2.3.2等腰三角形的性质定理 课件 2024—2025学年浙教版数学八年级上册

2.3.2等腰三角形的性质定理2 浙教版数学 八年级上册 汇报人：WPS 复习回顾 【等腰三角形性质定理1】等腰三角形的两个底角相等.也就是说，在同一个三角形中，等边对等角. A B C D 1 2 D A B C 作顶角的角平分线 作底边的中线 探究1、请作出等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高， 你有什么发现？ 猜想：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合 活动探究 A B C D 1 2 如何验证猜想 已知求证 已知：在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线 证明过程 A B C D 1 2 在△BAD和△CAD中， AB=AC ( 已知 )， ∠1=∠2 ( 角平分线的意义 )， AD=AD (公共边) ， ∵ ∴ △BAD ≌ △CAD (SAS). ∴ ∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC=90° (全等三角形的对应角相等). 即AD是∠BAC的平分线，AD⊥BC 活动探究 求证：BD=CD，AD⊥BC 已知求证 已知：在△ABC中，AB=AC，AD是底边的中线 证明过程 A B C D 在△BAD和△CAD中， AB=AC ( 已知 )， BD=BC AD=AD (公共边) ， ∵ ∴ △BAD ≌ △CAD (SSS). ∴ ∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC=90° (全等三角形的对应角相等). 即AD是∠BAC的平分线，AD⊥BC 活动探究 求证：∠BAD=∠CAD，AD⊥BC 已知求证 已知：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC 证明过程 A B C D 在△BAD和△CAD中， AB=AC ( 已知 )， BD=BC AD=AD (公共边) ， ∵ ∴ △BAD ≌ △CAD (SSS). ∴ ∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC=90° (全等三角形的对应角相等). 即AD是∠BAC的平分线，AD⊥BC 活动探究 求证：∠BAD=∠CAD，BD=CD 【等腰三角形性质定理2】等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形三线合一 概念理解 A B C D 1 2 在△ABC中 （1）∵AB=AC，AD⊥BC， ∴∠___=∠___，____=____； （2）∵AB=AC，AD是中线， ∴∠＿=∠＿，____⊥____； （3）∵AB=AC，AD是角平分线， ∴____⊥____，____=____. 用符号语言表示为： 1 2 BD CD 1 2 AD BC AD BC BD CD 【思考1】“三线合一”可以出现在底角平分线，腰的中线和腰上的高线吗？ A B C D E F 【思考2】等边三角形是否也有同样的性质呢？ 【例3】 已知：如图，AD平分∠BAC，∠ADB=∠ADC. 求证：AD⊥BC. 分析： AD⊥BC 只需证△ABC 是等腰三角形 AB=AC 三线合一 △ABD≌△ACD 还有其它证明方法吗 例题解析 E 证明：延长AD，交BC于点E. ∵AD 平分∠BAC， ∴∠BAD= ∠CAD（角平分线的定义）. 在ΔΑBD和ΔACD中 ∠BAD= ∠CAD AD=AD（公共边）， ∠ADB= ∠ADC（已知）， ∴ΔΑBD≌ΔACD（ASA）. ∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）. ∴△ABC 是等腰三角形（等腰三角形的定义）. AE是等腰三角形ABC顶角的平分线， ∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一） 即 AD⊥BC. E 例题解析 【练习】已知：如图，AC=AD，BC=BD，AB与CD相交于O点.求证：AB⊥CD. C A D B O 证明：∵在△ABC和△ABD中 ∴△ABC≌△ABD（SSS）. ∴∠CAB=∠DAB， ∴AO是△ADC的顶角平分线， 又∵AC=AD，∴△ADC为等腰三角形（定义）， ∴AO⊥CD（等腰三角形三线合一），即AB⊥CD. AC=AD（已知）， BC=BD（已知）， AB=AB（公共边）， 课内练习 【例题-作图】 已知线段a，h，用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使底边BC=a，底边BC=a，底边BC上的高线长为h. 作法 如图： h a 1、作线段BC=a； 2、作线段BC的垂直平分线MN，交BC于点D； 3、在直线 MN 上截取DA=h，连结AB、AC。 △ABC就是所求作的等腰三角形。 21cnjy.com 例题解析 【练习-作图】 已知∠α和线段a，用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使顶角∠BAC=∠α，角平分线AD=a。 课内练习 等腰 三角形 从边看 两边相等 从三线看 两腰上的中线相等 思想 1. 分类讨论 2. 方程思想 课堂小结 两底角平分线相等 从角看 两底角相等 等边对等角 两腰上的高线相等 从对称性 是轴对称图形，对称轴是顶角平分线 三线合一 1.如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， D 是 BC 的中点，下列结论中不一定正确是(　D　) A. ∠ B ＝∠ C B. AD ⊥ BC C. AD 平分∠ BAC D. AB ＝2 BD D (第1题) 2. 木工师傅将一把含45°角的直角三角尺和一个重锤如图放置，就能检查横梁是否水平，能解释这一现象的数学知识是(　B　) B A. 角平分线的性质定理 B. 等腰三角形的三线合一 C. 线段垂直平分线的性质定理 D. 两直线垂直的性质 (第2题) 随堂检测 3. 如图，在等腰三角形 ABC 中， AB ＝ AC ，∠ BAC ＝40°，中线 AD 与角平分线 CE 交于点F ，则∠ CFD 的度数为(　D　) A. 25° B. 35° C. 45° D. 55° (第3题) D 4. 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， D 是 BC 的中点， BF ⊥ AC 于点 F ，交 AD 于点 E . 若 AF ＝ BF ， BD ＝2，则 AE ＝ ⁠. 4　 (第4题) 随堂检测 5. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，DE，DF分别是∠ADB，∠ADC的平分线．求证：DE＝DF． 1 2 证明：∵AB＝AC，D为BC中点， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∠1＝∠2， ∵DE、DF分别是∠ADB，∠ADC的平分线， ∴∠ADE=∠ADB=45°，∠ADF=∠ADC=45°， ∴∠ADE＝∠ADF， 在△ADE和△ADF中， ∴△ADE≌△ADF（ASA）， ∴DF＝DE． 随堂检测 随堂检测 6. 如图，△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE=3，则BF= 　 　 ． 解：∵△ABC中，AB=AC,AD⊥BC， ∴AD是△ABC的中线， ∴S△ABC=2S△ADB=2×BA×DE=3AB， ∵S△ABC=AC×BF，∴AC×BF=3AB， ∵AB=AC， ∴BF=3，∴BF=6． 6 $$