九年级数学上学期期中测试-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

2024-2025学年九年级数学上学期期中测试 总分：100分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第1-2章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．已知一元二次方程的一个根为，则另一根为（　　） A．1 B．3.5 C．2 D． 2．已知的半径是，则中最长弦长是 （    ） A． B． C． D． 3．如图，是的直径， 点C是上与点A， B不重合的点， 若， 则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．小区一家快递店，星期一收快递件100件，星期三收144件，设该快递店收件平均每天增长率为x，可列方程（        ） A． B． C． D． 5．对于实数a、b，定义新运算，规则如下：，则等式中的值为（    ） A．1或 B．或7 C． D． 6．如图，已知的直径与弦的夹角为，过C点的切线与的延长线交于点P，则等于（    ） A． B． C． D． 7．已知、是方程的两个实数根，则的值是（   ） A．2017 B．2018 C．2022 D．2024 8．在平面直角坐标系中有两点A，B若在y轴上有一点P，连接，当时，则称点P为线段关于y轴的“半直点”；例：如图点，；则点就是线段关于y轴的一个“半直点”；若点，点，则线段关于y轴的“半直点”个数有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分． 9．一元二次方程的一次项系数为 ． 10．如图，已知，是的半径，，是的两条弦．若，则 °； 11．《九章算术》中“勾股”章有一题：已知矩形门的高比宽多尺，门的对角线长尺，那么门的高和宽各是多少？如果设门的宽为尺，根据题意，那么可列方程 ． 12．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为 ． 13．在实数范围内定义一种运算“”，其规则为，根据这个规则，方程的解为 ． 14．如图，、的坐标分别为和，，为的内切圆，则的横坐标为 ．    15．已知，，且，则 ． 16．如图，为的直径，C为上一点，其中，P为上的动点，连接，取中点Q，连，则线段的最大值为 ． 三、解答题：本题共9小题，共68分. 17．用配方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4) 18．如图,在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中,的顶点均为格点（网格线的交点）,坐标分别为,,． (1)将沿轴向左平移个单位长度,画出平移后的; (2)将绕点按顺时针方向旋转,画出旋转后的; (3)在（2）的条件下,求点绕点旋转到点所经过的路径长（结果保留）． 19．已知：关于x的方程． (1)求证：无论m为何值，方程总有实数根； (2)若，求m的值． 20．如图，圆内接四边形，是的直径，交于点E． (1)求证：点D为的中点； (2)若，求． 21．某商店销售一种成本为每千克40元的产品，根据市场分析，若按照每千克50元销售，一个月能售出这种产品500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克． (1)销售单价为58元时，这种产品的月销量是多少千克？ (2)该商店想在月销售成本不高于10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少元？ 22．已知是的直径，点是延长线上一点，，是的弦，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，垂足为，的半径为，求的长． 23．如图四边形内接于为直径，，过点作于点，是的切线，，连接、． (1)求证：； (2)求、与围成阴影部分的面积． 24．古建中的数学：古亭探“优”． 【了解】 “江山无限景，都聚一亭中．”八角亭是典型的中国八棱形楼阁式建筑，其结构稳固、匀称，有利于减弱风力、抵御地震，如图①，将八角亭顶部的轮廓抽象后得到的几何图形为正八边形． 【探索】 先将正方形、完全重合，再将正方形绕其中心旋转一定的角度，就得到了正八边形，如图②，这种构造正八边形的方法称为“四转八”法． （1）旋转的角度最小为_______º； （2）若正八边形的边长为2，则正方形的边长为______； （3）连接，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由； 【作图】 （4）如图③，已知正方形请你利用无刻度直尺和圆规作一个正八边形，并使其所有顶点均落在正方形的边上．（保留作图痕迹，并写出必要的说明） 25．定义：三角形两个内角的平分线相交所成的钝角称为该三角形第三个内角的好望角． (1)如图1，是中的好望角，，请用含的代数式表示． (2)如图2，在中，的平分线与经过两点的圆交于点，且．求证：是中的好望角． (3)如图3，在 （2）的条件下， ①取弧的中点，连接，若，求圆的半径． ②若，，请直接写出线段的最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上学期期中测试 总分：100分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第1-2章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．已知一元二次方程的一个根为，则另一根为（　　） A．1 B．3.5 C．2 D． 【答案】B 【分析】设方程的另一个根为t，根据两根之积得到然后解一次方程即可． 本题考査了一元二次方程的解及根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时， ． 【详解】解：设方程的另一个根为t， 根据题意得，解得， 故选：B． 2．已知的半径是，则中最长弦长是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（ 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．利用圆的直径为圆中最长的弦求解． 【详解】解：∵的半径是， ∴中最长弦长是． 故选：C． 3．如图，是的直径， 点C是上与点A， B不重合的点， 若， 则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握直径所对的圆周角是直角．根据圆周角定理得出，即可解答． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 4．小区一家快递店，星期一收快递件100件，星期三收144件，设该快递店收件平均每天增长率为x，可列方程（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查一元二次方程的应用，确定等量关系是解决本题的突破点．平均增长率为x，关系式为：第三天收快递件＝第一天收快递件×（1＋平均增长率），把相关数值代入即可． 【详解】解：由题意得：星期一收快递件100件，星期三收144件， ∴可列方程为：， 故选：A． 5．对于实数a、b，定义新运算，规则如下：，则等式中的值为（    ） A．1或 B．或7 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，本题是新定义型，理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键．利用新运算的规定列出方程，解方程求解即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴． 故选B． 6．如图，已知的直径与弦的夹角为，过C点的切线与的延长线交于点P，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质、三角形的外角定理和等腰三角形的性质，切记切线垂直于过切点的半径，直角三角形两锐角互余，本题先求出，再利用切线的性质得到，由此可以求出． 【详解】， ， ， 是的切线， ， ， ， 故选：B． 7．已知、是方程的两个实数根，则的值是（   ） A．2017 B．2018 C．2022 D．2024 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．根据一元二次方程的解得出，根据一元二次方程根与系数的关系得出，代入代数式即可求解． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ， ． ∵、是方程的两个实数根， ， ． 故选：． 8．在平面直角坐标系中有两点A，B若在y轴上有一点P，连接，当时，则称点P为线段关于y轴的“半直点”；例：如图点，；则点就是线段关于y轴的一个“半直点”；若点，点，则线段关于y轴的“半直点”个数有（        ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形判定与性质，圆与直线的位置关系，以为斜边，在左侧作等腰直角三角形，过E作轴，过C作于G，过D作于F，设，由，可得E坐标，以E为圆心，的长为半径作，判断与y轴交点个数即可求解． 【详解】以为斜边，在左侧作等腰直角三角形，过E作轴，过C作于G，过D作于F，如图： 设， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点，点， ∴， 解得， ∴， ∴， 以E为圆心，的长为半径作，过E作轴于H，如图： ∵，， ∴与y轴有两个交点M、N 此时， ∴线段关于y轴的“半直点”个数有2个，为M、N， 故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分． 9．一元二次方程的一次项系数为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，即，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．根据一元二次方程的一般形式的定义求解即可． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数为， 故答案为：． 10．如图，已知，是的半径，，是的两条弦．若，则 °； 【答案】110 【分析】本题考查圆周角定理，根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵是所对的圆心角，是所对的圆周角， ∴． 故答案为：110 11．《九章算术》中“勾股”章有一题：已知矩形门的高比宽多尺，门的对角线长尺，那么门的高和宽各是多少？如果设门的宽为尺，根据题意，那么可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是勾股定理的实际应用、一元二次方程的应用，解题关键是熟练掌握勾股定理的应用． 由题意根据勾股定理的实际应用列一元二次方程即可． 【详解】解：依题得：门的宽为尺，高为尺， 门为矩形， 有， 即． 故答案为：． 12．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式进行计算即可． 【详解】解：圆锥的侧面积为； 故答案为：． 13．在实数范围内定义一种运算“”，其规则为，根据这个规则，方程的解为 ． 【答案】或 【分析】此题考查用一元二次方程解决问题，考查学生的分析问题和探索问题的能力．此题将规定的一种新运算引入题目中，题型独特、新颖，难易程度适中，解题的关键是理解题意． 在此题中，，代入所给公式得：，则可得一元二次方程，解方程即可求得． 【详解】解：据题意得， ， ， 或． 故答案为：或． 14．如图，、的坐标分别为和，，为的内切圆，则的横坐标为 ．    【答案】 【分析】本题考查圆内切三角形的性质，切线长定理，坐标与图形．设的内切圆的各切点分别为、、，连接，根据三角形内切圆的性质可得出，根据切线长定理可得出，，．结合题意可求出，，从而得出，，进而可求出，即圆心的横坐标． 【详解】解：如图，设的内切圆的各切点分别为、、，连接，        ∴，，，． ∵，即， ∴， ∴． ∵，， ∴，， ∴，即， ∴，， ∴， ∴圆心的横坐标为． 故答案为：． 15．已知，，且，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系、一元二次方程根的定义、分式的运算．根据一元二次方程根的定义得到a、b是一元二次方程的两根，得到a和b的和与积，再把两根和与两根积求出，代入所求的式子中即可求出结果． 【详解】解：∵，， ∴a、b为方程的两个根， ∴，． ． 故答案为：． 16．如图，为的直径，C为上一点，其中，P为上的动点，连接，取中点Q，连，则线段的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理的推论、半圆所对的圆周角是直角、勾股定理、含30°角的直角三角形等知识点，正确寻找点Q的运动轨迹、构造辅助圆解决问题成为解题的关键．如图：连接，作于H，先证明点Q的运动轨迹为以为直径的，连接，当点Q在的延长线上时，的值最大，利用勾股定理求出即可解答． 【详解】解：如图：连接，作于H， ∵Q是中点， ∴， 根据垂径定理的推论可得， ∴， ∴点Q的运动轨迹为以为直径的，连接， 当点Q在的延长线上时，的值最大， ∵在直角中，， ∴，， ∴，， 又∵在直角中，， ∴， ∴，即的最大值为． 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共68分. 17．用配方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4) 【分析】本题考查解一元二次方程，正确计算是解题的关键： （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可； （3）利用配方法解一元二次方程即可； （4）利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ，； （2）解：， ， ，； （3）解：， ， ，； （4）解：， ， ， ． 18．如图,在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中,的顶点均为格点（网格线的交点）,坐标分别为,,． (1)将沿轴向左平移个单位长度,画出平移后的; (2)将绕点按顺时针方向旋转,画出旋转后的; (3)在（2）的条件下,求点绕点旋转到点所经过的路径长（结果保留）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查图形的平移,扇形弧长公式,勾股定理． （1）根据题意将,,三点横坐标均减得出新坐标连接即可; （2）先确定顺时针旋转的坐标,再确定的坐标,连接即可; （3）点绕点旋转到点所经过的路径为,利用弧长公式求出本题结果． 【详解】（1）解:∵,,, ∴沿轴向左平移个单位长度的坐标为,,,将连接即可得到,如图: （2）解:∵绕点按顺时针方向旋转, ∴,则, ∴将连接即可得到,如图: （3）解:∵,, ∴, ∵绕点旋转到点旋转了, ∴的长度为:． 19．已知：关于x的方程． (1)求证：无论m为何值，方程总有实数根； (2)若，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟记相关结论是解题关键． （1）对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．据此即可求解． （2）若一元二次方程的两个根为，则．据此即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴ 故无论m为何值，方程总有实数根 （2）解：由题意得：， ∵， ∴， 整理得：， 解得： 20．如图，圆内接四边形，是的直径，交于点E． (1)求证：点D为的中点； (2)若，求． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查的是垂径定理； （1）由垂径定理可得； （2）先根据垂径定理求出，圆周角定理得，根据勾股定理得到，得到半径，由勾股定理求出，由求解即可． 【详解】（1）∵是的直径，， ∴， 即点D为的中点； （2）∵是的直径，， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 21．某商店销售一种成本为每千克40元的产品，根据市场分析，若按照每千克50元销售，一个月能售出这种产品500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克． (1)销售单价为58元时，这种产品的月销量是多少千克？ (2)该商店想在月销售成本不高于10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少元？ 【答案】(1)420千克，详见解析 (2)80元，详见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用等知识点， （1）利用月销售量，可求出月销售量； （2）设销售单价为x元，则每千克的销售利润为元，月销售量为千克，利用月销售利润＝每千克的销售利润×月销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合销售成本不超过10000元，即可确定结论； 熟练掌握①根据各数量之间的关系，列式计算；②找准等量关系是解决此题的关键． 【详解】（1）根据题意得： （千克）， 答：当销售单价为每千克58元时，月销售量为420千克； （2）设销售单价为x元，则每千克的销售利润为元，月销售量为千克， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， 答：销售单价应定为80元． 22．已知是的直径，点是延长线上一点，，是的弦，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，垂足为，的半径为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的判定、同弧所对的圆周角相等、等边对等角、圆周角定理、三角形内角和定理、垂径定理、含度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，灵活运用知识点推理证明是解题的关键． （1）连接，根据同弧所对的圆周角相等得到，由等边对等角得到，利用圆周角定理得到，利用三角形内角和定理，求得，即可证明直线是的切线； （2）根据垂径定理得到，根据含度角的直角三角形的性质，得到，根据勾股定理计算，由，得出答案即可． 【详解】（1）证明：如图，连接，    ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴直线是的切线； （2）解：如图，连接， ∵是的直径，，垂足为，的半径为， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．如图四边形内接于为直径，，过点作于点，是的切线，，连接、． (1)求证：； (2)求、与围成阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，扇形面积的计算； （1）根据圆内接四边形的对角互补以及平角定义可得：，再根据直径所对的圆周角是直角可得：，从而可得，然后利用垂直定义可得，从而可得，最后根据等角的补角相等可得，即可解答； （2）在中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出和的长，从而求出的面积，然后根据圆周角定理可得，从而根据阴影部分的面积=的面积+扇形的面积，进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：四边形内接于， ， ， ， 为直径， ， ， ， ， ∴； （2）解：为直径， ， 过点作于点， ， ， 阴影部分的面积为． 24．古建中的数学：古亭探“优”． 【了解】 “江山无限景，都聚一亭中．”八角亭是典型的中国八棱形楼阁式建筑，其结构稳固、匀称，有利于减弱风力、抵御地震，如图①，将八角亭顶部的轮廓抽象后得到的几何图形为正八边形． 【探索】 先将正方形、完全重合，再将正方形绕其中心旋转一定的角度，就得到了正八边形，如图②，这种构造正八边形的方法称为“四转八”法． （1）旋转的角度最小为_______º； （2）若正八边形的边长为2，则正方形的边长为______； （3）连接，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由； 【作图】 （4）如图③，已知正方形请你利用无刻度直尺和圆规作一个正八边形，并使其所有顶点均落在正方形的边上．（保留作图痕迹，并写出必要的说明） 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析；（4）见解析 【分析】（1）设正方形、的中心为Q，连结、、、、、、、，可证得，得出，同理，可得； （2）由题意得，再由、、均为等腰直角三角形，即可求得答案； （3）由，，，可得，，即可求得答案； （4）连结、交于点，跟别以四个顶点为圆心，以、、、为半径画圆，圆与四条边的八个交点即为正八边形的顶点． 【详解】（1）解：如图设正方形、的中心为，连结、、、、、、、， 则、、、经过点，， ，， 四边形、是正方形， ， 是正八边形， ，， ， ， 同理， ， ； （2）正八边形的边长为2， ， 由（1）知：、、均为等腰直角三角形， ，， ； （3），理由如下： 由（2）知：，，， 可得，， ， ； （4）如图： 连结、交于点，跟别以四个顶点为圆心，以、、、为半径画圆，圆与四条边的八个交点即为正八边形的顶点． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转变换的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，尺规作图等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 25．定义：三角形两个内角的平分线相交所成的钝角称为该三角形第三个内角的好望角． (1)如图1，是中的好望角，，请用含的代数式表示． (2)如图2，在中，的平分线与经过两点的圆交于点，且．求证：是中的好望角． (3)如图3，在 （2）的条件下， ①取弧的中点，连接，若，求圆的半径． ②若，，请直接写出线段的最大值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①3② 【分析】（1）根据角平分线的性质和三角形的内角和定理即可得出结果； （2）圆周角定理，得到，根据，得到，结合三角形的外角和三角形的内角和推出，即可得证； （3）①根据好望角的定义，，进而得到为圆的直径，推出取的中点，连接，交于点，根据垂径定理，推出，，，，设半径为，利用勾股定理进行求解即可； ②连接，先证明为等腰直角三角形，求出，进而得到，根据，得到当最大时，最大，根据，推出在为直径的圆上，得到为直径时，最大，此时，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵是中的好望角， ∴是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， 又∵平分， ∴是中的好望角； （3）①∵平分，平分， ∴平分， ∴， ∵是中的好望角， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴为圆的直径， 取的中点，连接，交于点， ∵是弧的中点， ∴， ∴，，， ∴， 设的半径为，则：，， 由勾股定理，得：， ∴， 解得：或（舍去）； ∴的半径为； ②连接， ∵平分，平分， ∴是的好望角， ∴ ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当最大时，的值最大， ∵， ∴， ∴在为直径的圆上， ∴为直径时，最大，此时， ∴的最大值为． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的外角，勾股定理等知识点，综合性强，难度大，属于压轴题，掌握好望角的定义，是解题的关键． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$