2.4点到直线的距离（3知识点+7题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（湘教版2019选择性必修第一册）

2.4 点到直线的距离 课程标准 学习目标 （1）探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式； （2）会求两条平行直线间的距离。 （1）会求两点间的距离; （2）会求点到直线的距离； （3）会求平行线间的距离； （4）会利用距离公式处理一些几何问题.（难点) 知识点01 两点距离公式 1两点距离公式 平面上的两点间的距离公式. 证明 . 2 两点距离公式的几何意义 几何问题与代数问题间可相互转化. 形如的式子可以理解为点两点间的距离，则求解与有关的代数问题可转化为几何问题. 【即学即练1】 已知点，，，且，则的值为 . 知识点02 点到直线的距离公式 1 点到直线的距离公式 点到直线的距离. 证明 过点作交直线与， 设，由，以及直线的斜率为，可得的垂线的斜率为， 因此，垂线的方程为，即， 解方程组 得直线与的交点坐标，即垂足的坐标为， 于是 因此点到直线的距离. 当或时，上述公式仍然成立. (也可以用向量的方法证明) 【即学即练2】 点到直线的距离为 . 知识点03 两平行直线间的距离 两条平行线与间的距离. 证明 在直线上任取一点，点到直线的距离就是两平行线的距离，即， 因为点在直线上，所以，即，因此. 【即学即练3】 两平行线与的距离为________． 【题型一：两点间的距离】 例1．已知点，则的面积为（ ） A． B． C． D． 变式1-1．已知点，，，若，，是的三个顶点，则是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 变式1-2．已知点，，为轴上一点，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 变式1-3．直线经过点，且被两坐标轴截得的线段长为，则的所有可能取值之和为（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 【方法技巧与总结】 1 平面上的两点间的距离公式； 2 判断三角形的形状，可求出三边长度，观察其值的特点进而判断. 【题型二：两点间距离的最值问题】 例2．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为点到点的距离，则的最小值为（    ）． A．3 B． C． D． 变式2-1．代数式的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式2-2．已知，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D． 变式2-3．如图，在平面直角坐标系中，将三角板的端点､分别放在轴和轴的正半轴上运动，点在第一象限，且，若，则点与点之间的距离（    ） A．最大值为2 B．最大值为 C．最大值为 D．最大值为 【方法技巧与总结】 1 形如的式子可以理解为点两点间的距离，则求解与有关的代数问题可转化为几何问题； 2 求线段之间距离的最值或多线段之和或差的最值，多注意平面几何模型的考核，比如将军饮马。 【题型三：求点到直线的距离】 例3．点为y轴上一点，且点到直线的距离等于1，则点P的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或. 变式3-1．已知点在直线上，且点到直线的距离等于，则的坐标（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 变式3-2．在△ABC中，点，，，则的面积为 ． 【方法技巧与总结】 点到直线的距离； 【题型四：根据点到直线的距离求参数】 例4．已知A、B、C三点在曲线上，其横坐标依次为1，m，，当的面积最大时，m的值为（    ） A．3 B． C． D． 变式4-1．若点到直线的距离不大于，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 变式4-2．已知，两点到直线：的距离相等，则（    ） A． B．6 C．或4 D．4或6 【方法技巧与总结】 题中涉及已知点到直线的距离的值，利用点到直线距离公式得到含参数的方程，从而通过解方程得到参数的值. 【题型五：点到直线的距离的最值问题】 例5．已知直线，直线与直线的交点为，则点到直线的距离最大时，的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 变式5-1．曲线：上到直线距离最短的点坐标为（    ） A． B． C． D． 变式5-2．在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点P，则当实数变化时，点P到直线的距离的最大值为(　 ) A． B． C．3 D． 变式5-3．点到直线：的距离最大时，与的值依次为(　　) A．3，－3 B．5，2 C．5，1 D．7，1 【方法技巧与总结】 求涉及到点到直线的距离最值，或采取代数法，引入参数把距离用参数表示，进而求解函数的最值（往往利用基本不等式或函数单调性等方法求解）；或采取几何法，观察题中图形的特点或利用几何模型，确定取到最值的情况再进而求值. 【题型六：求两平行线间的距离】 例6．设点P，Q分别为直线与直线上的任意一点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 变式6-1．到直线的距离为2的直线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 变式6-2．若平面内两条平行线：与：间的距离为，则实数（    ） A．-1 B．2 C．-l或2 D．-2或l 变式6-3．若直线m被两平行直线与所截得的线段长为，则直线m的倾斜角可以是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 两条平行线与间的距离，在利用公式求值时，注意先把直线的系数化为相同； 2 若已知平行线间的距离求其他几何量，多采取直接利用公式得到相关方程进行求解或用待定系数法后再得到方程求解. 【题型七：综合性问题】 例7．已知点P和非零实数，若两条不同的直线，均过点P，且斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”，如直线：，：是一组“共轭线对”，其中O是坐标原点. (1)已知，是一组“共轭线对”，求，的夹角的最小值； (2)已知点､点和点分别是三条直线PQ，QR，RP上的点（A，B，C与P，Q，R均不重合），且直线PR，PQ是“共轭线对”，直线QP，QR是“共轭线对”，直线RP，RQ是“共轭线对”，求点P的坐标； (3)已知点，直线，是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点O到直线，的距离之积的取值范围. 变式7-1．已知，，从点射出的光线经轴反射到直线上，又经过直线反射到点，则光线所经过的路程为 . 变式7-2．在平面直角坐标系xOy中，定义，两点间的“直角距离”为 . (1)填空：(直接写出结论) ①若， 则 ； ②到坐标原点的“直角距离”等于1的动点的轨迹方程是 ； ③记到M(-1，0)，N(1，0)两点的“直角距离”之和为4的动点的轨迹为曲线G，则曲线G所围成的封闭图形的面积的值为 ； (2)设点A(1，0)， 点B是直线 上的动点，求ρ(A，B)的最小值及取得最小值时点B的坐标； (3)对平面上给定的两个不同的点，，是否存在点C(x，y)， 同时满足下列两个条件： ①； ② 若存在，求出所有符合条件的点的集合；若不存在，请说明理由. 一、单选题 1．点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．1 2.已知直线：，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角是 B．过与直线平行的直线方程是 C．点到直线的距离是 D．若直线：，则 3.点，点在轴上，则的最小值为（    ） A． B．5 C．4 D． 4.若平面内两条平行线：与：间的距离为，则实数（    ） A． B． C． D． 5.的最小值为（    ） A． B． C． D． 6.已知过点的直线，且点与点到直线l的距离相等，则直线的方程为（　　） A． B． C．或 D．或 7.点为两条直线和的交点，则点到直线：的距离最大为（    ） A． B． C． D．5 8.已知等腰直角三角形的斜边长为4，点为线段中垂线上任意一点，点为射线上一点，满足，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9． 设为实数，若直线的方程为，则下列说法正确的有（    ） A．直线恒过点 B．若直线在轴上的截距为2，则 C．存在使直线经过坐标原点 D．坐标原点到直线的最大距离为 10.已知直线和直线，下列说法正确的是（ ） A．当时， B．当时， C．直线过定点 D．当平行时，两直线的距离为 11.设，过定点A的动直线：与过定点B的动直线：交于点P，则下列说法正确的有（    ） A． B．面积的最大值为 C． D．的最大值为 三、填空题 12．已知函数且过定点，直线过定点，则 13. 若点到直线的距离为1，则实数a的值为 ． 14.在中，，，，点P是内一点（含边界），若，则的最大值为 . 四、解答题 15．直线经过点与点，经过点的直线. (1)求直线的斜率和直线的方程（结果写成一般式）； (2)若点到直线的距离相等，求直线的方程. 16. 已知直线，. (1)若坐标原点O到直线m的距离为，求a的值； (2)当时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程. 17. 已知三条直线和，且与的距离是． (1)求的值； (2)能否找到一点，使同时满足下列三个条件：①点是第一象限的点；②点到的距离是点到的距离的；③点到的距离与点到的距离之比是，若能，求点的坐标；若不能，请说明理由． 18. 某学校在平面图为矩形的操场内进行体操表演，其中，，为上一点（不与端点重合），且，线段为表演队列所在位置（分别在线段上），内的点为领队．位置，且点到、的距离分别为、，记，我们知道当面积最小时观赏效果最好． (1)当为何值时，为队列的中点？ (2)求观赏效果最好时的面积． 19．已知直线和点，点到直线的有向距离用如下方法规定：若，，若，． (1)已知直线，直线，求原点到直线的有向距离； (2)已知点和点，是否存在通过点的直线，使得？如果存在，求出所有这样的直线，如果不存在，说明理由； (3)设直线，问是否存在实数，使得对任意的参数都有：点到的有向距离满足？如果满足，求出所有满足条件的实数；如果不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.4 点到直线的距离 课程标准 学习目标 （1）探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式； （2）会求两条平行直线间的距离。 （1）会求两点间的距离; （2）会求点到直线的距离； （3）会求平行线间的距离； （4）会利用距离公式处理一些几何问题.（难点) 知识点01 两点距离公式 1两点距离公式 平面上的两点间的距离公式. 证明 . 2 两点距离公式的几何意义 几何问题与代数问题间可相互转化. 形如的式子可以理解为点两点间的距离，则求解与有关的代数问题可转化为几何问题. 【即学即练1】 已知点，，，且，则的值为 . 解 因为，，，且， 所以， 解得． 知识点02 点到直线的距离公式 1 点到直线的距离公式 点到直线的距离. 证明 过点作交直线与， 设，由，以及直线的斜率为，可得的垂线的斜率为， 因此，垂线的方程为，即， 解方程组 得直线与的交点坐标，即垂足的坐标为， 于是 因此点到直线的距离. 当或时，上述公式仍然成立. (也可以用向量的方法证明) 【即学即练2】 点到直线的距离为 . 解 由点到直线的距离公式得. 知识点03 两平行直线间的距离 两条平行线与间的距离. 证明 在直线上任取一点，点到直线的距离就是两平行线的距离，即， 因为点在直线上，所以，即，因此. 【即学即练3】 两平行线与的距离为________． 解 由两平行直线距离公式得. 【题型一：两点间的距离】 例1．已知点，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两点间的距离公式得出三边长度，结合勾股定理逆定理证明，由此即可得解. 【详解】由题意， 所以，即， 所以的面积为. 故选：A. 变式1-1．已知点，，，若，，是的三个顶点，则是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】计算，，，且，得到答案. 【详解】， ，故，且， 故为等腰三角形. 故选：B. 变式1-2．已知点，，为轴上一点，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设，根据，列出方程即可求解. 【详解】设，则，，由，得 ，解得，故 故选：B 变式1-3．直线经过点，且被两坐标轴截得的线段长为，则的所有可能取值之和为（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【分析】由直线经过点得，则直线为.计算直线与坐标轴的交点，然后由两点距离公式计算即可. 【详解】由题意，因为直线经过点, 所以，则直线. 令，则， 令，则. 则， 化简得， 即， 即, 解得或或， 故的所有可能取值之和为. 故选：C. 【方法技巧与总结】 1 平面上的两点间的距离公式； 2 判断三角形的形状，可求出三边长度，观察其值的特点进而判断. 【题型二：两点间距离的最值问题】 例2．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为点到点的距离，则的最小值为（    ）． A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】把目标式进行转化，看作动点到两个定点距离和的最值，利用对称性可得答案. 【详解】, 可以看作点到点的距离之和， 作点关于轴的对称点，显然当三点共线时，取到最小值， 最小值为间的距离. 故选：D. 变式2-1．代数式的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两点之间距离公式分析出表示到、的距离之和，求出关于对称点为，连接交于点，此时最小. 【详解】 由两点之间距离公式可以得到表示点到的距离，表示点到的距离， 所以代数式表示，由图像可知在在运动，所以易得关于对称点为， 连接交于点，此时最小，最小值为. 故选：B. 变式2-2．已知，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出原点到已知直线的距离作答. 【详解】表示原点与直线上的点的两点间距离， 所以的最小值是原点到直线的距离. 故选：D 变式2-3．如图，在平面直角坐标系中，将三角板的端点､分别放在轴和轴的正半轴上运动，点在第一象限，且，若，则点与点之间的距离（    ） A．最大值为2 B．最大值为 C．最大值为 D．最大值为 【答案】C 【分析】取中点为，为直角三角形，故，显然，，当且仅当､､三点共线时，等号成立，继而得解. 【详解】依题意，，，. 取中点为，由于为直角三角形，故 由于为直角三角形，故 显然，，当且仅当､､三点共线时，等号成立. 因此，最大值为. 故选：C. 【方法技巧与总结】 1 形如的式子可以理解为点两点间的距离，则求解与有关的代数问题可转化为几何问题； 2 求线段之间距离的最值或多线段之和或差的最值，多注意平面几何模型的考核，比如将军饮马。 【题型三：求点到直线的距离】 例3．点为y轴上一点，且点到直线的距离等于1，则点P的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或. 【答案】C 【分析】根据题意，设点，利用点到直线的距离公式，列出方程，即可求解. 【详解】因为点为轴上一点，可设点， 又因为点到直线的距离等于1，可得， 整理得，即，解得或， 所以点的坐标为或. 故选：C. 变式3-1．已知点在直线上，且点到直线的距离等于，则的坐标（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据题意设点的坐标为，利用点到直线的距离公式可得出关于实数的等式，解出的值，即可得出点的坐标. 【详解】因为点在直线上，设点的坐标为， 则点到直线的距离等为，解得或， 当时，点的坐标为；当时，点的坐标为. 综上所述，点的坐标为或. 故选：B. 变式3-2．在△ABC中，点，，，则的面积为 ． 【答案】/ 【分析】由直线的两点式可得直线的方程，再由点到直线的距离公式可求出边上的高，再由两点间距离公式可得，再结合三角形的面积公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由两点式可得直线的方程为，即为， 再由点到直线的距离公式可得， 点到直线的距离， 且两点间的距离为， 所以的面积为. 故答案为： 【方法技巧与总结】 点到直线的距离； 【题型四：根据点到直线的距离求参数】 例4．已知A、B、C三点在曲线上，其横坐标依次为1，m，，当的面积最大时，m的值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】求出、、三点的坐标，求出的方程，利用点到直线的距离公式求出三角形的高，推出面积的表达式，然后求解面积的最大值时的值． 【详解】由题意知，，，， 易知，故直线所在方程为，即， 点到该直线的距离为， 故 ， ， 当时，有最大值，此时． 故选：B． 变式4-1．若点到直线的距离不大于，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点到直线的距离公式代入计算解不等式即可得. 【详解】根据题意可知，，即，解得； 即可得的取值范围是. 故选：A 变式4-2．已知，两点到直线：的距离相等，则（    ） A． B．6 C．或4 D．4或6 【答案】D 【分析】求出点到直线的距离和点到直线的距离，二者相等求解方程即可. 【详解】点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 因为点到直线的距离和点到直线的距离相等， 所以，所以或. 故选：D. 【方法技巧与总结】 题中涉及已知点到直线的距离的值，利用点到直线距离公式得到含参数的方程，从而通过解方程得到参数的值. 【题型五：点到直线的距离的最值问题】 例5．已知直线，直线与直线的交点为，则点到直线的距离最大时，的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】先求得以及直线所过定点，根据斜率求得正确答案. 【详解】由解得，即. 由整理得， 由解得，所以直线过定点， ，， 则当点到直线的距离最大时，. 故选：A 变式5-1．曲线：上到直线距离最短的点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设曲线：上的点的坐标为，，然后表示出点到直线的距离，结合基本不等式可求出其最小值，从而可求出点的坐标. 【详解】设曲线：上的点的坐标为，， 则点到直线的距离， 当且仅当，即时，等号成立，此时点的坐标为. 故选：B. 变式5-2．在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点P，则当实数变化时，点P到直线的距离的最大值为(　 ) A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】当，直接求解出到直线的距离，当时，先求解出点坐标，然后表示出到直线的距离，结合基本不等式求解出距离的最大值，由此可知结果. 【详解】当时，，所以交点，所以； 当时，由解得，所以， 所以到的距离， 若，则，当且仅当时取等号， 若，则，当且仅当时取等号， 所以，所以， 所以，所以的最大值为， 综上可知，点P到直线的距离的最大值为， 故选：D. 变式5-3．点到直线：的距离最大时，与的值依次为(　　) A．3，－3 B．5，2 C．5，1 D．7，1 【答案】C 【分析】将直线方程整理为，可得直线经过定点，由此可得当直线与垂直时的长，并且此时点到直线的距离达到最大值，从而可得结果. 【详解】直线， 即， 直线是过直线和交点的直线系方程， 由，得， 可得直线经过定点， 当直线与垂直时， 点到直线的距离最大， 的最大值为， 此时轴， 可得直线斜率不存在，即. 故选：C. 【点睛】本题主要考查直线的方程与应用，以及直线过定点问题，属于中档题. 探索曲线过定点的常见方法有两种：① 可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为的形式，根据 求解），借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). ，从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关. 【方法技巧与总结】 求涉及到点到直线的距离最值，或采取代数法，引入参数把距离用参数表示，进而求解函数的最值（往往利用基本不等式或函数单调性等方法求解）；或采取几何法，观察题中图形的特点或利用几何模型，确定取到最值的情况再进而求值. 【题型六：求两平行线间的距离】 例6．设点P，Q分别为直线与直线上的任意一点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】因为直线与直线平行，所以的最小值为直线与直线距离，求解即可. 【详解】由直线可得， 所以直线与直线平行， 所以的最小值为直线与直线距离， 所以. 故选：C. 变式6-1．到直线的距离为2的直线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】设到直线3x﹣4y﹣1=0的距离为2的直线方程是 3x﹣4y+c=0，由两平行线间的距离公式得解方程求出c值，即得所求的直线的方程． 【详解】设到直线3x﹣4y﹣1=0的距离为2的直线方程是 3x﹣4y+c=0，由两平行线间的距离公式得 ，c=﹣11，或 c=9．∴到直线3x﹣4y﹣1=0的距离为2的直线方程是 3x﹣4y﹣11=0，或  3x﹣4y+9=0， 故选B． 【点睛】本题考查用待定系数法求平行直线方程的方法，以及两平行线间的距离公式的应用．是基础题. 变式6-2．若平面内两条平行线：与：间的距离为，则实数（    ） A．-1 B．2 C．-l或2 D．-2或l 【答案】A 【分析】根据题意，利用分类讨论思想，结合平行直线的性质以及距离公式，可得答案. 【详解】①当时，可得，，由，则此时不符合题意； ②当时，可得直线的斜率，直线的斜率， 由，整理可得，则，解得或， 当时，可得，，整理的方程可得， 由两平行直线之间的距离，所以此时不符合题意； 当时，可得，，整理的方程可得， 由两平行直线之间的距离，所以此时符合题意. 综上可得. 故选：A. 变式6-3．若直线m被两平行直线与所截得的线段长为，则直线m的倾斜角可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线m与两平行直线所夹的锐角或直角为，再结合两平行直线的距离公式，以及直线斜率和倾斜角之间的关系，即可求解. 【详解】  设直线m与两平行直线所夹的锐角或直角为， 两平行直线与的距离为 ， 因为直线m被两平行直线与所截得的线段长为， 所以， 所以， 因为直线的斜率为，倾斜角为， 所以直线m的倾斜角可以是或. 故选：B. 【方法技巧与总结】 1 两条平行线与间的距离，在利用公式求值时，注意先把直线的系数化为相同； 2 若已知平行线间的距离求其他几何量，多采取直接利用公式得到相关方程进行求解或用待定系数法后再得到方程求解. 【题型七：综合性问题】 例7．已知点P和非零实数，若两条不同的直线，均过点P，且斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”，如直线：，：是一组“共轭线对”，其中O是坐标原点. (1)已知，是一组“共轭线对”，求，的夹角的最小值； (2)已知点､点和点分别是三条直线PQ，QR，RP上的点（A，B，C与P，Q，R均不重合），且直线PR，PQ是“共轭线对”，直线QP，QR是“共轭线对”，直线RP，RQ是“共轭线对”，求点P的坐标； (3)已知点，直线，是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点O到直线，的距离之积的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】 （1）设的斜率为，则的斜率为，两直线的夹角为，利用夹角公式及基本不等式求最值，即可得到，的夹角的最小值； （2）设直线PR，PQ，QR的斜率分别为，可得，求解可得的值，进一步得到直线PR与直线PQ的方程，联立得P的坐标； （3）设出直线，的方程，求出原点到它们的距离，计算，转化变形后结合基本不等式可得取值范围． 【详解】（1）设的斜率为，则的斜率为，两直线的夹角为， 则 ， 等号成立的条件是，所以的最小值为， 则两直线的夹角的最小值为； （2）设直线的斜率分别为， 则，得或， 当时，直线的方程为，直线的方程为，联立得，； 当时，直线的方程为，直线的方程为，联立得，，与点C重合，舍去； 故所求为； （3）由题意可设即，即，其中 ， 故 由于（等号成立的条件是）， 所以，故即， 所以. 【点睛】方法点睛:“新定义"主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求。但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说"新题"不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 变式7-1．已知，，从点射出的光线经轴反射到直线上，又经过直线反射到点，则光线所经过的路程为 . 【答案】 【分析】求出关于轴对称点坐标，再求得关于直线的对称点坐标，线段的长即为所求路程． 【详解】   因为，， 所以直线的方程为： 点关于轴的对称点， 设点关于直线的对称点， 则，，解得，． ， 所以根据反射原理的对称性， 光线所经过的路程为 ， 故答案为：． 变式7-2．在平面直角坐标系xOy中，定义，两点间的“直角距离”为 . (1)填空：(直接写出结论) ①若， 则 ； ②到坐标原点的“直角距离”等于1的动点的轨迹方程是 ； ③记到M(-1，0)，N(1，0)两点的“直角距离”之和为4的动点的轨迹为曲线G，则曲线G所围成的封闭图形的面积的值为 ； (2)设点A(1，0)， 点B是直线 上的动点，求ρ(A，B)的最小值及取得最小值时点B的坐标； (3)对平面上给定的两个不同的点，，是否存在点C(x，y)， 同时满足下列两个条件： ①； ② 若存在，求出所有符合条件的点的集合；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)5；；6 (2)最小值为，点B的坐标为 (3) 【分析】（1）①代入定义即可得出答案；②设是轨迹上任意一点，根据定义列出式子，化简即可得出答案；③根据定义，化简得出.分情况去绝对值，作出函数的图象，进而得出答案； （2）设，则，得出.然后分情况讨论去掉绝对值，得出表达式，进而逐段求解，即可得出最小值； （3）分当，时，当，时，当，时等情况，分别讨论得出满足条件的点，即可得出答案. 【详解】（1）①根据定义可得，； ②设是轨迹上任意一点， 由已知可得， 根据定义可得，. 所以，到坐标原点的“直角距离”等于1的动点的轨迹方程是； ③设曲线G上任意一点， 由已知可得，， 所以有， 整理可得，. （ⅰ）当时，该式可化为， 即. 当且时，为； 当且时，为； （ⅱ）当时，该式可化为， 整理可得，即； （ⅲ）当时，该式可化为， 整理可得. 当且时，为； 当且时，为； 作出曲线满足的图象    所以，曲线G所围成的封闭图形的面积的值为. 故答案为：5；；6. （2）设，则，所以， 所以，. 当时，有； 当时，有 ； 当时，有. 综上所述，当时，有最小值，此时. 所以，的最小值为，取得最小值时点B的坐标为. （3）（ⅰ）当，时， 由条件②可得，， 即有. 因为，所以. 由条件①可得，， 所以有. 又， 所以有，所以. 因此，所求的点为； （ⅱ）当，时， 由（ⅰ）同理可得，所求的点为； （ⅲ）当，时，不妨设. ①若， ，，， 所以， . 当且仅当与同时成立， 所以有，且， 从而由条件②可得，， 此时所求的点的全体为； ②若， 由条件①可得，，且， 从而由条件②可得，， 此时所求的点的全体为. 综上所述，所有符合条件的点的集合为 . 【点睛】关键点点睛：根据定义得出关系式后，根据未知量的范围，分类讨论，去掉绝对值，化简求解. 一、单选题 1．点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式直接计算得解. 【详解】点到直线的距离. 故选：D 2.已知直线：，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角是 B．过与直线平行的直线方程是 C．点到直线的距离是 D．若直线：，则 【答案】B 【分析】求解直线的倾斜角判断A；求解直线方程判断B；点到直线的距离判断C；利用直线的斜率乘积判断D. 【详解】对于A，直线，直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为，所以A错误； 对于B，过与直线平行的直线方程是， 即，故B正确； 对于C，点到直线的距离是，所以C错误； 对于D，直线：的斜率为，故，故D错误. 故选：B． 3.点，点在轴上，则的最小值为（    ） A． B．5 C．4 D． 【答案】B 【分析】求得关于轴的对称点，根据三点共线时取到最小值，进一步计算即可求解 【详解】如图所示， 关于轴的对称点为, 则, 当三点共线时等号成立， 又, 故的最小值为5, 故选：B. 4.若平面内两条平行线：与：间的距离为，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由两直线平行求得，并确定两直线不重合，然后求出两平行线的距离即可得． 【详解】∵，∴，解得或， 时，两直线方程为，即，，符合， 当时，两直线方程，即，，不符合， 故选：B. 【点睛】易错点睛：本题考查两直线平行，考查平行间距离公式，解题时一是由平行的条件之一求出参数值后要检验两直线是平行的（不重合），二是求出平行线间的距离，确定满足题意，否则易出错． 5.的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，分析的几何意义，结合两点间的距离公式即可求解. 【详解】由题意知， ， 设， 则的几何意义为的值， 如图，作点关于x轴的对称点，连接， 与x轴的交点即为所求点P，此时取得最小值，为. 而， 即的最小值为， 所以的最小值为. 故选：D 6.已知过点的直线，且点与点到直线l的距离相等，则直线的方程为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据直线有无斜率，分类讨论，结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，与点到的距离为1，符合题意， 当直线的斜率存在时，设为， 则可设直线方程为：，即， 由于点与点到直线的距离相等， 则，解得， 故直线的方程为，即， 综上所述，直线的方程为或． 故选：C． 7.点为两条直线和的交点，则点到直线：的距离最大为（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】求出点坐标，且直线过定点，当直线与直线垂直时，此时点到直线的距离最大，利用两点间的距离公式计算可得答案. 【详解】由得，即， 直线：，所以直线过定点， 所以当直线与直线垂直时，此时点到直线的距离最大， 且最大值为. 故选：B. 8.已知等腰直角三角形的斜边长为4，点为线段中垂线上任意一点，点为射线上一点，满足，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，以中点为原点建系，设，，即可写出直线的方程，利用点到直线的距离公式可得到距离，从而得到，再按照分类，由基本不等式即可求出最大值． 【详解】令 设中点为，建系，，令 到距离到距离， ①设， ，当且仅当时取等号； ②设， ，当且仅当时取等号． ． 故选：A. 二、多选题 9． 设为实数，若直线的方程为，则下列说法正确的有（    ） A．直线恒过点 B．若直线在轴上的截距为2，则 C．存在使直线经过坐标原点 D．坐标原点到直线的最大距离为 【答案】ABD 【分析】结合直线系方程检验选项A，C，结合直线的截距概念检验选项B，结合点到直线的距离检验选项D． 【详解】若直线的方程为，即， 则，解得，，即直线恒过，A正确，符合题意； 把代入直线的方程为可得，B正确，符合题意； 当，时，显然矛盾，C错误，不符合题意； 由可知， 故原点到直线的距离，D正确，符合题意． 故选：ABD． 10.已知直线和直线，下列说法正确的是（ ） A．当时， B．当时， C．直线过定点 D．当平行时，两直线的距离为 【答案】ACD 【分析】对于，通过是否成立来判断；对于B，将代入即可判断；对于C，将直线变形为，进而可得定点；对于D，利用直线平行的公式求出直线方程，然后利用两平行线的距离公式求解. 【详解】对于，当时，那么直线为， 直线为，此时两直线的斜率分别为和， 所以有，所以，故A选项正确； 对于，当时，那么直线为，直线为，此时两直线重合，故B选项错误； 对于，由直线，整理可得：，故直线过定点，故C选项正确； 对于，当平行时，，解得：或， 当时，两直线重合，舍去； 当时，直线为为， 此时两直线的距离，故D选项正确. 故选：ACD. 11.设，过定点A的动直线：与过定点B的动直线：交于点P，则下列说法正确的有（    ） A． B．面积的最大值为 C． D．的最大值为 【答案】BCD 【分析】由题意知直线分别过定点，，及，由勾股定理及两点间的距离公式即可求得，即可判断A的正误；再由三角形的面积公式及基本不等式可求得面积的最大值，可判断B正误；由基本不等式推论即可求得，可判断C的正误；由勾股定理及两点间的距离公式可求得，设，，在由三角函数，即可求得的最大值. 【详解】A中：直线：，令，则，则定点， ：，化简得，令，则，则， 当时，直线：，直线：，此时两直线垂直， 当，，显然，两直线垂直， 综上两直线互相垂直，则； B中：， 当且仅当时等号成立，B对； C中：由，知：知：，当且仅当时等号成立，C对. 对于D，在中，， 设，，， 所以，当且仅当时等号成立，故D正确． 故选：BCD． 三、填空题 12．已知函数且过定点，直线过定点，则 【答案】5 【分析】由指数函数的性质，直线过定点和两点间距离公式解出即可. 【详解】，； 由得：，直线恒过定点； . 故答案为：. 13. 若点到直线的距离为1，则实数a的值为 ． 【答案】或 【分析】利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】因为点到直线的距离为1， 所以解得：或 故答案为：或 14.在中，，，，点P是内一点（含边界），若，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】建立如图平面直角坐标系，根据向量的坐标运算可得，当直线与直线相交时最大，即可求解. 【详解】以A原点，以所在直线为轴，建立如图平面直角坐标系， 由，得， 设， 因为， 所以，得， 所以，又直线的方程为， 由，解得，此时最大， 所以. 故答案为： 四、解答题 15．直线经过点与点，经过点的直线. (1)求直线的斜率和直线的方程（结果写成一般式）； (2)若点到直线的距离相等，求直线的方程. 【答案】(1)3； (2)或 【分析】（1）斜率存在，根据斜率的计算公式计算即可得出斜率，再根据点斜式方程求出的方程； （2）先设的方程（含参数），根据点A，B到直线的距离相等即可列出参数的方程，求出参数即可得出的方程. 【详解】（1）分析知，斜率存在，则其斜率，其方程为， 即； （2）当的斜率为零或者不存在时，点A，B到直线的距离不相等，故的斜率存在且不为零，设为，则的方程为，即， 又因为点A，B到直线的距离相等，所以， 解得，解得或， 所以直线的方程为或. 16. 已知直线，. (1)若坐标原点O到直线m的距离为，求a的值； (2)当时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）依据点到直线的距离公式建立方程求解即可. （2）联立求出直线交点，再分类讨论直线是否过原点，求解即可. 【详解】（1）设原点O到直线m的距离为， 则，解得或； （2）由解得，即m与n的交点为. 当直线l过原点时，此时直线斜率为， 所以直线l的方程为； 当直线l不过原点时，设l的方程为， 将代入得， 所以直线l的方程为. 故满足条件的直线l的方程为或. 17. 已知三条直线和，且与的距离是． (1)求的值； (2)能否找到一点，使同时满足下列三个条件：①点是第一象限的点；②点到的距离是点到的距离的；③点到的距离与点到的距离之比是，若能，求点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能， 【分析】（1）根据平行间的距离公式建立方程，求解可得答案； （2）设存在点满足，由平行间的距离公式可求得或．得出满足条件②的点满足或．再由点到直线的距离公式可得或，联立方程，求解可得结论. 【详解】（1）因为可化为，所以与的距离为． 因为，所以． （2）设存在点满足，则点在与，平行直线上． 且，即或． 所以满足条件②的点满足或． 若点满足条件③，由点到直线的距离公式，有，即， 所以或，因为点在第一象限，所以不成立． 联立方程和，解得（舍去）， 联立方程和，解得， 所以即为同时满足条件的点. 18. 某学校在平面图为矩形的操场内进行体操表演，其中，，为上一点（不与端点重合），且，线段为表演队列所在位置（分别在线段上），内的点为领队．位置，且点到、的距离分别为、，记，我们知道当面积最小时观赏效果最好． (1)当为何值时，为队列的中点？ (2)求观赏效果最好时的面积． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）建立平面直角坐标系，易得:；：，可设，，，利用点线距离公式可求得点的坐标，再利用中点坐标公式即可求得，最后用两点距离公式可求得，即. （2）由 三点共线，推出，再利用基本不等式以及三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，， ∴直线的方程为，直线的方程为， 设，，． 由题意得,或（舍去）, ∴．为的中点，,解得, ，∴， ∴当时，P为队列的中点． （2）由三点共线，得，即，即， ∴， 又∵ ， 当且仅当，即时，等号成立， ∴观赏效果最好时的面积为． 19．已知直线和点，点到直线的有向距离用如下方法规定：若，，若，． (1)已知直线，直线，求原点到直线的有向距离； (2)已知点和点，是否存在通过点的直线，使得？如果存在，求出所有这样的直线，如果不存在，说明理由； (3)设直线，问是否存在实数，使得对任意的参数都有：点到的有向距离满足？如果满足，求出所有满足条件的实数；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)存在， 【分析】(1)直接利用点到直线的有向距离公式进行计算即可. (2)分斜率存在和斜率不存在两种情况，分别利用点到直线的有向距离公式进行化简，即可求出直线方程. (3)分和，分别计算出，然后根据题意 可得出关于和的等量关系，进行求出的结果. 【详解】（1）由直线，直线，根据点到直线的有向距离公式得， ，； 即， （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时，舍去； 当直线的斜率存在时，直线的方程为， 由题意,所以直线可化为， 假设，则，解得或． 所以存在直线的方程为或； （3）当时，直线， ， 由，整理得 ， ， ， ，即， 当时，直线， 得， 由， 即， 或，解得 或， 由题意对任意的参数都有恒成立，所以， 综上所述，存在实数满足题目条件，即 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$