2.4 圆的方程（八个重难点突破）-2024-2025学年高二第一学期数学重难点突破及易错点分析（人教A版）

2.4圆的方程 一、圆的标准方程 五、点与圆的位置关系 二、一般方程与标准方程的转化 六、点到圆的距离的最值 三、方程表示圆的条件 七、圆的对称问题 四、求圆的方程 八、轨迹问题 知识点1 圆的标准方程 1．圆的定义：圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合． 2．圆的标准方程：我们把方程称为圆心为,半径为r的圆的标准方程． 3．几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程形式 过原点 圆心在原点 圆心在x轴上 圆心在y轴上 圆心在x轴上且过原点 圆心在y轴上且过原点 与x轴相切 与y轴相切 重难点一 圆的标准方程 【例1】以为圆心，为半径的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【例2】已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】平面直角坐标系中，以为圆心，且经过原点的圆的方程为 . 【变式1-2】圆心在y轴，半径为1且过点的圆的标准方程为： 【变式1-3】已知点在以原点为圆心，半径的圆上，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 知识点2 圆的一般方程 1．圆的一般方程 当时,方程表示一个圆．我们把方程叫做圆的一般方程． 2．对方程的说明 对方程配方得，与0的大小关系对方程图形的影响如下表： 条件 图形 不表示任何图形 表示一个点 表示以为圆心,以为半径的圆 重难点二 一般方程与标准方程的转化 【例3】已知圆，则圆心、半径的长分别是（    ） A． B． C． D． 【例4】已知圆的直径为4，则（    ） A． B． C．圆心为 D．圆心为 【变式2-1】已知圆的圆心坐标为，且点在圆上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知直线：经过圆：的圆心，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】过四点，，，中的三点的圆的方程可能为（    ） A． B． C． D． 重难点三 方程表示圆的条件 【例5】若表示圆的方程，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例6】（多选）已知圆的方程为，则下列结论中正确的是（    ） A．实数k的取值范围是 B．实数k的取值范围是 C．当圆的周长最大时，圆心坐标是 D．圆的最大面积是π 【变式3-1】写出满足“点在圆外部”的一个的值： ． 【变式3-2】已知，方程表示圆，圆心为 ． 【变式3-3】已知方程表示一个圆. (1)求实数m的取值范围； (2)求圆的周长的最大值. 重难点四 求圆的方程 【例7】与圆同圆心，且过点的圆的方程是： . 【例8】已知圆，圆心在直线上，且圆心在第二象限，半径长为. (1)求圆C的一般方程； (2)判断和圆的位置关系． 【变式4-1】求适合下列条件的圆的方程. (1)求过两点，且圆心在直线上的圆的标准方程. (2)已知的顶点为，，，求外接圆的一般方程. 【变式4-2】已知圆经过点和，该圆与两坐标轴的四个截距之和为，求圆的方程. 【变式4-3】如图，在四边形ABCD中，，，，，直线AB与CD间的距离为3.建立适当的平面直角坐标系，求四边形ABCD外接圆的方程，并求该圆的圆心坐标和半径. 知识点3 点与圆的位置关系 点与圆的位置关系： （1）点在圆外； （2）点在圆上； （3）点在圆内. 重难点五 点与圆的位置关系 【例9】已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例10】已知点在圆外，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 【变式5-1】若以连续掷两次骰子分别得到的点数m，n作为点P的横、纵坐标，则点P在圆内的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知点在圆内，则直线与圆的位置关系是 . 【变式5-3】已知圆心为的圆经过点，. (1)求圆的标准方程； (2)已知在圆C外，求的取值范围. 知识点4圆上的点到定点的最大、最小距离 设圆心到定点的距离为,圆的半径为,圆上的动点为: （1）若点在圆外,则; （2）若点在圆上,则; （3）若点在圆内,则. 综上,. 重难点六 点到圆的距离的最值 【例11】已知圆经过点，则其圆心到原点的距离的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【例12】若点是圆上任意一点，则的最大值是 ． 【变式6-1】已知为圆上的一动点，为坐标原点，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6-2】已知为圆上一点，为圆上一点，则点到点的距离的最大值为 . 【变式6-3】已知点为圆上一点，点，当变化时线段AB长度的最小值为 . 重难点七 圆的对称问题 【例13】若曲线上相异两点P、Q关于直线对称，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【例14】若圆：和圆：的交点为A，B，则线段的中垂线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】若圆（，）被直线平分，则的最大值为 . 【变式7-2】（多选）已知直线与圆，下列说法正确的是（    ） A．所有圆均不经过点 B．若关于对称，则 C．若与相交于且，则 D．存在圆与轴与轴均相切 【变式7-3】直线l过点，且与圆C：相交所形成的长度为整数的弦的条数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 重难点八 轨迹问题 【例15】点与圆上任意一点连线的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【例16】已知，，圆上存在点P，使得，则a的最大值为（    ） A． B． C．3 D．4 【变式8-1】古希腊数学家阿波罗尼奥斯证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，设，，动点M满足，则动点M的轨迹方程为 ． 【变式8-2】已知直线：，点，，点在直线上的射影为，则线段长度的取值范围为 . 【变式8-3】已知圆，点的坐标为，过点作直线交圆于两点，则的取值范围为 一、单选题 1．已知圆心为点，且过点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．曲线 的长度是（    ） A． B． C． D． 3．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．如动点M与两定点的距离之比为时，则动点M所形成的轨迹阿波罗尼斯圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 4．已知方程，则下列说法不正确的是（    ） A．当时，方程表示圆心为的圆 B．当时，方程表示圆心为的圆 C．当时，方程表示的圆的半径为 D．当时，方程表示的圆与y轴相切 5．已知两点，，点P是圆上任意一点，则面积的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 6．已知O为坐标原点，点A是圆C：上的动点，延长OA至点B，使得，则当最大时，点A的坐标是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．设圆，则下列命题正确的是（    ） A．所有圆的面积都是 B．存在，使得圆C过点 C．经过点的圆C有且只有一个 D．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上 8．若直线与相交于点P，O为坐标原点，则的值可以为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 三、填空题 9．若圆关于直线对称的圆恰好过点，则实数的值为 . 10．已知圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为 ． 11．已知圆:，点，.设是圆上的动点，令，则的最小值为 ． 四、解答题 12．某圆拱梁的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB是36m，拱高OP是6m，在建造时，每隔3m需要一个支柱支撑，求支柱的长（精确到0.01m）．      13．①过点，②圆G恒被直线平分，③与y轴相切；在以上三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 已知圆G经过点，，且_____. (1)求圆G的一般方程： (2)设，P是圆G上的动点，求线段的中点M的轨迹方程，并说明表示何曲线?注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 14．已知某圆的圆心在直线上，且该圆过点，半径为，直线l的方程为． (1)求此圆的标准方程； (2)若直线l过定点A，点B，C在此圆上，且，求的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.4圆的方程 一、圆的标准方程 五、点与圆的位置关系 二、一般方程与标准方程的转化 六、点到圆的距离的最值 三、方程表示圆的条件 七、圆的对称问题 四、求圆的方程 八、轨迹问题 知识点1 圆的标准方程 1．圆的定义：圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合． 2．圆的标准方程：我们把方程称为圆心为,半径为r的圆的标准方程． 3．几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程形式 过原点 圆心在原点 圆心在x轴上 圆心在y轴上 圆心在x轴上且过原点 圆心在y轴上且过原点 与x轴相切 与y轴相切 重难点一 圆的标准方程 【例1】以为圆心，为半径的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据圆的标准方程可写出， 故选：A. 【例2】已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆的圆心为， 圆的圆心为， 所以、的中点坐标为，又， 则，所以直线的方程为，即. 故选：A 【变式1-1】平面直角坐标系中，以为圆心，且经过原点的圆的方程为 . 【答案】 【详解】设圆的半径为，则圆的方程为， 又圆过点，所以， 所以圆的方程为. 故答案为： 【变式1-2】圆心在y轴，半径为1且过点的圆的标准方程为： 【答案】 【详解】依题意，设圆心为，则，解得， 所以所求圆的标准方程是. 故答案为： 【变式1-3】已知点在以原点为圆心，半径的圆上，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【详解】由题意可得点的坐标满足，所以，． 因此， . 当且仅当时，即时取等号． 故选: D． 知识点2 圆的一般方程 1．圆的一般方程 当时,方程表示一个圆．我们把方程叫做圆的一般方程． 2．对方程的说明 对方程配方得，与0的大小关系对方程图形的影响如下表： 条件 图形 不表示任何图形 表示一个点 表示以为圆心,以为半径的圆 重难点二 一般方程与标准方程的转化 【例3】已知圆，则圆心、半径的长分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以圆心，半径长是. 故选：B. 【例4】已知圆的直径为4，则（    ） A． B． C．圆心为 D．圆心为 【答案】D 【详解】根据题意，圆，即， 其圆心为，其半径为， 若其直径为4，则，解可得， 故选：D． 【变式2-1】已知圆的圆心坐标为，且点在圆上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为圆的圆心坐标为，所以设圆的方程为：， 由点在圆上，则，得， 则圆的方程为：，即， 故选：A. 【变式2-2】已知直线：经过圆：的圆心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为圆：的为：， 直线：经过圆心， 所以有， 此时圆的方程为，，符合题意， 故选：A. 【变式2-3】过四点，，，中的三点的圆的方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设过点，，的圆的方程为， 所以，解得， 即方程为，或； 设过点，，的圆的方程为， 所以，解得， 即方程为，或； 设过点，，的圆的方程为， 所以，解得， 即方程为，； 设过点，，的圆的方程为， 所以，解得， 即方程为，或， 故选：D. 重难点三 方程表示圆的条件 【例5】若表示圆的方程，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为方程表示一个圆，所以， 解得， 所以的取值范围是. 故选：D 【例6】（多选）已知圆的方程为，则下列结论中正确的是（    ） A．实数k的取值范围是 B．实数k的取值范围是 C．当圆的周长最大时，圆心坐标是 D．圆的最大面积是π 【答案】ACD 【详解】将圆的方程为化为标准式为， 由，解得，故A正确，B错误； 当时，圆的半径最大，则圆的周长以及面积最大， 此时半径为，圆心坐标为，则圆的面积为，故CD正确； 故选：ACD 【变式3-1】写出满足“点在圆外部”的一个的值： ． 【答案】4（答案不唯一， ） 【详解】圆，则， 由点在圆外部，得， 解得，取. 故答案为：4 【变式3-2】已知，方程表示圆，圆心为 ． 【答案】 【详解】由题意得，解得或， 当时，方程化为，此时， 所以此方程表示圆，， 所以圆的圆心为，半径为5， 当时，方程化为， 即， 此时，所以此方程不表示圆， 综上，圆心为， 故答案为： 【变式3-3】已知方程表示一个圆. (1)求实数m的取值范围； (2)求圆的周长的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）原方程可化为， 若方程表示一个圆，则，解得， 即实数m的取值范围是. （2）圆的半径，当且仅当时，半径r取得最大值，所以圆的周长的最大值为. 重难点四 求圆的方程 【例7】与圆同圆心，且过点的圆的方程是： . 【答案】 【详解】设所求圆的一般式方程为， 代入点，可得，解得， 所以，所求圆的方程为. 【例8】已知圆，圆心在直线上，且圆心在第二象限，半径长为. (1)求圆C的一般方程； (2)判断和圆的位置关系． 【答案】(1); (2)点在圆C上. 【详解】（1）由题意可得：因为圆,所以圆心， 因为圆心在直线上，半径长为，且圆心在第二象限. 所以，解得：, 故圆C的一般方程为：. （2）将点代入圆C的一般方程为, 得：，故点在圆C上. 【变式4-1】求适合下列条件的圆的方程. (1)求过两点，且圆心在直线上的圆的标准方程. (2)已知的顶点为，，，求外接圆的一般方程. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）因为圆心在直线上，设圆心为， 因为点，在圆上，所以， 即，解得， 所以圆心，半径， 所以圆的标准方程为； （2）设的外接圆为， 将，，代入可得： ，解得， 所以的外接圆为. 【变式4-2】已知圆经过点和，该圆与两坐标轴的四个截距之和为，求圆的方程. 【答案】. 【详解】设圆的一般方程为，由圆经过点和， 代入圆的一般方程，得(*) 设圆在轴上的截距为、，则它们是方程的两个根，得. 设圆在轴上的截距为、，则它们是方程的两个根，得. 由已知，得，即.　③ 由(*)③联立解得. 故所求圆的方程为. 【变式4-3】如图，在四边形ABCD中，，，，，直线AB与CD间的距离为3.建立适当的平面直角坐标系，求四边形ABCD外接圆的方程，并求该圆的圆心坐标和半径. 【答案】答案不唯一 【详解】解法一：设AB中点为O，CD中点为M，连接OM. 则四边形ABCD关于直线OM对称. 则，. 如图，以O为坐标原点，以AB为x轴，以OM为y轴建立平面直角坐标系. 则，， 且四边形ABCD的外接圆圆心在y轴上，设为. 则， 即. 化为，解得. 则，故所求圆的方程为. 其圆心坐标为，半径为. 解法二：过D作AB的垂线，垂足为H. 则，. 如图，以A为坐标原点，以AB为x轴，以过A且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系. 则，，. 设所求圆的方程为. 因为A，B，D在该圆上， 所以. 解得：. 即所求圆的方程为. 化为. 其圆心坐标为，半径为. 知识点3 点与圆的位置关系 点与圆的位置关系： （1）点在圆外； （2）点在圆上； （3）点在圆内. 重难点五 点与圆的位置关系 【例9】已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，圆的标准方程为， 故，， 又点在圆外，所以， ，或， 所以m的取值范围为． 故选：D. 【例10】已知点在圆外，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 【答案】B 【详解】由题意点在圆外，则， 而圆的圆心到直线的距离为， 其中为圆的半径，故直线与圆的位置关系是相交. 故选：B. 【变式5-1】若以连续掷两次骰子分别得到的点数m，n作为点P的横、纵坐标，则点P在圆内的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】点所有可能的情况共种， 其中点P在圆内的所有情形有共6种， 因此所求概率为. 故选：B. 【变式5-2】已知点在圆内，则直线与圆的位置关系是 . 【答案】相离 【详解】因为点在圆内，所以， 圆的圆心到直线的距离为， 又，则，所以直线与圆相离. 故答案为：相离. 【变式5-3】已知圆心为的圆经过点，. (1)求圆的标准方程； (2)已知在圆C外，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）解：设圆的标准方程为：， 代入，， 得，解得：， 所以圆的标准方程为：； （2）解：因为在圆C外， 所以， 又因为，， 所以， 解得或， 所以的取值范围为：. 知识点4圆上的点到定点的最大、最小距离 设圆心到定点的距离为,圆的半径为,圆上的动点为: （1）若点在圆外,则; （2）若点在圆上,则; （3）若点在圆内,则. 综上,. 重难点六 点到圆的距离的最值 【例11】已知圆经过点，则其圆心到原点的距离的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】由圆经过点，可得， 即，故圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 又，所以圆心到原点的距离的最大值为. 故选：C 【例12】若点是圆上任意一点，则的最大值是 ． 【答案】/ 【详解】解：圆化为标准方程为：， 记圆心为，半径为， 令， 则， 得为点到原点的距离，其最大值为：， 则的最大值为：， 故答案为： 【变式6-1】已知为圆上的一动点，为坐标原点，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】的圆心为，半径为， 由题意得，故在圆外， 所以的最大值为． 故选：D 【变式6-2】已知为圆上一点，为圆上一点，则点到点的距离的最大值为 . 【答案】 【详解】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 所以， 当且仅当共线，且在中间时取等号， 所以点到点的距离的最大值为， 故答案为：. 【变式6-3】已知点为圆上一点，点，当变化时线段AB长度的最小值为 . 【答案】 【详解】 圆的圆心坐标为，半径，所以圆心在直线：上， 当时线段的长度最小， 点到直线的距离， 所以. 故答案为：. 重难点七 圆的对称问题 【例13】若曲线上相异两点P、Q关于直线对称，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】若曲线上相异两点P、Q关于直线对称， 则圆心在直线上，故代入解得， 故选：D． 【例14】若圆：和圆：的交点为A，B，则线段的中垂线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得，，圆心为， 由可得，，圆心为， 根据圆的对称性可知，即线段的中垂线， 故其方程为：，即. 故选：B. 【变式7-1】若圆（，）被直线平分，则的最大值为 . 【答案】/ 【详解】圆，即，圆心为，半径为， 因为圆（，）被直线平分， 则直线过圆心，即， 所以，当且仅当时等号成立. 故答案为：. 【变式7-2】（多选）已知直线与圆，下列说法正确的是（    ） A．所有圆均不经过点 B．若关于对称，则 C．若与相交于且，则 D．存在圆与轴与轴均相切 【答案】AB 【详解】A选项，由， 整理得，方程无解，所以A选项正确. B选项，圆的圆心为， 若关于对称，则直线过圆心，即，B选项正确. C选项，圆心到直线的距离， ，， 由，解得或，C选项错误. D选项，若圆与轴与轴均相切，则， 此方程无解，所以D选项错误. 故选：AB 【变式7-3】直线l过点，且与圆C：相交所形成的长度为整数的弦的条数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【详解】由题设，圆的圆心为，且半径， 而，即点在圆内，且圆心到该点的距离， 当直线与、的连线垂直时，弦长最短为， 而最长弦长为圆的直径为，故所有弦的弦长范围为， 所以相交所形成的长度为整数的弦，弦长为， 根据圆的对称性，弦长为各有2条，弦长为2的只有1条， 综上，共9条. 故选：D 重难点八 轨迹问题 【例15】点与圆上任意一点连线的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设圆上任意一点为，中点为， 则，可得， 代入得， 化简得． 故选：D． 【例16】已知，，圆上存在点P，使得，则a的最大值为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【详解】设，，，若， 则， 即，即点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆， 由条件可知，圆与圆有交点， 则，解得：， 所以的最大值为. 故选：B 【变式8-1】古希腊数学家阿波罗尼奥斯证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，设，，动点M满足，则动点M的轨迹方程为 ． 【答案】 【详解】设，由，得， 可得：，即， 整理得，故动点的轨迹方程为. 故答案为：. 【变式8-2】已知直线：，点，，点在直线上的射影为，则线段长度的取值范围为 . 【答案】 【详解】由直线方程可知， 联立，解得，则该直线过定点， 因为点在直线上的射影为，且， 所以的轨迹为以为直径的圆，圆的方程为， 所以圆心为，， 因为，所以，则， 因此长度的取值范围为. 故答案为： 【变式8-3】已知圆，点的坐标为，过点作直线交圆于两点，则的取值范围为 【答案】. 【详解】取中点为，连接，如图所示： 则，又，， 故点的轨迹为以为直径的圆，圆心为，半径为， 因为，， 所以，即，则. 故答案为：. 一、单选题 1．已知圆心为点，且过点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得圆的半径为， 则圆的方程为. 故选：A. 2．曲线 的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由曲线，可得，其中， 如图所示，曲线表示的轨迹为弧，且扇形所在圆的半径为，且， 所以曲线表示的长度为. 故选：A. 3．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．如动点M与两定点的距离之比为时，则动点M所形成的轨迹阿波罗尼斯圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，设， 又动点M与两定点的距离之比为，即， 所以，整理可得，即， 所以动点M所形成的轨迹阿波罗尼斯圆的方程为，其圆心为. 故选：A. 4．已知方程，则下列说法不正确的是（    ） A．当时，方程表示圆心为的圆 B．当时，方程表示圆心为的圆 C．当时，方程表示的圆的半径为 D．当时，方程表示的圆与y轴相切 【答案】A 【详解】由题意，方程，可化为， 当时，，方程表示点，故A错误； 当时，，方程表示圆心为的圆，故B正确； 当时，，方程表示的圆的半径为，故C正确； 当时，，方程表示的圆的半径为，圆心为，与轴相交，故D正确， 故选：A. 5．已知两点，，点P是圆上任意一点，则面积的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【详解】两点，，则，直线方程为， 圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 因此点到直线距离的最小值为， 所以面积的最小值是. 故选：D 6．已知O为坐标原点，点A是圆C：上的动点，延长OA至点B，使得，则当最大时，点A的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设点， 则，代入圆C的方程得，得， 则点B的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 此时O，C，D三点共线，且点D在圆C上， 数形结合可知当A与D重合时最大， 此时点A的坐标为. 故选：B. 二、多选题 7．设圆，则下列命题正确的是（    ） A．所有圆的面积都是 B．存在，使得圆C过点 C．经过点的圆C有且只有一个 D．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上 【答案】AD 【详解】对于A，由于每个圆的半径都是，故面积都是，A正确； 对于B，由于，故圆C必定不过，B错误； 对于C，对和，均有，故，即圆C经过点，C错误； 对于D，圆心始终在直线上，D正确. 故选：AD. 8．若直线与相交于点P，O为坐标原点，则的值可以为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】ABC 【详解】已知直线与， 由，得. 由直线，则不垂直于轴，不过原点， 令， 则直线恒过定点， 当点与重合时，则过，，解得， 此时，故A正确； 由直线，直线不垂直于轴，也不过原点， 令， 则直线恒过定点， 当点与重合时，则过，，解得， 此时，故B正确； 当时，，则两直线交点， 此时，故C正确； 当点不与重合时， 设两条直线交于点，则， 则交点的轨迹为以为直径的圆，且点与或重合时，都满足题意，但原点除外. 且圆的圆心为的中点，圆的半径， 则圆的方程为，不包含原点. 由，则点也在圆上，则的取值范围为， 故，故D错误. 故选：ABC.    三、填空题 9．若圆关于直线对称的圆恰好过点，则实数的值为 . 【答案】4 【详解】依题意，点关于直线的对称点在圆上， 则，解得，因此点在圆上， 则，解得， 所以实数的值为4. 故答案为：4 10．已知圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为 ． 【答案】 【详解】由圆经过点和，可知圆心在直线上， 又圆心在直线上，联立，得， 所以的坐标为，半径， 所以圆的方程为， 故答案为： 11．已知圆:，点，.设是圆上的动点，令，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】 由已知，， 设，，， 所以， 因为，所以当取得最小值时，取得最小值， 由的最小值为， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 12．某圆拱梁的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB是36m，拱高OP是6m，在建造时，每隔3m需要一个支柱支撑，求支柱的长（精确到0.01m）．      【答案】5.39m 【详解】以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点，建立直角坐标系xOy， 易知点A，B，P的坐标分别为，，． 设圆拱所在的圆的方程是． 因为点A，B，P在所求的圆上， 所以，解得． 故圆拱所在的圆的方程是． 将点的横坐标代入上述方程，解得（负值舍去）； 即支柱的长约为5.39m． 13．①过点，②圆G恒被直线平分，③与y轴相切；在以上三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 已知圆G经过点，，且_____. (1)求圆G的一般方程： (2)设，P是圆G上的动点，求线段的中点M的轨迹方程，并说明表示何曲线?注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)，M的轨迹是一个圆. 【详解】（1）方案一：选条件①. 设圆的方程为， 则，解得， 则圆G的方程为. 方案二：选条件② 直线恒过点. 因为圆G恒被直线平分，所以恒过圆心， 所以圆心坐标为，又圆G经过点， 所以圆的半径，所以圆G的方程为，即. 方案三：选条件③ 设圆G的方程为， 由题意可得，解得， 则圆G的方程为，即. （2）设，因为M为线段的中点，所以， 因为点P是圆G上的动点，所以， 即， 所以M的轨迹是一个圆.    14．已知某圆的圆心在直线上，且该圆过点，半径为，直线l的方程为． (1)求此圆的标准方程； (2)若直线l过定点A，点B，C在此圆上，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可设此圆的方程为， 把点坐标代入得，则， 所以圆的标准方程为． （2） 直线l方程为，即， 则有，可得定点， 取线段BC中点为，则，令原点为O，， 即，化简可得， 即D的轨迹是以为圆心，为半径的圆， A到D轨迹圆心距离为，则的取值范围为， 所以的取值范围为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$