第4章指数函数与对数函数（典型例题与跟踪训练）-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第4章指数函数与对数函数（典型例题与跟踪训练）-高一数学上学期人教A版（2019） 目录 第一部分：典型例题。 第二部分：跟踪训练。 第一部分 典型例题 1．已知函数满足． (1)求的解析式； (2)若，求的值域； (3)讨论的定义域． 2．已知定义域是的函数是奇函数. (1)求的值 (2)先判断函数单调性并证明； (3)若对于任意，不等式恒成立，求的范围. 第二部分 跟踪训练 一、单选题 1．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．若，则（    ） A． B． C． D． 3．函数的零点是（    ） A．或 B． C．或 D． 4．已知，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．在日常生活中，我们发现一杯热水放在常温环境中，随时间的推移会逐渐变凉，物体在常温环境下的温度变化有以下规律：如果物体的初始温度为，则经过一定时间，即分钟后的温度满足称为半衰期，其中是环境温度.若，现有一杯的热水降至大约用时1分钟，那么水温从降至大约还需要（    ）（参考数据：） A．8分钟 B．9分钟 C．10分钟 D．11分钟 6．已知函数，，则（   ） A．-5 B．-1 C．3 D．4 7．已知，则方程实数根的个数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．已知函数，，则（    ） A．12 B． C． D．17 二、多选题 9．下列运算不正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数且，则（    ） A． B． C．的最小值为 D． 11．下列各式正确的是（   ） A．设，则 B．已知，则 C．若 D．，则 三、填空题 12．将函数的值域为 . 13．已知函数，则的定义域是 ；的最小值是 . 14．函数（且）无论取何值，函数图像恒过一个定点，则定点坐标为 . 四、解答题 15．求值： (1)； (2)． 16．已知函数的定义域为. (1)求； (2)当时，求函数的最大值. 17．已知函数 (1)判断的奇偶性并证明； (2)解方程. 18．已知函数， (1)求函数的零点； (2) 若函数有四个零点，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，记得四个零点从左到右分别为，，，，求值． 19．已知某公司某产品去年的年产量为50万件，每件产品的售价为10元，固定成本为6元，今年公司第一次投入50万元科技成本，并计划以后每年比上一年多投入50万元科技成本，预计年产量每年递增5万件，第次投入后，每件产品的固定成本为（为常数，），若产品的售价保持不变，第次投入后的年利润为万元. (1)求的表达式； (2)从今年起第几年的利润最大？最大利润为多少万元？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 第一部分：典型例题答案。 1．(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）换元法求函数解析式即可； （2）换元后求出真数的取值范围，再利用对数函数的单调性求值域； （3）分类讨论m的取值范围，再得出函数的定义域. 【详解】（1）令，得， 则， 所以． （2）若，则， 令，当且仅当时，u取得最小值，且最小值为4． 因为为减函数，所以， 故的值域为． （3）． 当时，，则的定义域为； 当时，，则的定义域为； 当时，由，得或， 则的定义域为． 综上，当时，的定义域为；当时，的定义域为． 2．(1)1； (2)在R上单调递增，证明见详解； (3). 【分析】（1）由题意可知，进而求解； （2）根据函数单调性的定义证明即可； （3）由题意及（2）可将原不等式变形为在上恒成立，分离常数求解即可. 【详解】（1）因为是定义域为R的奇函数， 所以 解得， 经检验：符合题意. （2）在上单调递增，证明如下： 由可知， 任取实数，且， 则， 因为，所以，且， 所以， 即时，， 所以在上单调递增. （3）因为是奇函数，所以等价于， 由（2）知在上单调递增， 所以在上恒成立； 等价于在上恒成立， 只需即可， 由对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增； 因为时，；时，； 所以； 所以. 第二部分：跟踪训练答案。 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A B A C C C C ABD AD 题号 11 答案 BD 1．A 【分析】根据幂函数、指数函数的单调性判定大小即可. 【详解】易知， 又定义域上单调递减，，所以， 易知单调递增，， 则， 综上. 故选：A 2．A 【分析】根据不等式可构造函数，再利用函数单调性可得，由指数函数单调性即可得. 【详解】由可得， 令函数，易知在上单调递增， 由可得，即可得； 因此，即. 故选：A 3．B 【分析】令，即，解方程即可. 【详解】令，即, 解得或. 故选：B. 4．A 【分析】利用幂的运算，将已知等式进行变形，根据等式的性质可得，即可求出． 【详解】因为， 所以， 所以， 则，即，则. 故选：A. 5．C 【分析】依题意分别将各组温度数据代入表达式，得出方程组再利用对数运算法则即可求得结果. 【详解】根据题意得，即； 则，所以，可得， 两边取常用对数得， 故选：C. 6．C 【分析】设，可得是奇函数，则，又，则，即可求得. 【详解】设， 则， 所以是奇函数， 则， 所以， 因为， 所以， 则， 因为， 所以. 故选：C． 7．C 【分析】由方程先求出或或，再解方程即可． 【详解】解：①当时， ， 解得，， 或， 或， 故或； ②若，则， 或， 或， 若，则或， 则或或； 若，则或， 则（舍去）或或， 综上所述，方程实数根的个数是7， 故选：C． 8．C 【分析】依据题意构造奇函数，利用奇函数的性质结合指数运算求解即可. 【详解】令， 的定义域为，关于原点对称， 所以，故， ， 所以是奇函数，而，， 解得，所以， 故，故C正确. 故选：C 9．ABD 【分析】借助指数幂的运算逐项计算即可得. 【详解】对A：和不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意，故A错误； 对B：，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：，故D错误. 故选：ABD. 10．AD 【分析】根据给定条件，可得，利用对数运算性质计算判断AB；变形给定的式子，借助对勾函数的单调性判断CD. 【详解】函数，由，得， 对于AB，，则，解得，A正确，B错误； 对于C，在上单调递增，则，C错误； 对于D，， 而在上单调递增，，因此，D正确. 故选：AD 11．BD 【分析】利用根式与分数指数幂的运算计算可判断A；由分数指数的运算性质计算可判断B；利用完全平方公式计算可判断C；利用对数的换底公式与对数运算公式计算可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，由，两边平方得，两边再平方可得，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：BD. 12． 【分析】根据指数函数的性质，即可求得答案. 【详解】由于，故且， 故函数的值域为， 故答案为： 13． 2 【分析】根据对数真数大于0，求定义域；对函数变形，再结合对数函数单调性和基本不等式求最值即可. 【详解】第一个空：根据题意得到，，解得，即，则的定义域是. 第二个空：由于函数. 继续化简得到，由于， 则，当且仅当，即时取最值. 所以，则的最小值是2. 故答案为：；2. 14． 【分析】根据题意，令，求得和，即可求解. 【详解】由函数（且）， 令，解得，则，所以函数恒经过定点. 故答案为：. 15．(1)； (2)2. 【分析】（1）根据指数幂的运算即可求解. （2）根据对数的运算性质，结合换底公式计算即可. 【详解】（1）. （2）. 16．(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，解出不等式组即可； （2）利用换元法令，则函数等价于，，分为和两种情形，根据二次函数的单调性得其最大值. 【详解】（1）由题意知，解得， 故. （2）， 令，，可得，，其对称轴为直线， 当，即时，. 当，即时， 综上可知， 17．(1)偶函数，详细见解析 (2) 【分析】(1)根据奇偶性的定义即可证明； (2)讨论的符号，列出方程组即可求解. 【详解】（1）因为且定义域为R，所以是偶函数. （2）当时，， 去绝对值符号可得，化简可得， 解之可得或(舍)， 当时，， 去绝对值符号可得，化简可得（舍）， 综上，的解为. 18．(1)1，或 (2) (3) 【分析】（1）讨论当时，当时，由，解方程即可得到零点； （2）由题意可得有四个不等实根，画出函数的图象，通过图象观察，即可得到的范围； （3）由二次函数的对称性和对数的运算性质，结合图象即可得到所求和． 【详解】（1）函数， 当时，由，解得， 当时，由，解得或， 可得函数的零点为1，或； （2） 若函数有四个零点， 即为有四个不等实根，画出函数的图象， 由图象可得当时，的图象和直线有四个交点， 故函数有四个零点时的取值范围是； （3）由的对称轴为，可得， 由，即，即为，则， 故． 19．(1) (2)第6年利润最大，最大利润为260万元 【分析】（1）根据每只产品的固定成本为6元及关系式为，可求的值，利用第次投入后的年利润为万元，可建立函数关系式； （2）先由（1）可得利润函数，再用基本不等式求最大利润. 【详解】（1）由，当时，有，得， 则. 第次投入后，年产量为万件，销售价格为10元， 每件产品的固定成本为元，科技成本投入为万元， ； （2）由 . 当且仅当，即时取等号， 故第6年利润最大，最大利润为260万元. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$