专题02 圆的方程（考点清单，7个考点梳理+8大题型解读）高二数学上学期北师大版选择性必修第一册

清单02 圆的方程（7个考点梳理+8大题型解读） 【清单01】圆的方程 1.圆的标准方程 把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程. 2.圆的一般方程的概念 当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程． 3．圆的一般方程对应的圆心和半径 圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为，半径长为 . 【清单02】点与圆的位置关系 1．点与圆的位置关系 (1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外. 2.判断点与：位置关系的方法: （1）几何法（优先推荐） 设到圆心的距离为，则 ①则点在外 ②则点在上 ③则点在内 （2）代数法 将点带入：方程内 ①点在外 ②点在上 ③点在内 【清单03】直线与圆的位置关系 1.直线与圆的位置关系 (1)直线与圆的三种位置关系 直线与圆 的位置关 系的图象 直线与圆的 位置关系 相交 相切 相离 (2)判断直线与圆的位置关系的两种方法 ①几何法 图象 位置关系 相交 相切 相离 判定方法 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相交。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相切。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相离。 ②代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 ①直线与圆相交 ②直线与圆相切 ③直线与圆相离 【清单04】切线方程 (1)过一点的圆的切线方程（） ①点在圆上 步骤一：求斜率：读出圆心，求斜率，记切线斜率为，则 步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点） ②点在圆外 记切线斜率为，利用点斜式写成切线方程；在利用圆心到切线的距离求出 （注意若此时求出的只有一个答案；那么需要另外同理切线为） (2)重要结论： ①经过圆上一点P的切线方程为. ②经过圆上一点P的切线方程为. ③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为 . (3)切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求； 2．切线段的长度公式 (1)从圆外一点P(x0，y0)引圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的切线，则P到切点的切线段长为d＝. (2)从圆外一点P(x0，y0)引圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的切线，则P到切点的切线段长为d＝ . 【清单05】弦长公式 1.直线与圆相交 记直线被圆截得的弦长为为圆的弦长 (1)几何法（优先推荐） ①弦心距（圆心到直线的距离） ②弦长公式： (2)代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A,B. ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解. ②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元 二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式. 【清单06】圆与圆的位置关系的判定 （1）几何法 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为. ①当时，两圆相交；②当时，两圆外切； ③当时，两圆外离； ④当时，两圆内切； ⑤当时，两圆内含. （2）代数法 设: : 联立消去“”得到关于“”的一元二次方程，求出其 ①与设设相交 ②与设设相切（内切或外切） ③与设设相离（内含或外离） 【清单07】求两圆公共弦所在的直线的方程 两圆相交时，有一条公共弦，如图所示. 设圆:，① 圆:，② ①-②，得，③ 若圆与圆相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程. 【考点题型一】圆的标准方程 【例1】.（23-24高二下·安徽·期中）已知，，圆M经过A，B两点，且圆的周长被x轴平分，则圆M的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】.（2024·宁夏银川·六盘山高级中学校考三模）已知直线经过圆的圆心，其中，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．12 【变式1-2】.（2024·江苏·高二期中）圆心在轴上，半径为5，且过点，则圆的标准方程为_______． 【变式1-3】.（2024·陕西西安·校联考模拟预测）过三点、、的圆的圆心坐标为___________. 【变式1-4】.（广东省肇庆市百花中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题）直线与直线相交于点，直线过点且与直线平行. (1)求直线的方程； (2)求圆心在直线上且过点的圆的方程. 【考点题型二】圆的一般方程 【例2】（23-24高二下·上海·期中）方程表示圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【变式2-1】.（23-24高二下·浙江·期中）已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】.（2024·江苏·高二假期作业）过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】.（23-24高二上·云南昆明·期中）已知两直线和的交点为． (1)直线过点且与直线平行，求直线的一般式方程； (2)圆过点且与相切于点，求圆的一般方程． 【考点题型三】圆的轨迹方问题 【例3】（23-24高二上·河北邯郸·期末）古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点距离之比为常数且）的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，该圆被称为阿波罗尼斯圆.已知中，. (1)求的顶点的轨迹方程； (2)若圆和顶点的轨迹交于两点，求直线的方程和圆心到的距离. 【变式3-1】.（2024·高二课时练习）已知圆：，过点的直线与圆交于点，，线段的中点为，则点的轨迹方程为___________. 【变式3-2】.（2024·安徽阜阳·高二校联考阶段练习）已知圆经过点，且被直线平分. (1)求圆的一般方程； (2)设是圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程. 【变式3-3】．（2024·山东日照·高二校考阶段练习）已知圆C经过点且圆心C在直线上. (1)求圆C方程； (2)若E点为圆C上任意一点，且点，求线段EF的中点M的轨迹方程. 【考点题型四】直线与圆位置关系 【例4】.（23-24高二下·广东湛江·期中）若直线与单位圆交于A，B两个不同的点，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式4-1】.（23-24高二上·安徽芜湖·期中）圆与直线的交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．与k的取值有关 【变式4-2】.（21-22高二上·安徽芜湖·期中）已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数k的取值范围是_________. 【变式4-3】.（23-24高二下·湖北孝感·期中）已知直线：和圆：，圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-4】.（2024·高二课时练习）为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交 【考点题型五】切线方程 【例5】.（23-24高二下·云南昭通·期中）已知圆为直线上的一个动点，过点作圆的切线，切点分别为，若直线关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】.（2024·上海静安·高二统考期末）过点的直线与圆相切，则直线的斜率为______. 【变式5-2】.（2024·浙江·校联考模拟预测）已知圆和圆，则过点且与都相切的直线方程为__________.（写出一条即可） 【变式5-3】.（23-24高二上·贵州黔南·期中）已知圆：，过点可作两条直线与圆相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-4】.（2024·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）在平面直角坐标系中，圆过点，，且圆心在上． (1)求圆的方程； (2)若已知点，过点作圆的切线，求切线的方程． 【考点题型六】弦长问题 【例6】（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知圆关于直线对称，且过点． (1)求证：圆与直线相切； (2)若直线过点与圆交于两点，且，求此时直线的方程． 【变式6-1】.（23-24高二下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，直线上有且仅有一点，使，则直线被圆截得的弦长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【变式6-2】.（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知直线与圆交于A,B两点，则当弦最短时，直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】.（23-24高二上·浙江金华·期中）(多选)已知圆，直线.则下列命题正确的有（    ） A．直线恒过定点 B．圆被轴截得的弦长为 C．直线与圆恒相交 D．直线被圆截得弦长最短时，直线的方程为 【变式6-4】.（23-24高二下·天津·期中）经过点且斜率为的直线与圆相交于两点，若，则的值为 . 【变式6-5】（23-24高二下·新疆克拉玛依·期中）已知圆以为圆心，且圆与轴相切于点． (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆相交于两点，求． 【变式6-6】（23-24高二上·安徽芜湖·期中）已知直线，圆． (1)证明：直线与圆总有两个交点，与m的取值无关． (2)是否存在m，使得直线l被圆C截得的弦长为，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【考点题型七】最值问题 【例7】（23-24高二下·陕西宝鸡·期中）已知点A为直线上一动点，点，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】.（23-24高二上·浙江金华·期中）已知圆，直线过点，把圆分成面积为的两部分，则的最大值所在区间为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】.（23-24高二上·吉林延边·期中）若点P在直线上，点Q在圆上，则线段PQ长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】.（23-24高二下·浙江·期中）在△ABC中，BC＝2，，D为BC中点，在△ABC所在平面内有一动点P满足，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式7-4】.（23-24高二下·湖南·期中）设A为直线上一点，P，Q分别在圆与圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-5】.（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知圆O：，直线． (1)若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当时，求k的值； (2)若时，点P为直线l上的动点，过点P作圆O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，求四边形的面积的最小值． 【考点题型八】圆与圆位置关系 【例8】 【变式8-1】.（23-24高二上·青海西宁·期中）已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】.（23-24高三上·山东青岛·期末）圆与圆相交于A、B两点，则（    ） A．2 B． C． D．6 【变式8-3】.（23-24高二上·河南郑州·期末）（多选）已知两圆：，：，则下列说法正确的是（    ） A．点在圆内 B．圆关于直线对称 C．圆与圆外切 D．点在圆上，点在圆上，则的最大值为6 【变式8-4】.（23-24高二上·山西运城·期末）（多选）已知两圆方程为与，则下列说法正确的是（    ） A．若两圆有3条公切线，则 B．若两圆公共弦所在的直线方程为，则 C．若两圆公共弦长为，则 D．若两圆在交点处的切线互相垂直，则 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 圆的方程（7个考点梳理+8大题型解读） 【清单01】圆的方程 1.圆的标准方程 把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程. 2.圆的一般方程的概念 当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程． 3．圆的一般方程对应的圆心和半径 圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为，半径长为 . 【清单02】点与圆的位置关系 1．点与圆的位置关系 (1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外. 2.判断点与：位置关系的方法: （1）几何法（优先推荐） 设到圆心的距离为，则 ①则点在外 ②则点在上 ③则点在内 （2）代数法 将点带入：方程内 ①点在外 ②点在上 ③点在内 【清单03】直线与圆的位置关系 1.直线与圆的位置关系 (1)直线与圆的三种位置关系 直线与圆 的位置关 系的图象 直线与圆的 位置关系 相交 相切 相离 (2)判断直线与圆的位置关系的两种方法 ①几何法 图象 位置关系 相交 相切 相离 判定方法 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相交。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相切。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相离。 ②代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 ①直线与圆相交 ②直线与圆相切 ③直线与圆相离 【清单04】切线方程 (1)过一点的圆的切线方程（） ①点在圆上 步骤一：求斜率：读出圆心，求斜率，记切线斜率为，则 步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点） ②点在圆外 记切线斜率为，利用点斜式写成切线方程；在利用圆心到切线的距离求出 （注意若此时求出的只有一个答案；那么需要另外同理切线为） (2)重要结论： ①经过圆上一点P的切线方程为. ②经过圆上一点P的切线方程为. ③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为 . (3)切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求； 2．切线段的长度公式 (1)从圆外一点P(x0，y0)引圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的切线，则P到切点的切线段长为d＝. (2)从圆外一点P(x0，y0)引圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的切线，则P到切点的切线段长为d＝ . 【清单05】弦长公式 1.直线与圆相交 记直线被圆截得的弦长为为圆的弦长 (1)几何法（优先推荐） ①弦心距（圆心到直线的距离） ②弦长公式： (2)代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A,B. ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解. ②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元 二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式. 【清单06】圆与圆的位置关系的判定 （1）几何法 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为. ①当时，两圆相交；②当时，两圆外切； ③当时，两圆外离； ④当时，两圆内切； ⑤当时，两圆内含. （2）代数法 设: : 联立消去“”得到关于“”的一元二次方程，求出其 ①与设设相交 ②与设设相切（内切或外切） ③与设设相离（内含或外离） 【清单07】求两圆公共弦所在的直线的方程 两圆相交时，有一条公共弦，如图所示. 设圆:，① 圆:，② ①-②，得，③ 若圆与圆相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程. 【考点题型一】圆的标准方程 【例1】.（23-24高二下·安徽·期中）已知，，圆M经过A，B两点，且圆的周长被x轴平分，则圆M的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，，中点为， 所以线段的中垂线为，令得， 所以，半径，所以圆M的标准方程为． 故选：B. 【变式1-1】.（2024·宁夏银川·六盘山高级中学校考三模）已知直线经过圆的圆心，其中，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．12 【答案】D【详解】因为直线经过圆的圆心， 故， 所以， 当且仅当 ，即时，等号成立. 故选：D 【变式1-2】.（2024·江苏·高二期中）圆心在轴上，半径为5，且过点，则圆的标准方程为_______． 【答案】或. 【详解】由题意，设圆的方程为， 因为点在圆上，可得，解得b＝0或b＝－8， 所以所求圆的方程为或. 故答案为：或. 【变式1-3】.（2024·陕西西安·校联考模拟预测）过三点、、的圆的圆心坐标为___________. 【答案】 【详解】设圆的方程为：，代入点的坐标有： ，所以， 所以圆的方程为：. 故答案为：. 【变式1-4】.（广东省肇庆市百花中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题）直线与直线相交于点，直线过点且与直线平行. (1)求直线的方程； (2)求圆心在直线上且过点的圆的方程. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由，可得，即， 由题可设直线，又直线过点， 所以， 所以直线的方程为； （2）因为圆心在直线上且过点， 由，可得线段的中垂线方程为， 由，可得， 所以圆心坐标为，半径为， 所以圆心在直线上且过点的圆的方程为. 【考点题型二】圆的一般方程 【例2】（23-24高二下·上海·期中）方程表示圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】由题意可得：，解得或， 所以方程表示圆的充要条件是或. 故选：D. 【变式2-1】.（23-24高二下·浙江·期中）已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，即， 故该圆的圆心坐标为，半径为． 故选：A． 【变式2-2】.（2024·江苏·高二假期作业）过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆的方程为， 由题意知,圆过点，和， 所以，解得， 所以所求圆的方程为. 故选：A 【变式2-3】.（23-24高二上·云南昆明·期中）已知两直线和的交点为． (1)直线过点且与直线平行，求直线的一般式方程； (2)圆过点且与相切于点，求圆的一般方程． 【答案】(1)． (2)． 【详解】（1）直线与直线平行，故设直线为， 联立方程组，解得． 直线和的交点． 又直线过点，则，解得， 即直线的方程为． （2）设所求圆的标准方程为， 的斜率为，故直线的斜率为1， 由题意可得 解得 故所求圆的方程为． 化为一般式：． 【考点题型三】圆的轨迹方问题 【例3】（23-24高二上·河北邯郸·期末）古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点距离之比为常数且）的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，该圆被称为阿波罗尼斯圆.已知中，. (1)求的顶点的轨迹方程； (2)若圆和顶点的轨迹交于两点，求直线的方程和圆心到的距离. 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解法1：设顶点，则， 故，化简得的轨迹方程为. 解法2：由阿波罗尼圆的定义，顶点的轨迹为圆，圆心在直线上， 设圆与轴的两交点为， 根据得，，解得或9， 故当或时，都满足， 所以顶点的轨迹是以为直径的圆，其方程为. （2）将圆和相减可得， 即所求直线的方程为. 圆心到的距离. 【变式3-1】.（2024·高二课时练习）已知圆：，过点的直线与圆交于点，，线段的中点为，则点的轨迹方程为___________. 【答案】 【详解】由圆：方程变形为标准式， 进而得出，所以点在圆内部， 又因为为线段的中点，连接，由垂径定理得， 设点的坐标，得，， 所以，得，整理得， 所以点的轨迹方程为， 故答案为： 【变式3-2】.（2024·安徽阜阳·高二校联考阶段练习）已知圆经过点，且被直线平分. (1)求圆的一般方程； (2)设是圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）直线恒过点. 因为圆恒被直线平分， 所以恒过圆心， 所以圆心坐标为，又圆经过点，所以圆的半径， 所以圆的方程为，即. （2）设.因为为线段的中点，所以， 因为点是圆上的动点，所以， 即，所以的轨迹方程为. 【变式3-3】．（2024·山东日照·高二校考阶段练习）已知圆C经过点且圆心C在直线上. (1)求圆C方程； (2)若E点为圆C上任意一点，且点，求线段EF的中点M的轨迹方程. 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）由题可设圆C的标准方程为，则 ， 解之得， 所以圆C的标准方程为； （2）设M（x，y），，由及M为线段EF的中点得， 解得, 又点E在圆C：上， 所以有， 化简得：, 故所求的轨迹方程为． 【考点题型四】直线与圆位置关系 【例4】.（23-24高二下·广东湛江·期中）若直线与单位圆交于A，B两个不同的点，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】若，则圆心到直线得距离， 又半径，， 则，，故，即充分性成立； 若，则是等腰直角三角形，， 则圆心到直线得距离，即， 得，则，即必要性不成立； 综上所述：是的充分不必要条件． 【变式4-1】.（23-24高二上·安徽芜湖·期中）圆与直线的交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．与k的取值有关 【答案】D 【详解】直线，即， 令，解得，故直线l经过点. 又，所以点在圆外， 故直线l与圆的交点个数可能为0、1或2，即与k的取值有关. 故选：D 【变式4-2】.（21-22高二上·安徽芜湖·期中）已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数k的取值范围是_________. 【答案】 【详解】直线恒过点， 由，得， 所以曲线表示圆心，半径为2的半圆，如图所示， 由图可知，当时，曲线与直线有两个相异的交点， 因为，，所以， 因为直线与半圆相切，所以，解得， 所以， 【变式4-3】.（23-24高二下·湖北孝感·期中）已知直线：和圆：，圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为圆：上恰有三个点到直线：的距离为1， 所以与直线距离为1的两条平行线中一条与圆相交，一条与圆相切， 又因为圆的半径为3，所以圆心到直线距离为2，即，解得. 故选：B. 【变式4-4】.（2024·高二课时练习）为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交 【答案】C 【详解】由题意知为圆内异于圆心的一点， 则， 而圆：的圆心到直线的距离为， 故直线与该圆的位置关系为相离， 故选：C 【考点题型五】切线方程 【例5】.（23-24高二下·云南昭通·期中）已知圆为直线上的一个动点，过点作圆的切线，切点分别为，若直线关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 如图，根据题意，可得圆的圆心为，半径. 若圆的切线关于直线对称，则， 结合直线的斜率， 可知直线的方程为， 由，解得， 所以， ， 由对称性可知， 故， 故选：B. 【变式5-1】.（2024·上海静安·高二统考期末）过点的直线与圆相切，则直线的斜率为______. 【答案】或 【详解】圆化为标准方程为，圆心，半径为1， 当直线的斜率不存在时，直线：，此时直线与圆不相切，不合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为，由题意， 所以，平方化简得，解得或. 故答案为：或. 【变式5-2】.（2024·浙江·校联考模拟预测）已知圆和圆，则过点且与都相切的直线方程为__________.（写出一条即可） 【答案】或（写出一条即可） 【详解】若过M的切线斜率不存在，即为，此时显然与两圆都相切； 若过M的切线斜率存在，不妨设为，则到的距离分别为， 即. 综上过M与两圆都相切的直线为：或 故答案为：或（写出一个即可） 【变式5-3】.（23-24高二上·贵州黔南·期中）已知圆：，过点可作两条直线与圆相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆：，即， 则圆心为，半径，且，则， 又过点可作两条直线与圆相切，所以点在圆外， 所以，解得或， 综上可得实数的取值范围是. 故选：D 【变式5-4】.（2024·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）在平面直角坐标系中，圆过点，，且圆心在上． (1)求圆的方程； (2)若已知点，过点作圆的切线，求切线的方程． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为圆过，则的中垂线过圆心， 设的中点为，则， 因为，所以的中垂线方程为，即， 又圆心在， 联立，解得， 因此圆心，半径， 所以圆的方程为.   . （2）因为，所以在圆外， 过作圆的切线， 若切线斜率不存在时，则切线方程为，满足与圆相切， 若切线斜率存在时，设切线方程，即， 则，解得， 所以切线方程为，即. 综上：切线方程为或. 【考点题型六】弦长问题 【例6】（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知圆关于直线对称，且过点． (1)求证：圆与直线相切； (2)若直线过点与圆交于两点，且，求此时直线的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2)或． 【详解】（1）圆化为标准方程，即， 则因为圆关于直线对称，所以，所以， 因为圆C过点，所以，所以， 得，所以圆方程为， 圆心坐标为，半径为， 故点C到直线的距离为， 所以C与直线相切， （2）设直线方程为，即， 设圆心到直线l的距离为， 所以， 得，所以， 所以直线l的方程为或． 即或． 【变式6-1】.（23-24高二下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，直线上有且仅有一点，使，则直线被圆截得的弦长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】，化为一般式，即，直线上有且仅有一点， 使，则圆心到直线的距离,即， 圆心. . 故选：D. 【变式6-2】.（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知直线与圆交于A,B两点，则当弦最短时，直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，所以直线恒过定点，， 因为，所以点在圆内， 所以当时，弦最短, 设直线的斜率为，则, 所以直线的方程为，即. 故选：D. 【变式6-3】.（23-24高二上·浙江金华·期中）(多选)已知圆，直线.则下列命题正确的有（    ） A．直线恒过定点 B．圆被轴截得的弦长为 C．直线与圆恒相交 D．直线被圆截得弦长最短时，直线的方程为 【答案】ACD 【详解】对于A，由已知可得，圆心，半径， 直线方程可化为， 由，可得， 所以直线恒过定点，A选项正确； 对于B，将代入圆的方程有，解得， 弦长为，B项错误； 因为点到圆心的距离为， 所以点在圆内，直线与圆恒相交，C项正确； 当圆心与定点的连线恰好与垂直时，圆心到直线的距离最大， 直线被圆截得的弦长最小，则的斜率应满足，所以， 代入点斜式方程有，即，D正确. 故选：ACD. 【变式6-4】.（23-24高二下·天津·期中）经过点且斜率为的直线与圆相交于两点，若，则的值为 . 【答案】0或 【详解】由条件可知，圆的半径，， 所以圆心到直线的距离， 设直线，即， 所以圆心到直线的距离， 解得：或. 故答案为：0或. 【变式6-5】（23-24高二下·新疆克拉玛依·期中）已知圆以为圆心，且圆与轴相切于点． (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆相交于两点，求． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）依题意，设圆的方程为， 由圆与轴相切于点，得， 所以圆的标准方程为. （2）由（1）知，圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 所以．    【变式6-6】（23-24高二上·安徽芜湖·期中）已知直线，圆． (1)证明：直线与圆总有两个交点，与m的取值无关． (2)是否存在m，使得直线l被圆C截得的弦长为，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，． 【详解】（1）变形为， ，，，故直线恒过． 又，在圆内，直线与圆总有两个交点，与m的取值无关． （2）设圆心到直线l的距离为d，则，． 则，． 故． 【考点题型七】最值问题 【例7】（23-24高二下·陕西宝鸡·期中）已知点A为直线上一动点，点，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵，∴. 设P点坐标为，由题意，则， ∴P点轨迹是以点为圆心，1为半径的圆，记为圆， 设在轴上存在定点，使得圆上任意一点，满足， 则， 化简得， 又∵，代入得， 要使等式恒成立，则，即. ∴存在定点，使圆上任意一点满足， 则， 当A，P，M三点共线（位于两侧）时，等号成立. 又点为直线上一动点，则的最小值即为点到直线的距离， 由到直线距离，则. 故. 如图，过作直线的垂线段，垂线段与圆的交点即为取最值时的点，此时取到最小值. 故选：D. 【变式7-1】.（23-24高二上·浙江金华·期中）已知圆，直线过点，把圆分成面积为的两部分，则的最大值所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，圆的面积为：. ,要使最大，则最小. 由圆的性质知道，当时，最小. ，则，则. 与圆的交点为. 此时.. 故选：C. 【变式7-2】.（23-24高二上·吉林延边·期中）若点P在直线上，点Q在圆上，则线段PQ长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆的圆心为，半径， 因为圆心到直线的距离为， 所以线段PQ长度的最小值为. 故选：B 【变式7-3】.（23-24高二下·浙江·期中）在△ABC中，BC＝2，，D为BC中点，在△ABC所在平面内有一动点P满足，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，即， 所以． 因为，，所以点A在以BC为弦的优弧上运动（不含端点）． 设所在圆的圆心为M，连接MB、MC、MD， 则MD⊥BC，，可得，，． 以B为原点，BC所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系， 可得，圆M的方程为， 设，则，结合， 可得， 因为A点在圆M：上运动， 所以，可得当时，，达到最大值． 综上所述，当时，有最大值． 故选：D． 【变式7-4】.（23-24高二下·湖南·期中）设A为直线上一点，P，Q分别在圆与圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设关于直线对称的点的坐标为， 则，解得，， 即，由对称性可知， 对于圆，圆心，半径，， 当且仅当A，C，三点共线时等号成立， 由于，， 则. 故选A． 【变式7-5】.（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知圆O：，直线． (1)若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当时，求k的值； (2)若时，点P为直线l上的动点，过点P作圆O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，求四边形的面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，由垂径定理得圆心到直线的距离为， 则， 解得； （2）当时，直线，即 由已知得 又， 所以的最小值为， 又因为四边形的面积的为，所以其最小值为 【考点题型八】圆与圆位置关系 【例8】 【变式8-1】.（23-24高二上·青海西宁·期中）已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意可知，圆外离，，又． 故选：D 【变式8-2】.（23-24高三上·山东青岛·期末）圆与圆相交于A、B两点，则（    ） A．2 B． C． D．6 【答案】D 【详解】两圆方程相减得直线的方程为， 圆化为标准方程， 所以圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离为， 弦长， 所以. 故选：D 【变式8-3】.（23-24高二上·河南郑州·期末）（多选）已知两圆：，：，则下列说法正确的是（    ） A．点在圆内 B．圆关于直线对称 C．圆与圆外切 D．点在圆上，点在圆上，则的最大值为6 【答案】BD 【详解】圆：，整理得，圆心为，半径为 对于A选项，由于点到圆圆心的距离为，故点在圆外，故A错误； 对于B选项，由于满足，故圆关于直线对称，故B正确； 对于C选项，由于圆：，圆心，半径为3，两圆圆心距为， 所以圆与圆内切，故C错误； 对于D选项，点在圆上，点在圆上，因为圆与圆内切， 所以的最大值为圆的直径6，故D正确， 故选：BD. 【变式8-4】.（23-24高二上·山西运城·期末）（多选）已知两圆方程为与，则下列说法正确的是（    ） A．若两圆有3条公切线，则 B．若两圆公共弦所在的直线方程为，则 C．若两圆公共弦长为，则 D．若两圆在交点处的切线互相垂直，则 【答案】ABD 【详解】设圆为圆，圆的圆心为，半径， 设圆为圆，圆的圆心为，半径， .A选项，若两圆有3条公切线，则两圆外切， 所以，A选项正确； B选项，由两式相减并化简得， 则， 此时，满足两圆相交，B选项正确； C选项，由两式相减并化简得， 到直线的距离为， 所以， 即，则解得或，C选项错误. D选项，若两圆在交点处的切线互相垂直，设交点为， 根据圆的几何性质可知， 所以，D选项正确. 故选：ABD    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$