1.2.3充分条件、必要条件（同步课件）数学人教B版2019必修第一册

1.2 常用逻辑用语 1.2.3 充分条件、必要条件 第1章 集合与常用逻辑用语 情境与问题 “充分”“必要”是我们日常生活中经常使用的词语，你知道下列语句中的这两个词分别表达的是什么意思吗？ (1)“不断出现的数据让禁放派理由更加充分”(《中国青年报》2014年1月23日)； (2)“做到了目标明确、数据翔实、理由充分、逻辑严密”(《人民日报》2014年8月4日)； (3)“积极乐观的人，相信办法总比问题多，内心充满希望，当然，他们更懂得去寻求必要的帮助，给自己创造更多的机会”(《中国青年报》2015年6月22日)； (4)“文学不只是知识，同时也是一种能力，写作对于一个文学系的学生而言是一种必要的素质”(《人民日报》2015年7月28日). 新知探索 本小节我们要学习数学中的充分条件和必要条件. 我们已经接触过很多形如“若，则”的命题，例如： (1)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； (2)在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么这个锐角所对的直角边等于斜边的一半； (3)如果，那么； (4)如果且，那么. 新知探索 在“如果，那么”形式的命题中，称为命题的条件，称为命题的结论.若“如果，那么”是一个真命题，则称由可以推出，记作，读作“推出”；否则，称由推不出，记作，读作“推不出”. 例如，上述例子中，(1)是一个真命题，即“两条直线都与第三条直线平行”可以推出“这两条直线也互相平行”，这也可记作 两条直线都与第三条直线平行这两条直线也互相平行； 而(3)是一个假命题，即推不出，这也可记作. (1)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； (3)如果，那么； 新知探索 尝试与发现：用类似的方法分析上述例子中的(2)，(4)，并将它们用符号表示出来. (2)是一个真命题，即“在直角三角形中，如果一个锐角等于”可以推出“这个锐角所对的直角边等于斜边的一半”，这也可记作 在直角三角形中，如果一个锐角等于这个锐角所对的直角边等于斜边的一半. (4)是一个真命题，即“”可以推出“”，这也可记作 且. (2)在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么这个锐角所对的直角边等于斜边的一半； (4)如果且，那么. 新知探索 因此， “如果，那么”是真命题， ， 是的充分条件， 是的必要条件， 这四种形式的表达，讲的是同一个逻辑关系，只是说法不同而已. 当时，我们称是的充分条件，是的必要条件；当时，我们称不是的充分条件，不是的必要条件.事实上，前述情境与问题中的“充分”“必要”与这里的充分条件、必要条件表示的是类似的意思. 有人说，充分条件就是“有之即可，无之也行”的条件，必要条件就是“有之未必则可，无之则必不行”的条件，你觉得有道理吗？ 新知探索 例如，因为“如果，则”是真命题，所以 ， 是的充分条件， 是的必要条件. 又如，因为命题“若，则”是真命题，所以 ， 是的充分条件， 是的必要条件. 例题 例1 判断下列各题中，是否是的充分条件，是否是的必要条件： (1)； (2)是矩形，是正方形. 解(1)因为整数都是有理数，从而一定也是实数，即， 因此是的充分条件，是的必要条件. (2)因为矩形不一定是正方形，即， 因此不是的充分条件，不是的必要条件. 新知探索 充分条件与必要条件也可以用集合的知识来理解. 设，，则不难看出，是的子集(如图所示)， 即. 另外，“如果，那么”是真命题，也就是说 ， 是的充分条件， 是的必要条件. 新知探索 一般地，如果，，且(如图所示)，那么，因此也就有是的充分条件，是的必要条件. 例如，设是在北京市出生的人，是在中国出生的人， 则，所以“是在北京市出生的人”可以推出“是在中国出生的人”. 由小范围推大范围 新知探索 充分条件、必要条件还与数学中的判定定理、性质定理有关. 例如，“如果一个函数是正比例函数，那么这个函数是一次函数”可以看成一个判定定理.这指的是，只要函数是正比例函数，那么就可以判定这个函数是一次函数.不难看出，判定定理实际上是给出了一个充分条件，上例中，“函数是正比例函数”是“函数是一次函数”的充分条件. 而“矩形的对角线相等”可以看成一个性质定理.这指的是，只要一个四边形是矩形，那么这个四边形的对角线一定相等.不难看出，性质定理实际上给出了一个必要条件，上例中，“四边形的对角线相等”是“四边形是矩形”的必要条件. 例题 例2 说明下述命题是否可以看成判定定理或性质定理，如果可以，写出涉及的充分条件或必要条件： (1)形如(是非零常数)的函数是二次函数； (2)菱形的对角线互相垂直. 解(1)这可以看成一个判定定理，因此“形如(是非零常数)的函数”是“这个函数是二次函数”的______条件. (2)这可以看成菱形的一个性质定理，因此“四边形对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的______条件. 充分 必要 新知探索 我们已经知道，因为，所以是的______条件，又因为，所以不是的必要条件，把这两方面综合起来，可以说成是的充分不必要条件. 充分 一般地，如果且，则称是的充分不必要条件. 尝试与发现：仿照上述做法，给出是的必要不充分条件的定义，并给出具体实例加以说明. 新知探索 例如，是的必要不充分条件. 一般地，如果且，则称是的必要不充分条件. 一般地，如果且，则称是的充分必要条件(简称为充要条件)，记作，此时，也读作“与等价”“当且仅当”. 例如，当时，有意义；当有意义时，.因此“”是“有意义”的充要条件，即有意义，也可以说成“与有意义等价”“当且仅当有意义”. 例题 例3 在中，判断是否是的充要条件. 解：因为“在三角形中，等角对等边”，所以； 又因为“在三角形中，等边对等角”，所以 从而，因此中，是的充要条件. 新知探索 从集合的观点来看，如果，，且，则，因此也就有是的充要条件. 例如，当，时，不难看出，因此 ，也就是说是的_____条件，与等价，当且仅当. 充要 另外，充要条件与数学中的定义有关.例如，“三条边都相等的三角形称为等边三角形”是三角形的定义，这就意味着，只要三角形的三条边都相等，那么这个三角形一定是等边三角形；反之，如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形的三条边都相等. 新知探索 不难看出，一个数学对象的定义实际上给出了这个对象的一个充要条件.上例中，“三角形的三条边都相等”是“三角形是等边三角形”的充要条件. 注意到“三角形的三个角相等”也是“三角形是等边三角形”的一个充要条件，因此我们也可以将等边三角形定义为：“三个角都相等的三角形称为等边三角形.” 需要补充的是，除了上面提到的充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件，还存在既不是的充分条件，也不是的必要条件的情形，例如，当，时就是如此. 练习 题型一：充分条件的判断与探求 例1.下列命题中，是否是的充分条件？ (4)无实根； (5)设 解：(4)∵当时， 即无实根. ∴，即是的充分条件. (5)∵当时，满足. ∴，即是的充分条件. 练习 方法技巧： 1.定义法判断充分条件的步骤： (1)分清“条件”与“结论”. (2)判断条件能否推出结论. (3)下结论：若“条件结论”，则是的充分条件；若“条件结论”，则不是的充分条件. 2.集合法判断充分条件 已知满足条件,满足条件.若，则是的充分条件. 练习 变1.下列命题中，是否是的充分条件？ (1)在中， (2) (3) (4)一个四边形是等腰梯形，四边形的对角线相等. 解：(1)在中，根据大角对大边可得 (2)由，解得或，不一定有 ∴，即不是的充分条件. (3)∵， ∴，即是的充分条件. (4)∵等腰梯形的对角线相等，∴，即是的充分条件. 练习 题型二：必要条件的判断与探求 例2.(多选)下列命题正确的是( ). A.“”是“”的必要条件 B.“”是“”的必要条件 C.“”是“”的必要条件 D.是的必要条件 答案：AC. 解：∵∴A是真命题； ∵，，∴B是假命题； ∵∴C是真命题； ∵，∴不是的必要条件，D是假命题. 练习 方法技巧： 1.定义法判断必要条件的步骤： (1)分清“条件”与“结论”. (2)判断条件能否推出结论. (3)下结论：若“结论条件”，则是的必要条件；若“结论条件”，则不是的必要条件. 2.集合法判断充分条件 已知满足条件,满足条件.若，则是的必要条件. 练习 变2.下列命题中，是否是的必要条件？ (1)两个三角形面积相等，两个三角形全等； (2)四边形的对角线相等，四边形是矩形； (3) (4)，. 解：(1)两个三角形全等两个三角形面积相等，所以是的必要条件. (2)四边形是矩形四边形的对角线相等，所以是的必要条件. (3)由得或，不一定有，所以不是的必要条件. (4)由得所以是的必要条件. 练习 题型三：充要条件的判断 例3.(多选)下列各题中，是的充要条件的有( ). A.为二次函数 B. C.四边形是正方形，四边形的对角线互相垂直平分 D.或 答案：AD. 解：对于A，当时，可得为二次函数，当为二次函数时，可得故是的充要条件，故A正确. 对于B，当时，或故是的不必要条件，故B错误. 对于C，当四边形对角线互相平分时，不能推出四边形是正方形，故是的不必要条件，故C错误. 对于D，当或时，两边同时平方可得解得或故是的充要条件，故D正确. 练习 方法技巧： 判断充分、必要条件的步骤 认清 找推式 下结论 分清哪个是条件，哪个是结论 判断“若，则”及“若，则”的真假 根据推论及定义下结论 练习 变3.下列各题中，哪些是的充要条件？ (1)且； (2)三角形是等边三角形，三角形是等腰三角形； (3) 解：(1)∵ ∴是的充要条件. (2)∵等边三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形不一定是等边三角形 ∴不是的充要条件，是的充分不必要条件.. (3)∵, ∴是的充要条件. 练习 题型四：利用充分条件与必要条件求参数范围 例4.是否存在实数，使“”是“或”的充分条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 解：令或由，得 当时，即即 此时或 ∴当时，是或的充分条件. 练习 方法技巧： 利用充分条件与必要条件求参数的取值范围问题，常用集合法求解，其步骤如下： (1)化简集合和； (2)根据与的关系(充分条件、必要条件等)，得出集合与之间的包含关系； (3)列出相关不等式(组)(也可借助数轴)； (4)化简，求出参数的取值范围. 练习 变4.已知条件：条件，若是的充分条件，则实数的取值范围是？若是的必要条件，则实数的取值范围是？ 解：由得 令， 若是的充分条件，则 即∴. 若是的必要条件，则 即∴. 课堂小结&作业 课堂小结： (1)充分条件、必要条件的判断； (2)“充分而不必要条件、必要而不充分条件、充要条件”的判断. 作业： (1)整理本节课的题型； (2)课本P36的练习，练习； (3)课本P37的习题. 谢谢学习 Thank you for learning $$