在第四象限，且到轴的距离为2，到轴的距离为1， ，， 解得：，， 为即； （2）解：由题可知：点坐标为， 轴，且点到轴的距离与点到轴的距离相等， ，，当时，点与点重合， ，； （3）解：由题可知：点坐标为， 轴，且， ，， 或． 【考点题型四】用点的坐标表示地理位置 【例4】（23-24八年级下·全国·单元测试）已知，，若白棋A 飞挂后，黑棋C 尖顶，黑棋C 的坐标为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标确定位置，利用A、B两点的坐标确定平面直角坐标系是解题关键． 根据已知A，B两点的坐标建立坐标系，然后确定其它点的坐标． 【详解】解：根据，，建立平面直角坐标系如图所示： ∴． 故选：D 【变式4-1】. （23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）根据下列表述，不能确定一点的具体位置的是（　　） A．东经，北纬 B．礼堂6排22号 C．重庆市宏帆路 D．港口南偏东方向上距港口10海里 【答案】C 【分析】本题考查了坐标确定位置，根据坐标确定位置需要两个数据对各选项分析判断即可． 【详解】解：A、东经，北纬的位置明确，故A不符合题意； B、礼堂6排22号的位置明确，故B项不符合题意； C、重庆市宏帆路无法确定物体的具体位置，故C项符合题意； D、港口南偏东方向上距港口10海里的位置明确，故D项不符合题意； 故选：C． 【变式4-2】. （22-23七年级下·云南昭通·期中）以水平数轴的原点为圆心，过正半轴上的每一刻度点画同心圆，将轴绕点O逆时针依次旋转，，，…，后得到如图所示的“圆”坐标系，其中点B、C、D的坐标分别为、、，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了坐标确定位置，正确理解坐标的意义是解题关键．在该坐标系中，某点的坐标用两个参数来描述：一个是该点与原点的距离，另一个是原点与该点所在的射线与x轴正半轴之间的夹角． 【详解】解：点A与圆心的距离为2，射线OA与x轴正方向之间的夹角为， 点A的坐标为 故选： 【变式4-3】. （23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）某同学要从学校回家，所有道路的方向是向西或向北，若他的路线是．则阴影部分覆盖的数对可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据方位描述确定物体的位置，根据题中平移规则求解即可． 【详解】解：∵所有道路的方向是向西或向北， ∴某同学的路线是． 故选：A． 【考点题型五】求图形面积 【例5】（23-24七年级下·云南昭通·期末）在平面直角坐标系中，的位置如图所示，A、B、C三点的坐标分别为、、，把向右平移2个单位长度后得到对应的，再将向下平移3个单位长度后得到对应的． (1)分别作出和； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】此题主要考查了平移作图，坐标与图形，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用平移的性质分别得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用三角形面积求法得出答案． 【详解】（1）解：解：如图所示：和，即为所求； （2）解：的面积． 【变式5-1】. （23-24七年级下·湖北十堰·期中）已知：已知：，，． (1)求三角形的面积； (2)设点 P 在坐标轴上，且三角形与三角形的面积相等，求点 P 的坐标． 【答案】(1)4 (2)或或或 【分析】本题考查主要考查了坐标与图形，解题的关键是根据点的坐标，计算出直角三角形的边长． （1）过点C作轴，垂足为E，轴，垂足为F，根据的面积等于长方形的面积减去三个直角三角形的面积进行计算即可得到答案； （2）分两种情况：当点P在y轴时，当点P在x轴时，分别建立方程进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：过点C作轴，垂足为E，轴，垂足为F，如图所示：    则四边形是长方形，，，，，，， ∴，，，， ∴ ； （2）解：当点P在y轴时，设，    ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：或， ∴此时点P的坐标为或； 当点P在x轴时，设，    ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：或， ∴点P的坐标为或； 综上分析可知：点P的坐标为：或或或． 【变式5-2】. （22-23七年级上·湖北荆门·期中）如图，在平面直角坐标系中，、、 (1)求的面积； (2)如果在第一象限内有一点P，试用含m的式子表示四边形的面积； (3)是否存在一点P，使的面积与的面积相等？若存在，求P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)12 (2) (3)或 【分析】本题考查了三角形的面积、坐标与图形，解决本题的关键是根据坐标表示出三角形的面积． （1）根据三角形的面积公式，即可解答； （2）取点，连接，，，，，，四边形的面积，即可解答； （3）存在，根据面积相等，分两种情况：①当点P在第一象限时，②当点P在第二象限时，分别 求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：∵、、， ∴，点A到边的距离为：， ∴的面积． （2）解：如图，取点，连接，，，，，， ∵、、，，， ∴，，， ∴四边形的面积 ； （3）解：存在， 当的面积与的面积相等时，即， 分两种情况：①当点P在第一象限时，如图， 当的面积与的面积相等时，即， 又∵， ∴ ∴， 解得； ②当点P在第二象限时，如图，过点P 作交延长线于D，过点A作于E， ∵、、 ∴， ∴， 又∵， ∵ ∴ 解得：， ∴点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或． 【变式5-3】. （24-25八年级上·全国·课后作业）如图，四边形所在的网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位长度． (1)以点B为原点，边所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，写出点A，B，C，D的坐标； (2)求出四边形的面积． 【答案】(1)见解析，，，， (2)9 【分析】本题考查了平面直角坐标系，写出坐标系中点的坐标，割补法求图形面积． （1）按照要求建立平面直角坐标系，即可写出四点的坐标； （2）利用割补法，由即可求解． 【详解】（1）解：如图，建立平面直角坐标系， 点，，，； （2）解：． 【考点题型六】点在坐标系中的平移 【例6】（23-24七年级下·湖北黄冈·期中）若在轴上，将点向上平移个单位，再向左平移个单位得到点，则坐标是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标轴上点的坐标特征，点的平移，由轴上点的横坐标为可求得的值，进而求出点的坐标，再利用平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，解答即可求解，掌握坐标轴上点的坐标特征及平移中点的变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵在轴上， ∴， ∴， ∴， ∵将点向上平移个单位，再向左平移个单位得到点， ∴坐标是， 故选：． 【变式6-1】. （22-23七年级下·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系中，，，其中，则下列对PQ的长度判断正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】可求，从而可得，根据点的平移规律：横坐标左减右加，纵坐标上加下减，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， 是向下平移个单位长度得到， ； 故选：B． 【点睛】本题考查了点的平移坐标变化规律，掌握规律是解题的关键． 【变式6-2】. （23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）在平面直角坐标系中，把点先向右平移个单位，再向上平移个单位得到点．若点的横坐标和纵坐标相等，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平面直角坐标系内点的平移，一元一次方程的应用等，解题的关键是掌握平面直角坐标系内点平移时坐标的变化规律：横坐标右加左减，纵坐标上加下减． 先根据平移方式确定点B的坐标，再根据点的横坐标和纵坐标相等列方程，解方程即可． 【详解】解：把点先向右平移个单位坐标变为，再向上平移个单位得到点， 当点的横坐标和纵坐标相等时，即， 即， 故选． 【变式6-3】. （22-23七年级下·广西柳州·期末）在平面直角坐标系中，将点A（m﹣1，n+2）先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到点．若点位于第四象限，则m、n的取值范围分别是（　　） A．m＞0，n＜0 B．m＞1，n＜2 C．m＞1，n＜0 D．m＞﹣2，n＜﹣4 【答案】D 【分析】先根据平移得到点的坐标，再根据点在第四象限构建不等式解决问题． 【详解】解：由题意，点的坐标为（，）， 即：（，）， ∵点位于第四象限， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是构建不等式解决问题，属于中考常考题型． 【考点题型七】图形在坐标系中的平移 【例7】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，点，点，将线段平移至线段，点B的对应点D的坐标为，则点A的对应点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由于线段是由线段平移得到的，而点的对应点D的坐标为，比较它们的坐标发现横坐标减少3，纵坐标减少5，利用此规律即可求出点A的对应点C的坐标． 本题考查点坐标的平移变换，要懂得左右平移点的纵坐标不变，而上下平移时点的横坐标不变，平移中，对应点的对应坐标的差相等，解决本题的关键是根据已知对应点找到各对应点之间的变化规律． 【详解】解：∵线段是由线段平移得到的， 而点的对应点D的坐标为， ∴由B平移到D点的横坐标减少3，纵坐标减少5， 则点的对应点C的坐标为． 故选：A． 【变式7-1】. （22-23七年级下·全国·课后作业）三角形ABC内任意一点P（a，b）经过平移后对应点P1的坐标为（b，2a－1），已知A（3，2）在经过此次平移后对应点A1的坐标为（5，－1），则点P的坐标是（    ） A．（0，2） B．（2，－1） C．（4，6） D．（7，2） 【答案】A 【解析】略 【变式7-2】. （22-23八年级下·陕西西安·期中）已知点，点，将线段平移至．若点，点，则的值为（　　） A． B． C．2 D．6 【答案】A 【分析】根据点A、B平移后横纵坐标的变化可得线段向左平移3个单位，向上平移了5个单位，然后求出a，b即可解决问题． 【详解】由题意可得线段向左平移3个单位，向上平移了5个单位得到线段 ∵点，点 ∴点，点， ∴，， ∴． 故选：A 【变式7-3】. （22-23七年级下·全国·期末）在平面直角坐标系中，经过平移得到，位置如图所示． (1)分别下列各点的坐标：A__________，B__________，C__________； (2)是由怎样平移得到的？ (3)若点是内部一点，平移后对应点N的坐标为，求m和n的值． 【答案】(1)，，； (2)是由向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到； (3)m和n的值分别为和． 【分析】本题考查了坐标与图形，坐标的平移，二元一次方程组的应用，利用数形结合 的思想解决问题是关键． （1）根据平面直角坐标系直接写出坐标即可； （2）由平面直角坐标系可知，点的对应点，进而得出点的平移方式，即可作答； （3）结合（2）的平移方式，列二元一次方程组，求解即可． 【详解】（1）解：由平面直角坐标系可知，，，， 故答案为：，，； （2）解：由平面直角坐标系可知，点的对应点， 点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点， 是由向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到； （3）解：点是内部一点，平移后对应点N的坐标为， ，解得：， m和n的值分别为和． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$