专题01 直线与直线的方程（考点清单，6个考点梳理+6大题型解读）高二数学上学期北师大版选择性必修第一册

清单01 直线的方程（6个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】直线的倾斜角 以轴为基准，轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. 当直线与轴平行或者重合时，我们规定它的倾斜角为；所以倾斜角的取值范围为：； 特别地，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角为. 【清单02】直线的斜率 1．直线的斜率 把一条直线的倾斜角α（不等于）的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. 注：（1）倾斜角不是的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同； （2）倾斜角时，直线的斜率不存在。 2.在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记. 倾斜角α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150° 斜率k 0 1 － －1 － 3.斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 斜率的增减性 随的增大而增大 随的增大而增大 4.过两点的直线的斜率公式 如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式： （1）当 时，直线与轴垂直，直线的倾斜角，斜率不存在； （2）当 时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴重合或者平行。 【清单03】直线的五种方程 1.直线的点斜式方程 已知条件（使用前提） 直线过点和斜率（已知一点+斜率） 图示 点斜式方程形式 适用条件 斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程） 2.直线的斜截式方程 已知条件（使用前提） 直线的斜率为且在轴上的纵截距为（已知斜率+纵截距） 图示 点斜式方程形式 适用条件 斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程） 3.直线的两点式方程 已知条件（使用前提） 直线上的两点，（，）（已知两点） 图示 点斜式方程形式 适用条件 斜率存在且不为0； 当直线没有斜率()或斜率为时，不能用两点式求出它的方程 4.直线的截距式方程 已知条件（使用前提） 直线在轴上的截距为，在轴上的截距为 图示 点斜式方程形式 适用条件 ， 5.直线的一般式方程 定义:关于,的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于,的二元一次方程(其中,不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式. 说明： 、不全为零才能表示一条直线，若、全为零则不能表示一条直线. 当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线． 当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线． 由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线． 【清单04】两直线的位置关系 1、两直线平行 对于两条不重合的直线，，其斜率分别为，，有. 对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点 (1)成立的前提条件是： ①两条直线的斜率都存在；②与不重合． (2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则. 2、两条直线垂直 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于；反之，如果它们的斜率之积等于，那么它们互相垂直，即. 对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点 (1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②且. (2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直． 3、两条直线的交点坐标 (1)两条直线的交点坐标 将两条直线的方程联立，得方程组 （2）过两条直线交点的直线系方程 过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为参数，不包含l2)． 【清单05】直线方程有关距离问题 1.两点间的距离 平面上任意两点，间的距离公式为 2.点到直线的距离 平面上任意一点到直线：的距离. 3.两条平行线间的距离 一般地，两条平行直线：（）和：（）间的距离. 【清单06】对称问题 (1)中心对称 ①点关于点的对称．若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得 ②直线关于点的对称 (2)轴对称 ①点(x1，y1)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的对称点(x2，y2)可由 得出．对称点坐标x2＝x1－2A·，y2＝y1－2B· ②直线关于直线对称 求直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0关于l：Ax＋By＋C＝0对称的直线l2的方程的方法：转化为点关于直线对称．在l1上任取两点P1和P2，求出P1，P2关于l的对称点，再用两点坐标求出l2的方程． 【考点题型一】倾斜角和斜率 【例1】（23-24高二上·山东济宁·期中）设点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【详解】依题意，直线的斜率分别为， 如图所示： 若直线过点且与线段相交， 则的斜率满足或， 即的斜率的取值范围是或 . 故选：B 【变式1-1】.【多选】（23-24高二上·河南信阳·期中）若直线与轴交于点，其倾斜角为，直线绕点顺时针旋转45°后得直线，则直线的倾斜角可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】解析：当时，直线的倾斜角为（如直线AC旋转至直线AD）； 当时，直线的倾斜角为（如直线AD旋转至直线AB）. 故选：BC. 【变式1-2】.（23-24高二上·福建福州·期中）已知两条直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为.若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意得，，，， 而在和上单调递增，且在上，， 在上，所以，即. 故选：D 【变式1-3】.（23-24高二上·福建莆田·期中）已知，若点在线段上，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】设，则，， 点是线段上的任意一点， 的取值范围是,， 故答案为：, 【变式1-4】（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知点、、， 过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（　　） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【详解】如图，过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率或， 而，于是直线l的斜率或， 所以直线l斜率k的取值范围是， 故选：C 【变式1-5】（2024·高二上·四川宜宾期中）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设直线的倾斜角为， 则有，， 作出()的图象，如图所示： 由此可得. 故选：A. 【考点题型二】直线的五种方程 【例2】（23-24高二上·吉林延边·期中）已知直线，直线与直线垂直，且直线，的交点的横坐标与纵坐标相等． (1)求直线的方程； (2)若直线l被直线，所截得的线段恰好被点平分，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意设直线，的交点坐标为，则，得， 所以直线，的交点坐标为， 由题意设直线为，则，得， 所以直线的方程为； （2）设直线l交直线，分别于点， 因为为的中点，所以， 因为，， 所以，即， 由，解得， 所以，所以， 所以， 所以直线的方程为，即. 【变式2-1】.【多选】（2024·江苏·高二期中）下列说法错误的是（    ） A．过定点的直线都可用方程表示 B．过定点的直线都可用方程表示 C．过任意两个点，的直线都可用方程 表示 D．不过原点的直线都可用方程表示 【答案】ABD 【详解】因为直线与轴垂直时不能用点斜式与斜截式表示，所以选项AB不正确； 因为直线与坐标轴垂直时不能与截距式表示，所以选项D不正确； C选项，过任意两个点，的直线，斜率存在时，方程为，可化为；斜率不存在时，，直线方程为也满足，故C正确； 故选：ABD. 【变式2-2】.（2024··江苏南京·高二南京市期中）过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或或 【答案】D 【详解】当此直线过原点时，直线方程为，化为； 当此直线不过原点时，设直线的方程为，或， 把点分别代入可得，或，解得，． 直线的方程为或． 综上可知：直线的方程为或，． 故选：D． 【变式2-3】.（2024·广东江门·高二统考期中）直线（不同时为0），则下列选项正确的是（    ） A．无论取任何值，直线都存在斜率 B．当，且时，直线只与轴相交 C．当，或时，直线与两条坐标轴都相交 D．当，且，且时，直线是轴所在直线 【答案】D 【详解】解：对于A选项，当，且时，直线斜率不存在，故错误； 对于B选项，当，且，时，直线只与轴相交；当，且，时，直线与轴重合，故错误； 对于C选项，当，且时，直线与两条坐标轴都相交，故错误； 对于D选项，当，且，且时，直线方程为，即轴所在直线，故正确. 故选：D 【变式2-4】.（2024·上海·高二专题练习）过点作直线分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点. (1)当△AOB面积最小时，求直线的方程； (2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线的方程. 【答案】（1）；（2） 【详解】由题意设，，其中，为正数，可设直线的截距式为，直线过点，， （1）由基本不等式可得，解得：，当且仅当，即且时，上式取等号， 面积，则当，时，面积最小，此时直线的方程为，即， （2）由于，当且仅当，即且时取等号， 所以当，时，的值最小，此时直线的方程为，即． 【变式2-5】（23-24高二上·河北保定·期末）已知的顶点，边上的高所在的直线方程为． (1)求直线的方程； (2)在两个条件中任选一个，补充在下面问题中． ①角A的平分线所在直线方程为 ②BC边上的中线所在的直线方程为 ______，求直线的方程． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）因为边上的高所在的直线方程为， 所以直线的斜率为 ， 又因为 的顶点， 所以直线的方程为：，即 ； （2）若选①，角A的平分线所在直线方程为， 由，解得，所以点A坐标为 ， 设点B关于的对称点为， 则，解得， 即坐标为， 又点在直线上，所以， 所以直线的方程为，即. 若选②：边上的中线所在的直线方程为， 由，解得 ，所以点 ， 设点 ，则的中点在直线上， 所以 ， 即，所以点C在直线上， 又点C在直线上，联立 ， 解得，即得， 所以，所以直线的方程为， 即直线的方程为 . 【考点题型三】两直线平垂直位置关系 【例3】.（23-24高二上·浙江丽水·期中）已知直线，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】当时，，即，解得， 当时，，，此时； 当时，即， ，即，此时； 故“”是“”的充要条件， 即“”是“”的充分不必要条件. 故选：B 【变式3-1】.（23-24高二上·福建莆田·期中）若直线与直线垂直.则（    ） A．1 B． C．0 D．0或 【答案】D 【详解】由直线与直线垂直，得， 所以或. 故选：D 【变式3-2】.（23-24高二上·吉林延边·期中）过两条直线，的交点，且与直线垂直的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得， 设与直线垂直的直线的方程为，则 ，得， 所以所求直线方程为. 故选：A 【变式3-3】.（23-24高二下·上海·期中）直线，若三条直线无法构成三角形，则实数可取值的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【详解】①时，则，解得，经检验符合题意； ②时，则，解得，经检验符合题意； ③时，则，解得，经检验符合题意； ④三条直线交于一点，解得或， 则实数可取值的集合为，即符合题意的实数共6个. 故选：D 【变式3-4】.（23-24高二上·全国·课后作业）直线，直线与平行，且直线与垂直，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】因为直线与平行， 并且直线，所以，. 又因为直线与垂直，所以，. 所以. 故选：B. 【变式3-5】（2024·江苏扬州·高二统考开学考试）已知直线，求： (1)过点且与直线l平行的直线的方程； (2)过点且与直线l垂直的直线的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为直线的斜率为， 所以与直线l平行的直线的斜率为， 又所求直线过， 所以所求直线方程为，即． （2）因为直线的斜率为， 所以与直线l垂直的直线的斜率为， 又所求直线过， 所以所求直线方程为，即． 【考点题型4】求两直线的交点问题 【例4】.（2024·高二课时练习）已知直线过直线和直线的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（　　） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【详解】由方程组，解得，所以两直线的交点坐标为， 因为直线在两坐标轴上的截距互为相反数， 当直线与两坐标轴的截距不为时，可设直线的方程为， 因为直线过两直线的交点，代入可得， 所以直线的方程为； 当直线在两坐标轴的截距等于时，设直线的方程为， 因为直线过两直线的交点，代入可得，即直线的方程为， 综上可得，直线的方程为或. 故选：C. 【变式4-1】（23-24高二下·上海·期中）两直线和的交点为 ． 【答案】 【详解】由题意可得，解得， 交点坐标为. 故答案为： 【变式4-2】（2024·江苏·高二专题练习）若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 【答案】C 【详解】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行， ∵直线和直线不平行， ∴直线和直线平行或直线和直线平行， ∵直线的斜率为1，直线的斜率为，直线的斜率为， ∴或. 故选：C. 【变式4-3】（2024·高二课时练习）已知两直线和的交点为．求： (1)过点与的直线方程； (2)过点且与直线平行的直线方程． 【答案】(1) (2) （1）设过直线和交点的直线方程为，即．①把点代入方程①，化简得，解得，所以过点P与Q的直线方程为，即． （2）由两直线平行，得，得，所以所求直线的方程为，即． 【变式4-4】（福建省连江第一中学2023-2024学年高二上学期11月期中联考数学试题）已知直线的方程为，若直线在轴上的截距为，且． (1)求直线和的交点坐标； (2)已知直线经过与的交点，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为，求直线的方程． 【答案】(1)；(2)或. 【详解】（1）（1）因为，又直线的斜率, 所以直线的斜率,则. 由 所以直线和的交点坐标为. （2）由题意知的斜率k存在，设 令得，令得， 因为直线与两坐标轴的正半轴相交，所以，解得， ，解得或， 即或. 【考点题型五】直线有关距离问题 【例5】.（23-24高二上·上海·期末）已知直线的倾斜角为，，且这条直线经过点. (1)求直线的方程； (2)直线恒过定点，求点到直线的距离. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，，则，， ∴直线的斜率，且直线过点， ∴由直线的点斜式方程得， 即， ∴所求直线的方程为； （2）∵直线化简得：， ∴定点， 则点到直线的距离为： ， 故到直线的距离为. 【变式5-1】.（23-24高一·全国·课后作业）点到直线的距离等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线方程化为， 由点到直线的距离公式得． 故选：B. 【变式5-2】.（23-24高二上·贵州铜仁·期中）（多选）已知两条平行直线，，直线，直线，直线，之间的距离为1，则的值可以是（    ） A． B． C．12 D．14 【答案】BD 【详解】将直线化为， 则，之间的距离， 即，解得或． 故选：BD． 【变式5-3】.（23-24高二上·北京海淀·期中）点到直线的距离最大时，直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由直线的方程整理可得：， 可得直线恒过定点，所以， 当 时，到直线的距离最大， 可得直线的斜率为，即， 所以直线的方程为， 即． 故选：． 【变式5-4】.（23-24高二上·甘肃兰州·期中）已知直线和直线. (1)试判断，能否平行，若平行，请求出两平行线之间的距离； (2)若原点到距离最大，求此时的直线的方程. 【答案】(1)能平行， (2) 【详解】（1）因为，所以直线的斜率为， 又，若，则斜率必存在，所以且斜率为， 由，得到或， 当时，，，此时与重合，不合题意， 当时，，，此时，所以，能平行， 两平行线之间的距离为. （2）由，得到，所以直线过定点， 当时，原点到的距离最大， 此时直线的斜率为，直线的斜率不存在， 所以此时的直线的方程为. 【变式5-5】（23-24高二上·湖南益阳·期末）设直线与直线交于P点. (1)当直线m过P点，且与直线垂直时，求直线m的方程； (2)当直线m过P点，且坐标原点O到直线m的距离为1时，求直线m的方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由，解得，即点. 由直线可知：. ，直线m的斜率，又直线m过点， 故直线m的方程为：，即. （2）因为直线m过点， ①当直线m的斜率存在时，可设直线m的方程为，即. 由坐标原点O到直线m的距离，解得， 因此直线m的方程为：，即. ②当直线m的斜率不存在时，直线m的方程为，验证可知符合题意. 综上所述，所求直线m的方程为或. 【考点题型六】对称问题 【例6】.（23-24高二上·上海浦东新·期末）一束光从光源射出，经轴反射后（反射点为），射到线段上处． (1)若，求光从出发，到达点时所走过的路程； (2)若，求反射光的斜率的取值范围； (3)若，求光从出发，到达点时所走过的最短路程． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）关于轴的对称点，， 由 ，则此时， 所以光所走过的路程即． （2）对于线段，令其端点， 则， 所以反射光斜率的取值范围是． （3）若反射光与直线垂直，则由． ①当，即时，光所走过的最短路程为点到直线的距离， 所以路程． ②当，即时，光所走过的最短路程为线段，其中， 所以． 综上：． 【变式6-1】.（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，解得，则直线与直线交于点， 在直线上取点，设点关于直线的对称点， 依题意，，整理得，解得，即点， 直线的方程为，即， 所以直线关于直线对称的直线方程为. 故选：D 【变式6-2】.（23-24高二上·湖北荆门·期末）一条光线从射出与x轴相交于点，经x轴反射，交y轴于R，则光线从P到R所走的路程为 ． 【答案】 【详解】关于x轴的对称点， 光线从射出与x轴相交于点， 则反射光线所在的直线经过点，Q， 则反射光线所在直线的方程为，化简得，得， 所以则光线从P到R所走的路程为． 故答案为：. 【变式6-3】.（23-24高二上·贵州安顺·期中）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”这是唐代边塞诗人李颀的《古从军行》中的诗句，诗句中隐含着一个著名的数学问题——“将军饮马”问题，即将军白天察看烽火台之后，从山脚下的某处返回军营，途中须到河边饮马然后再赶回军营，将军怎样走才能使返回总路程最短？已知在平面直角坐标系中，军营所在位置为坐标原点，将军从山脚下的点处出发返回军营，河岸线所在直线方程为．则返回总路程最短为 ． 【答案】 【详解】过作关于直线对称的点， 设，所以，解得， 所以，故最短距离为. 故答案为：    【变式6-4】.（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知光线经过点，在直线上反射，且反射光线经过点，求： (1)入射光线与直线l的交点． (2)入射光线与反射光线所在直线的方程． 【答案】(1) (2)入射光线的方程，反射光线的方程 【详解】（1）解：设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 则反射光线所在的直线的方程，即， 又由，解得， 即直线与直线的交点为. （2）解：由点，可得， 所以入射光线所在的直线的方程为，即， 反射光线所在直线的的方程，即. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 直线与直线的方程（6个考点梳理+6大题型解读） 【清单01】直线的倾斜角 以轴为基准，轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. 当直线与轴平行或者重合时，我们规定它的倾斜角为；所以倾斜角的取值范围为：； 特别地，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角为. 【清单02】直线的斜率 1．直线的斜率 把一条直线的倾斜角α（不等于）的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. 注：（1）倾斜角不是的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同； （2）倾斜角时，直线的斜率不存在。 2.在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记. 倾斜角α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150° 斜率k 0 1 － －1 － 3.斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 斜率的增减性 随的增大而增大 随的增大而增大 4.过两点的直线的斜率公式 如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式： （1）当 时，直线与轴垂直，直线的倾斜角，斜率不存在； （2）当 时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴重合或者平行。 【清单03】直线的五种方程 1.直线的点斜式方程 已知条件（使用前提） 直线过点和斜率（已知一点+斜率） 图示 点斜式方程形式 适用条件 斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程） 2.直线的斜截式方程 已知条件（使用前提） 直线的斜率为且在轴上的纵截距为（已知斜率+纵截距） 图示 点斜式方程形式 适用条件 斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程） 3.直线的两点式方程 已知条件（使用前提） 直线上的两点，（，）（已知两点） 图示 点斜式方程形式 适用条件 斜率存在且不为0； 当直线没有斜率()或斜率为时，不能用两点式求出它的方程 4.直线的截距式方程 已知条件（使用前提） 直线在轴上的截距为，在轴上的截距为 图示 点斜式方程形式 适用条件 ， 5.直线的一般式方程 定义:关于,的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于,的二元一次方程(其中,不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式. 说明： 、不全为零才能表示一条直线，若、全为零则不能表示一条直线. 当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线． 当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线． 由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线． 【清单04】两直线的位置关系 1、两直线平行 对于两条不重合的直线，，其斜率分别为，，有. 对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点 (1)成立的前提条件是： ①两条直线的斜率都存在；②与不重合． (2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则. 2、两条直线垂直 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于；反之，如果它们的斜率之积等于，那么它们互相垂直，即. 对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点 (1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②且. (2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直． 3、两条直线的交点坐标 (1)两条直线的交点坐标 将两条直线的方程联立，得方程组 （2）过两条直线交点的直线系方程 过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为参数，不包含l2)． 【清单05】直线方程有关距离问题 1.两点间的距离 平面上任意两点，间的距离公式为 2.点到直线的距离 平面上任意一点到直线：的距离. 3.两条平行线间的距离 一般地，两条平行直线：（）和：（）间的距离. 【清单06】对称问题 (1)中心对称 ①点关于点的对称．若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得 ②直线关于点的对称 (2)轴对称 ①点(x1，y1)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的对称点(x2，y2)可由 得出．对称点坐标x2＝x1－2A·，y2＝y1－2B· ②直线关于直线对称 求直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0关于l：Ax＋By＋C＝0对称的直线l2的方程的方法：转化为点关于直线对称．在l1上任取两点P1和P2，求出P1，P2关于l的对称点，再用两点坐标求出l2的方程． 【考点题型一】倾斜角和斜率 【例1】（23-24高二上·山东济宁·期中）设点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式1-1】.【多选】（23-24高二上·河南信阳·期中）若直线与轴交于点，其倾斜角为，直线绕点顺时针旋转45°后得直线，则直线的倾斜角可能为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】.（23-24高二上·福建福州·期中）已知两条直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为.若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】.（23-24高二上·福建莆田·期中）已知，若点在线段上，则的取值范围是 . 【变式1-4】（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知点、、， 过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（　　） A． B． C． D．以上都不对 【变式1-5】（2024·高二上·四川宜宾期中）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为 （    ） A． B． C． D． 【考点题型二】直线的五种方程 【例2】（23-24高二上·吉林延边·期中）已知直线，直线与直线垂直，且直线，的交点的横坐标与纵坐标相等． (1)求直线的方程； (2)若直线l被直线，所截得的线段恰好被点平分，求直线l的方程． 【变式2-1】.【多选】（2024·江苏·高二期中）下列说法错误的是（    ） A．过定点的直线都可用方程表示 B．过定点的直线都可用方程表示 C．过任意两个点，的直线都可用方程 表示 D．不过原点的直线都可用方程表示 【变式2-2】.（2024··江苏南京·高二南京市期中）过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或或 【变式2-3】.（2024·广东江门·高二统考期中）直线（不同时为0），则下列选项正确的是（    ） A．无论取任何值，直线都存在斜率 B．当，且时，直线只与轴相交 C．当，或时，直线与两条坐标轴都相交 D．当，且，且时，直线是轴所在直线 【变式2-4】.（2024·上海·高二专题练习）过点作直线分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点. (1)当△AOB面积最小时，求直线的方程； (2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线的方程. 【变式2-5】（23-24高二上·河北保定·期末）已知的顶点，边上的高所在的直线方程为． (1)求直线的方程； (2)在两个条件中任选一个，补充在下面问题中． ①角A的平分线所在直线方程为 ②BC边上的中线所在的直线方程为 ______，求直线的方程． 【考点题型三】两直线平垂直位置关系 【例3】.（23-24高二上·浙江丽水·期中）已知直线，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-1】.（23-24高二上·福建莆田·期中）若直线与直线垂直.则（    ） A．1 B． C．0 D．0或 【变式3-2】.（23-24高二上·吉林延边·期中）过两条直线，的交点，且与直线垂直的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】.（23-24高二下·上海·期中）直线，若三条直线无法构成三角形，则实数可取值的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3-4】.（23-24高二上·全国·课后作业）直线，直线与平行，且直线与垂直，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式3-5】（2024·江苏扬州·高二统考开学考试）已知直线，求： (1)过点且与直线l平行的直线的方程； (2)过点且与直线l垂直的直线的方程． 【考点题型4】求两直线的交点问题 【例4】.（2024·高二课时练习）已知直线过直线和直线的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（　　） A． B．或 C．或 D．或 【变式4-1】（23-24高二下·上海·期中）两直线和的交点为 ． 【变式4-2】（2024·江苏·高二专题练习）若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 【变式4-3】（2024·高二课时练习）已知两直线和的交点为．求： (1)过点与的直线方程； (2)过点且与直线平行的直线方程． 【变式4-4】（福建省连江第一中学2023-2024学年高二上学期11月期中联考数学试题）已知直线的方程为，若直线在轴上的截距为，且． (1)求直线和的交点坐标； (2)已知直线经过与的交点，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为，求直线的方程． 【考点题型五】直线有关距离问题 【例5】.（23-24高二上·上海·期末）已知直线的倾斜角为，，且这条直线经过点. (1)求直线的方程； (2)直线恒过定点，求点到直线的距离. 【变式5-1】.（23-24高一·全国·课后作业）点到直线的距离等于（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】.（23-24高二上·贵州铜仁·期中）（多选）已知两条平行直线，，直线，直线，直线，之间的距离为1，则的值可以是（    ） A． B． C．12 D．14 【变式5-3】.（23-24高二上·北京海淀·期中）点到直线的距离最大时，直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【变式5-4】.（23-24高二上·甘肃兰州·期中）已知直线和直线. (1)试判断，能否平行，若平行，请求出两平行线之间的距离； (2)若原点到距离最大，求此时的直线的方程. 【变式5-5】（23-24高二上·湖南益阳·期末）设直线与直线交于P点. (1)当直线m过P点，且与直线垂直时，求直线m的方程； (2)当直线m过P点，且坐标原点O到直线m的距离为1时，求直线m的方程. 【考点题型六】对称问题 【例6】.（23-24高二上·上海浦东新·期末）一束光从光源射出，经轴反射后（反射点为），射到线段上处． (1)若，求光从出发，到达点时所走过的路程； (2)若，求反射光的斜率的取值范围； (3)若，求光从出发，到达点时所走过的最短路程． 【变式6-1】.（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】.（23-24高二上·湖北荆门·期末）一条光线从射出与x轴相交于点，经x轴反射，交y轴于R，则光线从P到R所走的路程为 ． 【变式6-3】.（23-24高二上·贵州安顺·期中）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”这是唐代边塞诗人李颀的《古从军行》中的诗句，诗句中隐含着一个著名的数学问题——“将军饮马”问题，即将军白天察看烽火台之后，从山脚下的某处返回军营，途中须到河边饮马然后再赶回军营，将军怎样走才能使返回总路程最短？已知在平面直角坐标系中，军营所在位置为坐标原点，将军从山脚下的点处出发返回军营，河岸线所在直线方程为．则返回总路程最短为 ． 【变式6-4】.（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知光线经过点，在直线上反射，且反射光线经过点，求： (1)入射光线与直线l的交点． (2)入射光线与反射光线所在直线的方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司8 学科网（北京）股份有限公司 $$