专题3.1 直线与圆的位置关系（易错、好题必刷题45题15种题型）（期中专项训练）九年级数学上学期青岛版

专题3.1 直线与圆的位置关系（易错、好题必刷45题15种题型专项训练） 目录 【题型01 判断直线和圆的位置关系】 1 【题型02 已知直线和圆的位置关系求半径的取值】 4 【题型03 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离】 8 【题型04 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离】 12 【题型05 求直线平移到与圆相切时运动的距离】 20 【题型06 切线的应用】 23 【题型07 有关切线的说法辨析】 28 【题型08 判断或补全使直线为切线的条件】 29 【题型09 证明某直线是圆的切线】 34 【题型10 切线的性质定理】 39 【题型11 切线的性质和判定的综合应用】 45 【题型12 应用切线长定理求证】 52 【题型13 应用切线长定理求解】 57 【题型14 圆的综合问题】 60 【题型15 过圆外一点作圆的切线（尺规作图）】 67 【题型01 判断直线和圆的位置关系】 【易错题精讲】（22-23九年级上·山东东营·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆心坐标是，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（    ） A．1 B．1或5 C．3 D．5 【答案】B 【思路点拨】本题考查了直线与圆的位置关系，分圆心在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况，根据半径等于圆心到直线的距离写出答案即可，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径，注意分类讨论． 【规范解答】解：当位于y轴的左侧且与y轴相切时，此时圆心P到y轴的距离是2， P的坐标为，所以平移的距离为； 当位于y轴的右侧且与y轴相切时，此时圆心P到y轴的距离是2， P的坐标为，所以平移的距离为， 故选：B． 【变式训练1-1】（22-23九年级上·广东韶关·期中）两同心圆的半径分别是10和6，大圆的弦长16，与小圆的位置关系是 ． 【答案】相切 【思路点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，直线与圆的关系，掌握圆的相关性质是解题关键．过O作于C，连接，由垂径定理可知，再由勾股定理得出，根据O到的距离等于小圆的半径，即可求解． 【规范解答】解：如图，过O作于C，连接， ∵，过圆心O， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即O到的距离等于小圆的半径， ∴与小圆的位置关系是相切， 故答案为：相切． 【变式训练1-2】（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在矩形中，，，P是边上一点，过点A、B、P、作 (1)圆心O在上吗？为什么？ (2)当时，判断与的位置关系； (3)当与相切时，求被截得的弦长． 【答案】(1)圆心O在上，理由见详解 (2)与相离，理由见详解 (3) 【思路点拨】此题主要考查切线的判定与性质及矩形的性质等知识点的综合运用． （1）根据是圆周角，则是圆的直径； （2）与相离，可以说明到圆心的距离大于半径． （3）因为与相切，则是梯形的中位线．在直角中根据勾股定理就可以得到． 【规范解答】（1）解：圆心O在上，理由如下： 在矩形中， 根据的圆周角所对的弦是直径，则圆心O在上； （2）过圆心作交、于点、； ， ,, ,, 四边形是矩形， ， ， ， 与相离； （3）连接，交于点， 是直径， ， 又， ， 是的中点， 是的中点， ， 又 ， 与相切，为切点，设，则， 在直角中，， ， 解得：． ，即被截得的弦长为． 【题型02 已知直线和圆的位置关系求半径的取值】 【易错题精讲】（21-22九年级上·江苏连云港·期中）张师傅要在如图所示的钝角三角形铁片上截取一个面积最大的半圆形工件，如果要求半圆形工件的直径恰好在三角形铁片的最长边上． （1）请你帮助张师傅作出符合条件的半圆形工件的示意图（不写作法，保留作图痕迹）； （2）如果，，，试用含a的代数式表示所作圆形工件的半径（答案保留根号） 【答案】（1）见解析；（2） 【思路点拨】（1）先作∠BAC的平分线交BC于点O，再过点O作OW垂直AC于点W，然后以O为圆心，OW长为半径作圆O，即可求解； （2）过点O作OE⊥AB于点E，则OE=OW，设 ，由，，可得 ， ，从而得到 ，即可求解． 【规范解答】解：（1）如图，半圆 即为所求； （2）过点O作OE⊥AB于点E，则OE=OW， 设 ， ∵，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， ， ∵， ∴ ， 解得： ． 【考点评析】本题主要考查了角平分线的性质，圆的基本性质，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 【变式训练2-1】（18-19九年级上·福建厦门·期中）如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，以3为半径的圆，∠AOB＝45°，点P在数轴上运动．若过点P与OA平行的直线与⊙O有公共点，设点P在数轴上表示的数为x．则x的取值范围是（　　） A．0≤x≤3 B．x＞3 C．﹣3≤x≤3 D．﹣3≤x≤3，且x≠0 【答案】D 【思路点拨】首先作出圆的切线，求出直线与圆相切时的P的取值，再结合图象可得出P的取值范围，即可得出答案． 【规范解答】解：∵半径为1的圆，∠AOB＝45°，过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点， ∴当P′C与圆相切时，切点为C， ∴OC⊥P′C， CO＝3，∠P′OC＝45°， OP′＝3， ∴过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，即0＜x≤3， 同理可得： 过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，即﹣3≤x＜0， 综上所述：﹣3≤x≤3，且x≠0． 故选D． 【考点评析】此题主要考查了直线与圆的位置关系，作出切线找出直线与圆有交点的分界点是解决问题的关键． 【变式训练2-2】（19-20九年级上·云南昆明·期中）如图在中，，点在上，以为半径的⊙交于，的垂直平分线交于，交于，连接． （1）求证：是⊙的切线； （2）若，，且，求⊙的直径．    【答案】（1）证明见解析；（2）⊙O的直径为 【思路点拨】（1）直线DE与圆O相切，理由如下：连接OD，由OD=OA，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到∠ODE为直角，即可得证； （2）利用∠B=30°，BC=4，且AD：DF=1：2，求得AD的长，再根据△AOD是等边三角形，可得AO=AD=，进而得到⊙O的直径为． 【规范解答】解：(1)如图，连接OD， ∵OD=OA，  ∴∠A=∠ODA， ∵EF是BD的垂直平分线，   ∴EB=ED， ∴∠B=∠EDB， ∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠ODA+∠EDB=90°， ∴∠ODE= 180°−（∠ODA+∠EDB）=180°−90°=90°， ∴OD⊥DE于E又∵OD是⊙O的半径 ∴直线DE与⊙O相切；    （2）∵∠B=30°，∴∠A=180°-∠B-∠C=60° ∵OD=OA    ∴△OAD是等边三角形 在Rt△ABC中，设AC=x，则AB=2x， AC2+BC2=AB2，即解得x=4，∴AC=4，则AB=8   设AD =m,则DF=BF=2m， ∵AB=AD+2DF即m+4m=8，得m=    ∴OA=AD=，2OA =      答：⊙O的直径为 【考点评析】此题考查直线与圆的位置关系，线段垂直平分线定理，熟练掌握直线与圆相切的性质是解题的关键． 【题型03 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离】 【易错题精讲】（20-21九年级上·山东济宁·期中）对于平面直角坐标系xOy中的点P和，给出如下定义：如果的半径为r，外一点P到的切线长小于或等于2r，那么点P叫做的“离心点”． （1）当的半径为1时， ①在点中，的“离心点”是_____________； ②点P(m，n)在直线上，且点P是的“离心点”，求点P横坐标m的取值范围； （2） 的圆心C在y轴上，半径为2，直线与x轴．y轴分别交于点A、B．如果线段AB上的所有点都是的“离心点”，请直接写出圆心C纵坐标的取值范围． 【答案】（1）①；②；（2）圆心C的纵坐标满足或 【思路点拨】(1) ①分别计算的长，判断P到的切线长是否小于或等于2r，即可解题；②设，根据题意，当过点P的切线长为2时，OP=5，列出相应的一元二次方程，解方程即可； (2) 分类讨论，当C在y轴的正半轴上时，当点C在y轴的负半轴上时，当圆C与直线相切时，画出相应的图形，结合全等三角形的判定与性质解题． 【规范解答】① 所以点不在圆上，不符合题意； 因为过点的切线长为， 所以是圆的离心点 因为过的切线长为 所以是离心点； 故答案为； ②如图设 当过点P的切线长为2时，OP=5， 所以 解得m=1或m=2 观察图像得 （2）如图2，当C在y轴的正半轴上时，经过点B(1，0)，A(2，0) 当AC=，点A是离心点，此时C(0，4)； 观察图像知圆的纵坐标满足，线段AB上所有的点都是离心点； 如图3，当点C在y轴的负半轴上时，，点B是离心点，此时C(0， ) 如图4，当圆C与直线相切时，设切点为N， 如图，由题意得 ，， 观察图像得当圆C的纵坐标满足，线段AB上的所有点都是离心点； 综上所述,圆C的纵坐标满足或． 【考点评析】本题考查直线与圆的位置关系、切线等知识，是重要考点，难度中等，掌握相关知识是解题关键． 【变式训练3-1】（2012·北京海淀·中考模拟）如图，已知是以数轴原点为圆心，半径为1的圆，，点在数轴上运动，若过点且与平行的直线与有公共点，设，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】根据题意，知直线和圆有公共点，则相切或相交，相切时，设切点为C，连接，根据等腰直角三角形的直角边是圆的半径1，求得斜边是，所以x的取值范围是． 【规范解答】解：设切点为，连接，则 圆的半径，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理，原点左侧的距离也是，且线段是正数 所以x的取值范围是 故选：B． 【考点评析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，以及直径所对的圆周角是直角等知识，解题关键是求出相切的时候的x值，即可分析出x的取值范围． 【变式训练3-2】（19-20九年级上·浙江·期中）如图，在平面直角坐标系中，的圆心是，半径为2，函数的图象被截得的弦的长为，则a的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】过点作于，过点作轴于，交于，连接．分别求出、，相加即可． 【规范解答】解：过点作于，过点作轴于，交于，连接． ，，半径为2， ，， 根据勾股定理得：， 点在直线上， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 的圆心是， ． 故选：C． 【考点评析】本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用圆与直线的关系以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键．注意函数y=x与x轴的夹角是45°． 【题型04 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离】 【易错题精讲】（19-20九年级上·江苏盐城·期中）如图1，在四边形ABCD中，BC∥AD，∠B＝90°，AD边落在平面直角坐标系的x轴上，且点A（5，0）、C（0，3）、AD＝2．点P从点E（﹣5，0）出发，沿x轴向点A以每秒1个单位长度的速度运动，到达点A时停止运动．运动时间为t秒． （1）∠BCD的度数为______°. （2）当t＝_____时，△PCD为等腰三角形. （3）如图2，以点P为圆心，PC为半径作⊙P． ①求当t为何值时，⊙P与四边形ABCD的一边（或边所在的直线）相切. ②当t______时，⊙P与四边形ABCD的交点有两个；当t_____时，⊙P与四边形ABCD的交点有三个． 【答案】（1）45；（2）5或2或8﹣3；（3）①当t的值为2或5或时，⊙P与四边形ABCD的一边相切；②2＜t＜5或t＝；5＜t＜． 【思路点拨】（1）根据A、C坐标可得OC=3，OA=5，由AD=2可得OD=3，可得OC=OD，由∠COD=90°，可得∠ODC=45°，根据平行线的性质即可得∠BCD=45°；（2）分PC＝PD，CP＝CD，DC＝DP三种情况，分别求出t值即可；（3）分⊙P与CD、BC、AB边相切三种情况，分别求出t值即可；②根据①中三个图形及点P运动到OA中点时有两个交点即可得答案. 【规范解答】（1）∵A（5，0）、C（0，3）， ∴OC＝3，OA＝5， 又∵AD＝2， ∴OD＝OA﹣AD＝3， ∴OC＝OD， ∵∠COD＝90°， ∴∠OCD＝∠ODC＝45°， 又∵BC∥AD， ∴∠BCD＝∠ODC＝45°， 故答案为：45； （2）若△PCD为等腰三角形， ①当PC＝PD时，点P在CD的垂直平分线上，点P与点O重合， ∴P（0，0）， ∵E（﹣5，0）， ∴PE＝5， ∴t＝5. ②当CP＝CD时， ∵CO⊥PD， ∴CO垂直平分PD， ∴PO＝OD＝3， ∴P（﹣3，0）， ∵E（﹣5，0）， ∴PE＝2， ∴t＝2. ③当DC＝DP时， 在Rt△COD中，DC＝＝3， ∴DP＝3， ∴OP＝3﹣3， ∴EP＝OE﹣OP＝5﹣（3﹣3）＝8﹣3， ∴t＝8﹣3. 故答案为：5或2或8﹣3 （3）①如图2﹣1，当点P运动至与四边形ABCD的CD边相切时， PC⊥CD， ∵∠CDO＝45°， ∴△CPD为等腰直角三角形， ∵CO⊥PD， ∴PO＝DO＝3， ∴EP＝2， 即t＝2； 如图2﹣2，当点P运动到与点O重合时， ∵PC为⊙P半径，且PC⊥BC， ∴此时⊙P与四边形ABCD的BC边相切， ∴t＝5. 如图2﹣3，当点P运动至与四边形ABCD的AB边相切时， PA为⊙P半径， 设PC＝PA＝r， 在Rt△PCD中， OP＝OA﹣PA＝5﹣r， ∵PC2＝OC2+OP2， ∴r2＝32+（5﹣r）2， 解得，r＝， ∴t＝EP＝10﹣＝. ∴当t的值为2或5或时，⊙P与四边形ABCD的一边相切. ②如图2﹣1，当⊙P与四边形ABCD的CD边相切时，只有一个交点，此时t＝2，继续向右运动会有两个交点. 如图2﹣2，当⊙P与四边形ABCD的CB边相切时，有C，D两个交点，此时t＝5，继续向右运动会有三个交点. 如图2﹣3，当⊙P与四边形ABCD的AB边相切时，⊙P与四边形ABCD有三个交点，此时t＝，继续向右运动有三个交点. 如图2﹣4，当点P运动至OA的中点时，⊙P与四边形ABCD有C，B两个交点，此时t＝， 综上所述，答案为：2＜t＜5或t＝；5＜t＜． 【考点评析】本题考查等腰三角形的判定与性质、切线的性质及直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题关键. 【变式训练4-1】（19-20九年级上·湖南株洲·阶段练习）如图，已知P的半径为1．圆心P在直线y=x-1上运动．当P与x轴相切时,P点的坐标为 ． 【答案】(2，1)或（0，-1） 【思路点拨】设当⊙P与x轴相切时圆心P的坐标为（x，x-1），再根据⊙P的半径为1即可得出关于x的一元一次方程，求出x的值即可． 【规范解答】∵⊙P的圆心在一次函数y=x-l的图象上运动， ∴设当⊙P与x轴相切时圆心P的坐标为（x，x-1）， ∵⊙P的半径为1． ∴x-1=1或x-1=-1．     解得x=2或x=0．     ∴P点坐标为(2，1)或（0，-1）． 【考点评析】本题考查的是切线的性质和一次函数图象上点的坐标特征，熟知直线与圆相切的性质是解答此题的关键． 【变式训练4-2】（19-20九年级上·河北石家庄·期中）如图1，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝6，AD＝10，点P在边AD上运动，以P为圆心，PA为半径的⊙P与对角线AC交于A，E两点． （1）线段AC的长度是　 　． （2）如图2，当⊙P与边CD相切于点F时，求AP的长； （3）不难发现，当⊙P与边CD相切时，⊙P与平行四边形ABCD的边有三个公共点，随着AP的变化，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的AP的值的取值范围　 　． 【答案】（1）8；（2）AP＝；（3）＜AP＜或AP＝5． 【思路点拨】（1）在Rt△ABC中，直接利用勾股定理求解即可； （2）连接PF，如图3，利用平行四边形的性质和切线的性质可得PF∥AC，进而可证明△DPF∽△DAC，然后根据相似三角形的性质列比例式求解即得AP的长； （3）先利用平行四边形的面积求出当⊙P与BC相切时圆的半径，可发现此时⊙P与平行四边形ABCD的边有5个公共点；再分两种情况：①⊙P与边AD、CD分别有两个公共点；②⊙P过点A、C、D三点，分别求出即可得到答案． 【规范解答】解：（1）∵平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝10， ∴BC＝AD＝10， ∵AB⊥AC， ∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝， 故答案为：8； （2）如图3所示，连接PF，设AP＝x，则DP＝10﹣x，PF＝x， ∵⊙P与边CD相切于点F， ∴PF⊥CD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∵AB⊥AC， ∴AC⊥CD， ∴AC∥PF， ∴△DPF∽△DAC， ∴，即， 解得：x＝， 即AP＝； （3）当⊙P与BC相切时，设切点为G，连接PG，如图4，则S▱ABCD＝×6×8×2＝10PG，解得：PG＝，此时⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为5； ①当⊙P与边AD、CD分别有两个公共点，与BC没有公共点时，＜AP＜，即此时⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4； ②当⊙P过点A、C、D三点，如图5，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，此时AP＝5， 综上所述，AP的值的取值范围是：＜AP＜或AP＝5， 故答案为：＜AP＜或AP＝5． 【考点评析】本题是平行四边形和圆的综合题，主要考查了平行四边形的性质、圆的切线的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握上述知识、善于动中取静、灵活应用运动变化的观点和数形结合的思想方法是解题的关键． 【题型05 求直线平移到与圆相切时运动的距离】 【易错题精讲】（2021·四川成都·一模）如图，已知正方形ABCD中，两动点M和N分别从顶点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，再连接PC，若，则PC长的最小值为 ． 【答案】 【思路点拨】先证明，得出，证出，得出点P在以AB为直径的圆上运动，运动路径一条弧，连接OC交圆O于P，此时PC最小，，由勾股定理求出，得出即可． 【规范解答】解：由题意得：， ∵四边形ABCD是正方形， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ∴点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，运动路径一条弧，是这个圆的，如图所示： 连接OC交圆O于P，此时PC最小， ， ， 由勾股定理得：， ； 故答案为：． 【考点评析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证出点P在以AB为直径的圆上运动是解题关键． 【变式训练5-1】（10-11九年级下·全国·阶段练习）如图，直线、相交于点，，半径为的的圆心在直线上，且与点的距离为．如果以的速度，沿由A向B的方向移动，那么 秒种后与直线相切． 【答案】4或8 【思路点拨】本题考查了直线与圆的位置关系：直线与有三种位置关系（相切、相交、相离）．也考查了切线的性质和直角三角形的性质． 分类讨论：当点在当点在射线时与相切，过作与，根据切线的性质得到，再利用含的直角三角形三边的关系得到，则的圆心在直线上向右移动了后与相切，即可得到移动所用的时间；当点在射线时与相切，过作与，同前面一样易得到此时移动所用的时间． 【规范解答】解：当点在射线时与相切，如图， 过作于， ， ， ， 的圆心在直线上向右移动了后与相切， 移动所用的时间（秒； 当点在射线时与相切，如图， 过作与， ， ， ， 的圆心在直线上向右移动了后与相切， 移动所用的时间（秒． 故答案为4或8． 【变式训练5-2】（18-19九年级上·江苏无锡·期中）如图，直线y=x+b（b>0）与x轴、y轴交于点A、B，在直线AB上取一点C，过点C作x轴的垂线，垂足为E，若点E（4，0）． （1）若EC=BC，求b的值； （2）在（1）的条件下，有一动点P从点B出发，延着射线BC方向以每秒1个单位的速度运动，以点P为圆心，作半径为的圆，动点Q从点O出发，在线段OE上以每秒1个单位的速度作来回运动，过点Q作直线l垂直x轴，点P与点Q同时从点B、点O开始运动，问经过多少秒后，直线l和⊙P相切． 【答案】（1）b=2；（2）t=或或. 【思路点拨】（1）作出辅助线,求出点B、C坐标代入解析式即可求解, （2）分类讨论,利用圆心到切线的距离等于半径即可解题. 【规范解答】作BH⊥CE.∵E（4,0）, ∴OE=BH=4,把x=4代入y=x+b=3+b,∴CE=3+b.∵B(0,b),∴EH=OB=b,CH=3.在Rt△BCH中,BC=5=CE,∴C（4,5）代入y=x+b,得b=2 （2）设点P到直线l的距离为d.作PH⊥y轴于点H,则PH=t. ①当0<t≤4时,OQ=t,d=t－t=t,由t=,得t=； ②当4<t≤8时,OQ=8－t,d=8－t－t =或t－（8－t）=,解得t=或； ③当8<t<12时,OQ=t－8,d=t－（t－8）=,解得t=,由于t－4>,舍去.（第3种情况酌情给分,舍去的理由合情描述即可） 综上所述,t=或或. 【考点评析】本题考查求解一次函数参数,直线与圆的位置关系,分类讨论是解题关键. 【题型06 切线的应用】 【易错题精讲】（23-24九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，以为直径在x轴上方作半圆，直线l的解析式为，若直线l与半圆只有一个公共点，则t的取值范围是 ． 【答案】或 【思路点拨】根据题意得到当直线l与半圆相切时，直线l与半圆只有一个公共点，利用等腰直角三角形的性质求出，然后利用勾股定理得到，然后利用是等腰直角三角形得到，进而得到，当直线l经过点O时，直线l与半圆有两个公共点，得到，当直线l经过点A时，直线l与半圆只有一个公共点，求出，进而结合图形求解即可． 【规范解答】如图所示，直线与x轴的夹角为，当直线l与半圆相切时，直线l与半圆只有一个公共点， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∵点A的坐标为， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴， ∴此时， 当直线l经过点O时，直线l与半圆有两个公共点， ∴此时， 当直线l经过点A时，直线l与半圆只有一个公共点， ∴将代入，得 解得， ∴当时，直线l与半圆只有一个公共点， 综上所述，当或时，直线l与半圆只有一个公共点． 故答案为：或． 【考点评析】本题考查直线与圆的位置关系，一次函数的应用，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用特殊位置解决实际问题． 【变式训练6-1】（20-21九年级上·山东临沂·期中）如图，在平面直角坐标系中，P是直线y＝2上的一个动点，⊙P的半径为1，直线OQ切⊙P于点Q，则线段OQ的最小值为（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【思路点拨】连接PQ、OP，如图，根据切线的性质得：PQ⊥OQ，再利用勾股定理得出OQ，利用垂线段最短，当OP最小时，OQ最小，即可求解． 【规范解答】连接PQ、OP，如图， ∵直线OQ切⊙P于点Q， ∴PQ⊥OQ， 在直角中，， 当OP最小时，OQ最小， 当OP⊥直线y＝2时，OP有最小值2， ∴OQ的最小值为， 故选：C． 【考点评析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，也考查了勾股定理，熟练掌握切线的性质以及勾股定理是解答本题的关键． 【变式训练6-2】（22-23九年级上·全国·课后作业）等腰直角三角形和等腰直角三角形中，，，，其中固定，绕点A顺时针旋转一周，在旋转过程中，若直线与直线交点为P，则面积的最小值为（    ）   A． B．4 C． D． 【答案】B 【思路点拨】和都是等腰直角三角形，可证，由全等三角形对应角相等得为底边，则高最小时，三角形面积最小，则当为的切线时，P到的距离最短，求得这个最小点，再得到矩形为正方形，由勾股定理和正方形的边长相等可求得的长，即可求解． 【规范解答】解：∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴点P在以为直径的圆上， 则当为底边，则高最小时，三角形面积最小，此时最小， ∵绕点A顺时针旋转一周， ∴点D在以点A为圆心，为半径的圆上， ∴当为的切线时，P到的距离最短， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴矩形为正方形， ∴， ∴， ∴， ， 此时的面积为 即面积的最小值为4． 故选：B 【考点评析】本题主要考查了图形的旋转，圆周角定理，切线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，根据题意得到点P的轨迹是解题的关键． 【题型07 有关切线的说法辨析】 【易错题精讲】（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，点是外一点，现将直线绕点旋转，与定圈恰好只有一个交点，当时，的半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查切线的判定和性质．根据题意可得直线与切于点，再根据角的直角三角形的性质可得结论．掌握切线的判定和性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵直线绕点旋转，与定圈恰好只有一个交点，，设交点为， ∴直线与切于点，， 连接， ∴， ∴， ∴的半径为． 故选：D．    【变式训练7-1】（22-23九年级上·江苏无锡·期末）下列说法正确的是（    ） A．等弧所对的圆心角相等 B．相等的弦所对的弧相等 C．过三点一定可以确定一个圆 D．垂直于半径的直线是圆的切线 【答案】A 【思路点拨】根据弧，弦，圆心角的关系，圆的确定以及切线的判定，逐一进行判断即可． 【规范解答】解：A、等弧所对的圆心角相等，选项正确，符合题意； B、弦对应的弧有优弧和劣弧，相等的弦所对的弧不一定相等，选项错误，不符合题意； C、过不在直线上的三点可以确定一个圆，选项错误，不符合题意； D、经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，选项错误，不符合题意； 故选A． 【考点评析】本题考查弧，弦，圆心角的关系，圆的确定方法以及切线的判定．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 【变式训练7-2】（20-21九年级上·江苏常州·期中）下列命题中，正确的是（　　　） A．平面上三个点确定一个圆 B．等弧所对的圆周角相等 C．三角形的外心在三角形的外面 D．与某圆一条半径垂直的直线是该圆的切线 【答案】B 【思路点拨】根据在一条直线上的三点就不能确定一个圆可以判断A，再利用圆周角定理得出B正确；由不同三角形判断C项，以及利用切线的判定对D进行判定． 【规范解答】A．平面上不共线的三个点确定一个圆，所以A选项错误； B．等弧所对的圆周角相等，所以B选项正确； C．钝角三角形的外心在三角形的外面，锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心为斜边的中点，所以C选项错误； D．过半径的外端与半径垂直的直线为圆的切线，所以D选项错误． 故选：B． 【考点评析】此题主要考查了切线的判断和圆的确定、圆周角定理以及外心等知识，熟练掌握定义是解题关键． 【题型08 判断或补全使直线为切线的条件】 【易错题精讲】（22-23九年级上·河南濮阳·阶段练习）已知：内接于，过点A作直线． (1)如图1，为直径，要使为的切线，还需添加的条件是（只需写出两种情况）： ①___________；②_____________． (2)如图2，是非直径的弦，，求证：是的切线． 【答案】(1)①(或)(答案不唯一) ②；(答案不唯一) (2)见解析 【思路点拨】（1）①根据切线的判断由或可判断为的切线；②当，根据圆周角定理得，所以，即，于是也可判断为的切线； （2）作直径，连接，由为直径得，则，根据圆周角定理得，而，所以，根据切线的判定定理得到为的切线； 【规范解答】（1）解：①当(或)可判断为的切线； ②当， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为的切线； 故答案为∶ ①(或)(答案不唯一)、②；(答案不唯一) （2）证明：如图，作直径，连接， ∵为直径， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴为的切线； 【考点评析】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理． 【变式训练8-1】（19-20九年级上·福建厦门·期末）如图，在△ABC中，AB=AC． （1）若以点A为圆心的圆与边BC相切于点D，请在下图中作出点D；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若该圆与边AC相交于点E，连接DE，当∠BAC=100°时，求∠AED的度数. 【答案】（1）详见解析；（2）65°. 【思路点拨】(1)分析题干可知：作AD⊥BC，由于AB=AC，由等腰三角形的性质可知当AD平分∠BAC即可满足：以点A为圆心的圆与边BC相切于点D； （2）由AD平分∠BAC，可得 由圆A半径相等AD=AE，可得∠ADE=∠AED，即可得出答案. 【规范解答】解：（1）如图所示，点D为所求 （2）如图： ∵AD平分∠BAC ∴ 在中，AD=AE， ∴∠ADE=∠AED ∴ 【考点评析】本题考查作图，切线的判定和性质等知识，掌握圆的基本性质是解题的关键. 【变式训练8-2】（12-13九年级上·北京·期中）已知：如图，在中，，，，以为直径的⊙O交于点，点是的中点，OB，DE相交于点F． （1）求证：是⊙O的切线； （2）求EF：FD的值． 【答案】（1）见解析（2）EF：FD＝2：3 【思路点拨】（1）连接CD，利用勾股定理求出AB=8，根据含30°的直角三角形得出∠ABC=30°，∠BAC=60°，则∠ODA=60°，由AC是直径得出△CDB是直角三角形，E为斜边上的中点，则DE=BE=EC，则∠BDE=∠DBE=30°，得到∠ODE=90°，即可证明是⊙O的切线； （2）连接OE，先求出BD，再利用勾股定理计算出OE，根据三角形中位线定理知OE∥AB，再根据平行线分线段成比例得到EF：FD＝OE：BD，即可得到EF：FD的值. 【规范解答】（1）证明：连结， ∵AC是⊙O的直径， ∴． 是的中点， ． ∴∠BDE=∠DBE ， ． ， ． ． 即． ∵点D在⊙O上， ∴是⊙O的切线. （2）解：连结OE． ∵E是BC的中点，O是AC的中点， ∴OE∥AB，OE＝AB． ∴△OEF∽△BDF． 在中，AC ＝ 4，， 根据勾股定理，得AB＝ 8， ∴OE＝ 4， ∵sin∠ABC＝， ∴∠ABC＝30°． ∴∠A＝60°． ∴是边长为2的等边三角形． ∴，BD＝ AB-AD＝6， ∴EF：FD＝OE：BD ＝ 4：6＝2：3 . 【题型09 证明某直线是圆的切线】 【易错题精讲】（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，内接于，点D是弧的中点，过点D作分别交、延长线于P、Q，连接． (1)求证：是的切线： (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【思路点拨】本题主要考查了切线的判定，垂径定理的推论，相似三角形的性质与判定，弧与弦之间的关系等等： （1）如图所示，连接，由垂径定理的推论可得，即可证明，由此即可证明结论； （2）如图所示，连接，由平行线的性质得到，进一步证明，即可证明，得到，再证明，即可得到，则． 【规范解答】（1）证明：如图所示，连接， ∵点D是弧的中点， ， ， ， 是半径， 是的切线； （2）解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式训练9-1】（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母．（保留作图痕迹，不写作法） (1)①作的平分线，交于点O；②以O为圆心，为半径作圆． (2)在你所作的图中，与的位置关系．（直接写出答案） 【答案】(1)见解析 (2)相切 【思路点拨】该题目主要考查基本的作图方法，切线的判定等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意直接作图即可； （2）根据（1）中作图方法结合切线的判定定理即可求解． 【规范解答】（1）解：如图所示 （2）解：与相切， 证明：∵为半径， ∴与相切． 【变式训练9-2】（20-21九年级上·湖南长沙·期中）如图，在中，，平分交于点，是边上一点，以点为圆心，长为半径的圆经过点，作于点，延长交于点，连接并延长交于点． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求与的面积之比． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路点拨】（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，于是得到结论； （2）先证明，得到，，再根据半径相等即可证明求解； （3）连接，，设，则，利用在中,利用列出方程求出半径，再根据即可求解． 【规范解答】（1）证明：如图，连接， 经过， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 是的切线； （2）证明：，， ， 又， ， ， ， ， ； （3）连接，， 平分，，，， ， 设，则， 在中，， ， ， ，， ， ， ． 【考点评析】本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【题型10 切线的性质定理】 【易错题精讲】（2023·辽宁大连·一模）如图，在中，，以为直径的交于点D，切线交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】（1）连接，根据切线性质，等角对等边，证明． （2）连接，根据圆的性质，切线的性质，勾股定理解答即可． 本题考查了切线的性质，圆的性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质，勾股定理是解题的关键． 【规范解答】（1）证明：连接， ∵是切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． （2）解：连接． ∵， ∴， ∵是的直径，， ∴是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 设，在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴． 【变式训练10-1】（23-24九年级上·江苏无锡·期中）已知，如图，中，，半径为1的与三角形的边都相切，点P为上一动点，点Q为边上一动点，则的最大值与最小值的和为 ． 【答案】 【思路点拨】设与相切于点D，与相切于点E，连接，过点O，作垂足为交于此时垂线段最短，最小值为求出当与B重合时，的延长线与交于点 最大值． 本题考查了圆的切线的性质，矩形的性质与判定，勾股定理的应用，相似三角形的性质与判定等知识，关键是确定的最小值与最大值的位置． 【规范解答】解： 中，， 设与相切于点D，与相切于点E，连接，过点O，作垂足，交于连接，延长与相交于点F，过F作于点G，如图1， 此时垂线段最短，最小值为，则四边形为矩形，平分 ． 设则 由勾股定理得， 解得： 即 如图2，当与B重合时，连接，延长与交于点 此时为最大值， ， ∴的最大值与最小值的和为： ， 故答案为：． 【变式训练10-2】（23-24九年级上·北京西城·期中）对于平面直角坐标系中的点P和图形W、给出如下定义：若图形W上存在点Q，使得点P绕着点Q旋转得到的对应点在图形W上，则称点P为图形W的“关联点”． (1)图形W是线段，其中点A的坐标为，点B的坐标为， ①如图1，在点，，，中，线段的“关联点”是 ； ②如图2，若直线上存在点P，使点P为线段的“关联点”，求b的取值范围； (2)图形W是以为圆心，1为半径的．已知点，．若线段上存在点P，使点P为的“关联点”，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)①、；② (2) 【思路点拨】（1）①根据“关联点”的定义进行判断即可； ②当直线经过点时，可得b的最小值，当直线经过点时，可得b的最大值，由此可解； （2）当线段与的“关联点”轨迹有交点时，t取得最大值，当线段与的“关联点”轨迹相切时，t取得最小值，列出不等式分别求得t的最小值和最大值即可． 【规范解答】（1）解：①如图1，∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴绕着点逆时针旋转得到的对应点在线段上， 绕着点顺时针旋转得到的对应点在线段上， 线段上不存在点Q，使得，绕着点Q旋转得到的对应点在线段上， ∴、是线段的“关联点”， ，不是线段的“关联点”， 故答案为：、； ②如图2，当直线经过点时，可得b的最小值， 当直线经过点时，可得b的最大值， 把代入，得， 解得； 把代入，得； 解得； ∴b的取值范围为； （2）解：根据“关联点”的定义可知：当线段与的“关联点”轨迹有交点时，t取得最大值，当线段与的“关联点”轨迹相切时，t取得最小值， 则， 解得 ∴t的取值范围为． 【考点评析】本题是圆的综合题，考查了旋转变换，圆的性质，“关联点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题． 【题型11 切线的性质和判定的综合应用】 【易错题精讲】（23-24九年级下·吉林长春·期中）如图，菱形的两条对角线交于点，为线段上一点，与相切于点． (1)求证：是的切线． (2)若经过点，，且的半径为，则菱形的边长为________． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】（1）过点作于点，由切线的性质得，由菱形的性质得，进而得，根据切线的判定即可得证； （2）由，的半径为，得，根据勾股定理得，从而，在中，利用边角关系得．利用勾股定理即可得解． 【规范解答】（1）解：过点作于点， ∵与相切于点， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （2）解：如图， ∵四边形是菱形， ∴， 由（1）得， ∵，的半径为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，即， ∴． ∴， ∴菱形的边长为． 故答案为． 【考点评析】本题主要考查了切线的性质及判定，勾股定理，解直角三角形，菱形的性质，角平分线的性质，熟练掌握切线的性质及判定，勾股定理以及解直角三角形是解题的关键． 【变式训练11-1】（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，中，，点在边上，过点且分别与边、相交于、两点，，点为垂足． (1)求证：直线是的切线； (2)当是等边三角形，且直线与相切时，直接写出长度为线段长度2倍的所有线段． 【答案】(1)见解析 (2)长度为线段长度2倍的所有线段有：，，，． 【思路点拨】（1）利用等腰三角形的性质，同圆的半径相等，平行线的判定与性质和圆的切线的判定定理解答即可； （2）连接，利用圆周角定理和含角的直角三角形的性质，得到；再利用圆的切线的性质定理，等边三角形的性质和直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质解答即可得出结论． 【规范解答】（1）证明：连接，如图， ， ． ， ， ， ． ， ， 为的半径， 直线是的切线； （2）解：连接，如图， 为的直径， ， 是等边三角形， ， ， ． ， ， ． 直线与相切， ， ， ， 为等边三角形， ． 在和中， ， ， ． 同理：， ． ． 由题意：， ， ， 长度为线段长度2倍的所有线段有：，，，． 【考点评析】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，圆的有关性质，圆的切线的判定，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 【变式训练11-2】（2023九年级·江苏·专题练习）在中，，延长到点，以为直径作，交的延长线于点，延长到点，使． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【思路点拨】（1）连接，利用直角三角形的两个锐角互余，等腰三角形的性质，同圆的半径相等和圆的切线的判定定理解答即可； （2）连接，过点作于点，设，则，利用圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理解答即可． 【规范解答】（1）证明：连接，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ， 即， ． 是的半径， 是的切线； （2）连接，过点作于点，如图， 为的直径， ，． ． ，， ， ， ，． ，， ， ， ， ，． 设，则， ， ． 解得：． ． 【考点评析】本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质．连接经过切点的半径和直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线． 【题型12 应用切线长定理求证】 【易错题精讲】（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，点在上，以为半径的半圆切于点，交于点，若，，求的半径和边的长． 【答案】的半径为和边的长为． 【思路点拨】本题考查了切线的性质与判定，切线长定理和勾股定理，连接，由与相切则，设的半径为，故在中，由勾股定理得：，即可求出半径；由，为半径证明与相切，根据切线长定理可得，然后在中，由勾股定理得，即可求解，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用． 【规范解答】连接， ∵与相切， ∴， ∴， 设的半径为， 在中，由勾股定理得：， ∵，， ∴，解得， ∴， ∴， ∵，为半径， ∴与相切， ∴， 设， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得， ∴． 【变式训练12-1】（22-23九年级上·广东云浮·期末）如图1所示，为的外接圆，为直径，、分别与相切于点D、C（）.E在线段上，连接并延长与直线相交于点P，B为中点. (1)证明：是的切线. (2)如图2，连接，，求证：. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】（1）连接，根据直角三角形斜边上的中线的性质以及等边对等角得出，进而根据为切线，， ，得出，即可得证； （2）根据、、分别与相切于点D、E、C，根据切线长定理得出，，则，，，，即可得出，进而即可得证． 【规范解答】（1）证明：连接， ∵为直径， ∴.     在中，B为中点， ∴， ∴，     ∵， ∴，   又∵为切线， ∴， ∴      ∴.     即， ∴是的切线. （2）证明：∵、、分别与相切于点D、E、C， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，   ∴，     ∴； 【考点评析】本题考查了切线的性质与切线长定理，掌握切线的判定方法以及切线长定理是解题的关键． 【变式训练12-2】（23-24九年级上·江西赣州·期中）如图，四边形是平行四边形，点A，B，D均在圆上．请仅用无刻度的直尺分别下列要求画图．    (1)在图①中，若是直径，与圆相切，画出圆心O； (2)在图②中，若均与圆相切，画出圆心O． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】（1）延长交圆与点E，连接，与交点即为圆心O； （2）连接交于点G，交圆于点E，延长交于点F，延长交于点H，连接交于点O，点O即为所求． 【规范解答】（1）解：如图1，延长交圆与点E，连接，与交点即为圆心O； ∵是直径， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴是直径， ∴O是圆心； （2）解：连接交于点G，交圆于点E，延长交于点F，延长交于点H，连接交于点O，点O即为所求； ∵均与圆相切， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴是直径，是等边三角形， ∴，是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴过圆心O，即为所求； 【考点评析】本题考查了无刻度直尺作图，解题关键是准确理解题意，根据圆的有关性质进行作图． 【题型13 应用切线长定理求解】 【易错题精讲】（22-23九年级上·江苏盐城·期中）以正方形的边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交边于点E，若的周长为12，则正方形的边长为 ． 【答案】4 【思路点拨】本题考查了正方形的性质、切线长定理等知识点，利用正方形的性质和圆的切线的判定得出均为圆O的切线是解题关键． 根据切线长定理可得，然后根据的周长可求出正方形的边长． 【规范解答】解：在正方形中，，， ∵与半圆相切于点，以正方形的边为直径作半圆O， ∴与半圆相切， ， ∵的周长为12， ， ， ∵， 正方形的边长为4． 故答案为：4． 【变式训练13-1】（23-24九年级下·河南新乡·期中）如图，为的直径，，分别与相切于点，，经过上一点，，若，，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】连接，，过点作，垂足为点，根据题意可得，根据全等三角形的判定和性质可得，根据切线的判定定理即可证明是的切线，根据切线的性质以及矩形的判定和性质可得，，得出，根据切线长定理可得，， 得出，根据勾股定理即可求得的长． 【规范解答】解：如图：连接，，过点作，垂足为点， ∵是的切线， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线， ∵是的切线， ∵， ∵，，， 即， ∴四边形是矩形， ∴，， 则， ∵是的切线，是的切线，是的切线， ∴，， ∴， ∵， 在中，， 即， 解得：， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，切线长定理，勾股定理，矩形的判定和性质，根据切线长定理得出，是解题的关键． 【变式训练13-2】（23-24九年级上·山东潍坊·期中）如图，正方形边长为，以正方形的一边为直径在正方形内作半圆，过作半圆的切线，与半圆相切于点，与相交于点，则的面积（　　）． A．12 B．24 C．8 D．6 【答案】D 【思路点拨】此题主要考查圆的切线长定理，正方形的性质和勾股定理等知识，解答本题关键是运用切线长定理得出，．由于与圆切于点，根据切线长定理有，；设．则，，然后在三角形中由勾股定理可以列出关于的方程，解方程即可求出，然后就可以求出的面积． 【规范解答】解：与圆切于点， 由切线长定理得:，， 设， 则，， 在三角形中由勾股定理得： ， ， ， ， ． 故选：D 【题型14 圆的综合问题】 【易错题精讲】（22-23九年级上·广东韶关·期中）如图，在中，点是外心，和的平分线交于点，延长交的外接圆于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的外接圆的半径． 【答案】(1)见解析 (2)cm 【思路点拨】本题考查圆的综合知识． （1）由平分，得，可得，由平分，得，进而推得即可； （2）先证明，得是等腰直角三角形，得到即可． 【规范解答】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴是的直径， 连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴ ∴， ∴的外接圆的半径为． 【变式训练14-1】（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图1，为四边形的外接圆，与相交于点，且，连结，设． (1)用含的代数式表示． (2)如图2，连结，交于点，若，求证：． (3)在（2）的基础上，当，时，求出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【思路点拨】（1）连接，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论； （2）根据平行线的性质得到，可得，从而得到再根据等腰三角形的性质得到，然后根据圆周角定理可得，从而得到，进而得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （3）根据已知条件得到，由（2）得，根据全等三角形的性质得到，延长交于点H，设，根据等腰三角形的性质得到 ，根据相似三角形的性质和勾股定理即可得到结论． 【规范解答】（1）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：， ， ， ∵，即， ，， ， ， ，， ∴， ∴， ， ∵， ； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 由（2）得， ， 延长交于点H， ， ， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 即 ，． 【考点评析】本题是圆的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 【变式训练14-2】（23-24九年级上·江苏扬州·期中）已知的半径弦于点D，，点P为弦所对的弧上的一点．      (1)如图1，若点P为弦所对的劣弧上的一点，延长交的延长线于点Q，且，则________，________； (2)如图2，若点P为弦所对的优弧上的一点，连接交于点Q，且，过点P作的切线，交的延长线相交于点E，已知，求的长． 【答案】(1)、 (2) 【思路点拨】（1）连接，则，由，根据垂径定理得，则，所以，由，求得，由，得，求得，则，于是得到问题的答案； （2）连接，则，由，，得，，由，得，则，所以，而，可求得，由切线的性质得，则，所以，则． 【规范解答】（1）解：如图1，连接，则， ∴， ∵于点D，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：30，45； （2）解：如图2，连接，则， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵与相切于点P， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴PE的长是 【考点评析】此题重点考查垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、四边形的内角和等于360°、切线的性质定理、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 【题型15 过圆外一点作圆的切线（尺规作图）】 【易错题精讲】（23-24九年级上·江苏扬州·期中）请按下列要求作图．    (1)如图1，在方格纸中，点A在圆上，仅用无刻度直尺过点A画出圆的切线； (2)如图2，已知，点Q在外，用尺规作上所有过点Q的切线．（保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了切线的性质，过圆外一点作圆的切线（尺规作图）以及方格作图： （1）根据方格的特征，因为，，，得是直径，，即得，据此作图即可； （2）连接，再作线段的垂直平分线，交于一点，即为点，以点为圆心，为半径，相交于点A，点B，连接，，因为为直径，，即为切线，切线，即可作答． 正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【规范解答】（1）解：如图，直线即为所求：    （2）解：所有过点Q的切线为切线，切线，如图所示：    【变式训练15-1】（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作． (1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【思路点拨】本题考查作圆的切线和全等三角形判定与性质： （1）以点B为圆心，适当长为半径，画弧分别交于点M、的延长线于点N，再分别以点M和点N为圆心，大于，的长为半径，画弧，分别相交于点G和点H，连接并延长交于一点，即为点F，此时是的垂直平分线，结合，即可作答； （2）由，，可得，而点D在以为直径的圆上，为的切线，可得，证明，即可作答． 【规范解答】（1）解：如图：过B作，交于F，直线即为所求直线； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点D在以为直径的圆上， ∴， ∴， ∵为的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式训练15-2】（22-23九年级上·江苏宿迁·期中）已知：和外一点． (1)如图甲，和是的两条切线，、分别为切点，求证：； (2)尺规作图：在图乙中，过点作的两条切线、、、为切点（要求：保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】（1）连接，，，首先证（），可得结论； （2）以为直径作，两圆相交于，，直线，即为所求． 【规范解答】（1）如图，连接，，． ，是切线， ，， ． 在和中， ， ， ． （2）以为直径作，两圆交于点、， 直线、即为所求； 【考点评析】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定与性质，直径的性质等知识点，添加合适的辅助线，构造全等三角形，学会利用辅助圆解决问题是解本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.1 直线与圆的位置关系（易错、好题必刷45题15种题型专项训练） 目录 【题型01 判断直线和圆的位置关系】 1 【题型02 已知直线和圆的位置关系求半径的取值】 2 【题型03 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离】 3 【题型04 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离】 5 【题型05 求直线平移到与圆相切时运动的距离】 7 【题型06 切线的应用】 8 【题型07 有关切线的说法辨析】 9 【题型08 判断或补全使直线为切线的条件】 9 【题型09 证明某直线是圆的切线】 11 【题型10 切线的性质定理】 12 【题型11 切线的性质和判定的综合应用】 14 【题型12 应用切线长定理求证】 15 【题型13 应用切线长定理求解】 17 【题型14 圆的综合问题】 17 【题型15 过圆外一点作圆的切线（尺规作图）】 19 【题型01 判断直线和圆的位置关系】 【易错题精讲】（22-23九年级上·山东东营·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆心坐标是，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（    ） A．1 B．1或5 C．3 D．5 【变式训练1-1】（22-23九年级上·广东韶关·期中）两同心圆的半径分别是10和6，大圆的弦长16，与小圆的位置关系是 ． 【变式训练1-2】（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在矩形中，，，P是边上一点，过点A、B、P、作 (1)圆心O在上吗？为什么？ (2)当时，判断与的位置关系； (3)当与相切时，求被截得的弦长． 【题型02 已知直线和圆的位置关系求半径的取值】 【易错题精讲】（21-22九年级上·江苏连云港·期中）张师傅要在如图所示的钝角三角形铁片上截取一个面积最大的半圆形工件，如果要求半圆形工件的直径恰好在三角形铁片的最长边上． （1）请你帮助张师傅作出符合条件的半圆形工件的示意图（不写作法，保留作图痕迹）； （2）如果，，，试用含a的代数式表示所作圆形工件的半径（答案保留根号） 【变式训练2-1】（18-19九年级上·福建厦门·期中）如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，以3为半径的圆，∠AOB＝45°，点P在数轴上运动．若过点P与OA平行的直线与⊙O有公共点，设点P在数轴上表示的数为x．则x的取值范围是（　　） A．0≤x≤3 B．x＞3 C．﹣3≤x≤3 D．﹣3≤x≤3，且x≠0 【变式训练2-2】（19-20九年级上·云南昆明·期中）如图在中，，点在上，以为半径的⊙交于，的垂直平分线交于，交于，连接． （1）求证：是⊙的切线； （2）若，，且，求⊙的直径．    【题型03 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离】 【易错题精讲】（20-21九年级上·山东济宁·期中）对于平面直角坐标系xOy中的点P和，给出如下定义：如果的半径为r，外一点P到的切线长小于或等于2r，那么点P叫做的“离心点”． （1）当的半径为1时， ①在点中，的“离心点”是_____________； ②点P(m，n)在直线上，且点P是的“离心点”，求点P横坐标m的取值范围； （2） 的圆心C在y轴上，半径为2，直线与x轴．y轴分别交于点A、B．如果线段AB上的所有点都是的“离心点”，请直接写出圆心C纵坐标的取值范围． 【变式训练3-1】（2012·北京海淀·中考模拟）如图，已知是以数轴原点为圆心，半径为1的圆，，点在数轴上运动，若过点且与平行的直线与有公共点，设，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】（19-20九年级上·浙江·期中）如图，在平面直角坐标系中，的圆心是，半径为2，函数的图象被截得的弦的长为，则a的值是（    ） A． B． C． D． 【题型04 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离】 【易错题精讲】（19-20九年级上·江苏盐城·期中）如图1，在四边形ABCD中，BC∥AD，∠B＝90°，AD边落在平面直角坐标系的x轴上，且点A（5，0）、C（0，3）、AD＝2．点P从点E（﹣5，0）出发，沿x轴向点A以每秒1个单位长度的速度运动，到达点A时停止运动．运动时间为t秒． （1）∠BCD的度数为______°. （2）当t＝_____时，△PCD为等腰三角形. （3）如图2，以点P为圆心，PC为半径作⊙P． ①求当t为何值时，⊙P与四边形ABCD的一边（或边所在的直线）相切. ②当t______时，⊙P与四边形ABCD的交点有两个；当t_____时，⊙P与四边形ABCD的交点有三个． 【变式训练4-1】（19-20九年级上·湖南株洲·阶段练习）如图，已知P的半径为1．圆心P在直线y=x-1上运动．当P与x轴相切时,P点的坐标为 ． 【变式训练4-2】（19-20九年级上·河北石家庄·期中）如图1，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝6，AD＝10，点P在边AD上运动，以P为圆心，PA为半径的⊙P与对角线AC交于A，E两点． （1）线段AC的长度是　 　． （2）如图2，当⊙P与边CD相切于点F时，求AP的长； （3）不难发现，当⊙P与边CD相切时，⊙P与平行四边形ABCD的边有三个公共点，随着AP的变化，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的AP的值的取值范围　 　． 【题型05 求直线平移到与圆相切时运动的距离】 【易错题精讲】（2021·四川成都·一模）如图，已知正方形ABCD中，两动点M和N分别从顶点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，再连接PC，若，则PC长的最小值为 ． 【变式训练5-1】（10-11九年级下·全国·阶段练习）如图，直线、相交于点，，半径为的的圆心在直线上，且与点的距离为．如果以的速度，沿由A向B的方向移动，那么 秒种后与直线相切． 【变式训练5-2】（18-19九年级上·江苏无锡·期中）如图，直线y=x+b（b>0）与x轴、y轴交于点A、B，在直线AB上取一点C，过点C作x轴的垂线，垂足为E，若点E（4，0）． （1）若EC=BC，求b的值； （2）在（1）的条件下，有一动点P从点B出发，延着射线BC方向以每秒1个单位的速度运动，以点P为圆心，作半径为的圆，动点Q从点O出发，在线段OE上以每秒1个单位的速度作来回运动，过点Q作直线l垂直x轴，点P与点Q同时从点B、点O开始运动，问经过多少秒后，直线l和⊙P相切． 【题型06 切线的应用】 【易错题精讲】（23-24九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，以为直径在x轴上方作半圆，直线l的解析式为，若直线l与半圆只有一个公共点，则t的取值范围是 ． 【变式训练6-1】（20-21九年级上·山东临沂·期中）如图，在平面直角坐标系中，P是直线y＝2上的一个动点，⊙P的半径为1，直线OQ切⊙P于点Q，则线段OQ的最小值为（　　） A．1 B．2 C． D． 【变式训练6-2】（22-23九年级上·全国·课后作业）等腰直角三角形和等腰直角三角形中，，，，其中固定，绕点A顺时针旋转一周，在旋转过程中，若直线与直线交点为P，则面积的最小值为（    ）   A． B．4 C． D． B． 【题型07 有关切线的说法辨析】 【易错题精讲】（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，点是外一点，现将直线绕点旋转，与定圈恰好只有一个交点，当时，的半径为（　　） A． B． C． D． 【变式训练7-1】（22-23九年级上·江苏无锡·期末）下列说法正确的是（    ） A．等弧所对的圆心角相等 B．相等的弦所对的弧相等 C．过三点一定可以确定一个圆 D．垂直于半径的直线是圆的切线 【变式训练7-2】（20-21九年级上·江苏常州·期中）下列命题中，正确的是（　　　） A．平面上三个点确定一个圆 B．等弧所对的圆周角相等 C．三角形的外心在三角形的外面 D．与某圆一条半径垂直的直线是该圆的切线 【题型08 判断或补全使直线为切线的条件】 【易错题精讲】（22-23九年级上·河南濮阳·阶段练习）已知：内接于，过点A作直线． (1)如图1，为直径，要使为的切线，还需添加的条件是（只需写出两种情况）： ①___________；②_____________． (2)如图2，是非直径的弦，，求证：是的切线． 【变式训练8-1】（19-20九年级上·福建厦门·期末）如图，在△ABC中，AB=AC． （1）若以点A为圆心的圆与边BC相切于点D，请在下图中作出点D；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若该圆与边AC相交于点E，连接DE，当∠BAC=100°时，求∠AED的度数. 【变式训练8-2】（12-13九年级上·北京·期中）已知：如图，在中，，，，以为直径的⊙O交于点，点是的中点，OB，DE相交于点F． （1）求证：是⊙O的切线； （2）求EF：FD的值． 【题型09 证明某直线是圆的切线】 【易错题精讲】（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，内接于，点D是弧的中点，过点D作分别交、延长线于P、Q，连接． (1)求证：是的切线： (2)若，求的长． 【变式训练9-1】（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母．（保留作图痕迹，不写作法） (1)①作的平分线，交于点O；②以O为圆心，为半径作圆． (2)在你所作的图中，与的位置关系．（直接写出答案） 【变式训练9-2】（20-21九年级上·湖南长沙·期中）如图，在中，，平分交于点，是边上一点，以点为圆心，长为半径的圆经过点，作于点，延长交于点，连接并延长交于点． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求与的面积之比． 【题型10 切线的性质定理】 【易错题精讲】（2023·辽宁大连·一模）如图，在中，，以为直径的交于点D，切线交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式训练10-1】（23-24九年级上·江苏无锡·期中）已知，如图，中，，半径为1的与三角形的边都相切，点P为上一动点，点Q为边上一动点，则的最大值与最小值的和为 ． 【变式训练10-2】（23-24九年级上·北京西城·期中）对于平面直角坐标系中的点P和图形W、给出如下定义：若图形W上存在点Q，使得点P绕着点Q旋转得到的对应点在图形W上，则称点P为图形W的“关联点”． (1)图形W是线段，其中点A的坐标为，点B的坐标为， ①如图1，在点，，，中，线段的“关联点”是 ； ②如图2，若直线上存在点P，使点P为线段的“关联点”，求b的取值范围； (2) 图形W是以为圆心，1为半径的．已知点，．若线段上存在点P，使点P为的“关联点”，直接写出t的取值范围． 【题型11 切线的性质和判定的综合应用】 【易错题精讲】（23-24九年级下·吉林长春·期中）如图，菱形的两条对角线交于点，为线段上一点，与相切于点． (1)求证：是的切线． (2)若经过点，，且的半径为，则菱形的边长为________． 【变式训练11-1】（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，中，，点在边上，过点且分别与边、相交于、两点，，点为垂足． (1)求证：直线是的切线； (2)当是等边三角形，且直线与相切时，直接写出长度为线段长度2倍的所有线段． 【变式训练11-2】（2023九年级·江苏·专题练习）在中，，延长到点，以为直径作，交的延长线于点，延长到点，使． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，，求的长． 【题型12 应用切线长定理求证】 【易错题精讲】（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，点在上，以为半径的半圆切于点，交于点，若，，求的半径和边的长． 【变式训练12-1】（22-23九年级上·广东云浮·期末）如图1所示，为的外接圆，为直径，、分别与相切于点D、C（）.E在线段上，连接并延长与直线相交于点P，B为中点. (1)证明：是的切线. (2)如图2，连接，，求证：. 【变式训练12-2】（23-24九年级上·江西赣州·期中）如图，四边形是平行四边形，点A，B，D均在圆上．请仅用无刻度的直尺分别下列要求画图．    (1)在图①中，若是直径，与圆相切，画出圆心O； (2)在图②中，若均与圆相切，画出圆心O． 【题型13 应用切线长定理求解】 【易错题精讲】（22-23九年级上·江苏盐城·期中）以正方形的边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交边于点E，若的周长为12，则正方形的边长为 ． 【变式训练13-1】（23-24九年级下·河南新乡·期中）如图，为的直径，，分别与相切于点，，经过上一点，，若，，则的长为 ． 【变式训练13-2】（23-24九年级上·山东潍坊·期中）如图，正方形边长为，以正方形的一边为直径在正方形内作半圆，过作半圆的切线，与半圆相切于点，与相交于点，则的面积（　　）． A．12 B．24 C．8 D．6 【题型14 圆的综合问题】 【易错题精讲】（22-23九年级上·广东韶关·期中）如图，在中，点是外心，和的平分线交于点，延长交的外接圆于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的外接圆的半径． 【变式训练14-1】（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图1，为四边形的外接圆，与相交于点，且，连结，设． (1)用含的代数式表示． (2)如图2，连结，交于点，若，求证：． (3)在（2）的基础上，当，时，求出的值． 【变式训练14-2】（23-24九年级上·江苏扬州·期中）已知的半径弦于点D，，点P为弦所对的弧上的一点．      (1)如图1，若点P为弦所对的劣弧上的一点，延长交的延长线于点Q，且，则________，________； (2)如图2，若点P为弦所对的优弧上的一点，连接交于点Q，且，过点P作的切线，交的延长线相交于点E，已知，求的长． 【题型15 过圆外一点作圆的切线（尺规作图）】 【易错题精讲】（23-24九年级上·江苏扬州·期中）请按下列要求作图．    (1)如图1，在方格纸中，点A在圆上，仅用无刻度直尺过点A画出圆的切线； (2)如图2，已知，点Q在外，用尺规作上所有过点Q的切线．（保留作图痕迹） 【变式训练15-1】（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作． (1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【变式训练15-2】（22-23九年级上·江苏宿迁·期中）已知：和外一点． (1)如图甲，和是的两条切线，、分别为切点，求证：； (2)尺规作图：在图乙中，过点作的两条切线、、、为切点（要求：保留作图痕迹，不写作法）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$