检测05 圆锥曲线的方程（基础卷） 2024-2025学年高二年级上学期数学大单元复习与单元检测及期中、期末（新高考人教A版专用）

检测05 圆锥曲线的方程（基础卷） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高二上·北京西城·期中）一个椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江西南昌·开学考试）已知椭圆的右焦点为，则上满足的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024·广东佛山·模拟预测）设为抛物线的焦点，点在上，且在第一象限，若直线的倾斜角为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（24-25高三上·广东·开学考试）设点为圆上的一动点，点为抛物线上的一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·陕西榆林·模拟预测）设，是双曲线的左，右焦点，过的直线与轴和的右支分别交于点，，若是正三角形，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 6．（24-25高三上·山东菏泽·开学考试）已知双曲线的离心率为的一条渐近线截圆所得的弦长为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·陕西咸阳·模拟预测）设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为（    ）. A． B． C． D． 8．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知是双曲线的左､右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高二下·广东惠州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．椭圆的长轴长是2 B．表示的圆的面积是 C．双曲线的焦距是 D．抛物线的准线方程是 10．（2025·安徽·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上的任意一点，则（    ） A．C的离心率为 B． C．的最大值为 D．使为直角的点P有4个 11．（24-25高三上·浙江·开学考试）已知双曲线的左､右焦点分别为，过坐标原点的直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，为的右支上一点（异于点），的内切圆圆心为.则以下结论正确的是（    ） A．直线与的斜率之积为4 B．若，则 C．以为直径的圆与圆相切 D．若，则点坐标为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2024·福建福州·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在上，且点到直线的距离为，则 . 13．（23-24高二上·云南昆明·期末）若双曲线E：的一条渐近线与圆C：交于A，B两点，若，则E的焦距为 ． 14．（2024·安徽·一模）椭圆C：的左右焦点分别为、，点M为其上的动点.当为钝角时，点M的横坐标的取值范围是 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高二下·上海·阶段练习）已知抛物线，焦点为F (1)若点P为C上一点，且，求点P的横坐标. (2)若斜率为2的直线与抛物线交于不同的两点A，B，线段中点为M，求点M的轨迹方程． 16. (15分) （24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数． (1)求动点M的轨迹E； (2)在E上是否存在一点使得它到直线的距离最小？若存在，请求出最小距离；若不存在，请说明理由． 17. (15分) （2024·河南·模拟预测）在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，以为圆心作一个半径为4的圆，点是圆上一动点，线段的重直平分线与直线相交于点． (1)求的轨迹的方程； (2)已知，点是轨迹在第一象限内的一点，为的中点，若直线的斜率为，求点的坐标． 18. (17分) （24-25高三上·安徽亳州·开学考试）已知椭圆的左、右焦点为，离心率为，点为椭圆上任意一点，且的周长为． (1)求椭圆的方程； (2)直线与直线分别交椭圆于和两点，求四边形的面积． 19. (17分) （2025·安徽·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过点F且互相垂直的两条动直线分别与E交于点A，B和点C，D，当时，． (1)求E的方程； (2)设线段AB，CD的中点分别为M，N，若直线AB的斜率为正，且，求直线AB和CD的方程． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 检测05 圆锥曲线的方程（基础卷） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高二上·北京西城·期中）一个椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江西南昌·开学考试）已知椭圆的右焦点为，则上满足的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024·广东佛山·模拟预测）设为抛物线的焦点，点在上，且在第一象限，若直线的倾斜角为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（24-25高三上·广东·开学考试）设点为圆上的一动点，点为抛物线上的一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·陕西榆林·模拟预测）设，是双曲线的左，右焦点，过的直线与轴和的右支分别交于点，，若是正三角形，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 6．（24-25高三上·山东菏泽·开学考试）已知双曲线的离心率为的一条渐近线截圆所得的弦长为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·陕西咸阳·模拟预测）设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为（    ）. A． B． C． D． 8．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知是双曲线的左､右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高二下·广东惠州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．椭圆的长轴长是2 B．表示的圆的面积是 C．双曲线的焦距是 D．抛物线的准线方程是 10．（2025·安徽·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上的任意一点，则（    ） A．C的离心率为 B． C．的最大值为 D．使为直角的点P有4个 11．（24-25高三上·浙江·开学考试）已知双曲线的左､右焦点分别为，过坐标原点的直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，为的右支上一点（异于点），的内切圆圆心为.则以下结论正确的是（    ） A．直线与的斜率之积为4 B．若，则 C．以为直径的圆与圆相切 D．若，则点坐标为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2024·福建福州·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在上，且点到直线的距离为，则 . 13．（23-24高二上·云南昆明·期末）若双曲线E：的一条渐近线与圆C：交于A，B两点，若，则E的焦距为 ． 14．（2024·安徽·一模）椭圆C：的左右焦点分别为、，点M为其上的动点.当为钝角时，点M的横坐标的取值范围是 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高二下·上海·阶段练习）已知抛物线，焦点为F (1)若点P为C上一点，且，求点P的横坐标. (2)若斜率为2的直线与抛物线交于不同的两点A，B，线段中点为M，求点M的轨迹方程． 16. (15分) （24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数． (1)求动点M的轨迹E； (2)在E上是否存在一点使得它到直线的距离最小？若存在，请求出最小距离；若不存在，请说明理由． 17. (15分) （2024·河南·模拟预测）在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，以为圆心作一个半径为4的圆，点是圆上一动点，线段的重直平分线与直线相交于点． (1)求的轨迹的方程； (2)已知，点是轨迹在第一象限内的一点，为的中点，若直线的斜率为，求点的坐标． 18. (17分) （24-25高三上·安徽亳州·开学考试）已知椭圆的左、右焦点为，离心率为，点为椭圆上任意一点，且的周长为． (1)求椭圆的方程； (2)直线与直线分别交椭圆于和两点，求四边形的面积． 19. (17分) （2025·安徽·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过点F且互相垂直的两条动直线分别与E交于点A，B和点C，D，当时，． (1)求E的方程； (2)设线段AB，CD的中点分别为M，N，若直线AB的斜率为正，且，求直线AB和CD的方程． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C B B D B B BC BCD 题号 11 答案 BC 1．B 【分析】利用椭圆的定义求解即可. 【详解】椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8，故， 且，故， 所以椭圆的标准方程为. 故选：B 2．B 【分析】求出点的坐标，由求出点的轨迹方程，与椭圆方程联立求解判断即可. 【详解】椭圆的右焦点为，设，由，得， 由消去得，，而，解得， 当时，对应的值有2个，所以上满足的点有2个. 故选：B 3．C 【分析】由抛物线的定义可知，再由抛物线的性质可得，代入求解即可. 【详解】如图所示，抛物线及准线如图所示，过点作垂直准线于点， 过焦点作垂直于于点，由题意可知， 根据抛物线的定义 在中，，又， 所以， 解得. 故选：C. 4．B 【分析】设，可得，利用两点之间的距离公式可得，结合二次函数的单调性即可判断出结论． 【详解】如下图，设， 则，，当且仅当时取等号，此时， ，因此， 故选：B． 5．B 【分析】根据双曲线的定义及等边三角形的性质计算可得. 【详解】对于双曲线，则， 根据双曲线定义有， 又，，故． 故选：B    6．D 【分析】先根据离心率得到渐近线方程，由垂径定理得到弦长. 【详解】由，得，解得， 所以双曲线的一条渐近线为， 则圆心到渐近线的距离， 所以弦长为. 故选：D. 7．B 【分析】由，设出，根据椭圆的定义可知，，再由，可知和都是直角三角形，最后利用勾股定理列方程求解即可. 【详解】因为，不妨令，    由过的直线交椭圆于，两点，由椭圆的定义可得，，， 则，， 又因为，所以，则和都是直角三角形， 由勾股定理可得，， 即，解得， 所以，， 又，， 所以，解得， 所以椭圆的离心率为. 故选：B. 8．B 【分析】根据双曲线以及圆的方程可求得弦长，再根据不等式整理可得，即可求得双曲线的离心率的取值范围. 【详解】设以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点， 则到渐近线的距离，所以， 因为，所以，可得， 即，可得， 所以，所以， 又，所以双曲线的离心率的取值范围是. 故选：B 9．BC 【分析】根据圆，椭圆，双曲线和抛物线的定义与性质求解即可. 【详解】对A，椭圆的两焦点在轴上，由可得长轴长是，A选项错误； 对B，，即，表示的圆的半径为，面积为，B选项正确； 对C，双曲线，即，所以，所以焦距是，C选项正确； 对D，抛物线的图象开口向右，准线方程是，D选项错误． 故选：BC． 10．BCD 【分析】根据椭圆的标准方程求出，由离心率定义判断A，由椭圆定义判断B，由椭圆的几何性质判断C，根据以线段为直径的圆与椭圆交点个数判断D. 【详解】由原方程可得椭圆标准方程为， ，，故A错误； 由椭圆定义可知，故B正确； 由椭圆的性质知，故C正确； 易知以线段为直径的圆（因为）与C有4个交点，故满足为直角的点有4个，故D正确. 故选：BCD 11．BC 【分析】由题意设点,，,，,，把点，坐标代入双曲线的方程，两式相减得，即可判断A；利用余弦定理，结合；记，则双曲线定义即可判断B，由于，利用勾股定理以及双曲线定义，结合等面积法进而可求内切圆半径，利用切线长的性质即可求解C；画出图形，利用是线段的中点，结合双曲线的性质以及定义，转化推出以为直径的圆与圆的位置关系即可判断D． 【详解】设点,，,，,， 则且，两式相减得，， ，故A错误， 由于，，若， 由余弦定理可得， 解得，由于，故，故B正确， 在双曲线右支上，， 是线段的中点，， 是线段的中点，， ，，， 即圆心距等于两圆的半径之差， 以线段为直径的圆与圆的位置关系是内切，故C正确． 记，则，，， 解得或 （舍去），， 的面积为， 设三角的内切圆半径为，则，所以， 设圆与三边相切于，则 设则 故，解得，所以,故或,D错误， 故选：BC． 12．5 【分析】由条件求点到抛物线的准线的距离，结合抛物线定义可得结论. 【详解】抛物线的准线方程为， 设点的坐标为，则， 因为点到直线的距离为， 所以点到准线的距离为， 由抛物线定义可得. 故答案为：. 13． 【分析】根据给定条件，结合圆的性质可得点到渐近线的距离为1，再利用点到直线距离公式计算得解. 【详解】圆C：的圆心，半径，由，得， 则点到直线的距离为1，双曲线E：的渐近线为， 于是，解得，所以E的焦距为. 故答案为：    14． 【分析】设点，由余弦定理得，再结合即可求解. 【详解】设，焦点，. 因为为钝角，所以， 即. 整理得：. 因为点在椭圆上， 代入得解得 又因为，所以点纵坐标的取值范围. 故答案为：. 15．(1)3 (2) 【分析】（1）由抛物线的定义列方程即可求解； （2）设出直线方程，联立抛物线方程，结合韦达定理、中点坐标公式即可求解. 【详解】（1）抛物线的焦点，准线方程为， 由抛物线定义结合已知，其中为点的横坐标， 解得，即点P的横坐标为3； （2） 因为直线的斜率为，所以可设直线的方程为， 设， 联立抛物线方程得， ，由，解得， 所以，所以， 所以点M的轨迹方程为. 16．(1) (2)存在， 【分析】（1）根据题意，结合两点间距离公式进行求解即可； （2）根据平行线的性质，结合直线与椭圆的相切的性质、一元二次方程根的判别式进行求解即可. 【详解】（1）设d是点M到直线的距离， 根据题意，动点M的轨迹E就是集合． 由此得．将此式两边平方，并化简，得， 所以M的轨迹E为． （2）由直线方程方程可知与坐标轴的交点为， 易知此直线与椭圆无公共点， 设直线m与该直线平行，则直线m的方程可以写成． 由方程组，消去y，得． 令其根的判别式，解得或， 当时，直线与椭圆的公共点到直线的距离最小，最小距离． 17．(1) (2) 【分析】（1）利用垂直平分线的性质及双曲线的定义可得答案； （2）利用中点公式和的斜率为建立方程组，求解方程组可得答案. 【详解】（1）由题意可知，点在线段的垂直平分线上，所以， 又点是圆上一动点，所以． ①当时，； ②当时，， 所以的轨迹满足， 根据双曲线定义可知，点的轨迹是以为左､右焦点，实轴长为的双曲线， 可得，所以的轨迹的方程为． （2）设，所以， 因为直线的斜率为，所以，即， 与联立解得（舍去）或3． 所以点的坐标为． 18．(1) (2)． 【分析】（1）根据椭圆定义和离心率定义列方程组求解即可； （2）利用弦长公式和平行直线的距离公式即可得解. 【详解】（1）由题意知， 解得， 则椭圆的方程为． （2）易知四边形为平行四边形，设， 联立直线与椭圆消去并整理得， 由韦达定理得 ， 因为与平行，所以这两条直线的距离， 则平行四边形的面积． 19．(1) (2)， 【分析】（1）设，联立方程，利用韦达定理结合弦长公式可得，分析可知，，代入运算即可； （2）根据（1）结论可得：，，利用弦长公式运算求解即可. 【详解】（1）由题意可知：，直线的斜率存在且不为0， 此时直线AB、CD均与抛物线相交，    设，则， 联立方程，消去可得， 则， 可得， 若，根据抛物线的对称性不妨令直线的倾斜角为，即， 可得，解得， 所以抛物线的方程为. （2）由（1）可知：，，， 且， 则，即， 同理可得：， 由题意可知：， 则， 因为，解得， 则，，即，. 学科网（北京）股份有限公司 $$