【每周一卷】2024-2025学年苏科版八年级上册数学第四周周测卷

第四周周测卷 测试范围：1.1—3.3 一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分） 1．古汉字“雷”的下列四种写法，可以看作轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．b2＝（a+c）（a﹣c） B．∠A＝∠B+∠C C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a＝6，b＝8，c＝10 3．如图，点D，E在△ABC的边BC上，△ABD≌△ACE，其中B，C为对应顶点，D，E为对应顶点，下列结论不一定成立的是（　　） A．AC＝CD B．BE＝CD C．∠ADE＝∠AED D．∠BAE＝∠CAD 4．如图，△ABC中，∠B＝∠C，BD＝CF，BE＝CD，∠EDF＝a，则下列结论正确的是（　　） A．2a+∠A＝180° B．a+∠A＝90° C．2a+∠A＝90° D．a+∠A＝180° 5．如图，∠EAF＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF等于（　　） A．90° B．75° C．70° D．60° 6．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是（　　） A．3 B．4 C．6 D．5 7．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于（　　） A．29 B．32 C．36 D．45 8．如图，BD＝BC，BE＝CA，∠DBE＝∠C＝62°，∠BDE＝75°，则∠AFD的度数等于（　　） A．30° B．32° C．33° D．35° 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 9．如图，在2×2的正方形网格中，线段AB、CD的端点均在格点上，则∠1+∠2＝　 　°． 10．如图，有两个长度相同的滑梯（即BC＝EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则∠B+∠F＝　 　°． 11．如图，已知AE＝BE，DE是AB的垂线，F为DE上一点，BF＝10cm，CF＝3cm，则AC＝　 　cm． 12．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，MN过点O，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．若BM＝3cm，CN＝2cm，则MN＝　 　cm． 13．如图，△ABC是等边三角形．D，E分别是AC，BC上的点，若AE＝AD，∠CED＝20°．则∠BAE＝　 　°． 14．我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明．如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则BF＝　 　． 15．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，点P是AD上的一点，连接PO并延长交BC于点Q，若OA＝5，AB＝6，则图中阴影部分的面积为 　 　. 16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝24厘米，BC＝16厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为 　 　厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等． 17．Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC上一点，连接AD，过B、C两点分别作直线AD的垂线，垂足为E、F，若BC＝8，AC＝6，AD＝9，则BE+CF的值是 　　． 18．如图，∠AOB＝45°，点M、N分别在射线OA、OB上，MN＝8，△OMN的面积为12，P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称的点为P2，当点P在直线NM上运动时，△OP1P2的面积最小值为 　 　． 三．解答题（共8小题，满分64分） 19．（6分）如图，点D在△ABC中，∠BDC＝90°，AB＝13，AC＝12，BD＝4，CD＝3，求图中阴影部分的面积． 20．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BE＝AD，CE⊥BD，垂足为E． （1）求证：△ABD≌△ECB； （2）若∠DBC＝50°，求∠DCE的度数． 21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在△ABC内，BD＝BC，∠DBC＝60°，点E在△ABC外，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°． （1）求∠ADB的度数； （2）判断△ABE的形状并加以证明； （3）连接DE，若DE⊥BD，DE＝8，求AD的长． 22．（8分）已知：如图，锐角△ABC中，CD、BE分别是边AB、AC上的高，M、N分别是线段DE、BC的中点． （1）求证：MN⊥DE； （2）连接DN、EN，猜想∠A与∠DNE之间的关系，并说明理由． 23．（8分）长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． （1）求风筝的垂直高度CE； （2）如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 24．（8分）定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点． （1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM＝1.5，MN＝2.5，BN＝2，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由． （2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝24，AM＝6，求BN的长． 25．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E，点F为AC延长线上的一点，连接DF． （1）若∠A＝40°，∠F＝25°，求证：BE∥DF； （2）若BE∥DF，探究∠A、∠F有怎样的数量关系，并说明理由． 26．（10分）已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC． （1）【特殊情况，探索结论】 如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE 　 　DB（填“＞”、“＜”或“＝”）． （2）【特例启发，解答题目】 如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE 　 　DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）． （3）【拓展结论，设计新题】 在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四周周测卷 测试范围：1.1—3.3 一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分） 1．古汉字“雷”的下列四种写法，可以看作轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用轴对称图形定义进行解答即可． 【解答】解：A，B，C不可以看作轴对称图形，D可以看作轴对称图形．故选：D． 【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 2．△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．b2＝（a+c）（a﹣c） B．∠A＝∠B+∠C C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a＝6，b＝8，c＝10 【分析】根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可． 【解答】解：A、∵b2＝（a+c）（a﹣c）， ∴b2＝a2﹣c2， ∴c2+b2＝a2， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B+∠C， ∴∠A＝90°， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； C、设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴3x+4x+5x＝180°，解得x＝15°， ∴∠C＝5×15°＝75°， ∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意； D、∵62+82＝102， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理，熟知以上知识是解答此题的关键． 3．如图，点D，E在△ABC的边BC上，△ABD≌△ACE，其中B，C为对应顶点，D，E为对应顶点，下列结论不一定成立的是（　　） A．AC＝CD B．BE＝CD C．∠ADE＝∠AED D．∠BAE＝∠CAD 【分析】根据全等三角形的对应边相等、对应角相等判断即可． 【解答】解：∵△ABD≌△ACE， ∴BD＝CE， ∴BE＝CD，B成立，不符合题意； ∠ADB＝∠AEC， ∴∠ADE＝∠AED，C成立，不符合题意； ∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAE＝∠CAD，D成立，不符合题意； AC不一定等于CD，A不成立，符合题意， 故选：A． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键． 4．如图，△ABC中，∠B＝∠C，BD＝CF，BE＝CD，∠EDF＝a，则下列结论正确的是（　　） A．2a+∠A＝180° B．a+∠A＝90° C．2a+∠A＝90° D．a+∠A＝180° 【分析】根据已知条件可证明△BDE≌△CFD，则∠BED＝∠CDF，由∠A+∠B+∠C＝180°，得∠B，因为∠BDE+∠EDF+∠CDF＝180°，所以得出a与∠A的关系． 【解答】解：在△BDE和△CFD中，， ∴△BDE≌△CFD， ∴∠BED＝∠CDF， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠B， ∵∠BDE+∠EDF+∠CDF＝180°， ∴180°﹣∠B﹣∠BED+a+∠CDF＝180°， ∴∠B＝a， 即a， 整理得2a+∠A＝180°． 故选：A． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理，是基础知识要熟练掌握． 5．如图，∠EAF＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF等于（　　） A．90° B．75° C．70° D．60° 【分析】根据已知条件，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和外角之间的关系进行计算． 【解答】解：∵AB＝BC＝CD＝DE＝EF，∠A＝15°， ∴∠BCA＝∠A＝15°， ∴∠CBD＝∠BDC＝∠BCA+∠A＝15°+15°＝30°， ∴∠BCD＝180°﹣（∠CBD+∠BDC）＝180°﹣60°＝120°， ∴∠ECD＝∠CED＝180°﹣∠BCD﹣∠BCA＝180°﹣120°﹣15°＝45°， ∴∠CDE＝180°﹣（∠ECD+∠CED）＝180°﹣90°＝90°， ∴∠EDF＝∠EFD＝180°﹣∠CDE﹣∠BDC＝180°﹣90°﹣30°＝60°， ∴∠DEF＝180°﹣（∠EDF+∠EFD）＝180°﹣120°＝60°． 故选：D． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和外角之间的关系．（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件． 6．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是（　　） A．3 B．4 C．6 D．5 【分析】过D作DF⊥AC于F，根据角平分线性质求出DF＝DE＝2，根据S△ADB+S△ADC＝7和三角形面积公式求出即可． 【解答】解：如图，过D作DF⊥AC于F， ∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DE＝2， ∴DE＝DF＝2， ∵S△ABC＝7， ∴S△ADB+S△ADC＝7， ∴AB×DEAC×DF＝7， ∴4×2AC×2＝7， 解得：AC＝3． 故选：A． 【点评】本题考查了角的平分线性质，三角形面积公式的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等． 7．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于（　　） A．29 B．32 C．36 D．45 【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分别表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果． 【解答】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中， BD2＝AB2﹣AD2，CD2＝AC2﹣AD2， 在Rt△BDM和Rt△CDM中， BM2＝BD2+MD2＝AB2﹣AD2+MD2，MC2＝CD2+MD2＝AC2﹣AD2+MD2， ∴MC2﹣MB2＝（AC2﹣AD2+MD2）﹣（AB2﹣AD2+MD2） ＝AC2﹣AB2 ＝45． 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理的知识，题目有一定的技巧性，比较新颖，解答本题需要认真观察，分别两次运用勾股定理求出MC2和MB2是本题的难点，重点还是在于勾股定理的熟练掌握． 8．如图，BD＝BC，BE＝CA，∠DBE＝∠C＝62°，∠BDE＝75°，则∠AFD的度数等于（　　） A．30° B．32° C．33° D．35° 【分析】根据已知条件证明△BDE≌△BCA，再根据三角形内角和定理和外角性质即可得结论． 【解答】解：在△BDE和△BCA中， ， ∴△BDE≌△BCA（SAS）， ∴∠BDE＝∠CBA＝75°， ∴∠C＝62°， ∴∠A＝180°﹣75°﹣62°＝43°， ∴∠AFD＝∠BDE﹣∠A＝75°﹣43°＝32°． 故选：B． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 9．如图，在2×2的正方形网格中，线段AB、CD的端点均在格点上，则∠1+∠2＝　90　°． 【分析】首先证明△COD≌△AOB，利用全等三角形的性质可得∠1＝∠BAO，进而可得答案． 【解答】解：由题意可得CO＝AO，BO＝DO， 在△COD和△AOB中， ∴△COD≌△AOB（SAS）， ∴∠1＝∠BAO， ∵∠2+∠BAO＝90°， ∴∠1+∠2＝90°． 故答案为：90． 【点评】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等图形的判定方法和性质． 10．如图，有两个长度相同的滑梯（即BC＝EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则∠B+∠F＝　90　°． 【分析】首先利用HL定理证明Rt△CAB≌Rt△FED，进而得到∠CBA＝∠DEF，再根据∠DEF+∠DFE＝90°可得∠B+∠F＝90°． 【解答】解：∵AC⊥AF，DE⊥AF， ∴∠CAB＝∠EDF＝90°， 在Rt△CAB和Rt△FED中， ， ∴Rt△CAB≌Rt△FED（HL）， ∴∠CBA＝∠DEF， ∵∠DEF+∠DFE＝90°， ∴∠B+∠F＝90°， 故答案为：90． 【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形的判定方法和性质定理． 11．如图，已知AE＝BE，DE是AB的垂线，F为DE上一点，BF＝10cm，CF＝3cm，则AC＝　13　cm． 【分析】由AE＝BE，DE是AB的垂线得出AD＝BD，根据SAS证明△ADF≌△BDF，即可得到AF＝BF，再根据线段的和差即可得解． 【解答】解：∵AE＝BE，DE是AB的垂线， ∴AD＝BD，∠ADE＝∠BDE＝90°， 在△ADF和△BDF中， ， ∴△ADF≌△BDF（SAS）， ∴AF＝BF， ∴AC＝AF+CF＝BF+CF， ∵BF＝10cm，CF＝3cm， ∴AC＝13cm， 故答案为：13． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据SAS证明△ADF≌△BDF是解此题的关键． 12．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，MN过点O，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．若BM＝3cm，CN＝2cm，则MN＝　5　cm． 【分析】根据平行线性质和角平分线的性质先证出∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO，从而得出OM＝BM，ON＝CN，再根据MN＝MO+ON，即可求出MN的值． 【解答】解：∵MN∥BC， ∴∠OBC＝∠MOB，∠OCB＝∠NOC， ∵OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACB的角平分线， ∴∠MBO＝∠OBC，∠NCO＝∠OCB， ∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO， ∴OM＝BM，ON＝CN， ∵BM＝3cm，CN＝2cm， ∴OM＝3cm，ON＝2cm， ∴MN＝MO+ON＝3+2＝5cm； 故答案为：5． 【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解与掌握．此题证出∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO是解题的关键． 13．如图，△ABC是等边三角形．D，E分别是AC，BC上的点，若AE＝AD，∠CED＝20°．则∠BAE＝　40　°． 【分析】利用等边三角形的性质可得∠C＝∠BAC＝60°，从而利用三角形的外角性质可得∠ADE＝80°，然后利用等腰三角形的性质可得∠AED＝∠ADE＝80°，从而利用三角形的内角和定理可得∠DAE＝20°，最后利用角的和差关系进行计算即可解答． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠C＝∠BAC＝60°， ∵∠CED＝20°， ∴∠ADE＝∠CED+∠C＝80°， ∵AE＝AD， ∴∠AED＝∠ADE＝80°， ∴∠DAE＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝20°， ∴∠BAE＝∠BAC﹣∠DAE＝60°﹣20°＝40°， 故答案为：40． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 14．我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明．如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则BF＝　3　． 【分析】根据大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，得出方程组，求出BF即可． 【解答】解：∵大正方形的面积是25，小正方形的面积是1， ∴AF2+BF2＝AB2＝25，（AF﹣BF）2＝1， 解得BF＝3或BF＝﹣4（舍去）， ∴BF＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，正确表示出大正方形与小正方形的面积是解题的关键． 15．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，点P是AD上的一点，连接PO并延长交BC于点Q，若OA＝5，AB＝6，则图中阴影部分的面积为 　24　. 【分析】先证明△AOP≌△COQ得到S△AOP＝S△COQ，阴影面积就是矩形面积的一半，根据条件求出矩形面积即可得到阴影部分面积． 【解答】解∵ABCD是矩形， ∴AO＝OC， 在△AOP和△COQ中， ， ∴△AOP≌△COQ（ASA）， ∴S△AOP＝S△COQ，AC＝2OA＝10， ∴BC8， ∴S矩形ABCD＝8×6＝48， ∴S阴影S矩形ABCD＝24， 故答案为：24． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、列代数式，熟练掌握矩形性质是关键． 16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝24厘米，BC＝16厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为 　4或6　厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等． 【分析】首先求出BD的长，要使△BPD与△CQP全等，必须BD＝CP或BP＝CP，得出方程12＝16﹣4x或4x＝16﹣4x，求出方程的解即可． 【解答】解：设经过x秒后，使△BPD与△CQP全等， ∵AB＝AC＝24厘米，点D为AB的中点， ∴BD＝12厘米， ∵∠ABC＝∠ACB， ∴要使△BPD与△CQP全等，必须BD＝CP或BP＝CP， 即12＝16﹣4x或4x＝16﹣4x， 解得：x＝1或x＝2， x＝1时，BP＝CQ＝4，4÷1＝4； x＝2时，BD＝CQ＝12，12÷2＝6； 即点Q的运动速度是4或6， 故答案为：4或6 【点评】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定的应用；熟练掌握等腰三角形的性质，根据题意得出方程是解决问题的关键． 17．Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC上一点，连接AD，过B、C两点分别作直线AD的垂线，垂足为E、F，若BC＝8，AC＝6，AD＝9，则BE+CF的值是 　　． 【分析】利用面积法求解． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，CF⊥AD，BE⊥AD， ∴S△ABC＝S△ADB+S△ADC， ∴•AC•BC•AD•BE•AD•CF， ∴6×89×BE9×CF， ∴BE+CF． 故答案为：． 【点评】本题考查直角三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用面积法解决问题． 18．如图，∠AOB＝45°，点M、N分别在射线OA、OB上，MN＝8，△OMN的面积为12，P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称的点为P2，当点P在直线NM上运动时，△OP1P2的面积最小值为 　　． 【分析】连接OP，过点O作OH⊥MN交NM的延长线于H，先利用三角形的面积公式求出OH，再根据轴对称的性质可得∠AOP＝∠AOP1，∠BOP＝∠BOP2，OP1＝OP＝OP2，从而可得∠P1OP2＝90°，然后利用三角形的面积公式可得△OP1P2的面积为，可得当点P与点H重合时，OP取得最小值，△OP1P2的面积最小，由此即可得． 【解答】解：如图，连接OP，过点O作OH⊥MN交NM的延长线于H， ∵，且MN＝8， ∴OH＝3， ∵点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称的点为P2， ∴∠AOP＝∠AOP1，∠BOP＝∠BOP2，OP1＝OP＝OP2， ∵∠AOB＝45°， ∴∠P1OP2＝2（∠AOP+∠BOP）＝2∠AOB＝90°， ∴△OP1P2的面积为， 由垂线段最短可知，当点P与点H重合时，OP取得最小值，最小值为OH＝3， ∴△OP1P2的面积的最小值为， 故答案为：． 【点评】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，掌握轴对称的性质是关键． 三．解答题（共8小题，满分64分） 19．（6分）如图，点D在△ABC中，∠BDC＝90°，AB＝13，AC＝12，BD＝4，CD＝3，求图中阴影部分的面积． 【分析】先在Rt△BDC中，利用勾股定理求出BC＝5，然后利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，从而可得∠ACB＝90°，最后根据图中阴影部分的面积＝△ABC的面积﹣△BDC的面积，进行计算即可解答． 【解答】解：∵∠BDC＝90°，BD＝4，CD＝3， ∴BC5， ∵AB＝13，AC＝12， ∴AC2+BC2＝122+52＝169，AB2＝132＝169， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠ACB＝90°， ∴图中阴影部分的面积＝△ABC的面积﹣△BDC的面积 AC•BCBD•CD 12×53×4 ＝30﹣6 ＝24， ∴图中阴影部分的面积为24． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的关键． 20．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BE＝AD，CE⊥BD，垂足为E． （1）求证：△ABD≌△ECB； （2）若∠DBC＝50°，求∠DCE的度数． 【分析】（1）因为这两个三角形是直角三角形，BC＝BD，因为AD∥BC，还能推出∠ADB＝∠EBC，从而能证明：△ABD≌△ECB． （2）因为∠DBC＝50°，BC＝BD，可求出∠BDC的度数，进而求出∠DCE的度数． 【解答】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠EBC． ∵CE⊥BD，∠A＝90°， ∴∠A＝∠CEB， 在△ABD和△ECB中， ∴△ABD≌△ECB（AAS）； （2）解：∵△ABD≌△ECB， ∴BC＝BD， ∵∠DBC＝50°， ∴∠EDC（180°﹣50°）＝65°， 又∵CE⊥BD， ∴∠CED＝90°， ∴∠DCE＝90°﹣∠EDC＝90°﹣65°＝25°． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，以及直角梯形的性质，直角梯形有两个角是直角，有一组对边平行． 21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在△ABC内，BD＝BC，∠DBC＝60°，点E在△ABC外，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°． （1）求∠ADB的度数； （2）判断△ABE的形状并加以证明； （3）连接DE，若DE⊥BD，DE＝8，求AD的长． 【分析】（1）首先证明△DBC是等边三角形，推出∠BDC＝60°，再证明△ADB≌△ADC，推出∠ADB＝∠ADC即可解决问题． （2）结论：△ABE是等边三角形．只要证明△ABD≌△EBC即可． （3）首先证明△DEC是含有30度角的直角三角形，求出EC的长，理由全等三角形的性质即可解决问题． 【解答】（1）解：∵BD＝BC，∠DBC＝60°， ∴△DBC是等边三角形， ∴DB＝DC，∠BDC＝∠DBC＝∠DCB＝60°， 在△ADB和△ADC中， ， ∴△ADB≌△ADC（AAS）， ∴∠ADB＝∠ADC， ∴∠ADB（360°﹣60°）＝150°． （2）解：结论：△ABE是等边三角形． 理由：∵∠ABE＝∠DBC＝60°， ∴∠ABD＝∠CBE， 在△ABD和△EBC中， ， ∴△ABD≌△EBC（AAS）， ∴AB＝BE，∵∠ABE＝60°， ∴△ABE是等边三角形． （3）解：连接DE． ∵∠BCE＝150°，∠DCB＝60°， ∴∠DCE＝90°， ∵∠EDB＝90°，∠BDC＝60°， ∴∠EDC＝30°， ∴ECDE＝4， ∵△ABD≌△EBC， ∴AD＝EC＝4． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型． 22．（8分）已知：如图，锐角△ABC中，CD、BE分别是边AB、AC上的高，M、N分别是线段DE、BC的中点． （1）求证：MN⊥DE； （2）连接DN、EN，猜想∠A与∠DNE之间的关系，并说明理由． 【分析】（1）连接DM，ME，根据直角三角形的性质得到DNBC，ENBC，得到DN＝EN，根据等腰三角形的性质证明即可； （2）根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质求解即可． 【解答】（1）证明：如图，连接DN，EN， ∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，N是BC的中点， ∴DNBC，ENBC， ∴DN＝EN， 又∵M为DE中点， ∴MN⊥DE； （2）解：∠DNE＝180°﹣2∠A，理由如下： 在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∵DN＝EN＝BN＝NC， ∴∠BND+∠CNE＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB） ＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB） ＝360°﹣2（180°﹣∠A） ＝2∠A， ∴∠DNE＝180°﹣2∠A． 【点评】此题考查了直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的判定与性质，熟记直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 23．（8分）长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． （1）求风筝的垂直高度CE； （2）如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 【分析】（1）利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：（1）在Rt△CDB中， 由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝252﹣152＝400， 所以，CD＝20（负值舍去）， 所以，CE＝CD+DE＝20+1.6＝21.6（米）， 答：风筝的高度CE为21.6米； （2）由题意得，CM＝12米， ∴DM＝8米， ∴BM17（米）， ∴BC﹣BM＝25﹣17＝8（米）， ∴他应该往回收线8米． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． 24．（8分）定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点． （1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM＝1.5，MN＝2.5，BN＝2，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由． （2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝24，AM＝6，求BN的长． 【分析】（1）根据勾股定理逆定理，即可判断点M、N是线段AB的勾股分割点． （2）设BN＝x，则MN＝24﹣AM﹣BN＝18﹣x，分两种情形①当MN为最长线段时，依题意MN2＝AM2+NB2，②当BN为最长线段时，依题意BN2＝AM2+MN2，分别列出方程即可解决问题． 【解答】解：（1）是． 理由：∵AM2+BN2＝1.52+22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25， ∴AM2+NB2＝MN2， ∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形， ∴点M、N是线段AB的勾股分割点． （2）设BN＝x，则MN＝24﹣AM﹣BN＝18﹣x， ①当MN为最长线段时，依题意MN2＝AM2+NB2， 即（18﹣x）2＝x2+36， 解得x＝8； ②当BN为最长线段时，依题意BN2＝AM2+MN2． 即x2＝36+（18﹣x）2， 解得x＝10， 综上所述，BN＝8或10． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，注意不能漏解，属于中考常考题型． 25．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E，点F为AC延长线上的一点，连接DF． （1）若∠A＝40°，∠F＝25°，求证：BE∥DF； （2）若BE∥DF，探究∠A、∠F有怎样的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）先根据三角形外角的性质得出∠CEB＝90°﹣65°＝25°，再根据∠F＝25°，即可得出BE∥DF； （2）先根据平行线的性质得出∠F＝∠AEB，再根据三角形外角的性质得出∠DBE＝∠A+∠AEB，然后利用角平分线定义得出结论． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°， ∴∠CEB＝90°﹣65°＝25°． 又∵∠F＝25°， ∴∠F＝∠CEB＝25°， ∴DF∥BE； （2）解：∠A+∠F＝45°．理由如下： ∵BE∥DF， ∴∠F＝∠AEB， ∴∠DBE＝∠A+∠AEB＝∠A+∠F． ∵BE是∠CBD的平分线， ∴∠DBE∠CBD（∠A+∠ACB）（∠A+90°）∠A+45°， ∴∠A+45°＝∠A+∠F， ∴∠A+∠F＝45°． 【点评】本题考查了直角三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的性质，掌握各定义与性质是解题的关键． 26．（10分）已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC． （1）【特殊情况，探索结论】 如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE 　＝　DB（填“＞”、“＜”或“＝”）． （2）【特例启发，解答题目】 如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE 　＝　DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）． （3）【拓展结论，设计新题】 在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）． 【分析】（1）由E为等边三角形AB边的中点，利用三线合一得到CE垂直于AB，且CE为角平分线，由ED＝EC，利用等边对等角及等腰三角形的性质得到一对角相等，利用等角对等边即可得证； （2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，由三角形ABC为等边三角形，得到三角形AEF为等边三角形，进而得到AE＝EF＝AF，BE＝FC，再由ED＝EC，以及等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形BDE与三角形EFC全等，利用全等三角形对应边相等得到DB＝EF，等量代换即可得证； （3）点E在AB延长线上时，如图所示，同理可得△DBE≌△EFC，由BC+DB求出CD的长即可． 【解答】解：（1）当E为AB的中点时，AE＝DB； （2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F， 证明：∵△ABC为等边三角形， ∴△AEF为等边三角形， ∴AE＝EF，BE＝CF， ∵ED＝EC， ∴∠D＝∠ECD， ∵∠DEB＝60°﹣∠D，∠ECF＝60°﹣∠ECD， ∴∠DEB＝∠ECF， 在△DBE和△EFC中， ， ∴△DBE≌△EFC（SAS）， ∴DB＝EF， 则AE＝DB； （3）点E在AB延长线上时，作EF∥AC，则△EFB为等边三角形， 如图所示，同理可得△DBE≌△CFE， ∵AB＝1，AE＝2， ∴BE＝1， ∵DB＝FC＝FB+BC＝2， 则CD＝BC+DB＝3． 故答案为：（1）＝；（2）＝ 【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$