2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系（九个重难点突破）-2024-2025学年高二第一学期数学重难点突破及易错点分析（人教A版）

2.5直线与圆、圆与圆的位置关系 一、直线与圆的位置关系 六、圆与圆的位置关系 二、圆的弦长问题 七、圆的公共弦问题 三、圆内接三角形问题 八、圆的公切线问题 四、求切线方程 九、圆系问题 五、有关切线的其它问题 知识点1直线与圆的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离 代数法：由消元得到一元二次方程，判别式为 图形 重难点一 直线与圆的位置关系 【例1】在同一平面直角坐标系中，直线与圆的位置不可能为（    ） A． B． C． D． 【例2】已知直线，圆.则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与a有关 【变式1-1】已知直线与圆有公共点，则的可能取值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式1-2】若直线与圆相切，则圆的半径为（    ） A．2 B．4 C． D．8 【变式1-3】直线与圆的位置关系是 . 知识点2圆的弦长 圆的弦长与弦心距的关系:; 常需结合点到直线的距离公式. 重难点二 圆的弦长问题 【例3】圆被直线所截得劣弧的弧长为（    ） A． B． C． D． 【例4】已知圆，过点的直线交圆于，两点，且，则直线的方程为 . 【变式2-1】（多选）若直线与圆相交于两点，则的长度可能等于（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2-2】直线被圆所截得的弦长为 . 【变式2-3】已知圆的圆心在直线上，与x轴相切于点． (1)求圆的方程； (2)过坐标原点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程． 重难点三 圆内接三角形问题 【例5】已知直线与 交于A，B两点，写出满足的面积为的实数m的一个值 . 【例6】已知圆的圆心为原点，斜率为1且过点的直线与圆相切 (1)求圆的方程； (2)过的直线交圆于、，若面积为，求直线方程. 【变式3-1】在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于A，B两点，若钝角的面积为，则实数a的值是 ． 【变式3-2】（多选）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知圆O半径为3，直线l1、l2互相垂直，垂足为M(1，2)，且l1与圆O相交于A、C两点，l2与圆O交于B、D两点，则四边形ABCD面积的值可以为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【变式3-3】（多选）已知AB为圆的直径，直线与y轴交于点M（A，B，M三点不共线），则（    ） A．l与C恒有公共点 B．是钝角三角形 C．的面积的最大值为l D．l被C截得的弦的长度最小值为 知识点3圆的切线与切点弦方程 过圆上一点的切线方程为:. 重难点四 求切线方程 【例7】圆在点处的切线方程为 . 【例8】已知动点到两个定点，的距离的比 (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点作曲线的切线，求切线的方程. 【变式4-1】已知圆，过点作圆的切线，则切线方程为 . 【变式4-2】设点是直线与直线的交点，过点作圆的切线，请写出其中一条切线的方程： ．（只需写一条即可）． 【变式4-3】已知圆经过两点，且圆心在轴上，一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切. (1)求圆的方程； (2)求反射后光线所在直线的方程. 重难点五 有关切线的其它问题 【例9】过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【例10】在平面直角坐标系中，已知圆，为直线上的一个动点，过点作圆的切线，切点为点，当最小时，则的值为（    ） A．4 B． C．2 D．3 【变式5-1】已知点是直线上一动点，过点作圆的一条切线，切点为，则线段长度的最小值为（　　） A． B． C． D．1 【变式5-2】过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】过轴上一点作圆的两条切线，切点为A，B，当切线长最短时，则劣弧长（    ） A． B． C． D． 知识点4圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系的判定方法有几何法和代数法两种，如下表： 位置关系 几何法 代数法 图示 外离 外切 相交 内切 内含 重难点六 圆与圆的位置关系 【例11】圆：与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 【例12】若圆上总存在两个点到点的距离为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式6-2】（多选）已知集合，.若，则实数可以为（    ） A．0 B． C．1 D．2 【变式6-3】若圆与圆有且仅有一条公切线，则 . 知识点5圆系方程 1.经过圆与直线的两个交点的圆的方程可设为: .整理得. 2.经过圆 与圆的两个交点的圆的方程可设为:. 注：当时,即两圆相减时,分为以下三种情况 （1）当两圆相交时, 它为公共弦所在直线方程; （2）当两圆相切时, 它为公切线方程; （3）当两圆相离或包含时，它为到两圆的切线段相等的点的集合; 显然, 当两圆相离且半径相等时, 它为两圆的对称轴. 重难点七 圆的公共弦问题 【例13】已知圆：和圆：，则两圆公共弦所在直线的方程为 . 【例14】已知圆与圆相交，则相交的公共弦长为（    ） A． B． C．5 D．2 【变式7-1】圆与圆的公共弦长为 . 【变式7-2】已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为，则 ． 【变式7-3】已知圆与圆相交于两点，当为直角三角形时，的值为 . 重难点八 圆的公切线问题 【例15】已知圆，圆，下列直线中不能与圆，同时相切的是（    ） A． B． C． D． 【例16】（多选）圆，圆，则下列直线中为两圆公切线的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（多选）已知圆：，圆：，P，Q分别是，上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．当时，四边形的面积可能为7 B．当时，四边形的面积可能为8 C．当直线PQ与和都相切时，的长可能为 D．当直线PQ与和都相切时，的长可能为4 【变式8-2】已知圆，圆. (1)求两圆的公共弦所在直线的方程及弦长； (2)求两圆的公切线方程. 【变式8-3】证明圆与圆内切，并求切点坐标以及两个圆的公切线方程. 重难点九 圆系问题 【例17】圆经过点，且经过两圆和圆的交点，则圆的方程为 ． 【例18】已知圆与直线交于，两点，则经过点，，三点的圆的标准方程为 ． 【变式9-1】已知圆：与圆：. (1)求证：圆与圆相交； (2)求经过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程. 【变式9-2】已知圆，圆，则过圆与圆的交点且圆心在直线上的圆的方程为 . 【变式9-3】已知圆. (1)求过点且与圆相切的直线方程; (2)求经过直线与圆的交点, 且面积最小的圆的方程. 一、单选题 1．已知直线l：与圆C：有公共点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．“”是“直线被圆截得的弦长为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 3．已知直线交圆C：于M，N两点，则“为正三角形”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．若圆C：上总存在两个点到原点的距离均为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知点，在圆上，点，，则使得是面积为的等边三角形的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知点在圆上，点，，则满足的点的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 二、多选题 7．在平面直角坐标系中，已知圆与圆，分别为圆和圆上的动点，下列说法正确的是（    ） A．过点作圆M的切线有且只有一条 B．若圆和圆恰有3条公切线，则 C．若的最小值为1，则 D．若，则直线的斜率的最大值为 8．设a，b为实数，已知圆O：，点在圆O外，以线段为直径作圆M，与圆O相交于A，B两点．下列说法中正确的是（    ） A．当时，点Q的轨迹方程为 B．当，时，直线的方程为 C．当，时， D．若圆O上总存在两个点到点Q的距离为1，则 三、填空题 9．已知圆和圆，观察可得它们都经过坐标原点，除此之外，它们还相交于一点，这点的坐标是 ． 10．点为圆上的动点，则的取值范围为 . 11．已知定点，圆，M，N为上的动点，满足，则的取值范围为 . 四、解答题 12．已知直线与圆相交于A，B两点. (1)若P为圆C上一点，求点P到直线l的最大距离； (2)求弦的长度. 13．根据下列条件，分别求满足条件的直线或圆的方程： (1)已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆A相交于，当时，求直线的方程； (2)以为圆心的圆与圆相切，求圆的方程. 14．如图，圆与圆的半径都是2，，过动点P分别作圆与圆的切线PM，PN，M，N分别为切点，使得. (1)试建立适当坐标系，求动点P的轨迹方程； (2)若圆与圆的一条公切线与坐标轴平行，判断直线与曲线P的位置关系？若相交，求出弦长，若不相交，说明理由. 15．已知圆：和圆：． (1)若圆与圆相交，求r的取值范围； (2)若直线l：与圆交于P、Q两点，且，求实数k的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.5直线与圆、圆与圆的位置关系 一、直线与圆的位置关系 六、圆与圆的位置关系 二、圆的弦长问题 七、圆的公共弦问题 三、圆内接三角形问题 八、圆的公切线问题 四、求切线方程 九、圆系问题 五、有关切线的其它问题 知识点1直线与圆的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离 代数法：由消元得到一元二次方程，判别式为 图形 重难点一 直线与圆的位置关系 【例1】在同一平面直角坐标系中，直线与圆的位置不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 直线过圆内定点，斜率可正可负可为0， ABD选项都有可能，C选项不可能. 故选：C. 【例2】已知直线，圆.则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与a有关 【答案】A 【详解】因为圆的圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 所以直线与圆的位置关系是相交. 故选：A 【变式1-1】已知直线与圆有公共点，则的可能取值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】由直线与圆有公共点， 可得圆心到直线的距离为， 解得，所以的取值范围为． 故选：B. 【变式1-2】若直线与圆相切，则圆的半径为（    ） A．2 B．4 C． D．8 【答案】C 【详解】依题意，，解得（负值舍），所以圆的半径为. 故选:C. 【变式1-3】直线与圆的位置关系是 . 【答案】相交 【详解】圆的圆心为，半径为， 因为圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交. 故答案为：相交 知识点2圆的弦长 圆的弦长与弦心距的关系:; 常需结合点到直线的距离公式. 重难点二 圆的弦长问题 【例3】圆被直线所截得劣弧的弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 设直线与圆的交点为、，的中点为，则，所以， 所以，则，所以劣弧的弧长为. 故选：C 【例4】已知圆，过点的直线交圆于，两点，且，则直线的方程为 . 【答案】或 【详解】当直线的斜率不存在时，设的方程为， 由，可得，或， 所以，符合题意； 当直线的斜率存在时，设的方程为， 因为，所以圆心到直线的距离， 由，得， 所以直线的方程为， 则直线的方程为或. 故答案为：或. 【变式2-1】（多选）若直线与圆相交于两点，则的长度可能等于（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】BCD 【详解】设圆心到直线的距离为， 由于直线恒过原点，且，故， 又，即， 故选：BCD． 【变式2-2】直线被圆所截得的弦长为 . 【答案】 【详解】化为标准方程得， 则圆心为，半径， 显然直线过圆心，则所截得弦为直径，其长为. 故答案为： 【变式2-3】已知圆的圆心在直线上，与x轴相切于点． (1)求圆的方程； (2)过坐标原点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）设圆的圆心为，半径为， 又圆的圆心在直线上，与x轴相切于点，所以， 故圆的方程为. （2）由题知直线的斜率存在，设， 则圆心到直线的距离为，又直线被圆截得的弦长为， 所以，化简得到，解得或， 所以直线的方程为或. 重难点三 圆内接三角形问题 【例5】已知直线与 交于A，B两点，写出满足的面积为的实数m的一个值 . 【答案】（任意一个也对） 【详解】的圆心为，半径为， 则圆心到的距离为， 则， 故，解得或， 当时，，解得， 当时，，解得， 故或 故答案为：（任意一个也对） 【例6】已知圆的圆心为原点，斜率为1且过点的直线与圆相切 (1)求圆的方程； (2)过的直线交圆于、，若面积为，求直线方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）过点且斜率为1的直线为， 则圆心到直线的距离， 所以半径，则圆的方程为； （2）设到直线的距离为，则，解得， 若直线斜率不存在，方程为，满足题意； 若直线斜率存在，设为，直线的方程为， 因为，所以，解得， 直线的方程为，即； 综上，直线方程为或.    【变式3-1】在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于A，B两点，若钝角的面积为，则实数a的值是 ． 【答案】/ 【详解】解：由圆，即， 可得圆心坐标为，半径为， 因为钝角的面积为，可得， 解得，因为，所以， 可得， 设圆心到直线的距离为，又由圆的弦长公式，可得，解得， 根据点到直线的距离公式，解得． 故答案为：． 【变式3-2】（多选）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知圆O半径为3，直线l1、l2互相垂直，垂足为M(1，2)，且l1与圆O相交于A、C两点，l2与圆O交于B、D两点，则四边形ABCD面积的值可以为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】BC 【详解】解：如图，作于点，于点， 则，，则． 因为，所以，即，所以，故当时，有最大值26，此时，当或时，有最小值24，此时，所以四边形ABCD面积的范围为． 故选：BC 【变式3-3】（多选）已知AB为圆的直径，直线与y轴交于点M（A，B，M三点不共线），则（    ） A．l与C恒有公共点 B．是钝角三角形 C．的面积的最大值为l D．l被C截得的弦的长度最小值为 【答案】ABD 【详解】直线与y轴交于点M，， 且M在圆内部， 所以l与C恒有公共点，A正确； 因为点M在圆内部，为钝角，是钝角三角形，B正确； M到AB的最大距离，即到圆心的距离为1， ，故C错误； l被C截得的弦的长度的最小时，圆心到直线的距离最大， 且此距离为M到圆心的距离为1，故弦长为，故D正确. 故选：ABD 知识点3圆的切线与切点弦方程 过圆上一点的切线方程为:. 重难点四 求切线方程 【例7】圆在点处的切线方程为 . 【答案】 【详解】由题意可知：圆的圆心为， 因为点在圆上，故切线必垂直于切点与圆心连线， 而切点与圆心连线的斜率为，故切线的斜率为， 故切线方程为：，即. 故答案为： 【例8】已知动点到两个定点，的距离的比 (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点作曲线的切线，求切线的方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）设，由题意得，即，化简得， 所以动点的轨迹的方程为. （2）由（1）知化简为标准方程为，圆心为，半径， 设直线的斜率为，即直线方程为，因为直线与圆相切， 所以，解得或， 所以直线的方程为或. 【变式4-1】已知圆，过点作圆的切线，则切线方程为 . 【答案】 【详解】因为，所以点在圆上， 设切线的斜率为，则，. 则切线方程为. 故答案为： 【变式4-2】设点是直线与直线的交点，过点作圆的切线，请写出其中一条切线的方程： ．（只需写一条即可）． 【答案】（或） 【详解】   如图，由题意知，圆，联立，解得， 即点，过点作圆的切线，其切线方程为或． 故答案为：（或）． 【变式4-3】已知圆经过两点，且圆心在轴上，一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切. (1)求圆的方程； (2)求反射后光线所在直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）设圆心的坐标为，则， 即， 即，解得， 圆心的坐标为，圆的半径， 所以圆的方程为. （2）点关于轴的对称点为，反射光线经过点， 当反射光线所在直线的斜率不存在时，直线与圆不相切，不符合题意， 当反射光线所在直线的斜率存在时，设方程为：， 即， 设圆心到直线的距离为， 因为反射光线所在直线与圆相切， 所以,所以， 即,解得或, 所以反射后光线所在直线的方程为或 重难点五 有关切线的其它问题 【例9】过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为， 记点，记切点分别为、，如下图所示： 由切线长定理可得，又因为，， 所以，，所以，， 设，由圆的几何性质可得， 则，所以，， 由图可知，为锐角，则， 所以，，故. 故选：A. 【例10】在平面直角坐标系中，已知圆，为直线上的一个动点，过点作圆的切线，切点为点，当最小时，则的值为（    ） A．4 B． C．2 D．3 【答案】A 【详解】由于是圆的切线，所以，所以， 当时，最小，此时最小. 到直线的距离为， 则时，，， 所以此时三角形是等腰直角三角形， 所以当最小时，则的值为. 故选：A 【变式5-1】已知点是直线上一动点，过点作圆的一条切线，切点为，则线段长度的最小值为（　　） A． B． C． D．1 【答案】D 【详解】圆的圆心，半径， 由题意可得， 则， 则当取得最小值时，线段长度的最小， ， 所以. 故选：D. 【变式5-2】过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以点在圆外， 设圆心为，点为点，切点为， 圆化为标准方程得， 则圆心，半径， 在中，，所以， 故， 由圆的切线的性质可得， 所以. 故选：A. 【变式5-3】过轴上一点作圆的两条切线，切点为A，B，当切线长最短时，则劣弧长（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆的圆心，半径，点到轴距离， 则，当且仅当点与原点重合时取等号，显然， 则，当时，， 于是，圆心角，所以劣弧长. 故选：D 知识点4圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系的判定方法有几何法和代数法两种，如下表： 位置关系 几何法 代数法 图示 外离 外切 相交 内切 内含 重难点六 圆与圆的位置关系 【例11】圆：与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 【答案】A 【详解】圆的圆心为，半径为；， 则圆的圆心为，半径为. 两圆心之间的距离， 且满足，可知两圆相交. 故选：A. 【例12】若圆上总存在两个点到点的距离为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为圆上总存在两个点到点的距离为， 所以圆与以为圆心，为半径的圆有个公共点， 则圆与圆相交， 所以，即， 解得：且， 所以实数的取值范围是． 故选：D． 【变式6-1】“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 又，所以两圆相内切， 又表示圆及圆内的点， 表示圆及圆内的点， 即由推不出，故充分性不成立， 由推得出，故必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B    【变式6-2】（多选）已知集合，.若，则实数可以为（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】ABC 【详解】由题意，，即圆在圆的内部或圆上， 则，即. 故选：ABC    【变式6-3】若圆与圆有且仅有一条公切线，则 . 【答案】 【详解】由两圆有且仅有一条公切线，故两圆内切， 由可得， 即该圆以为圆心，为半径， 圆，圆心为， 故有且， 解得. 故答案为：. 知识点5圆系方程 1.经过圆与直线的两个交点的圆的方程可设为: .整理得. 2.经过圆 与圆的两个交点的圆的方程可设为:. 注：当时,即两圆相减时,分为以下三种情况 （1）当两圆相交时, 它为公共弦所在直线方程; （2）当两圆相切时, 它为公切线方程; （3）当两圆相离或包含时，它为到两圆的切线段相等的点的集合; 显然, 当两圆相离且半径相等时, 它为两圆的对称轴. 重难点七 圆的公共弦问题 【例13】已知圆：和圆：，则两圆公共弦所在直线的方程为 . 【答案】 【详解】圆：和圆：， 两圆作差相减，得直线方程为， 经检验，直线方程满足题意. 故答案为：. 【例14】已知圆与圆相交，则相交的公共弦长为（    ） A． B． C．5 D．2 【答案】D 【详解】圆的圆心为，半径， 圆圆心，半径， 而，则两圆相交， 于是得两圆的公共弦所在的直线方程为，圆心到此直线距离， 所以公共弦长为. 故选：D 【变式7-1】圆与圆的公共弦长为 . 【答案】 【详解】将两个圆的方程作差得：，即公共弦所在的直线为， 又知，，则到直线的的距离为： ，所以公共弦长为， 故答案为：. 【变式7-2】已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为，则 ． 【答案】 【详解】解法一，可化为，所以圆的圆心为，半径为2，易知其中一条切线与轴重合， 不妨设此切点为，易得， 故以为圆心，为半径的圆的方程为， 将两圆的方程相减得到直线的方程． 将代入，得，解得或． 所以得，故． 解法二，连接，则，设与的交点为， 由，可得，又， 所以， 故，． 故答案为：. 【变式7-3】已知圆与圆相交于两点，当为直角三角形时，的值为 . 【答案】2 【详解】与相减得， ，即直线的方程为， 圆的圆心为，半径为2， 因为为直角三角形，所以， 故到直线的距离为， 所以，因为，解得. 故答案为：2 重难点八 圆的公切线问题 【例15】已知圆，圆，下列直线中不能与圆，同时相切的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知：， 所以圆的圆心为，半径为1；圆的圆心为，半径为2， 对于A，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件， 圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件， 即直线是两圆的一条公切线； 对于B，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件， 圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件， 即直线是两圆的一条公切线； 对于C，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件， 圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件， 即直线是两圆的一条公切线； 对于D，圆的圆心到直线的距离为，不满足相切条件， 即直线不可能是两圆的公切线； 故选：D. 【例16】（多选）圆，圆，则下列直线中为两圆公切线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】由题知圆，圆心为，半径为， 圆，圆心为，半径为， 由两圆圆心和半径大小知，两圆公切线的斜率存在， 设公切线方程为l：， 则到l的距离 到l的距离 得， ， 解得或， 当时，， 解得或，即或， 当时，， 解得或，即或， 故选：BCD 【变式8-1】（多选）已知圆：，圆：，P，Q分别是，上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．当时，四边形的面积可能为7 B．当时，四边形的面积可能为8 C．当直线PQ与和都相切时，的长可能为 D．当直线PQ与和都相切时，的长可能为4 【答案】ACD 【详解】圆：的圆心，半径； 圆：的圆心，半径； 可知，可知两圆外离， 对于选项AB：设，    因为，可知梯形的高为， 所以四边形的面积为， 可知四边形的面积可能为7，不可能为8，故A正确，B错误； 对于选项CD：设直线与x轴的交点为，根据对称性可知： 如图，因为，可知，    则，可知， 所以； 如图，因为，可知，    则，可知， 所以； 故CD正确； 故选：ACD. 【变式8-2】已知圆，圆. (1)求两圆的公共弦所在直线的方程及弦长； (2)求两圆的公切线方程. 【答案】(1)； (2)和 【详解】（1）易知圆的圆心，半径为1，圆的圆心，半径为3， 已知圆，圆，即， 两圆方程相减可得公共弦直线方程为， 所以点到的距离为， 所以公共弦长为， 故两圆公共弦直线方程为，公共弦长为； （2）因为圆的圆心，半径为，圆的圆心，半径为， 由图象可知，有一条公切线为：， 直线与的交点为， 设另一条公切线的方程为，即， 则点到此公切线的距离，解得， 所以另一条公切线的方程为，即 综上，两圆的公切线方程为和． 【变式8-3】证明圆与圆内切，并求切点坐标以及两个圆的公切线方程. 【答案】证明见解析，； 【详解】将两圆化为标准方程得： ，， 即两圆的圆心坐标分别为与，半径分别为，， 则两圆心距离为， 则，故两圆内切， 两圆方程作减得两圆公切线：， 与圆联立，消去得：，解得， 则，故两圆的切点坐标为 重难点九 圆系问题 【例17】圆经过点，且经过两圆和圆的交点，则圆的方程为 ． 【答案】 【详解】设圆的方程为：， 整理得到：， 因为圆过，代入该点得到：即， 故圆的方程为：即， 故答案为：. 【例18】已知圆与直线交于，两点，则经过点，，三点的圆的标准方程为 ． 【答案】 【详解】联立直线和圆，解得， 设圆的标准方程为，则有， 解得，所以圆的标准方程为. 故答案为：. 【变式9-1】已知圆：与圆：. (1)求证：圆与圆相交； (2)求经过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：圆：化为标准方程为， ∴，，∵圆：的圆心坐标为，半径为， ∴，∵.∴两圆相交； （2）由，解得或 则交点为，，∵圆心在直线上，设圆心为， 则，即，解得， 故圆心，半径，∴所求圆的方程为. 【变式9-2】已知圆，圆，则过圆与圆的交点且圆心在直线上的圆的方程为 . 【答案】 【详解】设圆与圆的交点分别为，联立方程组，解得或，则， 设所求圆的圆心为，因为圆心在直线上，可得， 则，解得， 所以圆心为，半径， 所以，所求圆的方程为. 故答案为：. 【变式9-3】已知圆. (1)求过点且与圆相切的直线方程; (2)求经过直线与圆的交点, 且面积最小的圆的方程. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）由得， 圆心，半径， 又到圆心的距离为， 所以点在圆外， 所以过点的切线共有两条， 当切线斜率存在时，设切线方程为， 即， 所以圆心到直线的距离， 解得，所以直线方程为， 即， 当直线斜率不存在时，直线方程为，与圆相切， 综上所述，切线方程为或. （2）已知可设圆的方程为， 即， 则圆的半径， 可知当时，取最小值为，此时面积最小为. 一、单选题 1．已知直线l：与圆C：有公共点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆C：，知， 圆心到直线的距离为：， 解得：. 故选：A 2．“”是“直线被圆截得的弦长为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】要使直线被圆截得的弦长为， 当且仅当圆心到直线的距离. 此即，即，即或，即或. 显然，“”是“或”的充分不必要条件. 故选：A. 3．已知直线交圆C：于M，N两点，则“为正三角形”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由C：可得其圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 若为正三角形，则有，即， 即，解得或， 故“为正三角形”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4．若圆C：上总存在两个点到原点的距离均为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】到原点的距离为的点的轨迹为圆：， 因此圆C：上总存在两个点到原点的距离均为， 转化为圆：与圆C：有两个交点， 因为两圆的圆心和半径分别为，，，， 所以，故，解得或， 故实数a的取值范围是，故A正确. 故选：A 5．已知点，在圆上，点，，则使得是面积为的等边三角形的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】设中点为E，由正三角形面积公式可知， 由正三角形及圆的对称性可知，则三点共线， 而， 因为，所以P在以为圆心，2为半径的圆上， 由圆的位置关系可知，当且仅当时取得，此时， 即满足条件的点P只有一个. 故选：A 6．已知点在圆上，点，，则满足的点的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【详解】解：设点，则， 由，得， 即， 故点的轨迹为一个圆心为、半径为的圆， 又点在圆上， 两圆的圆心距为，半径和为，半径差为， 有，所以两圆相交，满足这样的点有2个． 故选：． 二、多选题 7．在平面直角坐标系中，已知圆与圆，分别为圆和圆上的动点，下列说法正确的是（    ） A．过点作圆M的切线有且只有一条 B．若圆和圆恰有3条公切线，则 C．若的最小值为1，则 D．若，则直线的斜率的最大值为 【答案】BD 【详解】由圆，可得圆心为，半径为， 圆，可得圆心为，半径为， 对于A中，由点在圆外，所以过点的切线有2条，所以A不正确； 对于B中，若圆和圆恰有3条公切线，则圆和圆相外切， 所以，即，解得，所以B正确； 对于C中，当圆和圆外离时，可得的最小值为，此时； 当圆和圆内含时，可得的最小值为，此时，所以C不正确； 对于D中，当时，则直线的斜率的最大值是斜率为正的内公切线斜率， 如图所示，，且，所以， 在直角，可得，所以， 即直线PQ的斜率的最大值为，所以D正确. 故选：BD. 8．设a，b为实数，已知圆O：，点在圆O外，以线段为直径作圆M，与圆O相交于A，B两点．下列说法中正确的是（    ） A．当时，点Q的轨迹方程为 B．当，时，直线的方程为 C．当，时， D．若圆O上总存在两个点到点Q的距离为1，则 【答案】BCD 【详解】对A：如图 时，，所以点Q的轨迹方程为，故A错误； 对B：如图： 当，时，的方程为：即， 所以直线的方程为. 故B正确； 对C：如图： 当，时，在中，， 所以. 故C正确； 对D：因为点在外，所以，又圆O上总存在两个点到点Q的距离为1， 所以，所以，即. 故D正确. 故选：BCD 三、填空题 9．已知圆和圆，观察可得它们都经过坐标原点，除此之外，它们还相交于一点，这点的坐标是 ． 【答案】 【详解】联立两圆方程，解得或， 即可得这点的坐标为. 故答案为： 10．点为圆上的动点，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】圆可化为，圆心坐标为，半径为1， 的几何意义为圆上的动点与定点连线的斜率， 设过的圆的切线方程为，即． 由圆心到切线的距离等于半径，得，解得．   的取值范围是． 故答案为：． 11．已知定点，圆，M，N为上的动点，满足，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】   设MN的中点为P，则，所以， 由圆的定义知，点P的轨迹为以O为圆心，1为半径的圆，其方程为， 所以， 又，点P在圆上运动，所以，所以. 故答案为： 四、解答题 12．已知直线与圆相交于A，B两点. (1)若P为圆C上一点，求点P到直线l的最大距离； (2)求弦的长度. 【答案】(1) (2)2 【详解】（1）圆，圆心，半径，             圆心到直线的距离，                     所以点P到直线l的最大距离为. （2），即，         解得. 13．根据下列条件，分别求满足条件的直线或圆的方程： (1)已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆A相交于，当时，求直线的方程； (2)以为圆心的圆与圆相切，求圆的方程. 【答案】(1)或 (2)或 【详解】（1）易知到直线的距离为圆A半径r， 所以，则圆A方程为， 过A做,由垂径定理可知，且， 在中由勾股定理易知. 当动直线斜率不存在时，设直线的方程为， 经检验圆心到直线的距离为，且根据勾股定理可知， 显然合题意， 当动直线斜率存在时，过点，设方程为：， 由到距离为知得， 代入解之可得， 所以或为所求方程． （2）两圆的圆心之间的距离为. 当两圆外切时，圆的半径为； 当两圆内切时，圆的半径为. ∴圆的方程为或. 故答案为：或. 14．如图，圆与圆的半径都是2，，过动点P分别作圆与圆的切线PM，PN，M，N分别为切点，使得. (1)试建立适当坐标系，求动点P的轨迹方程； (2)若圆与圆的一条公切线与坐标轴平行，判断直线与曲线P的位置关系？若相交，求出弦长，若不相交，说明理由. 【答案】(1) (2)相交， 【详解】（1）取中点为坐标系原点O，建立平面直角坐标系， 则， 设，因为，可得， 所以，可得， 整理得，即轨迹方程为. （2）由圆，可得，可得圆心，半径， 因为圆与圆的一条公切线与坐标轴平行，可得得方程为或， 则圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交， 又由圆的弦长公式，可得. 15．已知圆：和圆：． (1)若圆与圆相交，求r的取值范围； (2)若直线l：与圆交于P、Q两点，且，求实数k的值． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）圆：的标准方程为，则圆心，， 圆：的标准方程为，则圆心，， 所以． 因为圆与圆相交，所以， 即，解得， 所以r的取值范围为． （2）已知直线l：与圆交于P、Q两点， 设，，联立，得， 由，得， 所以， 所以，解得， 因为，所以． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$