精品解析：湖北省黄石市阳新县城区四校2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题

阳新县城区四校2024-2025学年上学期九年级第一次月考数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 在下面用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C D. 2. 一元二次方程中一次项的系数是(     ) A B. 2 C. D. 3. 已知m，n是方程的两根，则代数式的值是（ ） A. B. 12 C. 3 D. 0 4. 用配方法解方程，则配方正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于的一元二次方程（其中为常数），若点在第四象限内．则该方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 6. 若使函数的自变量的取值范围是一切实数，则下面的关系中一定满足要求的是（　　） A. B. C. D. 7. 已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列结论中正确的是（　） A. ac＞0 B. b＞0 C. a+c＜0 D. a+b+c＝0 8. 下列关于抛物线判断中，错误的是（ ） A. 开口向上 B. 顶点坐标 C. 与轴的交点为 D. 当时，随的增大而减小 9. 如图，小明站在原点处，从离地面高度为的点A处抛出弹力球，弹力球在B处着地后弹起，落至点C处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，弹力球在B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半，如果在地上摆放一个底面半径为，高为的圆柱形筐，筐的最左端距离原点为米，若要弹力球从B点弹起后落入筐内，则的值可以是（ ） A. 7 B. 9 C. 10 D. 8 10. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若，，则下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知是关于的一元二次方程，则的值为______． 12. 如图，在长为28米，宽为10米的矩形空地上修建如图所示的道路（图中的阴影部分），余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为243平方米，设道路的宽为x米，则________． 13. 某印刷厂1月份印刷了书籍50万册，第一季度共印175万册，设2月份、3月份平均增长率为x，根据题意方程可列为________． 14. 图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置，使它与原来个小正方形组成的图形是中心对称图形，则这个位置是_______． 15. 如图，在期末体育测试中，小朱掷出实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小朱本次投掷实心球的成绩为___________ 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解一元二次方程： （1） （2）． 17. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）写出一个满足条件的k值，并求此时方程的根． 18. 在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系xOy，△ABC的三个顶点都在格点上，A的坐标是(4，4)，请回答下列问题： （1） 将△ABC向下平移六个单位长度， 画出平移后的△A1B1C1，并写出点A的对应点A1的坐标； （2）画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点A2的坐标； （3）判断△A1B1C1与△A2B2C2是否关于某点成中心对称；若是，请画出对称中心M，并写出点M的坐标 19. 已知二次函数图象经过两点， （1）求二次函数解析式． （2）判断点是否在这个二次函数图象上，并说明理由． 20. 社区利用一块矩形空地修建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为的道路．已知铺花砖的面积为． （1）求道路的宽是多少？ （2）该停车场共有车位30个，据调查分析，当每个车位的月租金为400元时，可全部租出．若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．求当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10920元． 21. 如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为6m，宽为4m，以所在的直线为x轴，线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．y轴是抛物线的对称轴，最高点E到地面距离为5米． （1）求出抛物线的解析式． （2）如果该隧道内设单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高4.5米，宽3米，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论． 22. 如果关于一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，则方程是“倍根方程”． （1）通过计算，判断是否是“倍根方程”． （2）若关于x的方程是“倍根方程”，求代数式的值； （3）已知关于x的一元二次方程（是常数）是“倍根方程”，请直接写出的值． 23. 在等腰直角三角形和等腰直角三角形中，，连接，M是的中点，连接，． （1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ． （2）探究证明：把绕点B顺时针旋转一周，（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由． （3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，P为平面内一动点，且，连接，D是的中点，连接．请直接写出的最值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 阳新县城区四校2024-2025学年上学期九年级第一次月考数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 在下面用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形与轴对称图形的识别，轴对称图形指的是延某条直线折叠，两边的图形能够完全重合；将图形旋转，能够与原图形重合的图形叫做中心对称图形，掌握定义是解题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； B．不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； C．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意； D．既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 一元二次方程中一次项的系数是(     ) A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化为一般式，再根据一元二次方程的相关定义即可得解． 【详解】化为一般式得：， ∴一元二次方程的一次项系数是， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般式，熟记一元二次方程的相关定义是解题关键． 3. 已知m，n是方程的两根，则代数式的值是（ ） A. B. 12 C. 3 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】利用一元二次方程的解及根与系数的关系，即可得出，，再将其代入，计算即可．本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解的定义是解决本题的关键． 【详解】解：，是关于的方程的两根， ，，． ． 故选：B 4. 用配方法解方程，则配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：B． 5. 已知关于一元二次方程（其中为常数），若点在第四象限内．则该方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况和由点所在象限得出坐标特点，根据点在第四象限，可得，，然后根据一元二次方程根的判别式解答即可，熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 【详解】∵点在第二象限， ∴，， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等实数根， 故选：． 6. 若使函数的自变量的取值范围是一切实数，则下面的关系中一定满足要求的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题是函数有意义的条件与一元二次方程的解相结合的问题．函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0．函数的自变量取值范围是一切实数，即分母一定不等于0，即方程无解．即，即可解得、的关系． 【详解】解：∵函数的自变量取值范围是一切实数， ∴分母一定不等于0， ∴无解， 即， 解得：或． 当时，一定满足要求． 故选：A． 7. 已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列结论中正确的是（　） A. ac＞0 B. b＞0 C. a+c＜0 D. a+b+c＝0 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案． 【详解】A.由图象可知：a＜0，c＞0， ∴ac＜0，故A错误； B由对称轴可知：x＝＜0， ∴b＜0，故B错误； C.由对称轴可知：x＝＝﹣1， ∴b＝2a， ∵x＝1时，y＝0， ∴a+b+c＝0， ∴c＝﹣3a， ∴a+c＝a﹣3a＝﹣2a＞0，故C错误； 故选D． 【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型． 8. 下列关于抛物线判断中，错误的是（ ） A. 开口向上 B. 顶点坐标 C. 与轴的交点为 D. 当时，随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，当时，， ∴抛物线的开口向上，顶点坐标为，与轴的交点为，对称轴为， ∴当时，随的增大而减小； 综上：只有选项D是错误的， 故选：D． 9. 如图，小明站在原点处，从离地面高度为的点A处抛出弹力球，弹力球在B处着地后弹起，落至点C处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，弹力球在B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半，如果在地上摆放一个底面半径为，高为的圆柱形筐，筐的最左端距离原点为米，若要弹力球从B点弹起后落入筐内，则的值可以是（ ） A. 7 B. 9 C. 10 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握利用待定系数法求得二次函数的解析式，建立直角坐标系是解题的关键，根据点的坐标求出第一次着地前的抛物线解析式，可得到点的坐标，再根据B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，可得到第二次着地前抛物线的解析式，再根据圆柱形的高为，可求出当弹力球恰好砸中筐的最左端、最右端时，的值，进而得到的取值范围，从而得到答案． 【详解】解：由题可知：弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，且过点，代入解析式中得：， ∴， ∴解析式为：， 当时，的最大值为， 令，则， 解得：， ∴， ∵B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半， ∴其最大高度为：， ∵弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线， 设处着地后弹起的抛物线解析式为：， 将点代入该解析式得：， 解得：， ∴该抛物线的解析式为：， ∴对称轴：， ∵点的坐标为，则点的坐标为， ∵圆柱形的高为， 当时，则， 解得：或（舍去）， ∴当弹力球恰好砸中筐的最左端时，， ∵筐的底面半径为，直径为，， ∴当弹力球恰好砸中筐的最右端时，， ∴， ∴选项B，满足， 故选：D． 10. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若，，则下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意△OAB绕O点逆时针旋转60°得到△OCD知∠AOC=∠BOD=60°，AO=CO=4、BO=DO，可判断C正确；由△AOC、△BOD是等边三角形可判断A选项；由∠AOB=35°，∠AOC=60°可判断B选项，据此可得答案． 【详解】∵△OAB绕O点逆时针旋转60°得到△OCD， ∴∠AOC=∠BOD=60°，AO=CO=4、BO=DO， 故C选项正确； 则△AOC、△BOD是等边三角形， ∴∠BDO=60°， 故A选项正确； ∵∠AOB=35°，∠AOC=60°， ∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=60°-35°=25°， 故B选项正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等及等边三角形的判定和性质． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知是关于的一元二次方程，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次幂是2次的整式方程，特别注意二次项系数不为0，正确把握定义是解题关键． 直接利用一元二次方程的定义知道二次项系数不为0同时x的最高次幂为2，得出m的值进而得出答案． 【详解】解：由题意知：且， 解得， 故答案为：． 12. 如图，在长为28米，宽为10米的矩形空地上修建如图所示的道路（图中的阴影部分），余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为243平方米，设道路的宽为x米，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据平行四边形的面积计算公式及道路的铺设方式，可得出铺设草坪的面积等于长为米、宽米的矩形面积，结合草坪的面积为243平方米，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：依题意，道路的宽为米， 铺设草坪的面积等于长为米、宽米的矩形面积． 草坪的面积为243平方米， ． ∴． ∴（舍去） 故答案为：1 13. 某印刷厂1月份印刷了书籍50万册，第一季度共印175万册，设2月份、3月份平均增长率为x，根据题意方程可列为________． 【答案】 【解析】 【分析】考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识-增长率问题，一般形式为，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量． 【详解】解：设2月份、3月份平均增长率为x，那么2，3月份的印刷书籍分别是， 根据题意，可得． 故答案为：． 14. 图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置，使它与原来个小正方形组成的图形是中心对称图形，则这个位置是_______． 【答案】③ 【解析】 【分析】如果一个图形绕着某一点旋转180°后，能够与原来的图形完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形，根据中心对称图形的定义和性质思考判断即可． 【详解】当放置在①位置时，构成的图形不是中心对称图形， ∴①不符合题意； 当放置在②位置时，构成的图形不是中心对称图形， ∴②不符合题意 当放置在③位置时，构成的图形是中心对称图形， ∴③符合题意 当放置在④位置时，构成的图形不是中心对称图形， ∴④不符合题意 故答案为：③． 【点睛】本题考查了拼图中的中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义和性质是解题的关键． 15. 如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小朱本次投掷实心球的成绩为___________ 【答案】##8米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．根据实心球落地时，高度，把实际问题可理解为当时，求的值即可． 【详解】解：由题意可知，将代入， ， 解得（舍去）或， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解一元二次方程： （1） （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法和因式分解法是解此题的关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 17. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）写出一个满足条件的k值，并求此时方程的根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程（）的根与系数的关系． （1）先根据方程有两个不相等的实数根得出，解之可得； （2）在以上所求的范围内取一值，如，再解方程即可得． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 【小问2详解】 解：取，此时方程为， 解得：． 18. 在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系xOy，△ABC的三个顶点都在格点上，A的坐标是(4，4)，请回答下列问题： （1） 将△ABC向下平移六个单位长度， 画出平移后的△A1B1C1，并写出点A的对应点A1的坐标； （2）画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点A2的坐标； （3）判断△A1B1C1与△A2B2C2是否关于某点成中心对称；若是，请画出对称中心M，并写出点M的坐标 【答案】（1）图形见解析，A1（4，-2）（2）图形见解析，A2（-4，-4）（3）图形见解析，M（0，-3） 【解析】 【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C向下平移6个单位的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点A1的坐标； （2）根据网格结构找出点A、B、C关于原点对称的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点A2的坐标即可； （3）根据中心对称的定义判断，对称中心是各个对应点连线的交点. 【详解】(1) 如图，△A1B1C1即为所求，点A的对应点A1的坐标： (4，-2) (2)如图，△A2B2C2即为所求，点A2的坐标(-4，-4) (3)如图，△A1B1C1与△A2B2C2关于点M成中心对称，M (0，-3) . 【点睛】本题考查作图，旋转变换，平移变换，中心对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题. 19. 已知二次函数的图象经过两点， （1）求二次函数解析式． （2）判断点是否在这个二次函数图象上，并说明理由． 【答案】（1） （2）在二次函数的图象上 【解析】 【分析】（1）根据点、的坐标，利用待定系数法即可求出该二次函数的解析式； （2）将代入二次函数解析式中求出值，结合二次函数图象上点的坐标特征即可得出结论． 【小问1详解】 解：将、代入中， 得：，解得：， 该二次函数的解析式为． 【小问2详解】 当时，， 点在这个二次函数的图象上． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标特征利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 20. 社区利用一块矩形空地修建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为的道路．已知铺花砖的面积为． （1）求道路的宽是多少？ （2）该停车场共有车位30个，据调查分析，当每个车位的月租金为400元时，可全部租出．若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．求当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10920元． 【答案】（1）6m （2）20元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键． （1）由题意知，道路的宽为米，根据矩形的面积公式列出方程并解答即可； （2）设车位的月租金上涨元，则租出的车位数量是个，根据：月租金每个车位的月租金车位数，列出方程并解答即可． 【小问1详解】 解：由题意得 ， 整理得：， 解得：（舍去），， 答：道路的宽为米． 【小问2详解】 解：设当每个车位的月租金上涨a元时，停车场的月租金收入为10 920元， 根据题意得， ， 整理得，， 解得或（舍去）． 答：当每个车位的月租金上涨20元时，停车场的月租金收入为10 920元． 21. 如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为6m，宽为4m，以所在的直线为x轴，线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．y轴是抛物线的对称轴，最高点E到地面距离为5米． （1）求出抛物线的解析式． （2）如果该隧道内设单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高4.5米，宽3米，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论． 【答案】（1） （2）这辆货运卡车能通过该隧道 【解析】 【分析】（1）抛物线的解析式为，把代入计算即可； （2）把时代入（1）的解析式，求出x的值即可求出结论． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 设抛物线的解析式为， 把代入 得： 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 这辆货运卡车能通过该隧道，理由如下： 在中，令得： ， 解得：， ， ， 这辆货运卡车能通过该隧道． 【点睛】本题考查了二次函数应用，解题的关键是求出二次函数的解析式． 22. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，则方程是“倍根方程”． （1）通过计算，判断是否是“倍根方程”． （2）若关于x的方程是“倍根方程”，求代数式的值； （3）已知关于x的一元二次方程（是常数）是“倍根方程”，请直接写出的值． 【答案】（1）是 （2）26或5 （3）13或 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解方程得到，然后根据新定义进行判断； （2）利用因式分解法解方程得到，再根据新定义，然后把代入所求的代数式中进行分式的运算即可； （3）设方程的根的两根分别为，根据根与系数的关系得，然后求出α，再计算对应的m的值． 【小问1详解】 ， ， ， 所以， 则方程是“倍根方程”； 【小问2详解】 ， 或， 解得， ∵是“倍根方程”， ∴， 当时，； 当时，， 综上所述，代数式的值为26或5； 【小问3详解】 根据题意，设方程的根的两根分别为， 根据根与系数的关系得 ， 解得 或， ∴m的值为13或． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，．也考查了阅读理解能力． 23. 在等腰直角三角形和等腰直角三角形中，，连接，M是的中点，连接，． （1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ． （2）探究证明：把绕点B顺时针旋转一周，（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由． （3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，P为平面内一动点，且，连接，D是的中点，连接．请直接写出的最值． 【答案】（1）， （2）成立，证明见解析 （3）的最小值为，最大值为 【解析】 【分析】（1）由直角三角形的性质得出，，从而得出，由等边对等角得出，，由三角形外角的定义及性质得出，最后再由等腰直角三角形的性质即可得出答案； （2）延长到点，使，连接，，延长到点，使，连接，，证明，得出，，同理可得：，，证明，得出，，由三角形中位线定理可得，，，，得出，由平行线的性质得出，，求出，即可得解； （3）连接，，由题意得出，，，以为斜边作等腰直角三角形，连接，，由等腰直角三角形的性质得出，由（2）可得，，，同理可得：，结合，得出当点在线段上时，取得最小值，即取得最小值，当点在的延长线上时，取得最大值，即取得最大值，即可得解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵，M是的中点， ∴，， ∴，，， ∴， ∵三角形是等腰直角三角形， ∴， ∴，即； 故答案为：； 【小问2详解】 解：成立，证明如下： 如图，延长到点，使，连接，，延长到点，使，连接，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 同理可得：，， ∴，即， ∴， ∴，， ∵，M是的中点，， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ∴，，， ∴， ∴，即； 【小问3详解】 解：如图，连接，， ， ∵点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为， ∴，，， 以为斜边作等腰直角三角形，连接，， ∵，， ∴， ∴， 由（2）可得，，， 同理可得：， ∵， ∴当点在线段上时，取得最小值，即取得最小值，此时，； 当点在的延长线上时，取得最大值，即取得最大值，此时，； 综上所述，的最小值为，最大值为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质、坐标与图形、三角形中位线定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$