清单02 解直角三角形（知识导图+11个考点清单&题型解读）（期中复习讲义）九年级数学上学期青岛版

清单02 解直角三角形 （考点梳理+11个题型解读+真题拔高15题） 题型清单目录 【考点题型一】锐角三角函数的定义 4 【考点题型二】锐角三角函数的增减性 5 【考点题型三】同角三角函数的关系 5 【考点题型四】互余两角三角函数的关系 6 【考点题型五】特殊角的三角函数值 6 【考点题型六】计算器—三角函数 7 【考点题型七】解直角三角形 8 【考点题型八】解直角三角形的应用 9 【考点题型九】解直角三角形的应用-坡度坡角问题 11 【考点题型十】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 13 【考点题型十一】解直角三角形的应用-方向角问题 15 期中真题拔高训练15题 17 知识点01：三角函数的定义 在Rt△ABC中,∠C=90°,以∠A为例： 锐角A的正弦、余弦、正切统称锐角A的三角比 知识点02：特殊角的三角函数． 知识点03：锐角α的有关规律 （1）三角比的增减性： 正弦：锐角α的正弦值随着度数的增大而增大； 余弦：锐角α的余弦值随着度数的增大而减小； 正切：锐角α的正切值随着度数的增大而增大。 （2）三角比的取值范围： 当0°<α<90°时，0<sinα<1；0<cosα<1；tanα>o （3）互为余角的三角比的关系： 若α+β=90°，则sinα=cosβ,cosα=sinβ （4）同角的三角比的关系： 知识点04：什么叫做解直角三角形？ 在直角三角形中，由已知的元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形． 知识点05：解直角三角形的主要依据: （1）角之间的关系： ∠A ＋ ∠B = 90 °； （2） 边之间的关系： a2＋b2＝c2 ; （3） 边角之间的关系： 知识点06：解直角三角形的类型: ①两条边 ②一边一角 知识点07：当三角形不是直角三角形时，怎么办呢？ 当三角形不是直角三角形时，作一边上的高，把斜三角形转化为直角三角形，把问题转化为解直角三角形． 化“未知”为“已知”． 知识点08：解直角三角形应用的解题思路： 先把实际问题中的边和角首先转化到图形（特别是三角形）中，然后再利用解直角三角形的方法思路解答。 知识点09：解直角三角形应用的类型： （1）仰角、俯角 （2）方位角 （3）坡度、坡角 （4）其它应用 【考点题型一】锐角三角函数的定义 【精讲题】（2023秋•惠山区期中）如图，在中，，，，那么的值为　　 A． B．2 C． D． 【变式1-1】（2023秋•邢台期中）如图，在边长为1的方格纸中，与交于点，其中、均为所在正方形小方格一边的中点，则　　 A．1 B． C．2 D．3 【变式1-2】（2017秋•苏州期中）如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点、、都在格点上，则的正弦值是　　． 【变式1-3】（2023秋•张店区期中）如图，在中，，，． （1）求的长； （2）利用此图形求的值（精确到0.1，参考数据：，， 【考点题型二】锐角三角函数的增减性 【精讲题】（2021秋•周村区期末）已知，则锐角的取值范围是　　 A． B． C． D． 【变式2-1】（2021秋•鄞州区校级月考）若，那么的值　　 A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定 【变式2-2】（2020秋•高邮市期末）已知，则锐角的取值范围是　　 A． B． C． D． 【变式2-3】（2017秋•杜尔伯特县期末）用不等号“”或“”连接： 　　． 【考点题型三】同角三角函数的关系 【精讲题】（2023秋•庐阳区期末）在中，，，则的值为　　 A． B． C． D．2 【变式3-1】（2022秋•潜山市期末）如图，在中，，，则有　　 A． B． C． D． 【变式3-2】（2023•南安市校级模拟）常听到的“正弦平方加余弦平方”，上述话语中所含有的数学语言应正确表达为　　（假设有任意角 A． B． C． D． 【变式3-3】（2019•湖北自主招生）已知：实常数、、、同时满足下列两个等式：①；②（其中为任意锐角），则、、、之间的关系式是：　　 ． 【考点题型四】互余两角三角函数的关系 【精讲题】（2023•二道区校级模拟）在中，，，则下列式子成立的是　　 A． B． C． D． 【变式4-1】（2020秋•娄星区期末）已知，则的值约为　　 A． B． C． D． 【变式4-2】（2024•梅县区一模）在中，，若，则　　． 【变式4-3】（2017秋•常州期末）如图，在中，，，垂足为．给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有　　． 【考点题型五】特殊角的三角函数值 【精讲题】（2024•河北区二模）计算的值是　　 A． B．1 C． D．3 【变式5-1】（2023•黄埔区校级二模）在中，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【变式5-2】（2023秋•玉门市期末）在锐角三角形中，已知，满足 ，则　　． 【变式5-3】（2024•安阳二模）在中，，，直角边的中点为，点在斜边上且，若为直角三角形，则的值为 　　． 【考点题型六】计算器—三角函数 【精讲题】．（2023秋•蓬莱区期中）若用我们数学课本上采用的科学计算器计算，按键顺序正确的是　　 A． B． C． D． 【变式6-1】（2024•高青县二模）如图，在中，，，．若用科学计算器求边的长，则下列按键顺序正确的是　　 A． B． C． D． 【变式6-2】（2018•陕西模拟）请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分． ．若正多边形的一个内角等于，则这个正多边形的边数是　　． ．用科学计算器计算：　 　（结果精确到 【变式6-3】（2017•陕西）请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分． ．如图，在中，和是的两条角平分线．若，则的度数为 　　．　　．（结果精确到 【考点题型七】解直角三角形 【精讲题】（2023秋•凤阳县校级月考）如图，在△中，，，，是边上定点，且，，分别是，边上的动点，且满足，垂足为．则（1）的长为 　　；（2）的最小值为 　　． 【变式7-1】（2024•深圳）如图，在△ABC中，AB＝BC，tan∠B＝，D为BC上一点，若满足CD＝BD，过D作DE⊥AD交AC延长线于点E，则＝　　． 【变式7-2】（2024•金溪县校级模拟）如果三角形有一边上的高恰好等于这边长的，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在是“好玩三角形”，且，则　 ． 【变式7-3】（2024•环翠区一模）如图1，，与交于点． （1）若△为等边三角形，则，，的数量关系为 　　． （2）如图2，若，，，请写出，，的数量关系，并说明理由． 【考点题型八】解直角三角形的应用 【精讲题】（2024•攀枝花二模）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形，，，和中间一个小正方形拼成的大正方形中，，连接．设，，若正方形与正方形的面积之比为，，则　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【变式8-1】（2024•二道区校级三模）如图，将一扇车门侧开，车门和车身的夹角为，车门的底边长为0.95米，则车门底边上点到车身的距离为　　 A．米 B．米 C．米 D．0.95米 【变式8-2】（2023秋•义乌市期末）有一长杆花艺剪如图1所示，上刀片与上把手固定在长杆上，把手杆的点固定在上，大小不变，当手握两边时，绕着点旋转，带动杆，杆再带动刀片杆绕固定点旋转，且．图2是该花艺剪自然张开状态下的示意图，、都与平行，测得，，、间的距离为，当杆绕点逆时针旋转时，花艺剪完全闭合，点落在边上，如图3所示，此时，且还是与平行，则　　． 【变式8-3】（2024•徐州）如图，在徐州云龙湖旅游景区，点为“彭城风华”观演场地，点为“水族展览馆”，点为“徐州汉画像石艺术馆”．已知，，．求“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离（精确到．（参考数据：， 【考点题型九】解直角三角形的应用-坡度坡角问题 【精讲题】（2024•南岗区校级开学）如图，一个小球由地面沿着坡度的坡面向上前进了，此时小球距离地面的高度为　　 A． B． C． D． 【变式9-1】（2024•宝安区校级模拟）如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为，深为，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为，斜坡的起始点为，现设计斜坡的坡度，则的长度是　　． A．210 B．120 C．504 D．60 【变式9-2】（2024•寻乌县一模）为了更好地检测复学后学生进校时的体温情况，某小学购买了如下左图所示的带支架的红外热成像仪，该仪器能探测从仪器旁经过学生的体温，若超过就会发出警报．该仪器由三根等长的斜拉支架和一根竖直支架共同支撑上边的红外测温仪已知四根支架总长为5.5米，一根斜拉支架与竖直支架的长度比为． （1）如图1，当斜拉支架与地面的夹角为时，请计算红外测温仪距离地面的高度（连接处均忽略不计）； （2）在使用期间发现，将顶端测温仪倾斜与水平线夹角为，斜拉支架与铅垂线的夹角也是时，学生（按平均身高）走到距离点米的点处时，测温仪与学生的额头恰好在一条直线上，这样调整能使测量的温度比较准确（如图2所示），请结合题中所给数据计算学生的平均身高．（结果精确到0.1米，参考数据：，，，，， 【变式9-3】（2024•合水县一模）如图，一辆摩拜单车放在水平的地面上，车把头下方处与坐垫下方处在平行于地面的水平线上，、之间的距离约为，现测得、与的夹角分别为与，若点到地面的距离为，坐垫中轴处与点的距离为，求点到地面的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：，， 【考点题型十】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 【精讲题】（2024•深圳）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高的测量仪测得顶端的仰角为，小军在小明的前面处用高的测量仪测得顶端的仰角为，则电子厂的高度为　　 （参考数据：，， A． B． C． D． 【变式10-1】（2024•山西模拟）在省城太原轨道交通1号线工程建设中，迎泽公园北门牌楼穿着“轮滑鞋”向南平移24米，开创了我市仿古类建筑物平移施工先河综合实践小组的同学按如图的方式测量迎泽公园北门牌楼高度：①在牌楼前空地上取测量点，测得牌楼最高点的仰角；②改变测量点至处，测得此时点的仰角；③测得米，米，米（已知图中各点均在同一竖直平面内，点，，在同一水平直线上）．请根据该小组的测量数据计算牌楼的高度．（结果精确到1米．参考数据，， 【变式10-2】（2024•成都模拟）如图，某数学兴趣小组在一次外出登山活动中，发现一棵古树竖直生长在山崖上，为了安全测量古树的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端在同一水平线上的点出发，沿斜面坡度为的斜坡前进到达点，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点．在点处测得古树的顶端的俯角为，底部的俯角为，求古树的高度．（结果精确到．参考数据：，，， 【变式10-3】（2024•郑州三模）如图，一架无人机在一条笔直的公路上方飞行，处为一辆行驶中的小汽车，为公路上的一座桥梁，当无人机飞行到处时，测得处、处的俯角分别为和，此时，小明在桥梁的入口处测得无人机的仰角为．已知桥梁的总长度为，求此时小汽车距桥梁入口的距离的长．（结果精确到，参考数据：，，，，，， 【考点题型十一】解直角三角形的应用-方向角问题 【精讲题】（2024•游仙区三模）如图是某区域的平面示意图，码头在观测站的正东方向，码头的北偏西方向上有一小岛，小岛在观测站的北偏西方向上，码头到小岛的距离为海里．观测站到的距离是　　 A． B．1 C．2 D． 【变式11-1】（2023秋•平顶山期末）如图，一艘船由港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港，港在港北偏东方向，则，两港之间的距离为 　　． 【变式11-2】（2024•两江新区自主招生）第三届智跑重庆国际城市定向赛暨重庆（大渡口）体育旅游节于2024年4月13日至21日在重庆市大渡口区举行．如图，为比赛起点，比赛途经点在起点的正东方向，比赛途经点在点的北偏东方向，相距1200米，且点在途经点的正北方向：途经点在点的北偏西方向，相距2400米；终点在点的正西方，点在点的西北方向．（参考数据：，， （1）求的长度．（结果精确到1米） （2）小明和小李参与了该越野赛，两人从起点出发前往终点，小明选择的定向路线为．小李选择的定向路线为．请问小明和小李的比赛路线谁更短？并说明理由． 【变式11-3】（2024•琼山区校级一模）如图，早上一渔船以60海里时的速度从海港出发沿正东方向航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，航行2个小时到达处，此时测得灯塔在北偏东方向，同时测得灯塔正东方向的避风港在的北偏东方向上． （1）填空：　　； （2）求海港与灯塔之间的距离；（结果保留根号） （3）天气预报显示台风将登陆渔船所在海域，渔船立即沿方向加速驶向避风港．出于安全考虑，渔船至少需要比台风到达所在海域的时刻提前1个小时抵达避风港，求渔船加速后的最小速度．（结果精确到0.1，参考数据：，， 期中真题拔高训练15题 一．选择题 1．（2023秋•诸城市期中）若是锐角，，则的值是　　 A． B． C． D．1 2．（2021秋•济南期中）如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔的高度，他从古塔底部点处前行30 到达斜坡的底部点处，然后沿斜坡前行20 到达最佳测量点处，在点处测得塔顶的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，且点，，，，在同一平面内，小明同学测得古塔的高度是　　 A． B． C． D．40 3．（2023秋•淮阴区期中）如图，点，，都是正方形网格的格点，连接，，则的正弦值为　　 A． B． C． D．2 4．（2022秋•武进区校级期中）在如图所示的网格中，小正方形的边长为1，点、、、都在格点上，与相交于点，则的正切值是　　 A．2 B． C． D． 5．（2020秋•沙坪坝区校级期中）如图，旗杆竖立在斜坡的顶端，斜坡长为65米，坡度为．小明从与点相距115米的点处向上爬12米到达建筑物的顶端点，在此测得旗杆顶端点的仰角为，则旗杆的高度约为　　米． （参考数据：，， A．12.9 B．22.2 C．24.9 D．63.1 二．填空题 6．（2023秋•邵阳期中）如图，在中，，点在边上．若，则的值为 　　． 7．（2023秋•栖霞市期中）如图，一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔45海里的处，它沿北偏东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，此时与灯塔的距离约为 　　海里．（参考数据：，， 8．（2023秋•乳山市期中）如图，点，，在正方形网格的格点上，则　　． 9．（2021秋•龙口市期中）如图，某兴趣小组要测量一条河的宽度，已知河的两岸和平行，在河岸上有一根电线杆，河岸上有相距80米的两棵树、，测得，，则这条河的宽度是 　　米． 10．（2021秋•松北区校级期中）如图，在中，于，点在上，，，若，，则线段的长是 　　． 三．解答题 11．（2023秋•北碚区校级期中）某动物园熊猫基地新诞生了一只小熊猫，吸引了大批游客前往观看．由于、之间的道路正在进行维护，暂时不能通行，游客由入口进入园区之后可步行到达点，然后可以选择乘坐空中缆车从，也可选择乘坐观光车从．已知点在点的北偏东方向上，点在点的正东方向，点在点的正东方向300米处，点在点的北偏东方向上，且米．（参考数据：，， （1）求的长度（精确到个位）； （2）已知空中缆车的速度是每分钟200米，观光车的速度是每分钟320米，若游客想尽快到达熊猫基地，应选择乘坐空中缆车还是观光车？ 12．（2023秋•邵阳期中）在一次数学综合实践活动中，小明计划测量城门大楼的高度．如图，在点处测得楼顶的仰角为，他正对城楼前进29米到达处，再登上2米高的楼台处，并测得此时楼顶的仰角为． （1）求城门大楼的高度； （2）每逢重大节日，城门大楼管理处都要在，之间拉上绳子，并在绳子上挂一些彩旗． 请你求出，之间的长度．（结果保留整数） （参考数据：，， 13．（2022秋•黄浦区校级期中）为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速．如图，电子眼位于点处，离地面的铅锤高度为9米，区间测速的起点为下引桥坡面点处，此时电子眼的俯角为；区间测速的终点为下引桥坡脚点处，此时电子眼的俯角为、、、四点在同一平面）． （1）求路段的长（结果保留根号）； （2）当下引桥坡度时，求电子眼区间测速路段的长（结果保留根号）． 14．（2022秋•东平县期中）如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼，在小楼的顶端处测得障碍物边缘点的俯角为，测得大楼顶端的仰角为（点，，在同一水平直线上）．已知，，求障碍物，两点间的距离．（结果保留根号） 15．（2021秋•福山区期中）图1是电脑液晶显示器的侧面图，显示屏可以绕点旋转一定角度，研究表明：如图2，当眼睛与显示屏顶端在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个俯角（即望向屏幕中心的视线与水平线的夹角）时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端与底座的连线与水平线垂直时，观看屏幕最舒适，此时测得，，液晶显示屏的宽为． （1）求眼睛与显示屏顶端的水平距离；（结果精确到 （2）求显示屏顶端与底座的距离．（结果精确到 （参考数据：，，， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 解直角三角形 （考点梳理+11个题型解读+真题拔高15题） 题型清单目录 【考点题型一】锐角三角函数的定义 4 【考点题型二】锐角三角函数的增减性 7 【考点题型三】同角三角函数的关系 8 【考点题型四】互余两角三角函数的关系 10 【考点题型五】特殊角的三角函数值 11 【考点题型六】计算器—三角函数 13 【考点题型七】解直角三角形 16 【考点题型八】解直角三角形的应用 22 【考点题型九】解直角三角形的应用-坡度坡角问题 27 【考点题型十】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 31 【考点题型十一】解直角三角形的应用-方向角问题 35 期中真题拔高训练15题 41 知识点01：三角函数的定义 在Rt△ABC中,∠C=90°,以∠A为例： 锐角A的正弦、余弦、正切统称锐角A的三角比 知识点02：特殊角的三角函数． 知识点03：锐角α的有关规律 （1）三角比的增减性： 正弦：锐角α的正弦值随着度数的增大而增大； 余弦：锐角α的余弦值随着度数的增大而减小； 正切：锐角α的正切值随着度数的增大而增大。 （2）三角比的取值范围： 当0°<α<90°时，0<sinα<1；0<cosα<1；tanα>o （3）互为余角的三角比的关系： 若α+β=90°，则sinα=cosβ,cosα=sinβ （4）同角的三角比的关系： 知识点04：什么叫做解直角三角形？ 在直角三角形中，由已知的元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形． 知识点05：解直角三角形的主要依据: （1）角之间的关系： ∠A ＋ ∠B = 90 °； （2） 边之间的关系： a2＋b2＝c2 ; （3） 边角之间的关系： 知识点06：解直角三角形的类型: ①两条边 ②一边一角 知识点07：当三角形不是直角三角形时，怎么办呢？ 当三角形不是直角三角形时，作一边上的高，把斜三角形转化为直角三角形，把问题转化为解直角三角形． 化“未知”为“已知”． 知识点08：解直角三角形应用的解题思路： 先把实际问题中的边和角首先转化到图形（特别是三角形）中，然后再利用解直角三角形的方法思路解答。 知识点09：解直角三角形应用的类型： （1）仰角、俯角 （2）方位角 （3）坡度、坡角 （4）其它应用 【考点题型一】锐角三角函数的定义 【精讲题】（2023秋•惠山区期中）如图，在中，，，，那么的值为　　 A． B．2 C． D． 【思路点拨】根据勾股定理，可得的长，根据锐角的余弦等于锐角的邻边比斜边，可得答案． 【规范解答】解：在中，，，，由勾股定理，得 ． 由锐角的余弦，得． 故选：． 【考点评析】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角的余弦等于锐角的邻边比斜边是解题的关键． 【变式1-1】（2023秋•邢台期中）如图，在边长为1的方格纸中，与交于点，其中、均为所在正方形小方格一边的中点，则　　 A．1 B． C．2 D．3 【思路点拨】过点作于点，根据题意得出，，根据正切的定义即可求解． 【规范解答】解：如图所示，过点作于点， 依题意，，， ， 故选：． 【考点评析】本题考查了求正切，熟练掌握正切的定义是解题的关键． 【变式1-2】（2017秋•苏州期中）如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点、、都在格点上，则的正弦值是　　． 【思路点拨】利用勾股定理求出、、的长，再由可得答案． 【规范解答】解：由题意可知，，，， ， ， ， 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查锐角的三角函数，掌握三角形的面积公式是解题的关键． 【变式1-3】（2023秋•张店区期中）如图，在中，，，． （1）求的长； （2）利用此图形求的值（精确到0.1，参考数据：，， 【思路点拨】（1）过作，交的延长线于点，由含的直角三角形性质得，由三角函数求出，在中，由三角函数求出，即可得出结果； （2）在边上取一点，使得，连接，求出，即可得出结果． 【规范解答】解：（1）过作，交的延长线于点，如图1所示： 在中，， ， ， ， ， 在中，， ， ； （2）在边上取一点，使得，连接，如图2所示： ， ， ． 【考点评析】本题考查了锐角三角函数、含的直角三角形性质、三角形的内角和、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握三角函数运算是解决问题的关键． 【考点题型二】锐角三角函数的增减性 【精讲题】（2021秋•周村区期末）已知，则锐角的取值范围是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）； 【规范解答】解：，， ， ， 故选：． 【考点评析】考查了锐角三角函数的增减性，关键是熟练掌握当角度在间变化时， ①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； ②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）； ③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． 【变式2-1】（2021秋•鄞州区校级月考）若，那么的值　　 A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定 【思路点拨】，再根据余弦函数随角增大而减小进行分析． 【规范解答】解：，余弦函数随角增大而减小， 当时，，即． 故选：． 【考点评析】熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键． 【变式2-2】（2020秋•高邮市期末）已知，则锐角的取值范围是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】利用特殊角的三角函数值，解决问题即可． 【规范解答】解：，，， ， 故选：． 【考点评析】本题考查锐角三角函数的增减性，解题的关键是记住特殊角的三角函数值，属于中考常考题型． 【变式2-3】（2017秋•杜尔伯特县期末）用不等号“”或“”连接： 　　． 【思路点拨】先由互余两角的三角函数的关系得出，再根据当角度在间变化时，正弦值随着角度的增大而增大得出，从而得出结果． 【规范解答】解：，， ． 故答案为． 【考点评析】本题考查了锐角三角函数的增减性：当角度在间变化时， ①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； ②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）； ③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． 也考查了互余两角的三角函数的关系． 【考点题型三】同角三角函数的关系 【精讲题】（2023秋•庐阳区期末）在中，，，则的值为　　 A． B． C． D．2 【思路点拨】根据锐角三角函数的定义和勾股定理求解即可． 【规范解答】解：在中，，、、的对边分别为、、， 由于，不妨设，则，由勾股定理得，， 所以， 故选：． 【考点评析】本题考查同角的三角函数的关系，掌握锐角三角函数的定义以及勾股定理是得出正确答案的前提． 【变式3-1】（2022秋•潜山市期末）如图，在中，，，则有　　 A． B． C． D． 【思路点拨】由，可得，设，则，可得，再利用锐角的三角函数的定义逐一求解即可． 【规范解答】解：， ，设，则， ， ，， ，； ，，不符合题意，符合题意； 故选：． 【考点评析】本题考查的是求解锐角的三角函数值，熟记锐角的三角函数的定义是解本题的关键． 【变式3-2】（2023•南安市校级模拟）常听到的“正弦平方加余弦平方”，上述话语中所含有的数学语言应正确表达为　　（假设有任意角 A． B． C． D． 【思路点拨】根据题意即可写出式子． 【规范解答】解：“正弦平方加余弦平方”的数学语言为：． 故选：． 【考点评析】本题考查了同角三角函数关系，掌握同角三角函数关系的正确表达是解题的关键． 【变式3-3】（2019•湖北自主招生）已知：实常数、、、同时满足下列两个等式：①；②（其中为任意锐角），则、、、之间的关系式是：　　． 【思路点拨】把两个式子移项后，两边平方，再相加，利用，即可找到这四个数的关系． 【规范解答】解：由①得， 两边平方，③ 由②得， 两边平方，④ ③④得 ． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了的应用． 【考点题型四】互余两角三角函数的关系 【精讲题】（2023•二道区校级模拟）在中，，，则下列式子成立的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】本题利用锐角三角函数的定义求解． 【规范解答】解：、，，， 故不符合题意； 、，，， 故符合题意； 、，，， 故不符合题意； 、，，则， 故不符合题意； 故选：． 【考点评析】本题考查了锐角三角函数的定义，解题时熟练掌握锐角三角函数的定义是关键，此题比较简单，易于掌握． 【变式4-1】（2020秋•娄星区期末）已知，则的值约为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据互余两角三角函数的关系得出答案． 【规范解答】解：， 故选：． 【考点评析】本题考查互余两角三角函数的关系，理解锐角三角函数的定义是得出互余两角三角函数关系的前提． 【变式4-2】（2024•梅县区一模）在中，，若，则　　． 【思路点拨】根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得答案． 【规范解答】解：由，若， 得， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了互余两角的三角函数，利用一个角的余弦等于它余角的正弦是解题关键． 【变式4-3】（2017秋•常州期末）如图，在中，，，垂足为．给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有　①②③④　． 【思路点拨】本题主要考查锐角三角函数的定义，根据，，可得，，再利用锐角三角函数的定义可列式进行逐项判断． 【规范解答】解：，， ，，， ，， ，故①正确； ，故②正确； 在中，， ，故③正确； ，， ，故④正确； 故答案为①②③④． 【考点评析】本题主要考查锐角的三角函数，解题的关键是熟练掌握互余两角的三角函数间的关系． 【考点题型五】特殊角的三角函数值 【精讲题】（2024•河北区二模）计算的值是　　 A． B．1 C． D．3 【思路点拨】先计算，再计算二次根式乘法即可． 【规范解答】解；， 故选：． 【考点评析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，二次根式的乘法计算，解答本题的关键是熟练掌握特殊三角函数的取值． 【变式5-1】（2023•黄埔区校级二模）在中，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据非负数的性质列出关系式，根据特殊角的三角函数值求出、的度数，根据三角形内角和定理计算即可． 【规范解答】解：由题意得，，， 即，， 解得，，， ， 故选：． 【考点评析】本题考查的是非负数的性质的应用、特殊角的三角函数值的计算和三角形内角和定理的应用，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【变式5-2】（2023秋•玉门市期末）在锐角三角形中，已知，满足 ，则　　． 【思路点拨】根据非负数的性质求出、的值，然后求出和的度数，继而可求得． 【规范解答】解：由题意得，，， 则，， ． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值以及非负数的性质． 【变式5-3】（2024•安阳二模）在中，，，直角边的中点为，点在斜边上且，若为直角三角形，则的值为 　3或4　． 【思路点拨】分情况讨论，当时，利用特殊角的锐角三角函数及中位线的性质即可得到结论，当时，利用特殊角的锐角三角函数求解，即可得结论． 【规范解答】解：①当时， ，， ， 的中点为，为直角三角形， ， ； ②当， ，， ， 的直角边的中点为， ， ． 故答案为：3或4． 【考点评析】本题考查锐角三角函数．正确记忆相关知识点是解题关键． 【考点题型六】计算器—三角函数 【精讲题】．（2023秋•蓬莱区期中）若用我们数学课本上采用的科学计算器计算，按键顺序正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据计算器的使用方法进行解题即可． 【规范解答】解：根据计算器的使用方法可知， 依次输入，72，，38，，25，，． 故选：． 【考点评析】本题考查计算器，熟练掌握计算器的使用方法是解题的关键． 【变式6-1】（2024•高青县二模）如图，在中，，，．若用科学计算器求边的长，则下列按键顺序正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】先利用直角三角形的边角间关系用、表示出，再确定正确答案． 【规范解答】解：在中， ， ． 故选：． 【考点评析】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键． 【变式6-2】（2018•陕西模拟）请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分． ．若正多边形的一个内角等于，则这个正多边形的边数是　9　． ．用科学计算器计算：　 　（结果精确到 【思路点拨】、首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数； 、利用科学计算器计算可得． 【规范解答】解：．正多边形的一个内角是， 它的外角是：， 则这个正多边形的边数为：． 故答案为：9． ， 故答案为：11.3． 【考点评析】此题主要考查了多边形的外角与内角和计算器的使用，做此类题目，首先求出正多边形的外角度数，再利用外角和定理求出求边数． 【变式6-3】（2017•陕西）请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分． ．如图，在中，和是的两条角平分线．若，则的度数为 　　． 　　．（结果精确到 【思路点拨】：由三角形内角和得，根据角平分线定义得； ：利用科学计算器计算可得． 【规范解答】解：、， ， 平分、平分， 、， 则， 故答案为：； 、， 故答案为：2.03． 【考点评析】本题主要考查三角形内角和定理、角平分线的定义及科学计算器的运用，熟练掌握三角形内角和定理、角平分线的定义是解题的关键． 【考点题型七】解直角三角形 【精讲题】（2023秋•凤阳县校级月考）如图，在△中，，，，是边上定点，且，，分别是，边上的动点，且满足，垂足为．则（1）的长为 　6　；（2）的最小值为 　　． 【思路点拨】（1）先根据，，求出，再根据，求出； （2）取中点，则，根据求最小值即可． 【规范解答】解：（1），， ， ， ，， 故答案为：6； （2）取中点，连接， ， ， ， ， ， 当、、三点共线时，的最小值为， 故答案为：． 【考点评析】本题考查解直角三角形，垂线段最短，勾股定理，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形解决问题． 【变式7-1】（2024•深圳）如图，在△ABC中，AB＝BC，tan∠B＝，D为BC上一点，若满足CD＝BD，过D作DE⊥AD交AC延长线于点E，则＝　　． 【思路点拨】根据问题分析：要求的值，可能需要构造相似或者平行线分线段成比例，所以作CM⊥AD于点M，从而将转化成，再根据题中条件去求解即可． 【规范解答】解：如图，过点A作AH⊥CB于点H，作CM⊥AD于点M， ∵AB＝BC，， 设BD＝8a，则CD＝5a， ∴BC＝AB＝BD+CD＝13a， ∵tanB＝， ∴AH＝5a，BH＝12a， ∴DH＝BH﹣BD＝4a，CH＝a， 在Rt△ACH中，AC＝＝a， 在Rt△ADH中，AD＝＝a， ∴cos∠ADC＝＝， ∴DM＝CD•cos∠ADC＝a， ∴AM＝AD﹣DM＝a， ∴． 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了解直角三角形、平行线分线段成比例等知识点，作为填空压轴题有一定难度，其中熟练掌握相关知识和构造合适的辅助线是解题关键． 【变式7-2】（2024•金溪县校级模拟）如果三角形有一边上的高恰好等于这边长的，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在是“好玩三角形”，且，则　或2或1　． 【思路点拨】分为三种情况：画出图形，再解直角三角形即可． 【规范解答】解：分三种情况： ①如图1， 高， 此时； ②如图2，高， 此时； ③如图3， 高， 设，，，则， 由三角形面积公式和勾股定理得：， 解得：（负数舍去）， ； 故答案为：或2或1． 【考点评析】本题考查了解直角三角形、勾股定理和三角形的面积，能求出符合的所有情况是解此题的关键，有一定难度，要分情况讨论． 【变式7-3】（2024•环翠区一模）如图1，，与交于点． （1）若△为等边三角形，则，，的数量关系为 　　． （2）如图2，若，，，请写出，，的数量关系，并说明理由． 【思路点拨】（1）将绕点逆时针选择得到，连接，，证明△是等边三角形，得出，，利用证明△△，得出，证明，利用勾股定理可得出，即可求解； （2）过作，过作，两线相交于点，连接，证明△，得出，证明△△得出，在△中，利用勾股定理得到，在△中，利用勾股定理得到，然后代入化简即可得出结论． 【规范解答】解：（1）， 理由：将绕点逆时针旋转得到，连接，， 则，， △是等边三角形， ，， △是等边三角形， ，， ， ， ，， △△， ， ，，， ，即， ， ，， ； （2） 理由：过作，过作，两线相交于点，连接， ， ， ， ， △，， ， ， ，， ， ，， △△ ， ， 在△中，， ， ， ，即． 【考点评析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正切的定义等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形、相似三角形是解题的关键． 【考点题型八】解直角三角形的应用 【精讲题】（2024•攀枝花二模）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形，，，和中间一个小正方形拼成的大正方形中，，连接．设，，若正方形与正方形的面积之比为，，则　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【思路点拨】设，，则，，解直角三角形可得，化简可得，，结合勾股定理及正方形的面积公式可求得；，进而可求解的值． 【规范解答】解：如图，设，，则，， ，，， ， ， ， ，， ， ， ． 故选：． 【考点评析】本题主要考查勾股定理的证明，解直角三角形的应用，利用解直角三角形求得，是解题的关键． 【变式8-1】（2024•二道区校级三模）如图，将一扇车门侧开，车门和车身的夹角为，车门的底边长为0.95米，则车门底边上点到车身的距离为　　 A．米 B．米 C．米 D．0.95米 【思路点拨】过点作，垂足为，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【规范解答】解：过点作，垂足为， 在中，，米， （米， 车门底边上点到车身的距离为米， 故选：． 【考点评析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【变式8-2】（2023秋•义乌市期末）有一长杆花艺剪如图1所示，上刀片与上把手固定在长杆上，把手杆的点固定在上，大小不变，当手握两边时，绕着点旋转，带动杆，杆再带动刀片杆绕固定点旋转，且．图2是该花艺剪自然张开状态下的示意图，、都与平行，测得，，、间的距离为，当杆绕点逆时针旋转时，花艺剪完全闭合，点落在边上，如图3所示，此时，且还是与平行，则　　． 【思路点拨】利用三角函数定义表示出线段长，进而结合杆两端点移动的距离始终相等列等式，化简求值即可得到答案， 【规范解答】解：根据题意，作出平面图形，如图所示： ， 由题意可知，， 在中，， ， ， 在△中，， 由图2知，、间的距离为， 则， 由题意可知， 即， 解得：， 则， 故答案为：． 【考点评析】本题考查三角函数解实际问题，涉及三角函数定义、勾股定理等知识，读懂题意，作出平面示意图，熟练掌握三角函数定义是解决问题的关键． 【变式8-3】（2024•徐州）如图，在徐州云龙湖旅游景区，点为“彭城风华”观演场地，点为“水族展览馆”，点为“徐州汉画像石艺术馆”．已知，，．求“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离（精确到．（参考数据：， 【思路点拨】过作于，设 ，由含30度角的直角三角形的性质得到，由锐角的正切定义得到 ，判定△是等腰直角三角形，因此 ，得到，求出，即可得到的长． 【规范解答】解：过作于， 设 ， ， ， ， ， ， ，， △是等腰直角三角形， ， ， ， ． 答：“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离约是． 【考点评析】本题考查解直角三角形的应用，关键是过作于，构造包含特殊角的直角三角形，用解直角三角形的方法来解决问题． 【考点题型九】解直角三角形的应用-坡度坡角问题 【精讲题】（2024•南岗区校级开学）如图，一个小球由地面沿着坡度的坡面向上前进了，此时小球距离地面的高度为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】过点作，垂足为，根据题意可得，，设 ，则 ，由勾股定理，列方程即可求解． 【规范解答】解：过点作，垂足为， 根据题意得：，， 设 ，则 ， 由勾股定理， 得：， 解得：（负值已舍去）， 故选：． 【考点评析】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，勾股定理，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 【变式9-1】（2024•宝安区校级模拟）如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为，深为，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为，斜坡的起始点为，现设计斜坡的坡度，则的长度是　　． A．210 B．120 C．504 D．60 【思路点拨】延长交于点，根据题意可得：，，，再根据已知易得，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【规范解答】解：如图：延长交于点， 由题意得：，，， 斜坡的坡度， ， ， ， 的长度是， 故选：． 【考点评析】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【变式9-2】（2024•寻乌县一模）为了更好地检测复学后学生进校时的体温情况，某小学购买了如下左图所示的带支架的红外热成像仪，该仪器能探测从仪器旁经过学生的体温，若超过就会发出警报．该仪器由三根等长的斜拉支架和一根竖直支架共同支撑上边的红外测温仪已知四根支架总长为5.5米，一根斜拉支架与竖直支架的长度比为． （1）如图1，当斜拉支架与地面的夹角为时，请计算红外测温仪距离地面的高度（连接处均忽略不计）； （2）在使用期间发现，将顶端测温仪倾斜与水平线夹角为，斜拉支架与铅垂线的夹角也是时，学生（按平均身高）走到距离点米的点处时，测温仪与学生的额头恰好在一条直线上，这样调整能使测量的温度比较准确（如图2所示），请结合题中所给数据计算学生的平均身高．（结果精确到0.1米，参考数据：，，，，， 【思路点拨】（1）根据题意，设竖直支架的长为米，则一根斜拉支架的长为米，列出方程，再根据锐角三角函数即可求出结果； （2）过点作于点，由题意得．根据锐角三角函数即可求出结果． 【规范解答】解：（1）由题意，设竖直支架的长为米，则一根斜拉支架的长为米，依题意得： 解得，， 一根斜拉支架的长为1.5米，竖直支架的长为1米． 在中，， （米． （米； 答：红外测温仪距离地面的高度为2.4米； （2）如图，过点作于点，由题意得． 在中，， ， 则（米，（米， （米． 在中，， ， （米． （米． 答：学生平均身高为1.6米． 【考点评析】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，解题的关键是掌握解直角三角形的方法． 【变式9-3】（2024•合水县一模）如图，一辆摩拜单车放在水平的地面上，车把头下方处与坐垫下方处在平行于地面的水平线上，、之间的距离约为，现测得、与的夹角分别为与，若点到地面的距离为，坐垫中轴处与点的距离为，求点到地面的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：，， 【思路点拨】过点作于点，过点作垂直于延长线于点，设，则，，由知，解之求得的长，再由根据点到地面的距离为可得答案． 【规范解答】解：过点作于点，过点作垂直于延长线于点， 设，则，， 由知， 解得：， ， ， 则点到地面的距离为， 答：点到地面的距离约为． 【考点评析】本题主要考查解直角三角形的应用坡度坡角问题，解题的关键是理解题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义． 【考点题型十】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 【精讲题】（2024•深圳）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高的测量仪测得顶端的仰角为，小军在小明的前面处用高的测量仪测得顶端的仰角为，则电子厂的高度为　　 （参考数据：，， A． B． C． D． 【思路点拨】根据题意可得：，，，，，，，然后设 ，则，分别在△和△中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【规范解答】解：由题意得：，，，，，，， 设 ， ， 在△中，， ， 在△中，， ， ， ， 解得：， ， ， 电子厂的高度约为， 故选：． 【考点评析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【变式10-1】（2024•山西模拟）在省城太原轨道交通1号线工程建设中，迎泽公园北门牌楼穿着“轮滑鞋”向南平移24米，开创了我市仿古类建筑物平移施工先河综合实践小组的同学按如图的方式测量迎泽公园北门牌楼高度：①在牌楼前空地上取测量点，测得牌楼最高点的仰角；②改变测量点至处，测得此时点的仰角；③测得米，米，米（已知图中各点均在同一竖直平面内，点，，在同一水平直线上）．请根据该小组的测量数据计算牌楼的高度．（结果精确到1米．参考数据，， 【思路点拨】过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得：，，，，从而可得，然后设 ，则，在△中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出，的长，再在△中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算可求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【规范解答】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意得： ，，，， ， 设 ， ， 在△中，， ， ， ， 在△中，， ， 解得：， 经检验：是原方程的根， ， ， 牌楼的高度约为． 【考点评析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【变式10-2】（2024•成都模拟）如图，某数学兴趣小组在一次外出登山活动中，发现一棵古树竖直生长在山崖上，为了安全测量古树的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端在同一水平线上的点出发，沿斜面坡度为的斜坡前进到达点，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点．在点处测得古树的顶端的俯角为，底部的俯角为，求古树的高度．（结果精确到．参考数据：，，， 【思路点拨】在△中，设，则，则，解得：，进而求解． 【规范解答】解：过点作于点，延长交于点， 则△中，设， 则，则， 解得：， 设，则， 则， 解得：， 则． 【考点评析】本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题，构建直角三角形是解题的关键． 【变式10-3】（2024•郑州三模）如图，一架无人机在一条笔直的公路上方飞行，处为一辆行驶中的小汽车，为公路上的一座桥梁，当无人机飞行到处时，测得处、处的俯角分别为和，此时，小明在桥梁的入口处测得无人机的仰角为．已知桥梁的总长度为，求此时小汽车距桥梁入口的距离的长．（结果精确到，参考数据：，，，，，， 【思路点拨】过点作，垂足为，根据题意可得：，从而可得，，然后设 ，则，分别在和中，利用锐角三角函数的定义球场的长，从而列出关于的方程，进行计算可求出和的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【规范解答】解：如图：过点作，垂足为， 由题意得：， ，， 设 ， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 解得：， ， 在中，， ， ， 此时小汽车距桥梁入口的距离的长约为． 【考点评析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【考点题型十一】解直角三角形的应用-方向角问题 【精讲题】（2024•游仙区三模）如图是某区域的平面示意图，码头在观测站的正东方向，码头的北偏西方向上有一小岛，小岛在观测站的北偏西方向上，码头到小岛的距离为海里．观测站到的距离是　　 A． B．1 C．2 D． 【思路点拨】证是等腰直角三角形，得，再由含角的直角三角形的性质得，然后由，得，求解即可． 【规范解答】解：由题意得：，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 解得：（海里）， 故选：． 【考点评析】本题考查了的解直角三角形的应用—方向角问题，熟练掌握方向角的定义是解题的关键． 【变式11-1】（2023秋•平顶山期末）如图，一艘船由港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港，港在港北偏东方向，则，两港之间的距离为 　　． 【思路点拨】设过点正北方向直线为，过点正北方向直线为，过作于，过作，由题意得：，，，，则，为等腰直角三角形，，由平行线的性质可得，再由，求出的长，即可得到答案． 【规范解答】解：如图，设过点正北方向直线为，过点正北方向直线为，过作于，过作， 由题意得：，，，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，， ， 在中，， ， ， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了解直角三角形的应用—方位角问题、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． 【变式11-2】（2024•两江新区自主招生）第三届智跑重庆国际城市定向赛暨重庆（大渡口）体育旅游节于2024年4月13日至21日在重庆市大渡口区举行．如图，为比赛起点，比赛途经点在起点的正东方向，比赛途经点在点的北偏东方向，相距1200米，且点在途经点的正北方向：途经点在点的北偏西方向，相距2400米；终点在点的正西方，点在点的西北方向．（参考数据：，， （1）求的长度．（结果精确到1米） （2）小明和小李参与了该越野赛，两人从起点出发前往终点，小明选择的定向路线为．小李选择的定向路线为．请问小明和小李的比赛路线谁更短？并说明理由． 【思路点拨】（1）延长、交于点，分别求出，的长，进而求出的长即可； （2）求出两条路线的长，比较即可． 【规范解答】解：（1）如图，延长、交于点， 米，， 在中， 米， ，米， 在中，米，米， 米， 又， 在中，， （米， 答：的长约为1476米； （2）在中， 米， 米， 在中，， 线路（米， 线路（米， ， 答：小李的比赛路线更短． 【考点评析】本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是构造直角三角形． 【变式11-3】（2024•琼山区校级一模）如图，早上一渔船以60海里时的速度从海港出发沿正东方向航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，航行2个小时到达处，此时测得灯塔在北偏东方向，同时测得灯塔正东方向的避风港在的北偏东方向上． （1）填空：　30　； （2）求海港与灯塔之间的距离；（结果保留根号） （3）天气预报显示台风将登陆渔船所在海域，渔船立即沿方向加速驶向避风港．出于安全考虑，渔船至少需要比台风到达所在海域的时刻提前1个小时抵达避风港，求渔船加速后的最小速度．（结果精确到0.1，参考数据：，， 【思路点拨】（1）根据即可求出的度数； （2）过点、分别作的垂线，交的延长线于点、，构建直角三角形，设，则，根据30角的正切列方程，解出，即可确定的长； （3）渔船从早上出发，航行2个小时到达处，天气预报显示台风将登陆渔船所在海域，渔船提前1个小时抵达避风港，即在上航行需要2个小时，根据速度路程可得结论． 【规范解答】解：（1）由题意，得， ， 故答案为：30； （2）过点、分别作的垂线，交的延长线于点、，并标上相关字母如图， 由题意可知，，（海里），，，， 在中， ， 在中， ，， ， 设海里，则海里，海里， ， ， ， 经检验：是原方程的根， （海里）， （海里）； 答：海港与灯塔之间的距离是海里； （3）， ，， ， 是等腰直角三角形， （海里）， （海里）， 所需要时间为：（小时）， 答：渔船加速后的最小速度73.5海里小时． 【考点评析】本题考查解直角三角形的应用方向角问题，等腰三角形的判定，含角直角三角形的性质，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解决问题的关键 期中真题拔高训练15题 一．选择题 1．（2023秋•诸城市期中）若是锐角，，则的值是　　 A． B． C． D．1 解：， ， ． 故选：． 2．（2021秋•济南期中）如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔的高度，他从古塔底部点处前行30 到达斜坡的底部点处，然后沿斜坡前行20 到达最佳测量点处，在点处测得塔顶的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，且点，，，，在同一平面内，小明同学测得古塔的高度是　　 A． B． C． D．40 解：过点作于点，，交的延长线于点， 由题意得，，，，，， 斜坡的斜面坡度， ， 设 ，则 ， ， ， 解得， ，，， 在中，， 解得， ． 故选：． 3．（2023秋•淮阴区期中）如图，点，，都是正方形网格的格点，连接，，则的正弦值为　　 A． B． C． D．2 解：连接，如图所示： 设小正方形边长为1， ，，， ， 是直角三角形， 在中，， 故选：． 4．（2022秋•武进区校级期中）在如图所示的网格中，小正方形的边长为1，点、、、都在格点上，与相交于点，则的正切值是　　 A．2 B． C． D． 解：如图，取格点，连接，． 观察图形可知，，， ， ， 故选：． 5．（2020秋•沙坪坝区校级期中）如图，旗杆竖立在斜坡的顶端，斜坡长为65米，坡度为．小明从与点相距115米的点处向上爬12米到达建筑物的顶端点，在此测得旗杆顶端点的仰角为，则旗杆的高度约为　　米． （参考数据：，， A．12.9 B．22.2 C．24.9 D．63.1 解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， 在中， 由斜坡的坡度，得，， 又， 设，，由勾股定理得，， ， ，， 又， ， 在中，， （米， 故选：． 二．填空题 6．（2023秋•邵阳期中）如图，在中，，点在边上．若，则的值为 　　． 解：过作于， ， ， 令，， ， ， ， ， ， ， ， ． 7．（2023秋•栖霞市期中）如图，一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔45海里的处，它沿北偏东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，此时与灯塔的距离约为 　75　海里．（参考数据：，， 解：如图所示标注字母， 根据题意得，，，海里， ，， ， 在中，， （海里）， 即：此时与灯塔的距离约为75海里． 故答案为：75． 8．（2023秋•乳山市期中）如图，点，，在正方形网格的格点上，则　　． 解：过点作，垂足为． 点，，在正方形网格的格点上， ，． ， ． ． ． 故答案为：． 9．（2021秋•龙口市期中）如图，某兴趣小组要测量一条河的宽度，已知河的两岸和平行，在河岸上有一根电线杆，河岸上有相距80米的两棵树、，测得，，则这条河的宽度是 　40　米． 解：过点作，垂足为． ， ． ． （米． 在中， ， （米． 故答案为：40． 10．（2021秋•松北区校级期中）如图，在中，于，点在上，，，若，，则线段的长是 　6　． 解：如图，过点作于点， 设与交于点， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， 设，则， ， 设，则， ，， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理得， ， （负值舍去）， ． 故答案为：6． 三．解答题 11．（2023秋•北碚区校级期中）某动物园熊猫基地新诞生了一只小熊猫，吸引了大批游客前往观看．由于、之间的道路正在进行维护，暂时不能通行，游客由入口进入园区之后可步行到达点，然后可以选择乘坐空中缆车从，也可选择乘坐观光车从．已知点在点的北偏东方向上，点在点的正东方向，点在点的正东方向300米处，点在点的北偏东方向上，且米．（参考数据：，， （1）求的长度（精确到个位）； （2）已知空中缆车的速度是每分钟200米，观光车的速度是每分钟320米，若游客想尽快到达熊猫基地，应选择乘坐空中缆车还是观光车？ 解：（1）作于，于， ， 四边形是矩形， ，， ， （米， ， （米， ， 是等腰直角三角形， （米， （米， （米； （2）由勾股定理得到（米， （米， 乘坐观光车的时间是（分钟），乘坐空中缆车的时间是（分钟）， 应选择乘坐观光车． 12．（2023秋•邵阳期中）在一次数学综合实践活动中，小明计划测量城门大楼的高度．如图，在点处测得楼顶的仰角为，他正对城楼前进29米到达处，再登上2米高的楼台处，并测得此时楼顶的仰角为． （1）求城门大楼的高度； （2）每逢重大节日，城门大楼管理处都要在，之间拉上绳子，并在绳子上挂一些彩旗． 请你求出，之间的长度．（结果保留整数） （参考数据：，， 解：（1）如图：过点作，垂足为，交于点， 由题意得：米，，， 设米， 米， 米， 在中，， （米， 在中，， 米， ， ， 解得：， （米， 城门大楼的高度约为18米； （2）在中，，米， （米， ，之间的长度约为49米． 13．（2022秋•黄浦区校级期中）为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速．如图，电子眼位于点处，离地面的铅锤高度为9米，区间测速的起点为下引桥坡面点处，此时电子眼的俯角为；区间测速的终点为下引桥坡脚点处，此时电子眼的俯角为、、、四点在同一平面）． （1）求路段的长（结果保留根号）； （2）当下引桥坡度时，求电子眼区间测速路段的长（结果保留根号）． 解：（1）由题意，， ， ， （米． （2）如图，过点作于，于． 由题意，， 设米，则米， ， 四边形是矩形， 米，米，米， 在△中，， ， 解得， （米，（米， （米． 答：电子眼区间测速路段的长米． 14．（2022秋•东平县期中）如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼，在小楼的顶端处测得障碍物边缘点的俯角为，测得大楼顶端的仰角为（点，，在同一水平直线上）．已知，，求障碍物，两点间的距离．（结果保留根号） 解：过点作于点，过点作于点． 则， 在中，，， ． 在中，，， ， ． 答：障碍物，两点间的距离为． 15．（2021秋•福山区期中）图1是电脑液晶显示器的侧面图，显示屏可以绕点旋转一定角度，研究表明：如图2，当眼睛与显示屏顶端在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个俯角（即望向屏幕中心的视线与水平线的夹角）时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端与底座的连线与水平线垂直时，观看屏幕最舒适，此时测得，，液晶显示屏的宽为． （1）求眼睛与显示屏顶端的水平距离；（结果精确到 （2）求显示屏顶端与底座的距离．（结果精确到 （参考数据：，，， 解：（1）由已知得， 在中， ， ， 答：眼睛与显示屏顶端的水平距离约为； （2）如图，过点作于点， ，， ， 在中， ， ， ， ， ， ． 答：显示屏顶端与底座的距离约为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$