清单01 图形的相似（知识导图+11个考点清单&题型解读）（期中复习讲义）九年级数学上学期青岛版

清单01 图形的相似 （考点梳理+11个题型解读+真题拔高15题） 题型清单目录 【考点题型一】相似图形 3 【考点题型二】相似多边形的性质 5 【考点题型三】相似三角形的性质 8 【考点题型四】相似三角形的判定 13 【考点题型五】相似三角形的判定与性质 15 【考点题型六】相似三角形的应用 21 【考点题型七】几何变换的类型 25 【考点题型八】几何变换综合题 28 【考点题型九】作图-相似变换 38 【考点题型十】位似变换 42 【考点题型十一】作图-位似变换 47 期中真题拔高训练15题 51 知识点01：成比例线段 对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比， 如（或a∶b＝c∶d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。此时也称这四条线段成比例。 线段的比要注意以下几点： 线段的比是正数；单位要统一；线段的比与线段的长度无关 知识点02：图形的相似 (1) 形状相同的图形 ①表象：大小不等，形状相同. ②实质：各对应角相等、各对应边成比例. (2) 相似多边形 (3) 相似比：相似多边形对应边的比 知识点03：相似三角形的判定 ◑通过定义 ◑平行于三角形一边的直线 ◑三边成比例 ◑两边成比例且夹角相等 ◑两角分别相等 ◑两直角三角形的斜边和一条直角边成比例 知识点04：相似三角形的性质 ◑对应角相等、对应边成比例 ◑对应高、中线、角平分线的比等于相似比 ◑周长比等于相似比 ◑面积比等于相似比的平方 知识点05：相似三角形的应用 (1) 测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的) 测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决. (2) 测距(不能直接测量的两点间的距离) 测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解. 知识点06：位似 (1) 如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心. (这时的相似比也称为位似比) (2) 性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比；对应线段平行或者在一条直线上. (3) 位似性质的应用：能将一个图形放大或缩小. (4) 平面直角坐标系中的位似 当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为 k；当位似图形在原点两侧时，对应顶点的坐标的比为－k. 【考点题型一】相似图形 【精讲题】（2023秋•泗阳县期末）如图是杭州第19届亚运会的吉祥物“琮琮”，代表的是世界遗产良渚古城遗址，名字来源于文物玉琮．琮琮全身以黄色调为主，头部刻有“饕餮纹”，展示给人们一种不屈不挠、坚强刚毅的精神．文旅部门将选定的“琮琮”形象图通过放大或缩小放置于不同的宣传版面上，这体现了数学中的　　 A．图形的平移 B．图形的轴对称 C．图形的相似 D．图形的旋转 【思路点拨】根据把图形进行放大或缩小可判断出是图形的相似即可． 【规范解答】解：将选定的“琮琮”形象图通过放大或缩小放置于不同的宣传版面上，这体现了数学中的图形的相似． 故选：． 【考点评析】本题主要考查图形的相似，解题的关键是理解题意． 【变式1-1】（2024•连云港）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为　　 A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 【思路点拨】如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． 【规范解答】解：观察可得：甲和丁对应角相等，对应边成比例，且形状相同，大小不同， 故选：． 【考点评析】本题主要考查了相似多边形的性质，相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等． 【变式1-2】（2024•二道区校级模拟）一些木工师傅利用平行四边形的不稳定性制作了一种放缩尺，可将图形进行缩放．如图，已知四边形为平行四边形，，，以点为轴心，在处和处安装制图笔，当处制图笔所画图形的面积为3时，则处制图笔所画图形的面积是 　27　． 【思路点拨】根据相似三角形的性质得出处制图笔所画图形的面积与处制图笔所画图形的面积之间的关系即可解决问题． 【规范解答】解：四边形为平行四边形， ，， ． 连接，由题知点在上， ， ． 又， 处制图笔所画图形的面积与处制图笔所画图形的面积的比值为9， 又处制图笔所画图形的面积为3， 处制图笔所画图形的面积是27． 故答案为：27． 【考点评析】本题主要考查了相似图形、三角形的稳定性及多边形，熟知相似三角形的性质是解题的关键． 【考点题型二】相似多边形的性质 【精讲题】（2024•宁波模拟）如图，已知中，点，，，分别为，，，上的点，且，，分别与，相交于点，．若，则的面积一定可以表示为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】设参数，利用面积转化得到，再利用得到，从而得到的面积． 【规范解答】解：设， ， 可设，，则，， 所以， ， ， ，即， ， ， ． 故选． 【考点评析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似多边形的性质、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【变式2-1】（2023秋•邹平市校级月考）已知五边形五边形，，则下列说法中错误的是　　 A． B． C．五边形的周长是五边形周长的0.75倍 D． 【思路点拨】根据相似多边形的性质，如果两个多边形相似，则其对应边成比例，根据相似形对应边的比相等，即可解答． 【规范解答】解：、五边形五边形， ， 故选项不符合题意； 、， ， 故选项符合题意； 、五边形的周长是五边形周长， 故选项不符合题意； 、， 故选项不符合题意； 故选：． 【考点评析】本题考查相似多边形的性质，掌握相似多边形的性质是解题的关键． 【变式2-2】（2024•兴庆区模拟）如图，四边形是一张矩形纸片，将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为 　　． 【思路点拨】设，根据矩形的性质可得，，再根据折叠的性质可得：，，，从而可得，四边形是矩形，然后利用矩形的性质可得，最后利用相似多边形的性质进行计算即可解答． 【规范解答】解：设， 四边形是矩形， ，， 由折叠得：，，， ， ， 四边形是矩形， ， 矩形与原矩形相似， ， ， 解得： 或（舍去）， ， 的长为， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，翻折变换（折叠问题），熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 【变式2-3】（2023秋•余江区期中）如图所示的正方形网格中，每个小正方形边长均为1，四边形的面积是．若四边形与四边形相似，则四边形的面积是 　　． 【思路点拨】由相似多边形的性质可知，，计算求解即可． 【规范解答】解：由相似多边形的性质可知，， ，解得，， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了相似多边形的性质．熟练掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【考点题型三】相似三角形的性质 【精讲题】（2024•瑶海区一模）如果两个相似三角形的相似比是，那么它们的面积比是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解决问题即可． 【规范解答】解：两个相似三角形的相似比是， 这两个相似三角形的面积比， 故选：． 【考点评析】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【变式3-1】（2024•开封二模）在平面直角坐标系中，等腰三角形的位置如图所示，其中点．第1次将等腰三角形绕着点顺时针旋转，且各边长扩大为原来的2倍得到等腰三角形；第2次将等腰三角形绕着点继续顺时针旋转，且各边长扩大为等腰三角形各边长的2倍得到等腰三角形；，以此类推，的坐标为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据每次旋转得出点在的延长线上，再根据边长的变化规律求出的长度即可解决问题． 【规范解答】解：由题知， ， 所以每旋转四次，点所在的象限位置便重复出现， 又因为， 所以点在射线上． 因为点坐标为， 所以，且与轴的夹角为． 因为每次旋转后，各边长度扩大为上次的2倍， 所以，，，， 依次类推，． 当时， ， 所以点到轴的距离为，点到轴的距离为， 即点的坐标为． 故选：． 【考点评析】本题考查点的坐标变化规律及坐标与图形变化旋转，能根据所给变换方式发现位置及长度的变化规律是解题的关键． 【变式3-2】（2024•义乌市模拟）如图是一个由，，三种相似的直角三角形纸片（相似比相同）拼成的矩形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中，，的纸片的面积分别，，，若，则这个矩形的面积一定可以表示为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】如图，由、、三种直角三角形相似，设相似比为，，则，．想办法构建方程，求出定值，证明即可解决问题； 【规范解答】解：如图，由、、三种直角三角形相似，设相似比为，，则，． ，，， 则有：， 整理得：， 或（舍去）， ，， ， 这个矩形的面积， 故选：． 【考点评析】本题考查相似三角形的性质、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 【变式3-3】．（2023•沭阳县模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，过点作垂直于轴，交直线于点，连接、，点为直线上一动点，设其纵坐标为，过点的一条直线同时交的边于，交边于，若对于每个确定的值，恰好有两个与相似，则的取值范围是 　　． 【思路点拨】根据题意可求得是直角三角形，且．设直线与轴交于点，则，．根据题意可知，对于每个确定的值，恰好有两个与相似，有两个临界点，①过点作交于点，②过点作交于点，根据相似三角形的性质分别求出的值即可得出的取值范围． 【规范解答】解：直线与轴交于点，与轴交于点， ，， ， ，，． ， 是直角三角形，且． 设直线与轴交于点，则，． 根据题意可知，对于每个确定的值，恰好有两个与相似， 有两个临界点， ①过点作交于点， ， ， ， ，即， ，解得， 过点作轴于点，则， ，即． 解得，， ． ，． 直线的解析式为：． 当时，． ②过点作交于点， 此时， ，即， ．即． 综上，若对于每个确定的值，恰好有两个与相似，则的取值范围为：． 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，勾股定理，分类讨论思想等相关知识，根据点的运动，得到两个临界点是解题关键． 【考点题型四】相似三角形的判定 【精讲题】（2024•静安区校级模拟）如图，已知与都是等边三角形，点在边上（不与点、重合），与相交于点，那么与相似的三角形是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】由相似三角形的判定，即可判断． 【规范解答】解：与都是等边三角形， ，． 、只有，和不一定相似，故不符合题意； 、由，，推出，故符合题意； 、只有，和不一定相似，故不符合题意； 、只有，和不一定相似，故不符合题意． 故选：． 【考点评析】本题考查相似三角形的判定，等边三角形，关键是掌握相似三角形的判定方法． 【变式4-1】（2023秋•陵水县期末）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】利用中，，，，然后根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对各选项进行判定即可． 【规范解答】解：在中，，，， 在、、选项中的三角形都没有，而在选项中，三角形的钝角为，它的两边分别为1和， 因为，所以选项中的三角形与相似． 故选：． 【考点评析】此题考查了相似三角形的判定．注意两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似． 【变式4-2】（2023秋•郑州期末）如图，在中，点、分别在边、上，则在下列四个条件中：①；②；③；④，能满足的条件有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】根据相似三角形的判定定理对各条件进行逐一判断即可． 【规范解答】解：①，，则可判断，故①符合题意； ②，则，故②不符合题意， ③，且夹角，能确定，故③符合题意； ④由可得，此时不确定，故不能确定，故④不符合题意， 故选：． 【考点评析】本题考查的是相似三角形的判定．（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“”型和“”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 【变式4-3】（2023秋•红旗区校级月考）如图，在中，，，动点，分别从点，开始沿图中所示方向及速度运动，如果，两动点同时运动，那么经过 　或　秒，以，，为顶点的三角形与相似． 【思路点拨】当时，，时，，进一步求得结果． 【规范解答】解：根据题意可知：， ， ， 当时，， ， ， 当时，， ， ， 综上所述：或． 故答案为：或． 【考点评析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解决问题的关键是正确分类，列方程求解． 【考点题型五】相似三角形的判定与性质 【精讲题】（2024•东港区校级模拟）如图，正方形的边长为4，点、分别在边、上，且，平分，连接，分别交、于点，，是线段上的一个动点，过点作，垂足为，连接．有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的是　　 A．①② B．②③④ C．①③ D．①③④ 【思路点拨】①先根据正方形的性质证得和全等，再利用证得和全等，即可得出垂直平分； ②连接与交于点，交于点，连接，根据题意当点与点重合时，的值最小，即的最小值是的长，根据正方形的性质求出的长，从而得出，即的最小值； ③先证，再根据相似三角形的性质及，即可判断； ④先求出的长，再根据三角形面积公式计算即可． 【规范解答】解：①四边形是正方形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， 又为公共边， ， ， 又， 垂直平分， 故①正确； ②如图，连接与交于点，交于点，连接， 四边形是正方形， ， 即， 垂直平分， ， 当点与点重合时，的值最小，此时，即的最小值是的长， 正方形的边长为4， ， ， 即的最小值为， 故②错误； ③垂直平分， ， ， ， 又， ， ， 即， 由①知， ， 故③正确； ④垂直平分， ， 又， ， 故④正确； 综上，正确的是：①③④， 故选：． 【考点评析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，三角形全等的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，最短路径问题等知识点，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 【变式5-1】（2024•榕城区一模）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．连接，若平分，且正方形的面积为3，则正方形的面积为　　 A． B． C． D．15 【思路点拨】设直角三角形的长直角边是，短直角边是，得到，由，得到，由，得到，因此，由，得到，即可求出，的值，由勾股定理即可解决问题． 【规范解答】解：设直角三角形的长直角边是，短直角边是， 正方形的边长是， 正方形的面积为3， ， ， 平分， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 正方形的面积是． 故选：． 【考点评析】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，关键是求出直角三角形的直角边的长，由勾股定理即可解决问题． 【变式5-2】（2024•弥勒市二模）如图，在△中，，且，，则为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】根据题意证明出△△，然后得到，然后代数求解即可． 【规范解答】解：，， ， ， △△， ，即， ． 故选：． 【考点评析】此题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定． 【变式5-3】（2024•灞桥区校级开学）如图，在△中，是△的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为　　 A．4 B．8 C． D． 【思路点拨】取的中点，连接，根据三角形中位线性质得，，再证明△△，得，从而求得，即可求得答案． 【规范解答】解：如图，取的中点，连接， 是△的中点， ，， △△， ， ， ， ． 故选：． 【考点评析】本题考查三角形中位定理，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【考点题型六】相似三角形的应用 【精讲题】（2024•杭州三模）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是　　． A． B．6 C． D．8 【思路点拨】过点作，垂足为，延长交于点，根据题意可得：，，，，然后利用平行线的性质可得：，从而可得，然后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【规范解答】解：如图：过点作，垂足为，延长交于点， 由题意得： ，，， ， ， ， ，， ， ， ， 解得：， 蜡烛火焰的高度是， 故选：． 【考点评析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【变式6-1】（2023秋•登封市校级期末）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点、的对应点分别是、．若物体的高为，小孔到地面距离为，则实像的高度为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】先证明得到，再证明得到，再把①和②相加变形得到，然后把，，代入计算即可，利用平行线构建相似三角形，然后用相似三角形对应边的比相等的性质求相应线段的长或表示线段之间的关系． 【规范解答】解：依题意， ， ， ， ， ， ， 则①②得， ， ， ，， ， 解得， 故选：． 【考点评析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【变式6-2】（2024•长沙县一模）阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点，的对应点分别是，．若物体的高为，实像的高为，则小孔到的距离为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据题意可得，，，从而可得，然后证明字模型相似，，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【规范解答】解：由题意得，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 解得：， 小孔到的距离为， 故选：． 【考点评析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握字模型相似三角形是解题的关键． 【变式6-3】（2024•秦淮区模拟）利用初中物理所学习的“杠杆原理”可推得：一根质量均匀分布的长木以为支撑点，点在其左侧，其挂着的重物，到的距离为；点在其右侧，其挂着的重物，到的距离为，． 已知：秤盘质量10克，秤砣质量50克，最大可称重物1000克，零刻度线与末刻度线距离为50厘米．从零刻度线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻度线，试求“”刻度线到末刻度线的距离． 【思路点拨】根据杠杆原理，列出不加物品时和最大称重时的方程组，从而求得的值，进一步得出结果． 【规范解答】解：由题意得， ， ， 设“”刻度线到秤纽的距离为厘米， ， ， 厘米， 答：“”刻度线到末刻度线的距离是40厘米． 【考点评析】本题考查了二元一次方程的组的解法等知识，解决问题的关键是理解题意，列出方程组． 【考点题型七】几何变换的类型 【精讲题】（2024•兴庆区校级一模）大约在两千四百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中做了记载，如图，在实验中，物和像属于以下哪种变换　　 A．平移变换 B．对称变换 C．旋转变换 D．位似变换 【思路点拨】根据位似变换的定义判断即可． 【规范解答】解：小孔成倒像的实验，物和像属于位似变换． 故选：． 【考点评析】本题考查几何变换的类型，平移变换，轴对称变换，旋转变换，位似变换等知识，解题的关键是理解各种变换的定义． 【变式7-1】（2023秋•东西湖区期末）如图，四边形是正方形，，分别是和的延长线上的点，且，连接，，． （1）可以看作是经过平移、轴对称或旋转中的一种变换得到，请写出得到的变换过程； （2）已知，，直接写出四边形的面积为 　25　． 【思路点拨】（1）根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，求得，于是得到可以看作是绕着点顺时针旋转得到的； （2）根据已知条件得到，根据正方形的面积公式即可得到结论． 【规范解答】解：（1）四边形是正方形， ，， 而是的延长线上的点， ， 在和中 ， ， ， ， ， 可以看作是绕着点顺时针旋转得到的； （2），， ， ， 四边形的面积正方形的面积． 故答案为：25． 【考点评析】本题考查了几何变换的类型，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【变式7-2】（2023秋•宜都市校级月考）如图，在△中，已知，于点．小明同学灵活运用轴对称知识将图形进行翻折变换：分别以直线，为对称轴，画出△，△的轴对称图形，点的对称点分别为，，延长，相交于点．请按照小明的思路，探究并解答下列问题： （1）求证：四边形是正方形； （2）若，，试求出的长． 【思路点拨】（1）根据题意得，△△，△△得，，，，根据得，根据得，则，，可得四边形是矩形，根据，得，即可得； （2）设，根据，，矩形是正方形得，，，根据△△，△△得，，则，，在△中，根据勾股定理得，进行计算即可得． 【规范解答】（1）证明：根据题意得，△△，△△， ，，，， ， ， ， ， ，， 四边形是矩形， ，， ， 矩形是正方形； （2）解：设， ，，矩形是正方形， ，，， △△，△△， ，， ，， 在△中，根据勾股定理得，， ， ， ， ， ， ，， 即或． 【考点评析】本题考查了正方形的判定与性质，翻折的性质，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点． 【考点题型八】几何变换综合题 【精讲题】（2024春•凤城市期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点的坐标为． （1）将向上平移6个单位得到△，画出△； （2）以为对称中心，画出关于该点对称的△； （3）经探究发现，△和△成中心对称，则对称中心坐标为 　　； （4）已知点为轴上不同于、的动点，当　　时，． 【思路点拨】（1）先分别作出点、、向上平移6个单位的对应点、、，再顺次连接、、即可画出图形； （2）先分别作出点、、关于的对称点、、，再顺次连接、、即可画出图形； （3）连接、、，交点坐标即为对称中心坐标； （4）过点作关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，易得，，以此可得，此时，利用两点间的距离公式计算即可求解． 【规范解答】（1）分别作出点、、向上平移6个单位的对应点、、，再顺次连接、、，如图， （2）如图，分别作出点、、关于的对称点、、，再顺次连接、、，如图， （3）连接、、，交于点，如图， 则，即对称中心坐标为； 故答案为：； （4）过点作关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，如图， 则，， ， ， 此时，， 点与点关于轴对称，， ， ， ，即， 当时，． 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查旋转变换和平移变换作图、轴对称的性质，解题关键是：（1）（2）利用网格结构作出平移或旋转后对应的点；（3）连接对应点得出对称中心的坐标；（4）利用轴对称找出点的位置，熟知两点间的距离公式． 【变式8-1】（2024春•沙坪坝区期中）如图，中，，点为边上一点． （1）如图1，若于点，，．求的长； （2）如图2，已知，，延长至点，以线段和线段为边作，连结、，若于点．求证：； （3）如图3，已知，，将沿直线翻折，使点落点处．在线段上求一点，使得的值最小．直接写出的最小值．（参考公式： 【思路点拨】（1）由勾股定理求出，由面积法可求出答案； （2）在线段上取一点，使，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； （3）将逆时方向旋转60度到，则为等边三角形，当，，，共线时，有最小值，连接，过点作，交的延长线于点，求出的长，则可得出答案． 【规范解答】（1）解：，，， ， ，， ， ； （2）证明：在线段上取一点，使， 于点， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：，将沿直线翻折， ，， 将逆时方向旋转60度到，则为等边三角形， ，，， ， 当，，，共线时，有最小值， 连接，过点作，交的延长线于点， ，，， ， ， ， ， ， 的最小值为． 【考点评析】本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，平四边形的性质以及勾股定理等知识，能够综合运用这些性质是解题关键． 【变式8-2】（2024•高青县一模）如图1，在中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点． （1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是 　　，位置关系是 　　； （2）探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由； （3）拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，直接写出面积的最大值． 【思路点拨】（1）根据三角形中位线定理得，，，，从而得出，； （2）首先利用证明，得，，再由（1）同理说明结论成立； （3）由（2）知，是等腰直角三角形，可知最大，即最大时，面积的最大，由三角形三边关系可知最大值为，从而解决问题． 【规范解答】解：（1）点，是，的中点， ，， 点，是，的中点， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）是等腰直角三角形． 理由如下：由旋转知，， ，， ， ，， 利用三角形的中位线得，，， ， 是等腰三角形， 同（1）的方法得，， ， 同（1）的方法得，， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； （3）由（2）知是等腰直角三角形， 则最大时，的面积最大， 当点在的延长线上时，最大值为， ， 面积的最大值为． 【考点评析】本题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理等知识，证明是等腰直角三角形是解题的关键． 【变式8-3】．（2024•西安校级开学）（1）如图1，E，F分别是正方形ABCD的BC边和CD边上的点，并且∠EAF＝45°，我们可通过如下方法探索EF与BE和DF之间的数量关系： 因为AD＝AB，∠D＝∠ABE＝90°，所以我们以点A为旋转中心，将△DAF绕点A顺时针旋转90°，使得点D与点B重合，则点F的对应点恰好落在CB的延长线上，记为点F′，由△ADF≌△ABF'且易证△AEF≌△AEF′，从而可知，EF，BE，DF的数量关系是　EF＝BE+DF　； （2）如图2，在正方形ABCD中，E是BC边的三等分点，F为CD边上的点，且∠EAF＝45°，当AD＝3时，请求出DF的长． 【思路点拨】（1）根据旋转的性质得到∠EAF′＝∠EAF＝45°，根据全等三角形的性质得到EF＝EF′，于是得到EF＝BE+DF； （2）将△DAF绕点A顺时针旋转90°，使得点D与点B重合，则点F的对应点恰好落在CB的延长线上，记为点F′，由（1）知，EF＝BE+DF，由E是BC边的三等分点，BC＝AD＝3，得到BE＝1或BE＝2，根据勾股定理即可得到结论． 【规范解答】解：（1）如图1，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF′， ∵∠EAF＝45°， ∴∠EAF′＝∠EAF＝45°， 在△AEF和△AEF′中， ， ∴△AEF≌△AEF′（SAS）， ∴EF＝EF′， 又EF′＝BE+BF′＝BE+DF， ∴EF＝BE+DF， 故答案为：EF＝BE+DF； （2）将△DAF绕点A顺时针旋转90°，使得点D与点B重合，则点F的对应点恰好落在CB的延长线上，记为点F′， 由（1）知，EF＝BE+DF， ∵E是BC边的三等分点，BC＝AD＝3， ∴BE＝1或BE＝2， 当BE＝1时，CE＝2，则EF＝1+DF，CF＝3﹣DF， ∵EF2＝CE2+CF2， ∴（1+DF）2＝22+（3﹣DF）2， 解得DF＝， 当BE＝2时，CE＝1，则EF＝2+DF，CF＝3﹣DF， ∵EF2＝CE2+CF2， ∴（2+DF）2＝12+（3﹣DF）2， 解得DF＝， 综上所述，DF的长为或． 【考点评析】本题是几何变换的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 【考点题型九】作图-相似变换 【精讲题】（2024春•工业园区校级月考）如图，大小为的正方形方格中，能作出与相似的格点三角形（顶点都在正方形的顶点上），其中最小的一个面积是 　　． 【思路点拨】的边长分别为，5，，作一个边长为1，，的三角形即可． 【规范解答】解：如图，即为所求，面积． 故答案为：． 【考点评析】本题考查作图相似变换，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 【变式9-1】（2024春•新宁县月考）如图，在平面直角坐标系中，已知，点，作，使与相似，以、点必须要格点上　略　．（不写作法） 【思路点拨】根据相似三角形的性质，利用平行，连接作，且，同理作，连接．三角形就画成了． 【规范解答】解： 【考点评析】本题主要根据平行的性质，利用三角形的相似来完成此图． 【变式9-2】（2023秋•西湖区校级月考）如图，△的顶点均为网格中的格点． （1）选择合适的格点（包括边界）为点和点，请画出一个△，使△△（相似比不为． （2）在图2中画一个△，使其与△相似，且面积为4． 【思路点拨】（1）根据要求，画出一个△，利用勾股定理求出各边长，利用三组对应边对应成比例，即可得△△； （2）根据题意可知，进而可知△△的相似比为，求出边长即可作图． 【规范解答】解：（1）如图所示：△即为所求，理由如下： 设小正方形的边长为：1，由图可知：，， 由勾股定理得：， ， ， ， ， ， △△． （2），，且△△， 则， △△的相似比为， 则，，， 如图所示，即为所求． 【考点评析】本题考查了作图相似变换，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【变式9-3】（2019秋•瑞安市期末）如图与中，，，，用一条过顶点的线段将分割成两个三角形，再用另一条过顶点的线段将也分割成两个三角形；所分割成的四个三角形恰好是两对相似三角形．（要求：1．用三种不同的方法；2．在图中标出相应的锐角度数． 【思路点拨】两角对应相等的两个三角形相似，根据直角三角形中锐角的度数及相似三角形的判定方法进行分析即可． 【规范解答】解：方法一： 方法二： 方法三： 方法四： 方法五： 【考点评析】本题考查了相似三角形的证明，把两个三角形分成的每个三角形分别对应相似，应分割这个两个三角形中最大的角或较大的角． 【考点题型十】位似变换 【精讲题】（2024•嘉善县一模）如图，与是位似图形，点为位似中心，位似比为，若，则的长为　　 A．4 B．4.5 C．5 D．6 【思路点拨】利用相似三角形的性质求解即可． 【规范解答】解：由题意， ， ， ． 故选：． 【考点评析】本题考查位似变换，相似三角形的性质，解题关键是掌握位似变换的性质，属于中考常考题型． 【变式10-1】（2024•两江新区自主招生）如图，在平面直角坐标系中， 与是以点为位似中心的位似图形，若点坐标为，点的坐标为，且，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】以点为坐标原点，原来的轴为轴建立新的平面直角坐标系，根据位似变换的性质求出点在新坐标系中的坐标，进而求出点的坐标． 【规范解答】解：以点为坐标原点，原来的轴为轴建立新的平面直角坐标系， 则在新坐标系中，点的坐标为， 与是以点为位似中心的位似图形，相似比为， 点在新坐标系中的坐标为，，即， 则点在原坐标系中的坐标为， 故选：． 【考点评析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 【变式10-2】（2019•本溪二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点，，，在轴上，延长交射线于点，以为边长作正方形；延长交射线于点，以为边长作正方形，分别连接，，，，得到△，△，△，按照此规律继续下去，若，则△的面积为 　　． 【思路点拨】根据已知条件得到△，求得，得到求得，得到，过作，根据等腰直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【规范解答】解：正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为， ， 轴，轴， ， △， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 过作于， ， △的面积， 同理，△的面积， △的面积， △的面积， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了位似变换，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，正方形的性质，找出规律是解题的关键． 【变式10-3】（2017春•高青县期末）在图的方格纸中，△的顶点坐标分别为、、，△与△是关于点为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心的位置，并写出点及点的对应点的坐标； （2）以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出△的一个位似△，使它与△的相似比为．并写出点的对应点的坐标； （3）△内部一点的坐标为，写出在△中的对应点的坐标； （4）判断△能否看作是由△经过某种变换后得到的图形，若是，请指出是怎样变换得到的（直接写答案）． 【思路点拨】（1）连接各对应点的连线的交点即为位似中心，然后根据图形直接写出点的对应点的坐标； （2）根据位似变换的知识，找出变换后各顶点的对应点，然后顺次连接各点即可，写出点的对应点的坐标； （3）结合图形，由位似变化的性质，即可求得：点在△中的对应点的坐标； （4）根据点的坐标的变化求解即可． 【规范解答】解：（1）点位置如图，点及点的对应点的坐标分别为：，； （2）如图所示，的坐标为：； （3）的坐标为：； （4）△是由△经过平移变换后得到的图形； 【考点评析】此题考查了位似变换的性质，还考查了学生的动手能力，题目比较简单，注意数形结合思想的应用． 【考点题型十一】作图-位似变换 【精讲题】（2023秋•凤阳县校级月考）在平面直角坐标系中，△的三个顶点坐标分别为，，． （1）用没有刻度的直尺作出△关于点的同向位似图形△，且位似比为； （2）画出△绕点顺时针旋转得到的△． 【思路点拨】（1）找到位似中心，把原来的三角形三边作关于位似中心对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的图形； （2）将原三角形的三个顶点分别与原点相连，并过原点作相应连线的垂线，变化过程中旋转前后对应线段长度不变，即可得出对应的图形． 【规范解答】解：（1）将原来的三角形三边关于点作对应的放大2倍即可得到对应的图形，所作图形如图1，△即为所求； （2）将原三角形的三个顶点分别与原点相连，并过原点分别作、、的垂线且长度分别与之对应相等，即可得出对应的图形，如图2，△即为所求． ． 【考点评析】本题考查了作图位似变换，作图旋转变换，理解位似图形和图形旋转的本质是解题的关键． 【变式11-1】（2024•武汉模拟）如图是由小正方形组成的网格，四边形ABCD的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在所给定的网格中按要求完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． （1）在图1中，先以点A为位似中心，将四边形ABCD缩小为原来的，画出缩小后的四边形AB1C1D1，再在AB上画点E，使得DE平分四边形ABCD的周长； （2）在图2中，先在AB上画点F，使得CF＝BC，再分别在AD，AB上画点M，N，使得四边形BCMN是平行四边形． 【思路点拨】（1）取AB、AC、AD的中点B1、C1、D1，然后顺次连接即可；根据勾股定理可得AB＝5，，结合图形可知BC＝3，故AB+BC＝8，取格点P，使得PB＝AB＝5，则有∠BAP＝∠BPA，连接AP，再取点Q，连接CQ，此时可有AC＝PB＝4，AC∥PB，即四边形APQC为平行四边形，则有CQ∥AP，易得∠BQE＝∠BPA，∠BEQ＝∠BAP，所以∠BEQ＝∠BQE，易得BE＝BQ＝1，连接DE，则DE平分四边形ABCD的周长； （2）取格点G，H，J，使得CG＝3，GH＝4，HJ＝3，连接GJ交AB于F，易证明△ABC≌△GJH，所以∠HGJ＝∠CAB，结合∠B+∠CAB＝90°，可得∠G+∠B＝90°，即△BGF为直角三角形，因为CG＝BC＝3，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，可得CF＝BC；在网格中取点K，连接CK交AD于点M，则CK∥AB，过点M作MN∥BC，交AB为点N，即可获得答案． 【规范解答】解：（1）如图1，四边形AB1C1D1，线段DE即为所求； （2）如图2，CF，四边形BCMN即为所求． 【考点评析】本题主要考查了尺规作图—复杂作图、位似图形、勾股定理、平行四边形的性质等知识，熟练掌握尺规作图的常见作法是解题关键． 【变式11-2】（2024春•牟平区期末）在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为、、，△与是关于点为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心的位置，并写出点及点的对应点的坐标； （2）以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似△，使它与的位似比为，并写出点的对应点的坐标； （3）的内部一点的坐标为，写出在△中的对应点的坐标． 【思路点拨】（1）连接并延长与的延长线相交，交点即为位似中心，再根据平面直角坐标系写出点和的坐标； （2）延长到，使，延长到，使，连接，再根据平面直角坐标系写出点的坐标； （3）根据位似比是2写出即可． 【规范解答】解：（1）位似中心如图所示，，； （2）△如图所示，； （3）点． 【考点评析】本题考查了利用位似变换作图，熟练掌握位似变换的性质准确找出对应点的位置是解题的关键． 【变式11-3】（2023秋•贵池区期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的就是格点三角形．在建立平面直角坐标系后，点的坐标为． （1）把向左平移8格后得到△，画出△的图形并写出点的坐标； （2）在如图的方格纸中把以点为位似中心放大，使放大前后的位似比为，画出△． 【思路点拨】（1）的各点向左平移8格后得到新点，顺次连接得△； （2）根据以点为位似中心放大，使放大前后对应边长的比为，即可画出放大后的△的图形． 【规范解答】解；（1）画出的△如图所示，点的坐标为； （2）画出的△的图形如图所示． 【考点评析】此题主要考查了图形的位似变换和平移变换的知识，根据基本作图方法得出图形是解题关键 期中真题拔高训练15题 一．选择题 1．（2021秋•秦都区校级期中）如图，点是菱形的边上一点，连接并延长，交的延长线于点．已知，，则的长为　　 A．6 B．12 C．9 D．4.5 解：，， ，， 是菱形， ，，， ，， ，， ， ． 故选：． 2．（2022秋•泉州期中）如图，为了测量一池塘的宽，在岸边找到一点，测得，在的延长线上找一点，测得，过点作交的延长线于，测出，则池塘的宽为　　 A． B． C． D． 解：， ， ， ， ， 故选：． 3．（2023秋•桥西区校级期中）如图所示，中，，分别交边，于，两点，若，则与的面积比为　　 A． B． C． D． 解：在中，， ， ，， 与的相似比为：， 与的面积比是：； 故选：． 4．（2021秋•射洪市期中）如图，在中，点、分别在边、上，则在下列四个条件中：①；②；③；④，能满足的条件有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：①，，则可判断，故①符合题意； ②，则，故②不符合题意， ③，且夹角，能确定，故③符合题意； ④由可得，此时不确定，故不能确定，故④不符合题意， 故选：． 5．（2024春•阳谷县期中）如图，在正方形中，为上一点，过点作，交于，交对角线于，取的中点，连结，，．下列结论：①；②△△；③；④若，则．其中结论正确的是　　 A．①②③④ B．①②③ C．①④ D．②③④ 解：①在正方形中，，， ， ， 四边形是矩形． 在△中，， ， 是中点， 故①正确； ②四边形是矩形， ，， 平分， ， ， ． 在△中，是的中点， ，， ， ， ， △△， ， ，， △△， 故②正确； ③△△， ， ， ， ， 即， ， ， 故③正确； ④如图，过点作于点，与交于点， 设，则， ，，，， ， ， 故④正确； 故选：． 二．填空题 6．（2023秋•碑林区校级期中）如图，，，以为斜边在的右侧作，其中，当长度最大时，点到的距离是 　　． 解：以为斜边构造直角三角形，使，，，连接，如图： ；3， ， 又， ， ， ， 即， 又， ， ， ， 在中，， 当最大时，，，共线，即， 此时，过作于，如图： ， ， ，，，四点共圆， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 7．（2022秋•海州区校级期中）如图，已知，三条对应边，，在同一条直线上，连接，分别交，，于点，，，其中，则图中三个阴影部分的面积和为 　13　． 解：， ，， ， ，， ，， 又，，， ， 设的边为，边上的高为， 则，整理得， ， ， ， 三个阴影部分面积的和为：． 故答案为：13． 8．（2023秋•七星区校级期中）如图，有一块三角形余料，它的边，高，现在要把它加工成长与宽的比为的矩形零件，要求一条长边在上，其余两个顶点分别在，上，则矩形的周长为 　30　． 解：矩形中，，， ， ， ， ， ， ， 矩形零件的长与宽的比为， 设 ，，则 ，， ， 解得：， ，， 矩形的周长为：． 故答案为：30． 9．（2022秋•浦东新区校级期中）如图，中，已知，是的中点，则　　． 解：如图：过点作，交于点，交于点， 四边形是平行四边形，， ， 设， ， ， ， ，是的中点， 是的中位线， ，， ， ， ， ， 设，， ，， ， ． 故答案为：． 10．（2023秋•江干区校级期中）如图，在矩形中，点在边上，与关于直线对称，点的对称点在边上，点在边上，连结分别与，交于，两点．设，若，则　　，　　．（结果用含的代数式表示） 解：由题意，设， 又， ． ． ， ， ， ， 又， ， ． 连接，， 由翻折可得，， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形， ，， ， 平分， ， ， ． ． ，，， ， ， 设， 则，， ， ， ． 即：， 解得或（舍去）． ． ． 故答案为：；． 三．解答题 11．（2022秋•门头沟区校级期中）如图，矩形中，为上一点，于点． （1）证明； （2）若，，，求的长． 解：（1）四边形是矩形， ，， ， ； （2），， 由勾股定理得， ； 即： 12．（2022秋•卧龙区期中）如图，，点为内一点，连接，，，已知． （1）求证：； （2）若，试求的值． （1）证明：， ， ， ， ， ， ； （2）解：，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 设， 则，， ， ， ． 13．（2023秋•百色期中）在矩形中，为边上一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点处． （1）求证：； （2）若，，求的长． （1）证明：四边形是矩形， ， ， 由翻折可得： ， ， ， ， ； （2）解：四边形是矩形，， ， 由翻折可得： ， 在中， ， ， ， ， ， ． 14．（2022秋•法库县期中）小红用下面的方法来测量学校教学大楼的高度：如图，在水平地面点处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离米．当她与镜子的距离米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端．已知她的眼睛距地面高度米，请你帮助小红测量出大楼的高度（注：入射角反射角）． 解：如图， 根据反射定律知：， ； 米，米， ； 大楼的高为12.8米． 15．（2024春•兰州期中）和是等腰直角三角形，，，． 【观察猜想】当和按如图1所示的位置摆放，连接、，延长交于点，猜想线段和有怎样的数量关系和位置关系． 【探究证明】如图2，将绕着点顺时针旋转一定角度，线段和线段的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由． 【拓展应用】如图3，在中，，，，将绕着点逆时针旋转至，连接，求的长． 解：【观察猜想】，， 证明：在和中， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ； 【探究证明】线段和线段的数量关系和位置关系仍然成立， 证明：， ， 即， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ； 【拓展应用】如图，在的左侧以为直角顶点作等腰直角，连接， ，，， ， ， ， ， 将绕着点逆时针旋转至， ，， 由【探究证明】知， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 图形的相似 （考点梳理+11个题型解读+真题拔高15题） 题型清单目录 【考点题型一】相似图形 3 【考点题型二】相似多边形的性质 4 【考点题型三】相似三角形的性质 5 【考点题型四】相似三角形的判定 6 【考点题型五】相似三角形的判定与性质 7 【考点题型六】相似三角形的应用 9 【考点题型七】几何变换的类型 10 【考点题型八】几何变换综合题 11 【考点题型九】作图-相似变换 14 【考点题型十】位似变换 16 【考点题型十一】作图-位似变换 18 期中真题拔高训练15题 20 知识点01：成比例线段 对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比， 如（或a∶b＝c∶d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。此时也称这四条线段成比例。 线段的比要注意以下几点： 线段的比是正数；单位要统一；线段的比与线段的长度无关 知识点02：图形的相似 (1) 形状相同的图形 ①表象：大小不等，形状相同. ②实质：各对应角相等、各对应边成比例. (2) 相似多边形 (3) 相似比：相似多边形对应边的比 知识点03：相似三角形的判定 ◑通过定义 ◑平行于三角形一边的直线 ◑三边成比例 ◑两边成比例且夹角相等 ◑两角分别相等 ◑两直角三角形的斜边和一条直角边成比例 知识点04：相似三角形的性质 ◑对应角相等、对应边成比例 ◑对应高、中线、角平分线的比等于相似比 ◑周长比等于相似比 ◑面积比等于相似比的平方 知识点05：相似三角形的应用 (1) 测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的) 测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决. (2) 测距(不能直接测量的两点间的距离) 测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解. 知识点06：位似 (1) 如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心. (这时的相似比也称为位似比) (2) 性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比；对应线段平行或者在一条直线上. (3) 位似性质的应用：能将一个图形放大或缩小. (4) 平面直角坐标系中的位似 当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为 k；当位似图形在原点两侧时，对应顶点的坐标的比为－k. 【考点题型一】相似图形 【精讲题】（2023秋•泗阳县期末）如图是杭州第19届亚运会的吉祥物“琮琮”，代表的是世界遗产良渚古城遗址，名字来源于文物玉琮．琮琮全身以黄色调为主，头部刻有“饕餮纹”，展示给人们一种不屈不挠、坚强刚毅的精神．文旅部门将选定的“琮琮”形象图通过放大或缩小放置于不同的宣传版面上，这体现了数学中的　　 A．图形的平移 B．图形的轴对称 C．图形的相似 D．图形的旋转 【变式1-1】（2024•连云港）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为　　 A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 【变式1-2】（2024•二道区校级模拟）一些木工师傅利用平行四边形的不稳定性制作了一种放缩尺，可将图形进行缩放．如图，已知四边形为平行四边形，，，以点为轴心，在处和处安装制图笔，当处制图笔所画图形的面积为3时，则处制图笔所画图形的面积是 　． 【考点题型二】相似多边形的性质 【精讲题】（2024•宁波模拟）如图，已知中，点，，，分别为，，，上的点，且，，分别与，相交于点，．若，则的面积一定可以表示为　　 A． B． C． D． =【变式2-1】（2023秋•邹平市校级月考）已知五边形五边形，，则下列说法中错误的是　　 A． B． C．五边形的周长是五边形周长的0.75倍 D． =【变式2-2】（2024•兴庆区模拟）如图，四边形是一张矩形纸片，将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为 　　． 【变式2-3】（2023秋•余江区期中）如图所示的正方形网格中，每个小正方形边长均为1，四边形的面积是．若四边形与四边形相似，则四边形的面积是 　　． 【考点题型三】相似三角形的性质 【精讲题】（2024•瑶海区一模）如果两个相似三角形的相似比是，那么它们的面积比是　　 A． B． C． D． 【变式3-1】（2024•开封二模）在平面直角坐标系中，等腰三角形的位置如图所示，其中点．第1次将等腰三角形绕着点顺时针旋转，且各边长扩大为原来的2倍得到等腰三角形；第2次将等腰三角形绕着点继续顺时针旋转，且各边长扩大为等腰三角形各边长的2倍得到等腰三角形；，以此类推，的坐标为　　 A． B． C． D． 【变式3-2】（2024•义乌市模拟）如图是一个由，，三种相似的直角三角形纸片（相似比相同）拼成的矩形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中，，的纸片的面积分别，，，若，则这个矩形的面积一定可以表示为　　 A． B． C． D． 【变式3-3】．（2023•沭阳县模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，过点作垂直于轴，交直线于点，连接、，点为直线上一动点，设其纵坐标为，过点的一条直线同时交的边于，交边于，若对于每个确定的值，恰好有两个与相似，则的取值范围是 　　 ． 【考点题型四】相似三角形的判定 【精讲题】（2024•静安区校级模拟）如图，已知与都是等边三角形，点在边上（不与点、重合），与相交于点，那么与相似的三角形是　　 A． B． C． D． 【变式4-1】（2023秋•陵水县期末）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是　　 A． B． C． D． 【变式4-2】（2023秋•郑州期末）如图，在中，点、分别在边、上，则在下列四个条件中：①；②；③；④，能满足的条件有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4-3】（2023秋•红旗区校级月考）如图，在中，，，动点，分别从点，开始沿图中所示方向及速度运动，如果，两动点同时运动，那么经过 　　秒，以，，为顶点的三角形与相似． 【考点题型五】相似三角形的判定与性质 【精讲题】（2024•东港区校级模拟）如图，正方形的边长为4，点、分别在边、上，且，平分，连接，分别交、于点，，是线段上的一个动点，过点作，垂足为，连接．有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的是　　 A．①② B．②③④ C．①③ D．①③④ 【变式5-1】（2024•榕城区一模）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．连接，若平分，且正方形的面积为3，则正方形的面积为　　 A． B． C． D．15 【变式5-2】（2024•弥勒市二模）如图，在△中，，且，，则为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-3】（2024•灞桥区校级开学）如图，在△中，是△的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为　　 A．4 B．8 C． D． 【考点题型六】相似三角形的应用 【精讲题】（2024•杭州三模）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是　　． A． B．6 C． D．8 【变式6-1】（2023秋•登封市校级期末）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点、的对应点分别是、．若物体的高为，小孔到地面距离为，则实像的高度为　　 A． B． C． D． 【变式6-2】（2024•长沙县一模）阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点，的对应点分别是，．若物体的高为，实像的高为，则小孔到的距离为　　 A． B． C． D． 【变式6-3】（2024•秦淮区模拟）利用初中物理所学习的“杠杆原理”可推得：一根质量均匀分布的长木以为支撑点，点在其左侧，其挂着的重物，到的距离为；点在其右侧，其挂着的重物，到的距离为，． 已知：秤盘质量10克，秤砣质量50克，最大可称重物1000克，零刻度线与末刻度线距离为50厘米．从零刻度线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻度线，试求“”刻度线到末刻度线的距离． 【考点题型七】几何变换的类型 【精讲题】（2024•兴庆区校级一模）大约在两千四百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中做了记载，如图，在实验中，物和像属于以下哪种变换　　 A．平移变换 B．对称变换 C．旋转变换 D．位似变换 【变式7-1】（2023秋•东西湖区期末）如图，四边形是正方形，，分别是和的延长线上的点，且，连接，，． （1）可以看作是经过平移、轴对称或旋转中的一种变换得到，请写出得到的变换过程； （2）已知，，直接写出四边形的面积为 　25　． 【变式7-2】（2023秋•宜都市校级月考）如图，在△中，已知，于点．小明同学灵活运用轴对称知识将图形进行翻折变换：分别以直线，为对称轴，画出△，△的轴对称图形，点的对称点分别为，，延长，相交于点．请按照小明的思路，探究并解答下列问题： （1）求证：四边形是正方形； （2）若，，试求出的长． 【考点题型八】几何变换综合题 【精讲题】（2024春•凤城市期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点的坐标为． （1）将向上平移6个单位得到△，画出△； （2）以为对称中心，画出关于该点对称的△； （3）经探究发现，△和△成中心对称，则对称中心坐标为 　　； （4）已知点为轴上不同于、的动点，当　　时，． 【变式8-1】（2024春•沙坪坝区期中）如图，中，，点为边上一点． （1）如图1，若于点，，．求的长； （2）如图2，已知，，延长至点，以线段和线段为边作，连结、，若于点．求证：； （3）如图3，已知，，将沿直线翻折，使点落点处．在线段上求一点，使得的值最小．直接写出的最小值．（参考公式： 【变式8-2】（2024•高青县一模）如图1，在中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点． （1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是 　　，位置关系是 　　； （2）探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由； （3）拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，直接写出面积的最大值． 【变式8-3】．（2024•西安校级开学）（1）如图1，E，F分别是正方形ABCD的BC边和CD边上的点，并且∠EAF＝45°，我们可通过如下方法探索EF与BE和DF之间的数量关系： 因为AD＝AB，∠D＝∠ABE＝90°，所以我们以点A为旋转中心，将△DAF绕点A顺时针旋转90°，使得点D与点B重合，则点F的对应点恰好落在CB的延长线上，记为点F′，由△ADF≌△ABF'且易证△AEF≌△AEF′，从而可知，EF，BE，DF的数量关系是　　； （2）如图2，在正方形ABCD中，E是BC边的三等分点，F为CD边上的点，且∠EAF＝45°，当AD＝3时，请求出DF的长． 【考点题型九】作图-相似变换 【精讲题】（2024春•工业园区校级月考）如图，大小为的正方形方格中，能作出与相似的格点三角形（顶点都在正方形的顶点上），其中最小的一个面积是 　　． 【变式9-1】（2024春•新宁县月考）如图，在平面直角坐标系中，已知，点，作，使与相似，以、点必须要格点上　　．（不写作法） 【变式9-2】（2023秋•西湖区校级月考）如图，△的顶点均为网格中的格点． （1）选择合适的格点（包括边界）为点和点，请画出一个△，使△△（相似比不为． （2）在图2中画一个△，使其与△相似，且面积为4． 【变式9-3】（2019秋•瑞安市期末）如图与中，，，，用一条过顶点的线段将分割成两个三角形，再用另一条过顶点的线段将也分割成两个三角形；所分割成的四个三角形恰好是两对相似三角形．（要求：1．用三种不同的方法；2．在图中标出相应的锐角度数． 【考点题型十】位似变换 【精讲题】（2024•嘉善县一模）如图，与是位似图形，点为位似中心，位似比为，若，则的长为　　 A．4 B．4.5 C．5 D．6 【变式10-1】（2024•两江新区自主招生）如图，在平面直角坐标系中， 与是以点为位似中心的位似图形，若点坐标为，点的坐标为，且，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 【变式10-2】（2019•本溪二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点，，，在轴上，延长交射线于点，以为边长作正方形；延长交射线于点，以为边长作正方形，分别连接，，，，得到△，△，△，按照此规律继续下去，若，则△的面积为 　　． 【变式10-3】（2017春•高青县期末）在图的方格纸中，△的顶点坐标分别为、、，△与△是关于点为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心的位置，并写出点及点的对应点的坐标； （2）以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出△的一个位似△，使它与△的相似比为．并写出点的对应点的坐标； （3）△内部一点的坐标为，写出在△中的对应点的坐标； （4）判断△能否看作是由△经过某种变换后得到的图形，若是，请指出是怎样变换得到的（直接写答案）． 【考点题型十一】作图-位似变换 【精讲题】（2023秋•凤阳县校级月考）在平面直角坐标系中，△的三个顶点坐标分别为，，． （1）用没有刻度的直尺作出△关于点的同向位似图形△，且位似比为； （2）画出△绕点顺时针旋转得到的△． 【变式11-1】（2024•武汉模拟）如图是由小正方形组成的网格，四边形ABCD的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在所给定的网格中按要求完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． （1）在图1中，先以点A为位似中心，将四边形ABCD缩小为原来的，画出缩小后的四边形AB1C1D1，再在AB上画点E，使得DE平分四边形ABCD的周长； （2）在图2中，先在AB上画点F，使得CF＝BC，再分别在AD，AB上画点M，N，使得四边形BCMN是平行四边形． 【变式11-2】（2024春•牟平区期末）在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为、、，△与是关于点为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心的位置，并写出点及点的对应点的坐标； （2）以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似△，使它与的位似比为，并写出点的对应点的坐标； （3）的内部一点的坐标为，写出在△中的对应点的坐标． 【变式11-3】（2023秋•贵池区期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的就是格点三角形．在建立平面直角坐标系后，点的坐标为． （1）把向左平移8格后得到△，画出△的图形并写出点的坐标； （2）在如图的方格纸中把以点为位似中心放大，使放大前后的位似比为，画出△． 期中真题拔高训练15题 一．选择题 1．（2021秋•秦都区校级期中）如图，点是菱形的边上一点，连接并延长，交的延长线于点．已知，，则的长为　　 A．6 B．12 C．9 D．4.5 2．（2022秋•泉州期中）如图，为了测量一池塘的宽，在岸边找到一点，测得，在的延长线上找一点，测得，过点作交的延长线于，测出，则池塘的宽为　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•桥西区校级期中）如图所示，中，，分别交边，于，两点，若，则与的面积比为　　 A． B． C． D． 4．（2021秋•射洪市期中）如图，在中，点、分别在边、上，则在下列四个条件中：①；②；③；④，能满足的条件有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2024春•阳谷县期中）如图，在正方形中，为上一点，过点作，交于，交对角线于，取的中点，连结，，．下列结论：①；②△△；③；④若，则．其中结论正确的是　　 A．①②③④ B．①②③ C．①④ D．②③④ 二．填空题 6．（2023秋•碑林区校级期中）如图，，，以为斜边在的右侧作，其中，当长度最大时，点到的距离是 　　． 7．（2022秋•海州区校级期中）如图，已知，三条对应边，，在同一条直线上，连接，分别交，，于点，，，其中，则图中三个阴影部分的面积和为 　　． 8．（2023秋•七星区校级期中）如图，有一块三角形余料，它的边，高，现在要把它加工成长与宽的比为的矩形零件，要求一条长边在上，其余两个顶点分别在，上，则矩形的周长为 　　． 9．（2022秋•浦东新区校级期中）如图，中，已知，是的中点，则　　． 10．（2023秋•江干区校级期中）如图，在矩形中，点在边上，与关于直线对称，点的对称点在边上，点在边上，连结分别与，交于，两点．设，若，则　　，　　．（结果用含的代数式表示） 三．解答题 11．（2022秋•门头沟区校级期中）如图，矩形中，为上一点，于点． （1）证明； （2）若，，，求的长． 12．（2022秋•卧龙区期中）如图，，点为内一点，连接，，，已知． （1）求证：； （2）若，试求的值． 13．（2023秋•百色期中）在矩形中，为边上一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点处． （1）求证：； （2）若，，求的长． 14．（2022秋•法库县期中）小红用下面的方法来测量学校教学大楼的高度：如图，在水平地面点处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离米．当她与镜子的距离米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端．已知她的眼睛距地面高度米，请你帮助小红测量出大楼的高度（注：入射角反射角）． 15．（2024春•兰州期中）和是等腰直角三角形，，，． 【观察猜想】当和按如图1所示的位置摆放，连接、，延长交于点，猜想线段和有怎样的数量关系和位置关系． 【探究证明】如图2，将绕着点顺时针旋转一定角度，线段和线段的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由． 【拓展应用】如图3，在中，，，，将绕着点逆时针旋转至，连接，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$