精品解析：重庆市第八中学2024-2025学年八年级上学期月考数学试题

9.22定时练习 A卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，请将答题卡上对应选项的代号涂黑． 1. 下列四组数中，是勾股数的一组是（　　） A. 1，2，3 B. 3，4，5 C. 3，3，4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股数的定义，勾股数的定义：都是正整数且满足，满足勾股数的定义即符合题意． 【详解】解：A、，不符合题意，故该选项是错误的； B、，符合题意，故该选项是正确的； C、，不符合题意，故该选项是错误的； D、都不是正整数，不符合题意，故该选项是错误的； 故选：B． 2. 一直角三角形的两直角边长分别为9，12，则斜边长为（　　） A. 13 B. 14 C. 15 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理求边长是解题的关键；根据勾股定理求解即可． 【详解】解：一直角三角形两直角边长分别为9，12， 斜边长为， 故选：． 3. 如图，，添加条件后能用“”判定是（　　） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据（一组斜边和一组直角边对应相等的两个三角形全等）判断即可．本题考查直角三角形全等的判定，解题的关键是理解的意义，属于中考常考题型． 【详解】解：，， ， ， 当时，． 故选：A． 4. 如图，在的正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中，A，B均在格点上，则线段的长为（　　） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了网格与勾股定理，根据正方形网格（每个小正方形的边长都是1）列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 故选：C． 5. 已知：在中，、、分别是、，的对边，则下列条件中不能判断是直角三角形的是（　　） A. B. C. ，， D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长、、满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A中、，， ， 故是直角三角形， 故选项不符合题意； B中、，， ， 故不是直角三角形， 故选项符合题意； C中、，，， ， 故是直角三角形， 故选项不符合题意； D中、， 设，，， ， ， 故是直角三角形， 故选项不符合题意； 故选：B． 6. 如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器，离地距离米，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高米的学生刚走到离门间距米的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．过点作于点，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点． ， 四边形是长方形， 米，米， 米， （米， （米． 故选：B． 7. 如图，中，，于点D，，，则的长为（　　） A. 10 B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，等面积法的应用，熟练的证明是解本题的关键．利用勾股定理先求解，再利用可得答案． 【详解】解：∵， ，， ∴， ∵于点， ∵， ∴， 故选B． 8. 如果三角形的三边分别为，，，那么这个三角形的形状为（　　） A 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．利用勾股定理的逆定理即可判定是直角三角形． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴这个三角形是直角三角形， 故选：B． 9. 等边三角形的边长为，则该三角形的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，熟知等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．根据等边三角形三线合一的性质可得为的中点，即，在直角三角形中，已知、，根据勾股定理即可求得的长，即可求三角形的面积，即可解题． 【详解】解：如图，为等边三角形，， 过点作于点， ， 在中，，， ， ， 故选：D． 10. 如图，中，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为，则的长等于（　　） A. 2 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质和勾股定理，在中，根据勾股定理先求出的值，设，由折叠得，在中，利用勾股定理可求出x的值，即为的长． 【详解】解：在中，， ， 由折叠得，， 设，则，， 在中，， ， 解得， 即， 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填写在答题卷中对应的横线上． 11. 一直角三角形斜边长为，一直角边长为，则另一直角边长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．直接利用勾股定理计算即可． 【详解】解：由勾股定理得：另一直角边长， 故答案为：． 12. 如图，长方形的顶点，在数轴上，点表示若以点为圆心，对角线长为半径作弧，交数轴正半轴于点，则点所表示的数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理等知识；先利用勾股定理求出，根据，点M表示的数为，由此即可解决问题． 【详解】解：由已知可得， 在中，， ， 点M表示的数为 故答案为：． 13. 一副直角三角板按如图所示摆放，其中的长为，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理，二次根式，熟练掌握等腰直角三角形的三边关系和含的直角三角形的三边关系是解题的关键．先在中求出，再在中，利用得出，利用勾股定理得出，即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 将矩形纸片按如图所示折叠，已知，，，，则蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是_____ ． 【答案】26 【解析】 【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，两点之间线段最短，勾股定理，要注意培养空间想象能力，解题的关键是熟练掌握两点之间线段最短．根据题意画出矩形纸片的平面展开图，根据两点之间线段最短连接即可． 【详解】解：依题意，如图， 根据题意可得：展开图中的，． 在中，， ∴， 即蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程是． 故答案为：26． 三、解答题：（本大题共4小题15题16分，16题8分，17题10分，18题10分，共44分） 15. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，零次幂，算术平方根，绝对值，完全平方公式以及平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先分别化简零次幂，算术平方根，绝对值，再运算加减，即可作答． （2）先根据二次根式性质化简以及运算乘法，然后运算减法，即可作答． （3）先根据完全平方公式以及多项式乘多项式展开，再合并同类项，即可作答． （4）先根据完全平方公式以及平方差公式展开，再合并同类项，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 【小问4详解】 解： ． 16. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】化简得：，代值得： 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算及化简求值，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键．先利用整式的运算法则化简，再代入求值即可． 【详解】解： ， 将，代入， 得：． 17. 如图，在中，，，分别是，上的点，且． （1）用尺规作的垂直平分线，交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连接，求证：（补全下面的证明过程，不写证明理由）． 证明：∵， ∴①____________， ∵是的垂直平分线， ∴②_____________， ∴， ∵， ∴， ∴③____________， ∵， ∴， ∴④___________． 【答案】（1）作图见解析 （2）①，②，③，④ 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形中的角度的关系，熟练掌握线段垂直平分线的作法和性质，以及等腰三角形的性质是解题的关键． （1）利用线段垂直平分线的作法作图即可； （2）利用线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形中的角度的关系推理即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 证明：∵， ∴①， ∵是的垂直平分线， ∴②， ∴， ∵， ∴， ∴③， ∵， ∴， ∴④． 故答案为：①，②，③，④． 18. 如图，在中，点D在边上，已知，点E在上，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，即可解答； （2）利用（1）的结论可得：证明，然后在中，利用勾股定理求出的长，即可解答． 本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． 【小问1详解】 证明：，，， ，， ， 是直角三角形， ， ； 【小问2详解】 解：， ∴， ∵，， ， ∴ ． B卷 四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 19. 一直角三角形的两边长分别为和，则第三边的长是________． 【答案】13或##或13 【解析】 【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边12既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即12是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：设第三边为x， （1）若12是直角边，则第三边x是斜边， 由勾股定理得：， ∴（负值舍去）， （2）若12是斜边，则第三边x为直角边， 由勾股定理得：， ∴（负值舍去）， ∴第三边的长为13或． 故答案为：13或． 【点睛】本题考查了利用勾股定理解直角三角形能力，解题的关键是掌握当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解． 20. 如图，圆柱形杯子容器高为，底面周长为，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁点处，蚂蚁需绕行杯子两周到达点的正上方点处，则爬行的最短路径为_____ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理中的最短路径问题的解决方法是解题的关键．利用蚂蚁需绕行杯子两周到达点的正上方点处，将圆柱展开形成平面的爬行路径，再利用两点间线段最短确定路径，最后计算即可． 【详解】解：由题意，蚂蚁需绕行杯子两周到达点的正上方点处， 则将圆柱侧面沿棱展开两次得长方形，如图， 则蚂蚁的爬行路径相当于从爬行到， 当走线段时最短， 由圆柱形杯子容器高为，底面周长为， 得，， 则， 所以， 故答案为：． 21. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长为，点，，均在格点上，是与网格线的交点，则的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查网格中的三角形的面积，熟练掌握网格中三角形的面积求法和分割法求解三角形面积是解题的关键．利用网格求出的面积，再利用即可求解． 【详解】解：由图可得的面积为， 由， 则， 解得：， 故答案为：． 22. 如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…，按照此规律继续下去，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求出面积标记为的等腰直角三角形的直角边长，得到，同理求出，根据规律解答．本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面积的变化找出变化规律是解题的关键． 【详解】解：如图所示， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍， 正方形的边长为2， ∴， 面积标记为的等腰直角三角形的直角边长为， 则， 面积标记为的等腰直角三角形的直角边长为， 则， 面积标记为的等腰直角三角形的直角边长为， 则， 故答案为：． 23. 已知，从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边长度分别为、，计算结果为斜边长度，同理计算可以看成直角边长度分别为、，结果为斜边长度，利用此原理并结合图形解决问题：已知，计算的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据题意灵活构造出直角三角形是解题的关键．取线段，使，在上任取一点，设，，构造，，使，且，，则可得，可得当点，，三点共线时，的值最小，最小值等于的长，构造直角三角形计算即可． 【详解】解：如图，取线段，使，在上取一点，设，，构造，，使，且，， 则，，， 则， 当点，，三点共线时，的值最小， 即的值最小，最小值等于的长， 过点作交延长线于点， 则四边形是长方形， ，， ， 的最小值为． 故答案为：． 五、解答题：（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 24. 台风会引起城市积涝、山体滑坡等严重灾害，为降低台风贝碧嘉的影响，A市实时跟踪其运动状态，气象站测得台风中心在其正南方向800千米的B处，以60千米/时的速度向北偏西的方向移动，已知距台风中心500千米范围内是受台风影响的区域． （1）A市是否会受到台风的影响？请说明理由； （2）如果A市受这次台风影响，那么影响的时间有多长？ 【答案】（1）A市是否会受到台风的影响，理由见详解 （2）A市受这次台风影响的时间为10小时 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用和含角的直角三角形，根据题意正确构造直角三角形是解题的关键． （1）过点A作于点C，根据题意得出的长，进而得出答案； （2）以点A为圆心，500千米为半径画圆交于点D、E，首先求出的长，进而得出的长，因此可求得A市受这次台风影响的时间． 【小问1详解】 解：A市会受到台风的影响，理由如下： 过点A作于点C， 在中，，千米， 千米500千米， A市会受到台风影响； 【小问2详解】 以点A为圆心，500千米为半径画圆交于点D、E， 在中，（千米）， （千米）， A市受这次台风影响的时间为：（小时） 25. 如图，在中，是上一点，、分别在边、上． （1）如图1，若，，，，，求的长； （2）如图2，若，为中点，，，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，平行线的判定与性质，含直角三角形的性质，熟练掌握这些判定与性质，并会利用题中条件正确作出辅助线是解题的关键． （1）利用角平分线的判定定理求出，再利用含直角三角形的性质和勾股定理即可求解； （2）延长至点，使，连接，，过点作，交延长线于点，证明，得，，可得，求出，再利用勾股定理即可求出，再利用线段垂直平分线的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，； 【小问2详解】 解：如图，延长至点，使，连接，，过点作，交延长线于点， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 得， ∴， ∴在中，， ∵，， ∴． 26. 如图所示，等腰直角中，，平面内有两点D、F，连接，满足． （1）如图1，连接，若点F恰好在上，且，求的面积． （2）如图2，连接，若恰好过的中点E，求证：． 【答案】（1）8 （2）见详解 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由等腰三角形的性质得因为，所以则，则，又因为，则的面积为，即可作答． （2）先在上截取，因为点E是的中点，证明，结合等腰直角三角形的性质，证明，则，故，因为，所以，即可作答． 【小问1详解】 解：等腰直角中，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 则的面积． 【小问2详解】 解：如图：在上截取， ∵点E是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.22定时练习 A卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，请将答题卡上对应选项的代号涂黑． 1. 下列四组数中，是勾股数的一组是（　　） A 1，2，3 B. 3，4，5 C. 3，3，4 D. 2. 一直角三角形的两直角边长分别为9，12，则斜边长为（　　） A. 13 B. 14 C. 15 D. 20 3. 如图，，添加条件后能用“”判定（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在的正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中，A，B均在格点上，则线段的长为（　　） A 1 B. 2 C. D. 5. 已知：在中，、、分别是、，的对边，则下列条件中不能判断是直角三角形的是（　　） A. B. C. ，， D. 6. 如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器，离地距离米，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高米的学生刚走到离门间距米的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 如图，中，，于点D，，，则的长为（　　） A. 10 B. C. D. 5 8. 如果三角形的三边分别为，，，那么这个三角形的形状为（　　） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 9. 等边三角形的边长为，则该三角形的面积为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，中，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为，则的长等于（　　） A. 2 B. C. D. 3 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填写在答题卷中对应的横线上． 11. 一直角三角形斜边长为，一直角边长为，则另一直角边长为_________． 12. 如图，长方形的顶点，在数轴上，点表示若以点为圆心，对角线长为半径作弧，交数轴正半轴于点，则点所表示的数为______． 13. 一副直角三角板按如图所示摆放，其中的长为，则的长为_______． 14. 将矩形纸片按如图所示折叠，已知，，，，则蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是_____ ． 三、解答题：（本大题共4小题15题16分，16题8分，17题10分，18题10分，共44分） 15 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 16. 先化简，再求值：，其中，． 17. 如图，在中，，，分别是，上的点，且． （1）用尺规作的垂直平分线，交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）条件下，连接，求证：（补全下面的证明过程，不写证明理由）． 证明：∵， ∴①____________， ∵是的垂直平分线， ∴②_____________， ∴， ∵， ∴， ∴③____________， ∵， ∴， ∴④___________． 18. 如图，在中，点D在边上，已知，点E在上，． （1）求证：； （2）若，求的长． B卷 四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 19. 一直角三角形的两边长分别为和，则第三边的长是________． 20. 如图，圆柱形杯子容器高为，底面周长为，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁点处，蚂蚁需绕行杯子两周到达点的正上方点处，则爬行的最短路径为_____ ． 21. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长为，点，，均在格点上，是与网格线的交点，则的长为________． 22. 如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…，按照此规律继续下去，则的值为_______． 23. 已知，从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边长度分别为、，计算结果为斜边长度，同理计算可以看成直角边长度分别为、，结果为斜边长度，利用此原理并结合图形解决问题：已知，计算的最小值为_____． 五、解答题：（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 24. 台风会引起城市积涝、山体滑坡等严重灾害，为降低台风贝碧嘉的影响，A市实时跟踪其运动状态，气象站测得台风中心在其正南方向800千米的B处，以60千米/时的速度向北偏西的方向移动，已知距台风中心500千米范围内是受台风影响的区域． （1）A市是否会受到台风的影响？请说明理由； （2）如果A市受这次台风影响，那么影响的时间有多长？ 25. 如图，在中，是上一点，、分别在边、上． （1）如图1，若，，，，，求的长； （2）如图2，若，为中点，，，，求的长． 26. 如图所示，等腰直角中，，平面内有两点D、F，连接，满足． （1）如图1，连接，若点F恰好在上，且，求的面积． （2）如图2，连接，若恰好过的中点E，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $