专题01 直线与直线的方程（考题猜想，易错必刷30题14种题型）高二数学上学期北师大版选择性必修第一册

专题01 直线与直线的方程（易错必刷38题6种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 倾斜角和斜率 · 直线的方程 · 两直线位置关系 · 直线中有关距离问题 · 直线方程恒过定点问题 · 直线方程有关最值问题 一．倾斜角和斜率（共9小题） 1.（22-23高二上·广东湛江·期中）经过点，倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·四川宜宾·期中）已知点，则直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知两点，，过点的直线与线段（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2024高而·全国·专题练习）若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·广东江门·期中）如图，的顶点都在坐标轴上，直线的斜率为，直线的斜率为，则（） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·安徽·期中）（多选）已知直线，其中，，的图象如图所示，直线，的斜率分别为，，纵截距分别为，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 7.（23-24高二上·天津武清·阶段练习）若直线l的斜率，则直线l的倾斜角θ的取值范围为 ． 8．（22-23高二上·安徽芜湖·期中）已知曲线，则的取值范围是 ． 9．（23-24高二上·上海·期末）直线的斜率的取值范围为，则其倾斜角的取值范围是 . 二．直线的方程（共8小题） 10.（23-24高二·全国·课后作业）经过两点的直线方程都可以表示为（    ） A．＝ B．＝ C． D．＝ 11.（23-24高二上·湖南邵阳·期中）已知直线，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角是 B．直线在轴上的截距为1 C．若直线，则 D．过与直线平行的直线方程是 12.（23-24高二上·浙江杭州·期中）(多选)下列说法正确的是（   ） A．直线必过定点 B．直线在y轴上的截距为1 C．直线的倾斜角为 D．点，直线与线段相交，则实数m的取值范围是或 13.（23-24高二上·河北石家庄·期中）（多选）下列说法正确的有（    ） A．过点和的直线l的一个方向向量为 B．过点且倾斜角为的直线方程为 C．过两点的直线方程为 D．过点且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为 14.（23-24高一下·江苏徐州·期中）直线l过点，且与x轴、y轴分别交于A，B两点，若点P恰为AB的中点，则直线l的方程为 . 15.（23-24高二上·四川成都·期中）直线过点，则直线与轴正半轴、轴正半轴围成三角形面积的最小值为 ． 16.（23-24高二上·湖北武汉·期中）在中，边所在的直线斜率为，其中顶点点坐标为，顶点的坐标为． (1)求边上的高所在的直线方程； (2)若，的中点分别为，，求直线的方程． 17.（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知直线的方程为，若直线过点，且. (1)求直线的方程； (2)已知直线经过直线与直线的交点，且在轴上截距是在轴上截距的倍，求直线的方程. 三．两直线位置关系（共8小题） 18．（23-24高二上·四川内江·期中）已知两条直线，若与平行，则实数（    ） A． B．3 C．或3 D．1或 19.（23-24高二上·江苏南通·期中）已知直线与垂直，则实数a的值是（   ） A．0或3 B．3 C．0或 D． 20.（24-25高二上·浙江宁波·期中）直线和直线，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 21．（23-24高三下·安徽芜湖·阶段练习）已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 22．（23-24高二上·湖南·期中）已知，是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况，下列说法正确的是（    ） A．无论，，如何，总是无解 B．无论，，如何，总有唯一解 C．存在，，，使是方程组的一组解 D．存在，，，使之有无穷多解 23．（22-23高二上·全国·期中）(多选)若直线与直线的交点在第四象限，则实数的取值可以是（   ） A．0 B． C． D． 24．（23-24高二上·天津南开·期中）已知直线与直线． (1)当m为何值时，与相交； (2)当m为何值时，与平行，并求与的距离； (3)当m为何值时，与垂直． 25.（23-24高二上·陕西西安·期中）（1）已知向量，．若，求实数，的值． （2）直线经过点，且与直线垂直，求直线的方程． （3）求过两条直线和的交点，且与平行的直线方程． 四．直线中有关距离问题（共4小题） 26.（23-24高二上·河南商丘·期中）已知点，，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高二上·江苏无锡·期中）(多选)已知，点到直线：的垂足为，，，则（    ） A．直线过定点 B．点到直线的最大距离为 C．的最大值为 D．的最小值为 28.（23-24高二上·河北石家庄·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为 B．方程表示过点的所有直线 C．当点到直线的距离最大时，的值为 D．已知直线过定点且与以、为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 29.（23-24高二上·四川内江·期中）已知的顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为. (1)求直线的方程和点C的坐标； (2)求的面积． 五．直线方程恒过定点问题（共5小题） 30.（23-24高二上·北京西城·期中）任意的，直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 31.（23-24高二上·安徽六安·期末）直线，当变动时，所有直线都通过定点（    ） A． B． C． D． 32.（23-24高二上·山东临沂·期中）(多选)已知直线与，下列选项正确的是（    ） A．若，则或 B．若直线不经过第四象限，则 C．直线恒过点 D．若直线在轴上的截距为6，则直线的斜截式方程为 33．（23-24高三上·湖北·期中）（多选）设，过定点A的动直线：与过定点B的动直线：交于点P，则下列说法正确的有（    ） A． B．面积的最大值为 C． D．的最大值为 34.（23-24高二上·四川凉山·期中）已知直线l：．（其中a为参数，） (1)若不论x取何值，直线l恒过一定点A，求该定点A的坐标； (2)若直线l不过第二象限，求实数a的取值范围． 六．直线方程有关最值问题（共4小题） 35.（23-24高二上·山东·期中）已知直线过点． (1)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)设为坐标原点，若与轴正半轴交于点与轴正半轴交于点，求面积的最小值． 36.（23-24高二上·四川内江·期中）已知直线：. (1)求证：直线与直线总有公共点； (2)若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程. 37.（23-24高二上·江苏·期中）已知直线分别交轴、轴的正半轴于点A，B，O为坐标原点． (1)若，求实数的值； (2)求的最小值． 38．（23-24高二上·浙江·期中）在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答． ①与直线垂直； ②过点； ③与直线平行． 问题：已知直线过点，且 ． (1)求直线的一般式方程； (2)已知，O为坐标原点，在直线上求点N坐标，使得最大． $$专题01 直线与直线的方程（易错必刷38题6种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 倾斜角和斜率 · 直线的方程 · 两直线位置关系 · 直线中有关距离问题 · 直线方程恒过定点问题 · 直线方程有关最值问题 一．倾斜角和斜率（共9小题） 1.（22-23高二上·广东湛江·期中）经过点，倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为直线的倾斜角为，所以斜率， 又因为直线过点，所以直线的点斜式方程为，即. 故选：B. 2．（23-24高二上·四川宜宾·期中）已知点，则直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知直线的斜率为. 故选：A 3．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知两点，，过点的直线与线段（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示，    直线逆时针旋转到的位置才能保证过点的直线与线段有交点， 从转到过程中，倾斜角变大到，斜率变大到正无穷， 此时斜率，所以此时； 从旋转到过程中，倾斜角从开始变大，斜率从负无穷开始变大， 此时斜率，所以此时， 综上可得直线的斜率的取值范围为. 故选：A 4．（2024高而·全国·专题练习）若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为直线恒过点， 直线与坐标轴的交点分别为， 直线的斜率，此时倾斜角为； 直线的斜率不存在，此时倾斜角为； 所以直线的倾斜角的取值范围是. 故选：B. 5．（2024·广东江门·期中）如图，的顶点都在坐标轴上，直线的斜率为，直线的斜率为，则（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可得， 又，得，，得， . 故选：C. 6．（23-24高二上·安徽·期中）（多选）已知直线，其中，，的图象如图所示，直线，的斜率分别为，，纵截距分别为，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】解：由图可知，，， 故选：AC． 7.（23-24高二上·天津武清·阶段练习）若直线l的斜率，则直线l的倾斜角θ的取值范围为 ． 【答案】 【详解】根据的部分图象，结合倾斜角定义范围， 可以得出倾斜角θ的取值范围为． 故答案为： 8．（22-23高二上·安徽芜湖·期中）已知曲线，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】函数， 则函数在上单调递增，在上单调递减，函数图象如下所示： 当时，即，当时，则， 表示曲线上的点与连线的斜率，令， 又，， 由图可得或， 即的取值范围为. 故答案为： 9．（23-24高二上·上海·期末）直线的斜率的取值范围为，则其倾斜角的取值范围是 . 【答案】 【详解】设直线的倾斜角为，斜率为，因为， 又因为，所以， 故答案为：. 二．直线的方程（共8小题） 10.（23-24高二·全国·课后作业）经过两点的直线方程都可以表示为（    ） A．＝ B．＝ C． D．＝ 【答案】C 【详解】当时，由两点式可得直线方程为：＝， 化为：， 对于或时上述方程也成立， 因此直线方程为：. 故选：C. 11.（23-24高二上·湖南邵阳·期中）已知直线，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角是 B．直线在轴上的截距为1 C．若直线，则 D．过与直线平行的直线方程是 【答案】D 【详解】直线变为， 对于A，直线的斜率为，所以倾斜角为，A错误， 对于B，令，则，所以x轴上的截距为，B错误， 对于C，的斜截式方程为，斜率为，由于，所以不垂直，故C错误， 对于D，直线的斜率为，所以过与直线平行的直线方程是，即为，故D正确， 故选：D 12.（23-24高二上·浙江杭州·期中）(多选)下列说法正确的是（   ） A．直线必过定点 B．直线在y轴上的截距为1 C．直线的倾斜角为 D．点，直线与线段相交，则实数m的取值范围是或 【答案】AC 【详解】A选项，过定点，A选项正确. B选项，直线即，纵截距为，B选项错误. C选项，直线的斜率为， 倾斜角为，C选项正确. D选项，直线即过定点， 画出图象如下图所示， 其中， 直线的斜率为，所以或， 解得或，所以D选项错误. 故选：AC 13.（23-24高二上·河北石家庄·期中）（多选）下列说法正确的有（    ） A．过点和的直线l的一个方向向量为 B．过点且倾斜角为的直线方程为 C．过两点的直线方程为 D．过点且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为 【答案】AB 【详解】对A，,所以, 所以是直线l的一个方向向量，A正确； 对B，过点且倾斜角为的直线方程为，即，B正确； 对C，因为两点式方程中，， 所以过两点的直线不一定能表示为两点式方程，C错误； 对D，过点且在x轴、y轴上截距相等且等于0时，直线方程为； 过点且在x轴、y轴上截距相等且不等于0时，设方程为， 则，解得，所以直线方程为，D错误； 故选:AB. 14.（23-24高一下·江苏徐州·期中）直线l过点，且与x轴、y轴分别交于A，B两点，若点P恰为AB的中点，则直线l的方程为 . 【答案】. 【详解】设, 因为点P恰为AB的中点，则，， 所以，即A，B两点的坐标分别为, 由截距式得直线l的方程为，即. 故答案为：. 15.（23-24高二上·四川成都·期中）直线过点，则直线与轴正半轴、轴正半轴围成三角形面积的最小值为 ． 【答案】 【详解】直线过点，则， 当，时，，即， 当且仅当，即，时等号成立， 直线与轴正半轴、轴正半轴围成三角形面积为， 故答案为： 16.（23-24高二上·湖北武汉·期中）在中，边所在的直线斜率为，其中顶点点坐标为，顶点的坐标为． (1)求边上的高所在的直线方程； (2)若，的中点分别为，，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意知边上的高过，， 因为边上的高所在的直线与所在的直线互相垂直， 故高线的斜率为， 所以边上的高所在的直线方程为：，即； （2）由已知点坐标为，，故的中点为， 因为是的一条中位线，所以， 而，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，化简可得． 17.（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知直线的方程为，若直线过点，且. (1)求直线的方程； (2)已知直线经过直线与直线的交点，且在轴上截距是在轴上截距的倍，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由已知以及直线的方程，可设直线的方程为. 直线过点，所以有，解得， 所以，直线的方程为. （2）联立直线与直线的方程，可得， 所以，直线与直线的交点为. 当直线过原点时，设方程为，代入点可得， 所以，直线的方程为，即； 当直线不过原点时，由已知可设直线方程为， 代入点可得，，解得， 代入直线方程，整理可得. 综上所述，直线的方程为或. 三．两直线位置关系（共8小题） 18．（23-24高二上·四川内江·期中）已知两条直线，若与平行，则实数（    ） A． B．3 C．或3 D．1或 【答案】A 【详解】直线平行，则， 所以. 故选：A 19.（23-24高二上·江苏南通·期中）已知直线与垂直，则实数a的值是（   ） A．0或3 B．3 C．0或 D． 【答案】D 【详解】直线与直线互相垂直， ， 即， 解得或不满足直线，舍去 故选：D. 20.（24-25高二上·浙江宁波·期中）直线和直线，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由题设， 解得或. 故，. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 21．（23-24高三下·安徽芜湖·阶段练习）已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【详解】当时，， 即，则，即； 当时，，解得. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 22．（23-24高二上·湖南·期中）已知，是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况，下列说法正确的是（    ） A．无论，，如何，总是无解 B．无论，，如何，总有唯一解 C．存在，，，使是方程组的一组解 D．存在，，，使之有无穷多解 【答案】B 【详解】直线的斜率存在， ∴， 由题意， 则， 故：与：相交， ∴方程组总有唯一解，A，D错误，B正确； 若是方程组的一组解，则， 则点，在直线，即上， 但已知这两个点在直线上，而这两条直线不是同一条直线， ∴不可能是方程组的一组解，C错误. 故选：B. 23．（22-23高二上·全国·期中）(多选)若直线与直线的交点在第四象限，则实数的取值可以是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】AC 【详解】联立方程， 解得 ， 因为交点在第四象限， 可得，解得 故选：AC. 24．（23-24高二上·天津南开·期中）已知直线与直线． (1)当m为何值时，与相交； (2)当m为何值时，与平行，并求与的距离； (3)当m为何值时，与垂直． 【答案】(1)且 (2)， (3)或 【详解】（1）由直线与相交，则，解得且. （2）由直线与平行，则，解得， 所以此时直线，， 所以与的距离为. （3）由直线与垂直，则，解得或. 25.（23-24高二上·陕西西安·期中）（1）已知向量，．若，求实数，的值． （2）直线经过点，且与直线垂直，求直线的方程． （3）求过两条直线和的交点，且与平行的直线方程． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）由于，所以，解得. （2）直线的斜率为， 所以直线的方程为. （3）由解得， 设所求直线方程为，代入得， 故所求直线方程为. 四．直线中有关距离问题（共4小题） 26.（23-24高二上·河南商丘·期中）已知点，，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示， 设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 所以． 故选：C. 27．（23-24高二上·江苏无锡·期中）(多选)已知，点到直线：的垂足为，，，则（    ） A．直线过定点 B．点到直线的最大距离为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】AB 【详解】 已知， 则，故直线过定点，正确； 设的坐标为，则点到直线的最大距离即，正确； 过点作直线直线：的垂线，垂足为，则恒成立，故的轨迹是以为直径的圆， 而，，则该圆的圆心为，半径，故的轨迹方程为， 又由，则，故N在圆外，故的最大值为，最小值为，故,错误． 故选：． 28.（23-24高二上·河北石家庄·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为 B．方程表示过点的所有直线 C．当点到直线的距离最大时，的值为 D．已知直线过定点且与以、为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 【答案】ACD 【详解】对于A选项，若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为，A对； 对于B选项，方程表示过点，且斜率为的直线，但不包括直线，B错； 对于C选项，将直线方程变形为，由可的， 所以，直线过定点， 当直线与垂直时，点到直线的距离最大时， 因为，则，C对； 对于D选项，如图， ，，所以由图可知，或， 则斜率的取值范围是，D对. 故选：ACD. 29.（23-24高二上·四川内江·期中）已知的顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为. (1)求直线的方程和点C的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)，，(2). 【详解】（1）由点在上，设点的坐标是，则的中点在直线上， 于是，解得，即点， 设关于直线的对称点为，则有，解得，即， 显然点在直线上，直线的斜率为， 因此直线的方程为，即， 由，解得，则点， 所以直线的方程为，点C的坐标为.    （2）由（1）得，点到直线的距离， 所以的面积. 五．直线方程恒过定点问题（共5小题） 30.（23-24高二上·北京西城·期中）任意的，直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，即， 所以直线恒过定点. 故选：C. 31.（23-24高二上·安徽六安·期末）直线，当变动时，所有直线都通过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：直线方程转化为：， 令，解得， 所以直线过定点， 故选：A． 32.（23-24高二上·山东临沂·期中）(多选)已知直线与，下列选项正确的是（    ） A．若，则或 B．若直线不经过第四象限，则 C．直线恒过点 D．若直线在轴上的截距为6，则直线的斜截式方程为 【答案】CD 【详解】对于A项，由可得，或. 当时，直线可化为， 直线，此时，满足； 当时，直线， 直线，可化为，此时重合，不满足，舍去. 所以，，故A错误； 对于B项，当时，直线可化为，不经过第四象限； 当时，将直线化为，. 要使不经过第四象限，则应有，所以. 综上所述，当时，直线不经过第四象限，故B错误； 对于C项，直线可化为， 由可得，，所以直线恒过点，故C正确； 对于D项，由已知可得，直线过点， 所以有，所以. 直线的方程为，化为斜截式方程可得，故D正确. 故选：CD. 33．（23-24高三上·湖北·期中）（多选）设，过定点A的动直线：与过定点B的动直线：交于点P，则下列说法正确的有（    ） A． B．面积的最大值为 C． D．的最大值为 【答案】BCD 【详解】A中：直线：，令，则，则定点， ：，化简得，令，则，则， 当时，直线：，直线：，此时两直线垂直， 当，，显然，两直线垂直， 综上两直线互相垂直，则； B中：， 当且仅当时等号成立，B对； C中：由，知：知：，当且仅当时等号成立，C对. 对于D，在中，， 设，，， 所以，当且仅当时等号成立，故D正确． 故选：BCD． 34.（23-24高二上·四川凉山·期中）已知直线l：．（其中a为参数，） (1)若不论x取何值，直线l恒过一定点A，求该定点A的坐标； (2)若直线l不过第二象限，求实数a的取值范围． 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）由化为， 当时，无论a取何值都有． 所以直线l恒过定点． （2）由（1）知，直线l恒过定点，要使直线l不过第二象限， 故直线l过原点时倾斜角最小，且直线斜率恒正， 所以，只需直线的斜率，即. 六．直线方程有关最值问题（共4小题） 35.（23-24高二上·山东·期中）已知直线过点． (1)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)设为坐标原点，若与轴正半轴交于点与轴正半轴交于点，求面积的最小值． 【答案】(1)或 (2)4 【详解】（1）①当直线过坐标原点，直线过点． 所以方程为，即； ②当直线不过坐标原点，，设方程为， 由直线过点，将代入方程得，解得， 所以直线的方程为，即； 综上：的方程为或. （2）由题意知斜率存在且小于0，设方程为， 令，解得；令，解得； 因为，所以，， 所以面积 ， 当且仅当即时取等号， 所以面积的最小值为4. 36.（23-24高二上·四川内江·期中）已知直线：. (1)求证：直线与直线总有公共点； (2)若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程. 【答案】(1)证明过程见解析 (2)最小值为，此时直线的方程为. 【详解】（1）直线变形为， 令，解得，故直线恒过点， 又，故点在上， 故直线与直线总有公共点； （2）直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点， 故直线的斜率存在且大于0，故， 中，令，得， 中，令，得， 显然，解得， 则， 令， 则， 因为，所以当时，取得最小值，最小值为，所以的最小值为16， 此时，，直线的方程为. 37.（23-24高二上·江苏·期中）已知直线分别交轴、轴的正半轴于点A，B，O为坐标原点． (1)若，求实数的值； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意易得直线AB过定点，又 ，且， 则，而是直角三角形， 故M为AB的中点， 故， 故． （2）设，，其中，，则直线AB的方程可写成， 将代入得，， 故， 当且仅当，即，亦即时取等号， 故的最小值为． 38．（23-24高二上·浙江·期中）在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答． ①与直线垂直； ②过点； ③与直线平行． 问题：已知直线过点，且 ． (1)求直线的一般式方程； (2)已知，O为坐标原点，在直线上求点N坐标，使得最大． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）选择①与直线垂直， 则直线的斜率，解得，又其过点， 则直线的方程为：，整理得：； 选择②过点，又直线过点 则直线的斜率， 则直线的方程为：，整理得：； 选择③与直线平行， 则直线的斜率，又其过点， 则直线的方程为：，整理得：； 综上所述，不论选择哪个条件，直线的方程均为：． （2）根据（1）中所求，可得直线的方程为：，又， 设点O关于直线的对称点为， 则，且，解得； 显然， 当且仅当Q，N，M（Q在线段MN上）三点共线时取得等号； 又直线QM的斜率，故其方程为：，即， 由，得， 则点N的坐标为时，使得最大. $$