2.5圆的方程（2知识点+6题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（湘教版2019选择性必修第一册）

2.5 圆的方程 课程标准 学习目标 （1）回顾确定圆的几何要素, 在平面直角坐标系中, 探索并掌握圆的标准方程与一般方程。 （1）理解圆的概念; （2） 掌握圆的标准方程和一般方程； （3） 会根据题意求圆的方程； （4）能够利用圆的方程处理问题.（难点) 知识点01 圆的标准方程 标准方程 ，圆心，半径为. 【即学即练1】 过圆外一点，以为直径的圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 知识点02 圆的一般方程 一般方程 求圆方程的方法 待定系数法 先设后求.确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出；若利用一般方程，需要求出； 直接法 直接把圆心和半径求出.要注意多利用圆的几何性质，如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置. 【即学即练2】 圆心为且过原点的圆的一般方程是（    ） A． B． C． D． 【题型一：圆的方程】 例1．方程所表示的圆的最大面积为（　　） A． B． C． D． 变式1-1．若直线是圆的一条对称轴，则圆心坐标为（ ） A． B． C． D． 变式1-2．圆上的点到直线的最大距离是（    ） A．36 B． C． D．18 变式1-3．圆关于直线对称的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 圆的标准方程是，其中圆心，半径为. 圆的一般方程是； 2 可以利用配方法把圆的一般方程化为标准方程. 【题型二：判断点与圆的位置关系】 例2．（多选）已知圆的标准方程为，则下列说法正确的是（    ） A．圆的圆心为 B．点在圆内 C．圆的半径为5 D．点在圆内 变式2-1．已知圆，则下列点在圆C内的是（    ） A． B． C． D． 变式2-2．点与圆 的位置关系如何？ 【方法技巧与总结】 点与圆， 当，点在圆内； 当，点在圆内； 当，点在圆外. 【题型三：求圆的标准方程】 例3．若圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 变式3-1．过点和，且圆心在x轴上的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 变式3-2．已知点，，，则外接圆的方程是（    ）． A． B． C． D． 变式3-3．已知圆C过三点． (1)求圆C的方程； (2)斜率为1的直线l与圆C交于M，N两点，若为等腰直角三角形，求直线l的方程． 【方法技巧与总结】 求圆方程的方法 待定系数法 先设后求.确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出；若利用一般方程，需要求出； 直接法 直接把圆心和半径求出.要注意多利用圆的几何性质，如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置. 【题型四：圆过定点问题】 例4．圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 变式4-1．圆恒过的定点是 . 变式4-2．对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ． 变式4-3．已知曲线：． (1)当取何值时，方程表示圆？ (2)求证：不论为何值，曲线必过两定点． 【方法技巧与总结】 类似满足(为参数)的圆，它不是一个圆，表示的是圆簇；若它过定点，即不管取任何值，该点都满足方程. 要求定点，把含和不含的项分开，如， 则定点满足方程组. 【题型五：定点到圆上的最值问题】 例5．已知，，，点P是圆上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式5-1．若点是圆:上一点,则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 变式5-2．已知满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式5-3．已知点，、是圆上的两个动点，且满足，为线段的中点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 变式5-4．在平面直角坐标系中，已知直线：与圆：交于两点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 点与圆上点的距离为，则，（为圆心，为圆的半径）. 【题型六：与圆有关的轨迹问题】 例6．若，是平面内不同的两定点，动点满足（且），则点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知点，，，动点满足，则的最大值为 ． 变式6-1．已知，，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 变式6-2．在平面直角坐标系中，已知点，动点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 变式6-3．已知直线与轴和轴分别交于，两点，且，动点满足，则当，变化时，点到点的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，圆心为，半径为2的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 2.已知点，与圆O：，则（    ） A．点A与点B都在圆O外 B．点A在圆O外，点B在圆O内 C．点A在圆O内，点B在圆O外 D．点A与点B都在圆O内 3.圆的圆心到直线的距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 4.以点为圆心，并与轴相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 5.为圆上任意一点，且点．则的最大值为（    ） A．5 B．9 C．8 D．7 6.已知点，若过点的直线与圆交于、两点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7. 在平面直角坐标系内，曲线与x轴相交于A，B两点，P是平面内一点，且满足，则面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 8.已知直线：与直线：交于点，则的最大值为（    ） A．4 B．8 C．32 D．64 二、多选题 9．下列说法正确的是（    ） A．圆的圆心为，半径为 B．圆的圆心为，半径为 C．圆的圆心为，半径为 D．圆的圆心为，半径为 10.已知圆经过点、，为直角三角形，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 11.已知圆及点，则下列说法正确的是（    ） A．圆心的坐标为 B．若点在圆上，则直线的斜率为 C．点在圆外 D．若是圆上任一点，则的取值范围为． 三、填空题 12．已知方程表示一个圆，则的取值范围为 ，该圆的半径的最大值为 ． 13.已知圆：，则圆心到直线：的最大距离为 . 14.圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为 ． 四、解答题 15．判断与是否是圆的方程，并说明原因. 16.已知的三个顶点的坐标为，，，求 (1)求的面积； (2)求的外接圆的标准方程. 17.已知关于直线对称，点，都在上. (1)求线段垂直平分线的方程； (2)求的标准方程 18.在平面直角坐标系中，设二次函数的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C. (1)求实数b的取值范围； (2)请问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论. 19．如图所示，、分别为某市两条互相垂直的主干道所在的直线，其中为、的交点.若、两点分别为该市1路公交车的起点站和终点站，且、之间的公交线路是圆心在上的一段圆弧，站点到直线、的距离分别为和，站点到直线、的距离分别为和. (1)建立适当的坐标系，求公交线路所在圆弧的方程； (2)为了丰富市民的业余生活，市政府决定在主干道上选址建一游乐场，考虑到城市民居集中区域问题和环境问题，要求游乐场地址（注：地址视为一个点，设为点）在点上方，且点到点的距离大于且小于，并要求公交线路（即圆弧）上任意一点到游乐场的距离不小于，求游乐场C距点距离的最大值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.5 圆的方程 课程标准 学习目标 （1）回顾确定圆的几何要素, 在平面直角坐标系中, 探索并掌握圆的标准方程与一般方程。 （1）理解圆的概念; （2） 掌握圆的标准方程和一般方程； （3） 会根据题意求圆的方程； （4）能够利用圆的方程处理问题.（难点) 知识点01 圆的标准方程 标准方程 ，圆心，半径为. 【即学即练1】 过圆外一点，以为直径的圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知求出所求圆的圆心和半径，即可求得答案. 【详解】由圆可知，， 故以为直径的圆的圆心为，半径为， 故以为直径的圆的方程为， 故选：D 知识点02 圆的一般方程 一般方程 求圆方程的方法 待定系数法 先设后求.确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出；若利用一般方程，需要求出； 直接法 直接把圆心和半径求出.要注意多利用圆的几何性质，如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置. 【即学即练2】 圆心为且过原点的圆的一般方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得圆的标准方程，化简即可求得该圆的一般方程. 【详解】原点与的距离为， 则圆心为半径为的圆的方程为， 则该圆的一般方程是 故选：D 【题型一：圆的方程】 例1．方程所表示的圆的最大面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对方程配方整理，结合圆的标准方程求的取值范围，以及半径的最大值，即可得结果. 【详解】由题意整理可得：， 则，解得， 且圆的半径， 当且仅当时，等号成立， 即圆的半径最大值为3，所以圆的最大面积为. 故选：B. 变式1-1．若直线是圆的一条对称轴，则圆心坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先得到圆心坐标，即可得到圆心在直线上，从而求出参数的值. 【详解】圆的圆心为， 因为直线是圆的一条对称轴， 所以圆心在直线上， 所以，解得， 故圆心坐标为. 故选：A. 变式1-2．圆上的点到直线的最大距离是（    ） A．36 B． C． D．18 【答案】C 【分析】求出圆心和半径，则圆心到直线的距离加上半径即为最大距离. 【详解】圆，即， 其圆心为，半径为， 则圆上的点到直线的最大距离是 . 故选：C. 变式1-3．圆关于直线对称的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把圆的一般方程化为标准方程，得圆心坐标和半径，由对称求出对称圆的圆心，可得标准方程. 【详解】由圆，得， 则圆心坐标为，半径为1， 设关于直线的对称点为， 则，解得， 圆关于直线对称的圆的标准方程为． 故选：B． 【方法技巧与总结】 1 圆的标准方程是，其中圆心，半径为. 圆的一般方程是； 2 可以利用配方法把圆的一般方程化为标准方程. 【题型二：判断点与圆的位置关系】 例2．（多选）已知圆的标准方程为，则下列说法正确的是（    ） A．圆的圆心为 B．点在圆内 C．圆的半径为5 D．点在圆内 【答案】ABC 【分析】根据给定圆的方程，结合点与圆的位置关系逐项判断作答. 【详解】圆的圆心为，半径为5，AC正确； 由，得点在圆内，B正确； 由，得点在圆外，D错误. 故选：ABC 变式2-1．已知圆，则下列点在圆C内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将每一个点的坐标代入圆方程求解验证即可. 【详解】对于A，因为，所以点在圆外，所以A错误， 对于B，因为，所以点在圆上，所以B错误， 对于C，因为，所以点在圆上，所以C错误， 对于D，因为，所以在圆内，所以D正确. 故选：D 变式2-2．点与圆 的位置关系如何？ 【答案】答案见解析 【分析】将点的坐标代入圆的方程的左端与半径的平方比较大小即可. 【详解】圆心为． 因为，所以点在圆上； 因为，所以点在圆外； 因为，所以点在圆内． 【方法技巧与总结】 点与圆， 当，点在圆内； 当，点在圆内； 当，点在圆外. 【题型三：求圆的标准方程】 例3．若圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用待定系数法设出圆的标准方程，结合题意计算即可得. 【详解】设该圆方程为， 则圆心为，有， 将点，代入， 有，化简得， 两式相减得，即有，则， ， 故该圆方程为. 故选：B. 变式3-1．过点和，且圆心在x轴上的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助待定系数法计算即可得. 【详解】令该圆圆心为，半径为，则该圆方程为， 则有，解得， 故该圆方程为. 故选：D. 变式3-2．已知点，，，则外接圆的方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件可得是直角三角形，求出圆的圆心与半径，写出圆的标准方程即可． 【详解】由题 得是直角三角形，且， 所以圆的半径为，圆心为， 所以外接圆的方程为. 故选：B. 变式3-3．已知圆C过三点． (1)求圆C的方程； (2)斜率为1的直线l与圆C交于M，N两点，若为等腰直角三角形，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据圆过点，得到圆心在上，设圆心坐标，再由圆心到圆上的点的距离相等求解； （2）设直线l的方程为：，根据为等腰直角三角形，由圆心到直线的距离求解. 【详解】（1）解：因为圆过点，故圆心在上， 设圆心坐标， 则，解得． 故其半径． 故圆的方程为：； （2）设直线l的方程为：， 因为为等腰直角三角形， ∴圆心到直线的距离，即， 解得或－8，所以l：或． 【方法技巧与总结】 求圆方程的方法 待定系数法 先设后求.确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出；若利用一般方程，需要求出； 直接法 直接把圆心和半径求出.要注意多利用圆的几何性质，如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置. 【题型四：圆过定点问题】 例4．圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程进行变形整理，解方程组即可求得结果. 【详解】圆的方程化为， 由得或， 故圆恒过定点． 故选：D． 变式4-1．圆恒过的定点是 . 【答案】 【分析】分离参数，即可列方程组求解. 【详解】圆方程化为， 由解得故圆恒过点. 故答案为： 变式4-2．对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ． 【答案】或 【分析】由已知得，从而，由此能求出定点的坐标． 【详解】解：，即， 令，解得，，或，， 所以定点的坐标是或． 故答案为：或. 变式4-3．已知曲线：． (1)当取何值时，方程表示圆？ (2)求证：不论为何值，曲线必过两定点． 【答案】(1)； (2)证明见解析； 【分析】（1）当时，方程为表示一条直线，当时，化简整理已知方程，可知满足圆的方程； （2）将已知方程整理为，从而可得方程组，解方程组求得两定点坐标，结论可证得. 【详解】（1）当时，方程为表示一条直线． 当时，， 整理得， 由于， 所以时，方程表示圆. （2）证明：方程变形为， 由于取任何值，上式都成立，则有， 解得或， 所以曲线必过定点，， 即无论为何值，曲线必过两定点． 【方法技巧与总结】 类似满足(为参数)的圆，它不是一个圆，表示的是圆簇；若它过定点，即不管取任何值，该点都满足方程. 要求定点，把含和不含的项分开，如， 则定点满足方程组. 【题型五：定点到圆上的最值问题】 例5．已知，，，点P是圆上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，则，利用圆上的点到圆外一点距离最值的特征即可求解. 【详解】点，，，设， 则 ， 因为点P在圆上运动， 所以表示圆上的点到点的距离的平方， 所以的最小值为， 即的最小值为. 故选：D﹒ 变式5-1．若点是圆:上一点,则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据圆外一定点到圆上一点距离的平方的几何意义进行求解即可. 【详解】圆:可化为 表示点到点的距离的平方, 因为， 所以的最小值为. 故选：B. 变式5-2．已知满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意由圆中几何意义求解表达式范围即可. 【详解】由题知， 设为圆上一动点， 设， 因为，所以在圆外， 则，其中表示圆上点P与点Q距离的平方， 因为，圆半径， 所以，即 所以. 故选：D 变式5-3．已知点，、是圆上的两个动点，且满足，为线段的中点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知，点在以原点为圆心，半径为的圆上运动，利用圆的几何性质可知，当为射线与圆的交点时，取最大值，即可得解. 【详解】如下图所示： 圆的圆心为原点，半径为， 因为、是圆上的两个动点，且满足，为线段的中点， 由垂径定理可知，，则， 所以，点在以原点为圆心，半径为的圆上运动， 则. 当且仅当为射线与圆的交点时，等号成立， 故的最大值为. 故选：B. 变式5-4．在平面直角坐标系中，已知直线：与圆：交于两点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分析可知直线过定点，取线段的中点，可知点的轨迹为以的中点为圆心，半径的圆，结合圆的性质分析求解. 【详解】由题意可知：直线：过定点， 圆：，即， 可知圆心为，半径， 取线段的中点，则， 可知点的轨迹为以的中点为圆心，半径的圆，    可得， 当且仅当在的延长线上时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：A. 【方法技巧与总结】 点与圆上点的距离为，则，（为圆心，为圆的半径）. 【题型六：与圆有关的轨迹问题】 例6．若，是平面内不同的两定点，动点满足（且），则点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知点，，，动点满足，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据阿波罗尼斯圆定义可确定，利用三角形三边关系可知当，，三点共线时，，即为所求最大值. 【详解】设，则，整理得， 则是圆：上一点， 由，得,如图所示 故， 当且仅当，，三点共线，且在之间时取得最大值． 又因为, 所以的最大值为. 故答案为：. 变式6-1．已知，，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意列出等式并化简即可. 【详解】由题可知, 所以, 化简得, 故选：C, 变式6-2．在平面直角坐标系中，已知点，动点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，再利用圆上点到定点距离的最值求法可得结果. 【详解】设，易知， 由可得，整理得， 即动点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 又，可得的最大值为到圆心的距离再加上半径， 即. 故选：D 变式6-3．已知直线与轴和轴分别交于，两点，且，动点满足，则当，变化时，点到点的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得A，两点坐标，根据得到，再结合可得到C轨迹为动圆，求得该动圆圆心的方程，即可求得答案. 【详解】由，得，由，得， 由，得，设 ，则， 即，因此点C的轨迹为一动圆， 设该动圆圆心为 ，即有，则代入， 整理得： ，即C轨迹的圆心在圆上（除此圆与坐标轴的交点外）， 点与圆上点连线的距离加上圆的半径即为点到点的距离的最大值， 所以最大值为. 故选：B    【点睛】思路点睛：涉及与圆相离的图形F上的点与圆上点的距离最值问题，转化为图形F上的点与圆心距离加或减圆半径求解. 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，圆心为，半径为2的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆心和半径直接确定圆的方程. 【详解】由题意可得方程为. 故选：C. 2.已知点，与圆O：，则（    ） A．点A与点B都在圆O外 B．点A在圆O外，点B在圆O内 C．点A在圆O内，点B在圆O外 D．点A与点B都在圆O内 【答案】C 【分析】将点，代入圆的方程，根据点与圆位置关系的判断方法，即可得解. 【详解】将代入圆的方程，可得， 所以点A在圆O内；将代入圆的方程， 可得，所以点B在圆O外． 故选：C． 3.圆的圆心到直线的距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据条件得到圆心为，再利用点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】因为圆的圆心为， 所以圆心到直线的距离为， 故选：B. 4.以点为圆心，并与轴相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意确定圆的半径，即可求解. 【详解】解：由题意，圆心坐标为点，半径为， 则圆的方程为． 故选：D． 5.为圆上任意一点，且点．则的最大值为（    ） A．5 B．9 C．8 D．7 【答案】D 【分析】得到圆心和半径，进而求出的最大值为，得到答案. 【详解】圆变形为， 其圆心为，半径为，      则的最大值为. 故选：D 6.已知点，若过点的直线与圆交于、两点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设中点，根据垂径定理可得点的轨迹方程，进而可得的取值范围，又，即可得解. 【详解】设中点，则，， 所以， 即， 所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 所以，， 所以， 又， 所以的最大值为， 故选：A. 7. 在平面直角坐标系内，曲线与x轴相交于A，B两点，P是平面内一点，且满足，则面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意不妨取，进而求点的轨迹方程，结合方程分析求解. 【详解】对于曲线，令，即， 可得，不妨取，可知， 设，因为，则， 整理得， 可知点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 所以面积的最大值是. 故选：D. 8.已知直线：与直线：交于点，则的最大值为（    ） A．4 B．8 C．32 D．64 【答案】D 【分析】首先根据已知条件得到直线恒过定点，直线恒过定点，且，根据交点得到点在以为直径的圆上，再利用点与圆的位置关系即可得到最值. 【详解】由题知：直线恒过定点. 直线化简为：，当时，，直线恒过点. 当时，直线的斜率不存在，直线的斜率，则. 当时，，，，则. 综上：直线恒过定点，直线恒过定点，且. 因为直线与直线交于点， 所以点在以为直径的圆上，线段的中点坐标为， 且，则其轨迹方程为（除点外），圆的半径， 因为表示圆上的点到原点距离的平方，设， 则，所以的最大值为64. 故选：D. 二、多选题 9．下列说法正确的是（    ） A．圆的圆心为，半径为 B．圆的圆心为，半径为 C．圆的圆心为，半径为 D．圆的圆心为，半径为 【答案】AC 【分析】根据圆的标准方程特征即可求得圆心和半径. 【详解】圆的圆心为，半径为，A正确； 圆的圆心为，半径为，B错误； 圆的圆心为，半径为，C正确； 圆的圆心为，半径为，D错误． 故选：AC. 10.已知圆经过点、，为直角三角形，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】设圆心，由题意可知，，，求出、的值，可得出圆心的坐标以及圆的半径，由此可得出圆的方程. 【详解】设圆心，由题意可知，，即，解得， 因为为直角三角形，则为直角三角形，则， 即，解得，则圆的半径为， 圆心为，因此，圆的方程为或， 故选：BC. 11.已知圆及点，则下列说法正确的是（    ） A．圆心的坐标为 B．若点在圆上，则直线的斜率为 C．点在圆外 D．若是圆上任一点，则的取值范围为． 【答案】ACD 【分析】根据题意转化为圆的标准方程，由圆心坐标可判断A选项，通过点代入圆的方程求得的值，进而由斜率公式可求的斜率并可判断B选项，点与圆的位置关系可判断C选项，利用圆心到的距离可得的取值范围并可判断D选项； 【详解】将把转化为标准方程, 则，如图所示： 对于A：圆心C的坐标为，故A正确； 对于B：当点在圆上，则有， 化简得，解得. 即，所以直线的斜率为，故B错误； 对于C：因为，所以点在圆外，故C正确； 对于D：因为， ， 所以，即，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．已知方程表示一个圆，则的取值范围为 ，该圆的半径的最大值为 ． 【答案】 2 【分析】 将圆的一般方程化为标准方程，得到，求出的取值范围，并根据求出半径的最大值. 【详解】 该方程可化为圆的标准方程． 由，得． 因为， 所以该圆的半径的最大值为． 故答案为：，2 13.已知圆：，则圆心到直线：的最大距离为 . 【答案】5 【分析】求出圆心坐标，与直线过定点坐标，再求两点间的距离，即可得解. 【详解】圆：的圆心为，半径， 直线：，即，令，解得， 所以直线过定点，则圆心到直线的最大距离为. 故答案为： 14.圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为 ． 【答案】 【分析】直线和线段AB的垂直平分线的交点是圆心，圆心到A点的距离为半径，可得圆的方程. 【详解】圆经过点和，，AB中点为， 所以线段AB的垂直平分线的方程是． 联立方程组，解得． 所以，圆心坐标为，半径， 所以，此圆的标准方程是． 故答案为：. 四、解答题 15．判断与是否是圆的方程，并说明原因. 【答案】答案见解析 【分析】根据圆的一般方程对表达式进行判断即可得出结论. 【详解】易知即为，其中 满足，其圆心为，半径为的圆； 对于来说，，不是圆的方程. 16.已知的三个顶点的坐标为，，，求 (1)求的面积； (2)求的外接圆的标准方程. 【答案】(1)20 (2) 【分析】（1）根据点点距离公式可判断三角形为等腰三角形，即可根据面积公式求解， （2）根据直角三角形的性质确定外接圆圆心和半径，即可求解方程. 【详解】（1），，， 由于, 所以为以为斜边的等腰直角三角形，可得中点， 所以，故的面积为20. （2）由（1）知. 所以外接圆圆心恰好为中点，半径, 所以三角形外接圆标准方程为. 17.已知关于直线对称，点，都在上. (1)求线段垂直平分线的方程； (2)求的标准方程 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求线段的中点，且斜率不存在，写出方程； （2）解法一：由题意，设，将点代入得方程； 解法二：求出直线与直线的交点为圆心，可得方程. 【详解】（1）因为点，， 所以线段的中点为 因为直线的斜率为，所以垂直平分线的斜率不存在. 所以垂直平分线的方程为； （2）解法一：因为关于直线对称，则可设的方程为， 又因为点，在上，所以， 解得， 所以的标准方程为. 解法二：因为直线与直线的交点为圆心， 由，解得， 故圆心. 又因为. 所以的标准方程为. 18.在平面直角坐标系中，设二次函数的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C. (1)求实数b的取值范围； (2)请问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论. 【答案】(1)，且 (2)过定点和，证明见解析. 【分析】（1）由题意可令得抛物线与轴交点是，得出方程，再由根的判别式求解即可. （2）设出所求圆的一般方程，根据题意可分别令和令代入得出与的关系，从而得出含的圆的一般方程，再用恒等思想求解即可. 【详解】（1）令得抛物线与轴交点是； 令， 由题意，且，解得，且． 即实数的取值范围，且． （2）设所求圆的一般方程为， 由题意得函数的图像与两坐标轴的三个交点即为圆和坐标轴的交点， 令得，，由题意可得，这与是同一个方程，故，． 令得，，由题意可得，此方程有一个根为，代入此方程得出， ∴圆的方程为（，且）． 把圆的方程改写为，令， 解得或，故圆过定点和． 19．如图所示，、分别为某市两条互相垂直的主干道所在的直线，其中为、的交点.若、两点分别为该市1路公交车的起点站和终点站，且、之间的公交线路是圆心在上的一段圆弧，站点到直线、的距离分别为和，站点到直线、的距离分别为和. (1)建立适当的坐标系，求公交线路所在圆弧的方程； (2)为了丰富市民的业余生活，市政府决定在主干道上选址建一游乐场，考虑到城市民居集中区域问题和环境问题，要求游乐场地址（注：地址视为一个点，设为点）在点上方，且点到点的距离大于且小于，并要求公交线路（即圆弧）上任意一点到游乐场的距离不小于，求游乐场C距点距离的最大值. 【答案】(1)（，） (2) 【分析】（1）由题意建立适当的直角坐标系，可以用待定系数法来确定圆弧的方程. （2）由题意，结合可得对任意的恒成立，从而即可求得的范围. 【详解】（1）以为坐标原点，直线、分别为轴和轴建立平面直角坐标系如图所示， 则由题意，，设圆弧所在圆的方程为， 又因为、之间的公交线路是圆心在上的一段圆弧， 所以，解得， 故公交线路所在圆弧的方程为（，）. （2）如图所示： 因为游乐场距点的距离为，所以， 设为公交线路上任意一点， 则（，），即， 且，对公交线路上任意点均成立， 整理得，对任意的恒成立， 令，因为， 所以函数在上单调递减， 所以，解得或， 又，故， 即游乐场C距点距离的最大值为. 【点睛】关键点睛：第一问比较常规用待定系数法来做就可以了，第二问的关键是结合两点间的距离公式把问题转换为恒成立问题来做. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$