第一、二章 复习试卷2024－2025学年北师大版数学九年级上册

第一、二章复习试卷 一、单选题 1.下列方程中,一元二次方程共有( )个. ①x2﹣2x﹣1=0;②ax2+bx+c=0;③;④﹣x2=0;⑤(x﹣1)2+y2=2;⑥(x﹣1)(x﹣3)=x2 A.1 B.2 C.3 D.4 2.关于x的方程是一元二次方程,则m的值是( ) A. B. C. D.0 3.如图,是菱形的对角线,分别是边的中点,连接,,则下列结论错误的是( ) 第3题 第4题 第6题 第7题 第8题 A. B. C.四边形是菱形 D.四边形是菱形 4.如图,在正方形中,平分交于点,点是边上一点,连接,若,则的度数为( ) A. B. C. D. 5.明明在解关于x的方程时,抄错了a的符号,解出其中一个根是.则原方程的根的情况是( ) A.没有实数根 B.有一个实数根是: C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根 6.如图,在平面直角坐标系中,菱形的边长为,点在轴的正半轴上,且,将菱形绕原点逆时针方向旋转,得到四边形点与点重合,则点的坐标是( ) A. B. C. D. 7.如图,在平面直角坐标系中,点的坐标为,点的坐标为,以为边作矩形.动点分别从点同时出发,以每秒1个单位长度的速度沿向终点移动.当移动时间为4秒时,的值为( ) A. B. C. D. 8.如图,将矩形对折,使与边重合,得到折痕,再将点A沿过点D的直线折叠到上,对应点为,折痕为,,,则的长度为( ) A. B.4 C. D.3 9.如图,在正方形中,点,分别在,上,连接,,,.若,则一定等于( ) 第9题 第10题 第15题 第16题 A. B. C. D. 10.如图(1),点P为菱形对角线上一动点,点E为边上一定点,连接,,.图(2)是点P从点A匀速运动到点C时,的面积y随的长度x变化的关系图象(当点P在上时,令),则菱形的周长为( ) A. B. C.20 D.24 二、填空题 11.若关于x的方程有两个不等的实根,则m的取值范围是 . 12.一元二次方程配方为,则k的值是 . 13.已知a、b是方程的两根,则 . 14.为了加快数字化城市建设,某市计划新建一批智能充电桩,第一个月新建了301个充电桩,第三个月新建了500个充电桩,设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为,根据题意,请列出方程 . 15.如图,在菱形中,,分别在,上,且,与交于点,连接.若,则的大小为 度. 16.如图,在菱形中,垂直平分,垂足为,,那么菱形的面积是 . 三、解答题 17.解方程: (1)x2-x-1=0; (2)(x-2)2=2x-4. (3)2x2-4x-9=0.(配方法) 18.已知关于x的一元二次方程 (1)求证:无论m为何值,方程总有实数根; (2)若,是方程的两个实数根,且,求m的值. 19.在刚刚过去的“五一”假期中,某超市为迎接“五一”小长假购物高潮,经销甲、乙两种品牌的洗衣液.市场上甲种品牌洗衣液的进价比乙种品牌洗衣液的进价每瓶便宜10元,该超市用6000元购进的甲种品牌洗衣液与用8000元购进的乙种品牌洗衣液的瓶数相同. (1)求甲、乙两种品牌的洗衣液的进价; (2)在销售中,该超市决定将甲种品牌的洗衣液以每瓶45元售出,每天固定售出100瓶;但调查发现,乙种品牌的洗衣液每瓶售价50元时,每天可售出140瓶,并且当乙种品牌的洗衣液每瓶售价每提高1元时,乙种品牌的洗衣液每天就会少售出2瓶,当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为多少元时,两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元? 20.阅读材料: 材料1:若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1,x2,则x1+x2=,x1x2= 材料2:已知一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根分别为m,n,求m2n+mn2的值. 解:∵一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根分别为m,n, ∴m+n=1,mn=-1, 则m2n+mn2=mn(m+n)=-1 1=-1 根据上述材料,结合你所学的知识,完成下列问题: (1)材料理解:一元二次方程2x2-3x-1=0的两个根为x1,x2,则x1+x2= ;x1x2= . (2)类比应用:已知一元二次方程2x2-3x-1=0的两根分别为m、n,求的值. (3)思维拓展:已知实数s、t满足2s2-3s-1=0,2t2-3t-1=0,且s≠t,求的值. 21.已知四边形ABCD中,BC=CD.连接BD,过点C作BD的垂线交AB于点E,连接DE. (1)如图1,若,求证:四边形BCDE是菱形; (2)如图2,连接AC,设BD,AC相交于点F,DE垂直平分线段AC. ( )求∠CED的大小; ( )若AF=AE,求证:BE=CF. 22.在矩形中,,,E、F是对角线上的两个动点,分别从A、C同时出发相向而行,速度均为每秒1个单位长度,运动时间为t秒,其中. (1)若G,H分别是,中点,则四边形一定是怎样的四边形(E、F相遇时除外)?_(不用说明理由) (2)在(1)条件下,若四边形为矩形,求t的值; (3)在(1)条件下,若G向D点运动,H向B点运动,且与点E,F以相同的速度同时出发,若四边形为菱形,求t的值. 试卷第1页,共3页 第1页,共3页 学科网(北京)股份有限公司 参考答案: 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D C D B D A A C 1.B 【分析】根据一元二次方程根的定义一一判定即可. 【详解】解:①x2﹣2x﹣1=0,符合一元二次方程的定义,是一元二次方程; ②ax2+bx+c=0,没有二次项系数不为0这个条件,不符合一元二次方程的定义,不是一元二次方程; ③不是整式方程,不符合一元二次方程的定义,不是一元二次方程; ④﹣x2=0,符合一元二次方程的定义,是一元二次方程; ⑤(x﹣1)2+y2=2,方程含有两个未知数,不符合一元二次方程的定义,不是一元二次方程; ⑥(x﹣1)(x﹣3)=x2,方程整理后,未知数的最高次数是1,不符合一元二次方程的定义,不是一元二次方程. 综上所述,一元二次方程共有2个. 故选:B. 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义,解题的关键在于判断一个方程是否是一元二次方程,首先要看是否是整式方程,然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2. 2.B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的概念,只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程,一般形式是(且,特别要注意的条件 . 本题根据一元二次方程的定义求解即可. 【详解】解:根据题意得:, 解得:. 故选:B. 3.D 【分析】根据菱形的性质和三角形的中位线以及菱形的判定可得AC⊥BD且DO=BD,再根据三角形的中位线可得EF=BD,即可得出结论 【详解】∵是菱形的对角线, ∴AC⊥BD且DO=BD, ∵分别是边的中点, ∴EF=BD,EF//BD, ∴EF=DO, ∴选项A正确. ∵AC⊥BD,EF//BD ∴,∴选项B正确. ∵是菱形的对角线, ∴BC=CD,O为AC的中点 ∵分别是边的中点, ∴EO//BC//AD,FO//CD//AB且EO=FO=BC=DC ∴四边形是菱形,∴选项C正确. ∵EF//BD,FO//AB ∴.四边形是平行四边形 ∴选项D错误. 故选D. 【点睛】本题考查了菱形的性质和判定、三角形的中位线定理、平行四边形的判定以及平行线的性质,熟练掌握相关知识是解题的关键. 4.C 【分析】先利用正方形的性质得到,,,利用角平分线的定义求得,再证得,利用全等三角形的性质求得,最后利用即可求解. 【详解】解:∵四边形是正方形, ∴,,, ∵平分交于点, ∴, 在和中, , ∴, ∴ , ∴, 故选:C 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及角平分线的定义,熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键. 5.D 【分析】本题考查根的判别式及一元二次方程的解,熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键. 根据抄错a的符号时得出的根,可求出正确的a的值,再判断出根的判别式的正负即可解决问题. 【详解】解:将代入方程得, 解得, 所以a的正确值为, 则原方程为, 所以, 所以原方程有两个不相等的实数根. 故选:D. 6.B 【分析】延长交轴于点,根据旋转的性质以及已知条件得出,进而求得的长,即可求解. 【详解】解:如图所示,延长交轴于点, ∵四边形是菱形,点在轴的正半轴上,平分,, ∴, ∵将菱形绕原点逆时针方向旋转, ∴,则, ∴ ∴, 在中, ∴, ∴, ∴, 故选:B. 【点睛】本题考查了旋转的性质,菱形的性质,勾股定理,含30度角的直角三角形的性质,坐标与图形,熟练掌握菱形的性质是解题的关键. 7.D 【分析】根据题意,得出,,勾股定理求得,,即可求解. 【详解】解:连接、 ∵点的坐标为,点的坐标为,以为边作矩形. ∴, 则, 依题意,, ∴,则, ∴ ∴, ∴, ∵, ∴ 故选:D. 【点睛】本题考查了坐标与图形,勾股定理求两点坐标距离,矩形的性质,求得的坐标是解题的关键. 8.A 【分析】本题考查了矩形的判定与性质,折叠问题,勾股定理,熟练掌握这些知识点是解题的关键.由折叠的性质得,,,,由勾股定理求出的长,再证四边形是矩形,即可求出的长. 【详解】解:由折叠的性质得,,,, ∵四边形是矩形, ∴,, ∵, ∴, ∴, 在中,由勾股定理得, ∵, ∴四边形是矩形, ∴, ∴, 故选: A. 9.A 【分析】利用三角形逆时针旋转后,再证明三角形全等,最后根据性质和三角形内角和定理即可求解. 【详解】将绕点逆时针旋转至, ∵四边形是正方形, ∴,, 由旋转性质可知:,,, ∴, ∴点三点共线, ∵,,, ∴,, ∵, ∴, 在和中 , ∴, ∴, ∴, ∴, ∵, ∴, 故选:. 【点睛】此题考查了正方形的性质,全等三角形的判定和性质,旋转的性质,解题的关键是能正确作出旋转,再证明三角形全等,熟练利用性质求出角度. 10.C 【分析】根据图象可知,当时,即点与点重合,此时,进而求出菱形的面积,当时,此时点与点重合,即,连接,利用菱形的性质,求出边长,即可得出结果. 【详解】解:由图象可知:当时,即点与点重合,此时, ∴, 当时,此时点与点重合,即,连接,交于点, 则:, ∴, ∴, ∴, ∴, ∴菱形的周长为; 故选C. 【点睛】本题考查菱形的性质和动点的函数图象.熟练掌握菱形的性质,从函数图象中有效的获取信息,是解题的关键. 11.且 【分析】本题考查了一元二次方程的概念,根的判别式和解一元一次不等式,解题的关键是熟练掌握并运用相关知识.根据题意可知且,求解即可. 【详解】解:根据题意得且, 解得:且. 故答案为:且. 12.1 【分析】将原方程变形成与相同的形式,即可求解. 【详解】解: ∴ 故答案为:1. 【点睛】本题主要考查解一元二次方程中的配方法,掌握配方法的解题步骤是解本题的关键. 13. 【分析】利用一元二次方程的解的定义和根与系数的关系,可得,从而得到,然后代入,即可求解. 【详解】解:∵a,b是方程的两根, ∴, ∴, ∴ . 故答案为:. 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系,熟练掌握一元二次方程的解的定义和根与系数的关系是解题的关键. 14. 【分析】根据变化前数量变化后数量,即可列出方程. 【详解】第一个月新建了301个充电桩,该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为. 第二个月新建了个充电桩, 第三个月新建了个充电桩, 第三个月新建了500个充电桩, 于是有, 故答案为. 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用中的增长率问题,若设平均增长率为,则有,其中表示变化前数量,表示变化后数量,表示增长次数.解决增长率问题时要注意区分变化前数量和变化后数量,同时也要注意变化前后经过了几次增长. 15. 【分析】根据菱形的性质以及,利用可得,可得,然后可得,继而可求得的度数. 【详解】解:∵四边形为菱形, ∴,,, ∴,, 在和中, , ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴. 故答案为:. 【点睛】本题考查了菱形的性质,全等三角形的判定和性质,等腰三角形的性质.灵活运用菱形的性质是解题的关键. 16. 【分析】根据菱形的性质和垂直平分线得到 ABC是等边三角形,利用勾股定理求出高AE的长即可解题. 【详解】解:在菱形ABCD中,AB=BC, ∵AE垂直平分BC, ∴AB=AC, ∴ ABC是等边三角形, ∵AB=4, ∴由勾股定理得,AE= , ∴菱形ABCD的面积=4 =. 故答案为. 【点睛】本题考查了菱形的面积,属于简单题,求出 ABC是等边三角形,进而求出高AE是解题关键. 17.(1);(2)x1=2,x2=4;(3)x1=1+,x2=1- 【分析】(1)公式法求解即可 (2)将等号右边移项,然后用因式分解法求解 (3)先化二次项系数为1,然后移动常数项在等号右边,进行配方求解. 【详解】解:(1))x2-x-1=0 ∴ (2)(x-2)2=2x-4 x1=2,x2=4 (3)2x2-4x-9=0 x1=1+,x2=1- 【点睛】本题考查一元二次方程的解法,其中公式法,因式分解法,配方法是重点掌握内容,掌握各种解法是本题的关键。 18.(1)见解析 (2)或. 【分析】(1)根据一元二次方程根的情况与判别式的关系,只要判定即可得到答案; (2)根据一元二次方程根与系数的关系得到,,整体代入得到求解即可得到答案. 【详解】(1)证明:关于的一元二次方程, ∴,,, ∴, ∵,即, ∴不论为何值,方程总有实数根; (2)解:∵,是关于x的一元二次方程的两个实数根, ∴,, ∵, ∴, ∴,整理,得,解得,, ∴m的值为或. 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系,一元二次方程根与系数的关系,熟记一元二次方程判别式与方程根的情况联系、一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键. 19.(1)甲种品牌的洗衣液的进价为30元,乙种品牌的洗衣液的进价为40元 (2)当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为80元时,两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元 【分析】(1)设甲种品牌的洗衣液的进价为x元,乙种品牌的洗衣液的进价为(x+10)元,然后根据题意可列方程进行求解; (2)设当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为m元时,两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元,然后根据题意可列方程进行求解. 【详解】(1)解:设甲种品牌的洗衣液的进价为x元,乙种品牌的洗衣液的进价为(x+10)元,由题意得: , 解得:, 经检验:x=30是原方程的解, ∴乙种品牌的进价为:30+10=40(元), 答:甲种品牌的洗衣液的进价为30元,乙种品牌的洗衣液的进价为40元. (2)解:设当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为m元时,两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元,由题意得: 整理得:, 解得:, 答:当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为80元时,两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元. 【点睛】本题主要考查分式方程及一元二次方程的应用,解题的关键是找准已知与未知量的等量关系. 20.(1); (2) (3)或 【分析】(1)根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可; (2)根据根与系数的关系先求出,,然后将进行变形求解即可; (3)根据根与系数的关系先求出,,然后求出s-t的值,然后将进行变形求解即可. 【详解】(1)解:∵一元二次方程2x2-3x-1=0的两个根为x1,x2, ∴,. 故答案为:;. (2)∵一元二次方程2x2-3x-1=0的两根分别为m、n, ∴,, ∴ (3)∵实数s、t满足2s2-3s-1=0,2t2-3t-1=0, ∴s、t可以看作方程2x2-3x-1=0的两个根, ∴,, ∵ ∴或, 当时,, 当时,, 综上分析可知,的值为或. 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系,完全平方公式的变形计算,根据根与系数的关系求出或,是解答本题的关键. 21.(1)见解析 (2)( );( )见解析 【分析】(1)先根据DC=BC,CE⊥BD,得出DO=BO,再根据“AAS”证明,得出DE=BC,得出四边形BCDE为平行四边形,再根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形,得出四边形BCDE为菱形; (2)( )根据垂直平分线的性质和等腰三角形三线合一,证明∠BEG=∠DEO=∠BEO,再根据∠BEG+∠DEO+∠BEO=180 ,即可得出; ( )连接EF,根据已知条件和等腰三角形的性质,算出,得出,证明,再证明,即可证明结论. 【详解】(1)证明:∵DC=BC,CE⊥BD, ∴DO=BO, ∵, ∴,, ∴(AAS), ∴, ∴四边形BCDE为平行四边形, ∵CE⊥BD, ∴四边形BCDE为菱形. (2)( )根据解析(1)可知,BO=DO, ∴CE垂直平分BD, ∴BE=DE, ∵BO=DO, ∴∠BEO=∠DEO, ∵DE垂直平分AC, ∴AE=CE, ∵EG⊥AC, ∴∠AEG=∠DEO, ∴∠AEG=∠DEO=∠BEO, ∵∠AEG+∠DEO+∠BEO=180 , ∴. ( )连接EF, ∵EG⊥AC, ∴, ∴, ∵ ∵AE=AF, ∴, ∴, , ∴, ∵, ∴, ∴, ∴, ∴, , ∴, , , , ∴, , ∴(AAS), . 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质,三角形全等的判定和性质,菱形的判定,直角三角形的性质,作出辅助线,得出,得出,是解题的关键. 22.(1)四边形是平行四边形 (2)四边形为矩形时或 (3)当时,四边形为菱形 【分析】(1)利用三角形全等可得 则 即可证明; (2)分为两种情况,一种是四边形为矩形,另一种是为矩形,利用即可求解; (3)根据菱形对角线平分且垂直可证明四边形为菱形,再利用勾股定理即可求解. 【详解】(1)解:四边形是平行四边形,理由如下: 由题意得: ∵四边形是矩形, , , ∵分别是中点, , , , , , , ∴四边形是平行四边形; (2)如图1,连接, 由(1)得,,, ∴四边形是矩形, ∴, ①如图1,当四边形是矩形时, ∴, ∵, ∴, ∴; ②如图2,当四边形是矩形时, ∵,, ∴, ∴; 综上,四边形为矩形时或; (3)如图3,M和N分别是和的中点,连接,,,与交于O, ∵四边形为菱形, ∴,,, ∴,, ∴四边形为菱形, ∴, 设,则, 由勾股定理可得:, 即:, 解得:, ∴,即, ∴当时,四边形为菱形. 【点睛】本题考查矩形的判定与性质,菱形的判定与性质,平行四边形的判定与性质,勾股定理等知识点,解题的关键是熟记特殊四边形的判定与性质,在解题中灵活运用. 答案第1页,共2页 答案第1页,共2页 学科网(北京)股份有限公司 $$