专题06 勾股定理（考题猜想，压轴必刷39题10种题型）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（苏科版）

专题06 勾股定理（压轴必刷39题10种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 以弦图为背景的计算压轴 题型二 用勾股定理解三角形 题型三 利用勾股定理证明线段平方和 题型四 勾股定理中的折叠问题 题型五 勾股定理逆定理压轴 题型六 勾股定理的应用压轴 题型七 勾股定理中的动点问题 题型八 勾股定理中的最短路径问题 题型九 勾股定理中的最值问题 题型十 勾股定理综合 一．以弦图为背景的计算压轴 1．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为，，．若，则的值是（     ） A． B． C． D． 2．如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，已知 ， 其中阴影部分面积是 平方单位． 3．综合与实践 问题情境：第二十四届国际数学家大会合徽的设计基础是多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图1，在综合实践课上，同学们绘制了“弦图”并进行探究，获得了以下结论：该图是由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形，且． 特殊化探究：连接．设，． “运河小组”从线段长度的特殊化提出问题： (1)若，，求的面积． “武林小组”从a与b关系的特殊化提出问题： (2)若，求证：． 深入探究：老师进一步提出问题： (3)如图2，连接，延长到点I，使，作矩形．设矩形BFIJ的面积为，正方形的面积为，若平分，求证：． 请你解答这三个问题． 二．用勾股定理解三角形 1．如图，点P是内任意一点，，点M和点N分别是射线和射线上的动点，的最小值是，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在等边中，点在线段上，，，则以线段，，的长为边组成的三角形面积为（    ） A． B． C． D．1 3．如图，在中，，，，D为上一动点（不与点A重合），为等边三角形，过D点作的垂线，F为垂线上任一点，G为的中点，则线段长的最小值是 ． 4．在中，，，，以为边在外作等腰直角，连接，则长为 ． 5．已知中，． (1)如图1，在中，若，且，求证：； (2)如图2，在中，若，且垂直平分，，，求的长； (3)如图3，在中，，连接，若，求的值． 6．【问题呈现】（）如图，和均为等边三角形，点为边上一个动点，，点为边中点，连接，写出图中全等的三角形__________，线段的最小值__________． 【问题探索】（）如图，是等腰直角三角形，，，点是上一点，，交于．试探究、、的数量关系，并给予证明； 【灵活运用】（）如图，四边形中，对角线、相交于点，，，，，求四边形的面积． 三．利用勾股定理证明线段平方和 1．如图，在中，，F为中点，D为上一点，连于点E，若，则的长是（    ） A． B． C．2 D． 2．在中，，，，为中点，为边上一动点，当四边形有一组邻边相等时，则的长为 ． 3．阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题： 如图①，和都是等边三角形，点在上． 求证：以、、为边的三角形是钝角三角形． 【探究发现】小明通过探究发现：连接，根据已知条件，可以证明，，从而得出为钝角三角形，故以、、为边的三角形是钝角三角形．请你根据小明的思路，写出完整的证明过程． 【拓展迁移】如图②，四边形和四边形都是正方形，点在上． ①猜想：以、、为边的三角形的形状是________； ②当时，直接写出正方形的面积． 四．勾股定理中的折叠问题 1．如图，在中，，，，以为边在上方作一个等边，将四边形折叠，使点与点重合，折痕为，则点到直线的距离为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，点D是边上的一动点（不与点B、C重合）过点D作交于点E，将沿直线翻折，点B落在射线上的点F处，当为直角三角形时，的长为 ． 3．如图，已知矩形，，，点P是射线上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形． (1)当点Q落在边上时， ； (2)当直线经过点D时，求的长； (3)如图2，点M是的中点，连接、． ①的最小值为 ； ②当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长． 五．勾股定理逆定理压轴 1．如图，P是等边三角形内的一点，且，，，以为边在外作，连接，则以下结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，中，，，点是内一点，且，，，则的面积为 ． 3．如图所示，O是等腰直角内一点，连接、、，当，，时，求的度数，并说明理由， 六．勾股定理的应用压轴 1．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，顶端距离地面米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面米，则小巷的宽度为（  ） A． B． C． D． 2．人字梯的原理是三角形的稳定性，梯子顶端A与脚底两端点B，C构成等腰三角形．图甲是梯子两脚架夹角A为时的示意图，图乙是由图甲当点与点的距离缩小，而点A与地面的距离增大时的示意图，若点A与地面的距离为时，则此时点与点的距离是 ． 3．如图，某区有A，B，C，D四个景点，景点A，D，C依次在东西方向的一条直线上，现有公路，已知，，，． (1)通过计算说明公路是否与垂直； (2)市政府准备在景点B，C之间修一条互通大道（即线段），并在大道上的E处修建一座凉亭方便游客休息，同时D，E之间也修建一条互通大道（即线段），且．若修建互通大道的费用均是每千米17万元，请求出修建互通大道的总费用． 七．勾股定理中的动点问题 1．如图，，点M，N分别是射线，上的动点，平分，且，当的周长取最小值时，的长为（　　） A． B． C． D． 2．如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点的运动时间为．过点作于点．在点P的运动过程中，当t为 时，能使？ 3．如图，在中，，，，点从点出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒．    (1)的长为__________；（用含的代数式表示） (2)若点在的角平分线上，求的值； (3)在整个运动中，求出是等腰三角形时的值． 八．勾股定理中的最短路径问题 1．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 与点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿长方体的表面从点A爬行到点B，需要爬行的最短距离是（    ） A．20 B．25 C．30 D．35 2．如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，这时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ． 3．[提出问题] 如图1，A，B是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点C，使得这个点到点A，B的距离的和最短？ [分析问题] 如图2，若A，D两点在直线l的异侧，则连接AD，与直线l交于一点，根据“两点之间线段最短”，可知该点即为点C，因此，要解决上面提出的问题，只需要将点B（或点A）移到直线l的另一侧的点D处，且保证（或）即可． [解决问题]： (1)在图1中确定点C的位置（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)如图3，在菱形中，，E是BC边的中点，P是对角线AC上的一个动点，则的最小值为_____． 九．勾股定理中的最值问题 1．如图，为线段上一动点，分别过、作，，连接、，已知，，，设．线段的长可表示为，当、、三点共线时，的值最小，根据上述方法，求代数式的最小值为（    ）    A．11 B．13 C． D． 2．如图，在中，，，，点是内一点，则点到三个顶点的距离和的最小值是 ． 3．背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，，．请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ______， ______， ______， 则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理． 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，求出的距离． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 一十．勾股定理综合1．如图，已知，点是的平分线上的一点，点，分别是射线和射线上的点，且，．下列结论中正确的是（    ） A．是一个定值 B．四边形的面积是一个定值 C．当时，的周长最小 D．当时， 2．如图，在中，，，．点在线段上，连接．以下说法不正确是（    ）    A．当时，是直角三角形 B．当时，是等腰三角形 C．当时，是等腰三角形 D．当时，平分 3．四边形中，，，，，为的中点，若，则的长度为 ． 4．如图，四边形，连接对角线、，，且，若，，，则的长为 ． 5．在中，，，D是边上的动点，连接． (1)如图1，当D为中点时，求证：是等边三角形； (2)如图2，若，求的最小值； (3)如图3，以为边在右方作等边三角形，点F是的中点，连接并延长，交的延长线于点G，连接，若，求之间的数量关系． 6．已知中，，，点为直线上的一动点（点不与点、重合），以为边作，使，，连接． 问题发现： 如图1，当点在边上时， （1）请写出和之间的位置关系为___________，并猜想和、之间的数量关系：__________． 尝试探究： （2）如图2，当点在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中和之间的位置关系、和、之间的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，说明理由； 拓展延伸： （3）如图3，当点在边的延长线上且其他条件不变时，，，求线段的长． 7．【问题提出】 （1）如图，在中，，，，为边的中点，连接，则的长为____________． 【问题探究】 （2）如图，在四边形中，，，，，且为的中点，连接，求线段的最大值． 【问题解决】 （3）为了落实国家关于劳动实践教育的政策，使同学们掌握劳动技能和科学知识，体验劳动的快乐，某学校计划利用学校内一块四边形空地规划建立劳动教育综合实践基地．如图，是的中点，把四边形分成了两部分，其中四边形内种植油葵，内种植豌豆，是步行通道．为方便种植，要让步行通道最长．若米，，，且，修建步行通道每米花费元，则学校修建步行通道最多需要花费多少钱？（参考数据：）    8．综合与实践课上，李老师与学生一起探究了如下与“中点”有关的问题． (1)如图1，在中，，，D是的中点，E，F分别在上，且，连接．若，则______ (2)如图2，在中，，D是的中点．E，F分别在上，连接．当，请写出线段之间的数量关系，并证明． (3)如图3，在中，，，D是的中点．E为直线上一动点，连接．过点D作，交直线于点F．请直接写出当时线段的长． 9．【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： （1）如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．请根据小明的方法思考： 由已知和作图能得到，依据是________．由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是________． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． （2）【初步运用】如图②，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长． （3）【灵活运用】如图③，在中，，D为中点，，交于点E，交于点F，连接．试猜想线段、、三者之间的等量关系，并证明你的结论．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$专题06 勾股定理（压轴必刷39题10种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 以弦图为背景的计算压轴 题型二 用勾股定理解三角形 题型三 利用勾股定理证明线段平方和 题型四 勾股定理中的折叠问题 题型五 勾股定理逆定理压轴 题型六 勾股定理的应用压轴 题型七 勾股定理中的动点问题 题型八 勾股定理中的最短路径问题 题型九 勾股定理中的最值问题 题型十 勾股定理综合 一．以弦图为背景的计算压轴 1．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为，，．若，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知八个全等的直角三角形，则设出三边，根据勾股定理可知三边的关系，然后用三边分别将三个正方形的面积表示出来，直接求和即可． 【详解】设中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D 【点睛】此题考查勾股定理，解题关键是找到三个正方形边长之间的关系，直接列方程求解． 2．如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，已知 ， 其中阴影部分面积是 平方单位． 【答案】49 【分析】先计算出BC的长，再由勾股定理求出阴影部分的面积即可. 【详解】∵∠ACB=90 ，, ∴, ∴阴影部分的面积=， 故答案为：49. 【点睛】此题考查勾股定理，能利用根据直角三角形计算得到所需的边长，题中根据勾股定理的图形得到阴影部分面积等于BC的平方是解题的关键. 3．综合与实践 问题情境：第二十四届国际数学家大会合徽的设计基础是多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图1，在综合实践课上，同学们绘制了“弦图”并进行探究，获得了以下结论：该图是由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形，且． 特殊化探究：连接．设，． “运河小组”从线段长度的特殊化提出问题： (1)若，，求的面积． “武林小组”从a与b关系的特殊化提出问题： (2)若，求证：． 深入探究：老师进一步提出问题： (3)如图2，连接，延长到点I，使，作矩形．设矩形BFIJ的面积为，正方形的面积为，若平分，求证：． 请你解答这三个问题． 【答案】(1)6 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据 “弦图”关系，设参数，利用勾股定理建立方程求解即可； （2）由可知E是中点，从而可证，得到，再证即可得证； （3）用代数法思路证：设，正方形的边长为b，，先将表示出来，再证得到的表示，从而达到和的关系． 【详解】（1）解：设，则， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， 即， 解得（负值舍去）， ∴，， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）证明：设，正方形的边长为b，， 如图，过E分别作，的垂线，垂足分别为M、N， ， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． 二．用勾股定理解三角形 1．如图，点P是内任意一点，，点M和点N分别是射线和射线上的动点，的最小值是，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作点关于、的对称点、，连接、、，根据轴对称的性质，得到，，即有最小值为的长，过点作于点，结合等腰三角形三线合一的性质和勾股定理，得出，即可求解． 【详解】解：如图，作点关于、的对称点、，连接、、， 点和点关于对称， ，，， 点和点关于对称， ，，， ，， 的最小值是， 的最小值是， 当点、、、四点共线时，有最小值为的长， ， 过点作于点， ， ，， ， 在中，， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，最短线路问题，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，利用轴对称得出有最小值为的长是解题关键． 2．如图，在等边中，点在线段上，，，则以线段，，的长为边组成的三角形面积为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，勾股定理．正确作出辅助线是解题关键．过点C作于点D，结合等边三角形的性质和勾股定理可求出的长．画出以线段，，的长为边组成的三角形为，且令，，，过点作于点H，设，则．根据勾股定理可求出，从而可求出，最后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点C作于点D， ∵，， ∴． ∵为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴． 如图，令，，，过点作于点H， 设，则． ∵，， ∴，即， 解得：， ∴， ∴． 故选A． 3．如图，在中，，，，D为上一动点（不与点A重合），为等边三角形，过D点作的垂线，F为垂线上任一点，G为的中点，则线段长的最小值是 ． 【答案】9 【分析】本题考查含角的直角三角形，等边三角形的性质，勾股定理等知识，利用已知得出点的轨迹是解本题的突破口，利用垂线段最短求出的最小值是解本题的关键． 首先连接根据线段中垂线性质定理逆定理得出为线段的中垂线，然后得出，而后证明即为定值，得出G的运动轨迹，再根据垂线段最短即可得出的最小值． 【详解】解：连接交于，如图： 为中点， 为等边三角形， 是的中垂线， ， 点在过点，与所交角的直线动， 过点作于点 ，则为所求， ， ， ， ， ， 故答案为：9． 4．在中，，，，以为边在外作等腰直角，连接，则长为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．分三种情况画出图形，由全等三角形的性质及勾股定理可得出答案． 【详解】解：如图1，， 延长，过点作于点， ， ， ， 为等腰直角三角形， ，， ， ， 在与中， ， ， ，， ， 根据勾股定理得：； 如图2，，过点作，垂足为点． ， ， ， 为等腰直角三角形， ，， ， ， 在与中， ， ， ，， ， 根据勾股定理得：； 如图3，，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点． ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ． 综合以上可得的长为 或或． 故答案为：或或． 5．已知中，． (1)如图1，在中，若，且，求证：； (2)如图2，在中，若，且垂直平分，，，求的长； (3)如图3，在中，，连接，若，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)5 (3) 【分析】（1）先证，再证即可； （2）先证是等边三角形，推出，，同（1）可证，可证，，最后用勾股定理解即可； （3）作且，连接，，先证是直角三角形，得出，同（1）可证，得出． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：垂直平分， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， 同（1）可证， ，， ， 在中，，， ； （3）解：如图，作，且，连接，， ∴，，， ， ， ， ， ． ， 是等腰直角三角形，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 6．【问题呈现】（）如图，和均为等边三角形，点为边上一个动点，，点为边中点，连接，写出图中全等的三角形__________，线段的最小值__________． 【问题探索】（）如图，是等腰直角三角形，，，点是上一点，，交于．试探究、、的数量关系，并给予证明； 【灵活运用】（）如图，四边形中，对角线、相交于点，，，，，求四边形的面积． 【答案】（），；（），证明见解析；（）． 【分析】（）连接，证明，得到，即得，可得点在射线上运动，故当时，有最小值，此时，据此求解即可； （）如图，过点作交延长线与，连接，可得是等腰直角三角形，即得，进而可得，，得到，，即得，再由勾股定理即可求证； （）如图，在延长线上截取，连接，过点作于， 证明可得，，又由可得，在中，由，可得，即得 ，得到，最后根据即可求解． 【详解】解：（）如图，连接， ∵都是等边三角形， ∴，，， ∴, ∴， ∴， ∴， ∴点在射线上运动， ∴当时，有最小值，此时， ∵点为边中点， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：，； （），证明如下： 如图，过点作交延长线与，连接， ∵ ， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， 即， ∴； （）如图，在延长线上截取，连接，过点作于， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵ ， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，四边形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． 三．利用勾股定理证明线段平方和 1．如图，在中，，F为中点，D为上一点，连于点E，若，则的长是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解得，由，可证明，结合题意证明，从而得到，再利用勾股定理解答即可． 【详解】解：在中，，F为中点， ，DE=1 故选：C． 【点睛】本题考查直角三角形斜边上中线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理平行线的判定与性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 2．在中，，，，为中点，为边上一动点，当四边形有一组邻边相等时，则的长为 ． 【答案】或或． 【分析】分、、三种情况考虑，当时，由即可求出的长度；当时，过点作于，通过解直角三角形可得出的长度，再根据等腰三角形的三线合一即可得出的长度；当时，过点作于，设，则，利用勾股定理表示出的值，结合即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，进而即可得出的长度，综上即可得出结论． 【详解】解：在中，，，， ， ， 为中点， ， 当四边形有一组邻边相等时，由以下三种情况． ①如图1，当时，    ， ； ②如图2，当时，作，垂足为点，    ， ， 在中，， ， ； ③如图3，当时，作，垂足为点，    ， 设，则， 在中，，，， ，即 ， 解得：， 即， ． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、含度角的直角三角形以及解一元一次方程，分三种情况寻找的长度是解题的关键． 3．阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题： 如图①，和都是等边三角形，点在上． 求证：以、、为边的三角形是钝角三角形． 【探究发现】小明通过探究发现：连接，根据已知条件，可以证明，，从而得出为钝角三角形，故以、、为边的三角形是钝角三角形．请你根据小明的思路，写出完整的证明过程． 【拓展迁移】如图②，四边形和四边形都是正方形，点在上． ①猜想：以、、为边的三角形的形状是________； ②当时，直接写出正方形的面积． 【答案】探究发现：详见解析；拓展迁移：①直角三角形；② 【分析】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识； 【探究发现】如图1，连接，根据等边三角形的性质证明，得，，进而可以得到以、、为边的三角形是钝角三角形； 【拓展迁移】①连接，，得，，再证，得是直角三角形，即可得出结论； ②由勾股定理得，则，再由正方形的性质和勾股定理得，即可得出结论． 【详解】探究发现：证明：如图1，连接， 和都是等边三角形， ，，， ， ， ， ，， ， 为钝角三角形， 以、、为边的三角形是钝角三角形； 拓展迁移：①以、、为边的三角形是直角三角形，理由如下： 如图2，连接， 四边形和四边形都是正方形， ，，，， ， ， ， ，， ， 是直角三角形， 即以、、为边的三角形是直角三角形； 故答案为：直角三角形； ②由①可知，，， ， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 正方形的面积为11.5． 四．勾股定理中的折叠问题 1．如图，在中，，，，以为边在上方作一个等边，将四边形折叠，使点与点重合，折痕为，则点到直线的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作交的延长线于，作交于，，可得，设，则，，即，解得，设，则，，，在中，，，解方程可得，从而可得，，设点H到的距离为h，利用等面积法求出答案即可． 【详解】解：如图所示，作交的延长线于，作交于， 由翻折的性质可得：， 为等边三角形， ， ， ，， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， ， ， 设，则，，， 在中，， ， 解得：， ， ， ∴， ，， 设点H到的距离为h， ∵， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、等边三角形的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质、等边三角形的性质，添加适当的辅助线，是解题的关键． 2．如图，在中，，，，点D是边上的一动点（不与点B、C重合）过点D作交于点E，将沿直线翻折，点B落在射线上的点F处，当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】2或4/4或2 【分析】此题主要考查了直角三角形折叠，熟练掌握折叠性质，含的直角三角形性质，勾股定理解直角三角形，分类讨论，是解决问题的关键. 由折叠性质得到，，，由三角形外角性质得到，当 时，得到，根据，得到，根据含的直角三角形性质和勾股定理得到， ；当时，，，得到，． 【详解】由折叠知，，， ∴， ∵在中，，，， ∴， 如图1，若， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； 如图2，若， 则， ∴， ∵， ∴； ∴为直角三角形时，的长为：2或4． 故答案为：2或4． 3．如图，已知矩形，，，点P是射线上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形． (1)当点Q落在边上时， ； (2)当直线经过点D时，求的长； (3)如图2，点M是的中点，连接、． ①的最小值为 ； ②当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【分析】（1）根据折叠的性质和勾股定理进行求解即可； （2）分点在线段上，点在线段的延长线上，两种情况，进行讨论求解； （3）①连接，勾股定理求出的长，折叠求出的长，根据，求出最小值即可； ②分和两种情况，再分点在线段上，点在线段的延长线上，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：当点Q落在边上时，如图所示， ∵矩形，，， ∴，， ∵翻折， ∴， ∴， 在中，； 故答案为：； （2）当直线经过点D时，分两种情况： 当点在线段上时，如图： ∵翻折， ∴，，， ∴， ∴， 设，则：，， 在中，，即：， ∴； ∴； ②当在线段的延长线上时： ∵翻折， ∴，， ∴， 设，则：，， 在中，，即：， ∴； ∴； 综上：或； （3）①连接， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵翻折， ∴， ∵， ∴当三点共线时，的值最小， 即：； 故答案为：； ②当时，如图： ∵翻折， ∴， 设，则：， 在中，，即：， 解得：， 即：； 当，点在线段上时，如图： ∵，， ∴， ∴，点在上， 由（1）知：， ∴， ∴； 当点在的延长线上时：如图：此时点在上，连接， ∵翻折， ∴， ∵， ∴； 综上：或或． 【点睛】本题考查折叠问题，全的三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，综合性强，难度大，属于压轴题．利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 五．勾股定理逆定理压轴 1．如图，P是等边三角形内的一点，且，，，以为边在外作，连接，则以下结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据△ABC是等边三角形，得出∠ABC=60°，根据△BQC≌△BPA，得出∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，求出∠PBQ=60°，即可判断A；根据勾股定理的逆定理即可判断B；根据△BPQ是等边三角形，△PCQ是直角三角形即可判断D；求出∠APC=150°-∠QPC，和PC≠2QC，可得∠QPC≠30°，即可判断C． 【详解】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=60°， ∵△BQC≌△BPA， ∴∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4， PA=QC=3，∠BPA=∠BQC， ∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°， 所以A正确，不符合题意； PQ=PB=4， PQ2+QC2=42+32=25， PC2=52=25， ∴PQ2+QC2=PC2， ∴∠PQC=90°， 所以B正确，不符合题意； ∵PB=QB=4，∠PBQ=60°， ∴△BPQ是等边三角形， ∴∠BPQ=60°， ∴∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°， 所以D正确，不符合题意； ∠APC=360°-150°-60°-∠QPC=150°-∠QPC， ∵PC=5，QC=PA=3, ∴PC≠2QC， ∵∠PQC=90°， ∴∠QPC≠30°， ∴∠APC≠120°． 所以C不正确，符合题意． 故选：C． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理，解决本题的关键是综合应用以上知识． 2．如图，中，，，点是内一点，且，，，则的面积为 ． 【答案】/ 【分析】把绕点C顺时针旋转得到．首先证明，再证明共线，利用勾股定理即可解决问题，进而利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：把绕点C顺时针旋转得到，连接，如图所示， 由旋转性质可知；，，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴共线， ∴， 在中，则， 在中，， 则， ∴，解得， ∴， 故答案为： 【点睛】此题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，勾股定理及勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会添加适当的辅助线，构造直角三角形，属于中考常考题型． 3．如图所示，O是等腰直角内一点，连接、、，当，，时，求的度数，并说明理由， 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，旋转前、后的图形全等，勾股定理的逆定理．如图，将绕点B顺时针旋转后得到，则是等腰直角三角形，利用勾股定理的逆定理判断出，可得结论． 【详解】解：∵为等腰直角三角形，， ∴， 如图，将绕点B顺时针旋转得到，连接， 可得，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴． 六．勾股定理的应用压轴 1．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，顶端距离地面米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面米，则小巷的宽度为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据勾股定理求出梯子的长，进而根据勾股定理可得出小巷的宽度． 【详解】解：如图，由题意可得： AD2=0.72+2.42=6.25， 在Rt△ABC中， ∵∠ABC=90°，BC=1.5米，BC2+AB2=AC2，AD=AC， ∴AB2+1.52=6.25， ∴AB=±2， ∵AB＞0， ∴AB=2米， ∴小巷的宽度为：0.7+2=2.7（米）． 故选：D. 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图． 2．人字梯的原理是三角形的稳定性，梯子顶端A与脚底两端点B，C构成等腰三角形．图甲是梯子两脚架夹角A为时的示意图，图乙是由图甲当点与点的距离缩小，而点A与地面的距离增大时的示意图，若点A与地面的距离为时，则此时点与点的距离是 ． 【答案】140 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，等腰三角形的性质；图甲，过点A作于点D，根据等腰直角三角形的性质，设，利用勾股定理得到，进而得到，图乙，根据题意得出，，，在中，利用勾股定理得出x，即，图丙，在中，利用勾股定理得出，进而求得． 【详解】解：如图甲， 由题意可知，为等腰直角三角形， ， 过点A作于点D， ， 设， 由勾股定理得：， ， ， 如图乙， 过点作于点， 图乙是由图甲当点与点的距离缩小，而点A与地面的距离增大时的示意图， ，， ， 梯子长度不变， ， 在中，， ， 解得：， ， 若点A与地面的距离为时，如图丙， 过点A作于点F， ，， 在中，， ， 解得：， ， 此时点与点的距离是． 故答案为：140． 3．如图，某区有A，B，C，D四个景点，景点A，D，C依次在东西方向的一条直线上，现有公路，已知，，，． (1)通过计算说明公路是否与垂直； (2)市政府准备在景点B，C之间修一条互通大道（即线段），并在大道上的E处修建一座凉亭方便游客休息，同时D，E之间也修建一条互通大道（即线段），且．若修建互通大道的费用均是每千米17万元，请求出修建互通大道的总费用． 【答案】(1)公路与垂直，计算见解析 (2)818万元 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理进行求解即可得到结论； （2）根据勾股定理及面积法求得，于是得到结论． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴，即， 是直角三角形，且， 公路与垂直． （2）解：由（1）知， ． 在中，，， ， ， ，即， 解得， （万元）． 答：修建互通大道的总费用是818万元． 七．勾股定理中的动点问题 1．如图，，点M，N分别是射线，上的动点，平分，且，当的周长取最小值时，的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．设点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，连接，，，分别交、于点、，连接、，则可得；再证明，从而可得出是等边三角形，由等腰三角形的“三线合一“性质可得，求得的值，由，可得的值，设，则，，由勾股定理可得方程，解得x的值，再乘以2即可． 【详解】解：设点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，连接，，，分别交、于点、，连接、，如图所示： ∵点P关于的对称点为C，关于的对称点为D， ∴，，；，，， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当M在点，N在点时，最小，即的周长最小， ∵， ∴ ， ∴是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得， ∴， 即当的周长取最小值时，的长为． 故选：B． 2．如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点的运动时间为．过点作于点．在点P的运动过程中，当t为 时，能使？ 【答案】5或11 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理，根据动点运动的不同位置利用勾股定理即可求解． 【详解】解：①点在线段上时，过点作于，如图2所示： 则， ， 平分， ， 又， ∴， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 解得：； ②点在线段的延长线上时，过点作于，如图3所示： 同①得：， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 解得：； 综上所述，在点的运动过程中，当的值为5或11时，能使． 故答案为：5或11． 3．如图，在中，，，，点从点出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒．    (1)的长为__________；（用含的代数式表示） (2)若点在的角平分线上，求的值； (3)在整个运动中，求出是等腰三角形时的值． 【答案】(1) (2)t的值为 (3)t的值为或或4 【分析】（1）根据题意列代数式可求得答案； （2）根据角平分线的性质解答即可； （3）分作为底和腰两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵已知点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度运动， ∴点P运动的长度为：； 故答案为：； （2）解：过点P作于点M，如图所示：   在中，，，， 由勾股定理得：， 点P在的角平分线上， ， ，， 又， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， 即若点P在的角平分线上，则t的值为； （3）解：当作为底边时，如图所示：    则，设，则， 在中，， ， 解得： 此时； 当作为腰时，如图所示：     ，此时； 时， ， ， 此时， 综上分析可知，t的值为或或4． 【点睛】本题主要考查了勾股定理在动点问题中的应用，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，数形结合、分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 八．勾股定理中的最短路径问题 1．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 与点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿长方体的表面从点A爬行到点B，需要爬行的最短距离是（    ） A．20 B．25 C．30 D．35 【答案】B 【分析】本题主要考查两点之间线段最短，勾股定理，关键是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ，， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； 只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ，， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； 只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； ， 蚂蚁爬行的最短距离是25， 故选：B． 2．如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，这时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ． 【答案】 【分析】将杯子侧面展开，作A点关于的对称点，连接，根据“两点之间线段最短”可知的长即为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，根据勾股定理即可求出的值． 本题考查了求圆柱体表面上两点之间的最短距离．将几何体展开成平面图形，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 【详解】如图， 将杯子侧面展开，作A点关于的对称点，连接，则的长即为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离， 延长，过点作于D点， 则，，， 由题意得，， 由勾股定理得． 故答案为：． 3．[提出问题] 如图1，A，B是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点C，使得这个点到点A，B的距离的和最短？ [分析问题] 如图2，若A，D两点在直线l的异侧，则连接AD，与直线l交于一点，根据“两点之间线段最短”，可知该点即为点C，因此，要解决上面提出的问题，只需要将点B（或点A）移到直线l的另一侧的点D处，且保证（或）即可． [解决问题]： (1)在图1中确定点C的位置（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)如图3，在菱形中，，E是BC边的中点，P是对角线AC上的一个动点，则的最小值为_____． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）根据最短路径直接画图即可； （2）同（1）一样，对称后连线，求出最短途径，作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求出最短路径的值． 【详解】（1）如图，点C即为所求； （2）连接DE，作，交BC延长线于H， ∵四边形是菱形， ∴点B、D关于AC对称， ∴的最小值即为DE的长， ∵， ∴， ∵点E为BC的中点， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ， ∴的最小值为． 故答案为： 【点睛】此题考查最短路径以及勾股定理，解题关键是先对称然后连线，找出最短路径，然后通过直角三角形三边关系求出最短路径． 九．勾股定理中的最值问题 1．如图，为线段上一动点，分别过、作，，连接、，已知，，，设．线段的长可表示为，当、、三点共线时，的值最小，根据上述方法，求代数式的最小值为（    ）    A．11 B．13 C． D． 【答案】B 【分析】依题意，，令，则转化为求，进而根据题意构造直角三角形，勾股定理，即可求解． 【详解】解：，令， 原式 如图，为线段上一动点，分别过、作，，连接、，    已知，，，设，线段的长可表示为 当、、三点共线时，的值最小； 过点作交的延长线于点，得矩形， ，， ， 所以， 即的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了轴对称求最短路线以及勾股定理等知识，本题利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解． 2．如图，在中，，，，点是内一点，则点到三个顶点的距离和的最小值是 ． 【答案】 【分析】以为边作等边三角形，以为边作等边，连接，可证，可得，则，即当D、E、O、N四点共线时，值最小，最小值为的长度，根据勾股定理先求得、，然后求的长度，即可求的最小值． 【详解】解：以为边作等边三角形，以为边作等边，连接，作，交的延长线于F，如图所示， ∵和是等边三角形， ∴，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当D、E、O、M四点共线时，即值最小， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴的最小值是． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质和最短路径问题，构造等边三角形是解答本题的关键． 3．背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，，．请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ______， ______， ______， 则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理． 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，求出的距离． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 【答案】小试牛刀：；；；； 知识运用：（1）41； （2）（千米）； 知识迁移：20． 【分析】小试牛刀：根据三角形的面积和梯形的面积可以表示出相应部分面积； 知识运用：（1）连接，过点作的垂线，根据垂直得到边长之间的关系，再用勾股定理即可求得． （2）作的垂直平分线，交于点，分别在和中用勾股定理表示出与联立方程求解即可． 知识迁移：运用数形结合根据“轴对称-最短路径问题”求解即可． 【详解】解：小试牛刀： ，     ，         ，     则它们满足的关系式为：． 知识运用： （1）如图2①，连接，作于点E，   ， ， ， 有勾股定理得到： （千米） ∴两个村庄相距41千米． （2）连接，作的垂直平分线交于点，    设千米，则千米， 在中， ， 在中，， ∵， ∴， 解得，， 即千米． 知识迁移： 如图3，过作点的对称点，连接交于点， 过作，    根据对称性：， 设，则，有勾股定理得， ， ． ∴代数式的最小值为： ． 【点睛】本题考查了四边形综合以及用数形结合方式来证明勾股定理，解答本题的关键在于勾股定理的应用、最短线路问题、线段的垂直平分线以及用面积法证明勾股定理，本题是一道综合型较强的题目． 一十．勾股定理综合 1．如图，已知，点是的平分线上的一点，点，分别是射线和射线上的点，且，．下列结论中正确的是（    ） A．是一个定值 B．四边形的面积是一个定值 C．当时，的周长最小 D．当时， 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，垂线段最短．过点作于点，于点，于点，证明，得出，，求出，得出是一个定值，但要考虑一种特殊情况，即点E和F刚好关于对称的时候，此时的度数不确定；根据，得出，说明四边形的面积是一个定值，但要考虑一种特殊情况，即点E和F刚好关于对称的时候，此时的度数不确定，则四边形的面积也就不确定；根据，得出当最小时，的周长最小，根据垂线段最短，得出当时，最小，的周长最小；根据时，，得出，求出，求出一定与不垂直． 【详解】解：过点作于点，于点，于点，如图所示： 点是的平分线上的一点， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， 即是一个定值； 当、关于对称时，， 当、关于对称时，， 即与既不相等也不确定具体的度数； 故A错误，不符合题意； ， ， 即， 四边形的面积是一个定值， 四边形的面积是一个定值， 但当、关于对称时，， 当、关于对称时，， 即与既不相等也不确定具体的度数； ∴四边形的面积不固定， 故B错误，不符合题意； ，， ，，， ∴， ， ， ， 当最小时，的周长最小， 垂线段最短， 当时，最小，的周长最小，故C正确，不符合题意； 时，， ， 一定与不垂直，故D错误，不符合题意． 故选：C． 2．如图，在中，，，．点在线段上，连接．以下说法不正确是（    ）    A．当时，是直角三角形 B．当时，是等腰三角形 C．当时，是等腰三角形 D．当时，平分 【答案】D 【分析】过点作交于点，根据勾股定理求得，结合三角形的面积求得的值，即可判断A选项；连接，当时，推得是斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半可得，即可判断B选项；当时，求得，即可判断C选项；作的角平分线与交于点，连接，过点作交与点，过点作交与点，根据角平分线上的点到两边的距离相等可得，结合三角形的面积公式可求得，根据勾股定理求得的值，即可判断D选项． 【详解】解：过点作交于点，如图：    ∵，，， ∴， ∵， 即， 解得：， 则； 故当时，点与点重合，此时是直角三角形；A不符合题意； 当时，连接，如图：    ∵，， ∴， 即点是的中点， 故是斜边上的中线， ∴， ∴是等腰三角形；B不符合题意； 当时，连接，如图：    ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形；C不符合题意； 作的角平分线与交于点，连接，过点作交与点，过点作交与点，如图：    则， ∵， 即， 解得：， ∴， ∴； 即当时，平分；D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积，直角三角形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是借助三角形的面积公式求出未知量． 3．四边形中，，，，，为的中点，若，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，延长至点，使，证明，根据性质得，，过点作交的延长线于点，证明为等腰直角三角形，最后由勾股定理，垂直平分线的性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，延长至点，使， ∵是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 过点作交的延长线于点， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴由勾股定理得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 2．如图，四边形，连接对角线、，，且，若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点D作交的延长线于点F，过点B作于H，根据条件证明，根据，设，即可求解． 【详解】如图，过点D作交的延长线于点F，过点B作于H， ∵ ∵，， ∵， 设，则 ∴， 解得：（负值舍去） 故答案为：． 【点睛】本题是一道综合性较强的几何综合题，有一定的难度；主要考查了全等三角形判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，正确添加辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 5．在中，，，D是边上的动点，连接． (1)如图1，当D为中点时，求证：是等边三角形； (2)如图2，若，求的最小值； (3)如图3，以为边在右方作等边三角形，点F是的中点，连接并延长，交的延长线于点G，连接，若，求之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)的最小值为； (3)，理由见解析 【分析】（1）利用斜边中线的性质求得，利用直角三角形的性质求得，利用有一个角是的等腰三角形是等边三角形即可证明结论成立； （2）在外作，作交于点，交于点，得到，此时有最小值，最小值为的长，据此求解即可； （3）作边的中点，连接，依据“”判定和全等得，进而可证，据此即可得出；过点作交于点，先证和全等得，，再证即可得出线段，，之间的数量关系． 【详解】（1）证明：∵，D为中点， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：在外作，作交于点，交于点， ∵，， ∴， ∴，此时有最小值，最小值为的长， ∵，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴的最小值为； （3）解：，，之间的数量关系是，理由如下： 作边的中点，连接， 在中，， 同理为等边三角形， ，， ， 为等边三角形， ，， ， 即， ， 在和中， ， ， ， ， ； 过点作交于点，如图： 则， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ，， ，， ， 又， ， ， 又， ， ． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行线的判定和性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决问题的关键． 6．已知中，，，点为直线上的一动点（点不与点、重合），以为边作，使，，连接． 问题发现： 如图1，当点在边上时， （1）请写出和之间的位置关系为___________，并猜想和、之间的数量关系：__________． 尝试探究： （2）如图2，当点在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中和之间的位置关系、和、之间的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，说明理由； 拓展延伸： （3）如图3，当点在边的延长线上且其他条件不变时，，，求线段的长． 【答案】（1）， （2）当点在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中和之间的位置关系仍然成立，和、之间的数量关为：，理由见详解． （3）13 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理．熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据证明，则可得，．又由，可得，进而可得，则可得，． （2）根据证明，则可得，．又由，可得，进而可得，则可得，． （3）根据证明，则可得，．再证，然后根据勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）解：， ， 即， 又，， ， ，， 中，，， ， ， ， 即， ， ， ， ． 故答案为：， （2）当点在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中和之间的位置关系仍然成立，和、之间的数量关为：，理由如下： ， ， 即， 又，， ， ，， 中，，， ， ， ， 即， ， ， ， ． （3）， ， 即， 又，， ， ，， 中，，， ， ， ， ， ， ，， ． 7．【问题提出】 （1）如图，在中，，，，为边的中点，连接，则的长为____________． 【问题探究】 （2）如图，在四边形中，，，，，且为的中点，连接，求线段的最大值． 【问题解决】 （3）为了落实国家关于劳动实践教育的政策，使同学们掌握劳动技能和科学知识，体验劳动的快乐，某学校计划利用学校内一块四边形空地规划建立劳动教育综合实践基地．如图，是的中点，把四边形分成了两部分，其中四边形内种植油葵，内种植豌豆，是步行通道．为方便种植，要让步行通道最长．若米，，，且，修建步行通道每米花费元，则学校修建步行通道最多需要花费多少钱？（参考数据：）    【答案】（1）；（2）；（3）元 【分析】（1）用勾股定理可得，根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得； （2）连接，取中点为点，连接，，用勾股定理可得，用中位线定理和直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得，的值，根据图象即可得出的最大值为． （3）连接，，延长交于点H，根据，得；证明，得，根据，，，，又因为，所处的位置为的垂直平分线，此时取最大值；设，根据勾股定理可得，，，在直角中由勾股定理求得，在直角中，由勾股定理建立方程求得，代入中可求出，从而得出最长为米，则求出学校修建步行通道最多需要花费的钱数． 【详解】解：（1）∵，，， ， ∵为边的中点， ∴， ∴， 故答案为． （2）连接，取中点为点，连接，，    ∵，，， ∴， ∵中点为点，且点为的中点，， ∴， ∵，中点为点， ∴， 由图象可得，的最大值为， 故线段的最大值为． （3）如图，连接，，延长，相交于H点， ∵，E为中点， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵为中点， ∴； ∵，， ∴， 又∵， ∴， 即当时，最大，从而最大，此时垂直平分， 故； 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，    ∵， 即， 化简可得， ∴， ∴最长为米， ∴则学校修建步行通道最多需要花费（元）． 【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，平行线的性质和判定，垂直平分线的性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 8．综合与实践课上，李老师与学生一起探究了如下与“中点”有关的问题． (1)如图1，在中，，，D是的中点，E，F分别在上，且，连接．若，则______ (2)如图2，在中，，D是的中点．E，F分别在上，连接．当，请写出线段之间的数量关系，并证明． (3)如图3，在中，，，D是的中点．E为直线上一动点，连接．过点D作，交直线于点F．请直接写出当时线段的长． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，结合等腰直角三角形的性质证明，推出，然后利用勾股定理即可求解； （2）延长到点G，使，连接，，证明，推出，，进而证明是直角三角形，根据勾股定理可得，等量代换可得 （3）延长到点G，使，连接，，，同（2）可得是直角三角形，，等量代换可得，设，则，代入方程求出x的值即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ，，D是的中点 ， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ， 故答案为：； （2）解：， 证明：如图，延长到点G，使，连接，， ，， 垂直平分， ； D是的中点， ， 在和 中， ， ， ，， ， ， ， 是直角三角形， ， ； （3）解：如图，延长到点G，使，连接，，， ，， 垂直平分， ， D是的中点， ， 在和 中， ， ， ，， ， ， ， 是直角三角形， ， ，， ， 在中，，， ， 设，则， ， ， ， 解得， ． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的判定，勾股定理等，证明是解题的关键． 9．【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： （1）如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．请根据小明的方法思考： 由已知和作图能得到，依据是________．由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是________． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． （2）【初步运用】如图②，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长． （3）【灵活运用】如图③，在中，，D为中点，，交于点E，交于点F，连接．试猜想线段、、三者之间的等量关系，并证明你的结论．    【答案】（1）SAS；；（2）；（3），证明见解析 【分析】（1）由已知和作图得到，得到，根据三角形三边关系得到； （2）延长到M，使，连接， 根据，推出，根据，推出，得到，，根据，得到，得到； （3）延长到点G，使，连接，，根据线段垂直平分线性质得到，根据，推出，得到，，根据，得到，中，由勾股定理得：，即得． 【详解】（1）由已知和作图得到，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：；． （2）延长到M，使，连接，如图所示：    ∵，，， ∴， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴． （3）等量关系为：．         理由如下：延长到点G，使，连接，，如图所示：    ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴中，由勾股定理得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形的中线．熟练掌握倍长中线法构造全等三角形，三角形全等的判断和性质，线段垂直平分线性质，等腰三角形的判断和性质，勾股定理解直角三角形，三角形三边关系，是解决问题的关键． $$