15.1轴对称图形导学案 2024-—2025学年沪科版数学八年级上册

15.1轴对称图形 1、 轴对称图形概念： 把一个图形沿着某一条直线翻折，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点。 蜻蜓 雪花 剪纸 脸谱 几种常见的轴对称图形及对称轴： 名称 图形 对称轴 对称轴条数 线段 线段本身所在直线和过线段中点的垂线 2 角 角平分线所在的直线 1 等腰三角形 底边上的高所在直线 1 等边三角形 各条边上的高所在直线 3 长方形 经过对边中点的直线 2 正方形 (1)经过对边中点的直线 (2)对角线所在的直线 4 圆 经过圆心的任意一条直线 无数 正 n 边形 n 为奇数：过顶点与对边中点的直线； n 为偶数：过两条对边中点的直线或过相对顶点的直线 n 1、下列图形中是轴对称图形的个数为（ ） A、2个 B、3个 C、4个 D、5个 正确选项选B。 2、 轴对称概念： 如果平面内两个图形沿着一条直线折叠，这两个图形能够重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴。 折叠后重合的两点叫对应点也叫对称点。 B A D C 轴对称与轴对称图形的区别与联系主要是： 轴对称是指两个图形，体现的是两个图形的位置关系。 轴对称图形是一个图形。轴对称图形被对称轴分成的两部分能够互相重合，一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定。 名称 轴对称 轴对称图形 区别 对象不同 两个图形 一个图形 意义不同 两个图形的特殊位置关系 一个具有特殊形状的图形 对称点位置不同 对称点分别在两个图形上 对称点在同一个图形上 区别 对称轴位置不同 两个图形成轴对称，其对称轴可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边(点) 轴对称图形的对称轴一定经过这个图形的内部 对称轴数量不同 只有一条对称轴 有一条或多条 联系 (1)定义中都有一条直线，都要沿着这条直线折叠 (2)把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形 . 把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称 2、下列图形中，是轴对称图形的是（ ） 3、如图，镜子里是他的像的是（ ） 4、下列说法不正确的是（ ） A、两个关于某直线对称的图形一定全等 B、线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴 C、成轴对称的两个图形中，对称轴是对称点连线的垂直平分线 D、平面上两个全等的图形一定关于某直线对称 答：正确选项选D。 5、如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB，CD。若CD//BE，∠1=25o，则∠2的度数是（ ） G F H A、50o B、60o C、65o D、70o 解：添加辅助线AH，使AH//BE， ∵ 对边互相平行的纸带进行折叠，折痕为AB； ∴∠BAH=∠1=25o ∴∠FAC=180o－∠1－∠BAH =180o－25o－25o=130o ∵ CD//BE （已知） AF//BE ∴∠DCA=∠EGC=∠FAC=130o ∵AC//BD ∴∠2+∠DCA=180o ∴∠2=50o 6、如图，ABCD为一长条形纸带，AB//CD，将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别于A'、D' 对应，若∠1=2∠2，则∠CFD'的度数为 。 G 解：∵ABCD沿EF折叠，A、D两点分别于A'、D' 对应 ∴∠AEF=∠FEA' ∴∠1+2∠FEA'=180o ∠FEA'=90o­ ① ∵AB//CD ∴∠DGE=∠1 （内错角相等）② 又∵A'E//D'F ∴∠CFD'=∠DGE （内错角相等） ③ 由②③得，∠DGE=∠CFD'=∠1 ④ 在△EFG中，∠FEG+∠2+∠FGE=180o 即∠FEA'+∠2+∠DGE=180o ⑤ ①③④代入⑤得， 90o - ∠1+∠2+∠1=180o ∵∠1=2∠2 （已知） ∴90o－∠2+∠2+2∠2=180o ∠2=45o ∴∠1=90o ∠CFD'=90o 7、如图，点P是∠AOB内部一点，点P'，P''分别是点P关于OA,OB得对称点，且P'P''=8cm，则△PMN的周长为（ ） 解: ∵点P'，P''分别是点P关于OA,OB得对称点 ∴OA垂直平分PP'，OB垂直平分PP'' ∴△PMP'是以PP'为底边的等腰三角形； △PNP''是以PP''为底边的等腰三角形。 ∴MP=MP', NP=NP'' ∴△PMN的周长=MP+NP+MN =MP'+NP''MN =P'P'' =8cm 8、 如图，△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，点A、B、C分别是点A′、B′、C'的对应点. 连接AA'，设AA'与直线MN交于点O。 (1) 直线MN与AA'有怎样的位置关系？ (2) OA与OA′的长度有什么关系？ O M A' A O1 B B' O2 N C' C 解：对称轴经过对应点所连线段的中点，并且垂直于该线段。 三、线段垂直平分线 (1) 线段是轴对称图形。 (2) 定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，又可称为中垂线。 AB是线段 CD是直线 如图 ∵ DC ⊥ AB， AO=BO， ∴ DC 是 AB 的垂直平分线 . 反过来也成立： ∵ DC 是 AB 的垂直平分线， ∴ DC ⊥ AB， AC=BC. 一般地，如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；反过来，成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分。 （3）如何画一条线段的对称图形？ 已知线段AB，画出AB关于直线L的对称线段. 作对称图形一般步骤： （1）过已知点作垂线 （2）截相等 （3）画点 （4）连线 注：若点A在对称轴上则点A关于MN的对称点就是点A本身。 9、如图，直线 AE 是线段 BC 的垂直平分线，垂足为 E， D 是直线 AE 上任意一点，求证：∠ ABD= ∠ ACD. 析：证明△ABE与△ACE；△ABD与△ACD全等。 4、 平面直角坐标系中的轴对称 关于坐标轴对称的点的坐标规律 ①关于轴对称的点的坐标特征：相同，互为相反数。 ②关于轴对称的点的坐标特征：相同，互为相反数。 ③关于原点对称的点的坐标特征：=、。 关于非坐标轴对称的点的坐标规律 (1)点( a， b)关于直线=m 对称的点为(2m－a， b)； A' C' B' 当m=1时， 解：A（-3，-1），A'（5，-1）； B（-2，-4），B'（4，-4）； C（-1，-2），C'（3，-2）。 (2) 点( a， b)关于直线=n 对称的点为(a，2n－b)； B' C' A' 当n=1时， 解：A（-3，-1），A'（-3，3）； B（-2，-4），B'（-2，6）； C（-1，-2），C'（-1，4）。 (3)点( a， b)关于原点对称的点为(－b，－a). 10、已知点 A( 2a+b， 5+a)， B( 2b－1， －a+b) . (1)若点 A， B 关于 轴对称，求 a， b 的值； (2)若点 A， B 关于 轴对称，求(4a+b) 2 024 的值。 解：（1）∵点A、B关于轴对称； ∴ 解得 （2） ∵点A、B关于轴对称 ∴ 解得 (4a+b) 2 024=(-4+3)2024=1 11、△ ABC 在平面直角坐标系中的位置如图，已知点 A， B， C 三点在格点上，请分别画出与△ ABC 关于 轴和 轴对称的图形，并写出对称图形顶点的坐标。 12、在如图所示的直角坐标系中,每个小网格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标是(-3,-1)。 (1)将△ABC沿轴的正方向平移3个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点B1的坐标。 (2)画出△A1B1C1关于轴对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标. 解: (1)如图，△A1B1C1即为所求作的三角形；点B1的坐标为(-2，-1)。 (2)如图，△A2B2C2即为所求作的三角形；点C2的坐标为(1,1)。 学科网（北京）股份有限公司 $$