专题05 切线的性质与判定+切线长定理【八大考点+知识串讲】-2024-2025学年九年级数学上册重难考点强化训练（人教版）

专题05 切线的性质与判定+切线长定理 考点类型 知识串讲 （一）切线的判定与性质 （1）切线的定义：直线和圆只有一个公共点时，这条直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点． （2）切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径； （3）切线的判定：①作垂直，证半径；②连半径，证垂直 （二）切线长定理 （1）切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． （三）三角形的内切圆 （1）概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心；内心是三角形三个角平分线的交点；它到三角形的三边的距离相等，这个三角形叫做圆的外切三角形， （2）普通三角形与内切圆的关系：r为内切圆的半径 S△ABC=×r×（AB+BC+AC） （3）直角三角形的三边与内切圆的关系 考点训练 考点1：切线的判定——连半径证垂直 典例1：如图，是直径，为上一点，平分交于点，过作的垂线交的延长线于点．求证：为的切线． 【变式1】如图，线段经过圆心O，交于点为的弦，连结 (1)求证：是的切线； (2)若，求的长度． 【变式2】如图，A、B、C、D四点在上，为的直径，于点E，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长； 【变式3】如图，内接于，为的直径，点A是弧的中点，交于M，交于E，． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的长． 考点2：切线的判定——作垂直证半径 典例2：如图，是的角平分线，点是上一点，与相切于点，与交于点、． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，求的度数． 【变式1】如图，，，与交于点O，以O为圆心，长为半径作圆． (1)证明：是的切线； (2)已知 ，求的长． 【变式2】如图，直线经过上一点，并且，，直线与具有怎样的位置关系？请说明理由． 【变式3】如图，在中，平分交于点，以点为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，设的面积为，的面积为，．求常数的值． 考点3：切线的性质——求线段 典例3：如图，是的直径，点在上，且是的切线，过点作的平行线交于点，交于点，连接并延长与相交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式1】如图，在中，，点是的中点，以为直径作，分别与，交于点，，过点作的切线，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式2】已知为的直径，C为上一点，D为的延长线上一点，连接．    (1)如图1，若，，，求的长； (2)如图2，若与相切，E为上一点，且，求证：． 【变式3】如图，中，以为直径的交于点，是的切线，且，垂足为，延长交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 考点4：切线的性质——求半径 典例4：如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且是的切线． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【变式1】如图，是的直径，与相切于点，过作于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求及的半径长． 【变式2】如图，是等腰三角形，，以为直径的交于点，交于点，过点作的切线，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【变式3】如图，在中，，为的外接圆，为的切线，为的直径，连接并延长交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 考点5：切线的性质——求角度 典例5：如图1，在中，和互余，点D是上一点，以为直径作切于点E，连接． (1)若，求的度数； (2)如图2，与交于点F，点F是的中点，，求的半径． 【变式1】如图所示，P是外一点，，分别和切于A，B两点，C是上任意一点，过C作的切线分别交，于D，E． (1)若的周长为10，则的长为　　； (2)连接、，若，则的度数为　　度． 【变式2】如图，、是的切线，切于点，的周长为12，．求： (1)求的长； (2)求的度数． 【变式3】已知直线是的切线，点A是切点，点是上一点，过点作于点，与交于点，连接． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，延长交于点，连接，若，，求的长． 考点6：切线长定理——求周长 典例6：如图，直线、、分别与相切于点、、且，若，，则等于（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图， 的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】为了测量一个光盘的半径，小周同学把直尺、光盘和三角板按图所示放置于桌面上，并测量出AB＝3cm，这张光盘的半径是 ． 【变式3】如图，△ABC周长为20cm，BC=6cm,圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N，则△AMN的周长为 cm. 考点7：直角三角形与内切圆 典例7：如图，与的的三边分别相切于点D、E、F，若，则的半径为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式1】如图，是的内切圆，切点分别为，，，且，，，则的半径是（    ）    A．1 B． C．2 D． 【变式2】如图，在中，，的内切圆与分别相切于点D、E、F，若的半径为2，，则的长 ． 【变式3】《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷九中记载了一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？”根据题意，该内切圆的直径为 步． 考点8：一般三角形与内切圆 典例8：如图，在中，，于， 为的内切圆，设 的半径为，的长为，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【变式1】如图，甲、乙、丙、丁四位同学从四块全等的等腰直角三角形纸板上裁下四块不同的纸板（阴影部分），使得阴影面积尽可能大，他们的具体裁法如下： 甲同学：如图1所示裁下一个正方形，面积记为； 乙同学：如图2所示裁下一个正方形，面积记为； 丙同学：如图3所示裁下一个半圆，使半圆的直径在等腰的直角边上，面积记为； 丁同学：如图所示裁下一个内切圆，面积记为； 则下列判断正确的是（　　） ①；②；③在，，，中，最小 A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【变式2】如图，的周长为，，是的内切圆，的切线与、分别交于点、，则的周长为 ． 【变式3】如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，连接AO、BO、CO、DO，记△AOD、△AOB、△COB、△DOC的面积分别为S1、S2、S3、S4，则S1、S2、S3、S4的数量关系为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 切线的性质与判定+切线长定理 考点类型 知识串讲 （一）切线的判定与性质 （1）切线的定义：直线和圆只有一个公共点时，这条直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点． （2）切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径； （3）切线的判定：①作垂直，证半径；②连半径，证垂直 （二）切线长定理 （1）切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． （三）三角形的内切圆 （1）概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心；内心是三角形三个角平分线的交点；它到三角形的三边的距离相等，这个三角形叫做圆的外切三角形， （2）普通三角形与内切圆的关系：r为内切圆的半径 S△ABC=×r×（AB+BC+AC） （3）直角三角形的三边与内切圆的关系 考点训练 考点1：切线的判定——连半径证垂直 典例1：如图，是直径，为上一点，平分交于点，过作的垂线交的延长线于点．求证：为的切线． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是切线的判定，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．连接，根据角平分线的定义和等腰三角形的性质得到，根据平行线的判定定理得到，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理证明即可． 【详解】证明：连接， 平分， ， ， ， ， ，又， ，又为的半径， 为的切线． 【变式1】如图，线段经过圆心O，交于点为的弦，连结 (1)求证：是的切线； (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】对于（1），根据圆周角定理求出，可得，即可得出答案； 对于（2），先根据直径所对的圆周角是直角得出，即可得出，再根据三角形外角的性质得出，然后根据“等角对等边”得，最后根据正切得定义得出答案． 【详解】（1）∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）如图，连结， ∵是的直径， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴. 在中，， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，正切，三角形外角的性质等，构造直角三角形是求线段长的常用方法． 【变式2】如图，A、B、C、D四点在上，为的直径，于点E，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长； 【答案】(1)见解析 (2)的长是 【分析】（1）连接，则，而，所以，则，因为于点E，所以，即可证明是的切线； （2）由为的直径，得，因为，所以，则，求得，则，所以． 【详解】（1）证明：连接，则， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵于点E， ∴， ∴， ∵是的半径，且， ∴是的切线． （2）解：∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长是． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定定理、直角所对的圆周角是直角、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 【变式3】如图，内接于，为的直径，点A是弧的中点，交于M，交于E，． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，角平分线性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）由是的直径，得，由，得，由，，得，所以，即可证明是的切线； （2）由，，得，则； （3）作于点F，则，由勾股定理，则，可求得，所以，即可由，求得． 【详解】（1）证明：是的直径， ， ∵点A是弧的中点， ， ， ，， ， ， 是的半径，且， 是的切线． （2）证明：， ， ， ， ． （3）解：作于点F， ，， 平分， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长是． 考点2：切线的判定——作垂直证半径 典例2：如图，是的角平分线，点是上一点，与相切于点，与交于点、． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了切线的性质和判定，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质和判定，等腰三角形的性质，灵活运用三角形的内角和定理进行运算是解决问题的关键． （1）连接，过点作于，先根据切线的性质得，再由角平分线的性质得，进而根据切线的判定可得出结论； （2）设，根据角平分线的定义得，，再由得，由得，由此得，然后根据求出，进而可得的度数． 【详解】（1）证明：连接，过点作于，如图所示： 点为的圆心，为的切线，切点为， 为的半径，且， 为平分线，点为上的点，且，， ， 即为的半径， 是的切线； （2）解：设， 为平分线， ，， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ． 【变式1】如图，，，与交于点O，以O为圆心，长为半径作圆． (1)证明：是的切线； (2)已知 ，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确添加辅助线是解题的关键． （1）过O点作，垂足为点E，证明，推出，即可证明； （2）设的半径为r，则，，由得，用勾股定理解求出r，再用勾股定理解即可求出的长． 【详解】（1）证明：过O点作，垂足为点E， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵为半径， ∴为半径， 又∵， ∴是的切线； （2）解：在中，由勾股定理得， ∴， 设的半径为r，则， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 即， 解得：， 在中，由勾股定理得， 即， ∴． 【变式2】如图，直线经过上一点，并且，，直线与具有怎样的位置关系？请说明理由． 【答案】直线是的切线，理由见解析 【分析】根据等腰三角形性质得出，根据切线的判定得出即可． 本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定，熟练掌握切线的判定是解题的关键． 【详解】解：直线是的切线， 理由：连接，如图， ，， ， 为的半径， 直线是的切线． 【变式3】如图，在中，平分交于点，以点为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，设的面积为，的面积为，．求常数的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的证明、角平分线的性质定理、切线长定理以及勾股定理等知识点，掌握圆中相关定理的内容是解题关键． （1）过点作，由角平分线的性质定理可得，即可求证； （2）在中求出，设的半径为，则，，，在中求出即可求解． 【详解】（1）证明：过点作，垂足为，如图， 以点为圆心，长为半径的与相切于点， ， 平分， ， 是的半径，又， 是的切线； （2）解：由（1）知 根据勾股定理得， ，均为的切线，切点分别为和 设的半径为，则，，， 在中，根据勾股定理得， 即， 解得， 即． ． 考点3：切线的性质——求线段 典例3：如图，是的直径，点在上，且是的切线，过点作的平行线交于点，交于点，连接并延长与相交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，然后利用平行线的性质可得，从而可得，然后利用垂径定理可得，从而可得，即可解答； （2）利用（1）的结论可得，再根据直径所对的圆周角是直角可得，从而在中，利用勾股定理求出，进而可得，然后设，则，在和中，利用勾股定理列出关于的方程，进行计算可求出的长，再根据垂径定理可得，从而可得是的中位线，最后利用三角形的中位线定理，进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， 是的直径， ， ， ， 设， ， 在中，， 在中，， ， 解得：， ， ， ， ， 是的中位线， ． 的长为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，三角形的中位线定理，切线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【变式1】如图，在中，，点是的中点，以为直径作，分别与，交于点，，过点作的切线，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，切线的性质，三角形的中位线定理，三角形的面积公式，判断出是解本题的关键． （1）连接，利用已知条件证明，即可得到； （2）连接，先利用勾股定理求出，进而求出，再求出，进而求出，利用面积法即可得出结论． 【详解】（1）证明：连接， ，， ， 是直径， ，即， ， ，， 是的中位线， ， ， 是的切线， ， ， ， ， ； （2）解：在中，根据勾股定理得，， 点是中点， ， 是的直径， ， ， ， ， ． 【变式2】已知为的直径，C为上一点，D为的延长线上一点，连接．    (1)如图1，若，，，求的长； (2)如图2，若与相切，E为上一点，且，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了含的直角三角形、勾股定理以及圆的切线的性质定理等知识点，熟练掌握相关结论是解题关键． （1）在中运用勾股定理求出，运用线段和差关系求出即可求解； （2）根据，，即可求证． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵， ∴． 在中，，，， ∴． 在中，由勾股定理可得 ． ∴． （2）证明：∵与相切， ∴． 即． ∵， ∴． ∵， ∴ ∴． ∴． 【变式3】如图，中，以为直径的交于点，是的切线，且，垂足为，延长交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据已知可得，则，又，等量代换得出，即可证明； （2）过点作于设，证明四边形为矩形，在中，，列方程并解方程，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， 是的切线， 半径， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：过点作于，设， 过圆心 . ，， ， 四边形为矩形， ， 在中，， 即 ， ． 【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定，矩形的判定与性质及勾股定理应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 考点4：切线的性质——求半径 典例4：如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且是的切线． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为2 【分析】本题主要考查了圆的基本性质、圆周角、切线的性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键． （1）连接，结合“直径所对的圆周角为直角”可得，即有，再结合切线的性质可得，进而可得，可证明，结合，易得，即可证明结论； （2）设，在中，根据勾股定理可得，代入数值并计算，即可获得答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵是的切线，为半径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 即的半径为2． 【变式1】如图，是的直径，与相切于点，过作于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求及的半径长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）根据切线的性质，垂直的定义，圆周角定理得出即可； （2）根据矩形的判定和性质，勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接交于点， ∵是的切线，切点为点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是的直径， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 设半径为，即，则， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得． 【点睛】本题考查切线的性质，矩形的判定和性质，圆周角定理以及勾股定理，掌握切线的性质，矩形的判定和性质，圆周角定理以及勾股定理是正确解答的关键． 【变式2】如图，是等腰三角形，，以为直径的交于点，交于点，过点作的切线，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径是5 【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，根据圆周角定理得到，根据切线的性质得到，于是得到； （2）连接．根据切线的性质得到，即，得到，根据勾股定理即可得到结论； 【详解】（1）证明：， ． 是的直径， ， ． 为的切线， ， ． （2）解：连接． 是的直径， ，即． ，， ，则． 在和中，， 即， 解得， 的半径是5． 【变式3】如图，在中，，为的外接圆，为的切线，为的直径，连接并延长交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，中垂线的判定和性质，矩形的判定和性质： （1）连接并延长，交于点，连接，易证垂直平分，圆周角定理，切线的性质，推出四边形为矩形，即可得证； （2）由（1）可知，勾股定理求出的长，设的半径为，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：连接并延长，交于点，连接， ∵，， ∴垂直平分， ∴，， ∵为的切线， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴四边形为矩形， ∴； （2）由（1）知四边形为矩形，，， ∴， ∴， 设的半径为，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； 即：的半径为． 考点5：切线的性质——求角度 典例5：如图1，在中，和互余，点D是上一点，以为直径作切于点E，连接． (1)若，求的度数； (2)如图2，与交于点F，点F是的中点，，求的半径． 【答案】(1)的度数是； (2)的半径是2． 【分析】本题考查了切线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，弧、弦、圆周角之间的关系，直角三角形的性质，作出辅助线是解决本题的关键． （1）连接，首先根据切线的性质可证得，，再根据等腰三角形的性质，可证得，再利用三角形内角和定理即可求得； （2）连接、，根据圆周角定理可证得，从而求出，则可求，，根据含直角三角形的性质求出，，结合即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， 则， ∴， ∵和互余， ∴， ∵， ∴ ∵切于点E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是． （2）解：如图，连接、． ∵点F是的中点， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵和互余 ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴的半径是2． 【变式1】如图所示，P是外一点，，分别和切于A，B两点，C是上任意一点，过C作的切线分别交，于D，E． (1)若的周长为10，则的长为　　； (2)连接、，若，则的度数为　　度． 【答案】(1)5 (2)115 【分析】本题考查了圆的切线长定理，切线的性质定理，圆内接四边形的性质，四边形的内角和定理 （1）根据切线长定理，得，结合的周长为10，得到，计算即可． （2）连接，在上取一点F，连接，利用圆周角定理，圆内解四边形的性质，切线的性质计算即可． 【详解】（1）根据切线长定理，得， ∵的周长为10， ∴，解得， 故答案为：5． （2）连接，在上取一点F，连接， ∵，分别和切于A，B两点； ∴， ∴； ∴， ∵， ∴； 故答案是：115． 【变式2】如图，、是的切线，切于点，的周长为12，．求： (1)求的长； (2)求的度数． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查的是切线长定理，切线长定理提供了很多等线段，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长． （1）可通过切线长定理将相等的线段进行转换，得出三角形的周长等于的结论，即可求出的长； （2）根据三角形的内角和求出和的度数和，然后根据切线长定理，得出和的度数和，再根据三角形的内角和求出的度数． 【详解】（1），都是圆的切线， ， 同理，， 三角形的周长， 即的长为6； （2）， ， ， ，是圆的切线， ； 同理：， ， ． 【变式3】已知直线是的切线，点A是切点，点是上一点，过点作于点，与交于点，连接． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，延长交于点，连接，若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理、等边三角形的性质及判定、角三角形的性质． （1）连接，根据切线的性质得到，然后根据直角三角形的性质可求出； （2）连接，，得．证明是等边三角形，是等边三角形，利用角三角形的性质即可求出． 【详解】（1）解：如图1，连接． 直线是的切线， ， ． ， ，， ， ． 在中，． （2）解：如图2，连接，，则． 由（1）知， ． ，， ． ， ， 是等边三角形， ．      ， 是等边三角形， ，， ． 在中，，， ．                            考点6：切线长定理——求周长 典例6：如图，直线、、分别与相切于点、、且，若，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要是考查了切线长定理，平行线的性质，勾股定理，根据平行线的性质以及切线长定理，即可证明，再根据勾股定理即可求得的长，再结合切线长定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接， 根据切线长定理得：，，，；   ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：． 【变式1】如图， 的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据切线的性质可得，由三角形的内角和定理可得，等量代换即可判断选项B；根据切线长定理可设设，，，由，，，可列出方程组，求解即可判断选项C；过点C作于点H，根据勾股定理得到，构造方程可求出，得到，设的半径为r，即，根据即可求出的半径，从而判断选项D；由，得到，用反证法即可证得不成立，从而判断选项A． 【详解】解：∵，是的切线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，故B选项正确； ∵的内切圆与，，分别相切于点，，， ∴，，， ∵，，， 设，，， ∴，解得， ∴，，，故C选项正确； 过点C作于点H， ∴， 设，则， ∵在中，， 在中，， ∴，解得， ∴， ∴， 连接，，，， 设的半径为r，即， ∵的内切圆与，，分别相切于点，，， ∴，，， ∴， ∴，解得：， ∴，故D选项正确； ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴， 若成立， 则，这与矛盾， ∴不成立，故A选项错误． 故选：A 【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，勾股定理，三角形的内角和定理，圆周角定理等，综合运用相关知识是解题的关键． 【变式2】为了测量一个光盘的半径，小周同学把直尺、光盘和三角板按图所示放置于桌面上，并测量出AB＝3cm，这张光盘的半径是 ． 【答案】3cm． 【分析】连接OA，根据题意求出∠OAB＝60°，再根据直角三角形的性质和勾股定理求得OB，从而得出光盘的直径． 【详解】如图，作OB⊥AB，连接OA， ∵∠CAD＝60°， ∴∠CAB＝120°， ∵AB和AC与⊙O相切， ∴∠OAB＝∠OAC， ∴∠OAB＝∠CAB＝60° ∵AB＝3cm， ∴OA＝6cm， ∴由勾股定理得3cm， ∴光盘的半径是3cm． 故答案为：3cm． 【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，锐角三角函数定义，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握性质及定理是解本题的关键． 【变式3】如图，△ABC周长为20cm，BC=6cm,圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N，则△AMN的周长为 cm. 【答案】8 【分析】先作出辅助线,连接切点,利用内切圆的性质得到BE=BF,CE=CG,ME=MH,NG=NH,再利用等量代换即可解题. 【详解】解：∵圆O是△ABC的内切圆，MN是圆O的切线, 如下图,连接各切点,有切线长定理易得, BE=BF,CE=CG,ME=MH,NG=NH, ∵△ABC周长为20cm, BC=6cm, ∴BC=CE+BE=CG+BF=6cm, ∴△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+AN+FM+GN=AF+AG, 又∵AF+AG=AB+AC-(BF+CG)=20-6-6=8cm 故答案是8 【点睛】本题考查了三角形内接圆的性质,切线长定理的应用,中等难度,熟练掌握等量代换的方法是解题关键. 考点7：直角三角形与内切圆 典例7：如图，与的的三边分别相切于点D、E、F，若，则的半径为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】连接，首先根据切线长定理得到，，然后证明出四边形是正方形，然后设，根据勾股定理求解即可． 【详解】如图， 连接， ∵与相切， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴矩形是正方形， ∴， 设， 中，，，， 由勾股定理得，， ∴， ∴（舍去）， ∴， 故选：D． 【点睛】此题考查了三角形的内切圆，切线长定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 【变式1】如图，是的内切圆，切点分别为，，，且，，，则的半径是（    ）    A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】连接，，，如图，设的半径为r，利用勾股定理计算出，再证明四边形为正方形，则，所以，，进而可证，，因此，由此可解． 【详解】解：连接，，，如图， 设的半径为r， ∵，，， ∴， ∵F点、D点为切点， ∴，， 又∵， ∴四边形为矩形， 又∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴ ， ∴， 同理可证， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的半径为2． 故选C． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明四边形为正方形． 【变式2】如图，在中，，的内切圆与分别相切于点D、E、F，若的半径为2，，则的长 ． 【答案】10 【分析】本题考查三角形的内切圆与内心，切线长定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题．连接．则由题意可知四边形是正方形，边长为2．设，，则，由，由此即可解决问题； 【详解】解：如图连接．则由题意可知四边形是正方形，边长为2． ∵的内切圆与分别相切于点D、E、F， ∴可以假设，， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：10． 【变式3】《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷九中记载了一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？”根据题意，该内切圆的直径为 步． 【答案】6 【分析】本题主要考查了三角形内切圆、勾股定理、三角形面积公式等知识，熟练掌握三角形内切圆的性质是解题关键．首先根据勾股定理解得，设内切圆的半径为，根据三角形面积公式求得的值，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，，，， ∴， 设内切圆的半径为， ∵， ∴， 解得， ∴内切圆的直径是6步． 故答案为：6． 考点8：一般三角形与内切圆 典例8：如图，在中，，于， 为的内切圆，设 的半径为，的长为，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内切圆的特点作出圆心和三条半径，分别表示出的面积，利用面积相等即可解决问题． 【详解】解：如图所示：为中、、的角平分线交点，过点分别作垂线交、、于点、、，   ， ， ， 的长为， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形内切圆的相关性质，本题掌握三角形内切圆的性质，根据已知条件利用三角形面积相等推出关系式是解题关键． 【变式1】如图，甲、乙、丙、丁四位同学从四块全等的等腰直角三角形纸板上裁下四块不同的纸板（阴影部分），使得阴影面积尽可能大，他们的具体裁法如下： 甲同学：如图1所示裁下一个正方形，面积记为； 乙同学：如图2所示裁下一个正方形，面积记为； 丙同学：如图3所示裁下一个半圆，使半圆的直径在等腰的直角边上，面积记为； 丁同学：如图所示裁下一个内切圆，面积记为； 则下列判断正确的是（　　） ①；②；③在，，，中，最小 A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】分别计算结果再比较大小．具体如下：若设四块全等的等腰直角三角形的腰长为1，则斜边长为，只要把四个图中阴影部分的面积都用等腰直角三角形的腰长表示，就可比较它们的大小．根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，可求图1中；设图2中正方形的边长为x,根据等腰直角三角形的性质求得x的值，所以可知；在图3中，设半圆的半径为r,根据切线长定理可求得；在图4中，设三角形的内切圆半径为R，根据切线长定理可求得，；根据以上计算的值进行比较即可判断． 【详解】解：图1中，设四块全等的等腰直角三角形的腰长为1，则斜边长为，图1中阴影正方形的对角线长为，； 图2中，设正方形的边长为x，则，，； 图3中，设半圆的半径为r，则，，； 图4中，设三角形的内切圆半径为R，则，解得：，； 根据以上计算的值进行比较，，在，，，中，最小，所以正确的是②③． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质及内切圆的性质，切线长定理等内容，范围较广． 【变式2】如图，的周长为，，是的内切圆，的切线与、分别交于点、，则的周长为 ． 【答案】8 【分析】设⊙O与△ABC与各边的切点分别为D、E、F，⊙O与MN相切于G点，如图，利用切线长定理得到AD＝AF，BD＝BE，CF＝CE，MD＝MG，NG＝NE，则可计算出AD＋CE＝8，接着利用AB＋BC＝16得到BD＋BE＝8，然后利用等线段代换得到△BMN的周长＝BD＋BE． 【详解】设与与各边的切点分别为、、，与相切于点，如图， ，，， ，即， ， 的周长为24， ， ， 即， ， 的切线与、分别交于点、， ，， 的周长． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了切线长定理． 【变式3】如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，连接AO、BO、CO、DO，记△AOD、△AOB、△COB、△DOC的面积分别为S1、S2、S3、S4，则S1、S2、S3、S4的数量关系为 ． 【答案】S1+S3=S2+S4 【分析】设切点分别为E、F、G、H，由切线性质可知，OE⊥AD，OF⊥CD，OG⊥BC OH⊥AB，OE=OF=OG=OH=r，设DE=DF=a，AE=AH=b，BH=BG=c，CG=CF=d，推出S1+S3=r（a+b）r+ r（c+d）=r（a+b+c+d）=S2+S4． 【详解】解：如图设切点分别为E、F、G、H， 由切线性质可知，OE⊥AD，OF⊥CD，OG⊥BC OH⊥AB，OE=OF=OG=OH=r， 设DE=DF=a，AE=AH=b，BH=BG=c，CG=CF=d， S1=r（a+b）r，S2=r （b+c） S3= r（c+d），S4=r（a+d）， ∴S1+S3=r（a+b）r+ r（c+d）=r（a+b+c+d）， S2+S4=r（a+d）+r （b+c）=r（a+b+c+d）， ∴S1+S3=S2+S4． 故答案为：S1+S3=S2+S4． 【点睛】本题考查了内切圆的性质，熟练运用切线的性质和三角形面积公式是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$