专题2-3 一元二次方程、不等式【11类题型】（解含参不等式，恒成立，根的分布，能成立问题等）- 【重难点突破】2024-2025学年高一数学上·人教A版2019必修第一册·重难点专题突破

【重难点突破】2024-2025学年高一上·人教A版必修第一册·专题突破 专题2-3 一元二次方程、不等式重难点突破 量力而行，贪多嚼不烂，如果未能深入理解知识要点，即使笔记和刷题虽多但仍会问题成堆，课后缺乏巩固与总结，此等行为导致学习效率低下，事倍功半，学习成果就会大打折扣 总览 题型解读 【复习】基本不等式常见题型回顾（一题多问） 2 【题型1】一元二次不等式 4 【题型2】 分式不等式 7 【题型3】绝对值不等式 9 【题型4】由一元二次不等式的解集求参数 11 【题型5】解含参一元二次不等式（分类讨论） 13 【题型6】含参一元二次不等式恒（能）成立问题（1）：判别式法 16 【题型7】含参一元二次不等式恒（能）成立问题（2）：参变分离法 19 【题型8】含参一元二次不等式恒成立问题（3）：变更主元法解 26 【题型9】基本不等式恒（能）成立问题与一元二次不等式 28 【题型10】一元二次方程根的分布 31 【题型11】含参一元二次不等式与充分，必要条件 38 【课后作业】 40 课前小测 基本不等式常考题型回顾 【复习】基本不等式常见题型回顾（一题多问） 基本不懂式又来了~ 1． 若a，b>0，且a＋b＝2 （1）求ab的最大值 （2）求的最小值； （3）求的最大值； （4）求的最小值 （5）求的最大值； （6）求的最小值 【巩固练习】已知，且 （1）求的最小值 （2）求的最小值 （3）求的最小值 （4）的最小值 （5）求的最小值 （6）的最小值 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】一元二次不等式 数形结合解一元二次不等式 -1 -1 如图，若二次函数，则的取值范围是____________________ 若，则的取值范围是____________________. 【总结】开口向上：大于取两根______，小于取两根______.（也就是说关键在于求出“根”） 【思考】若遇到开口向下的二次函数，应该怎样解对应的一元二次不等式？________________. 2． 解不等式 （1） （2） 【巩固练习1】解不等式： （1） （2） （3） (4) 【巩固练习2】解下列不等式． (1) (2) 【题型2】 分式不等式 简单的分式不等式的解法 系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间” 例： 策略一： 同乘分母的平方，注意分母不能为0 （也可以提公因式） 策略二：也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号： 同乘： 策略三：先将一端变为0，再由分式的正负得出分子分母是否同号，注意分母不能为0 3． 不等式的解集为 ． 4． 的解集为 【巩固练习1】解下列不等式： （1） （2） 【巩固练习2】解不等式：（1） （2） 【题型3】绝对值不等式 解绝对值不等式的常见方法 法一：等式两边同时平方 法二：分类讨论去绝对值 法三：利用绝对值的几何意义 一．绝对值的几何意义 的几何意义：数轴上数到原点的距离 的几何意义：在数轴上，数和数之间的距离 二．常见的绝对值不等式 （1）的解集是，如图1． （2）的解集是，如图2． （3）若 （4）若或 （5）若 5． 解不等式：（1）；（2） 【巩固练习1】 【巩固练习2】解不等式：(1) (2) 【巩固练习3】不等式的解集是___________ 【题型4】由一元二次不等式的解集求参数 通过韦达定理列出参数相关的方程组，注意判断开口方向以及结合图像， 6． 不等式的解集为，函数的图象大致为（ ） A． B． C．D． 7． （多选题）（2024·高一·山东泰安·期中）已知关于x的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【巩固练习1】已知不等式的解集为，则不等式的解集为 【巩固练习2】（多选题）若不等式的解集是，则下列选项正确的是（ ） A．且 B． C． D．不等式的解集是 【巩固练习3】若关于的不等式的解集是，则的值为_____． 模块二 中档题型 【题型5】解含参一元二次不等式（分类讨论） 对于含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式分类讨论，分类要不重不漏 8． 解下列关于的不等式：． 9． 解关于x的不等式. 【巩固练习1】解关于的不等式：. 【巩固练习2】当时，解关于的不等式. 【巩固练习3】解关于的不等式：． 【巩固练习4】解关于的不等式：． 【题型6】含参一元二次不等式恒（能）成立问题（1）：判别式法 一元二次不等式在R上的恒（能）成立问题 方法是通过二次函数的图像来理解. 1.若ax2+bx+c>0恒成立，则a>0，Δ<0； 2.若ax2+bx+c<0恒成立，则a<0，Δ<0； 3.若ax2+bx+c≠0恒成立，则Δ<0. 4.若存在x，使得ax2+bx+c>0成立，则应该满足什么条件？（求对立，再取补集） 10． 已知不等式对任意实数都成立，则的取值范围是________. 11． 已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】若关于的不等式有解，则实数a的取值范围是__________． 【巩固练习3】已知函数，若对任意实数x，函数值恒小于0，则a的取值范围是________ 【巩固练习4】若存在实数，使得成立，求实数的取值范围. 【题型7】含参一元二次不等式恒（能）成立问题（2）：参变分离法 含参一元二次不等式在区间上的恒成立问题一般通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题 参变分离法：如果能够将参数分离出来,建立起明确的参数和变量的关系, ，使得 ，等价于 ，，使得 ，等价于 类型一： 结合基本不等式 12． 命题 使得 成立，若是假命题，则实数的取值范围是（      ） A． B． C． D． 13． 所以（2023上·广东深圳·高一深圳外国语学校校考）当时，关于x的不等式恒成立，则的取值范围是 ． 类型二： 结合二次函数 14． 若不等式在上有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15． 已知命题：“，使得成立”是真命题，则实数的取值范围是 ． 类型三： 对钩函数型 16． 若关于x的不等式在上有实数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】若关于x的不等式在区间内有解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】若不等式对一切正实数都成立，则实数的取值范围是 . 【巩固练习3】若“，使”是假命题，则实数的取值范围为 . 【巩固练习4】（23-24高一上·湖南郴州·期末），不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 【巩固练习5】（23-24高一下·广东深圳·期末）若 ，不等式 恒成立，则的取值范围为 . 【巩固练习6】若不等式在时不等式恒成立，则实数的取值范围为________；若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为________. 【巩固练习7】当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【巩固练习8】已知命题，为真命题，则实数的取值范围为 ． 【巩固练习9】已知命题：存在实数，使成立.命题：对于，使有解，如果是假命题，是真命题，则实数的取值范围是 . 【巩固练习10】不等式对任意的及恒成立，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【题型8】含参一元二次不等式恒成立问题（3）：变更主元法解 变更主元：在有几个变量的问题中,常常有一个变量处于主要地位,我们称之为主元。在解含有参数的不等式时,有时若能换一个角度,变参数为主元,则可以得到意想不到的效果。 一般来说，这类问题的特点是给出参数范围求x的范围 17． 对于中的任意，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 18． 已知，不等式恒成立，求的取值范围。 19． 已知时，不等式恒成立，则x的取值范围为 ． 【巩固练习1】若不等式对任意恒成立，实数x的取值范围是 ． 【巩固练习2】若恒成立，则实数x的取值范围是 ． 【题型9】基本不等式恒（能）成立问题与一元二次不等式 20． （23-24高一上·广东深圳·阶段练习）若对，都有恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 21． 若两个正实数，满足，且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是 ． 【巩固练习1】（23-24高一上·安徽六安·期中）对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（22-23高一上·陕西西安·期中）若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立．则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（23-24高一上·河北沧州·阶段练习）若存在正实数x，y满足于，且使不等式有解，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习4】当x＞0，y＞0，且满足时，有恒成立，则k的取值范围是 ． 【题型10】一元二次方程根的分布 一元二次方程根的分布问题，原理简单，难点在于要有清晰的分类讨论和数形结合的思想.一般考虑以下几方面： 1. 开口（若不能判定，则需分类讨论，特别要注意二次项系数有可能等于零的情况 ）. 2. 判定给定点处函数值的正负.（开口向上的二次函数若存在函数值小于零，则△＞0 恒成立） 3. 判定△符号. 4. 判定对称轴的位置.       总之，耐心去分类讨论（分类讨论不容易失误，一步到位往往会漏解或多解），借助图象去分析就可以得到结论，无需记忆. （1）二元二次方程在上根的分布情况 ①方程有两个不等的实数根; ②方程有两个相等的实数根; ③方程没有实数根 （2）一元二次方程的根的“0”分布 ①方程有两个不等正根； ②方程有两个不等负根 ③方程有一正根和一负根,设两根为 （3）一元二次方程的根的“”分布 ①两根都小于； ②两根都大于 ③一根小于，一根大于 （4）一元二次方程根在区间的分布 ①两根都在内 ②两根都在外 ③两根仅有一根在内 ④一根在内,另一根在内 类型一 ：根的“0”分布 22． 已知二次方程有一正根和一负根，求实数的取值范围。 23． （2024·高一·山东潍坊·阶段练习）关于x的方程至少有一个负实根，求的取值范围． 类型二 ：两根与的大小比较 24． 已知方程的一个实根小于2，另一个实根大于2，求实数的取值范围 . 类型三 ：根在区间上的分布 25． 若方程的一个根在区间上，另一根在区间上，则实数的取值范围为　 　． 26． 已知方程的两根分别在区间之内，则实数的取值范 围为　 　． 27． 若关于的一元二次方程有两个不相等的实根，且， 则实数的取值范围是(　　) 【巩固练习1】若关于x的一元二次方程有两个不相等的实根，且．则实数a的取值范围为 ． 【巩固练习2】已知关于的方程的两个实根一个小于，另一个大于，则实数的取值范围是 ． 【巩固练习3】方程的两根分别在与内，则实数的取值范围为(　　) 【巩固练习4】已知关于的方程的两个实根一个小于，另一个大于，则实数的取值范围是　 　． 【巩固练习5】已知方程的两根为，且，则的取值范围是　　． 【巩固练习6】（23-24高一上·辽宁大连·期中）关于x的方程至少有一个负根的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习7】方程的一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型11】含参一元二次不等式与充分，必要条件 28． 已知条件：“不等式的解集是空集”，则条件： “”是条件的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 29． （23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知“”是“”成立的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（23-24高一上·河南·期末）“”是“不等式对任意的恒成立”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【巩固练习2】已知p：，q：，（），若p是q的充分非必要条件，则实数m的取值范围是 ． 【巩固练习3】已知:, :，若是的充分而不必要条件, 则实数的取值范围是 . 【巩固练习4】设p：，q： ，若是q的充分不必充要条件，则实数的取值范围是 ． 【课后作业】 1． （多选）已知关于的不等式的解集是或，则下列说法正确的是（　　） A． B．不等式的解集是 C．不等式的解集是 D． 2． 若不等式对一切实数恒成立，实数的取值范围是________ 3． 若命题“，使得”是假命题，则实数a的取值范围为 ． 4． （23-24高一上·江苏扬州·期中）若，使恒成立，则的取值范围为________ 5． 已知关于的方程有一根大于，另一根小于，则实数的取值范围是(　　) 6． 关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是 . 7． 已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 8． 已知时，不等式恒成立，则x的取值范围为 ． 9． （23-24高一上·江苏镇江·期中）（1）解关于的不等式. （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 10． 解关于x的不等式. 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$专题2-3 一元二次方程、不等式重难点突破 量力而行，贪多嚼不烂，如果未能深入理解知识要点，即使笔记和刷题虽多但仍会问题成堆，课后缺乏巩固与总结，此等行为导致学习效率低下，事倍功半，学习成果就会大打折扣 总览 题型解读 【复习】基本不等式常见题型回顾（一题多问） 2 【题型1】一元二次不等式 4 【题型2】 分式不等式 7 【题型3】绝对值不等式 9 【题型4】由一元二次不等式的解集求参数 11 【题型5】解含参一元二次不等式（分类讨论） 13 【题型6】含参一元二次不等式恒（能）成立问题（1）：判别式法 16 【题型7】含参一元二次不等式恒（能）成立问题（2）：参变分离法 19 【题型8】含参一元二次不等式恒成立问题（3）：变更主元法解 26 【题型9】基本不等式恒（能）成立问题与一元二次不等式 28 【题型10】一元二次方程根的分布 31 【题型11】含参一元二次不等式与充分，必要条件 38 【课后作业】 40 课前小测 基本不等式常考题型回顾 【复习】基本不等式常见题型回顾（一题多问） 基本不懂式又来了~ 1． 若a，b>0，且a＋b＝2 （1）求ab的最大值 （2）求的最小值； （3）求的最大值； （4）求的最小值 （5）求的最大值； （6）求的最小值 【重难点突破】2024-2025学年高一上·人教A版必修第一册·专题突破 4 / 43 学科网（北京）股份有限公司 【答案】前4小题均为轮换式，即a与b地位对等，故a=b=1时取到最值，证明略 （1）1；（2）2；（3）2；（4）2 （5）配凑+乘“1”： （6）“1”的代换： 【巩固练习】已知，且 （1）求的最小值 （2）求的最小值 （3）求的最小值 （4）的最小值 （5）求的最小值 （6）的最小值 【答案】（1）16；（2）6；（3）4；（4）；（5） ；（6） （1），仅当时取等 （2）“1”的代换： （3）配凑+乘“1”： （4）配凑或换元： （5）分离常数+乘1： （6）“1”的代换： 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】一元二次不等式 数形结合解一元二次不等式 -1 -1 如图，若二次函数，则的取值范围是____________________ 若，则的取值范围是____________________. 【总结】开口向上：大于取两根______，小于取两根______.（也就是说关键在于求出“根”） 【思考】若遇到开口向下的二次函数，应该怎样解对应的一元二次不等式？________________. 2． 解不等式 （1） （2） 【答案】(1). (2)R. 【分析】根据一元二次不等式的解法，即可求得答案. 【详解】（1）原不等式化为 ， 即 ， 所以 ， 故不等式的解集为 . （2）原不等式化为， 又 ， 所以 的解集为R. 【巩固练习1】解不等式： （1） （2） （3） (4) 【答案】（1）x>2或x<-2 (2) (3) (4) 【分析】(1)对原式因式分解化简即可解得. (2)先将最高次前的系数化为正数再因式分解即可解得. 【详解】（1）x>2或x<-2 （2）原不等式等价于： 解得： 所以原不等式解集为： （3）原不等式等价于： 即 解得：或 所以原不等式的解集为： （4）， 整理得， 解得， 即不等式的解集为. 【巩固练习2】解下列不等式． (1) (2) 【解析】（1）对于方程，因为，所以方程有两个相等的实数根， 解得， 画出二次函数的图象，如图， 结合图象得不等式的解集为； （2）原不等式可化为， 对于方程，方程有两个实数根，解得， 画出二次函数的图象，如图， 结合图象得不等式的解集为 故所求不等式的解集为. 【题型2】 分式不等式 简单的分式不等式的解法 系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间” 例： 策略一： 同乘分母的平方，注意分母不能为0 （也可以提公因式） 策略二：也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号： 同乘： 策略三：先将一端变为0，再由分式的正负得出分子分母是否同号，注意分母不能为0 3． 不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】，即，则且．解得， 不等式的解集为. 故答案为：. 4． 的解集为 【答案】 【解析】由, 可得, 即, 所以, 解得, 所以原不等式的解集为. 故答案为: . 【巩固练习1】解下列不等式： （1） （2） 【答案】（1） (2)或 【解答】 （1）由，得，解得或， 故不等式的解集为. （2）由，得， 即，解得或， 所以不等式得解集为或. 【巩固练习2】解不等式：（1） （2） 【答案】（1） （2） 【解答】（1）因为， 所以，则，即，故，解得 （2）解：由可得，解得， 故原不等式的解集为. 【题型3】绝对值不等式 解绝对值不等式的常见方法 法一：等式两边同时平方 法二：分类讨论去绝对值 法三：利用绝对值的几何意义 一．绝对值的几何意义 的几何意义：数轴上数到原点的距离 的几何意义：在数轴上，数和数之间的距离 二．常见的绝对值不等式 （1）的解集是，如图1． （2）的解集是，如图2． （3）若 （4）若或 （5）若 5． 解不等式：（1）；（2） 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）由题意，，解得， 所以原不等式的解集为． （2）由题意，或，解得或， 所以原不等式的解集为． 【巩固练习1】 【答案】 【解析】由题意，，解得， 所以原不等式的解集为． 【巩固练习2】解不等式：(1) (2) 【答案】（1）或；（2） 【解析】（1）方法一：（分类讨论） ①当时，原不等式变为：， 解得，所以； ②当时，原不等式变为：， 解得，所以； 综上所述，原不等式的解集为． 方法二：或，解得或， 所以原不等式的解集为． （2） 则有，即，解得或 【巩固练习3】不等式的解集是___________ 【答案】或 【解析】不等式可化为， ∴，或； 解之得：或 【题型4】由一元二次不等式的解集求参数 通过韦达定理列出参数相关的方程组，注意判断开口方向以及结合图像， 6． 不等式的解集为，函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题知，和1是的两根，由根与系数的关系知，，求得：，，所以，开口向下，令，即，解得两个根分别为-2，1 7． （多选题）（2024·高一·山东泰安·期中）已知关于x的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】ABD 【解析】由于不等式的解集为， 所以和是的两个实数根， 所以，故， ，故AB正确， 对于C,不等式为，故，故C错误， 对于D, 不等式可变形为， 解得，故D正确 【巩固练习1】已知不等式的解集为，则不等式的解集为 【答案】或 【分析】由题意知是方程的两实数根，由韦达定理可求出，代入不等式中，解不等式即可求出答案. 【详解】由不等式的解集为， 知是方程的两实数根， 由根与系数的关系，得，解得：， 所以不等式可化为，解得：或 【巩固练习2】（多选题）若不等式的解集是，则下列选项正确的是（ ） A．且 B． C． D．不等式的解集是 【答案】ABD 【详解】因为的解集为，解集属于两根之内的情况，所以，又因为，所以；A．，故正确；B．因为，所以，故正确；C．因为解集为，所以，故错误；D．因为即为，即，解得，故正确 【巩固练习3】若关于的不等式的解集是，则的值为_____． 【答案】 【解析】因为函数,关于的不等式的解集是，的两根为：和；所以有：且； 且； 模块二 中档题型 【题型5】解含参一元二次不等式（分类讨论） 对于含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式分类讨论，分类要不重不漏 8． 解下列关于的不等式：． 【答案】答案见解析. 【分析】对分三种情况讨论得解. 【详解】由得或. 当，即时，不等式解集为； 当，即时，解集为； 当，即时，解集为． 综上：时，不等式解集为；时，解集为；时，解集为． 9． 解关于x的不等式. 【答案】答案见解析 【解析】由题意可知，可化为 （1）当时，不等式化为，解得， （2）当时，不等式化为，解得， （3）当时，不等式化为，解得或， （4）当时，不等式化为，解得， （5）当时，不等式化为，解得或， 综上所述，时，不等式的解集为 时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为 【巩固练习1】解关于的不等式：. 【解析】不等式，即， 当时，原不等式即，解得，即不等式的解集为； 当时，解得或，即不等式的解集为或； 当时，解得或，即不等式的解集为或； 综上可得：当时不等式的解集为， 当时不等式的解集为或， 当时不等式的解集为或. 【巩固练习2】当时，解关于的不等式. 【解析】当时，代入不等式可得，解得； 当时，化简不等式可得即， 由得不等式的解为， 当时，化简不等式可得即， 由得不等式的解为或， 综上可知，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 【巩固练习3】解关于的不等式：． 【分析】根据条件得，讨论与的大小，求解即可． 【详解】原不等式可化为， 讨论与的大小． （1）当，即时，不等式的解为或； （2）当，即时，不等式的解为； （3）当，即时，不等式的解为或． 综上：当时，不等式的解为或；当时，不等式的解为；当时，不等式的解为或． 【巩固练习4】解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】分，和三种情况，在时，再分三种情况，求出不等式解集. 【详解】①当时，原不等式化为，解得． ②当时，原不等式化为，解得或． ③当时，原不等式化为. 当，即时，解得； 当，即时，解得满足题意； 当，即时，解得． 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 【题型6】含参一元二次不等式恒（能）成立问题（1）：判别式法 一元二次不等式在R上的恒（能）成立问题 方法是通过二次函数的图像来理解. 1.若ax2+bx+c>0恒成立，则a>0，Δ<0； 2.若ax2+bx+c<0恒成立，则a<0，Δ<0； 3.若ax2+bx+c≠0恒成立，则Δ<0. 4.若存在x，使得ax2+bx+c>0成立，则应该满足什么条件？（求对立，再取补集） 10． 已知不等式对任意实数都成立，则的取值范围是________. 【答案】 【详解】① 若,则恒成立，满足题意； ② ,则， , ∴. 综上所述 11． 已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 答案：A 【分析】先求出命题为真时实数的取值范围，即可求出命题为假时实数的取值范围. 【详解】若“，”是真命题， 即判别式，解得：， 所以命题“，”是假命题， 则实数的取值范围为：. 【巩固练习1】不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 答案：B 【分析】由题意列不等式组求解 【详解】当即时，恒成立，满足题意， 当时，由题意得，解得， 综上，的取值范围是 【巩固练习2】若关于的不等式有解，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【解答】当时，不等式为有解，故，满足题意； 当时，若不等式有解， 则满足，解得或； 当时，此时对应的函数的图象开口向下， 此时不等式总是有解，所以， 综上可得，实数a的取值范围是. 【巩固练习3】已知函数，若对任意实数x，函数值恒小于0，则a的取值范围是________ 【答案】 【分析】根据给定条件，分段讨论，再结合二次函数的图象性质列式求解作答. 【详解】当时，恒成立，则； 当时，依题意，二次函数的图象总在x轴下方， 于是，解得，则 【巩固练习4】若存在实数，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】 【解析】①当时，不等式化为，解得：，符合题意； ②当时，为开口方向向上的二次函数， 只需，即； ③当时，为开口方向向下的二次函数， 则必存在实数，使得成立； 综上所述：实数的取值范围为 【题型7】含参一元二次不等式恒（能）成立问题（2）：参变分离法 含参一元二次不等式在区间上的恒成立问题一般通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题 参变分离法：如果能够将参数分离出来,建立起明确的参数和变量的关系, ，使得 ，等价于 ，，使得 ，等价于 类型一： 结合基本不等式 12． 命题 使得 成立，若是假命题，则实数的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由是假命题，则命题的否定为真命题，写出命题的否定，利用分离参数的方法求解即可． 【详解】命题，使得成立，若是假命题， 则命题的否定为：，成立，为真命题． 所以在上恒成立， 由，当且仅当时取得等号， 13． 所以（2023上·广东深圳·高一深圳外国语学校校考）当时，关于x的不等式恒成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】参变分离得，再利用基本不等式求的最小值即可得答案． 【详解】关于x的不等式恒成立 即，时恒成立， ， 又， 当且仅当，即时等号成立，． . 类型二： 结合二次函数 14． 若不等式在上有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 答案：B 【解析】将不等式在上有解，转化为不等式在上有解求解. 【详解】因为不等式在上有解， 所以不等式在上有解， 令，则， 所以，所以实数的取值范围是 15． 已知命题：“，使得成立”是真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用分离参数法得，只需求出不等式右边的最大值即可． 【详解】，， 设，对称轴为，在上单调递增， 故，即， ，，使得成立， ，，，故 类型三： 对钩函数型 16． 若关于x的不等式在上有实数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 答案：A 【分析】根据题意转化为不等式在上有实数解，结合函数的单调性，求得，即可求解. 【详解】由不等式在上有实数解， 等价于不等式在上有实数解， 因为函数在上单调递减，在单调递增， 又由， 所以，所以，即实数的取值范围是. 【巩固练习1】若关于x的不等式在区间内有解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由关于的不等式在区间内有解可得在区间内有解，从而大于在区间的最小值，结合二次函数的性质即可得出结果． 【详解】由关于的不等式在区间内有解， 得在区间内有解， 令，则，即， 所以实数的取值范围是． 【巩固练习2】若不等式对一切正实数都成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意恒成立，即，然后由基本不等式求的最大值即可. 【详解】由题意恒成立，即， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为，所以. 【巩固练习3】若“，使”是假命题，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】将问题转化为“在上恒成立”，再利用对勾函数的单调性求得最值，从而得解. 【详解】因为“，使”是假命题， 所以“，”为真命题， 其等价于在上恒成立， 又因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，即实数的取值范围为. 【巩固练习4】（23-24高一上·湖南郴州·期末），不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】将不等式转化为对恒成立，利用基本不等式求解最值即可. 【详解】，不等式恒成立，即， 由于函数，当且仅当，即时等号成立， 故，即，则 【巩固练习5】（23-24高一下·广东深圳·期末）若 ，不等式 恒成立，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】分离参数得，令，求出函数在上的最大值即可求解. 【详解】，不等式 恒成立， 则，即，恒成立， 令，由图知在上单调递减，在上单调递增， 又，故，则. 故答案为： .      【巩固练习6】若不等式在时不等式恒成立，则实数的取值范围为________；若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为________. 答案：, 【解析】首先分离参数可得，然后结合对勾函数的性质求得，从而可确定的取值范围． 【详解】（1）因为不等式，所以在区间上恒成立，，当x=1时取等号，故 （2）不等式对一切恒成立， 由对勾函数的性质可知函数 在区间上单调递增， 且当时，，所以 故实数的取值范围是． 【巩固练习7】当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】. 【分析】根据题意分离参数，进而构造函数求定区间的最值即可. 【详解】当时，不等式恒成立， 所以当时，恒成立，则， 令，则在单调递增， 所以，所以. 【巩固练习8】已知命题，为真命题，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据题意可知，需对二次项系数进行分类讨论，并结合判别式即可求出实数的取值范围 【详解】由题意得：当时，，不符题意； 当时，的对称轴为， 所以，只需，解得：， 当时，显然满足题意， 综上，的取值范围为 【巩固练习9】已知命题：存在实数，使成立.命题：对于，使有解，如果是假命题，是真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为命题：存在实数，使成立， 所以，解得或， 故实数的取值范围为； 因为命题：对于，使有解， 即在上能成立，令，则， 则， 因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，则， 如果是假命题，则；如果是真命题，则； 所以，即实数的取值范围. 【巩固练习10】不等式对任意的及恒成立，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把不等式恒成立问题转化为恒成立，令，则在上恒成立，利用二次函数求得最值即可求解实数的范围. 【详解】因为不等式对任意的及恒成立， 所以对任意的及恒成立， 令，因为及，所以，则在上恒成立， 因为的对称轴为，所以的最大值为， 所以，所以实数的范围是. 【题型8】含参一元二次不等式恒成立问题（3）：变更主元法解 变更主元：在有几个变量的问题中,常常有一个变量处于主要地位,我们称之为主元。在解含有参数的不等式时,有时若能换一个角度,变参数为主元,则可以得到意想不到的效果。 一般来说，这类问题的特点是给出参数范围求x的范围 17． 对于中的任意，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】法一：由题意，可以采用分离参数法．，分，，，结合进行讨论并求解不等即可得． 法二：构造函数法，构造关于的函数，，即，对于中的任意恒成立，从而求解不等式组即可得． 【详解】法一：由题意，恒成立， 等价于， 当时，即，，则恒成立， ，，解得：， 当时，即时，不等式不成立， 当时，即，，则， ，，解得：， 综上所述：的取值范围是或； 法二：由，即， 令函数， ，即，对于中的任意恒成立， 则有且，即，解得或， 所以的取值范围是或. 18． 已知，不等式恒成立，求的取值范围。 【答案】或 【详解】解因为时，不等式恒成立，即恒成立。当时，不等式不成立，所以。令(其中为自变量)，，问题转化为在时恒大于0，则解得或。所以的取值范围为或 19． 已知时，不等式恒成立，则x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题意构造函数关于a的函数，则可得，从而可求出x的取值范围． 【详解】由题意，因为当，不等式恒成立， 可转化为关于a的函数， 则对任意恒成立， 则满足， 解得， 即x的取值范围为 【巩固练习1】若不等式对任意恒成立，实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】把题意转化为，设，由一次函数的单调性列不等式组，即可求解． 【详解】可转化为． 设，则是关于m的一次型函数． 要使恒成立，只需，解得． 【巩固练习2】若恒成立，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】采用变换主元的策略，看作关于的一次函数，利用端点函数值不小于0建立不等式组求解即可． 【详解】令，当时，恒成立， 只需 即 解得或． 所以实数x的取值范围是． 故答案为： 【题型9】基本不等式恒（能）成立问题与一元二次不等式 20． （23-24高一上·广东深圳·阶段练习）若对，都有恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据题意，结合基本不等式求得的最小值为，转化为恒成立，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】因为，可得，当且仅当时，即时，等号成立，即的最小值为， 要使得不等式恒成立，可得，即， 因为，解得， 即实数的取值范围时. 21． 若两个正实数，满足，且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】依题意可得，再利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，解一元二次不等式即可. 【详解】因为，且，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即，解得或， 所以的取值范围是． 【巩固练习1】（23-24高一上·安徽六安·期中）对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，可算出，再将最小值代入，即可求解 【详解】不等式恒成立 ，，且 当且仅当，即时取等号 ，即 解得 故实数的取值范围是 【巩固练习2】（22-23高一上·陕西西安·期中）若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立．则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不等式恒成立，即为不等式恒成立，根据基本不等式求出的最小值，从而可得出答案. 【详解】解：因为，， 所以，解得（）， 所以，当且仅当时，取等号， 所以的最小值为， 则不等式恒成立，即为， 解得， 所以实数m的取值范围是. 【巩固练习3】（23-24高一上·河北沧州·阶段练习）若存在正实数x，y满足于，且使不等式有解，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，解一元二次不等式即可. 【详解】因为，且， 所以． 当且仅当，即时等号成立， 所以，即，解得或， 所以m的取值范围是． 【巩固练习4】当x＞0，y＞0，且满足时，有恒成立，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】妙用“1”，利用基本不等式先求的最小值，然后解不等式可得. 【详解】因为，x＞0，y＞0， 所以 当且仅当，即时等号成立， 因为恒成立， 所以有恒成立，解得，即k的取值范围为. 【题型10】一元二次方程根的分布 一元二次方程根的分布问题，原理简单，难点在于要有清晰的分类讨论和数形结合的思想.一般考虑以下几方面： 1. 开口（若不能判定，则需分类讨论，特别要注意二次项系数有可能等于零的情况 ）. 2. 判定给定点处函数值的正负.（开口向上的二次函数若存在函数值小于零，则△＞0 恒成立） 3. 判定△符号. 4. 判定对称轴的位置.       总之，耐心去分类讨论（分类讨论不容易失误，一步到位往往会漏解或多解），借助图象去分析就可以得到结论，无需记忆. （1）二元二次方程在上根的分布情况 ①方程有两个不等的实数根; ②方程有两个相等的实数根; ③方程没有实数根 （2）一元二次方程的根的“0”分布 ①方程有两个不等正根； ②方程有两个不等负根 ③方程有一正根和一负根,设两根为 （3）一元二次方程的根的“”分布 ①两根都小于； ②两根都大于 ③一根小于，一根大于 （4）一元二次方程根在区间的分布 ①两根都在内 ②两根都在外 ③两根仅有一根在内 ④一根在内,另一根在内 类型一 ：根的“0”分布 22． 已知二次方程有一正根和一负根，求实数的取值范围。 解析 方法一： 当时，若要满足题意，必须； 当时，若要满足题意，必须； 即，解得。 方法二：(韦达定理) 设是的两个根，若要满足题意等价于 ，解得。 23． （2024·高一·山东潍坊·阶段练习）关于x的方程至少有一个负实根，求的取值范围． 【解析】①当时，解得，满足条件； ②当时，显然方程没有零根， 由，得 设方程的两个实数根为 若方程有两异号实根，则 ，解得； 若方程有两个负的实根，则，解得 ． 综上，若方程至少有一个负的实根，则． 类型二 ：两根与的大小比较 24． 已知方程的一个实根小于2，另一个实根大于2，求实数的取值范围 . 【答案】 【解析】设， 因为方程 的一个实根小于2，另一个实根大于2， 则满足，解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 类型三 ：根在区间上的分布 25． 若方程的一个根在区间上，另一根在区间上，则实数的取值范围为　 　． 答案 解析 设函数， 方程的一个根在区间上，另一根在区间， ，∴，即， 则 即实数的取值范围是； 故答案为：(4，2)． 26． 已知方程的两根分别在区间之内，则实数的取值范 围为　 　． 答案 解析 设， 方程的两根分别在区间，之内， 可得，， 即有，且， 即为，解得． 故答案为：． 27． 若关于的一元二次方程有两个不相等的实根，且， 则实数的取值范围是(　　) 答案 解析 由题意设， 方程有两个不相等的实根，且，， ，则，解得 【巩固练习1】若关于x的一元二次方程有两个不相等的实根，且．则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【解析】令函数，依题意，的两个不等实根满足， 而函数图象开口向上，因此，解得， 所以实数a的取值范围为. 【巩固练习2】已知关于的方程的两个实根一个小于，另一个大于，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据已知条件及方程的根与函数零点的等价关系，再结合二次函数的性质即可求解． 【详解】显然，关于的方程对应的二次函数 当时，二次函数的图象开口向上， 因为的两个实根一个小于，另一个大于等价于二次函的图象与轴的两个零点一个小于0，另一个大于， 所以，即，解得； ②当时，二次函数的图象开口向下， 因为的两个实根一个小于，另一个大于等价于二次函的图象与轴的两个零点一个小于0，另一个大于， 所以，即，解得； 综上所述，实数的范围是． 【巩固练习3】方程的两根分别在与内，则实数的取值范围为(　　) 答案 解析 令 方程的两根分别在与内， ，， ， 的取值范围为． 【巩固练习4】已知关于的方程的两个实根一个小于，另一个大于，则实数的取值范围是　 　． 解析 关于的方程对应的二次函数 若，即图象开口向上， 的两个实根一个小于，另一个大于， 只需，且， 即且，则； 若，即图象开口向下， 的两个实根一个小于，另一个大于， 只需，且， 即且，则． 综上可得的范围是． 故答案为：． 【巩固练习5】已知方程的两根为，且，则的取值范围是　　． 答案 解析 由程， 知对应的函数图象开口方向朝上 又方程的两根满足, 则 ,即 ,即 ， 故答案为 【巩固练习6】（23-24高一上·辽宁大连·期中）关于x的方程至少有一个负根的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据实数是不是为零进行分类讨论，结合根的判别式及韦达定理即可得解. 【详解】当时，方程为，此时方程的根为负根， 当时，方程， 当方程有二个负根时，则有， 当方程有一个负根一个正根时，则有， 综上所述：当关于x的方程至少有一个负根时，有， 即关于x的方程至少有一个负根的充要条件是. 【巩固练习7】方程的一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，由二次函数根的分布性质有，，，求得的取值范围. 【详解】令，由二次函数根的分布性质，若一根在区间内， 另一根在区间（3，4）内， 只需，即， 解不等式组可得，即的取值范围为 【题型11】含参一元二次不等式与充分，必要条件 28． 已知条件：“不等式的解集是空集”，则条件： “”是条件的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先分和两种情况讨论求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】因为不等式的解集是空集， 所以不等式的解集是， 当即 时， 若 ，则 ， 舍； 若 ，则 ， ； 当时，则 ，解得 ， 综上所述 ， 所以条件是条件的充分不必要条件． 29． （23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知“”是“”成立的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解一元二次不等式求为真对应x的范围，根据必要不充分条件求参数范围. 【详解】由或， 由， 又是成立的必要不充分条件，则且， 所以或，故的取值范围为. 【巩固练习1】（23-24高一上·河南·期末）“”是“不等式对任意的恒成立”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】先根据不等式恒成立得出.比较，即可得出答案. 【详解】当时，对任意的恒成立； 当时，要使不等式对任意的恒成立， 则应有，解得. 综上所述，的取值范围为. 显然“”包含的范围包含于“”包含的范围， 所以，“”是“不等式对任意的恒成立”的充分不必要条件. 故选：A. 【巩固练习2】已知p：，q：，（），若p是q的充分非必要条件，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】命题对应的集合为，命题对应的集合为，由p是q的充分非必要条件，可得是的真子集，根据集合的包含关系列出不等式组，解之即可. 【详解】解：由不等式，解得， 设命题对应的集合为，则， 由不等式，解得， 设命题对应的集合为，则， 因为p是q的充分非必要条件， 所以是的真子集， 则（不同时取等号），解得， 所以实数m的取值范围是. 【巩固练习3】已知:, :，若是的充分而不必要条件, 则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先解绝对值不等式和二次不等式，再由充分不必要条件得出不等式组，求解即可. 【详解】由解得．由解得．不妨设，，因为是的充分而不必要条件，所以是的充分而不必要条件，所以是的真子集，即，解得． 【巩固练习4】设p：，q： ，若是q的充分不必充要条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】试题分析：，，，是的充分不必充要条件，所以，解得. 【课后作业】 1． （多选）已知关于的不等式的解集是或，则下列说法正确的是（　　） A． B．不等式的解集是 C．不等式的解集是 D． 【答案】ACD 【分析】由一元二次不等式与解集的关系可判断A选项；利用韦达定理可得出、与的等量关系，利用一次不等式的解法可判断B选项；利用二次不等式的解法可判断C选项；计算可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为关于的不等式的解集是或，则，A对； 对于B选项，由题意可知，关于的方程的两根分别为，， 由韦达定理可得，可得，，则， 由可得，解得，B错； 对于C选项，由可得，即，解得， 因此，不等式的解集是，C对； 对于D选项，，D对. 2． 若不等式对一切实数恒成立，实数的取值范围是________ 【答案】 【分析】讨论和两种情况，按开口方向和判别式列不等式组，解出实数的取值范围． 【详解】由题意，恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意； 当时，满足， 即，解得； 故实数的取值范围是． 3． 若命题“，使得”是假命题，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先由题得，有，接着按时和时两种情况分类讨论即可得解. 【详解】因为命题“，使得”是假命题， 所以，使得， 当时，有，符合； 当时，则有即， ， 综上，实数a的取值范围为. 4． （23-24高一上·江苏扬州·期中）若，使恒成立，则的取值范围为 【答案】 【分析】参变分离可得，使恒成立，由二次函数的性质求出，即可得解. 【详解】因为，使恒成立， 所以，使恒成立， 又函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，所以， 即的取值范围为. 5． 已知关于的方程有一根大于，另一根小于，则实数的取值范围是(　　) 答案 解析 设， 若方程有一根大于，另一根小于，则只需要， 即，得， 即实数的取值范围是 6． 关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是 . 【答案】 【解析】设，开口向上， 由题意知， 即，解得， 所以． 故答案为：． 7． 已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由基本不等式“1”的用法得，进而解不等式即可得答案. 【详解】 ，且， ，当且仅当,即时取等号. ， 由 恒成立，即， 解得： 8． 已知时，不等式恒成立，则x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题意构造函数关于a的函数，则可得，从而可求出x的取值范围. 【详解】由题意，因为当，不等式恒成立， 可转化为关于a的函数， 则对任意恒成立， 则满足， 解得， 即x的取值范围为． 9． （23-24高一上·江苏镇江·期中）（1）解关于的不等式. （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2）. 【解析】（1）不等式化为：， 当时，解得；当时，不等式无解；当时，解得， 所以当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （2）当时，恒成立，则， 当时，不等式， 依题意，，，而最大值为2，因此， 所以实数的取值范围是. 10． 解关于x的不等式. 【答案】答案见解析 【分析】先将不等式变形，然后分，和三种情况，在时，再分三种情况，求出不等式解集. 【详解】不等式化为， ①当时，原不等式化为，解得． ②当时，原不等式化为，解得或． ③当时，原不等式化为. 当，即时，解得； 当，即时，解得满足题意； 当，即时，解得． 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为 $$