精品解析：广东省广州市越秀区广铁一中2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试题

2023学年第一学期初三年级开学学情摸查 数学题目 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 若在实数范围内有意义，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案． 【详解】解：由题意得：， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数是解题的关键． 2. 以下列各组线段的长为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 9，16，25 B. 8，15，17 C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】先根据三角形的三边关系定理看看能否组成三角形，再根据勾股定理的逆定理逐个判断即可． 【详解】解：A、，不符合三角形三边关系定理，不能组成三角形，即也不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； B、，即三角形是直角三角形，故本选项符合题意； C、，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意； D、，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键． 3. 在四边形中，，当满足下列哪个条件时，可以得出四边形是平行四边形（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定逐一验证． 【详解】解：与以及，都不能判定或者．故A、B、D不符合题意． 若，则，所以根据“有两组对边互相平行的四边形是平行四边形”可以判定四边形是平行四边形，故C符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的判定定理．掌握定理内容是解题关键． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的运算，根据二次根式的加减法、除法和乘法法则计算即可． 【详解】解：A、与 不能合并，所以A选项错误；   B、原式，所以B选项错误； C、原式，所以C选项正确； D、原式，所以D选项错误． 故选：C 5. 一组数据如下：4，5，5，5，6，这组数据的方差是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由平均数的公式计算出平均数，再根据方差的公式计算即可． 【详解】解：4，5，5，5，6的平均数是； ， 故选：C． 【点睛】本题考查了方差的计算方法，方差等于样本中各数据与平均数差的平方之和再除以样本个数． 6. 如图，在四边形中，E、F分别是、的中点，，若，，则的长度为（　　） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】连接，由E、F分别是、的中点，可知，而，所以，在中，，进而可求出即可解答． 【详解】解：如图，连接， ∵E、F分别是、的中点， ∴，， 又∵， ∴， 则， ∴在中，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的中位线及勾股定理，解题的关键在于正确的作辅助线，找到三角形的中位线． 7. 关于一次函数的图像，下列叙述中正确的个数是（ ） ①必经过点； ②与x轴的交点坐标是； ③过一、二、四象限； ④可由平移得到 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可判断出选项①、②不符合题意；利用一次函数图象与系数的关系，可判断出选项③不符合题意；根据平移的规律可判断出选项④符合题意． 【详解】解：①当x=1时，y=2×1-4=-2， ∴一次函数y=2ε-4的图象经过点(1，-2)，选项①不符合题意； ②当y=0时，2x-4=0，解得∶x=2， ∴与x轴的交点坐标是(2，0)，选项②不符合题意； ③∵k=2>0，b=-4<0， ∴一次函数y=2x-4的图象经过第一、三、四象限，选项③不符合题意 ④一次函数y=2x-4的图象可由y=2x向下平移4个单位得到，选项④符合题意 故选∶D． 【点睛】此题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键． 8. 当时，关于x的一元二次方程的根的情况为（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据得，根据一元二次方程根的判别式和配方法得，即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，配方法，解题的关键是掌握这些知识点． 9. 如图，直线与轴交于点A，以OA为斜边在轴上方作等腰直角三角形OAB，将直线沿轴向左平移，当点B落在平移后的直线上时，则直线平移的距离是（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质求得点、的长度，即点B的纵坐标，表示出B′的坐标，代入函数解析式，即可求出平移的距离． 【详解】解：， 当时，， 解得：， 即， 过作于， ∴是以为斜边的等腰直角三角形， ∴， 即点的坐标是， 设平移的距离为， 则点的对称点的坐标为， 代入得：， 解得：， 即平移的距离是6， 故答案为：C． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形和平移的性质等知识点，能求出B′的坐标是解此题的关键． 10. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交轴、轴于、两点，若为轴上的一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出点，点坐标，由勾股定理可求的长，作点关于的对称点，连接，，过点作于，可证是等边三角形，由直角三角形的性质可得，则，即当点，点，点三点共线时，有最小值，即有最小值，再利用等积法可求解． 【详解】解：∵一次函数分别交轴、轴于、两点， 当时，， 当时，， ∴，， ∴，， ∴， 如图，作点关于的对称点，连接，，过点作于， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点，点三点共线时，有最小值，即有最小值， 此时，是等边三角形， ∵， ∴ ∴， ∴有最小值为， ∴的最小值为， 故选：D． 【点睛】本题是胡不归问题，考查了一次函数的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，确定点的位置是解题的关键． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 已知正比例函数的图象上有两点，，则______． 【答案】##小于 【解析】 【分析】根据正比例函数中k的值确定函数的增减性，然后比较与的大小即可． 【详解】解：∵正比例函数中的， ∴y随x的增大而增大， ∵图象经过，两点，且， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正比例函数的性质中的函数增减性的知识，解决本题的关键是根据函数的比例系数确定函数的增减性，然后确定两个未知数的大小． 12. 点在平面直角坐标系中，则点P到原点O的距离是______． 【答案】2 【解析】 【分析】构造直角三角形，利用勾股定理直接求解． 【详解】由勾股定理，得． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了勾股定理的计算，二次根式的性质，关键在于掌握好点到两个坐标轴的距离分别是多少． 13. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点A作于点H，连接．若，，则的长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据菱形面积的计算公式求得，再利用直角三角形斜边中线的性质即可求得答案． 【详解】∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为的中点； 在中，为的中点 ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了菱形的性质及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半的性质，根据菱形的面积公式：菱形的面积等于两条对角线乘积的一半是解题的关键． 14. 设，是方程的两个不相等的实数根，则的值为________. 【答案】2022 【解析】 【分析】由一元二次方程的解及根与系数的关系可得：、，将其代入中即可解答． 【详解】解：a，b是方程的两个不相等的实数根， 、， ． 故答案为：2022． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解、根与系数的关系等知识点，根据一元二次方程的解及根与系数的关系得到、是解题的关键． 15. 如图，一次函数与一次函数的图像交于点，则关于x的不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】图象法解不等式即可． 【详解】解：由图象可知，时，直线在直线的上方， ∴不等式的解集为； 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式．解题的关键是掌握图象法解不等式． 16. 如图，正方形，点，在对角线上，连接、，满足，过点做，垂足为，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点D作交于点H，首先证明出，得到，然后结合平行线的性质得到，然后利用勾股定理求出，，然后利用等面积法求出，然后利用等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】如图所示，连接，过点D作交于点H， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 解得 ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴， ∴，即 解得． 故答案为：． 【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先移项，再用因式分解法求解即可； （2）根据公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， 移项得，， 提公因式，得，， ∴； 【小问2详解】 解：， ，，， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， 即，． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法和公式法解一元二次方程是解题的关键． 18. 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE//AC，CE//BD， 求证：四边形OCED是菱形． 【答案】 证明：∵DE//AC，CE//BD， ∴四边形OCED是平行四边形． ∵四边形ABCD是矩形， ∴OC=OD=AC=BD ∴四边形OCED是菱形． 【解析】 【分析】首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形OCED是平行四边形，再根据矩形的性质可得OC=OD，即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形判定出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，菱形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键 19. 如图，． （1）求的长； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂直定义可得，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答； （2）根据勾股定理的逆定理先证明是直角三角形，从而可得，然后利用三角形的面积公式进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴AB的长为； 【小问2详解】 解：∵,， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． 20. 某校为了解学生的身高情况，对本校学生进行了抽样调查．已知抽取的样本中男生和女生的人数相同，利用所得数据绘制成如下所示的统计图表： 身高情况分组表（单位：cm） 组别 身高 A B C D E 男生身高情况频数分布直方图 女生身高情况扇形统计图 根据图表提供的信息，回答下列问题： （1）在样本中，男生身高的众数在______组，中位数在______组； （2）在样本中，女生身高在E组的人数为______； （3）已知该校共有男生400人、女生500人，请估计该校身高在之间的学生共有多少人． 【答案】（1）B，C （2）2 （3）估计该校身高在之间的学生约有380人． 【解析】 【分析】（1）由身高在B组的人数有12人，人数最多，可得众数，结合中位数的定义解答即可； （2）先求出女生身高在E组所占的百分比，再求出总人数然后计算即可得解； （3）分别用男、女生的人数乘以C、D两组的频率的和，计算即可得解． 【小问1详解】 解：由B组的人数最多，所以众数落在B组， 男生总人数为， 按照从低到高的顺序，第20、21两人都在C组， ∴中位数在C组， 【小问2详解】 女生身高在E组的频率为：， ∵抽取的样本中，男生、女生的人数相同， ∴样本中，女生身高在E组的人数有（人）， 【小问3详解】 （人）． 答：估计该校身高在之间的学生约有380人． 【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；众数与中位数的含义，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 21. 如图，已知直线y＝kx+6经过点A（4，2），直线与x轴，y轴分别交于B、C两点． （1）求点B的坐标； （2）求△OAC的面积． 【答案】（1）B（6，0）；（2）12 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求得直线解析式，然后根据图象上点的坐标特征即可求得B的坐标； （2）令x＝0，求得C的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得． 【详解】解：（1）∵直线y＝kx+6经过点A（4，2）， ∴2＝4k+6，解得k＝﹣1 ∴直线为y＝﹣x+6 令y＝0，则﹣x+6＝0， 解得x＝6， ∴B（6，0）； （2）令x＝0，则y＝6， ∴C（0，6）， ∴CO＝6， ∴△OAC的面积＝×4＝12． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数的图象上点的坐标特征，属于基础题目，易于掌握． 22. 一人一盔，安全守规，为保证市民安全出行，某商店以每顶50元的价格购进一批头盔，售价为每顶80元时，每月可售出200顶，在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶，若该商店每月获得的利润为8000元，求每顶头盔的售价是多少元？ 【答案】每顶头盔的售价为70元时，该商店每月获得的利润为8000元 【解析】 【分析】设每顶头盔的售价为x元，根据商店每月获得的利润为8000元列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设每顶头盔的售价为x元，则， 整理得：， 解得：， ∴每顶头盔的售价为70元时，该商店每月获得的利润为8000元． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出一元二次方程是解题的关键． 23. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接交于点，连接、． （1）求证：； （2）若菱形的边长为，，求． 【答案】（1） 证明：四边形是菱形， ，， 且， ， 四边形、四边形都是平行四边形， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）由菱形中，且，易证得四边形是平行四边形，继而可得即可； （2）由菱形的对角线互相垂直，可证得四边形是矩形，根据菱形的性质得出，再根据勾股定理得出的长度即可，理由等边三角形的性质求出，可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接． ， 四边形是矩形， ， 在菱形中，， ， ， ， 在矩形中，， 在中，， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用．注意证得四边形是平行四边形，四边形是矩形是关键． 24. 如图，A点坐标为，直线经过点和点，交轴于点． （1）求直线的函数表达式． （2）点在直线上，且满足，求点的坐标． （3）过点作一条直线，使得直线沿折叠之后正好经过点A，求直线的解析式． 【答案】（1） （2）或； （3）或 【解析】 【分析】（1）设直线的函数表达式为，利用待定系数法将，代入求解即可； （2）点的坐标为，由得，求出m值即可； （3）由直线经过定点得直线的表达式为，点A关于直线的对称点在直线上，得的中点在直线上，由对称的性质知，按照这个思路列等式即可求解． 【小问1详解】 解：设直线的函数表达式为， 将，代入， 得， 解得， ∴直线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）知直线的函数表达式为， 令得， 解得， ∴点的坐标为， ∵A点坐标为， ∴． ∵点在直线上， ∴设点的坐标为， ∵， ∴， 即， ∴， 解得或， 当时，， 当时，， ∴点的坐标为或； 【小问3详解】 解：由题意，直线经过定点， ∴直线的表达式为，即． ∵直线沿折叠之后正好经过点A， ∴点A关于直线的对称点在直线上， 设的坐标为， ∴的中点坐标为，且该点在直线上， ∴， 整理得，． 由对称的性质知， ∴， 整理得， 解得或， 当时， ，直线的表达式为； 当时， ，直线的表达式为， ∴直线的解析式为或． 【点睛】本题考查求一次函数解析式，平面直角坐标系内求三角形的面积，对称的性质，两点间距离公式等，熟练掌握对称的性质是解题的关键． 25. 正方形边上有一动点（不与端点、重合），连接，为上一点，连接． 　　 　　 （1）如图1，连接，若，求的度数； （2）如图2，连接，若，作于点，延长交于点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，，点运动过程中，当取最小值时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形性质，结合四边形内角和为，再由平角定义求解即可得到答案； （2）分别延长，交，于点，，如图所示，由正方形性质，先证明，进而得到，根据两个三角形全等的性质即可得证； （3）根据题意，作图分析得到在中，，则当且仅当、、三点共线时，此时取得最小值；延长交于，连接，如图②所示，根据，再由，设，求出，，即可得到答案． 【小问1详解】 解：四边形是正方形， ，， ， ， ，， 在四边形中，， ， ； 【小问2详解】 证明：分别延长，交，于点，，如图所示： 四边形是正方形， ，， 又， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ，， ， 又， ， 在和中， ， ， ； 【小问3详解】 解：取中点为，连接，，如图①所示： 在中，，则当且仅当、、三点共线时，此时取得最小值； 延长交于，连接，过作于，如图②所示： 在正方形中，，，则， ， ，则， ， 由（2）知，， 在和中， ， ， ，即是直角三角形， 又为中点， ，， 又， ， ，， ， 为的中点， ， 设，则，，，，， ． 【点睛】本题考查正方形综合，涉及正方形性质、三角形全等的判定与性质、四边形内角和、勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质及三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023学年第一学期初三年级开学学情摸查 数学题目 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 若在实数范围内有意义，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组线段的长为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 9，16，25 B. 8，15，17 C. ，， D. ，， 3. 在四边形中，，当满足下列哪个条件时，可以得出四边形是平行四边形（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 一组数据如下：4，5，5，5，6，这组数据的方差是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在四边形中，E、F分别是、的中点，，若，，则的长度为（　　） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 7. 关于一次函数的图像，下列叙述中正确的个数是（ ） ①必经过点； ②与x轴的交点坐标是； ③过一、二、四象限； ④可由平移得到 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 当时，关于x的一元二次方程的根的情况为（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 9. 如图，直线与轴交于点A，以OA为斜边在轴上方作等腰直角三角形OAB，将直线沿轴向左平移，当点B落在平移后的直线上时，则直线平移的距离是（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 10. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交轴、轴于、两点，若为轴上的一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 已知正比例函数的图象上有两点，，则______． 12. 点在平面直角坐标系中，则点P到原点O的距离是______． 13. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点A作于点H，连接．若，，则的长为______． 14. 设，是方程的两个不相等的实数根，则的值为________. 15. 如图，一次函数与一次函数的图像交于点，则关于x的不等式的解集是______． 16. 如图，正方形，点，在对角线上，连接、，满足，过点做，垂足为，若，，则______． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） 18. 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE//AC，CE//BD， 求证：四边形OCED是菱形． 19. 如图，． （1）求的长； （2）求的面积． 20. 某校为了解学生的身高情况，对本校学生进行了抽样调查．已知抽取的样本中男生和女生的人数相同，利用所得数据绘制成如下所示的统计图表： 身高情况分组表（单位：cm） 组别 身高 A B C D E 男生身高情况频数分布直方图 女生身高情况扇形统计图 根据图表提供的信息，回答下列问题： （1）在样本中，男生身高的众数在______组，中位数在______组； （2）在样本中，女生身高在E组的人数为______； （3）已知该校共有男生400人、女生500人，请估计该校身高在之间的学生共有多少人． 21. 如图，已知直线y＝kx+6经过点A（4，2），直线与x轴，y轴分别交于B、C两点． （1）求点B的坐标； （2）求△OAC的面积． 22. 一人一盔，安全守规，为保证市民安全出行，某商店以每顶50元的价格购进一批头盔，售价为每顶80元时，每月可售出200顶，在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶，若该商店每月获得的利润为8000元，求每顶头盔的售价是多少元？ 23. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接交于点，连接、． （1）求证：； （2）若菱形的边长为，，求． 24. 如图，A点坐标为，直线经过点和点，交轴于点． （1）求直线的函数表达式． （2）点在直线上，且满足，求点的坐标． （3）过点作一条直线，使得直线沿折叠之后正好经过点A，求直线的解析式． 25. 正方形边上有一动点（不与端点、重合），连接，为上一点，连接． 　　 　　 （1）如图1，连接，若，求的度数； （2）如图2，连接，若，作于点，延长交于点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，，点运动过程中，当取最小值时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $