1.1探究勾股定理教学设计 2024-2025学年北师大版数学八年级上册

勾股定理 课名称 勾股定理 适应对象 八年级 教学目标 1.了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法、拼图法证明勾股定理； 2.经历观察—探究—猜想—论证勾股定理的过程，发展合情推理能力，体会数形结合和从特殊到一般的数学思想方法； 教学重点 探索并证明勾股定理 教学难点 勾股定理的探究和证明 设计思路 勾股定理研究的是直角三角形三边之间特有的数量关系，将形与数密切联系起来，是解直角三角形的主要依据。 教学过程 内 容 复案 1、 导入 同学们你们好，欢迎来到老师的数学微课堂，上课前看一个实例。某大楼不幸发生了火灾，消防队员需要以对面的街角为支撑点，向受灾的楼层搭建救灾梯，已知楼层高和楼与街角的距离，那么老师问大家消防队员需准备多长的梯子？ 师：现在我们不妨设楼层高为a，楼距离街角b，大楼与地面垂直，此时可以转化为纯数学问题：在一个直角三角形中，已知两条直角边的长，求斜边。我们在计算这个数学问题之前先复习一下三角形的相关知识吧！ 2、 正文讲解 一、创设情境，提出问题 请同学们先一起思考一下这个探究： 探究：等腰直角三角形三条边长有什么等量关系？ （参考） 师：（动画突出展示方格中的三角形）观察上图中的等腰直角三角形，你们能发现它的三边有什么数量关系呢？首先我们来看，这个小正方形的面积是由两个单位三角形组成的，旁边的也是两个，那么两个小正方形的面积和就是四个单位的小三角形，而下面的大正方形面积刚好也是四个单位的三角形，所以我们就有S1+S2=S3啦。 二、类比探究，建立模型 师：上一个探究同学们做的很好，接下来这个探究我相信同学们也可以很好的完成的。 探究：借助网格，提出猜想。大家带着下面两个问题，然后进行小组讨论一下，并进行如下猜想。 1.如何计算正方形C的面积？ 2.正方形A、B、C面积之间的数量关系是什么？ 生：面积C我是用割的方法，分割为四个直角三角形和一个正方形得到C等于5的平方，也就是25。用公式表示为： 师：你的数学思维真强，在方格纸上，我们以图中的RT△ABC的三边为边长分别向外作正方形得到三个大小不同的正方形，那么这三个正方形的面积A，B和C之间有什么关系呢？请同学们开动脑筋想一想，我们已经知道C的面积了，正方形A的面积是3的平方，就是9平方厘米，正方形B的面积是4的平方，也就是16平方厘米。 生：我发现16+9=25，也即A+B=C。 师：没错！这是三个正方形面积的关系，换成直角三角形的三边就是，。现在思考一个问题，边长为任意长度的直角三角形还成立吗？ 4.提出猜想：如果直角三角形的两直角边长分别为，,斜边长为，那么。 探究三：多种方式，证明猜想 拼图证明：我们可以借助课本上“赵爽弦图”尝试新的证明方法，进而证明我们刚刚提出的猜想。 生：我是这么做的。先剪出4个像这样的直角三角形，由于每个直角三角形的两直角边长为a，b，所以他们全等，从而他们的斜边长相等。斜边长为c,再剪出1个边长为c的正方形。最后把刚刚剪出来的5个图形拼成这样的图形。 师：你的想法太棒了，比老师想的还好。剪成这样之后，我们应该怎么来证明呢？ 生：因为S大正方形=S小正方形+4S直角三角形,用字母表示就是（a+b）2=c2+4·1/2ab，再将两边式子展开，a2+2ab+b2=c2+2ab，所以得到 师：非常好，由此得到直角三角形的性质定理，直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方。用几何语言表达如下： 即 可得出 2.已知：在ΔABE中，∠AEB＝90°，∠BAE， ∠EBA，∠AEB的对边分别为,,,求证： 解：如图，延长EA到F，使AF=BE,过点F作DF⊥AF,且使DF=AE,连接AD 、BD， 即： 师：这个结论就是我们有名的勾股定理（a²+b²=c²）。它为什么叫做勾股定理呢？下面老师给同学们分享一下勾股定理小史吧！我们已经学习了毕达哥拉斯以及赵爽的证明方法。 但其实，我国早在公元前11世纪，商高当时就已经提出过勾三股四弦五，但可惜的是，保存下来的记录中没有相关证明。 三、应用勾股定理，大家一起动手进行计算吧 例1 在Rt△ABC中， ∠C=90°. （1）已知a=5，b=12,求c； （2）已知a=6，c=10,求b； 解：（1）在Rt△ABC中，∠C=90° 由勾股定理得： （2） 在Rt△ABC中，∠C=90° 由勾股定理得： 例2 如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形。已知正方形A，B，C，D的边长分别是12，16，9，12，求最大正方形E的面积。 M N 解： 正方形E的面积625. 课堂总结： 请同学们带着以下问题对本节课进行总结： 师：第一个问题是勾股定理揭示了直角三角形三边长怎样的相等关系？我们这节课研究勾股定理的思路又是什么呢？ 生：直角三角形中直角边的平方和等于斜边的平方和，思路是通过面积关系找出直角三角形三边的关系。 总结 师：通过本节课的学习，同学们对勾股定理又进一步掌握了，下课需多练习。 作业练习 作业练习 1、若直角三角形中，有两边长是3和4，第三边长的平方为（ ） A. 25 B. 14 C. 7 D. 7或25 2、求下列图中未知数x、y的值： 3、如图是用4个全等的直角三角形拼成，AB=10，EF=2，AH的长为_____. 4、一高为2.5米的木梯，架在高为2.4米的墙上（如图），这时梯脚与墙的距离是多少？ 5、在RT△ABC中，∠C=90°，AB=15,BC:AC=3:4,求BC的长。 教学反思 教学反思 首先，学生在以前数学学习中已经经历了很多独立探究和合作学习的过程，具有了一定的自主探究经验和合作学习的经验，具备了一定的探究能力和合作与交流的能力；尤其在在七年级《图案设计》的学习中已经具备了一定的拼图活动经验。 在教学过程中由特殊到一般，突出重点，突破难点，抓住关键等等这一系列的设计，充分体现了新课改的理念。“数因形而直观，形因数而入微”数形结合，对培养学生思维和创新意识都起了非常重要的作用。本微课通过测量和数格子的方法探索让学生发现了勾股定理，但严格来讲，学生测量的只是一些特殊值，而且计算结果是近似值数格子的方法中直角边也是特殊值，且采用典型图形：毕达哥拉斯和赵爽弦图来验证勾股定理，动画的动态演示，鼓励学生自主探索。 学科网（北京）股份有限公司 $$