专题05 勾股定理（考题猜想，易错必刷64题16种题型）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（苏科版）

专题05 勾股定理（易错必刷64题14种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 勾股定理的证明方法 题型二 以弦图为背景的计算题 题型三 勾股数问题 题型四 以直角三角形为边长的图形面积 题型五 用勾股定理解三角形 题型六 利用勾股定理求线段的平方和 题型七 勾股定理与折叠问题 题型八 勾股定理与网格问题 题型九 勾股定理的逆定理 题型十 勾股定理逆定理的实际应用 题型十一 勾股定理的简单应用 题型十二 汽车超速或台风影响问题 题型十三 选址使两地距离相等 题型十四 求最短路径 一．勾股定理的证明方法 1．意大利著名画家达•芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设左边图中空白部分的面积为，右边图中空白部分的面积为，小聪同学得出了以下四个结论：①；②；③；④．则其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图所示的正方形图案是用4个全等的直角三角形拼成的．已知正方形的面积为25，正方形的面积为1，若用、分别表示直角三角形的两直角边，下列三个结论：①；②；③；④．其中正确的是 （填序号）． 3．取两个同样的直角三角板，按如图所示摆放（B，C，D三点在一条直线上）． (1)连接，则是________三角形，四边形是________形； (2)设，，，试用两种不同的方法表示出四边形的面积； (3)由（2）你能得到什么结论？ 4．用图1所示的四个全等的直角三角形可以拼成图2的大正方形． 请根据信息解答下列问题： (1)请用含a，b，c的代数式表示大正方形的面积． 方法1：______． 方法2：______． (2)根据图2，求出a，b，c之间的数量关系． (3)如果大正方形的边长为10，且，求小正方形的边长． 二．以弦图为背景的计算题 1．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形（如图所示），若大正方形的面积是29，小正方形的面积是9，设直角三角形较长直角边为b，较短直角边为a，则的值是（    ） A．7 B．14 C．21 D．28 2．如图所示的图案是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》中“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，点是的中点，阴影部分的面积为27，则的长为 ． 3．阅读材料，解决问题： 三国时期吴国的数学家赵爽创建了一幅“弦图”，利用面积法给出了勾股定理的证明．实际上，该“弦图”与完全平方公式有着密切的关系．如图2，这是由8个全等的直角边长分别为，，斜边长为的三角形拼成的“弦图”． (1)在图2中，正方形的面积可表示为______，正方形的面积可表示为______（用含，的式子表示）； (2)请结合图2用面积法说明，，三者之间的等量关系； (3)已知，，求正方形的面积． 4．阅读下列材料，并完成相应的任务： 小明在经过八年级上册的知识学习后，发现用不同的方式表示同一图形的面积不仅可以得到整式的乘法公式，还可以用来证明勾股定理，我们把这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法．如图1，这是我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制的一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成． 任务一：如图1，请用它验证勾股定理． 任务二：如图1，若，求的面积． 任务三：如图2，在中，，是边上的高，，请直接写出的长． 三．勾股数问题 1．勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，观察下列勾股数：3，4，5；5，，；7，，；这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，；8，，；若此类勾股数的勾为，为正整数），则弦是（结果用含的式子表示）（    ） A． B． C． D． 2．如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形的面积分别为，则正方形G的面积为 ． 3．在中国古代数学著作《周髀算经》中就对勾股定理和勾股数有过一定的描述，所谓勾股数一般是指能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，观察下面的表格中的勾股数： … … … (1)当时，______，______． (2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含的等式表示，为正整数）． (3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的． 4．阅读材料： 勾股定理本身就是一个关于a、b、c的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解通常叫做勾股数组，关于勾股数组的研究我国历史上有非常辉煌的成就，根据《周髀算经》记载，在约公元前1100年，人们就已经知道“勾广三、股修四、径隅五”（古人把较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，而斜边则为弦），即知道了勾股数组．类似地，还可以得到下列勾股数组：，，，…，等等，这些数组也叫做毕达哥拉斯勾股数组，上述勾股数组的规律，可以用下面表格直观表示： 勾股数组 各数组的和 和的另一表示法 和与最小数的差 股 弦 3，4，5 12 5，12，13 30 7，24，25 56 观察分析上述勾股数组，可以看出它们具有如下特点： 特点1：最小的勾股数的平方等于另两个勾股数的和； 特点2：______． … 回答问题： (1)请你再写出上述勾股数组的一个特点：______； (2)如果n表示比1大的奇数，则上述勾股数组可以表示为； (3)请你证明（2）中的三个式子是勾股数组． 四．以直角三角形为边长的图形面积 1．如图，在中，，，分别以为直角边作等腰直角三角形和等腰直角三角形．若的面积为，的面积为，则的结果为（    ） A．18 B．12 C．36 D．62 2．如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，，则的周长为 ． 3．如图，在中，，分别以的三边为直径画半圆， (1)若，，求两个月形图案（阴影部分）的面积的和． (2)求证：两个月形图案（阴影部分）的面积的和等于的面积． 4．勾股定理是数学史上的两个宝藏之一，小亮学习了数方格、借助于面积的方法知道了勾股定理，学习之余，他又对（）进行了一系列的探究、猜想、验证和运用，请你和他一起完成下面的过程： (1)填空： ①如图1，将放置在边长都为1的正方形网格中，则之间的关系是______． ②如图2，假设以的三边向形外作等边三角形为：，若，则之间的关系是_______． (2)如图3，以的三边为直径向形外作半圆，若，那么你在（1）中所发现的之间的关系是否还成立，并说明理由． (3)如图4，以的三边为直径向形外作半圆，已知阴影部分的面积为8，则______．（直接填写出结果） 五．用勾股定理解三角形 1．如图，在中，，平分，交于点D，于点E，则线段的长度为（　　） A．3 B． C． D．2 2．已知：如图，的距离为1，的距离为5，等腰的顶点A、B、C分别在上，那么斜边的长为 ． 3．如图，在中，，平分交于点D，过点D作交于点E，，垂足为点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 4．如图，在中，，平分交于点，过点作交于点，，垂足为点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 六．利用勾股定理求线段的平方和 1．如图，在中，D，E分别是边BC，AC的中点，已知，，，则AB的长为（    ）．    A． B． C．10 D． 2．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则 ． 3．如图，，直线 与 的两边分别交于 ， 两点，作等边三角形 ，使点 在 内部，在 外部． (1)求 的度数． (2)用等式表示线段 ，， 之间的数量关系，并证明． 4．【问题发现】（1）如图1，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接，容易发现： ①的度数为_______； ②线段、之间的数量关系为_______； 【类比探究】（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点B，D，E在同一直线上，连接，试判断的度数以及线段、之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】（3）如图3，，，，，则的值为_______． 七．勾股定理与折叠问题 1．如图，在长方形中，、，点为边上的一点，将沿直线折叠，点刚好落在边上的点处，则的长是（    ） A． B． C． D． 2．如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处．若，，则的值为 ． 3．如图，在中，，将沿折叠，使点B落在边上点D的位置． (1)若，求的度数． (2)若．则的面积为__________． 4．如图，中，，D，E分别在上，将沿折叠，使点C落在边上的点F处，且，折痕为． (1)求的度数； (2)若，求AE的长． 八．勾股定理与网格问题 1．如图是由边长均为1的小正方形组成的网格，小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点，，均在格点上．若，垂足为点，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．“在中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．”小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积，我们把上述求面积的方法叫做构图法．    （1）直接写出图1中的面积 ； （2）若中有两边的长分别为、，且的面积为，写出它的第三条边长 （试运用构图法在图2的每个小正方形的边长为的网格中画出符合题意的）． 3．问题背景：在中，、、三边的长分别为求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示，这样不需求的高，借用网格就能计算出它的面积． (1)请将的面积直接填写在横线上______； (2)在图中画，使三边、、的长分别为、，，并判断的形状，说明理由． 4．【问题情境】在综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题．图1、图2都是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点． 【操作发现】小颖在图1中画出，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边，分别经过点C，A，她借助此图求出了的面积． （1）在图1中，小颖所画的的三边长的平方分别是 ， ，   ，的面积为 ； 【解决问题】 （2）已知在中， ，请你根据小颖的思路，在图2的正方形网格中画出 ，并直接写出 的面积． 九．勾股定理的逆定理 1．在下列条件下不是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，B是延长线上的一点，连接．若，则的面积为 ． 3．如图，中，，垂足为D，，，． (1)求证：； (2)点P为边上一点，连接，若为等腰三角形，求的长． 4．如图，在四边形中，，，，，．    (1)求的长； (2)求四边形的面积． 一十．勾股定理逆定理的实际应用 1．某社区为了让居民享受更多“开窗见景，推门见绿”的空间，决定将一块四边形区域改造为儿童游乐场．图1是该区域的设计图，图2是该四边形区域的几何示意图，，，，，，按照计划要先在该区域铺设塑胶，已知铺设1平方米塑胶需要200元，则铺满该区域需要的费用是（    ） A．40800元 B．91600元 C．60800元 D．48000元 2．如图，有一四边形空地，，，，，，则四边形的面积为 ． 3．一颗大树在一次强烈的地震中于离树根处8米的处折断倒下（如图），树顶落在离树根处6米，则大树的原长为 米． 4．某中学有一块四边形的空地，如下图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，若每平方米草皮需要元，问学校需要投入多少资金买草皮？ 5．在一条东西走向的河流一侧有一村庄，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)求的度数； (2)求原来的路线的长． 一十一．勾股定理的简单应用 1．如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角O处为．当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了，木板顶端向下滑动了，则小猫在木板上爬动的距离为（   ）m ． A． B． C． D． 2．如图为一个带盖的圆柱形铅笔筒，已知圆柱底面积为，笔筒高度为，则该圆柱形笔筒所能容纳铅笔的最大长度为（    ） A． B． C． D． 3．学校操场边有一根垂直于地面l的旗杆，一根无弹力、不能伸缩的绳子m紧系于旗杆顶端A处(打结处忽略不计)．聪明的小陶同学通过操作、测量发现：如图1，当绳子m紧靠在旗杆上拉紧到底端B后，还多出1米，即 米；如图2，当离开旗杆底端 B 处5米后，绳子恰好拉直且绳子末端D 处恰好接触地面，即 米．请你跟小陶同学一起算一算旗杆的高度是（   ） A．12 米 B．10 米 C．6 米 D．15米 4．如图，梯子靠在墙上，梯子的底端到墙根的距离为，梯子的底端向外移动到，使梯子的底端到墙根的距离等于，同时梯子的顶端下降至，则的长为 （梯子的长为）． 5．一支长为厘米的金属筷子（粗细忽略不计），放入一个长、宽、高分别是4厘米、3厘米和厘米的细长的长方形水槽中，那么水槽至少要放进 厘米深的水才能完全淹没筷子． 6．如图，李师傅在两墙，之间施工（两墙与地面垂直），他架了一架长为的梯子，此时梯子底端距离墙角点． (1)此时梯子的顶端点距离地面有多高？ (2)若梯子底端点没有固定好，向后滑动到墙角处，使梯子顶端沿墙下滑了到点处，求梯子底端向后滑动的距离． 7．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一，如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送3m，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态．    (1)求秋千的长度； (2)如果将秋千往前推送4米，求此时踏板离地的垂直高度为多少？ 8．著名的“赵爽弦图”如图1所示，若其中四个全等的直角三角形中，较短的直角边为a，较长的直角边为b，斜边为c，则大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边为a，b，斜边为c，则． (1)图2为美国第20任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理． (2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路短多少千米． (3)在第（2）问中，若千米，千米，千米，求的长． 9．如图，同学们想测量旗杆的高度（米），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面， 并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下： 小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余米，如图； ②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部米，如图． 小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图点处（）． (1)请你按小明的方案求出旗杆的高度h（米）； (2)已知小亮举起绳结离旗杆米远，此时绳结离地面多高？ 一十二．判断汽车是否超速问题 1．如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°．公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（　　） A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．30秒． 2．如图，公路和公路在点处交汇，公路上点处有学校，点到公路的距离为，现有一卡车在公路上以的速度沿方向行驶，卡车行驶时周围以内都会受到噪音的影响，请你算出该学校受影响的时间为 s． 3．如图，某港口P有甲，乙两艘渔船．两船同时离开港口后，甲船沿北偏东方向以每小时的速度航行，乙船沿南偏东某方向以每小时的速度航行，它们两个小时后分别位于R，Q处，且相距．请求出乙船沿哪个方向航行．    4．如图，在一条东西走向的河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（、、在同一条直线上），并新修一条路，测得，，． (1)是不是从村庄到河边的最近的路，请通过计算加以说明； (2)求新路比原路少多少千米． 5．如图，经过A村和B村（将A，B村看成直线l上的点）的笔直公路1旁有一块山地正在开发，现需要在C处进行爆破．已知C处与A村的距离为米，C处与B村的距离为米，且．    (1)求A，B两村之间的距离； (2)为了安全起见，爆破点C周围半径米范围内不得进入，在进行爆破时，公路段是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由． 6．2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． (1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？ 一十三．选址使两地距离相等 1．如图，高速公路上有,两点相距，,为两村庄，已知，．于，于，现要在上建一个服务站，使得,两村庄到站的距离相等，则的长是　　．    A．4 B．5 C．6 D． 2．为了解决 A、B 两个村的村民饮水难，计划在笔直的河边 修建一个水泵站，为节约经费，该水泵站与两村的水管线总长力求做到最短，已知 A 村到河边的距离为 1km，B 村到河边的距离为 2km，AB=4km，则水管线最短要 km(结果保留根号）． 3．如图，开州大道上，两点相距，，为两商场，于，于．已知，．现在要在公路上建一个土特产产品收购站，使得，两商场到站的距离相等，    (1)求站应建在离点多少处？ (2)若某人从商场以的速度匀速步行到收购站，需要多少小时？ 4．如图，小区A与公路l的距离米，小区B与公路l的距离米，已知米． (1)政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使Q到A、B两小区的路程相等，求的长； (2)现要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B两小区的路程之和最短，求的最小值，求出此最小值． 一十四．求最短路径 1．如图，一只蚂蚁从长为、宽为、高为的长方体纸箱的点沿纸箱表面爬到点，那么它所爬行的最短路线的长是（     ） A． B． C． D． 2．如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处所走的最短路程为 cm．（杯壁厚度不计） 3．【操作】某班数学兴趣小组在研究正方体的展开图．小组成员小方将正方体沿某几条棱剪开，他不可能剪出的正方体展开图是（   ） 【应用】（1）小组成员圆圆剪出的一个展开图如图所示，如果把它折成正方体后，相对面上所标的两个数相等，那么 ； （2）如图，小组成员蔓蔓在正方体上标注出顶点A，C和另一条棱的中点B，量得正方体的棱长为4，请你帮他求出从点A沿表面到点B的最短距离． 4．数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． 【思想应用】 （1）已知a，b均为正实数，且，求的最小值．通过分析，小军想到了构造图形解决此问题：如图，，，，，，点E是线段AB上的动点，且不与端点重合，连接CE，DE，设，． ①用含a的代数式表示________，用含b的代数式表示________． ②据此写出的最小值：________． 【类比应用】 （2）根据上述方法，求代数式的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$专题05 勾股定理（易错必刷64题14种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 勾股定理的证明方法 题型二 以弦图为背景的计算题 题型三 勾股数问题 题型四 以直角三角形为边长的图形面积 题型五 用勾股定理解三角形 题型六 利用勾股定理求线段的平方和 题型七 勾股定理与折叠问题 题型八 勾股定理与网格问题 题型九 勾股定理的逆定理 题型十 勾股定理逆定理的实际应用 题型十一 勾股定理的简单应用 题型十二 汽车超速或台风影响问题 题型十三 选址使两地距离相等 题型十四 求最短路径 一．勾股定理的证明方法 1．意大利著名画家达•芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设左边图中空白部分的面积为，右边图中空白部分的面积为，小聪同学得出了以下四个结论：①；②；③；④．则其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的证明，直角三角形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．根据勾股定理、直角三角形以及正方形的面积公式计算，即可解决问题． 【详解】解：由勾股定理得：， 由题意得：， 故①、②、③、④正确， 故选：D 2．如图所示的正方形图案是用4个全等的直角三角形拼成的．已知正方形的面积为25，正方形的面积为1，若用、分别表示直角三角形的两直角边，下列三个结论：①；②；③；④．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】用含有的代数式分别表示小正方形及大正方形的边长，然后根据面积关系得出与的关系式，依次判断所给关系式即可． 【详解】解：由题意可得小正方形的边长＝1，大正方形的边长＝5， 斜边2＝大正方形的面积， 故①正确； ∵小正方形的边长为1， ， 故②正确； ∵小正方形的面积+四个直角三角形的面积等于大正方形的面积， ， ， 故③正确； ， 故④不正确． 综上可得①②③正确． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的变形应用等知识，根据所给图形，利用面积关系判断与的关系是解答本题的关键． 3．取两个同样的直角三角板，按如图所示摆放（B，C，D三点在一条直线上）． (1)连接，则是________三角形，四边形是________形； (2)设，，，试用两种不同的方法表示出四边形的面积； (3)由（2）你能得到什么结论？ 【答案】(1)等腰直角，直角梯 (2)或 (3)直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 【分析】本题主要考查了全等三角形和勾股定理．熟练掌握全等三角形性质，等腰直角三角形的判定，梯形的判定，面积法证明勾股定理，是解决问题的关键． （1）根据两个直角三角板同样大，得到，， ，推出 ，得到，得到为等腰直角三角形；根据 ，得到，根据当时，，得到四边形是矩形，得到四边形不一定是矩形，是直角梯形； (2)设四边形的面积为S，方法一：根据梯形的面积公式，有；方法二：根据四边形是由3个三角形组成得到，； (3)由(2)知，，化简即得．得到结论：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 【详解】（1）∵两个直角三角板同样大， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形； ∵ ， ∴， 当时，, ∴， ∴四边形是矩形， ∴四边形不一定是矩形， ∴四边形为直角梯形； 故答案为：等腰直角，直角梯 （2）设四边形的面积为S， 方法一： ∵四边形为直角梯形， ∴ ； 方法二： ； （3）由(2)知， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 结论：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 4．用图1所示的四个全等的直角三角形可以拼成图2的大正方形． 请根据信息解答下列问题： (1)请用含a，b，c的代数式表示大正方形的面积． 方法1：______． 方法2：______． (2)根据图2，求出a，b，c之间的数量关系． (3)如果大正方形的边长为10，且，求小正方形的边长． 【答案】(1)；[或] (2) (3)小正方形的边长为2 【分析】本题考查勾股定理的几何背景，完全平方公式与几何图形的面积： （1）直接法和分割法两种方法表示出大正方形的面积即可； （2）根据等积法得到数量关系即可； （3）利用完全平方公式变形求值即可． 【详解】（1）解：方法一：大正方形的面积=； 方法二：大正方形的面积=； （2）由（1）可知：， 整理，得：； （3）由（2）可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴小正方形的面积为， ∴小正方形的边长为2． 二．以弦图为背景的计算题 1．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形（如图所示），若大正方形的面积是29，小正方形的面积是9，设直角三角形较长直角边为b，较短直角边为a，则的值是（    ） A．7 B．14 C．21 D．28 【答案】C 【分析】此题考查了完全平方公式与几何图形．熟练掌握正方形性质，勾股定理，完全平方公式，平方差公式 ，是解题的关键． 根据几何图形得到，，，利用完全平方公式变形求出，再求出，根据，求出，的值，根据即可得到答案． 【详解】解：∵大正方形的面积是29，小正方形的面积是9， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，∴， ∴． 故选：C． 2．如图所示的图案是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》中“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，点是的中点，阴影部分的面积为27，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理．由四边形与四边形均为正方形，点是的中点，可知、、分别为、、的中点，可推出阴影部分的四个直角三角形面积相等，每一个都为正方形面积的一半，从而阴影部分总面积为正方形面积的3倍，即可得正方形面积为9，继而得，由勾股定理可求得的长． 【详解】解：由四边形与四边形均为正方形，点是的中点，可知、、分别为、、的中点， 且， ， ， ， ， ， 又， ． 故答案为：． 3．阅读材料，解决问题： 三国时期吴国的数学家赵爽创建了一幅“弦图”，利用面积法给出了勾股定理的证明．实际上，该“弦图”与完全平方公式有着密切的关系．如图2，这是由8个全等的直角边长分别为，，斜边长为的三角形拼成的“弦图”． (1)在图2中，正方形的面积可表示为______，正方形的面积可表示为______（用含，的式子表示）； (2)请结合图2用面积法说明，，三者之间的等量关系； (3)已知，，求正方形的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)正方形的面积为39 【分析】本题考查勾股定理，完全平方公式，三角形的面积，关键是应用正方形的面积公式进行计算． （1）由正方形面积公式即可得到答案； （2）由正方形的面积正方形的面积直角三角形的面积，即可得到答案； （3）由正方形的面积正方形的面积直角三角形的面积，得到正方形的面，代入有关数据即可计算． 【详解】（1）解：正方形的面积可表示为，正方形的面积可表示为． 故答案为：；； （2）解：正方形的面积正方形的面积直角三角形的面积， ， ； （3）解：正方形的面积正方形的面积直角三角形的面积， 正方形的面积． 4．阅读下列材料，并完成相应的任务： 小明在经过八年级上册的知识学习后，发现用不同的方式表示同一图形的面积不仅可以得到整式的乘法公式，还可以用来证明勾股定理，我们把这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法．如图1，这是我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制的一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成． 任务一：如图1，请用它验证勾股定理． 任务二：如图1，若，求的面积． 任务三：如图2，在中，，是边上的高，，请直接写出的长． 【答案】任务一：见解析；任务二：；任务三： 【分析】本题考查了勾股定理，以弦图为背景的计算题，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 任务一：根据正方形的面积个全等的直角三角形的面积＋一个小正方形的面积，列式，化简即可作答； 任务二：结合，化简得出，再代入直角三角形的面积公式进行计算，即可作答． 任务三：先运用勾股定理计算，再运用等面积法列式计算，即可作答． 【详解】解：任务一：正方形的面积，且正方形的面积个全等的直角三角形的面积＋一个小正方形的面积， ， 整理得． 任务二：， ， ， ， 的面积． 任务三：∵在中，， ． 是边上的高， ， ， ． 三．勾股数问题 1．勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，观察下列勾股数：3，4，5；5，，；7，，；这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，；8，，；若此类勾股数的勾为，为正整数），则弦是（结果用含的式子表示）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股数，熟练掌握勾股定理求勾股数是解题的关键． 由题意得为偶数，设其股是，则弦为，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵为正整数， ∴为偶数， 设其股是，则弦为， 由勾股定理得，， 解得， 弦是， 故选：A． 2．如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形的面积分别为，则正方形G的面积为 ． 【答案】625 【分析】本题考查勾股树，根据勾股定理可知正方形A、B的面积之和等于正方形F的面积，同法可求正方形E、G的面积． 【详解】解：由勾股定理可知，， ， ， 故答案为：625． 3．在中国古代数学著作《周髀算经》中就对勾股定理和勾股数有过一定的描述，所谓勾股数一般是指能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，观察下面的表格中的勾股数： … … … (1)当时，______，______． (2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含的等式表示，为正整数）． (3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的． 【答案】(1)60  61 (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了勾股数，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股数是解题的关键． （1）根据表格中的数据即可得到答案； （2）．根据表格中的数据找出规律即可得到答案； （3）根据勾股定理的逆定理即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：60，61 （2）解：由（1）可得，， 当时， （3）解： ． 结论成立． 4．阅读材料： 勾股定理本身就是一个关于a、b、c的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解通常叫做勾股数组，关于勾股数组的研究我国历史上有非常辉煌的成就，根据《周髀算经》记载，在约公元前1100年，人们就已经知道“勾广三、股修四、径隅五”（古人把较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，而斜边则为弦），即知道了勾股数组．类似地，还可以得到下列勾股数组：，，，…，等等，这些数组也叫做毕达哥拉斯勾股数组，上述勾股数组的规律，可以用下面表格直观表示： 勾股数组 各数组的和 和的另一表示法 和与最小数的差 股 弦 3，4，5 12 5，12，13 30 7，24，25 56 观察分析上述勾股数组，可以看出它们具有如下特点： 特点1：最小的勾股数的平方等于另两个勾股数的和； 特点2：______． … 回答问题： (1)请你再写出上述勾股数组的一个特点：______； (2)如果n表示比1大的奇数，则上述勾股数组可以表示为； (3)请你证明（2）中的三个式子是勾股数组． 【答案】(1)勾股数组的和等于最小的勾股数与比它大1的整数的乘积；（答案不唯一） (2)，； (3)见解析 【分析】本题考查了勾股数的概念，整式的混合运算，熟记勾股数的概念是解题关键． （1）根据勾股数组的特点解答即可； （2）根据已知表格，先求出勾股数组的和，进而得到勾股数组的和与最小数的差，再求出股和弦即可； （3）根据正数的混合运算法则计算即可证明． 【详解】（1）解：上述勾股数组的一个特点：勾股数组的和等于最小的勾股数与比它大1的整数的乘积； 故答案为：勾股数组的和等于最小的勾股数与比它大1的整数的乘积； （2）解：为最小的勾股数， 勾股数组的和为， 勾股数组的和与最小数的差为， 股为，弦为， 勾股数组可以表示为， 故答案为：，； （3）证明： ， 即是勾股数组． 四．以直角三角形为边长的图形面积 1．如图，在中，，，分别以为直角边作等腰直角三角形和等腰直角三角形．若的面积为，的面积为，则的结果为（    ） A．18 B．12 C．36 D．62 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积公式，根据等腰直角三角形的性质以及三角形的面积公式得出，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵与都是等腰直角三角形， ∴由题意知，，， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴的结果为18， 故选：A． 2．如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，，则的周长为 ． 【答案】14 【分析】本题考查的是勾股定理，熟练掌握与勾股定理有关图形面积计算是解题关键． 根据勾股定理得到，根据半圆面积公式、完全平方公式由可得，由，即可求解． 【详解】解：由勾股定理得，， ， ， ， ， ， ， ， （负值舍去）， 的周长， 故答案为：14． 3．如图，在中，，分别以的三边为直径画半圆， (1)若，，求两个月形图案（阴影部分）的面积的和． (2)求证：两个月形图案（阴影部分）的面积的和等于的面积． 【答案】(1)； (2)证明见解析． 【分析】（）根据勾股定理求出，可得，设以为直径的半圆分别为①、②、③，分别求出，最后根据即可求解； （）由勾股定理得，设以为直径的半圆分别为①、②、③，可得，，，进而得到，即得，即可得； 本题考查了勾股定理，圆的面积公式，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 设以为直径的半圆分别为①、②、③， 则，，， ∴； （2）证明：∵， ∴， 设以为直径的半圆分别为①、②、③， 则， 同理得，，， ∴， ∴， ∴． 4．勾股定理是数学史上的两个宝藏之一，小亮学习了数方格、借助于面积的方法知道了勾股定理，学习之余，他又对（）进行了一系列的探究、猜想、验证和运用，请你和他一起完成下面的过程： (1)填空： ①如图1，将放置在边长都为1的正方形网格中，则之间的关系是______． ②如图2，假设以的三边向形外作等边三角形为：，若，则之间的关系是_______． (2)如图3，以的三边为直径向形外作半圆，若，那么你在（1）中所发现的之间的关系是否还成立，并说明理由． (3)如图4，以的三边为直径向形外作半圆，已知阴影部分的面积为8，则______．（直接填写出结果） 【答案】(1)①；② (2)还成立，理由见解析 (3)8 【分析】（1）①根据正方形的面积公式、勾股定理，理由网格计算，得到答案； ②由勾股定理和等边三角形的面积公式可求解； （2）由勾股定理和半圆的面积公式可求解； （3）由面积的和差关系可求解． 【详解】（1）解：①，理由如下： 由网格可知：，，， 、、之间的关系是， 故答案为：； ②，理由如下： ，，，， ； 故答案为：； （2）解：还成立，理由如下： ，，，， ； ； （3）解：图中阴影部分的面积，， ． 故答案为：8． 【点睛】此题是三角形综合题，考查了勾股定理，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，圆的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理找到面积的数量关系是解题的关键． 五．用勾股定理解三角形 1．如图，在中，，平分，交于点D，于点E，则线段的长度为（　　） A．3 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，角平分线的性质，先证明，求解，再利用等面积法建立方程求解即可． 【详解】解：∵， 平分， ， ∴， ∵，，， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 2．已知：如图，的距离为1，的距离为5，等腰的顶点A、B、C分别在上，那么斜边的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形和全等三角形．熟练掌握等腰直角三角形性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理解直角三角形，是解决问题的关键． 过B作直线于D，交于E，结合等腰直角三角形性质证明，得到，根据勾股定理求出，根据等腰直角三角形性质即得． 【详解】过B作直线于D，交于E， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴ ，∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．如图，在中，，平分交于点D，过点D作交于点E，，垂足为点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等边对等边，勾股定理等知识．熟练掌握角平分线的性质，平行线的性质，等边对等边，勾股定理是解题的关键． （1）由平分，，可得，，则，进而可证； （2）由角平分线的性质可得，，由（1）可知，由勾股定理得，，则，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴由勾股定理得，， ∴． 4．如图，在中，，平分交于点，过点作交于点，，垂足为点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）由角平分线可得，由平行线的性质可得，即可得，根据等角对等边即可得到； （）由角平分线的性质可得，由勾股定理可得，再由勾股定理即可求出的长； 本题考查了角平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 六．利用勾股定理求线段的平方和 1．如图，在中，D，E分别是边BC，AC的中点，已知，，，则AB的长为（    ）．    A． B． C．10 D． 【答案】A 【分析】设，，在和 中，利用勾股定理可证得，在Rt△ABC中，利用即可求解． 【详解】设，， 在中，，① 在中，，② ①＋②，， ∴， 在Rt△ABC中， ， 故选A． 【点睛】本题考查了勾股定理，借助中点的定义，灵活运用勾股定理是解答的关键． 2．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则 ． 【答案】73 【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键． 在和中，根据勾股定理得，进一步得，再根据，然后根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 在和中，根据勾股定理得：， ∴， ∵， ∴. 故答案为：73． 3．如图，，直线 与 的两边分别交于 ， 两点，作等边三角形 ，使点 在 内部，在 外部． (1)求 的度数． (2)用等式表示线段 ，， 之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查三角形的外角性质，勾股定理，全等三角形，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）先根据三角形的内角和定理和角的和差得到，然后根据邻补角的定义解题即可； （2）过B作，使，连接，．可以得到，进而得到，，，根据为等边三角形得到，即可得到结论． 【详解】（1）∵， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）， 证明如下：过B作，使，连接，， ∵为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 4．【问题发现】（1）如图1，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接，容易发现： ①的度数为_______； ②线段、之间的数量关系为_______； 【类比探究】（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点B，D，E在同一直线上，连接，试判断的度数以及线段、之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】（3）如图3，，，，，则的值为_______． 【答案】（1）①；②；（2），，见解析；（3）2 【分析】（1）①根据等边三角形的性质得到，得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； ②由，根据全等三角形的性质证明结论； （2）由“”可证，可得，即可求解； （3）如图3，作辅助线构建全等三角形，由“”可证，可得，，可求，根据列方程可得x的值，最后由勾股定理可求解． 【详解】解：（1）①∵和均为等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴； 故答案为：①；②； （2）， 理由如下：∵，和均为等腰直角三角形， ∴，，， ， 即， 在和中， ， ∴（）， ∴，； ； （3）如图3，过点C作，交的延长线于F，过点B作于E， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴（）， ∴， 设，则，，， ∴ ∴， ∴，，， ∴在中，． 故答案为：2． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查的是等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 七．勾股定理与折叠问题 1．如图，在长方形中，、，点为边上的一点，将沿直线折叠，点刚好落在边上的点处，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了长方形的性质，折叠的性质及用勾股定理解三角形，熟练掌握长方形的性质折叠的性质及勾股定理是解题关键． 根据长方形的性质得到，，由折叠性质得到，，然后利用股股定理，得到，设，则，再根据勾股定理得，列出关于的方程，求解即可得出答案． 【详解】解：四边形为长方形，，， 将沿直线折叠，点刚好落在边上的点处， ，， 在中，， ， 设，则，， 在中，， 即， 解得：， 即的长为， 故选：C 2．如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处．若，，则的值为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理，由折叠的性质可得，，可得，，根据勾股定理可求的值． 【详解】将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处， ，， ， ，     ，， 在中，， 在中，， ， 故答案为：16． 3．如图，在中，，将沿折叠，使点B落在边上点D的位置． (1)若，求的度数． (2)若．则的面积为__________． 【答案】(1) (2)60 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题： （1）根据折叠的性质，得到，等边对等角，得到，再利用三角形的内角和定理，进行计算即可； （2）勾股定理求出的长，折叠求出的长，设，在中，利用勾股定理求出的值，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵沿折叠，使点B落在边上点D的位置， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）∵沿折叠，使点B落在边上点D的位置，， ∴， ∵， ∴． ∴， 设，则， ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴ 故答案为：60． 4．如图，中，，D，E分别在上，将沿折叠，使点C落在边上的点F处，且，折痕为． (1)求的度数； (2)若，求AE的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点处，可得，即得，而，故； （2）根据，，得，设，则，在中，可列方程，即可解得． 【详解】（1）解： ， 折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点处， ， ， ，即， ， ， ， ； （2），， ， 设，则， 折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点处， ， 在中，， ， 解得， ． 【点睛】本题考查等腰三角形中的折叠问题，涉及勾股定理、三角形内角和等知识，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练应用勾股定理列方程解决问题． 八．勾股定理与网格问题 1．如图是由边长均为1的小正方形组成的网格，小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点，，均在格点上．若，垂足为点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了勾股定理以及三角形面积的求法，正确利用等面积法求出的长是解题关键．利用勾股定理得出的长，再利用等面积法得出的长． 【详解】由题意，得， 由勾股定理，得， ∵， ∴． ∴， 故选：A． 2．“在中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．”小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积，我们把上述求面积的方法叫做构图法．    （1）直接写出图1中的面积 ； （2）若中有两边的长分别为、，且的面积为，写出它的第三条边长 （试运用构图法在图2的每个小正方形的边长为的网格中画出符合题意的）． 【答案】 //3.5 【分析】本题考查勾股定理与无理数，借助网格计算三角形的面积： （1）利用分割法求三角形的面积即可； （2）根据题意，画出，求解即可． 【详解】解：（1）由图可知： 的面积； 故答案为：． （2）如图：    此时：， ，满足题意， ∴； 故答案为：． 3．问题背景：在中，、、三边的长分别为求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示，这样不需求的高，借用网格就能计算出它的面积． (1)请将的面积直接填写在横线上______； (2)在图中画，使三边、、的长分别为、，，并判断的形状，说明理由． 【答案】(1)； (2)画图见解析，是直角三角形，见解析 【分析】（1）用割补法把三角形补成一个矩形，用矩形的面积减去个三角形的面积即可解答； （2）根据，即可找出线段、、，再利用勾股定理的逆定理即可求解． 本题考查三角形的面积，勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理是解题关键． 【详解】（1）． 故答案为：； （2）由，确定，，， 如图所示，即为所求： ，即， 是直角三角形． 4．【问题情境】在综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题．图1、图2都是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点． 【操作发现】小颖在图1中画出，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边，分别经过点C，A，她借助此图求出了的面积． （1）在图1中，小颖所画的的三边长的平方分别是 ， ，   ，的面积为 ； 【解决问题】 （2）已知在中， ，请你根据小颖的思路，在图2的正方形网格中画出 ，并直接写出 的面积． 【答案】（1）25，17，10，；（2） 画图见解析，． 【分析】（1）利用勾股定理求出的长度，再根据进行计算即可得到答案； （2）结合勾股定理画出，再用割补法求出面积即可， 本题考查了勾股定理，利用网格图求三角形的面积，熟练掌握勾股定理以及利用网格求三角形面积的求法是解题的关键． 【详解】解：（1）由勾股定理得： ，，， ， 故答案为：25，17，10，， （2）作如图所示：    ． 九．勾股定理的逆定理 1．在下列条件下不是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理逆定理，可以判定A、B，根据角度关系及三角形内角和，可判断C、D， 本题考查了直角三角形的判定，根据勾股定理的逆定理及三角形的内角和定理逐项判断即可求解，掌握勾股定理的逆定理及三角形的内角和定理是解题的关键． 【详解】解：、由可得，根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形，该选项不合题意； 、∵， ∴设，，， ∴，根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形，该选项不合题意； 、∵， ∴设，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴不是直角三角形，该选项符合题意； 、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，该选项不合题意； 故选：C． 2．如图，在中，，，，B是延长线上的一点，连接．若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用． 先用勾股定理逆定理证明是直角三角形，且.再由勾股定理求出的长，得到的长，利用三角形面积公式即可求出答案． 【详解】解：在中，，，， ∴，即， ∴是直角三角形，且. 在中，，即， 解得（负值已舍去）， ∴， ∴的面积为 故答案为： 3．如图，中，，垂足为D，，，． (1)求证：； (2)点P为边上一点，连接，若为等腰三角形，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)的长为3或2或． 【分析】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理的应用以及等腰三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）在中利用勾股定理可求，同理在中利用勾股定理可求，而，易求从而可知是直角三角形； （2）分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别求出的长即可． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， 又∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形． ∴； （2）解：分三种情况： ①当时，如图： ∵， ∴， ∴； ②当时，如图： ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴P是的中点， ∴； ③当时，如图： ∵，， ∴， 综上所述：的长为3或2或． 4．如图，在四边形中，，，，，．    (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)的长为 (2)四边形的面积为 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理： （1）利用勾股定理解即可； （2）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，则四边形的面积等于与面积之和． 【详解】（1）解：， ， ，， ， 的长为； （2），， ， 是直角三角形， ， 四边形的面积的面积的面积 ， 四边形的面积为． 一十．勾股定理逆定理的实际应用 1．某社区为了让居民享受更多“开窗见景，推门见绿”的空间，决定将一块四边形区域改造为儿童游乐场．图1是该区域的设计图，图2是该四边形区域的几何示意图，，，，，，按照计划要先在该区域铺设塑胶，已知铺设1平方米塑胶需要200元，则铺满该区域需要的费用是（    ） A．40800元 B．91600元 C．60800元 D．48000元 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的运算．连接，先由勾股定理求出长，再由勾股定理的逆定理判定是直角三角形，然且由直角三角形的面积公式计算出四边形面积，然后用面积乘以单价即可． 【详解】解：连接，如图2， ∵，，， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴铺满该区域需要的费用为：（元）， 故选：A． 2．如图，有一四边形空地，，，，，，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】连接，先根据勾股定理求出的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状，最后利用三角形的面积公式求解即可． 本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积，根据勾股定理的逆定理判断出的形状是解答此题的关键． 【详解】解：如图，连接． ， ， ． ， 为直角三角形，， ． 3．一颗大树在一次强烈的地震中于离树根处8米的处折断倒下（如图），树顶落在离树根处6米，则大树的原长为 米． 【答案】18 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中正确的根据勾股定理计算的长是解题的关键．由题意知，米，米，在中，已知，、的长度根据勾股定理可以计算的长度，大树的原长为． 【详解】解：大树倒下部分，地面，大树折断部分正好构成直角三角形，米，米， 米 大树的原长为(米) 故答案为：18． 4．某中学有一块四边形的空地，如下图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，若每平方米草皮需要元，问学校需要投入多少资金买草皮？ 【答案】元 【分析】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理的定义是解题的关键，连接，先利用勾股定理求出的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，然后求出四边形的面积，最后进行求即可得到答案． 【详解】解：连接，如图： ∵，， ， ∴由勾股定理得：， ∵在中，，， ∴， ∴直角三角形， ∴四边形的面积， ∴投入资金为：（元）， 答：学校需要投入元资金买草皮． 5．在一条东西走向的河流一侧有一村庄，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)求的度数； (2)求原来的路线的长． 【答案】(1) (2)8.45千米 【分析】本题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）利用勾股定理的逆定理推导为直角三角形，即可获得答案； （2）设，则，在中，利用勾股定理解得的值，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，可知千米，千米，千米， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，； （2）由（1）可知，，即， 设，则， 在中，可有， 即，解得， ∴千米， 即原来的路线的长为8.45千米． 一十一．勾股定理的简单应用 1．如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角O处为．当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了，木板顶端向下滑动了，则小猫在木板上爬动的距离为（   ）m ． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，要求小猫在木板上爬动的距离，即求木板长，可以设，，则根据木板长不会变这个等量关系列出方程组，即可求的长度，在中，根据即可求． 【详解】解：如图， 已知， 设， 则， 则在中，， 在中，， 联立方程组解得：， 故选：B． 2．如图为一个带盖的圆柱形铅笔筒，已知圆柱底面积为，笔筒高度为，则该圆柱形笔筒所能容纳铅笔的最大长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题是勾股定理的应用，解题的关键是理解题意．先根据圆柱底面积求出半径，进而得到底面圆的直径，再求出圆桶内最长对角线的长，即可求解． 【详解】解：圆柱底面积为， 该笔筒的底面半径为：， 该笔筒的直径为：， 圆桶内最长对角线的长为：， 则桶内能容下的最长的铅笔为， 故选：C． 3．学校操场边有一根垂直于地面l的旗杆，一根无弹力、不能伸缩的绳子m紧系于旗杆顶端A处(打结处忽略不计)．聪明的小陶同学通过操作、测量发现：如图1，当绳子m紧靠在旗杆上拉紧到底端B后，还多出1米，即 米；如图2，当离开旗杆底端 B 处5米后，绳子恰好拉直且绳子末端D 处恰好接触地面，即 米．请你跟小陶同学一起算一算旗杆的高度是（   ） A．12 米 B．10 米 C．6 米 D．15米 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理．设旗杆米，则米，根据勾股定理列方程即可求出旗杆的高度．熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】设旗杆米，则米，根据勾股定理可得， ， ， 解得． 故选：A 4．如图，梯子靠在墙上，梯子的底端到墙根的距离为，梯子的底端向外移动到，使梯子的底端到墙根的距离等于，同时梯子的顶端下降至，则的长为 （梯子的长为）． 【答案】 【分析】直接利用勾股定理求出以及进而求出的长即可． 此题主要考查了勾股定理的应用，正确利用勾股定理是解题关键． 【详解】解：由题意可得出：， ∴在中，， 在中，， ∴的长为：． 故答案为：． 5．一支长为厘米的金属筷子（粗细忽略不计），放入一个长、宽、高分别是4厘米、3厘米和厘米的细长的长方形水槽中，那么水槽至少要放进 厘米深的水才能完全淹没筷子． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用．根据题目信息画出示意图并熟练运用勾股定理是解题的关键． 根据题中所给出的条件构造直角三角形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， 由题意可知，，，；为筷子，即， 为水的深度， 由勾股定理得， ， 故答案为：． 6．如图，李师傅在两墙，之间施工（两墙与地面垂直），他架了一架长为的梯子，此时梯子底端距离墙角点． (1)此时梯子的顶端点距离地面有多高？ (2)若梯子底端点没有固定好，向后滑动到墙角处，使梯子顶端沿墙下滑了到点处，求梯子底端向后滑动的距离． 【答案】(1)梯子的顶端点距离地面有高 (2)梯子底端向后滑动的距离为 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理直接求解即可； （2）由（1）知，进而勾股定理求得，根据即可求解． 【详解】（1）解：本题题意得：， ， 梯子的顶端点距离地面有高； （2）解：由（1）知， 根据题意得：， ， ， ， 梯子底端向后滑动的距离为 7．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一，如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送3m，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态．    (1)求秋千的长度； (2)如果将秋千往前推送4米，求此时踏板离地的垂直高度为多少？ 【答案】(1)秋千的长度是； (2)此时踏板离地的垂直高度为． 【分析】本题考查勾股定理的应用等知识，数形结合，熟练运用勾股定理是解决问题的关键． （1）由题中条件，得到四边形是矩形，从而得到，设秋千的长度为，则，，由勾股定理列方程求解即可得到答案； （2）设时，，构造直角三角形，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意知， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∵， ∴， 设秋千的长度为，则，， 在中，由勾股定理得，即， 解得， 即秋千的长度是； （2）解：设时，， ∵， ∴， 由（1）可知，，， ∴， 在中，， 由勾股定理得，则， 解得， 即此时踏板离地的垂直高度为． 8．著名的“赵爽弦图”如图1所示，若其中四个全等的直角三角形中，较短的直角边为a，较长的直角边为b，斜边为c，则大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边为a，b，斜边为c，则． (1)图2为美国第20任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理． (2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路短多少千米． (3)在第（2）问中，若千米，千米，千米，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)新路比原路短千米 (3)的长为千米 【分析】此题主要考查了勾股定理的证明与应用，一元一次方程，熟练掌握相关定理是解答此题的关键． （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设，则，根据股定理列方程，解得即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出列出方程求解即可得到结果． 【详解】（1）解：∵， ， ∴，即； （2）解：设千米，则千米． 在中，，即， 解得：， 即千米，（千米）． ∴新路比原路短千米． （3）解：设千米，则千米， 在中，， 在中，， ∴，即， 解得：， ∴的长为千米． 9．如图，同学们想测量旗杆的高度（米），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面， 并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下： 小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余米，如图； ②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部米，如图． 小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图点处（）． (1)请你按小明的方案求出旗杆的高度h（米）； (2)已知小亮举起绳结离旗杆米远，此时绳结离地面多高？ 【答案】(1)旗杆的高度为米 (2)绳结离地面米高 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出直角三角形是解答此题的关键． （1）由旗杆的高度为米，则绳子的长度为米，然后根据勾股定理求解即可； （2）首先得到米，米，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解∶如图，由旗杆的高度为米，则绳子的长度为米， 在中，由勾股定理得∶， 解得∶， 故旗杆的高度为米； （2）解：由题可知，米，米． 在中，由勾股定理得∶， 解得∶， ∴米， ∴米． 故绳结离地面米高． 一十二．判断汽车是否超速问题 1．如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°．公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（　　） A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．30秒． 【答案】B 【分析】过点A作AC⊥ON，利用锐角三角函数的定义求出AC的长与200m相比较，发现受到影响，然后过点A作AD=AB=200m，求出BD的长即可得出居民楼受噪音影响的时间． 【详解】解：如图：过点A作AC⊥ON，AB=AD=200米， ∵∠QON=30°，OA=240米， ∴AC=120米， 当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB=200米， ∵AB=200米，AC=120米， ∴由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米， ∵72千米/小时=20米/秒， ∴影响时间应是：320÷20=16秒． 故选B． 【点睛】本题考查勾股定理、点与圆的位置关系，根据火车行驶的方向，速度，以及它在以A为圆心，200米为半径的圆内行驶的BD的弦长，求出对A处产生噪音的时间，解题关键是根据勾股定理求BD的长.． 2．如图，公路和公路在点处交汇，公路上点处有学校，点到公路的距离为，现有一卡车在公路上以的速度沿方向行驶，卡车行驶时周围以内都会受到噪音的影响，请你算出该学校受影响的时间为 s． 【答案】24 【分析】本题考查了勾股定理的应用及等腰三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的表达式，画出示意图，另外要求掌握时间路程速度．设卡车开到处刚好开始受到影响，行驶到处时结束，在中求出，继而得出，再由卡车的速度可得出所需时间． 【详解】解：设卡车开到处刚好开始受到影响，行驶到处时结束了噪声的影响． 则有， 在中，， ， 则该校受影响的时间为：． 该学校受影响的时间为24秒． 故答案为：24 3．如图，某港口P有甲，乙两艘渔船．两船同时离开港口后，甲船沿北偏东方向以每小时的速度航行，乙船沿南偏东某方向以每小时的速度航行，它们两个小时后分别位于R，Q处，且相距．请求出乙船沿哪个方向航行．    【答案】乙船航行的方向是南偏东 【分析】本题考查了方位角问题，勾股定理的逆定理；分别求出、、的值，可得，由勾股定理的逆定理得为直角三角形，即可求解； 理解方位角，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意得， ， ， 甲船航行的距离∶ （）， 乙船航行的距离∶ （）， ， ， ， 为直角三角形， ， ， 故乙船航行的方向是南偏东． 4．如图，在一条东西走向的河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（、、在同一条直线上），并新修一条路，测得，，． (1)是不是从村庄到河边的最近的路，请通过计算加以说明； (2)求新路比原路少多少千米． 【答案】(1)是最近的路；说明见解析； (2)新路比原路少千米． 【分析】本题考查了垂线段最短、勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，并能结合题意列出适当的方程求值是解本题的关键． （1）点到直线的距离，垂线段最短，根据勾股定理，判断是否垂直于即可； （2）根据勾股定理，列方程，算出的值，再求与的差即可． 【详解】（1）解：是，理由如下： ∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴是为从村庄到河边的最近路； （2）设，则 ，， 在中，根据勾股定理有， ，即， 解得：， ∴， ∴， ∴新路比原路少千米． 5．如图，经过A村和B村（将A，B村看成直线l上的点）的笔直公路1旁有一块山地正在开发，现需要在C处进行爆破．已知C处与A村的距离为米，C处与B村的距离为米，且．    (1)求A，B两村之间的距离； (2)为了安全起见，爆破点C周围半径米范围内不得进入，在进行爆破时，公路段是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由． 【答案】(1)米； (2)段公路需要封锁，需要封锁的路段长度为米． 【分析】此题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的判定和性质等知识． （1）由勾股定理即可求解； （2）过C作于D.先用等积法求出，比较得到结论：段公路需要封锁．以点C为圆心，米为半径画弧，交于点E，F，连接，，利用勾股定理和等腰三角形的性质即可求出需要封锁的路段长度． 【详解】（1）解：在中，米，米， （米）. 答：A，B两村之间的距离为米； （2）公路有危险而需要封锁. 理由如下：如图，过C作于D.   ， （米）． 由于米米，故有危险， 因此段公路需要封锁． 以点C为圆心，米为半径画弧，交于点E，F，连接，， 米， （米），是等腰三角形， ∴ ∴（米）， 则需要封锁的路段长度为米． 6．2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． (1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？ 【答案】(1)会受到台风的影响，理由见解析； (2) 【分析】（1）作，中，根据勾股定理，求出的长，进而求得的长，即可求解， （2）假设台风在线段上移动时，会对农场A造成影响，所以，根据勾股定理求出的长，即可， 此题考查了勾股定理的应用，应用勾股定理解决实际问题，正确理解题意确定直角三角形利用勾股定理进行计算是解题的关键． 【详解】（1）解：会受到台风的影响. 理由：如图，过点A作，垂足为D， 在中，，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， 答：农场A会受到台风的影响， （2）解：如图， 假设台风在线段上移动时，会对农场A造成影响，所以，，由勾股定理，可得 ∵台风的速度是， ∴受台风影响的时间为， 答：台风影响该农场持续时间为． 一十三．选址使两地距离相等 1．如图，高速公路上有,两点相距，,为两村庄，已知，．于，于，现要在上建一个服务站，使得,两村庄到站的距离相等，则的长是　　．    A．4 B．5 C．6 D． 【答案】A 【分析】根据题意设出的长为，再由勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设km，则， 在中， ， 在中， ， 由题意可知：， ∴， 解得：． 所以，=． 故选：A 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，根据题意构造方程，是本题的关键． 2．为了解决 A、B 两个村的村民饮水难，计划在笔直的河边 修建一个水泵站，为节约经费，该水泵站与两村的水管线总长力求做到最短，已知 A 村到河边的距离为 1km，B 村到河边的距离为 2km，AB=4km，则水管线最短要 km(结果保留根号）． 【答案】 【分析】作点A关于直线的对称点A′，连接BA′与直线交于点P，此时PA+PB最小，先在Rt△ABM中利用勾股定理求出线段AM的长，再在Rt△A′BN中利用勾股定理求出线段A′B即可． 【详解】如图， 作点A关于直线的对称点A′，连接BA′与直线交于点P，此时PA+PB最小． 作A′N∥，AM∥，BN⊥与AM、A′N分别交于点M、N， ∵A 村到河边的距离为 1km，B 村到河边的距离为 2km，AB=4km， ∴Rt△ABM中，BM=1km，AB=4km， ∴AM=(km)， 在Rt△A′BN中，∵A′N= AM=(km)，BN=1+2=3(km)， ∴A′B=(km)， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称-最短问题、勾股定理的应用等知识，利用对称找到点P的位置是解题的关键，属于中考常考题型． 3．如图，开州大道上，两点相距，，为两商场，于，于．已知，．现在要在公路上建一个土特产产品收购站，使得，两商场到站的距离相等，    (1)求站应建在离点多少处？ (2)若某人从商场以的速度匀速步行到收购站，需要多少小时？ 【答案】(1)站应建在离站处 (2)需要2小时 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理正确建立方程是解题关键． （1）先根据垂直的定义可得，再根据勾股定理可得，，从而可得，设，则，据此建立方程，解方程即可得； （2）由勾股定理求出，用路程除以速度即可得出时间． 【详解】（1）解：∵使得，两村到站的距离相等， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 答：站应建在离站处； （2）解：， （小时） 答：需要2小时． 4．如图，小区A与公路l的距离米，小区B与公路l的距离米，已知米． (1)政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使Q到A、B两小区的路程相等，求的长； (2)现要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B两小区的路程之和最短，求的最小值，求出此最小值． 【答案】(1)475米 (2)1000米 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，坐标与图形的性质，勾股定理，确定出Q、P的位置是本题的关键． （1）设，则，根据利用勾股定理即可得出结果． （2）作A关于l的对称点，连接，交l于P，由对称性得的最小值为线段的长，作于点E，在中，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：如图1， 根据题意得：， 设，则， ， 解得， 即的长为475米； （2）如图，作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点P． 则， ， 的最小值为， 如图，作于点E， 在中， 米，米， 米， 的最小值为1000米． 一十四．求最短路径 1．如图，一只蚂蚁从长为、宽为、高为的长方体纸箱的点沿纸箱表面爬到点，那么它所爬行的最短路线的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用最短路线问题，把长方体按照三种方式展开，根据两点之间线段最短，利用勾股定理分别求出的长度即可求解，正确画出长方体的展开图是解题的关键． 【详解】解：将长方体按如图所示展开，连接，根据两点之间线段最短，线段为点到点的最短路线，此时； 将长方体按如图所示展开，得； 将长方体按如图所示展开，得； ∵， ∴蚂蚁爬行的最短路线的长是， 故选：． 2．如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处所走的最短路程为 cm．（杯壁厚度不计） 【答案】 【分析】本题主要考查了平面展开—最短路径问题、轴对称的性质、勾股定理等知识点．将杯子半侧面展开，作A关于的对称点，再根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：如图：将杯子半侧面展开，作A关于的对称点，连接，当点、F、B在同一条直线上，则为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离，即的长度，    由题意可得：，，， ∴， ∵． ∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为． 故答案为：． 3．【操作】某班数学兴趣小组在研究正方体的展开图．小组成员小方将正方体沿某几条棱剪开，他不可能剪出的正方体展开图是（   ） 【应用】（1）小组成员圆圆剪出的一个展开图如图所示，如果把它折成正方体后，相对面上所标的两个数相等，那么 ； （2）如图，小组成员蔓蔓在正方体上标注出顶点A，C和另一条棱的中点B，量得正方体的棱长为4，请你帮他求出从点A沿表面到点B的最短距离． 【答案】〖操作〗D 〖应用〗（1） （2）从点A沿表面到点B的最短距离为 【分析】本题考查了正方体的表面展开图，正方形相对面的文字，利用勾股定理求最短路径问题，掌握正方体的展开图的特征是解题的关键． 〖操作〗根据正方体表面展开图的特点逐项判断即得答案； 〖应用〗（1）先根据正方体展开图的特点找出相对的面，再根据相反数的定义求解； （2）根据展开图，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：〖操作〗A、符合型，可以是正方体的表面展开图，故此选项不符合题意； B、符合型，可以是正方体的表面展开图，故此选项不符合题意； C、符合型，可以是正方体的表面展开图，故此选项不符合题意； D、不是正方体的表面展开图，故此选项符合题意； 故选：D． 〖应用〗（1）∵折成正方体后，相对面上所标的两个数相等， 又由图可知，a对应，b对应0，c对应4． ，，． ∴ 故答案为：． （2）如图， ，，， 答：从点A沿表面到点B的最短距离为2． 4．数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． 【思想应用】 （1）已知a，b均为正实数，且，求的最小值．通过分析，小军想到了构造图形解决此问题：如图，，，，，，点E是线段AB上的动点，且不与端点重合，连接CE，DE，设，． ①用含a的代数式表示________，用含b的代数式表示________． ②据此写出的最小值：________． 【类比应用】 （2）根据上述方法，求代数式的最小值． 【答案】（1）①，；②；（2） 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，求解特定的代数式的最小值，矩形的判定与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． （1）①直接利用勾股定理列式表示即可；②由，而（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交CA的延长线于H，，，证明四边形为矩形，再利用勾股定理求解即可； （2）如图，设，，，，则，表示，，而（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交CA的延长线于H，，，证明四边形为矩形，再利用勾股定理进行计算即可． 【详解】解：①在中， ， ， 在中， ， ， ②，而（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交CA的延长线于H，，，如图， ∴四边形ABDH为矩形， ∴， 在中， ， ， ∴的最小值为， 即的最小值为． 故答案为：①，；② （2）如图，设，，，，则， 在中，， 在中，， ， 而（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作交CA的延长线于H，， 如图， ∴四边形ABDH为矩形， ∴， 在中，， ∴的最小值为， 即的最小值为． $$