期中考前满分冲刺之中等易错题-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

期中考前满分冲刺之中等易错题思维导图 【类型覆盖】 类型一、圆周角定理 1．如图，在中，，若，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，是的直径，是弦的弦心距，，为，则为（   ） A． B． C． D． 3．如图，A、B、C在上，若，则 ． 4．如图，是的外接圆，，，垂足为，，，则 5．如图，已知是的直径，弦于E． (1)若，求的长： (2)若，求的度数． 6．如图，四边形是的内接四边形，已知，垂足为E，弦的弦心距为． （1）若，则的度数为 ； （2）若⊙O的半径为5，，则的长为 ． 类型二、正多边形与圆 1．如图，正五边形内接于，与相切于点C，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．如图，正六边形的边，与相切于点C，F，连接，，则的度数是（    ） A．120° B．144° C．150° D．160° 3．如图，A，B，C，D为一个外角为40°的正多边形的顶点．若O为正多边形的中心，则 ． 4．如图，正六边形内接于，连接，则 ． 5．如图，正六边形为的内接正六边形，过点D作的切线，交的延长线于点P，连接的半径为6． (1)求的度数； (2)求线段的长； (3)若点M为上一点（不与点F，D重合），连接，直接写出与的面积之和． 6．如图1，五边形是的内接五边形，，对角线于点． (1)①若，则_______； ②猜想和的数量关系，并证明； (2)如图2，当经过圆心时，若，，求； (3)作于点，求的值． 类型三、内切圆 1．已知的三边长为3cm，4cm，5cm，则的内切圆半径和外接圆半径分别为（   ）cm A．1，2 B．1， C．2， D．2，2 2．如图，中，，，内心为I，连接并延长交的外接圆于D，若，则  （    ） A． B．1 C． D． 3．一个直角三角形两条直角边的长分别为，，则这个直角三角形的内心与外心之间的距离是 ． 4．如图，我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若小正方形和大正方形的面积分别为49和289，则图中直角三角形内切圆的半径为 ． 5．作出△ABC的外接圆和内切圆，不写作图过程，保留作图痕迹． 6．已知中，．根据作图过程，解决下列问题． 【作图过程】：以点A为圆心，任意长为半径画弧交AB、AC于H、L点，分别以点H、L为圆心、大于的长为半径画弧交于点K，作射线AK；以点B为圆心，任意长为半径画弧交BC、BA于E、F点，分别以E、F为圆心、大于的长为半径画弧交于点G，作射线BG交射线AK于点O，过点O作于点M，点M为垂足，以点O为圆心，OM为半径作． 【解决问题】： (1)证明：是的内切圆； (2)若，，求的半径． 类型四、弧长或圆锥侧面积 1．如图，在中，，把绕点A顺时针旋转后，得到，则点B走过的路径长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，正五边形的边长为5，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则圆与正五边形重叠部分（图中阴影部分）的面积为（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知圆锥底面半径为，其侧面展开图面积是，则该圆锥的母线长为 ． 4．圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为 ． 5．如图，为的外接圆，为的直径，点D为的中点，连接． (1)求证：． (2)设交于点E，若，，．求阴影部分面积． 6．如图，用一个圆心角为的扇形围成一个无底的圆锥． (1)若圆锥的母线长为，求圆锥的侧面积． (2)若圆锥底面圆的半径为，求扇形的半径． 类型五、相似的判定 1．如图，点P在的边上，要判断，添加一个条件，下列不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，下列条件中不能判定的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，点为边上的一点，选择下列条件：①；②；③；④中的一个，能得出和相似的是： （填序号）． 4．如图，点D是边上一点，，连接．若添加一个条件使得与相似，你添加的条件是 ．（只填写一个你认为正确的答案） 5．如图，四边形中，，且，E、F分别是、的中点，与相交于点M．求证：； 6．如图，，连接、，且点、、在同一条直线上，求证：． 类型六、平行线分线段成比例 1．如图， 在中，D、E分别为边上的点，点F为边上一点，连接交于点G．则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，D、E分别为边上的点，，点F为边上一点，连接交于点G，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，平分，过点A作交于点H，且H是的中点．若，则的长为 ． 4．如图，在中，，，，点为的中点，于点． （1）的长为 ； （2）的值为 ． 5．如图，是等腰三角形，，点是底边上一点，交于点交于点，点是上一点，使，连结与的延长线交于点． (1)求证：． (2)若，点恰好是的中点，求的长． 6．如图，已知正方形，点是边上的一个动点（不与点、重合），点在上，满足，延长交于点． (1)求证：； (2)连接，当时，求的值． 类型七、圆的内接四边形 1．如图，是四边形的外接圆，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，四边形为的内接四边形，，则 的大小是（   ）    A． B． C． D． 3．如图，是半圆O的直径、C、D在半圆O上．若，则的度数为 ． 4．如图，圆内接四边形两组对边的延长线分别交于点E，F，且，，则 ． 5．如图，等边内接于，P是上任一点（点P不与点A、B重合），连接与交于点D，过点C作交的延长线于点M． (1)求证：； (2)若．求的半径． 6．如图①，四边形内接于，的半径为3，，，连接． (1)的大小为__________度； (2)如图②，延长至点E，使，连接．求证：； (3)直接写出的最大值． 类型八、一元二次方程的应用二 1．社区利用一块矩形空地修建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为的道路．已知铺花砖的面积为． (1)求道路的宽是多少？ (2)该停车场共有车位30个，据调查分析，当每个车位的月租金为400元时，可全部租出．若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．求当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10920元． 2．龙岩市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 3．商场销售某种拖把，已知这种拖把的进价为80元/套，售价为120元/套，商场每天可销售20套、国庆假期临近，该商场决定采取适当的降价措施，经调查：这种拖把的售价每降价1元，平均每天可多售出2套，设这种拖把每套降价x元． (1)降价后每套拖把盈利______元，平均每天可销售______套（用含x的代数式表示）； (2)为扩大销售量，尽快减少库存，当每套拖把降价多少元时，该商场销售这种拖把平均每天能盈利1242元？ (3)该商场销售这种拖把平均每天的盈利能否达到1400元？若能，求出x的值；若不能，请说明理由． 4．“靠山吃山，靠水吃水”，金丝峡景区的人民依靠制作手工艺品也走出了一条致富路，其经营模式一般为生产组的产品由商店代理销售．已知某商店代理销售“竹编篮”平均每天可销售套，每套盈利元，在每套降价幅度不超过6元的情况下，每下降1元，则每天可多售4套，如果每天要盈利元，每套应降价多少元？ 5．如图，在矩形中，，，点P从点A沿边向点B以的速度移动；同时，点Q从点B沿边向点C以的速度移动．有一点到终点运动即停止．问： (1)几秒后的面积等于； (2)几秒后． 6．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果 P、Q分别从A、B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t秒． (1)当t为何值时，的面积等于？ (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)若点P、Q的速度保持不变，点P在到达点B后返回点A，点Q在到达点C后返回点B，一个点停止，另一个点也随之停止．问：当t为何值时，的面积等于？ 类型九、配方法的应用 1．配方法是一种重要的解决问题的方法，可以求代数式的最大或最小值 (1)求代数式的最小值时，可以配方为，可知当_____时，有最小值，最小值是_____． (2)代数式的最大值是_____． (3)已知，则的值为_____． 2．阅读材料：把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛应用． 例如：①我们可以将代数式进行变形，其过程如下 ， ， ． 因此，该式有最小值1． ②已知：将其变形，，，可得． (1)按照上述方法，将代数式变形为的形式； (2)若，用配方法求的最小值； (3)已知、、是的三边，且满足，试判断此三角形的形状并说明理由． 3．阅读材料． 对式子可以变化如下： 原式此种变化抓住了完全平方公式的特点，先加一项，使这三项成为完全平方式，再减去加的项，我们把这种变化叫配方． 请仔细体会配方的特点，然后尝试用配方解决下列问题： (1)请用配方法求出的最小值 (2)请用配方法求出代数式的最小值 (3)试说明：、取任何实数时，代数式的值总大于8． 4．“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如： ， ∵， ∴， ∴， 试利用“配方法”解决下列问题： (1)如果，那么的值为 ． (2)已知，求的值； 5．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 解决问题：（1）若可配方成（为常数），求，的值； 探究问题：（2）已知，求的值； （3）已知（都是整数，是常数），要使的最小值为，试求出的值． 6．学习的本质是提高自学能力．周末，小睿同学在复习配方法后，他对代数式进行了配方，发现，小睿发现是一个非负数，即，他继续探索，利用不等式的基本性质得到，即，所以，他得出结论是的最小值是2，即的最小值是2．小睿同学又进行了尝试，发现求一个二次三项式的最值可以用配方法，他自己设计了两个题，请你解答． 解决问题： （1）求代数式的最小值． （2）求代数式的最值． 探究问题： 关于x的一元二次方程与 称为“同族二次方程”． 例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，根据你的观察，探究下面的问题：代数式的最值是多少？ 类型十、换元法的应用 1．阅读下列材料： 解方程：．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为①， 解这个方程得：，． 当时，，； 当时，，， 所以原方程有四个根：，，，． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． (1)解方程时，若设，则原方程可转化为______； (2)若，求______； (3)参照上面解题的思想方法解方程：． 2．阅读下面材料，解答问题： 为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为，解得，，当时，，∴，∴，当时，，∴，∴，故原方程的解为，，，． 上述解题方法叫做换元法． 请利用换元法解方程：． 3．阅读材料： 为了解方程，我们可以将看作一个整体，设，那么原方程可化为①，解得，． 当时，，，； 当时，，，． 故原方程的解为，，，． 解答问题： 请利用以上知识解方程：； 4．阅读下列材料：为解方程，可将方程变形为， 然后设，则，原方程化为，解得，， 当时，无意义，舍去； 当时，，解得； 所以原方程的解为，； 利用以上学习到的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 5．阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为，整理得所以，， 所以，因为，所以． 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知实数x、y，满足，求的值； (2)已知的三边为a、b、c(c为斜边)，其中a、b满足，求斜边的长度． 6．阅读下面的材料，解答后面的问题． 材料：解方程． 解：设，原方程变为，解得或． 当时，即，解得；当时，即，解得． 综上所述，原方程的解为，，，． 问题： (1)上述解答过程采用的数学思想方法是__________． A．加减消元法    B．代入消元法    C．换元法    D．待定系数法 (2)采用类似的方法解方程：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中考前满分冲刺之中等易错题思维导图 【类型覆盖】 类型一、圆周角定理 1．如图，在中，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理等，连接，根据圆周角定理求出，根据可求得的度数．掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：如图，连接． ， ， ， ． 故选：． 2．如图，是的直径，是弦的弦心距，，为，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的基本定义，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，直角三角形的性质是解题的关键．先利用为，得出，再利用直角三角形的性质求出，即可求解． 【详解】解：∵为， ∴， ∴， ∵是弦的弦心距， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．如图，A、B、C在上，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 4．如图，是的外接圆，，，垂足为，，，则 【答案】/ 【分析】连接，，，作于，于，，四边形是矩形，证明，是等腰直角三角形，由勾股定理得，，最后由线段和差即可求解． 【详解】如图，连接，，，作于，于， 则，四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 5．如图，已知是的直径，弦于E． (1)若，求的长： (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理以及圆周角定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出答案即可； （2）根据圆周角定理求得，再根据两锐角互余的性质得到答案． 【详解】（1）解：弦，， ， 在中，， ； （2）解：， ， ， ． 6．如图，四边形是的内接四边形，已知，垂足为E，弦的弦心距为． （1）若，则的度数为 ； （2）若⊙O的半径为5，，则的长为 ． 【答案】 6 【分析】（1）连接，证明和都是等腰直角三角形即可； （2）延长交于点，连接，则是的中位线，可以求出，然后根据垂直证明，根据圆周角相等则所对的弦相等得到． 【详解】解：（1）如图，连接， 是弦的弦心距， ， 和都是等腰直角三角形， ∵， ， 故答案为：； （2）如图，延长交于点，连接， 由，得是的中位线， ， 在中，， 由勾股定理得 ， ， ∵是的直径， ∴， ， ∵ ∴， ， 故答案为：6． 【点睛】本题考查垂径定理及其推论，圆周角定理，圆心角与弧、弦的关系，三角形的中位线定理，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 类型二、正多边形与圆 1．如图，正五边形内接于，与相切于点C，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，，首先根据正多边形的性质得到，然后证明出，得到，然后切线的性质得到，进而求解即可． 【详解】如图所示，连接，， ∵四边形是正五边形 ∴ ∵，， ∴ ∴ ∵与相切于点C， ∴ ∴ ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查了正多边形和圆，全等三角形的性质和判定，圆切线的性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线． 2．如图，正六边形的边，与相切于点C，F，连接，，则的度数是（    ） A．120° B．144° C．150° D．160° 【答案】A 【分析】本题考查正多边形和圆，切线的性质，掌握正六边形的性质，切线的性质以及多边形内角和的计算方法是正确解答的关键．根据正六边形的性质可求出各个内角的度数，由切线的性质以及五边形内角和的计算方法即可求出答案． 【详解】解：∵正六边形的边，与相切于点C，F， ∴， ∵六边形是正六边形， ∴， 在五边形中， ， 故选：A． 3．如图，A，B，C，D为一个外角为40°的正多边形的顶点．若O为正多边形的中心，则 ． 【答案】30°/30度 【分析】本题考查了正多边形的外角，正多边形的中心角，等边对等角等知识，利用任意凸多边形的外角和均为，正多边形的每个外角相等即可求出多边形的边数，再根据正多边形的中心角的概念求出的度数，再由正多边形的半径，根据等腰三角形的性质求解即可. 【详解】连接，，如图．正多边形的每个外角相等，且其和为，据此，可得正多边形的边数 ， ， ∴ 故答案为：． 4．如图，正六边形内接于，连接，则 ． 【答案】/度 【分析】此题考查了正多边形和圆，根据内角和定理求出，再根据正六边形的轴对称性可知平分，即可求出答案． 【详解】解：由正六边形可得， ∵正六边形是轴对称性图形， ∴平分，即． 故答案为： 5．如图，正六边形为的内接正六边形，过点D作的切线，交的延长线于点P，连接的半径为6． (1)求的度数； (2)求线段的长； (3)若点M为上一点（不与点F，D重合），连接，直接写出与的面积之和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了圆内接正六边形，圆周角定理，切线性质，求三角形面积等知识点，熟练应用基本性质和定理是解题的关键． （1）连接，根据圆内接正六边形性质求出，进而由圆周角定理得出度数； （2）由切线性质得，在中，利用三角函数即可求解； （3）分别表达，再求和即可． 【详解】（1）解：如图1，连接， 正六边形为的内接正六边形， 是的直径，， ， ； （2）与相切，是的直径， ， 正六边形为的内接正六边形， ， 在中，， ； （3）正六边形为的内接正六边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 6．如图1，五边形是的内接五边形，，对角线于点． (1)①若，则_______； ②猜想和的数量关系，并证明； (2)如图2，当经过圆心时，若，，求； (3)作于点，求的值． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】（1）①连接，由题意可得，根据圆周角定理可得，以此即可求解； ②连接，根据三角形内角和定理可得，由圆周角定理可得，再根据三角形内角和定理得，将代入化简即可； （2）如图，连接、，连接交于点，根据勾股定理求得，设，则，在中，利用勾股定理建立方程解得，于是，，，易得垂直平分，设，则，利用双勾股定理建立方程求得，进而求出，，在中，利用勾股定理即可求解； （3）连接、、、，过点作于点，由圆周角定理可得，易得，由平行线的性质得，由等边对等角得，进而可得，根据等角减等角相等可得，于是可通过证明，得到，根据等腰三角形三线合一性质得，以此即可求解． 【详解】（1）①解：如图，连接， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； ②， 证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 即； （2）解：如图，连接、，连接交于点， 在中，， 设，则， 在中，， ， 解得：， ，，， ，， 垂直平分， ，， 设，则， 在中，， 在中，， 解得：， ， ， 为的直径， ， 在中，； （3）解：如图，连接、、、，过点作于点， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查正多边形与圆综合，圆周角定理、三角形内角和定理、勾股定理、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题关键． 类型三、内切圆 1．已知的三边长为3cm，4cm，5cm，则的内切圆半径和外接圆半径分别为（   ）cm A．1，2 B．1， C．2， D．2，2 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内切圆和外接圆等知识点，三角形的内切圆圆心到三条边的距离相等，三角形的外接圆圆心到三个顶点的距离相等，熟记相关结论即可求解.由题意得是直角三角形，设的内切圆半径和外接圆半径分别为，则，直角三角形外接圆圆心为斜边的中点，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形， 设的内切圆半径和外接圆半径分别为， 则， 解得：； ∵直角三角形外接圆圆心为斜边的中点， ∴ 故选：B 2．如图，中，，，内心为I，连接并延长交的外接圆于D，若，则  （    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】设的外接圆的圆心为O，连接，，，，根据圆周角定理证得是等边三角形，再根据垂径定理可得，，再根据三角形内心证得，进而解决问题． 【详解】解：如图，设的外接圆的圆心为O，连接，，，， 在中，，，内心为I， ∴平分， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∵I是的内心， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形内切圆与内心、三角形外接圆与外心、垂径定理、圆周角定理、等边三角形的性质与判定、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质，证得是等边三角形是解题的关键． 3．一个直角三角形两条直角边的长分别为，，则这个直角三角形的内心与外心之间的距离是 ． 【答案】 【分析】此题考查了直角三角形的外心与内心概念，及内切圆的性质．利用在，可求得，根据内切圆的性质可判定四边形是正方形，所以用r分别表示：，，；再利用作为相等关系求出，则可得，N为圆与的切点，M为的中点，根据直角三角形中外接圆的圆心是斜边的中点，即M为外接圆的圆心；在中，先求得，由勾股定理可求得． 【详解】解：如图，在，，，， ∴， 设的内切圆的半径为r，则， ∵， ∴，，， ∴， 解得， ∴， 在中，， ∴． 4．如图，我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若小正方形和大正方形的面积分别为49和289，则图中直角三角形内切圆的半径为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了三角形的内切圆的性质，正方形的性质及勾股定理的应用，同时也利用了完全平方公式和一元二次方程，综合性强，能力要求高．解决本题的关键是掌握三角形的内切圆的性质． 设内切圆的圆心为O，连接、，则四边形为正方形，设直角三角形内切圆的半径为r，然后利用内切圆和直角三角形的性质得到，根据已知条件得，，接着利用完全平方公式进行代数变形，最后解关于r的一元二次方程即可． 【详解】解：如图，设内切圆的圆心为O，连接、， ， 则四边形为正方形， 设直角三角形内切圆的半径为r， ， ， ， ， ， 而， ①， 小正方形和大正方形的面积分别为49和289， ，， ②，负值舍去， 把代入①得，③， 把③代入②中，得： ， ， 负值舍去， 直角三角形内切圆的半径为3， 故答案为： 5．作出△ABC的外接圆和内切圆，不写作图过程，保留作图痕迹． 【答案】作图见解析 【分析】作∠BAC和∠ACB的平分线交于点I，再过点I作IE⊥AB于点E，然后以I为圆心，IE长为半径作圆I即为所求；作AC和BC的垂直平分线交于点O，连接OB，再以O为圆心，OB长为半径作圆O即为所求． 【详解】解∶如图，⊙O，⊙I即为所求． 【点睛】本题考查作图——复杂作图，三角形的外接圆，内切圆等知识，解题的关键是掌握五种基本作图，属于中考常考题型． 6．已知中，．根据作图过程，解决下列问题． 【作图过程】：以点A为圆心，任意长为半径画弧交AB、AC于H、L点，分别以点H、L为圆心、大于的长为半径画弧交于点K，作射线AK；以点B为圆心，任意长为半径画弧交BC、BA于E、F点，分别以E、F为圆心、大于的长为半径画弧交于点G，作射线BG交射线AK于点O，过点O作于点M，点M为垂足，以点O为圆心，OM为半径作． 【解决问题】： (1)证明：是的内切圆； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见详解 (2)2 【分析】（1）过O点作OD⊥AB于D点，过O点作OP⊥AC于点P，根据角平分线的性质有OP=OD=OM，即O点到Rt△ABC三边的距离相等，则有O点是Rt△ABC的内心，可知⊙O是Rt△ABC的内切圆； （2）设⊙O的半径为r，即OP=OM=r，先证明四边形OPCM是正方形，即有CM=OM=OP=PC=r，利用勾股定理求出AB=10，再证明Rt△OMB≌Rt△ODB(HL)，即有BM=BD，同理可得AP=AD，则有AB=AD+BD=AP+BM，则r可求． 【详解】（1）过O点作OD⊥AB于D点，过O点作OP⊥AC于点P，如图， 根据作图可知OA、OB分别是∠CAB、∠ABC的角平分线， ∵OP⊥AC，OD⊥AB，OM⊥BC，∠C=90°， ∴OP=OD，OD=OM， ∴OP=OD=OM， ∴O点到Rt△ABC三边的距离相等， ∴O点是Rt△ABC的内心， ∴⊙O是Rt△ABC的内切圆； （2）设⊙O的半径为r，即OP=OM=r， ∵OP⊥AC，∠C=90°，OM⊥BC，OP=OM， ∴四边形OPCM是正方形， ∴CM=OM=OP=PC=r， ∵BC=6，AC=8， ∴在Rt△ABC中，AB=10， ∵OM=OD，OB=OB， ∴Rt△OMB≌Rt△ODB(HL)， ∴BM=BD， 同理可得AP=AD， ∵BM=BC-CM=6-r，AP=AC-PC=8-r，AB=AD+BD， ∴AB=AD+BD=AP+BM=8-r+6-r=14-2r=10， ∴r=2， 即⊙O的半径为2． 【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图与性质、三角形内切圆的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，掌握角平分线的性质是解答本题的关键． 类型四、弧长或圆锥侧面积 1．如图，在中，，把绕点A顺时针旋转后，得到，则点B走过的路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，求弧长，旋转的性质，先利用勾股定理得到，再由由旋转的性质可得，据此利用弧长公式求解即可． 【详解】解：在中，由勾股定理得， 由旋转的性质可得， ∴点B走过的路径长为， 故选：D． 2．如图，正五边形的边长为5，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则圆与正五边形重叠部分（图中阴影部分）的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算．根据正五边形的内角和定理求出正五边形的一个内角的度数，再根据扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：五边形是正五边形， ， ， 故选：B． 3．如图，已知圆锥底面半径为，其侧面展开图面积是，则该圆锥的母线长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了圆锥的计算，首先求得圆锥的底面周长，然后根据“圆锥的侧面积=底面周长×母线长”即可到关于母线长的方程，解方程求得母线长． 【详解】圆锥的底面周长是：， 设圆锥的母线长是，则， 解得：； 故答案为：12． 4．圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为 ． 【答案】/平方厘米 【分析】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．圆锥的侧面积=底面周长×母线长，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：圆锥的侧面积． 故答案为：． 5．如图，为的外接圆，为的直径，点D为的中点，连接． (1)求证：． (2)设交于点E，若，，．求阴影部分面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据圆周角定理可得，再根据垂径定理的推论可得垂直平分，然后根据平行线的判定即可得证； （2）设的半径为，从而可得，再根据垂径定理的推论可得，然后在中，利用勾股定理可得的值，求出的度数，最后利用扇形和三角形的面积公式即可得． 【详解】（1）证明：∵为的直径， ∴，即， ∵点D为的中点， ∴， ∴； （2）解：设的半径为，则， ， ， ∵点D为的中点， ∴， ， 在中，，即， 解得， ， 又， ， ， ∴阴影部分面积为． 【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理的推论、扇形的面积公式、勾股定理等知识点，熟练掌握并灵活运用各定理和公式是解题关键． 6．如图，用一个圆心角为的扇形围成一个无底的圆锥． (1)若圆锥的母线长为，求圆锥的侧面积． (2)若圆锥底面圆的半径为，求扇形的半径． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据扇形面积公式计算； （2）根据弧长公式计算． 本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图、扇形面积公式、弧长公式是解题的关键． 【详解】（1）解：圆锥的母线长为， 扇形的半径为， 扇形面积为：， 圆锥的侧面积为； （2）解：设扇形的半径为， 圆锥底面圆的半径为， 圆锥底面圆的周长为， 扇形弧长为， 则， 解得：， ∴扇形的半径为． 类型五、相似的判定 1．如图，点P在的边上，要判断，添加一个条件，下列不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可． 【详解】解：A、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； B、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； C、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； D、当时，无法得到，故此选项符合题意． 故选：D． 2．如图，下列条件中不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，熟记定理的内容是解题关键．根据相似三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A．∵，， ∴根据两角分别对应相等的两个三角形相似，可得； 故A不符合题意； B．∵，， ∴根据两角分别对应相等的两个三角形相似，可得； 故B不符合题意； C．若， ∵的对应边为，的对应边为， ∴不能推出； 故C符合题意； D．∵， ∴， ∵， ∴根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得； 故D不符合题意； 故选：C． 3．如图，在中，点为边上的一点，选择下列条件：①；②；③；④中的一个，能得出和相似的是： （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】根据相似三角形的判定定理可得结论． 【详解】解：①，时，，故①符合题意； ②，时，，故②符合题意； ③，时， ，故③符合题意； ④，时，不能推出，故④不符合题意， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握两组对应边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；有两角对应相等的两个三角形相似． 4．如图，点D是边上一点，，连接．若添加一个条件使得与相似，你添加的条件是 ．（只填写一个你认为正确的答案） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据三角形相似的判定定理，选择适当的条件即可． 本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， 故可以添加如下条件：， 故答案为：． 5．如图，四边形中，，且，E、F分别是、的中点，与相交于点M．求证：； 【答案】见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定，平行四边形的判定与性质，首先证明四边形为平行四边形，从而得到，于是得到，又因为，从而可证明． 【详解】证明：∵，是的中点， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴． 6．如图，，连接、，且点、、在同一条直线上，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质、相似三角形的判定，根据“全等三角形的对应边相等、对应角相等”，得出，，，推出，，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，即可证明，熟练掌握全等三角形的性质、相似三角形的判定是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴，，， ∴，，即， ∴． 类型六、平行线分线段成比例 1．如图， 在中，D、E分别为边上的点，点F为边上一点，连接交于点G．则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求出答案．本题考查相似三角形的判定与性质，平行分线段成比例，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质，本题属于中等题型． 【详解】解：A、， ，故A错误； B、， ，故B错误； C、， ，故C错误； D、， ，故D正确； 故选：D 2．如图，在中，D、E分别为边上的点，，点F为边上一点，连接交于点G，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例定理进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，选项错误，不符合题意； B、∵， ∴，选项错误，不符合题意； C、∵， ∴，选项正确，符合题意； D、∵， ∴，选项错误，不符合题意； 故选：C． 3．如图，在中，平分，过点A作交于点H，且H是的中点．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形的中位线，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，作交于点K，由平行线分线段成比例定理可证，根据勾股定理求出的长，进而可求出的长． 【详解】解：作交于点K， ∴，． ∵H是的中点， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 4．如图，在中，，，，点为的中点，于点． （1）的长为 ； （2）的值为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定与性质． （1）根据线段的中点定义可得，在中，利用勾股定理可得，然后利用面积法进行计算即可解答； （2）过点作，交的延长线于点，根据垂直定义可得，从而可得，再在中，利用勾股定理求出的长，从而求出的长，然后根据证明，从而利用全等三角形的性质可得，最后利用平行线分线段成比例定理进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）点为的中点，， ， ，， ， ， 的面积， ， ， 解得：， 故答案为：； （2）过点作，交的延长线于点， ，， ， ∴， 在中，，， ， ， ， ，， ， ， ∵， ， 故答案为：． 5．如图，是等腰三角形，，点是底边上一点，交于点交于点，点是上一点，使，连结与的延长线交于点． (1)求证：． (2)若，点恰好是的中点，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据题意得，结合等腰三角形的性质和平行线的性质得和，即可判定，则有； （2）取中点O，连接可得，连接，建立直角坐标系，由已知得四边形为平行四边形，则有和，且点为中点，点G在上，设，，，则可求得直线的解析式为，直线的解析式为，可得点和点，结合点在直线上，求得，则，根据平行线分线段成比例定理和，解得，利用线段和差关系即可求得． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵是等腰三角形，， ∴， ∴， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵，取中点O，连接， ∴ 连接，建立以为x轴，为y轴的直角坐标系，如图， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵点恰好是的中点， ∴点在上，且为中点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， ∵， ∴点G在上， 设，，，则点，，， 设直线的解析式为将点G和点C代入得， 同理可求得直线的解析式为， 设直线的解析式为， ∵直线过点G，则 ∴直线的解析式为， ∴点， ∵点为中点， ∴， ∵点在直线上， ∴，化简得， ∴， ∵， ∴， 则， 又∵， ∴， ∴，解得， 则． 【点睛】本题主要考查平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、待定系数法求解析式以及平行线分线段成比例定理，解题的关键是建立直角坐标系并找到对应线段成比例． 6．如图，已知正方形，点是边上的一个动点（不与点、重合），点在上，满足，延长交于点． (1)求证：； (2)连接，当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查的是正方形的性质、等腰三角形性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理，牢记性质是解题关键， （1）根据正方形性质得出，再根据即可求出结论； （2）作于点，作于点，证明，进而证出，利用求出即可求出结论． 【详解】（1）证明：四边形是正方形，， ，， ， ，， ， ， ， ． （2）解：如图1，作于点，则， ， ， ， ， ， ， 作于点，则， ， ， ， ， ， ， 的值是2． 类型七、圆的内接四边形 1．如图，是四边形的外接圆，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据圆内接四边形的对角互补即可得到结论． 【详解】解：∵四边形内接于，， ， 故选：B 2．如图，四边形为的内接四边形，，则 的大小是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，由根据圆内接四边形的性质得，求出，然后由圆周角定理即可求解，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补． 【详解】∵四边形为的内接四边形， ∴， ∴， ∴， 故选：． 3．如图，是半圆O的直径、C、D在半圆O上．若，则的度数为 ． 【答案】/118 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据直径所对的圆周角是直角，可得，从而求出，再根据圆内接四边形对角互补，即可解答． 【详解】解：是半圆的直径， ， ， ， 四边形是的内接四边形， ． 故答案为：． 4．如图，圆内接四边形两组对边的延长线分别交于点E，F，且，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的性质得到，根据三角形的外角的性质计算即可 【详解】解：∵四边形是圆内接四边形， ∴ ∵， ∴即， 解得， 故答案为： 5．如图，等边内接于，P是上任一点（点P不与点A、B重合），连接与交于点D，过点C作交的延长线于点M． (1)求证：； (2)若．求的半径． 【答案】(1)证明见解答过程 (2)的半径为 【分析】（1）证明，即可证明； （2）过点作，交的延长线于点，过点作于点，连接，求得，得到，根据勾股定理得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是的内接四边形， ， ， ， ， 又∵是等边三角形， ∴； 而， ， 在与中， ， ； （2）解：过点作，交的延长线于点，过点作于点，连接， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ∵为等边三角形， ∴经过圆心， ， ， 在中，设，则， ， 解得：． 即的半径为． 【点睛】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定和性质、三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等知识点，正确地作出辅助线是解题的关键． 6．如图①，四边形内接于，的半径为3，，，连接． (1)的大小为__________度； (2)如图②，延长至点E，使，连接．求证：； (3)直接写出的最大值． 【答案】(1)30 (2)见解析 (3) 【分析】题目主要考查圆周角定理、圆内接四边形的性质及含30度角的直角三角形的性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意得出，即可求解； （2）根据圆内接四边形的性质得出，再由全等三角形的判定和性质即可证明； （3）过点A作于点F，得出，，根据含30度角的直角三角形的性质确定，，得出，确定当为直径时，取得最大值，原式取得最大值即可． 【详解】（1）解：∵， ， 故答案为：30； （2）证明：∵四边形内接于， ∴， ∵ ； （3）如图，过点A作于点F， ， ， ， ， ∵在直角三角形中， ， ， 即， ， ， 此时， 当为直径时，取得最大值，即， ∴的最大值为． 类型八、一元二次方程的应用二 1．社区利用一块矩形空地修建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为的道路．已知铺花砖的面积为． (1)求道路的宽是多少？ (2)该停车场共有车位30个，据调查分析，当每个车位的月租金为400元时，可全部租出．若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．求当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10920元． 【答案】(1)6m (2)20元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键． （1）由题意知，道路的宽为米，根据矩形的面积公式列出方程并解答即可； （2）设车位的月租金上涨元，则租出的车位数量是个，根据：月租金每个车位的月租金车位数，列出方程并解答即可． 【详解】（1）解：由题意得 ， 整理得：， 解得：（舍去），， 答：道路的宽为米． （2）解：设当每个车位的月租金上涨a元时，停车场的月租金收入为10 920元， 根据题意得， ， 整理得，， 解得或（舍去）． 答：当每个车位的月租金上涨20元时，停车场的月租金收入为10 920元． 2．龙岩市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 【答案】(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)该品牌头盔每个售价应定为50元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用： （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． 【详解】（1）解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得 解得（不合题意，舍去） 答：设该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意，得 整理，得 解得 因尽可能让顾客得到实惠 ，所以不合题意，舍去． 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为50元． 3．商场销售某种拖把，已知这种拖把的进价为80元/套，售价为120元/套，商场每天可销售20套、国庆假期临近，该商场决定采取适当的降价措施，经调查：这种拖把的售价每降价1元，平均每天可多售出2套，设这种拖把每套降价x元． (1)降价后每套拖把盈利______元，平均每天可销售______套（用含x的代数式表示）； (2)为扩大销售量，尽快减少库存，当每套拖把降价多少元时，该商场销售这种拖把平均每天能盈利1242元？ (3)该商场销售这种拖把平均每天的盈利能否达到1400元？若能，求出x的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)每套拖把降价17元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1242元； (3)不能，理由见解析 【分析】此题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． （1）设每套拖把降价x元，根据题意列出代数式即可； （2）设每套拖把降价x元，则每套的销售利润为元，平均每天的销售量为套，根据题意列出一元二次方程求解即可； （3）设每套拖把降价y元，则每套的销售利润为元，平均每天的销售量为套，根据题意列出一元二次方程，然后依据判别式求解即可. 【详解】（1）解：设每套拖把降价x元，则每天销售量增加套，即每天销售套， 每套拖把盈利元． 故答案为：，； （2）解：设每套拖把降价x元，则每套的销售利润为元，平均每天的销售量为套， 依题意得：， 整理得：， 解得：． 又∵需要尽快减少库存， ∴． 答：每套拖把降价17元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1242元； （3）解：商家不能达到平均每天盈利1400元，理由如下： 设每套拖把降价y元，则每套的销售利润为元，平均每天的销售量为套， 依题意得：， 整理得：． ∵， ∴此方程无实数解， 即不可能每天盈利1400元． 4．“靠山吃山，靠水吃水”，金丝峡景区的人民依靠制作手工艺品也走出了一条致富路，其经营模式一般为生产组的产品由商店代理销售．已知某商店代理销售“竹编篮”平均每天可销售套，每套盈利元，在每套降价幅度不超过6元的情况下，每下降1元，则每天可多售4套，如果每天要盈利元，每套应降价多少元？ 【答案】每套应降价2元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设每套“竹编篮”降价元，则每套盈利元，平均每天可售出套，利用该商店每天销售“竹编篮”获得的利润每套的销售利润平均每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】解：设每套“竹编篮”降价元，则每套盈利元，平均每天可售出套， 由题意，得， 整理，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：每套应降价2元． 5．如图，在矩形中，，，点P从点A沿边向点B以的速度移动；同时，点Q从点B沿边向点C以的速度移动．有一点到终点运动即停止．问： (1)几秒后的面积等于； (2)几秒后． 【答案】(1)1秒后或5秒后的面积等于 (2)秒或6秒后 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，理解题意列出一元二次方程是解题的关键． （1）设秒后的面积等于，则，，则，再利用的面积等于得出一元二次方程，解方程即可得到答案； （2）设秒后，结合矩形的性质可知，，，根据，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设秒后的面积等于， 则，， ， 根据题意得：， 解得：，， 答：1秒后或5秒后的面积等于； （2）解：四边形为矩形， ，，， 设秒后， 则，， ，， 则， ， ， ∴， 即：， 解得：，， 即：秒或6秒后． 6．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果 P、Q分别从A、B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t秒． (1)当t为何值时，的面积等于？ (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)若点P、Q的速度保持不变，点P在到达点B后返回点A，点Q在到达点C后返回点B，一个点停止，另一个点也随之停止．问：当t为何值时，的面积等于？ 【答案】(1)为5或7 (2)为或 (3)为4或8 【分析】本题考查的是在运动过程中应用一元二次方程解决实际问题，建立正确情境下的几何模型是解决问题的关键，特别是最后一问，关键是弄懂分段的时间节点． （1）分别用含的代数式表示，的长，利用面积公式列方程求解即可． （2）分别用含的代数式表示，的长，利用勾股定理列方程求解即可． （3）当，P，Q都没有返回，表示出，的长，用面积公式列方程，，P不返回，Q返回，表示出，的长，用面积公式列方程，，两点都返回，表示出，的长，用面积公式列方程即可得到答案． 【详解】（1）∵点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，，， ∴， ∴， ∵的面积等于 ∴ ∴ 整理，得 解得， ∴当为5或7时，的面积等于； （2）根据勾股定理，得 整理，得 解得 故当为或时，的长度等于； （3）①当时， 由题意，得 ， 解得： ②当时，， 由题意，得， 解得：（舍去），（舍去）， ③当时，， 由题意，得， 整理得， ∴ ∴方程无解 综上所述，当为4或8时，的面积等于． 类型九、配方法的应用 1．配方法是一种重要的解决问题的方法，可以求代数式的最大或最小值 (1)求代数式的最小值时，可以配方为，可知当_____时，有最小值，最小值是_____． (2)代数式的最大值是_____． (3)已知，则的值为_____． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查配方法的应用，非负数的性质，熟练掌握配方法，再结合偶次方的性质解题是关键． （1）根据非负数的性质即可求解； （2）先将代数式配方，再根据非负数的性质求解即可； （3）利用配方法将所给的式子变形，再根据非负数的性质求出、的值，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 当时，有最小值，最小值是， 故答案为：，； （2）， 当时，有最大值，最大值是， 故答案为：； （3）， ， ， ，， 解得：，， ， 故答案为：． 2．阅读材料：把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛应用． 例如：①我们可以将代数式进行变形，其过程如下 ， ， ． 因此，该式有最小值1． ②已知：将其变形，，，可得． (1)按照上述方法，将代数式变形为的形式； (2)若，用配方法求的最小值； (3)已知、、是的三边，且满足，试判断此三角形的形状并说明理由． 【答案】(1) (2)的最小值是5 (3)是等边三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查完全平方公式的变形运用，整式的混合运算，非负性，等边三角形的判定和性质， （1）根据材料提示的配方法即可求解； （2）运用配方法及非负性即可求解； （3）运用分组配方法可得，根据非负性可得，由此即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ∴ ， 所以，的最小值是； （3）解：是等边三角形： ， ， ， 是等边三角形； 3．阅读材料． 对式子可以变化如下： 原式此种变化抓住了完全平方公式的特点，先加一项，使这三项成为完全平方式，再减去加的项，我们把这种变化叫配方． 请仔细体会配方的特点，然后尝试用配方解决下列问题： (1)请用配方法求出的最小值 (2)请用配方法求出代数式的最小值 (3)试说明：、取任何实数时，代数式的值总大于8． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了配方法的应用和非负数的性质，熟练掌握配方法是解此题的关键． （1）利用配方法将代数式转化为完全平方与和的形式，然后利用非负数的性质进行解答即可； （2）利用配方法将代数式转化为完全平方与和的形式，然后利用非负数的性质进行解答即可； （3）利用配方法将代数式转化为完全平方与和的形式，然后利用非负数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴的最小值为； （2）解：， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为； （3）解： ， ∵，， ∴， ∴、取任何实数时，代数式的值总大于8． 4．“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如： ， ∵， ∴， ∴， 试利用“配方法”解决下列问题： (1)如果，那么的值为 ． (2)已知，求的值； 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）将方程组的三个方程相加，变形后再根据完全平方式的特征求解； （）先配方，再根据非负数的性质求值即可； 【详解】（1） ，得：， ∴， ∴， ∴，， ∴，，， ∴，，， ∴， 故答案为：； （2）， ， ， ∴，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查配方法的应用，完全平方公式的应用，正确配方，充分利用平方的非负性是解题的关键． 5．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 解决问题：（1）若可配方成（为常数），求，的值； 探究问题：（2）已知，求的值； （3）已知（都是整数，是常数），要使的最小值为，试求出的值． 【答案】（），；（）；（）． 【分析】（）把写成的形式，然后与二次项和一次项组成完全平方式，从而分解因式，从而求出，的值即可； （）把写成的形式，然后把分给含有的项，分给含有的项，进行分解因式，根据偶次方的非负性，求出，，从而求出答案即可； （）把已知等式的右边进行平方，组成两个完全平方式，然后根据偶次方的非负性和s的最小值，列出关于的方程，解方程即可； 本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，熟知完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：（1）∵ ， ∴，； （2）， ， ， ∵，， ∴，， 解得：，， ∴； （3）∵， ∴， ， ∵，，（��、��都是整数，��是常数），的最小值为， ∴，时，s取最小值为2 ∴，解得：． 6．学习的本质是提高自学能力．周末，小睿同学在复习配方法后，他对代数式进行了配方，发现，小睿发现是一个非负数，即，他继续探索，利用不等式的基本性质得到，即，所以，他得出结论是的最小值是2，即的最小值是2．小睿同学又进行了尝试，发现求一个二次三项式的最值可以用配方法，他自己设计了两个题，请你解答． 解决问题： （1）求代数式的最小值． （2）求代数式的最值． 探究问题： 关于x的一元二次方程与 称为“同族二次方程”． 例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，根据你的观察，探究下面的问题：代数式的最值是多少？ 【答案】解决问题：（1）1；（2）5；探究问题：代数式的最小值是2024． 【分析】本题考查配方法的应用，解二元一次方程组，以及非负数的性质，属于基础题，掌握方法是关键． 解决问题：（1）将变形为即可解决； （2）将变形为即可； 探究问题：根据“同族二次方程”的定义可得方程即为方程，再把展开得到，解方程组得到，据此仿照题意求出对应的最值即可． 【详解】解：解决问题：（1） ， 的最小值是1； （2）， 的最大值是5． 探究问题：∵关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”， ∴方程即为方程， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴代数式的最小值是2024． 类型十、换元法的应用 1．阅读下列材料： 解方程：．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为①， 解这个方程得：，． 当时，，； 当时，，， 所以原方程有四个根：，，，． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． (1)解方程时，若设，则原方程可转化为______； (2)若，求______； (3)参照上面解题的思想方法解方程：． 【答案】(1) (2)4或 (3)， 【分析】本题考查了一元二次方程、分式方程的解法．看懂题例理解换元法是关键．换元法的一般步骤有：设元、换元、解元、还原几步．注意应用换元法解分式方程，注意验根． （1）直接代入得关于y的方程，即可得到结果； （2）设，原方程可变为：，解关于t的方程得出，，即可得出的值； （3）设，原方程变形为：，求出，即可得出，然后解关于x的分式方程即可得出x的值． 【详解】（1）解：设，原方程可变形为：； （2）解：设，则原方程可变为：， 解得：，， ∴或． （3） 解：设，则， 原方程变形为：， 解得：， ∴， 去分母得： 解得：，， 经检验，和是上述分式方程的根， ∴原方程的解为：，． 2．阅读下面材料，解答问题： 为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为，解得，，当时，，∴，∴，当时，，∴，∴，故原方程的解为，，，． 上述解题方法叫做换元法． 请利用换元法解方程：． 【答案】，，， 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，换元法就是把一个复杂的不变整体用一个字母代替，这样就把复杂的问题转化为简单的问题，先设，则原方程变形为，运用因式分解法解得，再把和6分别代入得到关于x的一元二次方程，然后解两个一元二次方程，最后确定原方程的解． 【详解】解：设，则，即， ∴ 解得：， 当时，，即， 解得：，; 当时，，即， 解得：，. 所以原方程的解为，，， 3．阅读材料： 为了解方程，我们可以将看作一个整体，设，那么原方程可化为①，解得，． 当时，，，； 当时，，，． 故原方程的解为，，，． 解答问题： 请利用以上知识解方程：； 【答案】，，， 【分析】设，那么原方程可化为，解方程即可． 本题考查了换元法解方程，一元二次方程的解法，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：设，那么原方程可化为①， 解得，． 当时，， ， ∵， ； 故，； 当时，， ， ， ，． 故原方程的解为，，，． 4．阅读下列材料：为解方程，可将方程变形为， 然后设，则，原方程化为，解得，， 当时，无意义，舍去； 当时，，解得； 所以原方程的解为，； 利用以上学习到的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)，，， 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握换元法解一元二次方程，利用换元降次求解一元高次方程． （1）设，则原方程化为，进而求解； （2）设，则原方程化为，进而求解； （3）设，则原方程化为，进而求解； 【详解】（1）解：设，则原方程化为， 解得，， 当时，无意义，舍去； 当时，，解得； 所以原方程的解为，； （2）设，则原方程化为， 解得， 当时，，，，； 所以原方程的解为，； （3）. 设，则原方程化为， 解得， 当时，，， 解得：，； 当时，， 解得，； 所以原方程的解为，，0， 5．阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为，整理得所以，， 所以，因为，所以． 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知实数x、y，满足，求的值； (2)已知的三边为a、b、c(c为斜边)，其中a、b满足，求斜边的长度． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，勾股定理，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． （1）利用换元法解方程即可解决问题； （2）利用换元法解方程可得． 【详解】（1）解：设， 则原方程可变为， 解得， ， ， ； （2）解：设， 则原方程可变为， 即， 解得，， ， ， ， 即斜边的长度为． 6．阅读下面的材料，解答后面的问题． 材料：解方程． 解：设，原方程变为，解得或． 当时，即，解得；当时，即，解得． 综上所述，原方程的解为，，，． 问题： (1)上述解答过程采用的数学思想方法是__________． A．加减消元法    B．代入消元法    C．换元法    D．待定系数法 (2)采用类似的方法解方程：． 【答案】(1)C (2)， 【分析】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．此题难度较大，不容易掌握． （1）利用换元法解方程； （2）设，原方程化为，求出y，把y的值代入，求出x即可． 【详解】（1）上述解答过程采用的数学思想方法是换元法． 故答案是：C； （2）设，原方程化为， ∴ 解得， 当时，得， 解得，； 当时，得， ，方程无解， 综上所述，原方程的解为，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$