2.7用坐标方法解决几何问题（2知识点+5题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（湘教版2019选择性必修第一册）

2.7 用坐标方法解决几何问题 课程标准 学习目标 （1）能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题。 （1）理解坐标方法的意义; （2） 会利用坐标方法解决几何问题和实际问题；（3）掌握求轨迹方程的方法.（难点) 知识点01 建系法 笛卡尔创立解析几何后，人们借助坐标系把形与数联系起来，使几何问题可以通过建立坐标，用代数方法来解决。在将几何问题转化为代数问题并实施代数运算的过程中，我们可以利用几何定理得出坐标之间的关系，也可以将图形用向量语言来描述，用向量运算来解决，再转化为坐标之间的关系 【即学即练1】 已知：四边形ABCD，.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】建立平面直角坐标系，设点的坐标，代入两点距离公式即可证明. 【详解】如图，以AC所在的直线为x轴，过点B垂直于AC的直线为y轴建立直角坐标系.    设顶点坐标分别为，， 因为，所以， 化简得，因为，即，所以，即D在y轴上， 所以. 知识点02 求轨迹方程的方法 1 求轨迹方程的一般方法： （1）. 待定系数法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。 （2）. 直译法：如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 （3）. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立P点坐标x，y与该参数t的函数关系x＝f（t），y＝g（t），进而通过消参化为轨迹的普通方程F（x，y）＝0。 （4）. 代入法（相关点法）：如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（x，y），用（x，y）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。 （5）.几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。 2求轨迹方程的注意事项： （1）. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P的运动规律，即P点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。 （2）轨迹方程既可用普通方程表示，又可用参数方程来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。 （3）. 求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，（即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上），又要检验是否丢解。（即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示），出现增解则要舍去，出现丢解，则需补充。检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形。 【即学即练2】 设点，动直线l：，作于点M，则点M到坐标原点O距离的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线的垂直关系可得点M的轨迹是以为圆心，半径的圆，即可得. 【详解】由以及可得直线的方程为， 联立，消去整理可得； 所以可知点M的轨迹是以为圆心，半径的圆； 因此. 故选：C 【题型一：求轨迹方程方法1—直译法】 例1．在平面内，已知线段的长为4，点为平面内一点，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立直角坐标系，求出点的轨迹时一个圆，再根据与圆相切时角最大求得结果. 【详解】如图，以线段所在的直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系， 设，因为，不妨设， 由，得， 化简得，即点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆， 当与圆相切时，取得最大值，此时． 因为，，所以，且为锐角， 故的最大值为． 故选：A．    变式1-1．平面上一动点满足：且，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，借助两点间距离公式代入计算后化简即可得. 【详解】设，由，所以6， 整理得，即动点的轨迹方程为. 故选：C. 变式1-2．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：若动点与两定点A，的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若，，点满足，则直线与点的轨迹的交点个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【答案】D 【分析】根据题意求出M的轨迹方程，发现直线l恒过圆上一点，即可得出答案. 【详解】设，则， 化简得点的轨迹方程为，表示的是以为圆心，2为半径的圆， 而直线恒经过圆上的点，故直线与点的轨迹的交点个数是1或2. 故选：D. 【方法技巧与总结】 如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 【题型二：求轨迹方程方法2—几何法】 例2．已知圆：，过点的直线与圆交于点，，线段的中点为，则点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】先判断点在圆内，连接，设出点的坐标，在利用垂径定理得到，写出和坐标，利用，得到，的关系，即可得出结果. 【详解】由圆：方程变形为标准式， 进而得出，所以点在圆内部， 又因为为线段的中点，连接，由垂径定理得， 设点的坐标，得，， 所以，得，整理得， 所以点的轨迹方程为， 故答案为：    变式2-1．已知等腰三角形的底边对应的顶点是，底边的一个端点是，则底边另一个端点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等腰三角形的概念及圆的定义与圆的标准方程可得解. 【详解】设，由题意知，， 因为是以为底边的等腰三角形，于是有， 即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 又点，，构成三角形，即三点不可共线， 则轨迹中需去掉点及点关于点对称的点， 所以点的轨迹方程为（去掉，两点）， 故选：C. 变式2-2．线段长度为4，其两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段中点的轨迹所围成图形的面积为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】利用几何法直接求出轨迹方程，进而由圆的面积公式求解. 【详解】，设为线段中点， ，设，则，即． 则线段中点的轨迹是以坐标原点为圆心，2为半径的圆； 故线段中点的轨迹所围成图形的面积为. 故选：D 变式2-3．已知在中，，，，动点M在内部且满足． (1)求点M的轨迹方程； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）利用正弦定理求得的外接圆半径，得外接圆的圆心为O，可得点M的轨迹方程； （2）设，利用坐标法把转化为，由的取值范围即可求出最小值. 【详解】（1）由，，，则有，， 因为，，所以. 在中，由正弦定理得：（R为的外接圆半径）， 所以，解得：.    设E为AC的中点，有，又，所以钝角的外接圆的圆心为O， 又点M在内部，所以点M的轨迹为：. （2）设，则有. 由， 所以当时有最小值. 【方法技巧与总结】 若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。 【题型三：求轨迹方程方法3— 代入法】 例3．的顶点B，C的坐标分别是，，顶点A在圆上运动，求的重心G的轨迹方程. 【答案】 【分析】重心G的轨迹方程是指点G的坐标满足的关系式，点A在已知圆上运动，点A的坐标满足圆的方程，建立点G与点A坐标之间的关系，就可以建立点G的坐标满足的条件，进而求出点G的轨迹方程. 【详解】设的重心G的坐标是，点A的坐标是. 已知点B，C的坐标分别是，， 则的重心G的坐标满足，. 因此有，.① 因为点A在圆上运动， 所以点A的坐标满足方程， 即满足方程.② 将①代入②，得. 即所求轨迹方程为.    变式3-1．已知是圆上的动点，点满足，记点的轨迹为，若圆与轨迹的公共弦方程为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用相关点法求得圆的轨迹方程，进而得到两圆的公共弦的方程，利用待定系数法得到关于的方程组，解之即可得解. 【详解】因为点在圆上的动点，点满足， 设，，则， 所以，即， 代入圆的方程，可得，即， 可得两圆的公共弦的方程为，即， 又因为两圆的公共弦的方程为，可得 ，解得. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用向量的线性运算与相关点法，求得圆的轨迹方程，从而得解. 变式3-2．已知，，，第三个顶点C在曲线上移动，则的重心的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】设，由题可得重心坐标为：，后由横纵坐标间关系可得答案. 【详解】设，因，则. 因，，则重心坐标为. 设，则，则. 故重心轨迹方程为：. 故答案为：. 变式3-3．已知圆心为的圆经过和，且圆心在直线上 (1)求圆心为的圆的标准方程； (2)线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由和的坐标，求出直线的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为，求出线段垂直平分线的斜率，再由和的坐标，利用线段中点坐标公式求出线段的中点坐标，由中点坐标和求出的斜率，得出线段垂直平分线的方程，与直线联立组成方程组，求出方程组的解集得到圆心的坐标，再由和的坐标，利用两点间的距离公式求出的值，即为圆的半径，由圆心和半径写出圆的标准方程即可. （2）设出和的坐标，由中点坐标公式把的坐标用的坐标表示，然后代入圆即可得到答案． 【详解】（1）因为，，所以，所以弦的垂直平分线的斜率为 又弦的中点坐标为， 所以弦的垂直平分线的方程为，即， 与直线联立解得：，， 所以圆心坐标为所以圆的半径， 则圆C的方程为：； （2）设，线段的中点为，，为中点， 所以，则，①； 因为端点在圆上运动，所以， 把①代入得：， 所以线段的中点M的轨迹方程是. 【方法技巧与总结】 如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（x，y），用（x，y）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。 【题型四：建系法与实际问题】 例4． “陶辛水韵”于1999年被评为芜湖市新十景之一，每年入夏后，千亩水面莲叶接天，荷花映日，吸引远道游客纷至沓来，坐上游船穿过一座座圆拱桥，可以直达“香湖岛”赏荷．圆拱的水面跨度20米，拱高约5米．现有一船，水面以上高3米，欲通过圆拱桥，船宽最长约为（    ） A．12米 B．13米 C．14米 D．15米 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，根据已知条件求出圆的方程为.代入，得出，即可得出答案. 【详解】 如图，拱形桥， 以所在的直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，如图建立平面直角坐标系， 则，，，圆心在轴上，设为， 则有，即， 整理可得，解得， 所以，圆心为，半径为， 所以，圆的方程为. 设，则有，解得. 所以，要使小船通过圆拱桥，船宽最长为. 因为，所以. 故选：B. 变式4-1．已知某隧道内设双行线公路，车辆只能在道路中心线一侧行驶，隧道截面是半径为4米的半圆，若行驶车辆的宽度为2.5米，则车辆的最大高度应不超过（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，求出半圆的方程可得答案. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，   O为圆心，易得半圆的方程为，， 因为B在半圆上，且轴，所以， 即．故车辆的最大高度应不超过米． 故选：C. 变式4-2．(多选)一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心、半径为的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西处，为确保轮船没有触礁危险，则该轮船的行驶路线可以是（    ） A．南偏西方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏西方向 【答案】BCD 【分析】以小岛的中心为原点O，东西方向为x轴，1km为单位长度，建立直角坐标系，再数形结合求解轮船航线所在直线的方程与受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程相切的临界条件，再逐个选项判断即可. 【详解】如图，以小岛的中心为原点O，东西方向为x轴，1km为单位长度，建立如图所示的直角坐标系， 则轮船所在的位置为，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为， 设轮船航线所在直线的方程为，即，    由，得或． 因为，所以该轮船的行驶路线可以是南偏西30°方向，北偏西30°方向，北偏西25°方向． 故选：BCD 变式4-3．在一个特定时段内，以点为中心的7海里以内海域被设为警戒水域，点正北55海里处有一个雷达观测站，如图所示．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船位于点北偏东且与点相距海里的位置，经过40分钟又测得该船已行驶到点北偏东（其中）且与点相距海里的位置． (1)求该船的行驶速度（单位：海里/小时）； (2)若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域？如果会，大约会在警戒水域行驶多少海里？ 【答案】(1)（海里/小时） (2)船会进入警戒水域，且警戒水域行驶（海里） 【分析】（1）根据题意，由余弦定理求得，进而求得该船的形式速度，得到答案； （2）以为原点建立平面直角坐标系，设点的坐标分别为，分别求得点的坐标，得出直线的方程为，结合点到直线的距离公式和圆的弦长公式，即可求解. 【详解】（1）解：如图所示，由题意得， 由余弦定理得 ，所以， 所以，该船的形式速度为（海里/小时）. （2）解：如图所示，以为原点建立平面直角坐标系， 设点的坐标分别为，与轴的交点为， 因为，可得， 则，， 所以，， ， 所以点的直线的斜率为，直线的方程为， 又由点到直线的距离为， 所以船会进入警戒水域， 又由圆的弦长公式，可得进入警戒水域行驶的路程为（海里）. 【方法技巧与总结】 利用建系法处理实际问题，要注意几点 1 如何建系，以哪个点为原点，哪条直线为轴或轴，常常抓住含“直角”的信息； 2 理解题意是关键，能把实际问题中各量转化坐标，常常可以线段长度用上两点距离公式，角度用上三角函数等. 【题型五：建系法与几何问题】 例5．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且，，AD，BE相交于点P．求证：.    【答案】证明见解析 【分析】建立平面直角坐标系，由已知条件得出点A、E的坐标，求得直线AD、BE的方程，然后求交点P坐标，由得到AP和CP垂直． 【详解】以BC所在直线为x轴，BC的中点O为原点，建立平面直角坐标系，    设等边三角形ABC的边长为6，则， ∵， ∴直线AD的方程为，即，① ∵， ∴直线BE的方程为，即，② 联立①②解得，则， ∵， ∴，∴AP⊥CP． 变式5-1．在中，为边上任意一点(与不重合)，且.则为（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不对 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，由进行化简，由此确定正确答案. 【详解】如图所示，作，垂足为， 以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系. 设. 因为， 所以， 所以. 又因为，所以， 即，所以. 又AO⊥BC，故为等腰三角形.    故选：A 变式5-2．已知向量，，满足，，，则的最小值为（    ） A．－1 B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，设，，，由已知得的终点在以为圆心，1为半径的圆上，利用几何关系可得，从而得到答案, 【详解】由题意设，，， 则，即，且， 解得，或. 由可得 ，即， 则，即的终点在以为圆心，1为半径的圆上, 故. 由圆的对称性，不妨令，即， 如图，连接，交圆于， 由点与圆的位置关系可知，. 故选：A. 变式5-3．如图，在矩形中，，以为圆心，为半径作圆．点在对角线上，直线与圆相切于点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，设，计算，并将表示为关于的函数，然后转化为动点到两定点的距离即可. 【详解】如图①所示，分别以为轴建立平面直角坐标系，连接, 则,，直线 所以， ， 即 故上式相当于点到点的距离之和，且， 即, 如图②所示，作关于轴的对称点， 则, 所以. 所以的最小值为. 故选：B. 变式5-4．如图，过半径为2的圆上两点，的切线相交于点，自点向平行于的直径的两端各作一直线，这两条直线分别交垂直于的直径所在直线于点，．试建立适当的直角坐标系用解析法证明：． 【答案】证明见解析 【分析】以为原点，直线为轴建立坐标系，设出点的坐标，借助直线方程求出点的横坐标即可计算得证. 【详解】如图，以圆心为原点，平行于的直径所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 则圆的方程为，，设，则， 直线的方程为，令，得点的横坐标， 直线的方程为，令，得点的横坐标， 切线的斜率为，方程为，整理得， 由对称性知点在轴上，令，得点的横坐标， ， ， 所以. 【方法技巧与总结】 利用建系法处理几何问题，要注意几点 1 如何建系，以哪个点为原点，哪条直线为轴或轴，常常要注意抓住含“直角”的信息，也达到简化计算的目的； 2 建系后，对应点确定其坐标，对应图象转化为方程（比如图中的直线确定直线方程，圆确定圆的方程）. 一、单选题 1．若两定点，，动点M满足，则M点的轨迹围成区域的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件求出动点M的轨迹方程，再确定轨迹即可计算作答. 【详解】设，依题意，，化简整理得：， 因此，动点M的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆， 所以动点M的轨迹围成区域的面积为. 故选：D 2. 点与圆上任意一点连线的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆上任意一点为，中点为，由中点坐标公式可求得，代入圆的方程即可求得轨迹方程． 【详解】解：设圆上任意一点为，中点为， 则，可得， 代入得， 化简得． 故选：D． 3. 在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若=2，则点C的轨迹为（    ） A．椭圆 B．射线 C．圆 D．直线 【答案】C 【分析】建立合适的平面直角坐标系，设，根据以及向量数量积的坐标形式求解出满足的关系式，即可判断出轨迹形状. 【详解】因为点是两个定点，不妨设， 以所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，    设，，，所以，， 由得：，即，所以点C的轨迹为圆. 故选：C. 4.正方形与点在同一平面内，已知该正方形的边长为1，且，则的可能取值为( ). A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】 【分析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，求出点的轨迹方程为圆，再求出的取值范围即可. 【详解】如图，以为坐标原点，建立平面直角坐标系， 则， 设点，则由， 得， 整理得， 即点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 圆心M到点D的距离为，所以， 所以的取值范围是. 故答案为：.    5.自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为（    ） A．8x－6y－21＝0 B．8x＋6y－21＝0 C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0 【答案】D 【分析】根据题意得到等量关系，整理后即可得到点P的轨迹方程. 【详解】由题意得，圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，如图.因为|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，即6x－8y－21＝0，所以点P的轨迹方程为6x－8y－21＝0. 故选：D 6.在中，，，，点为内切圆上任一点，则点Р到顶点A，B，O的距离的平方和的最小值为（    ） A．68 B．70 C．72 D．74 【答案】C 【分析】利用直角三角形的性质求得其内切圆的半径，如图建立直角坐标系，则内切圆的方程可得，设出的坐标，表示出，，利用的范围确定的范围，则最小值可得 【详解】解：如图，是直角三角形，设的内切圆圆心为， 切点分别为，，，则．但上式中， 所以内切圆半径， 如图建立坐标系，则内切圆方程为： 设圆上动点的坐标为， 则 ． 因为点在内切圆上，所以，所以 故选：C 7.如图，在中，，，点是内部一点，且满足，则点在运动过程中所形成的图形的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦定理可得，以中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，再根据直接法可得点的轨迹方程，再根据直线与圆的位置关系，进而可得点在运动轨迹及其长度. 【详解】由已知，， 则， 即， 设中点为，则，且， 如图建立平面直角坐标系，则，，， 设， 由， 则， 化简可得， 即点在以为圆心，为半径的圆上， 则、在圆上， 令，则，， 即圆与轴交于，两点，， 且，及 所以点在内的轨迹为， 其长度为， 故选：B. 8．在中，，，，点在该三角形的内切圆上运动，当最大时，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断出，然后以B为原点，分别为轴正方向建立直角坐标系，进行向量坐标化，进而利用向量的坐标运算即可求解. 【详解】在中，因为，，， 所以，所以为直角三角形，其中. 以B为原点，分别为轴正方向建立直角坐标系，则,,. 所以直线. 设的内切圆为圆. 由题意可得：，解得：，所以圆. 因为点在该三角形的内切圆上运动，所以. 因为，所以 而. 所以由可得：，解得：，（当且仅当时等号成立） 此时. 所以，而, 所以. 故选：A 二、多选题 9． 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy中，，，点P满足．设点P的轨迹为C，则以下结论正确的是（    ） A．轨迹C的方程为 B．在直线上存在且仅存在一对点D，E，使得 C．当A，B，P三点不共线时，射线PO是的角平分线 D．在C上存在点M，使得 【答案】AC 【分析】根据阿波罗尼斯圆的定义，结合两点间距离公式逐一判断即可． 【详解】解： ，设， ，化简得，故A正确； 假设直线上存在两点，使得，设，， 则，化简得， 由轨迹的方程为，可得，， 解得，.一组解．，.为同一个点.故B错误； 当，，三点不共线时，， 可得射线是的平分线，故C正确； 若在上存在点，使得，可设， 则有，整理可得，与联立， 方程组无解，故不存在点，故D错误． 故选：AC. 10.在平面直角坐标系中，已知圆的动弦，圆，则下列选项正确的是（   ） A．当圆和圆存在公共点时，则实数的取值范围为 B．的面积最大值为1 C．若原点始终在动弦上，则不是定值 D．若动点满足四边形为矩形，则点的轨迹长度为 【答案】ABD 【分析】根据两圆位置关系列不等式求解实数的范围判断A，根据三角形面积结合正弦函数可求出面积最大值判断B，分类讨论，设直线方程，利用韦达定理结合数量积数量积坐标运算求解判断C，先根据矩形性质结合垂径定理得到点的轨迹，然后利用圆的周长公式求解判断D. 【详解】对于A，圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 当圆和圆存在公共点时，， 所以，解得，所以实数的取值范围为，正确； 对于B，的面积为， 当时，的面积有最大值为1，正确； 对于C，当弦垂直x轴时，，所以， 当弦不垂直x轴时，设弦所在直线为， 与圆联立得，， 设， 则，， 综上，恒为定值，错误； 对于D，设，OP中点，该点也是AB中点，且， 又，所以， 化简得，所以点的轨迹为以为圆心，半径为的圆， 其周长为长度为，正确. 故选：ABD 11.如图，是连接河岸与的一座古桥，因保护古迹与发展的需要，现规划建一座新桥，同时设立一个圆形保护区.规划要求： ①新桥与河岸垂直； ②保护区的边界为一个圆，该圆与相切，且圆心在线段上； ③古桥两端和到该圆上任意一点的距离均不少于. 经测量，点分别位于点正北方向､正东方向处，.根据图中所给的平面直角坐标系，下列结论中，正确的是（    ） A．新桥的长为 B．圆心可以在点处 C．圆心到点的距离至多为 D．当长为时，圆形保护区的面积最大 【答案】AC 【分析】根据给定条件，求出直线的方程，联立求出点的坐标判断A；设，由题意列出不等式组，再结合代换求得的范围，判断BCD. 【详解】如图，以为 轴建立直角坐标系，则，， 依题意，直线的斜率，直线方程为：， 直线的斜率，则直线方程为， 由，解得 ，即，，A正确； 设，即 ，直线的一般方程为， 圆的半径为，显然，由，得， 则，解得，即长的范围是，B错误，C正确； 当，即长为时，圆的半径最大，圆形保护区的面积最大，D错误. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：某些实际应用问题，由题意建立平面直角坐标系，利用坐标法求解是解题的关键. 三、填空题 12．古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，，点满足，则点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】根据点点距离即可列方程化简求解. 【详解】设，则， 化简得，即， 故答案为： 13. 已知正三角形ABC的边长为1，P是平面ABC上一点，若，则PA的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，得到点P的轨迹为圆，进而利用点与圆的位置关系算出PA的最大值. 【详解】以BC所在直线为轴，BC中点为原点，建立平面直角坐标系，     则，设， 由，得， 整理得，即 因此，点P的轨迹是以为圆心，半径的圆， PA长的最大值等于. 故答案为：. 14.树林的边界是直线l（如图CD所在的直线），一只兔子在河边喝水时发现了一只狼，兔子和狼分别位于l的垂线AC上的A点和B点处，（a为正常数），若兔子沿AD方向以速度（为正常数）向树林逃跑，同时狼沿线段BM（）方向以速度进行追击，若狼到达M处的时间不多于兔子到达M处的时间，狼就会吃掉兔子，则兔子的所有不幸点（即可能被狼吃掉的点）的区域面积 . 【答案】 【分析】建立直角坐标系，设，，由求得，由此求得圆的面积的值； 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系， 设，，， 由，即， 则，整理得， 所以点M在以为圆心，为半径的圆上及圆的内部， 所以. 故答案为： 四、解答题 15．已知一曲线是与两个定点，的距离之比为的点的轨迹，求这个曲线的方程，并画出该曲线. 【答案】方程为，图形见解析 【分析】设点为曲线上任意一点，则由题意列方程化简可得曲线方程 【详解】设点为曲线上任意一点， 因为曲线是与两个定点，的距离之比为的点的轨迹， 所以， 所以，化简得， 即所求曲线方程为， 16.已知是直角三角形，斜边的中点为，建立适当的平面直角坐标系，证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）建系设坐标应用距离公式证明等式即可； （2）应用两点间距离公式证明即可. 【详解】（1）以的直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系．    设两点的坐标分别为． 由两点间距离公式得，． 所以． （2）因为点是的中点， 所以点的坐标为，即． 由两点间距离公式得． 所以． 17.如图所示，在圆上任取一点为圆心，作圆与圆的直径相切于点，圆与圆交于点，，且与相交于点，求证：平分．    【答案】证明见解析 【分析】建立合适的平面直角坐标系，设，，求出圆和圆的方程，两者作差得到直线的方程，求出点坐标即可证明. 【详解】以所在直线为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示， 设，， 则，， 圆，圆． 两方程作差得直线的方程为． 令，得， ， 即为的中点，平分．    18.如图，第25届中国机器人及人工智能大赛总决赛中，主办方设计了一个矩形坐标场地（包含地界和内部），长为12米，在边上距离B点5米的E处放置一只机器犬，在距离B点2米的F处放置一个机器人，机器人行走的速度为v，机器犬行走的速度为，若机器犬和机器人在场地内沿着直线方向同时到达场地内某点P，则机器犬将被机器人捕获，点P叫成功点． (1)求在这个矩形场地内成功点P的轨迹方程； (2)若N为矩形场地边上的一点，若机器犬在线段上都能逃脱，问N点应在何处？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别以，所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，由题意，利用两点间的距离公式可得答案. （2）利用三角函数得到极端情况时点的横坐标即可得到答案. 【详解】（1）如图，分别以，所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，则，， 设成功点，可得，即， 化简得． 因为点P需在矩形场地内，所以， 故所求轨迹方程为． （2）当线段与（1）中的圆相切时，， 所以，所以． 若机器犬在线段上都能逃脱，则N点横坐标的取值范围是． 19.已知圆过点，，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)设点在圆上运动，点，记为过，两点的弦的中点，求的轨迹方程； (3)在（2）的条件下，若直线与直线交于点，证明：恒为定值. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据圆心所在的直线设出圆心坐标，利用圆上的点建立距离方程求解即可； （2）法1，利用圆的几何性质得，利用数量积的坐标运算求得动点的轨迹方程；法2，设直线DE的方程，与圆联立，利用韦达定理求得中点坐标，消去参数即可求得动点的轨迹方程； （3）法1，设直线与直线交于点，通过斜率关系得，利用几何关系得，从而，利用点到直线的距离公式及两点距离公式求解即可；法2，利用数量积的几何意义及点到直线的距离公式及两点距离公式求解，或者利用数量积的坐标运算求解即可. 【详解】（1）圆心在上，可设圆心，，，解得：，， 故圆的方程为：. （2）法1：由圆的几何性质得即，所以， 设，则， 所以，即的轨迹方程是. 法2：设过且斜率为的直线为，与圆的方程联立， 消去得， 因为在圆的内部，故此二次方程必有两不等实根， 故弦的中点的横坐标，代入， 得，消去，可得， 即的轨迹方程为. （3）法1：设直线与直线交于点，由可知直线的斜率是， 直线的斜率为，，，， ，因此，， 又E到的距离， ，故恒为定值1. 法2：因为，所以由数量积的几何意义得， 由法1知，则， 又E到的距离， ，故恒为定值1. 或设，则， 所以.    【点睛】方法点睛：解决直线与圆的综合问题时，要注意： （1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、圆的条件； （2）强化利用几何法求解圆的轨迹问题及弦长、定值等问题，联立直线与圆的方程，要强化得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率等问题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.7 用坐标方法解决几何问题 课程标准 学习目标 （1）能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题。 （1）理解坐标方法的意义; （2） 会利用坐标方法解决几何问题和实际问题；（3）掌握求轨迹方程的方法.（难点) 知识点01 建系法 笛卡尔创立解析几何后，人们借助坐标系把形与数联系起来，使几何问题可以通过建立坐标，用代数方法来解决。在将几何问题转化为代数问题并实施代数运算的过程中，我们可以利用几何定理得出坐标之间的关系，也可以将图形用向量语言来描述，用向量运算来解决，再转化为坐标之间的关系 【即学即练1】 已知：四边形ABCD，.求证：. 知识点02 求轨迹方程的方法 1 求轨迹方程的一般方法： （1）. 待定系数法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。 （2）. 直译法：如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 （3）. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立P点坐标x，y与该参数t的函数关系x＝f（t），y＝g（t），进而通过消参化为轨迹的普通方程F（x，y）＝0。 （4）. 代入法（相关点法）：如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（x，y），用（x，y）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。 （5）.几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。 2求轨迹方程的注意事项： （1）. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P的运动规律，即P点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。 （2）轨迹方程既可用普通方程表示，又可用参数方程来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。 （3）. 求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，（即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上），又要检验是否丢解。（即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示），出现增解则要舍去，出现丢解，则需补充。检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形。 【即学即练2】 设点，动直线l：，作于点M，则点M到坐标原点O距离的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【题型一：求轨迹方程方法1—直译法】 例1．在平面内，已知线段的长为4，点为平面内一点，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 变式1-1．平面上一动点满足：且，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 变式1-2．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：若动点与两定点A，的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若，，点满足，则直线与点的轨迹的交点个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【方法技巧与总结】 如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 【题型二：求轨迹方程方法2—几何法】 例2．已知圆：，过点的直线与圆交于点，，线段的中点为，则点的轨迹方程为 . 变式2-1．已知等腰三角形的底边对应的顶点是，底边的一个端点是，则底边另一个端点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 变式2-2．线段长度为4，其两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段中点的轨迹所围成图形的面积为（    ） A．2 B．4 C． D． 变式2-3．已知在中，，，，动点M在内部且满足． (1)求点M的轨迹方程； (2)求的最小值． 【方法技巧与总结】 若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。 【题型三：求轨迹方程方法3— 代入法】 例3．的顶点B，C的坐标分别是，，顶点A在圆上运动，求的重心G的轨迹方程. 变式3-1．已知是圆上的动点，点满足，记点的轨迹为，若圆与轨迹的公共弦方程为，则（    ） A． B． C． D． 变式3-2．已知，，，第三个顶点C在曲线上移动，则的重心的轨迹方程是 ． 变式3-3．已知圆心为的圆经过和，且圆心在直线上 (1)求圆心为的圆的标准方程； (2)线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 【方法技巧与总结】 如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（x，y），用（x，y）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。 【题型四：建系法与实际问题】 例4． “陶辛水韵”于1999年被评为芜湖市新十景之一，每年入夏后，千亩水面莲叶接天，荷花映日，吸引远道游客纷至沓来，坐上游船穿过一座座圆拱桥，可以直达“香湖岛”赏荷．圆拱的水面跨度20米，拱高约5米．现有一船，水面以上高3米，欲通过圆拱桥，船宽最长约为（    ） A．12米 B．13米 C．14米 D．15米 变式4-1．已知某隧道内设双行线公路，车辆只能在道路中心线一侧行驶，隧道截面是半径为4米的半圆，若行驶车辆的宽度为2.5米，则车辆的最大高度应不超过（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 变式4-2．(多选)一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心、半径为的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西处，为确保轮船没有触礁危险，则该轮船的行驶路线可以是（    ） A．南偏西方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏西方向 变式4-3．在一个特定时段内，以点为中心的7海里以内海域被设为警戒水域，点正北55海里处有一个雷达观测站，如图所示．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船位于点北偏东且与点相距海里的位置，经过40分钟又测得该船已行驶到点北偏东（其中）且与点相距海里的位置． (1)求该船的行驶速度（单位：海里/小时）； (2)若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域？如果会，大约会在警戒水域行驶多少海里？ 【方法技巧与总结】 利用建系法处理实际问题，要注意几点 1 如何建系，以哪个点为原点，哪条直线为轴或轴，常常抓住含“直角”的信息； 2 理解题意是关键，能把实际问题中各量转化坐标，常常可以线段长度用上两点距离公式，角度用上三角函数等. 【题型五：建系法与几何问题】 例5．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且，，AD，BE相交于点P．求证：.    变式5-1．在中，为边上任意一点(与不重合)，且.则为（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不对 变式5-2．已知向量，，满足，，，则的最小值为（    ） A．－1 B． C．2 D．1 变式5-3．如图，在矩形中，，以为圆心，为半径作圆．点在对角线上，直线与圆相切于点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式5-4．如图，过半径为2的圆上两点，的切线相交于点，自点向平行于的直径的两端各作一直线，这两条直线分别交垂直于的直径所在直线于点，．试建立适当的直角坐标系用解析法证明：． 【方法技巧与总结】 利用建系法处理几何问题，要注意几点 1 如何建系，以哪个点为原点，哪条直线为轴或轴，常常要注意抓住含“直角”的信息，也达到简化计算的目的； 2 建系后，对应点确定其坐标，对应图象转化为方程（比如图中的直线确定直线方程，圆确定圆的方程）. 一、单选题 1．若两定点，，动点M满足，则M点的轨迹围成区域的面积为（   ） A． B． C． D． 2. 点与圆上任意一点连线的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 3. 在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若=2，则点C的轨迹为（    ） A．椭圆 B．射线 C．圆 D．直线 4.正方形与点在同一平面内，已知该正方形的边长为1，且，则的可能取值为( ). A．3 B．4 C．5 D．6 5.自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为（    ） A．8x－6y－21＝0 B．8x＋6y－21＝0 C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0 6.在中，，，，点为内切圆上任一点，则点Р到顶点A，B，O的距离的平方和的最小值为（    ） A．68 B．70 C．72 D．74 7.如图，在中，，，点是内部一点，且满足，则点在运动过程中所形成的图形的长是（    ） A． B． C． D． 8．在中，，，，点在该三角形的内切圆上运动，当最大时，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9． 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy中，，，点P满足．设点P的轨迹为C，则以下结论正确的是（    ） A．轨迹C的方程为 B．在直线上存在且仅存在一对点D，E，使得 C．当A，B，P三点不共线时，射线PO是的角平分线 D．在C上存在点M，使得 10.在平面直角坐标系中，已知圆的动弦，圆，则下列选项正确的是（   ） A．当圆和圆存在公共点时，则实数的取值范围为 B．的面积最大值为1 C．若原点始终在动弦上，则不是定值 D．若动点满足四边形为矩形，则点的轨迹长度为 11.如图，是连接河岸与的一座古桥，因保护古迹与发展的需要，现规划建一座新桥，同时设立一个圆形保护区.规划要求： ①新桥与河岸垂直； ②保护区的边界为一个圆，该圆与相切，且圆心在线段上； ③古桥两端和到该圆上任意一点的距离均不少于. 经测量，点分别位于点正北方向､正东方向处，.根据图中所给的平面直角坐标系，下列结论中，正确的是（    ） A．新桥的长为 B．圆心可以在点处 C．圆心到点的距离至多为 D．当长为时，圆形保护区的面积最大 三、填空题 12．古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，，点满足，则点的轨迹方程为 . 13. 已知正三角形ABC的边长为1，P是平面ABC上一点，若，则PA的最大值为 ． 14.树林的边界是直线l（如图CD所在的直线），一只兔子在河边喝水时发现了一只狼，兔子和狼分别位于l的垂线AC上的A点和B点处，（a为正常数），若兔子沿AD方向以速度（为正常数）向树林逃跑，同时狼沿线段BM（）方向以速度进行追击，若狼到达M处的时间不多于兔子到达M处的时间，狼就会吃掉兔子，则兔子的所有不幸点（即可能被狼吃掉的点）的区域面积 . 四、解答题 15．已知一曲线是与两个定点，的距离之比为的点的轨迹，求这个曲线的方程，并画出该曲线. 16.已知是直角三角形，斜边的中点为，建立适当的平面直角坐标系，证明： (1)； (2)． 17.如图所示，在圆上任取一点为圆心，作圆与圆的直径相切于点，圆与圆交于点，，且与相交于点，求证：平分．    18.如图，第25届中国机器人及人工智能大赛总决赛中，主办方设计了一个矩形坐标场地（包含地界和内部），长为12米，在边上距离B点5米的E处放置一只机器犬，在距离B点2米的F处放置一个机器人，机器人行走的速度为v，机器犬行走的速度为，若机器犬和机器人在场地内沿着直线方向同时到达场地内某点P，则机器犬将被机器人捕获，点P叫成功点． (1)求在这个矩形场地内成功点P的轨迹方程； (2)若N为矩形场地边上的一点，若机器犬在线段上都能逃脱，问N点应在何处？ 19.已知圆过点，，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)设点在圆上运动，点，记为过，两点的弦的中点，求的轨迹方程； (3)在（2）的条件下，若直线与直线交于点，证明：恒为定值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$