3.2.2 双曲线的几何性质（十大题型）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第一册）

3．2．2 双曲线的几何性质 课程标准 学习目标 能类比椭圆性质的研究，利用方程推出双曲线的一些几何性质，进一步体会数形结合思想． （1）掌握双曲线的几何性质． （2）理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程． 知识点01 双曲线的简单几何性质 双曲线（a>0，b>0）的简单几何性质 范围 ，即 或 双曲线上所有的点都在两条平行直线和的两侧，是无限延伸的．因此双曲线上点的横坐标满足或． 对称性 对于双曲线标准方程（，），把换成，或把换成，或把、同时换成、，方程都不变，所以双曲线（a>0，b>0）是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心． 顶点 ①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点． ②双曲线（，）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为，，顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点． ③两个顶点间的线段叫作双曲线的实轴；设，为y轴上的两个点，则线段叫做双曲线的虚轴．实轴和虚轴的长度分别为，．叫做双曲线的实半轴长，叫做双曲线的虚半轴长． ①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆． ②双曲线的焦点总在实轴上． ③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 离心率 ①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作． ②因为，所以双曲线的离心率． 由，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔．所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度． ③等轴双曲线，所以离心率． 渐近线 经过点、作y轴的平行线，经过点、作x轴的平行线，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是． 我们把直线叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交． 【即学即练1】（多选题）（2024·高二课时练习）双曲线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】双曲线的焦点在轴上， 因为，所以， 所以左顶点为，右顶点为. 故选：AB. 知识点02 双曲线两个标准方程几何性质的比较 标准方程 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 轴 实轴长=，虚轴长= 离心率 渐近线方程 知识点诠释：双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看、的系数，如果项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果项的系数是正的，那么焦点在y轴上． 对于双曲线，不一定大于，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上． 【即学即练2】（多选题）（2024·广东深圳·高二校考阶段练习）已知双曲线的焦距为4，焦点到渐近线的距离是1，则下列说法正确的是（    ） A．的离心率为 B．的标准方程为 C．的渐近线方程为 D．直线经过的一个焦点 【答案】ABD 【解析】由题意得：双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为，即， 则，解得：， 则，解得：， 所以的离心率为，A正确； 的标准方程为，B正确； 的渐近线方程为，C错误； 在直线上，故经过的一个焦点，D正确. 故选：ABD 知识点03 双曲线的渐近线 （1）已知双曲线方程求渐近线方程： 若双曲线方程为，则其渐近线方程为 已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程． （2）已知渐近线方程求双曲线方程： 若双曲线渐近线方程为，则可设双曲线方程为，根据已知条件，求出即可． （3）与双曲线有公共渐近线的双曲线 与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上） （4）等轴双曲线的渐近线 等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为，因此等轴双曲线可设为． 【即学即练3】（2024·陕西商洛·高二校考期末）如图1，北京冬奥会火种台以“承天载物”为设计理念，创意灵感来自中国传统青铜礼器一尊的曲线造型，基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开阔，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种．如图2，一种尊的外形近似为某双曲线的一部分绕着虚轴旋转所成的曲面，尊高63cm，上口直径为40cm，底部直径为26cm，最小直径为24cm，则该双曲线的渐近线与实轴所成锐角的正切值为 ．    【答案】 【解析】如图所示，设双曲线的标准方程为， 因为最小直径为，可得，即， 又因为尊高，上口直径为，底部直径为， 设点， 所以且，解得，即， 可得双曲线的渐近线为， 所以渐近线与实轴所成锐角的正切值为. 故答案为：. 知识点04 双曲线中a，b，c的几何意义及有关线段的几何特征： 双曲线标准方程中，、、三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且． 双曲线，如图： （1）实轴长，虚轴长，焦距， （2）离心率：； （3）顶点到焦点的距离：，； （4）中结合定义与余弦定理，将有关线段、、和角结合起来． （5）与焦点三角形有关的计算问题时，常考虑到用双曲线的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角结合起来，建立、之间的关系． 【即学即练4】（2024·全国·高二专题练习）已知双曲线的焦距为为其左右两个焦点，直线l经过点且与渐近线平行，若l上存在第一象限的点P满足，则双曲线C离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为满足的所有点在以为焦点，长轴长为，短轴长为的双曲线，即上.故若l上存在第一象限的点P满足，则双曲线与直线l有交点即可.又直线，数形结合可得，当或的经过一象限的渐近线的斜率 即可，两种情况均有，故，故离心率 故选：A 知识点05 直线与双曲线的位置关系判断 将双曲线方程与直线方程联立消去 得到关于的一元二次方程， 1、当，即时，直线 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点； 2、当，即时，设该一元二次方程的判别式为， 若，直线与双曲线相交，有两个公共点； 若，直线与双曲线相切，有一个公共点； 若，直线与双曲线相离，没有公共点； 注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切． 【即学即练5】（2024·全国·高二课堂例题）过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有几条？分别求出它们的方程. 【解析】若直线的斜率不存在， 则直线方程为，此时仅有一个交点，满足条件， 若直线的斜率存在，设直线的方程为， 则，代入到双曲线方程，得， 所以， 当时，方程无解，不满足条件； 当时，方程有一解，满足条件； 当时，令， 化简后知方程无解，所以不满足条件. 所以满足条件的直线有两条，直线方程分别为和. 题型一：双曲线的简单几何性质 【典例1-1】（多选题）（2024·高二·四川德阳·期末）双曲线C：的左右顶点分别为A、B，P、Q两点在C上，且关于x轴对称（    ） A．以C的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为 B．双曲线C的离心率为 C．直线与的斜率之积为 D．双曲线C的焦点到渐近线的距离为2 【答案】BCD 【解析】对于A，C的焦点和顶点分别为， 从而以C的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为，故A错误； 对于B，双曲线C的离心率为，故B正确； 对于C，显然异于，不妨设， 注意到都在双曲线上面，且， 所以直线与的斜率之积为，故C正确； 对于D，双曲线C：的一个焦点、一条渐近线可以分别是，， 而点到直线的距离是，故D正确. 故选：BCD. 【典例1-2】（多选题）（2024·高二·安徽亳州·期中）已知双曲线焦距长为6，则（    ） A． B．的离心率为 C．的渐近线为 D．直线与相交所得弦长为 【答案】BC 【解析】双曲线焦距长为6，可得，所以A不正确； 可得，所以的离心率为，所以B正确； 的渐近线为，所以C正确； 联立直线与双曲线方程，可得两个交点坐标为， 所以弦长为,D选项错误 故选：BC. 【变式1-1】（多选题）（2024·高二·全国·课后作业）已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点在抛物线上，则下列结论正确的有（    ） A．双曲线的离心率为2 B．双曲线的渐近线方程为 C． D．点到抛物线的焦点的距离为4 【答案】ACD 【解析】双曲线的焦点为，，， 对于A，双曲线的离心率，故A正确； 对于B，双曲线的渐近线方程为，故B错误； 对于C，由有相同的焦点，得，解得，故C正确； 对于D，抛物线的焦点为，点在上， 则，故或， 所以点到的焦点的距离为4，故D正确． 故选：ACD． 【变式1-2】（多选题）（2024·高二·云南曲靖·期末）已知点在左､右焦点分别为的双曲线上，，则（    ） A．渐近线方程为 B．离心率为 C． D． 【答案】BCD 【解析】因为，所以的渐近线方程为，离心率，故A错误，B正确. 不妨设点在的右支上，则.因为， 所以.在中，， 则， 所以的面积， 故C，D正确. 故选：BCD 【变式1-3】（多选题）（2024·高二·江苏宿迁·开学考试）已知双曲线C：，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线C的实轴长为2 B．若双曲线C的两条渐近线相互垂直，则 C．若是双曲线C的一个焦点，则 D．若，则双曲线C上的点到焦点距离最小值为2 【答案】BC 【解析】由双曲线C：且，则实轴长为，A错； 由渐近线为，若相互垂直，则，B对； 由为焦点，则，则，C对； 若，则双曲线C：，故双曲线C上的点到焦点距离最小值为，D错. 故选：BC 【变式1-4】（多选题）（2024·湖北·一模）某数学兴趣小组的同学经研究发现，反比例函数的图象是双曲线，设其焦点为，若为其图象上任意一点，则（    ） A．是它的一条对称轴 B．它的离心率为 C．点是它的一个焦点 D． 【答案】ABD 【解析】反比例函数的图象为等轴双曲线，故离心率为， 容易知道是实轴，是虚轴，坐标原点是对称中心， 联立实轴方程与反比例函数表达式得实轴顶点， 所以，其中一个焦点坐标应为而不是， 由双曲线定义可知． 故选：ABD. 题型二：双曲线的渐近线 【典例2-1】（2024·高二·江苏常州·期中）已知双曲线与曲线有公共的渐近线，且经过点，则的方程为 . 【答案】 【解析】设,其中， 将代入得. 双曲线方程是，即. 故答案为：. 【典例2-2】（2024·高二·湖北武汉·阶段练习）设直线与双曲线（，）两条渐近线分别交于点A，B，若点满足，则该双曲线的渐近线方程是 【答案】 【解析】双曲线的两条渐近线方程为， 设,，,，的中点坐标为,； 所以，， 两式相减得：，化简得：， 由于点,在直线上，则①， 由于， 所以，②， 联立①②得：，，代入，得到， 所以渐近线的方程为． 故答案为：． 【变式2-1】（2024·高二·贵州安顺·期末）已知椭圆和双曲线在第一象限的交点为，椭圆的右焦点为，在方向上的投影向量为，则椭圆的离心率为 ；双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 / 【解析】 设椭圆的半焦距为， 则，，① 因为在方向上的投影向量为，点在第一象限， 所以点的横坐标， 代入椭圆的方程得， 又点在双曲线上， 所以，② 由①②解得，， 所以椭圆的离心率为； 双曲线的渐近线方程为. 故答案为：；. 【变式2-2】（2024·高二·山东烟台·期末）已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，点关于C的一条渐近线的对称点为M，且，则C的渐近线方程为 . 【答案】 【解析】设与渐近线的交点为A， 因为关于C的一条渐近线的对称点为M， 所以，， 因为，所以， 所以， 所以C的渐近线方程为. 故答案为：. 【变式2-3】（2024·高二·上海·期中）已知双曲线的右顶点为，点都在上，且关于轴对称，若直线的斜率之积为，则的渐近线方程为 . 【答案】 【解析】依题意，点，设点，则， 显然，即， 由直线的斜率之积为， 得， 则，又因为双曲线的焦点在轴上， 所以渐近线方程为：. 故答案为：. 【变式2-4】（2024·高二·福建南平·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为为上一点且，则该双曲线渐近线的斜率为 . 【答案】 【解析】由双曲线的定义可知，其中为双曲线半焦距， 根据余弦定理有， 则， 所以该双曲线渐近线方程的斜率为. 故答案为：. 题型三：求双曲线离心率的值 【典例3-1】（2024·高二·湖南常德·阶段练习）如图，已知分别是双曲线的左、右焦点，现以为圆心作一个通过双曲线中心的圆并且交双曲线于两点．若直线是圆的切线，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为直线是圆的切线，所以， 由双曲线定义可得， 所以双曲线的离心率. 故选：A 【典例3-2】（2024·高二·云南昆明·阶段练习）已知双曲线的右焦点为，若a，b，c成等比数列，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得，则有， 即，解得， 又，故. 故选：C. 【变式3-1】（2024·高二·浙江衢州·期末）已知双曲线的焦点为，以为直径的圆与双曲线的一个交点为M，且有，则双曲线的离心率（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解析】如图，， 由，得，所以， 得，故，又， 即，得， 由，得，即双曲线的离心率为. 故选：D 【变式3-2】（2024·高二·云南临沧·期末）已知以坐标轴为对称轴，原点为对称中心，其中一条渐近线为，则此双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C．2或 D．2或 【答案】D 【解析】当焦点在x轴上时，可得，则； 当焦点在y轴上时，可得，则. 综上，双曲线的离心率为2或. 故选：D. 【变式3-3】（2024·高二·全国·课后作业）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过焦点且垂直于轴的弦为，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知，双曲线的通径长为，如图所示， 则，若，所以，所以， 由于，所以，解得，因为，所以． 故选：C 【变式3-4】（2024·高二·天津·期中）已知双曲线为坐标原点为其左、右焦点，点在的渐近线上，，且，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】由题意，不妨设点在上，焦点到直线的距离， ，，，则，， ，所以, 即，得， 所以双曲线的离心率. 故选：A 【变式3-5】（2024·高二·河南·期中）在平面直角坐标系xOy中，为双曲线的左、右焦点，为右支上异于顶点的一点，直线PM平分，且，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【解析】由，得， 设与交于点，如图， 由直线PM平分，且， 可得为等腰三角形，则为的中点， 则，且， 所以，， 所以，即， 所以. 故选：B. 【变式3-6】（2024·高二·江苏南京·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，过作直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，设为线段的中点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图: ， 由 可得点 的坐标为 ， 则直线 斜率为 ， 直线 斜率为 ， 另一方面， 设 , 则 两式相减得 ， 整理得 , 即 ， 故 故选：C 题型四：求双曲线离心率的范围 【典例4-1】（2024·江西·二模）已知双曲线E:,其左右顶点分别为,,P在双曲线右支上运动,若的角平分线交x轴于D点,关于的对称点为,若仅存在2个P使直线与E仅有一个交点,则E离心率的范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，由题设可得不为右顶点. 设，则. 双曲线在处的切线斜率必存在，设切线方程为， 由可得， 整理得到：， 故， 整理得：即， 故，故切线方程为：即. 因为存在2个P使直线与E仅有一个交点， 故由双曲线的对称性不妨设在第一象限， 此时，均为锐角且存在唯一的满足题设条件. 故直线与渐近线平行或与双曲线相切或. 若直线与渐近线平行，则， 而为的平分线，故其倾斜角满足，故， 故， 故，但, 故， 而，由基本不等式可得， 当且仅当即时等号成立，此时，这不可能， 故直线与渐近线不平行. 若直线与双曲线相切，且切点为， 双曲线在的切线方程为：， 故且该切线的斜率为，所以直线的斜率为. 此时， 而， 即 ，故，矛盾. 故直线，所以， 而直线的倾斜角为， 因为直线与双曲线有且只有一个交点，且在之间，故， 由在第一象限内的唯一性可得存在唯一的，使得， 而，故， 所以即， 所以， 故选：C. 【典例4-2】（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知双曲线左、右顶点为A，B，若该双曲线上存在点P，使得的斜率之和为1，则该双曲线离心率的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】易知，设，则，所以， 又，所以，即，所以，即直线与双曲线有公共点.联立与双曲线方程，有， 消去得：，则要使方程有根，需使. 故选：D 【变式4-1】（2024·高三·四川成都·开学考试）已知，分别为双曲线C的左、右焦点，点P是右支上一点，且，设，当的范围为时，双曲线C离心率的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在中， 由． 因为，所以， 所以，所以． 故选:A. 【变式4-2】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆和双曲线有相同的焦点、，它们的离心率分别为、，点为它们的一个交点，且，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长，焦距，点为第一象限交点． 则，， 解得，， 如图： 在中,根据余弦定理可得： ， 整理得，即， 设 则有，， 所以，即有，所以， 所以===， 设, 则, 令，得， 所以在上恒成立, 所以在上单调递减， 当趋于时，趋于，当趋于1时，趋于2， 所以， 即：. 故选：C. 【变式4-3】（2024·高二·北京房山·期末）已知是双曲线的左、右焦点，若在右支上存在点A，使得点到直线的距离为，则双曲线离心率e的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，，其中， 设直线方程为，则. 因点到直线的距离为，则 则， 则. 故选：D 【变式4-4】（2024·高二·湖南邵阳·期末）设是椭圆与双曲线的公共焦点，曲线在第一象限内交于点，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，，，解得：，，因为，所以，即，亦即，所以． 故选：A． 【变式4-5】（2024·高二·湖南邵阳·期末）设为双曲线与椭圆的公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点是以线段为底边的等腰三角形，若椭圆的离心率范围为，则双曲线的离心率取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设椭圆的标准方程为， ， 则有已知， 两式相减得，即， ， 因为 ，解得 故选：A. 【变式4-6】（2024·高三·重庆沙坪坝·期中）已知双曲线（，）的左右焦点分别为，，O为坐标原点，点P为双曲线C中第一象限上的一点，的平分线与x轴交于Q，若，则双曲线的离心率范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设双曲线的半焦距为， 离心率为， 由，则，， 因为是的平分线， 所以, 又因为， 所以， 所以，解得，即， 所以双曲线的离心率取值范围为. 故选：B 题型五：直线与双曲线的位置关系 【典例5-1】（2024·全国·高二课堂例题）已知双曲线，直线，求直线l与双曲线C的公共点的坐标． 【解析】直线与双曲线的公共点的坐标就是方程组的解． 解这个方程组，得，． 因此，所求公共点的坐标为，． 【典例5-2】（2024·全国·高二课堂例题）讨论直线与双曲线的公共点的个数． 【解析】联立直线和双曲线方程，消去y得． 整理得， 若，则方程①变为，无解，此时直线与双曲线无公共点． 事实上，此时直线为，就是双曲线的渐近线，自然与双曲线无公共点． 若，即直线平行于两条渐近线中的一条，方程①成为一元一次方程，有唯一解， 原方程组有唯一一组解，此时直线与双曲线有一个公共点． 综上可知，时，无公共点；时，有一个公共点． 【变式5-1】（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线E的两个焦点分别为，并且E经过点. (1)求双曲线E的方程； (2)过点的直线l与双曲线E有且仅有一个公共点，求直线l的方程. 【解析】（1）由已知可设双曲线E的方程为， 则，解得， 所以双曲线E的方程为. （2）当直线l的斜率不存在时，显然不合题意， 所以可设直线l的方程为，如图， 联立，得（*）， ①当，即或时，方程（*）只有一解， 所以直线l与双曲线E有且仅有一个公共点， 此时，直线l的方程为； ②当，即时，要使直线l与双曲线E有且仅有一个公共点， 则，解得， 此时，直线l的方程为. 综上所述，直线l的方程为或. 【变式5-2】（2024·全国·高三专题练习）设直线与双曲线的方程分别为和，当实数取何值时，直线与双曲线分别有两个公共点？一个公共点？没有公共点．    【解析】将直线方程代入双曲线方程，得．① 当，即时，方程①有两个不同的实根， 直线与双曲线有两个不同的公共点； 当，即时，方程①无解，直线与双曲线没有公共点； 直线与双曲线只有一个公共点的情况不存在． 综上：时，直线与双曲线分别有两个公共点； 时，直线与双曲线没有公共点； 直线与双曲线只有一个公共点的情况不存在． 【变式5-3】（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线，直线，试确定实数k的取值范围，使： (1)直线l与双曲线有两个公共点； (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l与双曲线没有公共点． 【解析】（1）联立， 消整理得，（*） 因为直线l与双曲线C有两个公共点， 所以，整理得 解得： 或或. （2）当即时，直线l与双曲线的渐近线平行， 方程（*）化为，故方程（*）有唯一实数解， 即直线与双曲线相交，有且只有一个公共点，满足题意． 当时， 因为直线l与双曲线C仅有一个公共点， 则，解得； 综上，或. （3）因为直线l与双曲线C没有公共点， 所以， 解得： 或. 题型六：弦长问题 【典例6-1】（2024·高二·上海·课堂例题）已知双曲线C：，过点的直线l与双曲线C交于M、N两点，若P为线段的中点，则弦长 . 【答案】 【解析】由题设，直线l的斜率必存在，设过的直线为， 联立，得， 设，则， 所以，解得，经检验符合题意； 则，. 弦长. 故答案为：. 【典例6-2】（2024·高二·全国·竞赛）过双曲线的右焦点作直线交双曲线于、两点，若使得的直线恰有条，则实数 . 【答案】8 【解析】双曲线，则，，， 则右焦点为， 因为过右焦点作直线交双曲线于、两点，使得的直线恰有条， 由双曲线的对称性知必有一条弦垂直于轴或轴. 若轴，由，解得或， 所以，即，符合题意； 若轴，由，解得或， 此时，为最短弦长，只有一个解，而不是三个解，不符合题意，故舍去， 综上可得. 故答案为： 【变式6-1】（2024·高二·北京·开学考试）已知双曲线，则双曲线的离心率为 ；直线与双曲线相交于两点，则 . 【答案】 【解析】因为双曲线， 则故； 当时，，不妨设, 故， 故答案为：；. 【变式6-2】（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期末）在平面直角坐标系中，已知点，动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若直线交于两点，且，求直线的方程． 【解析】（1）根据题意由可知， 动点的轨迹为以为焦点，实轴长为的双曲线， 即，所以， 所以可得的方程为； （2）如下图所示： 依题意设， 联立与的方程， 消去整理可得，则； 且，解得； 所以， 解得，满足，符合题意； 所以直线的方程为. 【变式6-3】（2024·高二·全国·课后作业）经过点作直线交双曲线于两点，且为中点． (1)求直线的方程． (2)求线段的长． 【解析】（1）设， 代入双曲线方程得， 两式相减得，即， 因为为的中点，所以， 所以，所以直线的斜率为 所以的方程为，即， 经验证符合题意， 所以直线的方程为； （2）将代入中得， 故， 所以 . 【变式6-4】（2024·高二·湖南湘潭·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若O为坐标原点，过的直线l交双曲线C于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程. 【解析】（1）由题意得：，，， 解得：，，， 双曲线的标准方程为． （2）由题意可知，直线的斜率一定存在， 设直线的方程为，，，，， 联立方程组，消去整理得， 则， 原点到直线的距离为 ， 所以， 解得或，故 或， 故直线方程为或 题型七：中点弦问题 【典例7-1】（2024·高二·湖南株洲·开学考试）双曲线的方程是．求过点作直线，使其被双曲线截得的弦恰被点平分，求直线的方程． 【解析】设直线与双曲线交于,、,两点， 点为的中点，则，． 由，， 两式相减得，即 ， 的方程为，即． 把此方程代入双曲线方程，整理得， 满足， 即所求直线的方程为． 【典例7-2】（2024·高二·河北·期中）已知双曲线的中心在原点，过点，且与双曲线有相同的渐近线． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知，是双曲线上的两点，且线段的中点为，求直线的方程． 【解析】（1）因为双曲线与双曲线有相同的渐近线， 所以可设其方程为， 将点的坐标代入得，则所求双曲线的标准方程为． （2）设，，因为的中点为，则，， 因为，所以， 即，则，所以， 所以直线的方程为，即． 当直线为时，联立方程，得，，符合题意，故直线的方程为. 【变式7-1】（2024·高二·江苏盐城·期中）双曲线：的渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1. (1)求的方程； (2)是否存在直线，经过点且与双曲线于A，两点，为线段的中点，若存在，求的方程；若不存在，说明理由. 【解析】（1）令，所以， 又由题意可知双曲线的焦点到渐近线的距离， 所以双曲线的标准方程为：； （2）假设存在， 由题意知：该直线的斜率存在，设，，直线的斜率为， 则，， 又有，， 两式相减得，即 即，所以，解得， 所以直线的方程为，即， 联立直线与双曲线方程得： ， 即直线与双曲线有两个交点，满足条件， 所以存在直线，其方程为. 【变式7-2】（2024·高二·湖北孝感·阶段练习）已知双曲线C：． (1)若直线与双曲线C有公共点，求实数k的取值范围； (2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，且A，B关于点对称，求直线l的方程． 【解析】（1）双曲线C的渐近线方程为，要使直线与双曲线C有公共点，则有，即实数k的取值范围为． （2）设点，．∵点恰好为线段AB的中点， ∴，． 由，两式相减可得， ， 即，∴， ∴直线l的斜率， ∴直线l的方程为， 即． 【变式7-3】（2024·高二·广东中山·期中）对称轴都在坐标轴上的双曲线过点，，斜率为的直线过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线有两个交点，求斜率的取值范围； (3)是否存在实数使得直线与双曲线交于A，B两点，且点P恰好为AB中点？为什么？ 【解析】（1）设双曲线的标准方程为代入，， 得，解得， ∴双曲线的标准方程. （2）如图： 设直线方程：，联立得 ， 直线与双曲线有两个交点， 所以或或. （或：且）. （3）设A，B两点坐标分别为，由（2）可得， 若P为AB中点，则， 此时， 所以不存在实数，使得直线与双曲线交于A，B两点，且点P恰好为AB中点.. 题型八：定点定值问题 【典例8-1】（2024·高三·浙江绍兴·期末）已知双曲线的离心率为2，右焦点到其中一条渐近线的距离为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过右焦点作直线交双曲线于两点，过点作直线的垂线，垂足为，求证直线过定点. 【解析】（1）由题意，设右焦点的坐标为， 双曲线的渐近线方程为：， 右焦点到其中一条渐近线的距离为，可得， 又因为，解得， 故双曲线的标准方程为. （2）当直线的斜率不为0时，设，则 联立方程组，得 整理得：. ，且 ，, ，令得， ， 直线过定点. 当直线的斜率为0时，此时直线:，此时均在轴上，故直线过定点. 综上：直线过定点. 【典例8-2】（2024·高二·上海·期末）已知双曲线为双曲线上的任意点. (1)求双曲线的两条渐近线方程及渐近线夹角的大小； (2)求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数. 【解析】（1）双曲线的渐近线方程为和， 法一：在两渐近线上分别取点， 则渐近线的夹角为； 法二：夹角为； （2）设是双曲线上任意一点，由（1）及点到直线的距离公式可知： 该点到两条渐近线的距离分别是和， 为双曲线上的点，点的坐标需要符合双曲线的方程， 即：， 它们的乘积是， 点到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数. . 【变式8-1】（2024·高二·陕西西安·阶段练习）已知双曲线，O为坐标原点，离心率，点在双曲线上． (1)求双曲线的方程; (2)如图，若直线与双曲线的左、右两支分别交于点Q，P，且.求证:为定值； 【解析】（1）因为，所以， 所以双曲线的方程为，即 因为点在双曲线上，所以，所以 所以所求双曲线的方程为即 （2）由题意可得直线OP的斜率存在，可设直线OP的方程为，则直线OQ的方程为， 由 ，得，所以 同理可得，， 所以 【变式8-2】（2024·高二·河北石家庄·期中）已知双曲线的实轴长等于2，离心率， (1)求双曲线方程； (2)过双曲线上一点M作直线MA，MB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为，若直线AB过原点，判断是否为定值?若是，求出定值．若不是，请说明理由． 【解析】（1）由题可得，，解得， 所以双曲线方程为. （2）是定值3，理由如下， 设， 则. 【变式8-3】（2024·高二·全国·开学考试）已知为坐标原点，双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，，分别是线段，的中点，且，． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，，当与，不重合时，设直线，的斜率分别为，，证明：为定值． 【解析】（1）因为，，分别是线段，，的中点， 所以，． 因为，所以， 所以由双曲线的定义知，解得． 设双曲线的半焦距为（）． 因为，所以， 所以，所以． 所以双曲线的标准方程为． （2）设（），则， 所以，所以，所以． 因为，，所以， 所以，为定值． 【变式8-4】（2024·高二·江西·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，动点M满足|| MF₁ | -| MF₂|| =4. (1)求动点M的轨迹C的方程： (2)已知点A(-2，0)，B(2，0)，当点M与A，B不重合时，设直线MA，MB的斜率分别为k₁，k₂，证明:为定值. 【解析】（1）由椭圆知： 所以左、右焦点分别为 因为动点M满足|| MF₁ | -| MF₂|| =4 所以动点在以为焦点的双曲线上， 设动点设方程为： 由双曲线的定义得： 所以 所以动点设方程为： （2）设 则 由 所以 所以. 【变式8-5】（2024·高二·陕西延安·期末）已知双曲线经过点． (1)求的离心率； (2)设直线经过的右焦点，且与交于不同的两点，点N关于x轴的对称点为点P，证明：直线过定点． 【解析】（1）由双曲线经过点， 则有，解得， 即双曲线的标准方程为，则， 所以离心率， 故的离心率为； （2）由（1）知的右焦点为，直线， 设，，由点N关于x轴的对称点为点P，则， 联立，得， 由题可知，即， 且， 则， 则直线的直线方程为， 由对称性可知，直线若过定点，则必在轴上， 令，得 当，且时， ， 所以直线过定点. 题型九：范围与最值问题 【典例9-1】（2024·高二·重庆九龙坡·期中）已知双曲线和椭圆有公共焦点，且离心率． (1)求双曲线的方程； (2)过点作两条相互垂直的直线分别交双曲线于不同于点的两点，求点到直线距离的最大值． 【解析】（1）因为椭圆的焦点在轴上， 所以双曲线的，又因为， 所以， 所以双曲线的方程为. （2）当直线的斜率不存在时，设，则， ， 依题意， ，即， 由解得或（舍去）， 所以，此时到直线的距离为. 当直线的斜率存在时，设，设直线的方程为. 由消去并化简得：， ①， ， 依题意， 所以 ， 整理得， 即，由于直线，， 所以， 函数的开口向上， 判别式为，故①成立. 所以直线的方程为，即， 所以到的距离， ， 当时，；当时， 当且仅当时等号成立. 所以. 综上所述，点到直线的距离的最大值为. 【典例9-2】（2024·高二·上海松江·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，点. (1)若，为坐标原点，过点且斜率为的直线与双曲线交于两点，求的面积； (2)若点是双曲线上任意一点，当且仅当为双曲线的顶点时，取得最小值，求实数的取值范围． 【解析】（1）由题意得：，所以，所以双曲线的标准方程为， 直线的方程为，设，， 联立方程组，消去整理得， 则， 所以， 所以的面积为 （2）因为，所以，所以或， 所以， 对称轴为， 由题意，，， 所以实数的取值范围为 【变式9-1】（2024·高二·上海·阶段练习）设双曲线的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，且的渐近线方程为．直线交双曲线于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若为线段的中点，求直线的方程； (3)当直线过点时，求的取值范围． 【解析】（1）由题意可得：，解得：. 所以椭圆的方程为：. （2）设，因为在椭圆上， 所以，两式相减可得： ， 则，因为为线段的中点， 所以， 所以，所以直线的方程为：， 化简可得：. （3）当直线的斜率不存在时，，， 此时，所以， 当直线的斜率存在时，设，因为直线过点， 设直线的方程为：， 联立可得：， 当时，， ， ， 令，则， 令，在在上单调递减， 又，所以， 所以的取值范围为. 【变式9-2】（2024·高二·福建莆田·期中）设点O为坐标原点，P是圆A：上任意一点，点，线段BP的垂直平分线与直线AP交于点Q，记点Q的轨迹为曲线C． (1)求C的方程； (2)设直线l与曲线C（在y轴右侧）恰有一个公共点，且l与直线分别交于M，N两点，求面积S的最小值． 【解析】（1） ， 则Q的轨迹为以A，B为焦点的双曲线， 设方程为，则，，， 所以Q的轨迹方程为． （2） 设l：，代入曲线C的方程得， 由已知得且，即， 将l：，代入得， 设，，则，， 直线l与x轴交点为， 则 由得，即， 则当时，S最小值为． 【变式9-3】（2024·高二·上海长宁·期中）已知双曲线：的离心率为； (1)求此双曲线的渐近线方程； (2)若经过点的直线与双曲线的右支交于不同两点，，求线段的中垂线在轴上的截距的取值范围； 【解析】（1）双曲线的离心率为．，可得，所以． 可得双曲线． 可得双曲线的渐近线方程为：． （2）设经过点的直线方程为，，，，， 联立方程组，消去得：， ，解得． 的中点为， 线段的中垂线方程为：， 令得截距． 即线段的中垂线在轴上截距的取值范围是． 【变式9-4】（2024·高二·上海浦东新·期中）已知双曲线的实轴长为，离心率为.动点P是双曲线C上任意一点. (1)求双曲线C的标准方程； (2)已知点，求线段的中点Q的轨迹方程； (3)已知点，求的最小值. 【解析】（1）依题意，， 又离心率为，即，则. 所以， 双曲线C的标准方程. （2）设动点，点，由线段的中点为Q， 则，代入双曲线C的方程得， 所以Q的轨迹方程. （3）动点P是双曲线C上任意一点，设，则， 则，，或， ， ， 当时，取最小值，最小值为. 【变式9-5】（2024·广东佛山·二模）双曲线的左顶点为，焦距为4，过右焦点作垂直于实轴的直线交于、两点，且是直角三角形． (1)求双曲线的方程； (2)、是右支上的两动点，设直线、的斜率分别为、，若，求点到直线的距离的取值范围． 【解析】（1）依题意，，焦半径， 由，得，得， 解得：（其中舍去）， 所以， 故双曲线的方程为； （2）显然直线不可能与轴平行，故可设直线的方程为， 联立，消去整理得， 在条件下，设，， 则，， 由，得， 即， 整理得， 代入韦达定理得，， 化简可消去所有的含的项，解得：或（舍去）， 则直线的方程为，得， 又都在双曲线的右支上，故有，， 此时，， 所以点到直线的距离的取值范围为. 【变式9-6】（2024·高三·云南昆明·阶段练习）在平面直角坐标系中，点，点.以G为圆心作一个半径为6的圆，点P是圆上一动点，线段AP的垂直平分线与直线GP相交于点Q. (1)求Q的轨迹方程； (2)过原点斜率为的直线l交曲线Q于B，C两点，求四边形GBAC面积的最大值. 【解析】（1）如下图所示， 由题意可知点Q在线段AP的垂直平分线，所以， 又点P是圆G上一动点，所以， 所以； 同理，若如下图所示则满足， 所以，Q的轨迹满足， 根据双曲线定义可知，Q点的轨迹是以为左右焦点，实轴长为的双曲线， 可得，； 所以Q的轨迹方程. （2）如下图所示， 设直线l的方程为，联立整理可得 ，解得，不妨设， 所以四边形GBAC面积 又因为，所以，当时等号成立； 即， 所以四边形GBAC面积的最大值为. 题型十：双曲线的实际应用问题 【典例10-1】（2024·高二·江西·期中）3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为，下底直径为，喉部（中间最细处）的直径为，则该塔筒的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】该塔筒的轴截面如图所示，以喉部的中点为原点，建立平面直角坐标系， 设A与分别为上，下底面对应点.设双曲线的方程为， 因为双曲线的离心率为，所以. 又喉部（中间最细处）的直径为，所以，所以双曲线的方程为. 由题意可知，代入双曲线方程，得， 所以该塔筒的高为. 故选:C. 【典例10-2】（2024·高三·重庆·阶段练习）双曲线型自然通风塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，如图所示，它的最小半径为米，上口半径为米，下口半径为米，高为24米，则该双曲线的离心率为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【解析】以的中点О为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则， 设双曲线的方程为，则， 可设，， 又由，在双曲线上，所以，解得，， 即，所以该双曲线的离心率为. 故选：A. 【变式10-1】（2024·高三·北京·期末）如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶离水面，水面宽.若水面下降，则水面宽是（    ）(结果精确到)(参考数值：，，) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图：建系， 因为拱桥是等轴双曲线， 则设双曲线方程，， 又因为，，则， 将代入双曲线方程，可得， 解得，即， 当水面下降，纵坐标， 代入双曲线方程可得， . 故选：B 【变式10-2】（2024·高三·河南·阶段练习）人利用双耳可以判定声源在什么方位，听觉的这种特性叫做双耳定位效应（简称双耳效应）．根据双耳的时差，可以确定声源必在以双耳为左右焦点的一条双曲线上．又若声源所在的双曲线与它的渐近线趋近，此时声源对于测听者的方向偏角，就近似地由双曲线的渐近线与虚轴所在直线的夹角来确定．一般地，甲测听者的左右两耳相距约为，声源的声波传及甲的左、右两耳的时间差为，声速为，则声源对于甲的方向偏角的正弦值约为（    ） A．0.004 B．0.04 C．0.005 D．0.05 【答案】D 【解析】由已知求出、焦距，利用可得可得答案.设两耳所在双曲线的实轴长为，焦距为，虚轴长为， 则，，由题意， 所以，所以． 故选：D． 【变式10-3】（2024·高二·安徽·阶段练习）根据中国地震局发布的最新消息，2023年1月1日至2023年11月10日，全球共发生六级以上地震110次，最大地震是2023年02月06日09时02分37秒在土耳其发生的7.8级地震．地震定位对地震救援具有重要意义，根据双台子台阵方法，在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.已知地震台站A，B在公路l上（l为直线），且A，B相距，地震局以的中点为原点O，直线l为x轴，为单位长度建立如图所示的平面直角坐标系.在一次地震发生后，根据A，B两站收到的信息，并通过计算发现震中P在双曲线的右支上，且，则P到公路l的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设双曲线的焦距为2c， 由题意，得，所以，解得， 所以，由及余弦定理， 得， 即，所以， 的面积， 设P到公路l的距离为h，则，所以， 即P到公路l的距离为， 故选：D. 【变式10-4】（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告；正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚2s，已知各观测点到该中心的距离是680m，则该巨响发生在接报中心的（    ）处(假定当时声音传播的速度为340m/s，相关各点均在同一平面上) A．西偏北45°方向，距离340m B．东偏南45°方向，距离340m C．西偏北45°方向，距离170m D．东偏南45°方向，距离170m 【答案】A 【解析】如图， 以接报中心为原点，正东、正北方向为轴、轴正向，建立直角坐标系．设分别是西、东、北观测点，则 设为巨响为生点，由 同时听到巨响声，得，故在的垂直平分线上，的方程为，因点比点晚听到爆炸声，故， 由双曲线定义知点在以为焦点的双曲线左支上， 依题意得 故双曲线方程为，将 代入上式，得 ，即 故 . 故巨响发生在接报中心的西偏北距中心处． 故选：A. 1．（2024·高二·安徽马鞍山·期末）已知为坐标原点，双曲线的左焦点为，右顶点为；过点向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，且，直线与双曲线的左支交于点，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如下图所示： 不妨取渐近线，则左焦点到渐近线距离； 又，于是，可得,故离心率， 因此渐近线方程为，直线斜率为1，其方程为，可得， 又，则，所以直线的方程为， 联立双曲线方程整理可得； 易知是该方程的一个实数根，另一根即为； 所以，可得， 于是轴，又因为 所以． 故选：B 2．（2024·高二·河北石家庄·期末）已知直线与双曲线的一条渐近线平行，则的实轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由双曲线可知：，且焦点在x轴上， 则双曲线的渐近线为， 且直线的斜率， 若直线与双曲线的一条渐近线平行， 则，解得，即， 所以的实轴长为. 故选：D. 3．（2024·高二·广东湛江·期中）若双曲线的离心率为，右焦点为，点E的坐标为，则直线OE（O为坐标原点）与双曲线的交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 【答案】C 【解析】由双曲线的离心率为，得，则，， 因此点E的坐标为，双曲线C的渐近线斜率为，而直线的斜率， 所以直线OE与双曲线的交点个数为2个． 故选：C 4．（2024·高二·江苏南京·开学考试）设，是双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，若，且的最小内角为，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解析】由题意,设由双曲线的定义得，又， 求得而， 所以在中余弦定理得, 所以，即. 所以 ， 故双曲线C的离心率为. 故选： 5．（2024·高二·江苏南京·阶段练习）已知双曲线的两焦点为为其渐近线上一点，满足：，则此双曲线的渐近线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由为双曲线渐近线上一点，， 又，设，则，由， 即，解得 又在中，为斜边中线，因此， 在中，由余弦定理可求得，则为锐角， 则，即其中一条渐近线的斜率， 因此双曲线的渐近线的方程为. 故选:C． 6．（2024·高二·河南驻马店·期末）已知双曲线E 的右焦点为F，以F为圆心，为半径的圆与双曲线 E的一条渐近线交于A，B两点，若，则双曲线 E的离心率为（     ） A． B． C． D．3 【答案】A 【解析】令点，双曲线E 的渐近线方程为， 由对称性不妨取直线，取中点，连接，则， ，而， 由，得，在中，， 则，解得， 所以双曲线 E的离心率. 故选：A 7．（2024·高二·江苏南京·阶段练习）若双曲线的渐近线与圆相切，且圆的圆心是双曲线的一个焦点，则双曲线的实轴长为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】双曲线的渐近线方程为， 圆的圆心，半径， 依题意，双曲线的半焦距，，则， 所以双曲线的实轴长为. 故选：B 8．（2024·高二·全国·假期作业）过点的直线与双曲线的公共点只有1个，则满足条件的直线有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】C 【解析】当直线的斜率不存在时，显然与双曲线没有公共点. 当直线的斜率存在时，设方程为， 与双曲线方程联立， 若即，此时直线和双曲线的公共点只有1个. 当时，；当时，. 当时，， 整理可得，因为，所以有两个不等的实数根， 又不是的根，且此时直线和双曲线的公共点只有1个. 综上可知，直线和双曲线的公共点只有1个时，对应直线有4条. 故选：C. 9．（多选题）（2024·高二·河北保定·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为双曲线右支上一点，且，若与一条渐近线平行，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线方程为 C．的面积为 D．直线与圆相切 【答案】ACD 【解析】不妨设直线平行于双曲线的渐近线， 从而可得是线段的垂直平分线，且直线的方程为， 设直线与直线相交于点， 联立方程组，解得，即， 又，结合中点坐标公式，可得， 代入双曲线，可得，整理得，， 对于A，双曲线的离心率，故A正确； 对于B，双曲线的渐近线，故B错误； 对于C，的面积，故C正确； 对于D，圆心到直线的距离， 故直线与圆相切，故D正确. 故选：ACD 10．（多选题）（2024·高二·湖北襄阳·阶段练习）双曲线的离心率为，双曲线的离心率为，则的值可能是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】AB 【解析】因为 ， 当且仅当，即时取等号， 所以， 故选：AB 11．（多选题）（2024·高二·海南·期末）已知为双曲线的右焦点，过的直线与圆相切于点，且与及其渐近线在第二象限的交点分别为，则下列说法正确的是（    ） A．直线的斜率为 B．直线是的一条渐近线 C．若，则的离心率为 D．若，则的渐近线方程为 【答案】ABD 【解析】对于A，根据题意，，设直线， 又因为直线与圆相切于点， 所以，A正确； 对于B，根据题意可知，可得， 所以直线是的一条渐近线，B正确； 对于C，若，根据题意，联立，解得， 同理联立，解得， 由于，故，即， 化简得，则的离心率为，C错误； 对于D，设，依题意知，则， 故，得， 故，代入，得， 所以，则， 得，则的渐近线方程为，D正确； 故选：ABD 12．（多选题）（2024·高二·云南丽江·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线交于，两点，其中点在第一象限，，，则双曲线的离心率可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】因为，所以，即，所以． 因为，所以，所以，所以，所以， 所以． 若在双曲线的同一支时，知轴，所以，所以，得，，所以； 若分别在双曲线的左、右两支，则，，则，解得，所以， 故选：BD． 13．（2024·高二·全国·随堂练习）直线与曲线交点的坐标为 ． 【答案】和. 【解析】将直线方程与曲线方程联立得：， 解得，或， 当时，； 当时，， 因此直线与曲线交点坐标为：和. 故答案为：和 14．（2024·高二·全国·课后作业）已知双曲线的渐近线方程为，两顶点间的距离为6，则双曲线的方程是 ． 【答案】或 【解析】当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线的方程为， 则解得，则双曲线的方程为； 当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线的方程为， 则解得双曲线的方程为． 综上，双曲线的方程是或． 故答案为：或 15．（2024·高二·广东茂名·期中）过双曲线（，）的左焦点作圆的切线，切点为，直线交直线于点．若，则双曲线的离心率为 ． 【答案】/ 【解析】如图，由，设直线的方程为，， 由直线与圆相切，可得， 解得，即直线的方程为， 由，可得直线的方程为， 与切线的方程联立，可得，， 由，可得，， 若，则， 化为，即， 即为， 则． 故答案为：． 16．（2024·高二·广西柳州·阶段练习）从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是散开的，它们就好像是从另一个焦点射出的一样，如图.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”就是利用了双曲线的这个光学性质，已知某“双曲线新闻灯”的轴截面是双曲线的一部分，其中，分别为该双曲线的左、右焦点，从发出的两条光线（共线反向）分别经过双曲线右支上的点和点，且经过点的光线反射后经过点，，若点在以点为圆心、为半径的圆上，则该双曲线的离心率为 . 【答案】2 【解析】如图，连接，依题意，点共线，由，得， 设，，则，，由，得， 则，即，，在中，由余弦定理得： ，得， 所以该双曲线的离心率. 故答案为： 17．（2024·高二·云南昆明·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为M，N，且经过点. (1)求C的方程； (2)动点A在圆上，动点B在双曲线C上，设直线MA，MB的斜率分别为，若N，A，B三点共线，试探索之间的关系． 【解析】（1）由题意知，，由双曲线定义得， 所以，所以C的方程为． （2）设点，则，即， 由，则①， 又②， 因为N，A，B三点共线，所以，由①②得，即． 18．（2024·高二·广西贵港·期中）已知双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为． (1)求的方程． (2)设的左、右顶点分别为，，过点且斜率不为0的直线与相交于，两点，直线与直线相交于点．试问点是否在定直线上？若是，求出定直线的方程；若不是，说明理由． 【解析】（1）根据对称性，到的一条渐近线的距离，则． 由，知，得，则， 故的方程为． （2）点在定直线上． 依题可设直线的方程为，，， 联立方程组，整理得，必有， 则，，则． 直线的方程为，直线的方程为， 整理得，解得． 故点在定直线上． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3．2．2 双曲线的几何性质 课程标准 学习目标 能类比椭圆性质的研究，利用方程推出双曲线的一些几何性质，进一步体会数形结合思想． （1）掌握双曲线的几何性质． （2）理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程． 知识点01 双曲线的简单几何性质 双曲线（a>0，b>0）的简单几何性质 范围 ，即 或 双曲线上所有的点都在两条平行直线和的两侧，是无限延伸的．因此双曲线上点的横坐标满足或． 对称性 对于双曲线标准方程（，），把换成，或把换成，或把、同时换成、，方程都不变，所以双曲线（a>0，b>0）是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心． 顶点 ①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点． ②双曲线（，）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为，，顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点． ③两个顶点间的线段叫作双曲线的实轴；设，为y轴上的两个点，则线段叫做双曲线的虚轴．实轴和虚轴的长度分别为，．叫做双曲线的实半轴长，叫做双曲线的虚半轴长． ①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆． ②双曲线的焦点总在实轴上． ③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 离心率 ①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作． ②因为，所以双曲线的离心率． 由，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔．所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度． ③等轴双曲线，所以离心率． 渐近线 经过点、作y轴的平行线，经过点、作x轴的平行线，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是． 我们把直线叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交． 【即学即练1】（多选题）（2024·高二课时练习）双曲线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 知识点02 双曲线两个标准方程几何性质的比较 标准方程 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 轴 实轴长=，虚轴长= 离心率 渐近线方程 知识点诠释：双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看、的系数，如果项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果项的系数是正的，那么焦点在y轴上． 对于双曲线，不一定大于，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上． 【即学即练2】（多选题）（2024·广东深圳·高二校考阶段练习）已知双曲线的焦距为4，焦点到渐近线的距离是1，则下列说法正确的是（    ） A．的离心率为 B．的标准方程为 C．的渐近线方程为 D．直线经过的一个焦点 知识点03 双曲线的渐近线 （1）已知双曲线方程求渐近线方程： 若双曲线方程为，则其渐近线方程为 已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程． （2）已知渐近线方程求双曲线方程： 若双曲线渐近线方程为，则可设双曲线方程为，根据已知条件，求出即可． （3）与双曲线有公共渐近线的双曲线 与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上） （4）等轴双曲线的渐近线 等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为，因此等轴双曲线可设为． 【即学即练3】（2024·陕西商洛·高二校考期末）如图1，北京冬奥会火种台以“承天载物”为设计理念，创意灵感来自中国传统青铜礼器一尊的曲线造型，基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开阔，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种．如图2，一种尊的外形近似为某双曲线的一部分绕着虚轴旋转所成的曲面，尊高63cm，上口直径为40cm，底部直径为26cm，最小直径为24cm，则该双曲线的渐近线与实轴所成锐角的正切值为 ．    知识点04 双曲线中a，b，c的几何意义及有关线段的几何特征： 双曲线标准方程中，、、三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且． 双曲线，如图： （1）实轴长，虚轴长，焦距， （2）离心率：； （3）顶点到焦点的距离：，； （4）中结合定义与余弦定理，将有关线段、、和角结合起来． （5）与焦点三角形有关的计算问题时，常考虑到用双曲线的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角结合起来，建立、之间的关系． 【即学即练4】（2024·全国·高二专题练习）已知双曲线的焦距为为其左右两个焦点，直线l经过点且与渐近线平行，若l上存在第一象限的点P满足，则双曲线C离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 知识点05 直线与双曲线的位置关系判断 将双曲线方程与直线方程联立消去 得到关于的一元二次方程， 1、当，即时，直线 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点； 2、当，即时，设该一元二次方程的判别式为， 若，直线与双曲线相交，有两个公共点； 若，直线与双曲线相切，有一个公共点； 若，直线与双曲线相离，没有公共点； 注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切． 【即学即练5】（2024·全国·高二课堂例题）过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有几条？分别求出它们的方程. 题型一：双曲线的简单几何性质 【典例1-1】（多选题）（2024·高二·四川德阳·期末）双曲线C：的左右顶点分别为A、B，P、Q两点在C上，且关于x轴对称（    ） A．以C的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为 B．双曲线C的离心率为 C．直线与的斜率之积为 D．双曲线C的焦点到渐近线的距离为2 【典例1-2】（多选题）（2024·高二·安徽亳州·期中）已知双曲线焦距长为6，则（    ） A． B．的离心率为 C．的渐近线为 D．直线与相交所得弦长为 【变式1-1】（多选题）（2024·高二·全国·课后作业）已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点在抛物线上，则下列结论正确的有（    ） A．双曲线的离心率为2 B．双曲线的渐近线方程为 C． D．点到抛物线的焦点的距离为4 【变式1-2】（多选题）（2024·高二·云南曲靖·期末）已知点在左､右焦点分别为的双曲线上，，则（    ） A．渐近线方程为 B．离心率为 C． D． 【变式1-3】（多选题）（2024·高二·江苏宿迁·开学考试）已知双曲线C：，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线C的实轴长为2 B．若双曲线C的两条渐近线相互垂直，则 C．若是双曲线C的一个焦点，则 D．若，则双曲线C上的点到焦点距离最小值为2 【变式1-4】（多选题）（2024·湖北·一模）某数学兴趣小组的同学经研究发现，反比例函数的图象是双曲线，设其焦点为，若为其图象上任意一点，则（    ） A．是它的一条对称轴 B．它的离心率为 C．点是它的一个焦点 D． 题型二：双曲线的渐近线 【典例2-1】（2024·高二·江苏常州·期中）已知双曲线与曲线有公共的渐近线，且经过点，则的方程为 . 【典例2-2】（2024·高二·湖北武汉·阶段练习）设直线与双曲线（，）两条渐近线分别交于点A，B，若点满足，则该双曲线的渐近线方程是 【变式2-1】（2024·高二·贵州安顺·期末）已知椭圆和双曲线在第一象限的交点为，椭圆的右焦点为，在方向上的投影向量为，则椭圆的离心率为 ；双曲线的渐近线方程为 . 【变式2-2】（2024·高二·山东烟台·期末）已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，点关于C的一条渐近线的对称点为M，且，则C的渐近线方程为 . 【变式2-3】（2024·高二·上海·期中）已知双曲线的右顶点为，点都在上，且关于轴对称，若直线的斜率之积为，则的渐近线方程为 . 【变式2-4】（2024·高二·福建南平·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为为上一点且，则该双曲线渐近线的斜率为 . 题型三：求双曲线离心率的值 【典例3-1】（2024·高二·湖南常德·阶段练习）如图，已知分别是双曲线的左、右焦点，现以为圆心作一个通过双曲线中心的圆并且交双曲线于两点．若直线是圆的切线，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2024·高二·云南昆明·阶段练习）已知双曲线的右焦点为，若a，b，c成等比数列，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2024·高二·浙江衢州·期末）已知双曲线的焦点为，以为直径的圆与双曲线的一个交点为M，且有，则双曲线的离心率（    ） A． B． C．2 D． 【变式3-2】（2024·高二·云南临沧·期末）已知以坐标轴为对称轴，原点为对称中心，其中一条渐近线为，则此双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C．2或 D．2或 【变式3-3】（2024·高二·全国·课后作业）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过焦点且垂直于轴的弦为，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】（2024·高二·天津·期中）已知双曲线为坐标原点为其左、右焦点，点在的渐近线上，，且，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【变式3-5】（2024·高二·河南·期中）在平面直角坐标系xOy中，为双曲线的左、右焦点，为右支上异于顶点的一点，直线PM平分，且，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D．4 【变式3-6】（2024·高二·江苏南京·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，过作直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，设为线段的中点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型四：求双曲线离心率的范围 【典例4-1】（2024·江西·二模）已知双曲线E:,其左右顶点分别为,,P在双曲线右支上运动,若的角平分线交x轴于D点,关于的对称点为,若仅存在2个P使直线与E仅有一个交点,则E离心率的范围为(    ) A． B． C． D． 【典例4-2】（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知双曲线左、右顶点为A，B，若该双曲线上存在点P，使得的斜率之和为1，则该双曲线离心率的范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2024·高三·四川成都·开学考试）已知，分别为双曲线C的左、右焦点，点P是右支上一点，且，设，当的范围为时，双曲线C离心率的范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆和双曲线有相同的焦点、，它们的离心率分别为、，点为它们的一个交点，且，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2024·高二·北京房山·期末）已知是双曲线的左、右焦点，若在右支上存在点A，使得点到直线的距离为，则双曲线离心率e的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-4】（2024·高二·湖南邵阳·期末）设是椭圆与双曲线的公共焦点，曲线在第一象限内交于点，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-5】（2024·高二·湖南邵阳·期末）设为双曲线与椭圆的公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点是以线段为底边的等腰三角形，若椭圆的离心率范围为，则双曲线的离心率取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-6】（2024·高三·重庆沙坪坝·期中）已知双曲线（，）的左右焦点分别为，，O为坐标原点，点P为双曲线C中第一象限上的一点，的平分线与x轴交于Q，若，则双曲线的离心率范围为（    ） A． B． C． D． 题型五：直线与双曲线的位置关系 【典例5-1】（2024·全国·高二课堂例题）已知双曲线，直线，求直线l与双曲线C的公共点的坐标． 【典例5-2】（2024·全国·高二课堂例题）讨论直线与双曲线的公共点的个数． 【变式5-1】（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线E的两个焦点分别为，并且E经过点. (1)求双曲线E的方程； (2)过点的直线l与双曲线E有且仅有一个公共点，求直线l的方程. 【变式5-2】（2024·全国·高三专题练习）设直线与双曲线的方程分别为和，当实数取何值时，直线与双曲线分别有两个公共点？一个公共点？没有公共点．    【变式5-3】（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线，直线，试确定实数k的取值范围，使： (1)直线l与双曲线有两个公共点； (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l与双曲线没有公共点． 题型六：弦长问题 【典例6-1】（2024·高二·上海·课堂例题）已知双曲线C：，过点的直线l与双曲线C交于M、N两点，若P为线段的中点，则弦长 . 【典例6-2】（2024·高二·全国·竞赛）过双曲线的右焦点作直线交双曲线于、两点，若使得的直线恰有条，则实数 . 【变式6-1】（2024·高二·北京·开学考试）已知双曲线，则双曲线的离心率为 ；直线与双曲线相交于两点，则 . 【变式6-2】（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期末）在平面直角坐标系中，已知点，动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若直线交于两点，且，求直线的方程． 【变式6-3】（2024·高二·全国·课后作业）经过点作直线交双曲线于两点，且为中点． (1)求直线的方程． (2)求线段的长． 【变式6-4】（2024·高二·湖南湘潭·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若O为坐标原点，过的直线l交双曲线C于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程. 题型七：中点弦问题 【典例7-1】（2024·高二·湖南株洲·开学考试）双曲线的方程是．求过点作直线，使其被双曲线截得的弦恰被点平分，求直线的方程． 【典例7-2】（2024·高二·河北·期中）已知双曲线的中心在原点，过点，且与双曲线有相同的渐近线． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知，是双曲线上的两点，且线段的中点为，求直线的方程． 【变式7-1】（2024·高二·江苏盐城·期中）双曲线：的渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1. (1)求的方程； (2)是否存在直线，经过点且与双曲线于A，两点，为线段的中点，若存在，求的方程；若不存在，说明理由. 【变式7-2】（2024·高二·湖北孝感·阶段练习）已知双曲线C：． (1)若直线与双曲线C有公共点，求实数k的取值范围； (2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，且A，B关于点对称，求直线l的方程． 【变式7-3】（2024·高二·广东中山·期中）对称轴都在坐标轴上的双曲线过点，，斜率为的直线过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线有两个交点，求斜率的取值范围； (3)是否存在实数使得直线与双曲线交于A，B两点，且点P恰好为AB中点？为什么？ 题型八：定点定值问题 【典例8-1】（2024·高三·浙江绍兴·期末）已知双曲线的离心率为2，右焦点到其中一条渐近线的距离为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过右焦点作直线交双曲线于两点，过点作直线的垂线，垂足为，求证直线过定点. 【典例8-2】（2024·高二·上海·期末）已知双曲线为双曲线上的任意点. (1)求双曲线的两条渐近线方程及渐近线夹角的大小； (2)求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数. 【变式8-1】（2024·高二·陕西西安·阶段练习）已知双曲线，O为坐标原点，离心率，点在双曲线上． (1)求双曲线的方程; (2)如图，若直线与双曲线的左、右两支分别交于点Q，P，且.求证:为定值； 【变式8-2】（2024·高二·河北石家庄·期中）已知双曲线的实轴长等于2，离心率， (1)求双曲线方程； (2)过双曲线上一点M作直线MA，MB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为，若直线AB过原点，判断是否为定值?若是，求出定值．若不是，请说明理由． 【变式8-3】（2024·高二·全国·开学考试）已知为坐标原点，双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，，分别是线段，的中点，且，． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，，当与，不重合时，设直线，的斜率分别为，，证明：为定值． 【变式8-4】（2024·高二·江西·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，动点M满足|| MF₁ | -| MF₂|| =4. (1)求动点M的轨迹C的方程： (2)已知点A(-2，0)，B(2，0)，当点M与A，B不重合时，设直线MA，MB的斜率分别为k₁，k₂，证明:为定值. 【变式8-5】（2024·高二·陕西延安·期末）已知双曲线经过点． (1)求的离心率； (2)设直线经过的右焦点，且与交于不同的两点，点N关于x轴的对称点为点P，证明：直线过定点． 题型九：范围与最值问题 【典例9-1】（2024·高二·重庆九龙坡·期中）已知双曲线和椭圆有公共焦点，且离心率． (1)求双曲线的方程； (2)过点作两条相互垂直的直线分别交双曲线于不同于点的两点，求点到直线距离的最大值． 【典例9-2】（2024·高二·上海松江·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，点. (1)若，为坐标原点，过点且斜率为的直线与双曲线交于两点，求的面积； (2)若点是双曲线上任意一点，当且仅当为双曲线的顶点时，取得最小值，求实数的取值范围． 【变式9-1】（2024·高二·上海·阶段练习）设双曲线的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，且的渐近线方程为．直线交双曲线于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若为线段的中点，求直线的方程； (3)当直线过点时，求的取值范围． 【变式9-2】（2024·高二·福建莆田·期中）设点O为坐标原点，P是圆A：上任意一点，点，线段BP的垂直平分线与直线AP交于点Q，记点Q的轨迹为曲线C． (1)求C的方程； (2)设直线l与曲线C（在y轴右侧）恰有一个公共点，且l与直线分别交于M，N两点，求面积S的最小值． 【变式9-3】（2024·高二·上海长宁·期中）已知双曲线：的离心率为； (1)求此双曲线的渐近线方程； (2)若经过点的直线与双曲线的右支交于不同两点，，求线段的中垂线在轴上的截距的取值范围； 【变式9-4】（2024·高二·上海浦东新·期中）已知双曲线的实轴长为，离心率为.动点P是双曲线C上任意一点. (1)求双曲线C的标准方程； (2)已知点，求线段的中点Q的轨迹方程； (3)已知点，求的最小值. 【变式9-5】（2024·广东佛山·二模）双曲线的左顶点为，焦距为4，过右焦点作垂直于实轴的直线交于、两点，且是直角三角形． (1)求双曲线的方程； (2)、是右支上的两动点，设直线、的斜率分别为、，若，求点到直线的距离的取值范围． 【变式9-6】（2024·高三·云南昆明·阶段练习）在平面直角坐标系中，点，点.以G为圆心作一个半径为6的圆，点P是圆上一动点，线段AP的垂直平分线与直线GP相交于点Q. (1)求Q的轨迹方程； (2)过原点斜率为的直线l交曲线Q于B，C两点，求四边形GBAC面积的最大值. 题型十：双曲线的实际应用问题 【典例10-1】（2024·高二·江西·期中）3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为，下底直径为，喉部（中间最细处）的直径为，则该塔筒的高为（    ） A． B． C． D． 【典例10-2】（2024·高三·重庆·阶段练习）双曲线型自然通风塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，如图所示，它的最小半径为米，上口半径为米，下口半径为米，高为24米，则该双曲线的离心率为（ ） A．2 B． C． D． 【变式10-1】（2024·高三·北京·期末）如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶离水面，水面宽.若水面下降，则水面宽是（    ）(结果精确到)(参考数值：，，) A． B． C． D． 【变式10-2】（2024·高三·河南·阶段练习）人利用双耳可以判定声源在什么方位，听觉的这种特性叫做双耳定位效应（简称双耳效应）．根据双耳的时差，可以确定声源必在以双耳为左右焦点的一条双曲线上．又若声源所在的双曲线与它的渐近线趋近，此时声源对于测听者的方向偏角，就近似地由双曲线的渐近线与虚轴所在直线的夹角来确定．一般地，甲测听者的左右两耳相距约为，声源的声波传及甲的左、右两耳的时间差为，声速为，则声源对于甲的方向偏角的正弦值约为（    ） A．0.004 B．0.04 C．0.005 D．0.05 【变式10-3】（2024·高二·安徽·阶段练习）根据中国地震局发布的最新消息，2023年1月1日至2023年11月10日，全球共发生六级以上地震110次，最大地震是2023年02月06日09时02分37秒在土耳其发生的7.8级地震．地震定位对地震救援具有重要意义，根据双台子台阵方法，在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.已知地震台站A，B在公路l上（l为直线），且A，B相距，地震局以的中点为原点O，直线l为x轴，为单位长度建立如图所示的平面直角坐标系.在一次地震发生后，根据A，B两站收到的信息，并通过计算发现震中P在双曲线的右支上，且，则P到公路l的距离为（    ）    A． B． C． D． 【变式10-4】（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告；正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚2s，已知各观测点到该中心的距离是680m，则该巨响发生在接报中心的（    ）处(假定当时声音传播的速度为340m/s，相关各点均在同一平面上) A．西偏北45°方向，距离340m B．东偏南45°方向，距离340m C．西偏北45°方向，距离170m D．东偏南45°方向，距离170m 1．（2024·高二·安徽马鞍山·期末）已知为坐标原点，双曲线的左焦点为，右顶点为；过点向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，且，直线与双曲线的左支交于点，则的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·高二·河北石家庄·期末）已知直线与双曲线的一条渐近线平行，则的实轴长为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·高二·广东湛江·期中）若双曲线的离心率为，右焦点为，点E的坐标为，则直线OE（O为坐标原点）与双曲线的交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 4．（2024·高二·江苏南京·开学考试）设，是双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，若，且的最小内角为，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 5．（2024·高二·江苏南京·阶段练习）已知双曲线的两焦点为为其渐近线上一点，满足：，则此双曲线的渐近线的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·高二·河南驻马店·期末）已知双曲线E 的右焦点为F，以F为圆心，为半径的圆与双曲线 E的一条渐近线交于A，B两点，若，则双曲线 E的离心率为（     ） A． B． C． D．3 7．（2024·高二·江苏南京·阶段练习）若双曲线的渐近线与圆相切，且圆的圆心是双曲线的一个焦点，则双曲线的实轴长为（    ） A． B． C．2 D． 8．（2024·高二·全国·假期作业）过点的直线与双曲线的公共点只有1个，则满足条件的直线有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 9．（多选题）（2024·高二·河北保定·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为双曲线右支上一点，且，若与一条渐近线平行，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线方程为 C．的面积为 D．直线与圆相切 10．（多选题）（2024·高二·湖北襄阳·阶段练习）双曲线的离心率为，双曲线的离心率为，则的值可能是（    ） A．3 B． C． D． 11．（多选题）（2024·高二·海南·期末）已知为双曲线的右焦点，过的直线与圆相切于点，且与及其渐近线在第二象限的交点分别为，则下列说法正确的是（    ） A．直线的斜率为 B．直线是的一条渐近线 C．若，则的离心率为 D．若，则的渐近线方程为 12．（多选题）（2024·高二·云南丽江·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线交于，两点，其中点在第一象限，，，则双曲线的离心率可能为（    ） A． B． C． D． 13．（2024·高二·全国·随堂练习）直线与曲线交点的坐标为 ． 14．（2024·高二·全国·课后作业）已知双曲线的渐近线方程为，两顶点间的距离为6，则双曲线的方程是 ． 15．（2024·高二·广东茂名·期中）过双曲线（，）的左焦点作圆的切线，切点为，直线交直线于点．若，则双曲线的离心率为 ． 16．（2024·高二·广西柳州·阶段练习）从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是散开的，它们就好像是从另一个焦点射出的一样，如图.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”就是利用了双曲线的这个光学性质，已知某“双曲线新闻灯”的轴截面是双曲线的一部分，其中，分别为该双曲线的左、右焦点，从发出的两条光线（共线反向）分别经过双曲线右支上的点和点，且经过点的光线反射后经过点，，若点在以点为圆心、为半径的圆上，则该双曲线的离心率为 . 17．（2024·高二·云南昆明·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为M，N，且经过点. (1)求C的方程； (2)动点A在圆上，动点B在双曲线C上，设直线MA，MB的斜率分别为，若N，A，B三点共线，试探索之间的关系． 18．（2024·高二·广西贵港·期中）已知双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为． (1)求的方程． (2)设的左、右顶点分别为，，过点且斜率不为0的直线与相交于，两点，直线与直线相交于点．试问点是否在定直线上？若是，求出定直线的方程；若不是，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$