13.3 等腰三角形【7大题型】-2024-2025学年八年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

13.3 等腰三角形 【考点归纳】 · 考点一：等腰三角形的等边等角性质 · 考点二：等腰三角形的三线合一问题 · 考点三：等腰三角形的判定 · 考点四：等边三角形的性质 · 考点五：等边三角形的判定 · 考点六：含30°的直角三角形 · 考点七：等腰（边）三角形的综合问题 【知识梳理】 考点一、等腰三角形的性质 定理：等腰三角形有两边相等；(定义) 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 （三线合一） 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。 等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 考点二、等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 考点三：等边三角形 等边三角形定义：三条边都相等的三角形；（等边三角形是特殊的等腰三角形） 等边三角形的性质： ①等边三角形的三个内角都是60〬 ②等边三角形的每条边都存在三线合一； 4、等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一所在直线；（有3条对称轴） 5、等边三角形的判定： ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角是60〬的等腰三角形是等边三角形； 【题型探究】 题型一：等腰三角形的等边等角性质 1．（2024·河南郑州·模拟预测）如图，在中，分别垂直平分和，垂足为M，N．且分别交于点D，E．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）把一根长的铁丝围成一个等腰三角形，使其中一边的长比另一边的2倍少，则该三角形的边长不可能为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接，若，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 题型二：等腰三角形的三线合一问题 4．（2024·云南昭通·二模）如图，在中，，平分，若，则（　　） A．10 B．12 C．5 D．6 5．（23-24八年级下·重庆·期中）如图，在中，，，于点D，点E为中点，与交于点F，则等于（    ） A． B． C． D． 6．（2024·广西·模拟预测）如图，在中，，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线，D为的中点，M为直线上任意一点．若面积为40，且长度的最小值为10，则长为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 题型三：等腰三角形的判定 7．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，是斜边上的高，角平分线交于点M．求证：是等腰三角形； 8．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，已知中，过点作的平分线的垂线，垂足为，作交于，求证：． 9．（2024八年级上·全国·专题练习）已知如图中，，平分，平分，过作直线平行于，交，于，． (1)求证：是等腰三角形； (2)求的周长． 题型四：等边三角形的性质 10．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，是等边三角形，为中线，为上一点，且，则等于（   ） A． B． C． D． 11．（23-24八年级下·辽宁朝阳·期末）如图，是等边三角形的边的中点，是边延长线上一点，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 12．（2024·浙江杭州·二模）如图，是等边三角形，D，E分别是，边上的点，且，连接，相交于点F，则下列说法正确的是（    ） ①；②； A．① B．② C．①② D．都错 题型五：等边三角形的判定 13．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在，，，AB的垂直平分线分别交和于点． (1)若，求的长度； (2)连接，请判断的形状，并说明理由． 14．（23-24八年级上·四川绵阳·期末）如图，点D在线段上，，． (1)求证：； (2)判断是什么特殊三角形，并说明理由． 15．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，是的角平分线，，交于点F．已知． (1)求的度数． (2)若点F是的中点，请判断的形状，并说明理由． 题型六：含30°的直角三角形 16．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，是等边的角平分线，，垂足为点E，线段的垂直平分线交于点P，垂足为F，若，则的长为（    ） A．2 B． C．3 D．4 17．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，将绕点A按顺时针方向旋转一定角度得到，点B的对应点D恰好落在边上，若,，则的长为（   ） 如 A．0.5 B．1.5 C． D．1 18．（23-24七年级下·山东泰安·期末）如图所示，是等边三角形，D为的中点，，垂足为E．若，则的边长为（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 题型七：等腰（边）三角形的综合问题 19．（24-25八年级上·重庆）如图1， 在等腰 中， ，，， (1)求证 ； (2)如图2， 过点A作于点G， 交于点F， 过F作 交于点P， 交于点H． ①猜想 与 的数量关系，并证明； ②探究线段，，之间的数量关系，并证明． 20．（2024八年级上·全国·）如图，已知平分的外角，为上一点，． (1)如图，求证：； (2)判断的形状并证明； (3)如图，过点作于点，若，，求线段的长． 21．（24-25八年级上·全国）如图①，在平面直角坐标系中，，C为y轴正半轴上一点，，且． (1)点B的坐标为________； (2)如图②，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿射线方向运动；同时点Q以每秒1个单位长度的速度在边上从点B向点C运动，运动时间为，当点Q运动到点C处时，两点同时停止运动．在运动过程中： ①当是直角三角形时，求t的值； ②当是等腰三角形时，的度数是________． 【高分演练】 一、单选题 22．（24-25八年级上·重庆沙坪坝） 如图，在中，，高，高交于点H．若，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 23．（24-25八年级上·吉林长春）如图，已知，点在上，与交于点．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 24．（24-25七年级下·重庆南岸·期末）如图，在中，平分，垂直平分．若，以下结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 25．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，中，为中线，点为上一点，，交于点，且若，则（    ） A． B． C． D． 26．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，，等边的顶点B在直线b上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 27．（23-24八年级下·全国·开学考试）等腰的顶角为，过底边上一点作底边的垂线交于，交的延长线于，则是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰但非等边三角形 28．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，中，，，、分别平分、，过点作直线平行于，交、于、，则的周长为（   ） A．9 B．11 C．15 D．18 29．（23-24八年级下·全国·期末）如图，点在的平分线上，且与互补，，，将绕点任意旋转，下列说法正确的有（    ） ①；②；③；④的最小值为 A．个 B．个 C．个 D．个 30．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，，于，的平分线交于点，交于，于，的延长线交于点，下列五个结论：①；②；③；④；⑤连接，若，则，其中正确的结论有（　　） A．①②④ B．①②③ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 二、填空题 31．（24-25八年级上·全国·单元测试）如下图，在中，，，，若，则的度数是 度． 32．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，以为边在外作等边，过点作．若，，则 ． 33．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·开学考试）如图，在中，于点D，过点A作，且，上有一点F，连接，若，，，则 ． 34．（23-24八年级下·全国）如图，在中，，分别以点、为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于，，作直线，为的中点，为直线上任意一点，若，面积为，则长度的最小值为 ． 35．（24-25八年级上·江苏南京）如图，，均为等边三角形，点，，在同一条直线上，连接，，与相交于点，与相交于点，连接，下列结论正确的有 ． ①；②；③；④；⑤平分 三、解答题 36．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，中，，的垂直平分线分别交、于点D、E． (1)若，求的度数； (2)若，的长为5，求的周长． 37．（24-25八年级上·全国·期中）如图，是等边三角形，是中线，延长至点E，使． (1)求证：； (2)若F是的中点，连接，且，求的周长． 38．（23-24八年级下·四川自贡）如图，在中，是高，点是边的中点，点在边的延长线上，的延长线交于点，且，若． (1)求证：是等边三角形； (2)请判断线段与的大小关系，并说明理由． 39．（23-24八年级下·山东德州）在等边中，点在直线上，点在直线上，且，连接，，交点为． (1)如图①，猜想与的关系； (2)当点，分别在，的延长线上，如图②，其他条件不变时，与又有怎样的大小关系？请写出你的猜想并证明． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 13.3 等腰三角形 【考点归纳】 · 考点一：等腰三角形的等边等角性质 · 考点二：等腰三角形的三线合一问题 · 考点三：等腰三角形的判定 · 考点四：等边三角形的性质 · 考点五：等边三角形的判定 · 考点六：含30°的直角三角形 · 考点七：等腰（边）三角形的综合问题 【知识梳理】 考点一、等腰三角形的性质 定理：等腰三角形有两边相等；(定义) 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 （三线合一） 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。 等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 考点二、等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 考点三：等边三角形 等边三角形定义：三条边都相等的三角形；（等边三角形是特殊的等腰三角形） 等边三角形的性质： ①等边三角形的三个内角都是60〬 ②等边三角形的每条边都存在三线合一； 4、等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一所在直线；（有3条对称轴） 5、等边三角形的判定： ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角是60〬的等腰三角形是等边三角形； 【题型探究】 题型一：等腰三角形的等边等角性质 1．（2024·河南郑州·模拟预测）如图，在中，分别垂直平分和，垂足为M，N．且分别交于点D，E．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质．根据线段垂直平分线的性质，可得，再由等腰三角形的性质，可得，再由三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵分别垂直平分和， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）把一根长的铁丝围成一个等腰三角形，使其中一边的长比另一边的2倍少，则该三角形的边长不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及一元一次方程的应用，设一边为，则另一边为，再由总长为可得出方程，解出即可，注意分类讨论是解题的关键． 【详解】解：设一边为，则另一边为， 当底边为，腰长为时，， 解得， ； 当腰长为，底边为时，， 解得， ； 当两腰分别为和时，，不符合三角形三边关系； 综上所述，该三角形的边长为或或或， 故选：D． 3．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接，若，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，熟练掌握旋转的性质是解答的关键．先由旋转性质得，，，再根据等腰三角形的性质求得，进而利用三角形的外角性质求得即可． 【详解】解：由旋转性质得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 题型二：等腰三角形的三线合一问题 4．（2024·云南昭通·二模）如图，在中，，平分，若，则（　　） A．10 B．12 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一的性质，据此作答即可． 【详解】解：∵在中，，平分，， ∴， 故选：A． 5．（23-24八年级下·重庆·期中）如图，在中，，，于点D，点E为中点，与交于点F，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形三线合一，三角形的内角和定理，根据三线合一，得到平分，进而求出的度数，再利用三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：∵在中，，点E为中点， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：C． 6．（2024·广西·模拟预测）如图，在中，，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线，D为的中点，M为直线上任意一点．若面积为40，且长度的最小值为10，则长为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查线段的垂直平分线的作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一的性质，垂线段最短等知识．如图，连接，过点作于点．根据等腰三角形的三线合一的性质得出点与点重合，再根据垂线段最短，线段的垂直平分线的性质判断出最后利用三角形的面积公式求出即可． 【详解】解：如图，连接，过点作于点． ∵为中点，， ∴点与点重合， 垂直平分线段， ， ， ， ， 故选：C． 题型三：等腰三角形的判定 7．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，是斜边上的高，角平分线交于点M．求证：是等腰三角形； 【答案】见解析 【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据题意和图形，可以求得，然后即可证明结论成立． 【详解】证明：平分， ， ，， ，， ， ， ， ， ∴是等腰三角形． 8．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，已知中，过点作的平分线的垂线，垂足为，作交于，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了等腰三角形的判断与性质，用到的知识点是角平分线的定义，平行线的性质、三角形的内角和．根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，再根据，得出，，即可得出，从而得出，再根据，即可得出． 【详解】解：是的平分线， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 9．（2024八年级上·全国·专题练习）已知如图中，，平分，平分，过作直线平行于，交，于，． (1)求证：是等腰三角形； (2)求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义等． （1）首先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，可得，据此即可证得； （2）同理（1）可得，根据的周长，求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ， 平分， ， ， ， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ， 平分， ， ， ， ∵，， ∴的周长为： ． 题型四：等边三角形的性质 10．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，是等边三角形，为中线，为上一点，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，由等边三角形的性质可求解，，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得的度数，进而可求解． 【详解】解：为等边三角形， ， 是等边三角形的中线， ，， ， ， ， ， ， 故选：． 11．（23-24八年级下·辽宁朝阳·期末）如图，是等边三角形的边的中点，是边延长线上一点，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，“三线合一”以及三角形外角的定义和性质等知识，掌握“三线合一”是解答本题的关键．根据“三线合一”可得平分，可得，根据即可作答． 【详解】∵是等边三角形的边的中点， ∴平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 12．（2024·浙江杭州·二模）如图，是等边三角形，D，E分别是，边上的点，且，连接，相交于点F，则下列说法正确的是（    ） ①；②； A．① B．② C．①② D．都错 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．由“”可证，根据全等三角形的性质可得，由三角形外角的性质可求． 【详解】解：是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， 故①②正确，符合题意； 故选：C 题型五：等边三角形的判定 13．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在，，，AB的垂直平分线分别交和于点． (1)若，求的长度； (2)连接，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)等边三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． （1）连接，由垂直平分线的性质可求得，在中，由直角三角形的性质可证得，则可得出结果； （2）由垂直平分线的性质可求得，根据含30°角的直角三角形可得，因此为等腰三角形，进一步由题意可知，即可证明为等边三角形． 【详解】（1）解：如图，连接， 是的垂直平分线， ， ， ， 在中，， ， ， ． （2）是等边三角形，理由如下： 连接， 垂直平分， ∴D为AB中点， ， 在中，， ， ， 又， ∴是等边三角形． 14．（23-24八年级上·四川绵阳·期末）如图，点D在线段上，，． (1)求证：； (2)判断是什么特殊三角形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形，见解析 【分析】本题考查了三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，证明是解答本题的关键． （1）先证明，然后根据可证； （2）由全等三角形的性质得，结合可证是等边三角形． 【详解】（1）∵， ， ∴， 在和中， ， ∴； （2）答：是等边三角形． 理由：∵ ∴， 又∵， ∴是等边三角形． 15．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，是的角平分线，，交于点F．已知． (1)求的度数． (2)若点F是的中点，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是等边三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形角平分线的定义，等边三角形的判定； （1）根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义得到，即可得到答案； （2）由（1）得：，从而得到，再由点F是的中点，可得，然后根据，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为； （2）解：是等边三角形，理由： 由（1）得：， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 题型六：含30°的直角三角形 16．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，是等边的角平分线，，垂足为点E，线段的垂直平分线交于点P，垂足为F，若，则的长为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，含30度直角三角形的性质．连接，由线段垂直平分线的性质可得，由等边对等角可得，由是等边的角平分线，根据等边三角形的性质可得，，进而可得，然后由直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，可得，，然后由，可得，代入数据计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵线段的垂直平分线交于点P， ∴， ∴， ∵是等边的角平分线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 17．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，将绕点A按顺时针方向旋转一定角度得到，点B的对应点D恰好落在边上，若,，则的长为（   ） 如 A．0.5 B．1.5 C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、三角形的内角和定理及其外角性质，熟练掌握旋转的性质是解答的关键．先求得，再由旋转性质得，，利用含30度角的直角三角形的性质和等腰三角形的判定与性质得到即可． 【详解】解：在中，，， ∴， 由旋转性质得，，又， ∴，， ∴， ∴． 故选：D． 18．（23-24七年级下·山东泰安·期末）如图所示，是等边三角形，D为的中点，，垂足为E．若，则的边长为（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于；在直角三角形中角所对应的边是斜边的一半是解题的关键． 根据题意可知，在直角三角形中求得的长，即可求得的长． 【详解】解：∵是等边三角形，D为的中点，，垂足为点E．若， ∴在直角三角形中，，，， ∴， 又∵D为的中点， ∴， ∴等边三角形的边长为12， 故选：A． 题型七：等腰（边）三角形的综合问题 19．（24-25八年级上·重庆）如图1， 在等腰 中， ，，， (1)求证 ； (2)如图2， 过点A作于点G， 交于点F， 过F作 交于点P， 交于点H． ①猜想 与 的数量关系，并证明； ②探究线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)① ，见解析； ② ，见解析 【分析】本题考查了全等三角形性质和判定，等腰直角三角形的性质，垂直定义，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定方法并找出全等的条件是解题的关键． （1）根据题干条件即可直接证得，从而证得； （2）①由（1）可知，从而可得，结合，，可知，从而可得； ②过点作交的延长线于点，延长交于点，先证，可得，，从而可证，可得，，从而可得，，即可推出． 【详解】（1）证明：由题可得： 在与中， ， ， ； （2）解：① ， 证明：， ， 由（1）可知：， ， ，， ， ； ②， 证明：如图，过点作交的延长线于点，延长交于点， ， ， ， ， ， 即， ，， ， ，， ，，， ， ，， ， ， ． 20．（2024八年级上·全国·）如图，已知平分的外角，为上一点，． (1)如图，求证：； (2)判断的形状并证明； (3)如图，过点作于点，若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰三角形，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理以及对顶角相等即可解决问题； （2）在射线上截取，连接，证明，得到，再证明即可； （3）作于点E证明，即可． 【详解】（1）如图，设交于点． ，， 又，， （2）结论：是等腰三角形． 理由：在射线上截取，连接． 平分， ． 在和中， ∵， ， ，． ， ， ， ，即为等腰三角形； （3）如图，作于点G． 平分，，， ． 在和中， ， ． 在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题． 21．（24-25八年级上·全国）如图①，在平面直角坐标系中，，C为y轴正半轴上一点，，且． (1)点B的坐标为________； (2)如图②，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿射线方向运动；同时点Q以每秒1个单位长度的速度在边上从点B向点C运动，运动时间为，当点Q运动到点C处时，两点同时停止运动．在运动过程中： ①当是直角三角形时，求t的值； ②当是等腰三角形时，的度数是________． 【答案】(1) (2)①t的值为或2；② 【分析】（1）根据直角三角形的性质求出，根据含角的直角三角形的性质求出的长，即可得出答案； （2）①分和两种情况，根据含角的直角三角形的性质计算即可； ②分两种情况：当点P在边上时，当点P在边的延长线上时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵，， ， ∵， ∴， ∴； （2）解：由题意得：，， ， ， ①分两种情况：当时，如图所示：    ∵， ∴， ， 即， 解得：； 当时，如图所示：    ∴， ∴， 即， 解得：； 综上分析可知：当是直角三角形时，求t的为或2； ②当点P在边上时，如图所示： ∵是等腰三角形，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得：，符合题意； 当点P在边的延长线上时，如图所示： ∵， ∴当是等腰三角形时，一定是顶角， ∴， ∴， 解得：， ∵点Q在上，当点Q运动到点C处时，两点同时停止运动，且， ∴， ∴此时不符合题意，舍去． 综上分析可知，当是等腰三角形时，的度数是． 【点睛】本题主要考查的是等腰三角形的概念、直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，坐标与图形，灵活运用分情况讨论思想、掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键． 【高分演练】 一、单选题 22．（24-25八年级上·重庆沙坪坝） 如图，在中，，高，高交于点H．若，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定、全等三角形对应边相等的性质．解决本题的根据是证明．先由已知得到，根据三角形面积求出，证明，即可求得继而可得答案． 【详解】解：，， ∴为等腰直角三角形， ， ∵， ∴， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故选：B． 23．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，已知，点在上，与交于点．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，根据全等三角形的性质得到，，，根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质推出，再根据平角的定义求解即可．掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴，， 即， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：B． 24．（24-25七年级下·重庆南岸·期末）如图，在中，平分，垂直平分．若，以下结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的外角性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键，由垂直平分．得，进而得，再证，可得，即可得解． 【详解】解： 垂直平分． ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故选项正确； 故选． 25．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，中，为中线，点为上一点，，交于点，且若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质正确做出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 延长至点，使，连接，证明，再运用全等三角形的性质可得，，然后运用等腰三角形的性质可得，进而求解即可 【详解】解：如图，延长至点，使，连接． 因为，， 所以． 所以，． 因为， 所以． 又因为， 所以， 所以． 所以． 故选B． 26．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，，等边的顶点B在直线b上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，等边三角形的性质，过C作 直线l，根据等边三角形性质求出，根据平行线的性质求出，，即可求出答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 过C作 直线l， ∵直线 直线m， ∴直线 直线， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 27．（23-24八年级下·全国·开学考试）等腰的顶角为，过底边上一点作底边的垂线交于，交的延长线于，则是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰但非等边三角形 【答案】A 【分析】此题主要考查了等边三角形的判定，综合利用了等腰三角形和直角三角形的性质．根据是等腰三角形，且，可得，，由，可得，推出，，结合对顶角相等即可求解． 【详解】解：根据题意画出示意图如图， 是等腰三角形，且， ，， ， ， ，， ， ， 是等边三角形． 故选：A． 28．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，中，，，、分别平分、，过点作直线平行于，交、于、，则的周长为（   ） A．9 B．11 C．15 D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质，等腰三角形的判定，通过等量代换证明，，进而得出，，即可求解． 【详解】解： ， ，， 中，和的平分线相交于点， ，， ，， ，， ，， 的周长为：． 故选：C． 29．（23-24八年级下·全国·期末）如图，点在的平分线上，且与互补，，，将绕点任意旋转，下列说法正确的有（    ） ①；②；③；④的最小值为 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】作于，于，由平分，，，可推出，根据勾股定理和角平分线的性质可得，证明得到，证明得到，，由，可判断①；根据，可判断②；根据将绕点任意旋转时，的长度是变化的，可判断③；证明是等边三角形，得到，当，时，有最小值，可判断④． 【详解】解：如图，作于，于， ， ， ， ， ， 平分，，，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，故①正确； ，故②正确； 将绕点任意旋转时，的长度是变化的，故③错误； ，， 是等边三角形， ， ，，即时，有最小值，最小值为，故④正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形． 30．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，，于，的平分线交于点，交于，于，的延长线交于点，下列五个结论：①；②；③；④；⑤连接，若，则，其中正确的结论有（　　） A．①②④ B．①②③ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角两锐角互余，等腰三角形的判定与性质，三角形中线的性质等知识，证明，可得，故①正确；由，可得，再证明为等腰三角形，从而得到，进而得到，易知，故②正确；结合可得，进而证明，故③正确；根据题意无法确定的大小关系，则无法得到，故④错误；结合三角形中线的性质可得，，进而可得，故⑤正确；熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵，， ∴ ， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； 根据题意无法确定的大小的大小关系， 无法得到，故④错误； ∵， ∴，， ∴， 即， 又∵， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有①②③⑤， 故选：． 二、填空题 31．（24-25八年级上·全国·单元测试）如下图，在中，，，，若，则的度数是 度． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，由等腰三角形的性质可得，进而可证明，得到，即可得，最后根据平角的定义即可求解，掌握等腰三角形的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 32．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，以为边在外作等边，过点作．若，，则 ． 【答案】7.8 【分析】此题考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，正确地作出辅助线，构造全等三角形和含有角的直角三角形是解决问题的关键．过点作于，根据得，再根据等边三角形性质得，，则，由此得，据此可依据“”判定和全等，从而得，则，进而在根据直角三角形性质得，据此可得的长． 【详解】解：过点作于，如图所示： ， ， 为等边三角形， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 故答案为： 33．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·开学考试）如图，在中，于点D，过点A作，且，上有一点F，连接，若，，，则 ． 【答案】5 【分析】在上截取，连接，过点作，先证明，得到，，再证明，得到，进而得到，推出，设，则，根据同高三角形的面积比等于底边比，得到，即可得出结果． 【详解】解：在上截取，连接，过点作， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：5． 【点睛】本题考查中垂线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识点，综合性强，难度大，属于填空题中的压轴题，正确的添加辅助线，构造特殊三角形和全等三角形，是解题的关键． 34．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，，分别以点、为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于，，作直线，为的中点，为直线上任意一点，若，面积为，则长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点，连接，由题意得是的垂直平分线，推出即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 由题意得：是的垂直平分线， ∴ ∴ ∵，为的中点， ∴ ∵，， ∴ ∴长度的最小值为, 故答案为： 35．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，，均为等边三角形，点，，在同一条直线上，连接，，与相交于点，与相交于点，连接，下列结论正确的有 ． ①；②；③；④；⑤平分 【答案】①②③⑤ 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的判定，解题的关键是可先证明，可判断①；再证明，可判断②；可证明为等边三角形，可判断③；利用等边三角形的三线合一可判断④，最后根据全等的性质得到，，再利用角平分线的判定可求得答案． 【详解】解：，均为等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ，故①正确； ， 又由上可知， ， 在和中， ， ， ，故②正确； 为等边三角形， ， ，故③正确； 若，则平分， 则，而由条件无法得出这一条件， 故④不正确； ∵， ∴，， ∴点B到、的距离相等， ∴B点在的平分线上， 即平分； ∴⑤正确； 综上可知正确的有①②③⑤， 故答案为：①②③⑤． 三、解答题 36．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，中，，的垂直平分线分别交、于点D、E． (1)若，求的度数； (2)若，的长为5，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质,三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，求出的度数，计算即可； （2）根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式计算即可． 【详解】（1）解：，， ， 垂直平分， ， ， ； （2）解：垂直平分， ， ， ，， 周长为． 37．（24-25八年级上·全国·期中）如图，是等边三角形，是中线，延长至点E，使． (1)求证：； (2)若F是的中点，连接，且，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得到.进一步证明，，即可得到结论； （2）求出，得到，则.即可得到，由是等边三角形即可得答案． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴. 又∵是中线， ∴平分， ∴. ∵， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴ （2）解：由（1）可知， 又∵F是的中点， ∴. ∵， ∴. 又∵为直角三角形， ∴， ∴. ∵是中线， ∴ ∵是等边三角形， ∴， ∴的周长为 38．（23-24八年级下·四川自贡·开学考试）如图，在中，是高，点是边的中点，点在边的延长线上，的延长线交于点，且，若． (1)求证：是等边三角形； (2)请判断线段与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解答过程 (2)，理由见解答过程 【分析】（1）根据线段垂直平分线的判定与性质求出，根据直角三角形的性质求出，根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”即可得解； （2）根据等边三角形的性质及三角形外角性质求出，根据等腰三角形的判定定理即可得解． 【详解】（1）证明：，点是边的中点， 垂直平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形； （2）解：，理由如下： 是等边三角形， ， ，， ， ， 点是边的中点， ， ． 【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定等知识，熟记等边三角形的判定与性质是解题的关键． 39．（23-24八年级下·山东德州·开学考试）在等边中，点在直线上，点在直线上，且，连接，，交点为． (1)如图①，猜想与的关系； (2)当点，分别在，的延长线上，如图②，其他条件不变时，与又有怎样的大小关系？请写出你的猜想并证明． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定定理和性质定理，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法和性质定理是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质和证明，再根据全等的性质得到，最后根据三角形外角的性质得出结论． （2）同理，先证，再根据全等的性质得到，再根据三角形外角的性质以及等边三角形的性质得出结论． 【详解】（1）猜想，理由如下： 在等边中，，， 又∵， ∴在和中 ， ∴， ∴， ∴． （2）猜想，理由如下： 在等边中，，， 又∵， 在和中  ,    ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$