4.3.1&4.3.2对数的概念和对数的运算法则（3知识点+8题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（湘教版2019必修第一册）

4.3.1&4.3.2 对数的概念和对数的运算法则 课程标准 学习目标 （1）理解对数的概念和运算性质, 知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数。 （1）理解对数的概念; （2）掌握对数的运算法则； （3）掌握换底公式.（难点) 知识点01 对数的概念 概念 一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作 (底数，真数，对数) 解释 对数中对底数的限制与指数函数中对的限制一样. 两个重要对数 常用对数以为底的对数，记为； 自然对数以无理数为底的对数的对数，记为． 对数式与指数式的互化 对数式 指数式 如 ；. 结论 ① 负数和零没有对数 ② 特别地，，， 解释 ， 中，如没意义； 由对数式与指数式的互化得， . 【即学即练1】 若对数有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用对数的定义，列出不等式组并求解即得. 【详解】依题意，，解得且， 所以的取值范围是. 故答案为： 知识点02 对数的运算法则 对数的运算法则 如果，，，有 ① ② ③ ④ 【即学即练2】 计算(1) ；(2) ；(3) 已知，，求． 解 (1)； (2)； (3) . 知识点03 换底公式 ① 公式 ② 推论 （i） （ii） （iii） 【即学即练3】 已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数的换底公式及对数的运算性质即可求出结果. 【详解】由换底公式得，，， 所以. 故选：D. 【题型一：对数的概念】 例1． ．对数中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数真数和底数的性质进行求解即可. 【详解】因为对数式的底数为大于零不等于1的实数，真数为正实数， 所以有， 故选：C 变式1-1．使式子有意义的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的意义建立不等式组求解即可. 【详解】要使式子有意义， 则，即， 解得或， 所以x的取值范围是. 故选：D 【方法技巧与总结】 根据对数的定义可知对数中的底数且，真数。 【题型二：指数式与对数式的互化】 例2．若正数a、b满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，将对数式转化为指数式，利用指数幂的运算法则即可求解. 【详解】解：令， 则， 所以 . 故选：A. 变式2-1．（多选）下列结论中，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】CD 【分析】根据对数式与指数式的互化以及求解对数方程的方法对应各个选项即可求解． 【详解】选项A：由可得：，则，故A错误， 选项B：由可得：，则，故B错误， 选项C：由可得，则，故C正确， 选项D：由可得：，则，故D正确， 故选：CD． 变式2-2．若，，则（    ） A．10 B．20 C．50 D．100 【答案】B 【分析】先根据指对数转化，再应用指数运算律计算即可. 【详解】因为，又因为可得, 所以. 故选：B. 变式2-3．（多选）已知正实数，满足，且，则的值可以为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】AD 【分析】根据指对互化公式和指数的运算律即可求解. 【详解】因为正实数，满足，且， 所以，所以， 所以， 所以即解得或， 当时，当时， 故选：AD. 变式2-4．已知，，，若满足，则的值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】将对数式转化为指数式，建立方程，可得答案. 【详解】由题意，令，则，，， 即，，， 令，则，，，解得， . 故选：C. 【方法技巧与总结】 1 对数式与指数式的互化 对数式 指数式 2 题中遇到对数式和指数式，可利用它们之间的互换，把式子统一转化为对数式或指数式，再进行运算. 【题型三：对数具体数值的运算】 例3．计算下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据对数的运算计算即可. 【详解】（1）原式 ． （2）原式 ． （3）原式 ． 变式3-1． . 【答案】2 【分析】根据对数的运算即可求解. 【详解】,. 故答案为：2 变式3-2．计算下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）利用对数运算性质化简求解即可． 【详解】（1）原式 ． （2）原式 ． 【方法技巧与总结】 1 对数的运算法则 如果，，，有 ① ② ③ ④ 2 在对数运算中，尽量把底数化为同底，遇到根式或平方数、立方数可化为幂的形式。 【题型四：对数的运算性质的应用】 例4．若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先过呢据条件化简得到，法一，根据基本不等式，即可求解；法二，根据条件等式，变形得，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】， 法一：，当且仅当时，上式等号成立， 又，可得时，的最小值为. 故选：A. 法二：，当且仅当时，上式等号成立， 又，可得时，的最小值为. 故选：A. 变式4-1．若，，则的值是（    ） A．3 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用指数式与对数式互化关系及对数换底公式及运算法则计算即得. 【详解】由，得，而， 所以. 故选：A 变式4-2．已知正实数满足，则（    ） A．1 B． C．4 D．1或 【答案】B 【分析】利用对数运算法则化简等式，列出关于的方程求解即得. 【详解】由，得，因此， 整理得，解得，即，经检验符合题意， 所以. 故选：B 变式4-3．已知是定义在R上的奇函数，且，则 ． 【答案】/ 【分析】由题意可得，可得，再由得到关于的方程，从而可解出，则可求出函数解析式，进而可求出. 【详解】因为是定义在R上的奇函数，所以，得， 因为，所以， 所以，得，则， 所以， 经检验，满足题意， 所以. 故答案为： 【方法技巧与总结】 在运算过程中遇到对数，尽量利用对数运算法则化简. 【题型五：运用换底公式化简计算】 例5．计算：． 【答案】13 【分析】方法一：以2和5为底数，利用换底公式结合对数运算法则计算得到答案；方法二：以10为底数，利用换底公式结合对数运算法则计算得到答案. 【详解】方法一：原式 ； 方法二：原式 ． 变式5-1．，，试用a，b表示（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用对数换底公式，结合对数运算法则算计即得. 【详解】由，，则. 故选：B 变式5-2．设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据指对互化，利用对数表示，再结合对数运算判断选项. 【详解】由，得，，， ，，，则， 根据可知，. 故选：C 变式5-3．若实数，，满足且，则（    ） A． B．12 C． D． 【答案】D 【分析】根据指对数的互化可得，，代入，即可计算得到的值. 【详解】因为且，易知且， 所以，， 所以，， 所以，则. 故选：D． 变式5-4．方程的实数解有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】由换底公式变形解对数方程即可. 【详解】，所以或， 所以或， 所以方程的实数解有2个. 故选：C. 【方法技巧与总结】 1 在利用换底公式中，尽量使得对数的底数相同； 2 在利用换底公式中，转化的底数常常为或. 【题型六：运用换底公式证明恒等式】 例6．设，其中，，均大于，且都不为，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】令，且，即可表示出、、，再由、换底公式及对数的运算性质计算可得. 【详解】依题意、、均不为， 令，且， 则，，． 因为，所以， 即， 所以，即． 变式6-1．设均为正数，且均不为1.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】运用换底公式证明即可. 【详解】由题意，根据换底公式，，命题得证. 变式6-2．设，，，且，，利用对数的换底公式证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】利用换底公式，即可证明. 【详解】（1），所以等式成立； （2），所以等式成立. 【题型七：对数运算在实际问题中的应用】 例7．据实验检测可知，海面上的大气压强为760mmHg，海面500m高空处的大气压强为700mmHg，研究表明，大气压强p（单位：mmHg）与高度h（单位：m）之间的关系式为（k为常数）.由此预测海面上1000m高空处的大气压强大约是（保留整数部分）（    ） A．645mmHg B．646mmHg C．647mmHg D．648mmHg 【答案】A 【分析】利用指对数关系可得，结合已知有，进而求海面上1000m高空处的大气压强即可. 【详解】由，可化为，由已知得， 所以mmHg. 故选：A 变式7-1．测量地震级别的里氏震级M的计算公式为：，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，常数是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，而此次地震的里氏震级恰好为6级，那么里氏9级地震的最大的振幅是里氏5级地震最大振幅的（    ）倍． A．10； B．100； C．1000； D．10000． 【答案】D 【分析】根据条件先计算出的值，然后分别计算出里氏9级地震的最大的振幅和里氏5级地震最大振幅，由此可求解出最终结果. 【详解】由条件可知：， 设里氏9级地震的最大的振幅为，里氏5级地震最大振幅为， 所以，所以， 故选：D 变式7-2．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海，”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天的“退步”率都是，一年后是．这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍．那么当“进步值”是“退步值”的5倍时，大约经过（    ）（参考数据：） A．70天 B．80天 C．90天 D．100天 【答案】B 【分析】先根据天后的“进步值”是“退步值”的5倍列方程，应用指对转化求值. 【详解】设天后的“进步值”是“退步值”的5倍，则，即， 两边同时取对数得， 化简得， 所以． 故当“进步值”是“退步值”的5倍时，大约经过80天． 故选:B． 【方法技巧与总结】 在实际问题中，理解题意理解题中给到公式中各字母所表示的含义，对数式常化为指数式再运算. 【题型八：对数运算的综合运用】 例8．已知实数，满足，，则 . 【答案】4 【分析】构造同源函数，根据函数的单调性可得，即可得解. 【详解】由，得， 即，即 又，即， 设函数， 所以在上单调递增， 又， 即， 所以， 所以， 故答案为：. 变式8-1．（多选）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】设，则，，利用幂函数的单调性能求出结果． 【详解】设， 则，可得， 因为，则，则在内单调递减， 所以，，即，. 故选：AB． 变式8-2． 已知，，则 ． 【答案】 【分析】根据等式结构特征先利用换元法化简等式形式为，，然后通过两等式的联系（均可化为形式），构造函数研究出m与n的关系，从而建立x与y的关系，进而求出. 【详解】令，，则，， 由题可得，， 所以，. 因为函数在上单调递减，所以. 由，得， 得，故. 故答案为：. 变式8-3．已知，满足，，则 . 【答案】 【分析】令，根据条件得到，构造函数，利用的单调性，结合，得到，即可求出结果. 【详解】令，则，由，得到， 即，也即，又， 令，易知在上单调递增， 所以，即， 所以， 故答案为：. 【点睛】关键点点晴，本题的关键在于，通过换元，利用同构思想，将变形得到，构造函数，利用的单调性，结合条件，得到，即可求出结果. 变式8-4．已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了， (1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立； (2)运用该不等式比较以下三个值的大小：，， 【答案】(1)；证明见解析 (2) 【分析】（1）根据添加后的浓度大于之前的浓度，得出，利用作差法证明不等式成立即可． （2）利用（1）中结论可得，时，，依此不等式即可比较所给三个数的大小. 【详解】（1）由题意可得：，时，． 证明如下：， ，，，， ，． （2）由（1）知，时，，即； 则， ， 又 综上所述，. 变式8-5．已知函数的定义域，对任意，都有，且时． (1)判断并证明的奇偶性； (2)设，判断并证明在上的单调性； (3)比较与的大小． 【答案】(1)是偶函数，证明见解析 (2)在上单调递增；证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）先令求出，再令得，最后令，，结合奇、偶函数的定义证明即可； （2）将原式变形为，则，设，利用作商法以及单调性概念即可得证； （3）根据第（2）问的结论结合对数函数的性质，解不等式即可得出答案. 【详解】（1）由题意知函数的定义域， 中，取，得， 所以． 取得，所以， 取，得 所以是偶函数； （2）由得， 即 设，则，，， 所以， 所以在上单调递增； （3）因为的定义域为， 所以及得且，， ，所以当， 即且时，，， 由（2）知在上单调递增， 所以， 因为是偶函数，所以是偶函数，， 所以，即， 所以， 同理可得，，时，， 即且时， 综上可知，且时，； 时，； 当且时，． 【点睛】方法点睛：抽象函数奇偶性的判断通常采用赋值法；定义法证明函数单调性步骤：（1）设点；（2）作差或作商；（3）计算化简；（4）定号；（5）下结论. 一、单选题 1．计算的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据对数的运算即可求解. 【详解】 . 故选：C. 2.已知函数，其中a，b均为正数．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出后可求参数的值，再结合对数的性质可求的值. 【详解】，故， 故. 故选：C. 3.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指对数互化、对数的运算性质和换底公式计算找到关系式； 【详解】因为，所以， ，故. 故选：A. 4.设，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换底公式可得，再结合换底公式运算求解. 【详解】因为，则，即， 所以. 故选：C. 5.若，，，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据题意，结合指数幂与对数的互化公式，结合对数的换底公式，即可求解. 【详解】由，，，可得， 所以，则. 故选：B. 6. 已知实数x，y满足，则的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由对数运算得，利用换元思想结合二次函数求最值. 【详解】由得，且， ∴. ∴ ， 当且仅当，，且，即时，等号成立， 故S的最小值是， 故选：A. 7.已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，，根据指数和对数的运算性质可得和是方程的根，又由和均大于可得，即可求解的值. 【详解】令，则， 所以由得，等号两边同除得， 整理得， 令，则， 所以由得，等号两边同除得， 整理得， 所以和是方程的根， 由解得， 又因为，均大于，且函数单调递减，所以，， 所以， 故选：B 8.已知实数满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指对数的运算性质将式子等价变形，构造函数，根据函数的单调性可得，进而可求解. 【详解】由，得. 令，由于均为单调递增函数，所以在上单调递增， 又，所以，所以，所以. 故选：B. 二、多选题 9．设，，为正实数，且，则的大小关系可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】令，，讨论根据的单调性确定大小关系. 【详解】令，则，，， 所以， 当时，，故B正确； 当时，由函数在上为增函数知，所以，故A正确； 当时，由函数在上为减函数知，所以，故C正确D不正确； 故选：ABC 10.已知，则a，b满足（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由对数与指数的互换公式可得，由作差法结合对数的换底公式可判断选项A，由对数运算可判断B；由均值不等式结合由选项B推出的结论可判断选项C,D. 【详解】由，则，则， 所以，所以A正确； ，所以B不正确； 由，因为，故等号不成立，则，故C正确； 因为，故等号不成立，故D正确. 故选：ACD. 11.已知，，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据对数运算法则和基本不等式可知A正确；根据，将BC中的不等式转化为关于的函数的形式，结合对勾函数单调性和基本不等式可确定BC正误；根据对数运算性质可知D正确. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，，， ， 在上单调递增，， ，，B错误； 对于C，由B知：，， ， ，， （当且仅当，即时取等号）， ，，即，C正确； 对于D，，， 若，则，即， ，，D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．已知，且，则xy的值为 ． 【答案】98 【分析】令，把对数式化为指数式，，利用解出，可得的值. 【详解】由对数的性质，得，令，则，. 因为，所以，即，解得. 所以，，从而. 故答案为：98 13.已知，且，则的最小值为 ． 【答案】81 【分析】根据对数的运算性质可得，再结合基本不等式进行求解即可. 【详解】由，，则，，， 又，则，即， 又， 当且仅当，即时，等号成立， 所以可得， 因此的最小值为81. 故答案为：81. 14.整数m，n满足，则 ． 【答案】/ 【分析】设，然后得到，列出方程求解即可. 【详解】设， 则，故，即， 记，则， 解得（负值舍去），即, 故答案为：. 四、解答题 15．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)； (2)； (3)3； (4). 【分析】（1）（2）（3）（4）利用对数换底公式，结合对数性质及运算法则计算即得. 【详解】（1）. （2）. （3）. （4） . 16.已知x，y，z为正数，若，求的值． 【答案】 【分析】指数对数互化，后结合对数的换底公式与运算性质可解. 【详解】令， 所以，，， 因为x，y，z为正数，所以， 所以． 17.已知为实数， (1)求证:； (2)若不等式，对任意实数均成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取对数表示，利用换底公式及对数运算法则证明即可； （2）利用均值不等式求出的最小值，解不等式即可求解. 【详解】（1）令且， 则，，， 所以， ， 故成立. （2）由（1）知，，即， 所以， 当且仅当时，即时等号成立， 由恒成立知，成立， 即，解得. 18.数学运算是指在明晰运算对象的基础上依据运算法则解决数学问题的素养，因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是个符号对数运算与指数幂运算是两类重要的运算． (1)试利用对数运算性质计算的值； (2)已知，，为正数，若，求的值． (3)定义：一个自然数的数位的个数，叫做位数试判断的位数注 【答案】(1) (2) (3)609 【分析】（1）利用对数的运算法则求解； （2）令，则，利用指数式和对数式互化和换底公式求解； （3）设，两边取对数求解. 【详解】（1）解：原式； （2）由题意知，令，则， 所以， 所以； （3）设，则，又， 所以， 所以，则， 所以的位数为 19．定义：如果存在实常数a和b，使得函数总满足，则称函数是“型函数”． (1)已知奇函数是“型函数”，求函数的解析式； (2)已知函数是“型函数”，求p和b的值； (3)已知函数是“型函数”，求一组满足条件的k、a和b的值，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由奇函数定义以及函数新定义联立函数方程组即可得解. （2）由函数型定义结合对数指数运算法则建立函数方程，由函数方程恒成立的条件即可得解. （3）由函数型定义建立函数方程，由函数方程恒成立的条件结合根式和分数指数幂的运算即可得解. 【详解】（1）由题意奇函数是“型函数”，所以，且， 联立解得函数的解析式. （2）由题意函数是“型函数”， 所以， 而， 所以恒成立，当且仅当，解得， 即满足题意的p和b的值分别为. （3）由题意函数是“型函数”， 所以， 而 ， 所以恒成立， 当且仅当恒成立， 当且仅当恒成立或恒成立（舍去）， 所以，解得， 即满足条件的k、a和b的一组值分别为. 【点睛】关键点睛：第（3）问的关键是得到恒成立之后，由可得恒成立或恒成立（舍去），由此即可顺利得解. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.3.1&4.3.2 对数的概念和对数的运算法则 课程标准 学习目标 （1）理解对数的概念和运算性质, 知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数。 （1）理解对数的概念; （2）掌握对数的运算法则； （3）掌握换底公式.（难点) 知识点01 对数的概念 概念 一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作 (底数，真数，对数) 解释 对数中对底数的限制与指数函数中对的限制一样. 两个重要对数 常用对数以为底的对数，记为； 自然对数以无理数为底的对数的对数，记为． 对数式与指数式的互化 对数式 指数式 如 ；. 结论 ① 负数和零没有对数 ② 特别地，，， 解释 ， 中，如没意义； 由对数式与指数式的互化得， . 【即学即练1】 若对数有意义，则的取值范围是 ． 知识点02 对数的运算法则 对数的运算法则 如果，，，有 ① ② ③ ④ 【即学即练2】 计算(1) ；(2) ；(3) 已知，，求． 知识点03 换底公式 ① 公式 ② 推论 （i） （ii） （iii） 【即学即练3】 已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【题型一：对数的概念】 例1． ．对数中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式1-1．使式子有意义的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 根据对数的定义可知对数中的底数且，真数。 【题型二：指数式与对数式的互化】 例2．若正数a、b满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式2-1．（多选）下列结论中，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 变式2-2．若，，则（    ） A．10 B．20 C．50 D．100 变式2-3．（多选）已知正实数，满足，且，则的值可以为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 变式2-4．已知，，，若满足，则的值为（    ） A． B． C．2 D．3 【方法技巧与总结】 1 对数式与指数式的互化 对数式 指数式 2 题中遇到对数式和指数式，可利用它们之间的互换，把式子统一转化为对数式或指数式，再进行运算. 【题型三：对数具体数值的运算】 例3．计算下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 变式3-1． . 变式3-2．计算下列各式的值： (1)； (2)． 【方法技巧与总结】 1 对数的运算法则 如果，，，有 ① ② ③ ④ 2 在对数运算中，尽量把底数化为同底，遇到根式或平方数、立方数可化为幂的形式。 【题型四：对数的运算性质的应用】 例4．若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式4-1．若，，则的值是（    ） A．3 B． C．8 D． 变式4-2．已知正实数满足，则（    ） A．1 B． C．4 D．1或 变式4-3．已知是定义在R上的奇函数，且，则 ． 【方法技巧与总结】 在运算过程中遇到对数，尽量利用对数运算法则化简. 【题型五：运用换底公式化简计算】 例5．计算：． 变式5-1．，，试用a，b表示（    ） A． B． C． D． 变式5-2．设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 变式5-3．若实数，，满足且，则（    ） A． B．12 C． D． 变式5-4．方程的实数解有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【方法技巧与总结】 1 在利用换底公式中，尽量使得对数的底数相同； 2 在利用换底公式中，转化的底数常常为或. 【题型六：运用换底公式证明恒等式】 例6．设，其中，，均大于，且都不为，，求证：． 变式6-1．设均为正数，且均不为1.求证：. 变式6-2．设，，，且，，利用对数的换底公式证明： (1)；(2)． 【题型七：对数运算在实际问题中的应用】 例7．据实验检测可知，海面上的大气压强为760mmHg，海面500m高空处的大气压强为700mmHg，研究表明，大气压强p（单位：mmHg）与高度h（单位：m）之间的关系式为（k为常数）.由此预测海面上1000m高空处的大气压强大约是（保留整数部分）（    ） A．645mmHg B．646mmHg C．647mmHg D．648mmHg 变式7-1．测量地震级别的里氏震级M的计算公式为：，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，常数是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，而此次地震的里氏震级恰好为6级，那么里氏9级地震的最大的振幅是里氏5级地震最大振幅的（    ）倍． A．10； B．100； C．1000； D．10000． 变式7-2．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海，”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天的“退步”率都是，一年后是．这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍．那么当“进步值”是“退步值”的5倍时，大约经过（    ）（参考数据：） A．70天 B．80天 C．90天 D．100天 【方法技巧与总结】 在实际问题中，理解题意理解题中给到公式中各字母所表示的含义，对数式常化为指数式再运算. 【题型八：对数运算的综合运用】 例8．已知实数，满足，，则 . 变式8-1．（多选）若，则（    ） A． B． C． D． 变式8-2． 已知，，则 ． 变式8-3．已知，满足，，则 . 变式8-4．已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了， (1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立； (2)运用该不等式比较以下三个值的大小：，， 变式8-5．已知函数的定义域，对任意，都有，且时． (1)判断并证明的奇偶性； (2)设，判断并证明在上的单调性； (3)比较与的大小． 一、单选题 1．计算的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2.已知函数，其中a，b均为正数．若，则（    ） A． B． C． D． 3.已知，则（    ） A． B． C． D． 4.设，，则等于（    ） A． B． C． D． 5.若，，，则（    ） A． B． C． D．1 6. 已知实数x，y满足，则的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 7.已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 8.已知实数满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．设，，为正实数，且，则的大小关系可能是（    ） A． B． C． D． 10.已知，则a，b满足（    ） A． B． C． D． 11.已知，，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知，且，则xy的值为 ． 13.已知，且，则的最小值为 ． 14.整数m，n满足，则 ． 四、解答题 15．求下列各式的值： (1)；(2)；(3)；(4). 16.已知x，y，z为正数，若，求的值． 17.已知为实数， (1)求证:； (2)若不等式，对任意实数均成立，求实数的取值范围. 18.数学运算是指在明晰运算对象的基础上依据运算法则解决数学问题的素养，因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是个符号对数运算与指数幂运算是两类重要的运算． (1)试利用对数运算性质计算的值； (2)已知，，为正数，若，求的值． (3)定义：一个自然数的数位的个数，叫做位数试判断的位数注 19．定义：如果存在实常数a和b，使得函数总满足，则称函数是“型函数”． (1)已知奇函数是“型函数”，求函数的解析式； (2)已知函数是“型函数”，求p和b的值； (3)已知函数是“型函数”，求一组满足条件的k、a和b的值，并说明理由． 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