清单03 对圆的进一步认识（知识导图+19个考点清单&题型解读）（期中复习讲义）九年级数学上学期青岛版

清单03 对圆的进一步认识 （考点梳理+19个题型解读+真题拔高15题） 题型清单目录 【考点题型一】垂径定理的应用 9 【考点题型二】圆心角、弧、弦的关系 11 【考点题型三】圆周角定理 12 【考点题型四】圆内接四边形的性质 13 【考点题型五】相交弦定理 14 【考点题型六】点与圆的位置关系 15 【考点题型七】确定圆的条件 15 【考点题型八】三角形的外接圆与外心 16 【考点题型九】直线与圆的位置关系 17 【考点题型十】切线的判定与性质 18 【考点题型十一】弦切角定理 20 【考点题型十二】切线长定理 21 【考点题型十三】切割线定理 21 【考点题型十四】三角形的内切圆与内心 23 【考点题型十五】正多边形和圆 24 【考点题型十六】弧长的计算 25 【考点题型十七】扇形面积的计算 26 【考点题型十八】圆锥的计算 27 【考点题型十九】圆柱的计算 29 期中真题拔高训练15题 30 知识点01：圆的相关概念 1.圆的概念 （1）描述性定义:在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点叫做圆心，叫做半径； （2）集合性定义: 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点叫做圆心，定长叫做半径； （3）圆的表示方法:用符号表示圆，定义中以为圆心，为半径的圆记作“”，读作“圆”； （4）同圆、同心圆、等圆： ①圆心相同且半径相等的圆叫同圆； ②圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆； ③能够重合的两个圆叫做等圆． 2.弦与弧的相关概念： （1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦； （2）直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的倍； （3）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距； （4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的圆弧记作，读作弧； （5）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧； （6）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆； （7）优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧； （8）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 3.圆心角与圆周角 （1）圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角； ①将整个圆分为等份，每一份的弧对应的圆心角，我们也称这样的弧为的弧； ②圆心角的度数和它所对的弧的度数相等； （2）圆周角:顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 知识点02：垂径定理 1.定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 2.推论1： （1）平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等． 应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：，根据此公式，在，，三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量． 补充说明：做题过程中，定理与推论（1）可以直接使用，而推论（2）、（3）需证明后再使用． 知识点03：圆心角、弧、弦之间的关系与应用 1．圆心角、弧、弦之间的关系 1.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弧也相等． 若，则，，． 2.推论：同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 2．应用 （1）在解答圆的问题时，若遇弧相等常转化为它们所对的圆心角相等或弦相等来解答； （2）有弦的中点时常作弦心距，利用垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系来证题； 另外，证明两弦相等也常作弦心距； （3）在计算弧的度数时，或有等弧的条件时，或证等弧时，常作弧所对的圆心角； （4）有弧的中点或证弧的中点时，常有以下几种引辅助线的方法： 连过弧中点的半径；连等弧对的弦；作等弧所对的圆心角 知识点04：圆周角定理 1．圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 2．圆周角定理的推论 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径． 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 注意：推论3不可以直接利用，需要证明． 知识点05：圆的内接多边形 一.  三角形的外接圆及外心 1.  三角形的外接圆 （1） 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． （2）锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部. 2.  三角形的外心的性质 （1） 三角形的外心到三角形各顶点的距离相等； （2）对于给定的三角形，其外心是唯一的;但一个圆的内接三角形有无数个，这些三角形的外心重合. 二. 圆内接四边形 1.  圆内接四边形的概念 如果一个四边形的所有顶点都在一个圆上，这个四边形就叫做圆内接四边形，这个圆就是四边形的外接圆． 2.  圆内接四边形的性质 性质1：圆内接四边形的对角互补． 性质2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角． 3.  圆内接四边形的判定 判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆． 补充说明：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆． 知识点06：点与圆的位置关系 1． 点与圆的位置关系 1.确定圆的条件 （1）圆心(定点)，确定圆的位置； （2）半径(定长)，确定圆的大小． 注意：只有当圆心和半径都确定时，圆才能确定． 2.点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有：点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定． （2）设的半径为，点到圆心的距离为，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内.如下表所示： 位置关系 图形 定义 性质及判定 点在圆外 点在圆的外部 点在的外部. 点在圆上 点在圆周上 点在上 点在圆内 点在圆的内部 点在的内部 2． 过已知点的圆： 1. 过已知点的圆 （1）过一点的圆有无数个；圆心为平面内除点以外的任意一点． （2）过两点的圆有无数个；这些圆的圆心在线段的垂直平分线上． （3）过三点的圆； 若点共线，则过三点的圆不存在；若点不共线，则存在唯一的圆过三点，且圆心为线段、、中垂线的交点。 （4）过（）个点的圆；可做个或个. 2. 定理：不在同一直线上的三点确定一个圆 （1）“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆； （2）“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”． 知识点07：直线与圆的位置关系 设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表： 位置关系 图形 定义 性质及判定 相离 直线与圆没有公共点． 直线与相离 相切 直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点． 直线与相切 相交 直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线． 直线与相交 知识点08：切线的性质和判定 一．切线的性质 1.性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 二．切线的判定 1.定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； 2.距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线； 3.判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 4.切线的证明方法 思路一：证明直线与圆有且只有一个公共点． 思路二：若已知条件中不知直线与圆是否有公共点，则过圆心向直线作垂线段，证明垂线段长（）等于半径（）． 思路三：若已知直线与圆的公共点，则连接这点与圆心的半径，证明此半径垂直于直线． 三．切线长 1．切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫这点到圆的切线长． 2．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 如图，由可得：①②，即：是的平分线． 四．三角形的内切圆 1．三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形． 2．直角三角形内切圆的半径与三边的关系： 设、、分别为中、、的对边，面积为，则内切圆半径为，其中．若，则． 知识点09：正多边形和圆 一. 正多边形的概念及性质 1. 正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形． 2. 正多边形的相关概念： （1）正多边形的中心：我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心； （2）正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径； （3）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角； （4）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 补充说明：正多边形的性质： （1）正边形的半径和边心距把正边形分成个全等的直角三角形； （2）正多边形都是轴对称图形，正边形共有条通过正边形中心的对称轴； （3）偶数条边的正多边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，其中心就是对称中心． 二. 正多边形与圆的关系 1. 把一个圆等分，依次连结各个等分点所得到的多边形是这个圆的内接正边形；这个圆叫这个正边形的外接圆；经过各等分点作圆的切线，以相邻切线交点为顶点的多边形是这个圆的外切正边形． 2. 定理：任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆；并且这两个圆是同心圆． 三. 正多边形有关的计算 1. 正边形的每个内角都等于； 2. 正边形的每一个外角与中心角相等，等于； 3. 设正边形的边长为，半径为，边心距为，周长为，面积为；则： 知识点10：与圆有关的计算 一．弧长公式 1.圆的周长： 2.弧长公式：（其中，表示弧长，表示这段弧所对圆心角度数值；表示该弧所在圆的半径）． 二．扇形面积公式 1.圆的面积公式： 2.扇形面积公式：（表示扇形圆心角度数值；表示半径）． 三．圆锥、圆柱的侧面积与全面积 1.圆锥 （1）圆锥的侧面积：（以下公式中的均指扇形母线长）； （2）圆锥的全面积：； （3）圆锥的体积：； （4）圆锥的高、底面半径、母线之间的关系：； （5）设圆锥的底面半径为，母线长为，侧面展开图的圆心角为；则有： 2.圆柱 （1）圆柱的侧面积： （2）圆柱的全面积： 四．不规则图形面积的巧算 一般利用拼凑法，割补法，把不规则图形切割拼接成面积容易计算的图形再进行计算，例如：弓形面积：． 【考点题型一】垂径定理的应用 【精讲题】（2024•海丰县校级一模）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦长20厘米，弓形高为2厘米，则镜面半径是　　 A．24厘米 B．26厘米 C．28厘米 D．30厘米 【变式1-1】（2024•三原县一模）如图1是小明制作的一副弓箭，当弓箭不受力时，其弓臂部分可看成是如图2所示的圆弧 所在圆的圆心为，弓弦部分的长为，点是弓臂 的中点，交于点，、两点之间的距离为，则弓臂 所在圆的半径为　　 A． B． C． D． 【变式1-2】（2024•温州模拟）温州有很多历史悠久的石拱桥，它们是圆弧的桥梁．如图是温州某地的石拱桥局部，其跨度为24米，拱高为4米，则这个弧形石拱桥设计的半径为 　 　米． 【变式1-3】（2024•廊坊一模）如图是汽车前轮的截面示意图，已知轮胎的半径为，轮胎的最高点比汽车底盘高，轮胎与地面接触的长度． （1）求汽车底盘到地面的距离． （2）现计划在处加装挡泥板．当车辆行驶时，泥沙会从点处沿切线向后甩出．若轮胎中心到的距离是，求挡泥板至少要多长才能挡住泥沙． 【考点题型二】圆心角、弧、弦的关系 【精讲题】（2024•丛台区校级三模）如图，在中，满足，则下列对弦与弦大小关系表述正确的是　　 A． B． C． D．无法确定 【变式2-1】（2024•自贡模拟）已知在扇形中，，，为弧的中点，为半径上一动点，点关于直线的对称点为，若点落在扇形内（不含边界），则长的取值范围是　　 A． B． B． C． D． 【变式2-2】如图，点为半圆的圆心，，为半圆上的两点，且．连接并延长，与的延长线相交于点． （1）求证：； （2）若的半径为4，，求的长． 【考点题型三】圆周角定理 【精讲题】（2024•西安二模）如图，是的一条弦，点是的中点，连接、，交于点，连接，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【变式3-1】（2024•十堰模拟）如图，已知直线交于、两点，是的直径，点为上一点，且平分，过作，垂足为，且，的直径为20，则的长等于　　 A．8 B．12 C．16 D．18 【变式3-2】（2024•陕西校级模拟）如图，是的直径，为上一点，连接并延长至点，使得，连接交于点，连接，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【考点题型四】圆内接四边形的性质 【精讲题】（2023秋•峨山县期末）如图，四边形内接于圆，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【变式4-1】（2024•广州校级二模）如图，四边形为的内接四边形，，垂足为点，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 键． 【变式4-2】（2024•台江区校级模拟）如图，四边形内接于，对角线是的直径，平分，交于点，过点作，交延长线于点． （1）求证：； （2）过点作交延长线于点，求证：． 【考点题型五】相交弦定理 【精讲题】（2024•吉木萨尔县校级模拟）如图，是的直径，弦与相交于点，若，，，则到的距离为 　　． 【变式5-1】（2020秋•海珠区期末）如图，在中，弦、相交于点，且． （1）求证：； （2）若，，，求． 【变式5-2】（2022•南陵县自主招生）如图，已知圆，弦、相交于点． （1）求证：； （2）若为上一点，且圆的半径为3，，求的值． 【考点题型六】点与圆的位置关系 【精讲题】（2024•凉山州模拟）在△中，，，，为的中点．以为圆心，为半径作，若、、三点中只有一点在内，则的半径的取值范围是　　 A． B． C． D． 【变式6-1】（2024•龙马潭区二模）如图，正方形的边长为5，以为圆心，2为半径作，点为上的动点，连接，并将绕点逆时针旋转得到，连接，在点运动的过程中，长度的最大值是 　　． 【考点题型七】确定圆的条件 【精讲题】（2023•兴庆区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 　　． 【变式7-1】（2022秋•易县期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 　　，半径为 　　． 【变式7-2】（2022秋•乌兰浩特市校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点、、的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆的圆心坐标是 　　． 【考点题型八】三角形的外接圆与外心 【精讲题】（2024•宁波模拟）如图，△的两条高线，交于点，过，，三点作，延长交于点，连接，．设，，则下列线段中可求长度的是　　 A． B． C． D． 【变式8-1】（2024•浙江模拟）如图，点在线段上，，点是线段上一动点，分别以，为边向下作正方形和正方形，当时，，则的长为 　　，过点，，作，连接，记交于点，连接．若△是等腰三角形，则的长为 　　． 【变式8-2】（2024•岱岳区校级模拟）已知的直径为，点是上的动点，点是的中点，延长线交于点，则的最大值为　　． 【考点题型九】直线与圆的位置关系 【精讲题】（2023秋•柘城县期末）如图，在中，，，，点为的中点，以为圆心，2为半径作，则下列说法不正确的是　　 A．点在圆外 B．点在圆上 C．与直线相切 D．与直线相交 【变式9-1】（2023秋•石家庄期末）内接于，过点作直线，已知，根据弦的变化，两人分别探究直线与的位置关系： 甲：如图1，当弦过点时，与相切； 乙：如图2，当弦不过点时，也与相切； 下列判断正确的是　　 A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．甲乙都对 D．甲乙都不对 【变式9-2】（2024•瑞昌市校级一模）如图，的半径为2，四边形内接于，，，连接，，延长至点，使得，连接． （1）求证：四边形为菱形． （2）判断与的位置关系，并说明理由． 【考点题型十】切线的判定与性质 【精讲题】（2024•郸城县模拟）在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．图1是一种推磨工具模型，图2是它的示意图，图3是其简化图，已知，点在中轴线上运动，点在以为圆心，长为半径的圆上运动，且．当点按逆时针方向运动到时，与相切，则的长为 　　． 【变式10-1】（2024•成都模拟）如图，已知为的弦，连接，过上的点作，交的延长线于点，且． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 【变式10-2】（2024•鄄城县三模）如图，以的边为直径的半圆分别交，于点，，已知，过点作于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求和的长． 【考点题型十一】弦切角定理 【精讲题】（2022•江阴市校级一模）如图，是的直径，、分别切于点、，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【变式11-1】（2018•马边县模拟）如图，已知半径为1的经过直角坐标系的原点，且与轴、轴分别交于点、，点的坐标为，，的切线与直线交于点．则　　度． 【变式11-2】（2024•鞍山二模）如图，是的外接圆，为的直径，与交于点，为延长线上一点，连接，，，． （1）求证：； （2）若，，半径为4，求长． 【考点题型十二】切线长定理 【精讲题】（2023秋•斗门区期末）如图，为外一点，、分别切于点、，切于点，分别交、于点、，若，则的周长为　　 A．8 B．12 C．16 D．20 【变式12-1】（2023秋•滨城区期中）如图，内切于正方形，为圆心，作，其两边分别交，于点，，若，则的面积为 　　． 【变式12-2】（2023秋•江汉区期末）四边形是的外切四边形，若，则的度数是 　　． 【考点题型十三】切割线定理 【精讲题】（2021春•永嘉县校级期末）如图，四边形是圆的内接四边形，、的延长线交于点，若是的中点，且，，那么的长为　　 A．9 B．7 C．3 D． 【变式13-1】（2023秋•天宁区校级期中）如图中，以为直径的交于点，交于点，若，，，则　　． 【变式13-2】（2017秋•回民区期末）如图，，，分别与相切于，，，且，，．求的长． 【考点题型十四】三角形的内切圆与内心 【精讲题】（2023秋•凤阳县校级月考）如图，为的内切圆，，的延长线交于点，若，，则的半径等于　　 A． B． C． D． 【变式14-1】（2024•石家庄模拟）如图，在中．，．是的内切圆．分别与，，相切于点，，． （1）　　． （2）若，则　　． 【变式14-2】（2024•潍坊一模）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点、过作直线． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若，，求的半径． 【考点题型十五】正多边形和圆 【精讲题】（2024春•商水县校级月考）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴，将六边形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点的坐标为　　 A． B． C． D． 【变式15-1】（2024•成都模拟）如图，正五边形的边长为5，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的周长为 　　（结果保留 【变式15-2】（2024•海港区一模）如图，正六边形的边长为2，内部有一个正方形（正方形的顶点可以在正六边形的边上），正方形的两个顶点、分别在边、上． （1）如图1，则正方形的边长为 　　． （2）正方形面积的最大值为 　　． 【考点题型十六】弧长的计算 【精讲题】（2024•淄博模拟）如图，四边形内接于圆，，，，则的长度为　　 A． B． C． D． 【变式16-1】（2024•武威校级三模）如图，在中，是直径，弦，垂足为点，连结，． （1）求证：． （2）若，，求的长度． 【变式16-2】（2024•城厢区校级一模）（1）如图1，在锐角的外部找一点，使的面积与的面积相等且点在以为直径的圆上，请用尺规作图的方法确定点的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）中，若以为直径的圆上与、相交于点、，若，且，求弧的长 　　． 【考点题型十七】扇形面积的计算 【精讲题】（2024•凉山州模拟）“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”．若等边三角形的边长为2，则该“莱洛三角形”的面积等于　　 A． B． C． D． 【变式17-1】（2024•武威三模）如图所示，为的直径，是的一条弦，为的中点，作于点，交的延长线于点，连接． （1）若，则圆心到的距离是多少？说明你的理由． （2）若，求阴影部分的面积（结果保留． 【变式17-2】（2024•江夏区模拟）如图，在中，以边为直径作，交边于点，延长交于点，连接交于点，且． （1）求证：； （2）若，求图中阴影部分的面积． 【考点题型十八】圆锥的计算 【精讲题】（2024春•凉州区校级月考）如图是小雨学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，已知圆锥底面圆半径为，圆锥母线长为，则围成这个灯罩的铁皮的面积是（不考虑缝隙等因素）　　 A． B． C． D． 【变式18-1】（2024•南海区校级模拟）如图，在中，，，，将以为轴旋转一周，得到的圆锥侧面积是 　　． 【变式18-2】（2024•东莞市校级二模）【综合与实践】 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为的圆锥侧面展开，可得到一个半径为、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽， （1）现在需要制作一个，的生日帽，请帮忙计算出所需扇形纸板的圆心角度数； （2）为了使（1）中所制作的生日帽更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点处开始，绕侧面一周又回到点的彩带（彩带宽度忽略不计），求彩带长度的最小值． 【考点题型十九】圆柱的计算 【精讲题】（2024•武汉模拟）“漏壶”是一种古代计时器，在一次实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图所示的液体漏壶，由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体，下表是实验记录的圆柱体容器液面高度 与时间的数据： 时间 1 2 3 4 5 圆柱体容器液面高度 6 10 14 18 22 如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当圆柱体容器液面高度达到时是　　 A． B． C． D． 【变式19-1】（2023秋•惠州期末）如图1是某厂房遮雨棚示意图（尺寸如图所示），遮雨棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．如图2是遮雨棚顶部截面示意图，所在圆的圆心为．求覆盖厂房遮雨棚顶部至少需要多少平方米帆布（不考虑接缝等因素，计算结果保留． 【变式19-2】（2023秋•南关区校级月考）如图①，水平放置的空圆柱形容器内放着一个实心的铁“柱锥体”（由一个高为的圆柱和一个同底面的高为圆锥组成的铁几何体）．向这个容器内匀速注水，水流速度为，注满为止．整个注水过程中，水面高度与注水时间之间的函数关系如图②所示． （1）圆柱形容器的高为　　． （2）求线段所对应的函数表达式． （3）直接写出“柱锥体”顶端距离水面时的值． 期中真题拔高训练15题 一．选择题 1．（2023秋•兰陵县校级期中）如图，直线与轴、轴分别相交于、两点，，圆心的坐标为，与轴相切于原点，若将沿轴向右移动，当与该直线相交时，横坐标为整数的点的个数是　　 A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2023秋•嵊州市期中）如图，四边形内接于，它的一个外角，则的度数为　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•商丘期中）如图，已知是的直径，是弦，若，则　　 A． B． C． D． 4．（2022秋•武昌区期中）如图，已知，角的一边与相切于点，另一边交于、两点，的半径为，，则的长度为　　 A． B．6 C． D．5 5．（2023秋•江阴市校级期中）如图，为等边的外心，四边形为正方形．现有以下结论：①是外心； ②是的外心；③；④设，则；⑤若点，分别在线段，上运动（不含端点），随着点运动到每一个确定位置时，的周长都有最小值，．其中所有正确结论的序号是　　 A．①③④ B．②③⑤ C．②④ D．①③④⑤ 二．填空题 6．（2023秋•江阴市校级期中）如图，扇形的圆心角为直角，边长为1的正方形的顶点、、分别在、、上，，交的延长线于点．则图中阴影部分面积是 ． 7．（2023秋•上城区校级期中）如图，内接于，是的直径，，则　　． 8．（2017春•盐都区期中）如图，的内接四边形中，，则　 　． 9．（2022秋•东港区校级期中）在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，半径为1的的圆心从点出发以每秒个单位长度的速度沿射线的方向运动，设点运动的时间为秒，则当　　秒时，与坐标轴相切． 10．（2023秋•上虞区期中）如图，已知的半径为1，弦的长为，为优弧上的动点，过点作的垂线交直线于点，当的面积达到最大时，其边上的高为 　　． 三．解答题 11．（2023秋•蒙阴县期中）如图，内接于，是的直径，的切线交的延长线于点，交于点，交于点，连接． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求阴影部分的面积． 12．（2021秋•和平区校级期中）已知，△中，，以为直径的与，的交点分别为， （Ⅰ）如图①，求的大小； （Ⅱ）如图②，当时，求的大小． 13．（2023秋•天宁区校级期中）如图，为的直径，点为上一点，为的中点，点在的延长线上，且． （1）求证：为的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 14．（2022秋•江阴市期中）如图，是为直径，点是上一点，过点的切线与弦的延长线交于点，过点的直线与线段交于点，且． （1）猜想直线与的位置关系，并证明； （2）若的半径是3，，求阴影部分的面积． 15．（2023秋•哈尔滨期中）如图，内接于，． （1）求证：； （2）点在上，连接，点是上一点，连接，若，，求证：； （3）在（2）的条件下，延长交于点，连接，若，，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 对圆的进一步认识 （考点梳理+19个题型解读+真题拔高15题） 题型清单目录 【考点题型一】垂径定理的应用 9 【考点题型二】圆心角、弧、弦的关系 13 【考点题型三】圆周角定理 18 【考点题型四】圆内接四边形的性质 21 【考点题型五】相交弦定理 24 【考点题型六】点与圆的位置关系 27 【考点题型七】确定圆的条件 30 【考点题型八】三角形的外接圆与外心 33 【考点题型九】直线与圆的位置关系 37 【考点题型十】切线的判定与性质 41 【考点题型十一】弦切角定理 46 【考点题型十二】切线长定理 50 【考点题型十三】切割线定理 52 【考点题型十四】三角形的内切圆与内心 54 【考点题型十五】正多边形和圆 59 【考点题型十六】弧长的计算 64 【考点题型十七】扇形面积的计算 67 【考点题型十八】圆锥的计算 72 【考点题型十九】圆柱的计算 74 期中真题拔高训练15题 78 知识点01：圆的相关概念 1.圆的概念 （1）描述性定义:在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点叫做圆心，叫做半径； （2）集合性定义: 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点叫做圆心，定长叫做半径； （3）圆的表示方法:用符号表示圆，定义中以为圆心，为半径的圆记作“”，读作“圆”； （4）同圆、同心圆、等圆： ①圆心相同且半径相等的圆叫同圆； ②圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆； ③能够重合的两个圆叫做等圆． 2.弦与弧的相关概念： （1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦； （2）直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的倍； （3）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距； （4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的圆弧记作，读作弧； （5）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧； （6）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆； （7）优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧； （8）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 3.圆心角与圆周角 （1）圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角； ①将整个圆分为等份，每一份的弧对应的圆心角，我们也称这样的弧为的弧； ②圆心角的度数和它所对的弧的度数相等； （2）圆周角:顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 知识点02：垂径定理 1.定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 2.推论1： （1）平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等． 应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：，根据此公式，在，，三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量． 补充说明：做题过程中，定理与推论（1）可以直接使用，而推论（2）、（3）需证明后再使用． 知识点03：圆心角、弧、弦之间的关系与应用 1．圆心角、弧、弦之间的关系 1.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弧也相等． 若，则，，． 2.推论：同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 2．应用 （1）在解答圆的问题时，若遇弧相等常转化为它们所对的圆心角相等或弦相等来解答； （2）有弦的中点时常作弦心距，利用垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系来证题； 另外，证明两弦相等也常作弦心距； （3）在计算弧的度数时，或有等弧的条件时，或证等弧时，常作弧所对的圆心角； （4）有弧的中点或证弧的中点时，常有以下几种引辅助线的方法： 连过弧中点的半径；连等弧对的弦；作等弧所对的圆心角 知识点04：圆周角定理 1．圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 2．圆周角定理的推论 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径． 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 注意：推论3不可以直接利用，需要证明． 知识点05：圆的内接多边形 一.  三角形的外接圆及外心 1.  三角形的外接圆 （1） 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． （2）锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部. 2.  三角形的外心的性质 （1） 三角形的外心到三角形各顶点的距离相等； （2）对于给定的三角形，其外心是唯一的;但一个圆的内接三角形有无数个，这些三角形的外心重合. 二. 圆内接四边形 1.  圆内接四边形的概念 如果一个四边形的所有顶点都在一个圆上，这个四边形就叫做圆内接四边形，这个圆就是四边形的外接圆． 2.  圆内接四边形的性质 性质1：圆内接四边形的对角互补． 性质2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角． 3.  圆内接四边形的判定 判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆． 补充说明：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆． 知识点06：点与圆的位置关系 1． 点与圆的位置关系 1.确定圆的条件 （1）圆心(定点)，确定圆的位置； （2）半径(定长)，确定圆的大小． 注意：只有当圆心和半径都确定时，圆才能确定． 2.点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有：点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定． （2）设的半径为，点到圆心的距离为，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内.如下表所示： 位置关系 图形 定义 性质及判定 点在圆外 点在圆的外部 点在的外部. 点在圆上 点在圆周上 点在上 点在圆内 点在圆的内部 点在的内部 2． 过已知点的圆： 1. 过已知点的圆 （1）过一点的圆有无数个；圆心为平面内除点以外的任意一点． （2）过两点的圆有无数个；这些圆的圆心在线段的垂直平分线上． （3）过三点的圆； 若点共线，则过三点的圆不存在；若点不共线，则存在唯一的圆过三点，且圆心为线段、、中垂线的交点。 （4）过（）个点的圆；可做个或个. 2. 定理：不在同一直线上的三点确定一个圆 （1）“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆； （2）“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”． 知识点07：直线与圆的位置关系 设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表： 位置关系 图形 定义 性质及判定 相离 直线与圆没有公共点． 直线与相离 相切 直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点． 直线与相切 相交 直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线． 直线与相交 知识点08：切线的性质和判定 一．切线的性质 1.性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 二．切线的判定 1.定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； 2.距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线； 3.判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 4.切线的证明方法 思路一：证明直线与圆有且只有一个公共点． 思路二：若已知条件中不知直线与圆是否有公共点，则过圆心向直线作垂线段，证明垂线段长（）等于半径（）． 思路三：若已知直线与圆的公共点，则连接这点与圆心的半径，证明此半径垂直于直线． 三．切线长 1．切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫这点到圆的切线长． 2．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 如图，由可得：①②，即：是的平分线． 四．三角形的内切圆 1．三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形． 2．直角三角形内切圆的半径与三边的关系： 设、、分别为中、、的对边，面积为，则内切圆半径为，其中．若，则． 知识点09：正多边形和圆 一. 正多边形的概念及性质 1. 正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形． 2. 正多边形的相关概念： （1）正多边形的中心：我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心； （2）正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径； （3）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角； （4）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 补充说明：正多边形的性质： （1）正边形的半径和边心距把正边形分成个全等的直角三角形； （2）正多边形都是轴对称图形，正边形共有条通过正边形中心的对称轴； （3）偶数条边的正多边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，其中心就是对称中心． 二. 正多边形与圆的关系 1. 把一个圆等分，依次连结各个等分点所得到的多边形是这个圆的内接正边形；这个圆叫这个正边形的外接圆；经过各等分点作圆的切线，以相邻切线交点为顶点的多边形是这个圆的外切正边形． 2. 定理：任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆；并且这两个圆是同心圆． 三. 正多边形有关的计算 1. 正边形的每个内角都等于； 2. 正边形的每一个外角与中心角相等，等于； 3. 设正边形的边长为，半径为，边心距为，周长为，面积为；则： 知识点10：与圆有关的计算 一．弧长公式 1.圆的周长： 2.弧长公式：（其中，表示弧长，表示这段弧所对圆心角度数值；表示该弧所在圆的半径）． 二．扇形面积公式 1.圆的面积公式： 2.扇形面积公式：（表示扇形圆心角度数值；表示半径）． 三．圆锥、圆柱的侧面积与全面积 1.圆锥 （1）圆锥的侧面积：（以下公式中的均指扇形母线长）； （2）圆锥的全面积：； （3）圆锥的体积：； （4）圆锥的高、底面半径、母线之间的关系：； （5）设圆锥的底面半径为，母线长为，侧面展开图的圆心角为；则有： 2.圆柱 （1）圆柱的侧面积： （2）圆柱的全面积： 四．不规则图形面积的巧算 一般利用拼凑法，割补法，把不规则图形切割拼接成面积容易计算的图形再进行计算，例如：弓形面积：． 【考点题型一】垂径定理的应用 【精讲题】（2024•海丰县校级一模）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦长20厘米，弓形高为2厘米，则镜面半径是　　 A．24厘米 B．26厘米 C．28厘米 D．30厘米 【思路点拨】根据题意，弦长20厘米，弓形高为2厘米，根据勾股定理和垂径定理可以求得圆的半径． 【规范解答】解：如图，点是圆形玻璃镜面的圆心，连接，则点，点，点三点共线， 由题意可得：，（厘米）， 设镜面半径为厘米， 由题意可得：， ， 镜面半径为26厘米， 故选：． 【考点评析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，由勾股定理可求解． 【变式1-1】（2024•三原县一模）如图1是小明制作的一副弓箭，当弓箭不受力时，其弓臂部分可看成是如图2所示的圆弧 所在圆的圆心为，弓弦部分的长为，点是弓臂 的中点，交于点，、两点之间的距离为，则弓臂 所在圆的半径为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】利用垂径定理得到，然后利用勾股定理即可求解． 【规范解答】解：点是弓臂 的中点， ， ， ， ， ，即， ， 故选：． 【考点评析】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，解决本题的关键是掌握垂径定理． 【变式1-2】（2024•温州模拟）温州有很多历史悠久的石拱桥，它们是圆弧的桥梁．如图是温州某地的石拱桥局部，其跨度为24米，拱高为4米，则这个弧形石拱桥设计的半径为 　20　米． 【思路点拨】根据题意，利用垂径定理及勾股定理即可解决问题． 【规范解答】解：由题知， 垂直平分， 所以圆弧所在圆的圆心在延长线上． 连接， 因为垂直平分， 所以（米． 令的半径为米， 则米． 在中， ， 解得， 所以这个弧形石拱桥设计的半径我20米． 故答案为：20． 【考点评析】本题考查垂径定理，熟知垂径定理及勾股定理是解题的关键． 【变式1-3】（2024•廊坊一模）如图是汽车前轮的截面示意图，已知轮胎的半径为，轮胎的最高点比汽车底盘高，轮胎与地面接触的长度． （1）求汽车底盘到地面的距离． （2）现计划在处加装挡泥板．当车辆行驶时，泥沙会从点处沿切线向后甩出．若轮胎中心到的距离是，求挡泥板至少要多长才能挡住泥沙． 【思路点拨】（1）连接并延长交于点，由垂径定理求得后即可根据勾股定理解三角形得到汽车底盘到地面的距离； （2）作地面，过点作圆的切线交于点，证明后根据相似三角形性质求解即可． 【规范解答】解：（1）如图，连接并延长交于点， 则，， 连接，则， 汽车底盘到地面的距离为， 答：汽车底盘到地面的距离为． （2）如图，过点作地面于点，过点作的切线交于点，则，的长即为长的最小值， ， 又， ， 又， ， ， 到的距离是， ， 即， ， ， 答：挡泥板至少要才能挡住泥沙． 【考点评析】本题考查的知识点是垂径定理、勾股定理解直角三角形、相似三角形的判定与性质，解题关键是正确理解题意． 【考点题型二】圆心角、弧、弦的关系 【精讲题】（2024•丛台区校级三模）如图，在中，满足，则下列对弦与弦大小关系表述正确的是　　 A． B． C． D．无法确定 【思路点拨】如图，取弧的中点，连接，．证明，再利用三角形的三边关系解决问题． 【规范解答】解：如图，取弧的中点，连接，． ，， ， ， ， ． 故选：． 【考点评析】本题考查圆心角，弧，弦之间等分关系，三角形的三边关系等知识，解题的关键是理解题意正确作出辅助线． 【变式2-1】（2024•自贡模拟）已知在扇形中，，，为弧的中点，为半径上一动点，点关于直线的对称点为，若点落在扇形内（不含边界），则长的取值范围是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】求出两种特殊位置：当点落在上时，当点落在上时，的值，可得结论． 【规范解答】解：如图，连接，当点落在上时，， ，， ， ， ， ． 当点落在上时，连接，，，，过点作于点，于点， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ，，， ， ， 设，则． ， ， ， 观察图象可知：点落在扇形内（不含边界），则． 故选：． 【考点评析】本题考查圆心角，弧，弦，轴对称的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会寻找特殊位置解决问题，属于中考常考题型． 【变式2-2】如图，点为半圆的圆心，，为半圆上的两点，且．连接并延长，与的延长线相交于点． （1）求证：； （2）若的半径为4，，求的长． 【思路点拨】（1）连接，由为半圆的直径得出，再由得出其所对的圆周角相等，进而得出，最后根据得出即可解决问题． （2）连接，交于点，在△和△中分别使用勾股定理即可解决问题． 【规范解答】证明：（1）连接， 是半圆的直径， ． ， ， ． ，， ， ， ． 解：（2）连接，交于点， ， ，且点为的中点． 令的长为， 则． 在△中， ． 在△中， ， ， 解得， 即． 又点为中点，点为中点， 为△的中位线， ． 【考点评析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系、勾股定理及三角形中位线定理，熟知圆中圆心角、弧、弦之间的关系及勾股定理是解题的关键． 【考点题型三】圆周角定理 【精讲题】（2024•西安二模）如图，是的一条弦，点是的中点，连接、，交于点，连接，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】连接，先由圆周角定理得到，再由等边对等角得到，进一步由平行线的性质得到，则． 【规范解答】解：如图所示，连接， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【考点评析】本题主要考查了圆周角定理，三角形内角和定理，等边对等角，平行线的性质，熟练掌握相关知识点是关键． 【变式3-1】（2024•十堰模拟）如图，已知直线交于、两点，是的直径，点为上一点，且平分，过作，垂足为，且，的直径为20，则的长等于　　 A．8 B．12 C．16 D．18 【思路点拨】连接，根据题意可证得，再根据角平分线的性质，得，过作，则，得四边形为矩形，设，在中，由勾股定理得，从而求得的值，由勾股定理得出的长． 【规范解答】解：连接，过作，垂足为， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， ，． ， 设，则， 的直径为20， ， ， 在中，由勾股定理得． 即， 解得，． 大于0，故舍去， ， ，， ，由垂径定理知，为的中点， ． 故选：． 【考点评析】本题考查了切线的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质以及垂径定理，是基础知识要熟练掌握． 【变式3-2】（2024•陕西校级模拟）如图，是的直径，为上一点，连接并延长至点，使得，连接交于点，连接，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【思路点拨】（1）利用直径所对的圆周角是直角可得：，再利用等腰三角形的三线合一性质可得：，然后利用同弧所对的圆周角相等可得：，从而可得； （2）利用直径所对的圆周角是直角可得：，再利用同弧所对的圆周角相等可得，然后在△中，利用锐角三角函数的定义可设，则，从而利用勾股定理可得，进而可得，再利用等腰三角形的三线合一性质可得，最后在△中，利用勾股定理列出方程进行计算即可解答． 【规范解答】（1）证明：是的直径， ， ， ， ， ； （2）解：是的直径， ， ， ， 在△中，， 设，则， ， ， ， ， ，， ， 在△中，， ， 解得：或（舍去）， ． 【考点评析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握圆周角定理，以及勾股定理是解题的关键． 【考点题型四】圆内接四边形的性质 【精讲题】（2023秋•峨山县期末）如图，四边形内接于圆，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据圆内接四边形的性质得出，再代入求出答案即可． 【规范解答】解：四边形内接于， ， ， ， 故选：． 【考点评析】本题考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 【变式4-1】（2024•广州校级二模）如图，四边形为的内接四边形，，垂足为点，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据圆内接四边形的性质得出的度数，利用互余得出的度数，进而利用垂径定理和圆周角定理解答即可． 【规范解答】解：四边形为的内接四边形，， ， ， ， ，， ， 故选：． 【考点评析】本题主要考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理的应用，求得的度数是解题的关键． 【变式4-2】（2024•台江区校级模拟）如图，四边形内接于，对角线是的直径，平分，交于点，过点作，交延长线于点． （1）求证：； （2）过点作交延长线于点，求证：． 【思路点拨】（1）由平分，可证，通过证明，即可得出结论； （2）设交于点，在上截取，连接，，，首先通过证明，可证，通过圆内接四边形的性质可得，从而，，再通过证明即可． 【规范解答】证明：（1）是的直径， ， 又平分， ， ， ， ， ， 四边形内接于， ， 又， ， ， ； （2）设交于点，在上截取，连接，，， 由（1）知：，， ， ，， ， ， 四边形内接于， ， 又， ， ，， ， ，， ， 又， ， ， ， ． 【考点评析】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【考点题型五】相交弦定理 【精讲题】（2024•吉木萨尔县校级模拟）如图，是的直径，弦与相交于点，若，，，则到的距离为 　　． 【思路点拨】连接、、，过作交于，先根据圆周角定理和相似三角形的判定证明，再利用相似三角形的性质求得进而求得，进而求得，然后利用垂径定理和勾股定理求得即可求解． 【规范解答】解：如图，连接、， 则，， ， ， ，，， ，， ，， ， 过作交于，连接， 则， 在中，， ， 即到的距离为， 故答案为：． 【考点评析】本题考查圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握圆周角定理和垂径定理，会利用相似三角形的判定与性质求线段长是解题的关键． 【变式5-1】（2020秋•海珠区期末）如图，在中，弦、相交于点，且． （1）求证：； （2）若，，，求． 【思路点拨】（1）根据圆周角定理得出，，再根据相似三角形的判定推出即可； （2）根据相似得出比例式，再求出答案即可． 【规范解答】（1）证明：，（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等）， ； （2）解：， ， ，，， ， 解得：或6， 当时，， 当时，， ， ． 【考点评析】本题考查了相交弦定理，圆周角定理，相似三角形的性质和判定等知识点，能正确运用知识点进行推理和计算是解此题的关键． 【变式5-2】（2022•南陵县自主招生）如图，已知圆，弦、相交于点． （1）求证：； （2）若为上一点，且圆的半径为3，，求的值． 【思路点拨】（1）利用同弧所对的圆周角相等，证明； （2）连接、，由于是的中点，由垂径定理得，利用勾股定理可求出的值，根据（1）的结论，求出． 【规范解答】解：（1），， ， 即． （2）连接并延长，交圆于点、，连接，， ，， ， ． 【考点评析】本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、圆周角定理及垂径定理，是综合性较强的题目．（1）利用相似、圆周角定理得到相交弦定理；（2）中利用垂径定理、勾股定理和相交弦定理得到了与的积．相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等． 【考点题型六】点与圆的位置关系 【精讲题】（2024•凉山州模拟）在△中，，，，为的中点．以为圆心，为半径作，若、、三点中只有一点在内，则的半径的取值范围是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】由勾股定理可求得的长，进而得到的长．再根据题意画出简单示意图，由图形可知当的长度为和长度之间时，、、三点中只有点在内，据此即可解答 【规范解答】解：在△中，，， ， 为的中点， ． 由上图可知，当的半径时，点在上， 当的半径时，点在上，点在圆内， 当的半径时，点在上，点、在圆内， 当的半径满足时，点在内， 当的半径满足时，点、在内， 当的半径满足时，点、、在内， 若、、三点中只有一点在内，则的半径的取值范围是． 故选：． 【考点评析】本题主要考查点与圆的位置关系，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【变式6-1】（2024•龙马潭区二模）如图，正方形的边长为5，以为圆心，2为半径作，点为上的动点，连接，并将绕点逆时针旋转得到，连接，在点运动的过程中，长度的最大值是 　　． 【思路点拨】连接，，证明和全等得，则在点的运用过程中，点始终在以点为圆心，以2为半径的圆上运动，因此连接，当点运动到的延长线上时，为最大，然后求出即可得出长度的最大值． 【规范解答】解：连接，，如图1所示： 四边形为正方形， ，， ， 由旋转的性质得：，， ， ， 在和中， ， ， ， 在点的运用过程中，点始终在以点为圆心，以2为半径的圆上运动， 连接，当点运动到的延长线上时，为最大，如图2所示： ，， ， 此时， 即长度的最大值是． 故答案为：． 【考点评析】此题主要考查了图形的旋转变换及其性质，正方形的性质，点与圆的位置关系，全等三角形的判定和性质，图形的旋转变换及其性质，正方形的性质，点与圆的位置关系，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，确定点始终在以点为圆心，以2为半径的圆上运动是解决问题的难点． 【变式6-2】（2023秋•信都区月考）如图，点表示一座风景秀美的小山，市政府计划以点为中心，修建一个半径为的“桃园山庄”．因此，在此范围内的其他建筑物将被拆除．从点出发向东走，再向南走有一砖厂，砖厂的正东处有一古塔，问砖厂和古塔是否需要拆除？ 【思路点拨】先求出、两点的坐标，现利用勾股定理求出、的长与半径作比较判断点与圆的位置，即可解答． 【规范解答】解：由题意，得点坐标为，点坐标为由勾股定理，得， ， ，砖厂在圆内，砖厂需要拆除， ，古塔在圆外，不需要拆除． 【考点评析】本题是点与圆的位置关系的应用，解决问题的关键是求出点到圆的距离． 【考点题型七】确定圆的条件 【精讲题】（2023•兴庆区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 　　． 【思路点拨】根据图形得出、、的坐标，再连接，作线段和线段的垂直平分线、，两线交于，则是圆弧的圆心，最后求出点的坐标即可． 【规范解答】解：从图形可知：点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是， 连接，作线段和线段的垂直平分线、，两线交于，则是圆弧的圆心，如图， 点的坐标是， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了确定圆的条件，坐标与图形性质，垂径定理等知识点，能找出圆弧的圆心的位置是解此题的关键． 【变式7-1】（2022秋•易县期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 　　，半径为 　　． 【思路点拨】根据图形得出、、的坐标，再连接，作线段和线段的垂直平分线、，两线交于，则是圆弧的圆心，最后求出点的坐标，根据勾股定理可求出半径． 【规范解答】解：从图形可知：点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是， 连接，作线段和线段的垂直平分线、，两线交于，则是圆弧的圆心，如图， 点的坐标是， 点的坐标是， 圆弧的半径为． 故答案为：，． 【考点评析】本题考查了确定圆的条件，坐标与图形性质，垂径定理等知识点，能找出圆弧的圆心的位置是解此题的关键． 【变式7-2】（2022秋•乌兰浩特市校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点、、的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆的圆心坐标是 　　． 【思路点拨】作出线段，的垂直平分线的交点，可得结论． 【规范解答】解：如图，点即为圆心，． 故答案为：． 【考点评析】本题考查确定圆的条件，垂径定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【考点题型八】三角形的外接圆与外心 【精讲题】（2024•宁波模拟）如图，△的两条高线，交于点，过，，三点作，延长交于点，连接，．设，，则下列线段中可求长度的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】连接交于点，则，设，，则，，，，设的半径为，则，在△中，得出，即可求解． 【规范解答】解：如图所示，连接交于点，则， 设，， 依题意，， ， ，，，， 设的半径为，则， ①， 在△中， ； ，， ， ， ， 故选：． 【考点评析】本题考查了三角形的外接圆与外心，解直角三角形的应用，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． 【变式8-1】（2024•浙江模拟）如图，点在线段上，，点是线段上一动点，分别以，为边向下作正方形和正方形，当时，，则的长为 　2　，过点，，作，连接，记交于点，连接．若△是等腰三角形，则的长为 　　． 【思路点拨】设，利用已知条件与正方形的性质解答即可求得；分三种情况讨论：Ⅰ．当时，则，利用圆的内接四边形的性质和矩形的性质解答即可；Ⅱ．当时，则，此种情形不存在；Ⅲ．当 时，过点作于点，过点作于点，连接，利用矩形的性质和直角三角形的边角关系定理解答即可． 【规范解答】解：（1）设， ， ， 四边形是正方形，， ， 四边形是正方形， ， ； （2）根据正方形性质可得：，分三种情况讨论： Ⅰ．当时，则，连接，如图， ， ． 四边形为圆的内接四边形， ， ， 四边形为矩形， ． ； Ⅱ．当时，则，此种情形不存在； Ⅲ．当 时，过点作于点，过点作于点，连接，如图， ， ，，， ，，， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ， ， ， 在△ 中， ， ． 综上， 的长为2或 ． 故答案为：2；2或． 【考点评析】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键． 【变式8-2】（2024•岱岳区校级模拟）已知的直径为，点是上的动点，点是的中点，延长线交于点，则的最大值为　　． 【思路点拨】如图，以为直径作，当直线切于时，的值最大． 【规范解答】解：如图，以为直径作，当直线切于时，的值最大． 是的切线， ， ， 是直径， ， ， ， ， ， ， 故答案为． 【考点评析】本题考查动点问题，圆周角定理，平行线的性质，切线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【考点题型九】直线与圆的位置关系 【精讲题】（2023秋•柘城县期末）如图，在中，，，，点为的中点，以为圆心，2为半径作，则下列说法不正确的是　　 A．点在圆外 B．点在圆上 C．与直线相切 D．与直线相交 【思路点拨】连接，由直角三角形的斜边上的中线定理得，进而得，根据三角形中位线定理即可解决问题． 【规范解答】解：， ， 是的中点， ，故点，点在圆外，故选项不符合题意，选项符合题意； 连接， ，为的中点， ， 作于点，作于点， ， ，，故与直线相切，故不符合题意； 过作于， ， ，；故与直线相交，故不符合题意； 故选：． 【考点评析】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，三角形的中位线定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 【变式9-1】（2023秋•石家庄期末）内接于，过点作直线，已知，根据弦的变化，两人分别探究直线与的位置关系： 甲：如图1，当弦过点时，与相切； 乙：如图2，当弦不过点时，也与相切； 下列判断正确的是　　 A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．甲乙都对 D．甲乙都不对 【思路点拨】、根据直径推出，推出，根据切线判定推出即可； 、作直径，连接，推出，求出，根据切线的判定推出即可． 【规范解答】解：、是的直径， ， ， ， ， ， 是半径， 是的切线； 、作直径，连接， 即（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等）， ， ， 是的直径， ， ， ， ， 是半径， 是的切线． 故选：． 【考点评析】本题考查了切线的判定，圆周角定理，三角形的内角和定理等知识点，注意：经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，直径所对的圆周角是直角． 【变式9-2】（2024•瑞昌市校级一模）如图，的半径为2，四边形内接于，，，连接，，延长至点，使得，连接． （1）求证：四边形为菱形． （2）判断与的位置关系，并说明理由． 【思路点拨】（1）连接，由圆内接四边形及圆周角定理得，，根据等边三角形的性质和结合已知条件，得，即可得出结论； （2）根据已知条件得出，，最后用切线判定定理证明即可． 【规范解答】（1）证明：如图，连接． ， ． 又， ． 又， 为等边三角形， ． ，， ， 四边形为菱形． （2）解：与相切． 理由：为等边三角形， ， ． 又，， ， ， ， 与相切． 【考点评析】此题考查直线与圆的位置关系，圆周角定理，等边三角形的判定及性质，熟练应用切线判定及圆周角定理是解题的关键． 【考点题型十】切线的判定与性质 【精讲题】（2024•郸城县模拟）在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．图1是一种推磨工具模型，图2是它的示意图，图3是其简化图，已知，点在中轴线上运动，点在以为圆心，长为半径的圆上运动，且．当点按逆时针方向运动到时，与相切，则的长为 　　． 【思路点拨】连接，则，因为，所以，由切线的性质得，而，则，所以，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：如图3，连接，则， ， ， 与相切于点， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【考点评析】此题重点考查切线的性质定理、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 【变式10-1】（2024•成都模拟）如图，已知为的弦，连接，过上的点作，交的延长线于点，且． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 【思路点拨】（1）过点作直径，连接，证明△为等腰直角三角形，则，再根据得，由此根据切线的判定即可得出结论； （2）过点作直径交于，连接，过作于，根据，得，则可设，，进而得，解△得，解△中得，则，由此得，再根据得，然后解△中得，，由此可得半径的长． 【规范解答】（1）证明：过点作直径，连接，如图1所示： ， ， ， 为， 点在上，且， ，， ， △为等腰直角三角形， ，， ， ， 为的半径， 为的切线； （2）解：过点作直径交于，连接，过作于，如图2所示： 则， ， ， ， 由（1）可知：，， 在△中，， 设，， ， ， ，， △为等腰直角三角形， 由勾股定理得：， 在△中，， ， ， 在△中，， ， ， 在△中，，， ， ， 由勾股定理得：， ． 【考点评析】此题主要考查了切线的判定与性质，圆周角定理，解直角三角形，准确识图，理解圆周角定理，熟练掌握切线的判定与性质，灵活利用锐角三角函数和勾股定理进行计算是解决问题的关键． 【变式10-2】（2024•鄄城县三模）如图，以的边为直径的半圆分别交，于点，，已知，过点作于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求和的长． 【思路点拨】（1）连接，由题意易得，然后可得是的中位线，进而根据平行线的性质可进行求证； （2）由（1）知，则根据勾股定理可得，然后根据等积法可得，进而可得，则根据相似三角形的性质可进行求解． 【规范解答】（1）证明：连接，如图所示： 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， 是的中位线， ， ， ， 是的切线； （2）解：由（1）知， 在中，由勾股定理得，， 由得，； ，， ， ， ， ， ． 【考点评析】本题主要考查切线的性质与判定、圆周角的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握切线的性质与判定、圆周角的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 【考点题型十一】弦切角定理 【精讲题】（2022•江阴市校级一模）如图，是的直径，、分别切于点、，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】连接，由弦切角定理得，再由切线的性质求得，最后由切线长定理求得的度数． 【规范解答】 解：连接， 、分别切于点、， ， ， ， 是的直径， ， ， ． 解法二：连接，． ，是的切线，，是切点， ，， ， ， 是直径， ， ，， ， ， ， 故选：． 【考点评析】本题考查了切线的性质、圆周角定理、弦切角定理等知识，综合性强，难度较大． 【变式11-1】（2018•马边县模拟）如图，已知半径为1的经过直角坐标系的原点，且与轴、轴分别交于点、，点的坐标为，，的切线与直线交于点．则　30　度． 【思路点拨】在中，已知了直径和的长，即可求得、的度数；而由弦切角定理知，进而可由三角形的外角性质求出的度数． 【规范解答】解：，， ， ，； 是的切线， ， ． 故答案为：30． 【考点评析】此题主要考查了直角三角形的性质、弦切角定理以及三角形的外角性质，难度不大． 【变式11-2】（2024•鞍山二模）如图，是的外接圆，为的直径，与交于点，为延长线上一点，连接，，，． （1）求证：； （2）若，，半径为4，求长． 【思路点拨】（1）根据三角形内角和定理和已知两角的关系，得出，然后根据圆周角和圆心角的关系，得出和的关系，再根据三角形内角和定理求出的大小，从而可以得出，所以是切线，再根据弦切角定理证明即可； （2）根据，以及，可以得出和全等，从而证出为角平分线，再根据等腰三角形的三线合一，得出，再根据互余两角三角函数的关系求出的正切，然后根据，得出和的长，从而求出的长，根据勾股定理求出的长即可． 【规范解答】（1）证明：连接，，如图： ，，， ， ，， ， ， 为的切线， 由弦切角定理可知，； （2）解：， ， ， 又， ， ， 为的平分线， ，，， ， ， ， ，， ， ． 【考点评析】本题主要考查了弦切角定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质、勾股定理、垂径定理以及圆心角和圆周角的关系是本题解题的关键． 【考点题型十二】切线长定理 【精讲题】（2023秋•斗门区期末）如图，为外一点，、分别切于点、，切于点，分别交、于点、，若，则的周长为　　 A．8 B．12 C．16 D．20 【思路点拨】由切线长定理可求得，，，则可求得答案． 【规范解答】解：、分别切于点、，切于点， ，，， ， 即的周长为16． 故选：． 【考点评析】本题主要考查切线的性质，利用切线长定理求得、和是解题的关键． 【变式12-1】（2023秋•滨城区期中）如图，内切于正方形，为圆心，作，其两边分别交，于点，，若，则的面积为 　　． 【思路点拨】设与正方形的边切于，与切于，连接，，得到四边形是正方形，求得，，根据全等三角形的性质得到，得到，进而求出的面积． 【规范解答】解：设与正方形的边切于，与切于， 连接，， 则四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， 的面积为， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了切线的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 【变式12-2】（2023秋•江汉区期末）四边形是的外切四边形，若，则的度数是 　　． 【思路点拨】由切线长定理推出，，得到，而，即可求出． 【规范解答】解：四边形是的外切四边形， 平分，平分， ，， ， ， 同理：， ， ， ． 故答案为：． 【考点评析】本题考查切线长定理，关键是由切线长定理推出，，得到． 【考点题型十三】切割线定理 【精讲题】（2021春•永嘉县校级期末）如图，四边形是圆的内接四边形，、的延长线交于点，若是的中点，且，，那么的长为　　 A．9 B．7 C．3 D． 【思路点拨】根据切割线定理得到，代入计算得到答案． 【规范解答】解：是的中点，， ， 由切割线定理得，，即， 解得，， ， 故选：． 【考点评析】本题考查的是切割线定理，掌握从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项是解题的关键． 【变式13-1】（2023秋•天宁区校级期中）如图中，以为直径的交于点，交于点，若，，，则　6　． 【思路点拨】根据圆内接四边形的性质得到，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【规范解答】解：四边形为内接四边形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：6． 【考点评析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、圆内接四边形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【变式13-2】（2017秋•回民区期末）如图，，，分别与相切于，，，且，，．求的长． 【思路点拨】根据切线长定理和平行线的性质定理得到是直角三角形．再根据勾股定理求出的长． 【规范解答】解：，，分别与相切于，，； ，， ， ， ． ． 【考点评析】解答此题的关键是综合运用切线长定理和平行线的性质发现，再根据勾股定理进行计算． 【考点题型十四】三角形的内切圆与内心 【精讲题】（2023秋•凤阳县校级月考）如图，为的内切圆，，的延长线交于点，若，，则的半径等于　　 A． B． C． D． 【思路点拨】设圆与的切点为，圆的半径为，求得，利用相似比作为相等关系可列式，解之即可． 【规范解答】解：设圆与的切点为，圆的半径为， 如图，连接， ， ， ，， ， ， 即， 解得． 故选：． 【考点评析】此题考查直角三角形中内切圆的性质及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决此题的关键． 【变式14-1】（2024•石家庄模拟）如图，在中．，．是的内切圆．分别与，，相切于点，，． （1）　60　． （2）若，则　　． 【思路点拨】（1）根据，得到，进而得到，连接，，根据切线的性质，得到，圆周角定理得到，即可； （2）连接，得到四边形为正方形，利用直角三角形内切圆的半径的计算方法，进行求解即可． 【规范解答】解：（1）， ， ， ， 连接，， 是的内切圆，分别与，，相切于点，，， ，， ， ， ； 故答案为：60； （2），， ，， 连接，则：，， ，， 四边形为正方形， ， 设， 则：， ， 解得：； 即：； 故答案为：． 【考点评析】本题考查解直角三角形，圆周角定理，切线的性质，掌握特殊角的三角函数值，切线的性质是解题的关键． 【变式14-2】（2024•潍坊一模）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点、过作直线． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若，，求的半径． 【思路点拨】（1）连接交于，根据圆周角定理和切线的判定即可证明； （2）连接，由点是的内心，得到，，推出，根据等角对等边得到，即可得到结论； （3）根据垂径定理和勾股定理即可求出结果． 【规范解答】（1）证明：连接交于，如图， 点是的内心 平分， 即， ， ，， ， ， 是的切线； （2）证明：连接， 点是的内心， ， ， ， 即， ， ， ， ； （3）解：连接，，如图， 由（1）得，， ， ， ，， ， 在中，， ，解得：， 在中， ，解得：． 【考点评析】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线的判定与性质，三角形的外接圆与外心，圆周角定理，垂径定理，解决本题的关键是综合运用以上知识． 【考点题型十五】正多边形和圆 【精讲题】（2024春•商水县校级月考）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴，将六边形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点的坐标为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】连接、，设交轴于点，由正多边形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理求出，再根据旋转的性质得出第1次旋转结束时，点的坐标为，第2次旋转结束时，点的坐标为，第3次旋转结束时，点的坐标为，第4次旋转结束时，点的坐标为，从而得到4次为一个循环，由此即可得出答案． 【规范解答】解：如图，连接、，设交轴于点， ， 边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴， ，轴，，， 是等边三角形，， ，， ， ， 将六边形绕点逆时针旋转，每次旋转， 第1次旋转结束时，点的坐标为， 第2次旋转结束时，点的坐标为， 第3次旋转结束时，点的坐标为， 第4次旋转结束时，点的坐标为， ， 为4次一个循环， ， 第2024次旋转结束时，点的坐标为， 故选：． 【考点评析】本题考查了正多边形的性质、坐标与图形变化—旋转、勾股定理、等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【变式15-1】（2024•成都模拟）如图，正五边形的边长为5，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的周长为 　　（结果保留 【思路点拨】根据正五边形的内角和定理求出正五边形的一个内角的度数，再根据扇形面积的计算方法进行计算即可． 【规范解答】解：五边形是正五边形， ， 阴影部分的周长， 故答案为：． 【考点评析】本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算，掌握正五边形的性质，正五边形内角的计算方法以及扇形周长的计算方法是正确解答的关键． 【变式15-2】（2024•海港区一模）如图，正六边形的边长为2，内部有一个正方形（正方形的顶点可以在正六边形的边上），正方形的两个顶点、分别在边、上． （1）如图1，则正方形的边长为 　　． （2）正方形面积的最大值为 　　． 【思路点拨】（1）如图，设边长为2的正六边形的中心为，连接，，，，，交于点，设正方形的另外两个顶点为、，根据正多边形的性质得，证明四边形是平行四边形，得到，设边长为，再根据正方形的性质及勾股定理即可得解； （2）如图，以正六边形的中心为原点建立直角坐标系，其中点，在轴上，得到，，， 要使正方形的面积最大，则正方形的边长最大，此时正方形的四个顶点都在正六边形的边上，且点为正方形的中心，设点、、、分别在、、、上， 设，证明，得，， ，确定直线的解析式，根据函数图象上点的坐标特征可得，继而得到，，再根据两点间的距离求出即可． 【规范解答】解：（1）如图，设边长为2的正六边形的中心为，连接，，，，，交于点，设正方形的另外两个顶点为、， 这个正六边形的中心角为：， 每个内角的度数为：， ， ， 点、、共线，即正六边形的中心在对角线上， ， 是等边三角形， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ，， ， 四边形是正方形，设边长为， ，， ，， ， 四边形是平行四边形， ， 在中，， ， 解得：或（负数不符合题意，舍去）， 故答案为：； （2）如图，以正六边形的中心为原点建立直角坐标系，其中点，在轴上， 由（1）知：，，， ，，， ， 轴， ， ， ，，， 要使正方形的面积最大，则正方形的边长最大，此时正方形的四个顶点都在正六边形的边上，且点为正方形的中心，设点、、、分别在、、、上， 设， ，， 连接、，过点作轴于点，设交轴于点， 轴， 轴， ， 点为正方形的中心， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 设直线的解析式为，过点，， ， 解得：， 直线的解析式为， 在直线上， ， ，， ， 正方形面积的最大值为， 故答案为：． 【考点评析】本题考查正多边形与圆，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，待定系数法确定一次函数的解析式，两点间的距离等知识点．正确找出正方形边长的最大值是解题的关键． 【考点题型十六】弧长的计算 【精讲题】（2024•淄博模拟）如图，四边形内接于圆，，，，则的长度为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据圆内接四边形对角和为180度可得，进而可得弧：弧，即可求解． 【规范解答】解：弧，弧， 圆的周长， 四边形内接于圆， ， ， ， ， 弧：弧， ， 故选：． 【考点评析】本题主要考查圆内接四边形的性质，能求出弧：弧是解题的关键． 【变式16-1】（2024•武威校级三模）如图，在中，是直径，弦，垂足为点，连结，． （1）求证：． （2）若，，求的长度． 【思路点拨】（1）根据垂径定理，圆周角定理即可得出结论； （2）根据垂径定理，证明，推出，可得，再利用弧长公式求解． 【规范解答】（1）证明：，是直径， ， ； （2）解：如图，连接，，． ，是直径， ， ， ， ， ， 的长． 【考点评析】本题考查垂径定理，圆周角定理以及扇形面积的计算，掌握垂径定理、圆周角定理以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键． 【变式16-2】（2024•城厢区校级一模）（1）如图1，在锐角的外部找一点，使的面积与的面积相等且点在以为直径的圆上，请用尺规作图的方法确定点的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）中，若以为直径的圆上与、相交于点、，若，且，求弧的长 　　． 【思路点拨】（1）先作的垂直平分确定的中点，再以点为圆心，为半径作圆，然后作交于点； （2）连接，如图2，先证明为等腰直角三角形得到，再由（1）作法得，利用三角形内角和计算出，则可判断为等边三角形，所以，然后根据弧长公式计算． 【规范解答】解：（1）如图1，点为所作； （2）连接，如图2， ，， ， 为等腰直角三角形， ， 由（1）作法得， ， ， ， 为等边三角形， ， 弧的长度． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了弧长的计算：记住弧长公式是解决问题的关键．也考查了基本作图． 【考点题型十七】扇形面积的计算 【精讲题】（2024•凉山州模拟）“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”．若等边三角形的边长为2，则该“莱洛三角形”的面积等于　　 A． B． C． D． 【思路点拨】莱洛三角形的面积为三个扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，代入已知数据计算即可． 【规范解答】解：如图所示，作交于点， △是等边三角形， ，， ， ，， ， ， 莱洛三角形的面积为． 故选：． 【考点评析】本题考查了不规则图形的面积的求解，能够得出“莱洛三角形的面积为三个扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积”是解题的关键． 【变式17-1】（2024•武威三模）如图所示，为的直径，是的一条弦，为的中点，作于点，交的延长线于点，连接． （1）若，则圆心到的距离是多少？说明你的理由． （2）若，求阴影部分的面积（结果保留． 【思路点拨】（1）直接利用切线的判定方法结合圆周角定理分析得出，即可得出圆心到的距离为圆的半径； （2）利用扇形面积公式和三角形面积公式计算即可； 【规范解答】解：（1）如图所示，连接， 为的中点， ， ， ， ， ， ， ， 的长是圆心到的距离， ， ． （2）如图所示，过点作交于点． ， ， 由（1）得， ， ， ， ，， 在中，， ，解得， 在中，，，， ， ． 【考点评析】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理以及扇形面积求法，平行线的判定与性质等知识，熟练掌握其性质的综合应用是解决此题的关键． 【变式17-2】（2024•江夏区模拟）如图，在中，以边为直径作，交边于点，延长交于点，连接交于点，且． （1）求证：； （2）若，求图中阴影部分的面积． 【思路点拨】（1）连接，由，得，而，所以，则，再证明，则； （2）连接，，根据垂径定理得，则，由，得，则，可证明是等边三角形，则，所以，由，求得，可求得． 【规范解答】（1）证明：如图1，连接， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ． （2）解：如图2，连接，，则， 是的直径，且． ， ， 由（2）得， ， ， 垂直平分， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积是． 【考点评析】此题重点考查等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键． 【考点题型十八】圆锥的计算 【精讲题】（2024春•凉州区校级月考）如图是小雨学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，已知圆锥底面圆半径为，圆锥母线长为，则围成这个灯罩的铁皮的面积是（不考虑缝隙等因素）　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，然后根据扇形的面积公式计算即可： 【规范解答】解：灯罩的铁皮的面积是． 故选：． 【考点评析】本题考查了求圆锥的侧面积，解题的关键是理解扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 【变式18-1】（2024•南海区校级模拟）如图，在中，，，，将以为轴旋转一周，得到的圆锥侧面积是 　　． 【思路点拨】先利用勾股定理求出的长，然后根据圆锥侧面积公式求解即可． 【规范解答】解：在中，，，， ， 以边所在的直线为轴，将旋转一周得到的圆锥侧面积是， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了勾股定理，圆锥的计算；得到几何体的组成是解决本题的突破点；圆锥的侧面积底面半径母线长． 【变式18-2】（2024•东莞市校级二模）【综合与实践】 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为的圆锥侧面展开，可得到一个半径为、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽， （1）现在需要制作一个，的生日帽，请帮忙计算出所需扇形纸板的圆心角度数； （2）为了使（1）中所制作的生日帽更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点处开始，绕侧面一周又回到点的彩带（彩带宽度忽略不计），求彩带长度的最小值． 【思路点拨】（1）根据扇形的两个面积公式可得，再代入求解即可； （2）连接，过点作，线段就是彩带长度的最小值，根据等腰三角形性质及解直角三角形即可求解． 【规范解答】解：（1），， ， ， 扇形纸板的圆心角度数为； （2）如图所示．连接，过点作，线段就是彩带长度的最小值， 由（1）得，， ，， ， ， 彩带长度的最小值为． 【考点评析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键． 【考点题型十九】圆柱的计算 【精讲题】（2024•武汉模拟）“漏壶”是一种古代计时器，在一次实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图所示的液体漏壶，由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体，下表是实验记录的圆柱体容器液面高度 与时间的数据： 时间 1 2 3 4 5 圆柱体容器液面高度 6 10 14 18 22 如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当圆柱体容器液面高度达到时是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据表格中的数据，可知与的关系为一次函数关系，利用待定系数法可得，将代入解析式，求出相应的值即可． 【规范解答】解：设与的关系式为， 点，在该函数上， ， 解得：， 与的函数表达式为； 当时，即， 解得：， 即当圆柱体容器液面高度达到时是． 故选：． 【考点评析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数解析式，解题的关键是明确题意． 【变式19-1】（2023秋•惠州期末）如图1是某厂房遮雨棚示意图（尺寸如图所示），遮雨棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．如图2是遮雨棚顶部截面示意图，所在圆的圆心为．求覆盖厂房遮雨棚顶部至少需要多少平方米帆布（不考虑接缝等因素，计算结果保留． 【思路点拨】根据垂径定理和勾股定理求出半径和圆心角度数，再根据弧长公式求出弧的长，再求出盖厂房遮雨棚顶部需要帆布的面积即可． 【规范解答】解：图2中，米，米， 设米，则米， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得， 即米， 米， ， ， ， 的长为（米， 覆盖厂房遮雨棚顶部至少需要帆布的面积为（平方米）． 【考点评析】本题考查截一个几何体，几何体的表面积以及与圆有关的计算，掌握垂径定理、勾股定理、弧长的计算公式是正确解答的关键． 【变式19-2】（2023秋•南关区校级月考）如图①，水平放置的空圆柱形容器内放着一个实心的铁“柱锥体”（由一个高为的圆柱和一个同底面的高为圆锥组成的铁几何体）．向这个容器内匀速注水，水流速度为，注满为止．整个注水过程中，水面高度与注水时间之间的函数关系如图②所示． （1）圆柱形容器的高为　12　． （2）求线段所对应的函数表达式． （3）直接写出“柱锥体”顶端距离水面时的值． 【思路点拨】（1）根据函数图象可以直接得到圆柱形容器的高和“柱锥体”中圆锥体的高； （2）根据题意和函数图象分两种情况可以求得“柱锥体”顶端距离水面时的值． 【规范解答】解：（1）由题意和函数图象可得， 圆柱容器的高为， 故答案为：12； （2）过点，， 设线段所对应的函数表达式为， 将点，代入，得 ， 解得， 所以线段所对应的函数表达式为； （3）以为“柱锥体”的高为：， 所以顶端距离水面位置有2个， ①当时，在上， 设解析式为，过点， 所以，解得， 所以解析式为， 当时，； ②当时，在上， 将代入， 解得． 综上所述：“柱锥体”顶端距离水面时的值为或． 【考点评析】本题考查一次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答 期中真题拔高训练15题 一．选择题 1．（2023秋•兰陵县校级期中）如图，直线与轴、轴分别相交于、两点，，圆心的坐标为，与轴相切于原点，若将沿轴向右移动，当与该直线相交时，横坐标为整数的点的个数是　　 A．2 B．3 C．4 D．5 解：如图，当圆与直线相切时，切点是和， 连接，， ，， ， ， 同理：， 的横坐标是，的横坐标是， 的横坐标的范围是大于1且小于5， 横坐标为整数的点的坐标是，，，共有3个． 故选：． 2．（2023秋•嵊州市期中）如图，四边形内接于，它的一个外角，则的度数为　　 A． B． C． D． 解：，， ． 故选：． 3．（2023秋•商丘期中）如图，已知是的直径，是弦，若，则　　 A． B． C． D． 解：是的直径， ， ， ． 故选：． 4．（2022秋•武昌区期中）如图，已知，角的一边与相切于点，另一边交于、两点，的半径为，，则的长度为　　 A． B．6 C． D．5 解：连接，，作于，于， ， ，， ， 切于， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ，， ， ， ， ． 故选：． 5．（2023秋•江阴市校级期中）如图，为等边的外心，四边形为正方形．现有以下结论：①是外心； ②是的外心；③；④设，则；⑤若点，分别在线段，上运动（不含端点），随着点运动到每一个确定位置时，的周长都有最小值，．其中所有正确结论的序号是　　 A．①③④ B．②③⑤ C．②④ D．①③④⑤ 解：连接，； 为 的外心； ； 正方形； ； ； 是的 外心；故①正确． 对于②，连接，， ， 不是 的外心；故②错误． 对于③，连接， ， ，，，三点共圆； ， ， 即；故③正确． 对于④， ， ，，，四点共圆， 如图所示，以点为旋转中心，把绕点逆时针旋转，点的对应点为点，， ， ， 即， ， ， ，，三点共线； 由旋转的性质可得，， 是等边三角形； ， 过点作的垂线，垂足为， ， ； 在中， ， ； ；， ， ； 故④正确． 对于⑤， 如图所示；作和关于和的对称线段， ，；， 当，，，四点共线时， 周长最小： 即，， 连接， ，连接， 是等腰三角形； ，； ； ， ； 三角形是以为顶角的等腰三角形； 过点作的垂线，垂足为， ， ； 在中； ； 即 故⑤错误；综上所述，①③④正确； 故选：． 二．填空题 6．（2023秋•江阴市校级期中）如图，扇形的圆心角为直角，边长为1的正方形的顶点、、分别在、、上，，交的延长线于点．则图中阴影部分面积是． 解：连接， 正方形的边长为1，即， ， ， ，，弧弧， 图形是面积等于图形的面积， 长方形的面积． 故答案为：． 7．（2023秋•上城区校级期中）如图，内接于，是的直径，，则　　． 解：是的直径， ， ， ， ， ． 故答案为：． 8．（2017春•盐都区期中）如图，的内接四边形中，，则　　． 解： 故答案为：． 9．（2022秋•东港区校级期中）在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，半径为1的的圆心从点出发以每秒个单位长度的速度沿射线的方向运动，设点运动的时间为秒，则当　1或3或5　秒时，与坐标轴相切． 解：设与坐标轴的切点为， 直线与轴、轴分别交于点、，点， 时，，时，，时，， ，，， ，，， 是等腰直角三角形，， ①当与轴相切时， 点是切点，的半径是1， 轴，， 是等腰直角三角形， ，， ， 点的速度为每秒个单位长度， ； ②如图，与轴和轴都相切时， ， ， 的速度为每秒个单位长度， ； ③当只与轴相切时， ， ， 的速度为每秒个单位长度， ． 综上所述，则当或3或5秒时，与坐标轴相切， 故答案为：1或3或5． 10．（2023秋•上虞区期中）如图，已知的半径为1，弦的长为，为优弧上的动点，过点作的垂线交直线于点，当的面积达到最大时，其边上的高为 　　． 解：连接，． ，， ， ， ， ， ， ， 当时，的面积达到最大， 作于点，中上截取，使得，连接． ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 三．解答题 11．（2023秋•蒙阴县期中）如图，内接于，是的直径，的切线交的延长线于点，交于点，交于点，连接． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求阴影部分的面积． （1）证明：连接， 为的切线， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 为的半径， 为的切线； （2）解：在中，，， ， ， ， 在中，， ， 阴影部分的面积的面积扇形的面积 ． 阴影部分的面积为． 12．（2021秋•和平区校级期中）已知，△中，，以为直径的与，的交点分别为， （Ⅰ）如图①，求的大小； （Ⅱ）如图②，当时，求的大小． 解：（Ⅰ）四边形 圆内接四边形， ， ， ， ， ． （Ⅱ）连接． ， ， 是直径， ， ， 13．（2023秋•天宁区校级期中）如图，为的直径，点为上一点，为的中点，点在的延长线上，且． （1）求证：为的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． （1）证明：连接，如图， 为的直径， ， 即， ， ， ， ， ， 即， ， 为的半径， 为的切线； （2）解：连接，如图， 为的中点， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 图中阴影部分的面积． 14．（2022秋•江阴市期中）如图，是为直径，点是上一点，过点的切线与弦的延长线交于点，过点的直线与线段交于点，且． （1）猜想直线与的位置关系，并证明； （2）若的半径是3，，求阴影部分的面积． 解：（1）直线与的位置关系是相切， 证明；如图，连接， ， ， 切于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 直线是的切线； （2）如图，连接，， 是为直径， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 的半径是3， ， 和是的切线， 是的垂直平分线，， ， ， ， 阴影部分的面积． 15．（2023秋•哈尔滨期中）如图，内接于，． （1）求证：； （2）点在上，连接，点是上一点，连接，若，，求证：； （3）在（2）的条件下，延长交于点，连接，若，，求的长． （1）证明：连接，， ，，， ，，， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：， ， ，， ， ， ； （3）解：连接，延长交于点，交于点， ，， 是的垂直平分线， ，， ， ， ， 和都是等腰直角三角形， ， 设，则， ， ，， ， ， ， 解得：， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$