二次函数的图象与性质复习 课件 2024-2025学年浙教版九年级数学上册

第5节　二次函数的图象与性质 思维导图 二次函数 的概念及 三种形式 二次函数 的图象与 性质 二次函数解析 式的确定 二次函数与一元 二次方程的关系 二次函数 图象与a，b， c的关系 方法 具体方法 概念 三种解析式 图象画法 开口方向 顶点坐标 图象 对称轴 解析式 增减性 最值 根据a，b，c的正负 判断二次函数图象 根据二次函数图象 判断相关结论 根据二次函数图象 判断a，b，c的 关系式与0的关系 二次函数图象 的平移 平移前 平移方式 平移后 简记 二次函数的 图象与性质 返回目录 第5节　二次函数的图象与性质 考点精讲 考点 1 二次函数的概念及三种形式 概念 形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的函数叫做二次函数 三种解析式 1. 一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)； 2. 顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中点　　　　为二次函数图象的顶点坐标； 3. 交点式(两根式)：y＝a(x－x1)(x－x2）(a≠0)，其中x1，x2为二次函数图象与x轴交点的横坐标 图象画法 1.列表； 2.描点(一般找五个点：顶点、对称轴两侧各两个点)； 3.用光滑的曲线连接各点 (h，k) 返回目录 第5节　二次函数的图象与性质 1. 下列函数中，一定是二次函数的是(　　) A. y＝ B. y＝(x－1)2－x2 C. y＝5x2 D. y＝ 针对训练 2. 用配方法将二次函数y＝2x2－8x＋7化为y＝a(x－h)2＋k的形式为________________. C y＝2(x－2)2－1 返回目录 第5节　二次函数的图象与性质 考点 2 二次函数的图象与性质 解析式 y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 开口方向 a>0，开口向上 a<0，开口向下 图象 (草图) 对称轴 1.直接运用公式x＝　　　　求解； 2.配方法：将一般式化为顶点式y＝a(x－h)2＋k，则对称轴为直线x＝h 注：还可利用x＝ (其中x1，x2为关于对称轴对称的两个点的横坐标)求解 返回目录 第5节　二次函数的图象与性质 顶点 坐标 1. 直接运用顶点坐标公式(　　　　，　　　　)求解； 2. 运用配方法将一般式转化为顶点式y＝a(x－h)2＋k，则顶点坐标为(h，k)； 3.将对称轴x＝x0代入函数表达式求得对应y0 增减性 当a>0时，在对称轴左侧，y随x的增大而　　　；在对称轴右侧，y随x的增大而______ 当a<0时，在对称轴左侧，y随x的增大而　　　；在对称轴右侧，y随x的增大而______ 最值 当a>0时，y有________； 当x＝ 时，y的最　　值为 当a<0时，y有________； 当x＝ 时，y的最　　值为 减小 增大　 增大　 减小　 最小值 小 最大值 大　 返回目录 第5节　二次函数的图象与性质 【满分技法】 判断函数图象增减性时，可在草稿纸上画出大致图象，数形结合能更快地解决问题 返回目录 第5节　二次函数的图象与性质 针对训练 3. 已知二次函数y＝x2－2x－3，请回答下列问题： (1)该二次函数的图象开口向　　，对称轴为直线　___　， 函数有最　　值(填“大”或“小”)，其最值为　　； (2)当x＞1时，y随x的增大而______； (3)0≤x≤3时，y的最大值为　　，最小值为　　　； (4)若点P(－2，y1)，Q(2，y2)是该二次函数图象上的两个点，则y1　　y2(填“＞”“＜”或“＝”). 上 x＝1 小 －4 增大 0 －4 ＞ 返回目录 第5节　二次函数的图象与性质 考点 3 二次函数图象与a，b，c的关系 1. 根据a，b，c的正负判断二次函数图象 a的正负决定 抛物线开口方向 a＞0 开口向_____ a＜0 开口向_____ a，b共同决定抛物 线对称轴的位置 b＝0 对称轴为　　轴 a，b同号 对称轴在y轴_______ a，b异号 对称轴在y轴_______ c决定抛物线与 y轴交点的位置 c＝0 抛物线过_______ c＞0 抛物线与y轴交于_____半轴 c＜0 抛物线与y轴交于_____半轴 b2－4ac的值决定抛物线与x轴的交点个数 b2－4ac＝0 与x轴有唯一的交点(顶点) b2－4ac＞0 与x轴有　　　交点 b2－4ac＜0 与x轴没有交点 上　 下　 y 左侧　 右侧 原点　 正　 负　 两个　 返回目录 第5节　二次函数的图象与性质 2. 根据二次函数图象判断相关结论 图象 结论 a>0 b　　　0 c　　　0 b2－4ac　　　0 a　　　0 b　　　0 c　　　0 b2－4ac　　　0 a<0 b　　　0 c　　　0 b2－4ac　　　0 a　　　0 b　　　0 c　　　0 b2－4ac>0 ＝ ＝ ＝ ＞ ＞ ＝ ＞ ＞ < < < ＞ ＝ 返回目录 第5节　二次函数的图象与性质 【满分技法】 一看开口方向：根据开口方向确定a的正负； 二看对称轴的位置：根据对称轴的位置及a的正负确定b的正负； 三看与y轴的交点：根据二次函数图象与y轴的交点确定c的正负； 四看与x轴交点的个数：根据交点个数判断b2－4ac与0的大小关系，进而判断方程ax2＋bx＋c＝0的解的情况 返回目录 第5节　二次函数的图象与性质 3. 根据二次函数图象判断a，b，c的关系式与0的关系 关系式 实质 2a＋b 实质是结合a的正负比较－ 与1的大小关系 2a－b 实质是结合a的正负比较－ 与－1的大小关系 a＋b＋c 实质是令x＝1，看纵坐标正负 a－b＋c 实质是令x＝－1，看纵坐标正负 4a＋2b＋c 实质是令x＝2，看纵坐标正负 4a－2b＋c 实质是令x＝－2，看纵坐标正负 返回目录 第5节　二次函数的图象与性质 4. 如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的图象，填空(填“＞”“＜”或“＝”). ①a　　0； ②b　　0； ③c　　0； ④b2－4ac　　0； ⑤2a＋b　　0； ⑥a＋b＋c　　0. 针对训练 第4题图 ＜ ＞ ＜ ＞ ＜ ＞ 返回目录 第5节　二次函数的图象与性质 考点 4 二次函数解析式的确定 方法 待定系数法 具体方法 1. 对于二次函数解析式y＝ax2＋bx＋c，若系数a，b，c中有一个未知，则代入函数图象上任意一点坐标；若有两个未知，则代入函数图象上任意两点坐标； 2. 对未给定二次函数解析式，根据所给点坐标选择适当的表达式(以下a均不等于0)； (1)顶点在原点，可设为y＝ax2； (2)对称轴是y轴，可设为y＝ax2＋c； (3)顶点在x轴上，可设为y＝a(x－h)2； 返回目录 第5节　二次函数的图象与性质 具体方法 (4)抛物线过原点，可设为y＝ax2＋bx； (5)已知顶点(h，k)时，可设为顶点式_________________； (6)已知抛物线与x轴的两个交点坐标为(x1，0)，(x2，0)，或已知对称轴与x轴的一个交点坐标为(x1，0)时，利用对称轴可求出另外一个交点的坐标(x2，0)，可设为交点式__________________； (7)已知函数图象上任意三点，可设为y＝ax2＋bx＋c 3. 联立一次方程(组)，求得系数或常数项； 4. 将所得系数或常数项代入解析式即可 y＝a(x－h)2＋k y＝a(x－x1)(x－x2) 返回目录 第5节　二次函数的图象与性质 5. 已知二次函数y＝mx2＋2mx＋1的图象经过点(－1，2)，则该二次函数的表达式为 _________________. 6. 已知抛物线y＝ax2＋bx－5经过点A(1，0)，B(2，3)，则该抛物线的表达式为_______________________． 7. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的顶点坐标为(－1，1)，且经过点(0，－3)，则该二次函数的表达式为______________________． 针对训练 y＝－x2－2x＋1 y＝－x2＋6x－5 y＝－4(x＋1)2＋1 返回目录 第5节　二次函数的图象与性质 考点 5 二次函数图象的平移 平移前 平移方向(m>0) 平移后 简记 y＝a(x－h)2＋k (a≠0) 向左平移m个单位 _____________________ 左“＋” 右“－” 上“＋” 下“－” 向右平移m个单位 _____________________ 向上平移m个单位 _____________________ 向下平移m个单位 _____________________ 【满分技法】在抛物线的解析式为一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的平移过程中，先把抛物线的解析式化成顶点式，然后根据平移规律：左右平移给x左加右减，上下平移给等号右边整体上加下减 y＝a(x－h＋m)2＋k y＝a(x－h－m)2＋k y＝a(x－h)2＋k＋m y＝a(x－h)2＋k－m 返回目录 第5节　二次函数的图象与性质 8. 将二次函数y＝－3(x＋5)2－2的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的新二次函数的表达式为_____________________． 9. 将抛物线y＝－x2＋4x－3先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，则平移后的新抛物线的表达式为___________________． 针对训练 y＝－3(x＋3)2＋2 y＝－x2＋2x－2 返回目录 第5节　二次函数的图象与性质 考点 6 二次函数与一元二次方程的关系 二次函数与一元二次方程的关系 1. 方程ax2＋bx＋c＝0的解是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点的横坐标值； 2. b2－4ac>0⇔抛物线与x轴有______交点⇔方程有____________的实数根； 3. b2－4ac＝0⇔抛物线与x轴有_____交点⇔方程有___________的实数根； 4. b2－4ac<0⇔抛物线与x轴无交点⇔方程___________ 两个　 两个不相等　 一个　 两个相等　 无实数根 返回目录 第5节　二次函数的图象与性质 针对训练 10. 如图，直线l是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠)图象的对称轴，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解为__________________． 第10题图 x1＝1，x2＝3 返回目录 第5节　二次函数的图象与性质 一题串讲重难点 基础知识巩固 例1　 在探究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与性质的过程中，x与y的几组对应值列表如下： 根据表格所提供的数据，完成下列习题： x … －1 0 1 2 3 … y … 0 －3 －4 －3 0 … 返回目录 第5节　二次函数的图象与性质 (1)该二次函数图象的对称轴为直线_______，顶点坐标为__________， 二次函数有最____值，其值为_________； 【解法提示】∵点(0，－3)，(2，－3)在二次函数的图象上， ∴二次函数图象的对称轴为直线x＝ ＝1， ∴顶点坐标为(1，－4)，由表可知，对称轴左侧y随x的增大而减小，对称轴右侧，y随x的增大而增大， ∴二次函数有最小值，最小值为－4. x＝1 (1，－4) 小 －4 x … －1 0 1 2 3 … y … 0 －3 －4 －3 0 … 返回目录 第5节　二次函数的图象与性质 (2)该二次函数图象与x轴的交点坐标为________________，与y轴的交点坐标为_________； 【解法提示】∵当x＝－1或x＝3时，函数值均为零， ∴二次函数图象与x轴有两个交点，且两个交点分别为(－1，0)和(3，0). ∵当x＝0时，y＝－3， ∴二次函数图象与y轴的交点为(0，－3). (－1，0)和(3，0) (0，－3) x … －1 0 1 2 3 … y … 0 －3 －4 －3 0 … 返回目录 第5节　二次函数的图象与性质 (3)在如图所示的平面直角坐标系中画出函数的图象； 例1题图 (3)画出函数图象如解图所示； x … －1 0 1 2 3 … y … 0 －3 －4 －3 0 … 例1题解图 返回目录 第5节　二次函数的图象与性质 (4)该二次函数的表达式为___________________________； 【解法提示】由(1)知，该二次函数的顶点坐标为(1，－4)， ∴设二次函数的表达式为y＝a(x－1)2－4(a≠0)，将x＝－1，y＝0，代入y＝a(x－1)2－4得0＝a(－1－1)2－4，解得a＝1， ∴该二次函数的表达式为y＝(x－1)2－4＝x2－2x－3. y＝(x－1)2－4或y＝x2－2x－3 返回目录 第5节　二次函数的图象与性质 (5)若二次函数图象上的点A(4，5)关于对称轴对称的点为点B，则点B的坐标为_________； 【解法提示】∵点A与点B关于对称轴对称， ∴两点的纵坐标相同， ∵二次函数图象的对称轴为x＝1， ∴点B的横坐标为－2， ∴点B的坐标是(－2，5). (－2，5) 例1题解图 返回目录 第5节　二次函数的图象与性质 (6)若点(－ ，y1)，( ，y2)，( ，y3)都在该二次函数的图象上，则y1，y2，y3 的大小关系是_________(用“＜”连接)； 【解法提示】由二次函数图象的开口向上可知，点离对称轴越近对应的函数值越小， ∵ | －1|＜|－ －1| ＜ | －1|， ∴y2＜y1＜y3. y2<y1<y3 例1题解图 返回目录 第5节　二次函数的图象与性质 (7)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解是______________； x＝－1或x＝3 (8)将该二次函数的图象先向右平移3个单位长度，平移后的二次函数的表达式为______________，再向下平移4个单位长度，平移后的二次函数的表达式为______________； 【解法提示】由(4)可知二次函数的表达式为y＝(x－1)2－4， ∴将二次函数的图象先向右平移3个单位长度得到 y＝(x－1－3)2－4＝x2－8x＋12， 再向下平移4个单位长度得到y＝x2－8x＋12－4＝x2－8x＋8. y＝x2－8x＋12 y＝x2－8x＋8 返回目录 第5节　二次函数的图象与性质 (9)a＋b＋c_____0，4a－2b＋c_____0，9a＋3b＋c____0.（填“＜”“＞”或“＝”） 【解法提示】观察函数图象可知，当x＝1，即y＝a＋b＋c时，函数图象在x轴下方，∴y＜0，∴a＋b＋c＜0， 当x＝－2，即y＝4a－2b＋c时，函数图象在x轴上方， ∴y＞0，∴4a－2b＋c＞0， 当x＝3，即y＝9a＋3b＋c时，函数图象与x轴相交， ∴y＝0，∴9a＋3b＋c＝0. ＜ ＞ ＝ 例1题解图 返回目录 第5节　二次函数的图象与性质 重难考法突破 二次函数的图象与性质(每年1～2考) 例2　 如图①，二次函数y＝ax2＋4x＋c(a≠0)的图象交x轴于A(－3，0)，B两点，交y轴于点C(0，－6). (1)求二次函数的表达式； 例2题图① 【思维教练】将点A，C的坐标分别代入二次函数的表达式即可求解． 解：(1)将A(－3，0)，C(0，－6)分别代入y＝ax2＋4x＋c中，得 返回目录 第5节　二次函数的图象与性质 解得 ∴二次函数的表达式为y＝2x2＋4x－6； 例2题图① 解：(1)将A(－3，0)，C(0，－6)分别代入y＝ax2＋4x＋c中，得 返回目录 第5节　二次函数的图象与性质 (2)求二次函数图象的顶点坐标； 【思维教练】将二次函数的表达式化为顶点式即可求解． 例2题图① (2)∵y＝2x2＋4x－6＝2(x＋1)2－8， ∴二次函数图象的顶点坐标为(－1，－8)； 返回目录 第5节　二次函数的图象与性质 (3) 如图②，点D是抛物线顶点，求△ACD的面积； 核心设问 例2题图② 【思维教练】过点C作CE∥x轴，交AD于点E，将△ACD的面积转化为△ACE和△CDE的面积之和．利用点A，D的坐标求出直线AD的表达式，利用点C的坐标求出点E的坐标和CE的长，然后分别 以CE为底，结合点D，E的坐标即可分别求出 △ACE和△CDE的面积． (3)如图，过点C作CE∥x轴，交AD于点E， E 设直线AD的表达式为y＝kx＋b(k≠0)， 由(2)可知，二次函数图象的顶点D的坐标为(－1，－8)， 返回目录 第5节　二次函数的图象与性质 将A(－3，0)，D(－1，－8)分别代入y＝kx＋b中，得 解得 ∴直线AD的表达式为y＝－4x－12， 将y＝－6代入y＝－4x－12，得x＝－ ， ∴CE＝ ， ∴S△ACD＝S△ACE＋S△CDE＝ CE·(－yE)＋ CE·(yE－yD) ＝ CE·(－yD)＝ × ×8＝6； 例2题图② E 返回目录 第5节　二次函数的图象与性质 (4)当－3≤x≤0时，求y的最大值和最小值； 【思维教练】因为二次函数的对称轴在所给区间之间，故函数图象的顶点纵坐标即为最小值，比较所给区间两个端点离对称轴的远近，当二次函数图象开口向上时，离对称轴越远的点的函数值 越大． 例2题图② (4)∵y＝2(x＋1)2－8， ∴抛物线的对称轴为直线x＝－1， ∴当x＝－1时，y最小，最小值为－8， 返回目录 第5节　二次函数的图象与性质 ∵|－1－(－3)|＞|0－(－1)|， ∴当x＝－3时，y最大，最大值为2(－3＋1)2－8＝0， ∴当－3≤x≤0时，y的最大值为0，最小值为－8； 例2题图② 返回目录 第5节　二次函数的图象与性质 (5)当t≤x≤t＋1时，y的最小值是－ ，求t的值． 例2题图② 【思维教练】因为所给区间为不定区间，故需讨论对称轴与所给区间的位置关系，分三种情况讨论：①t＋1<－1；②t≤－1≤t＋1；③t>－1，对于①和③，利用函数的增减性确定当x取哪个端点时 函数值最小，对于②，顶点纵坐标即为函数的最小值， 分别列方程即可求解． (5)若t＋1<－1，即t<－2， 当x＝t＋1时，y最小， ∴2(t＋1)2＋4(t＋1)－6＝－ ， 返回目录 第5节　二次函数的图象与性质 解得t＝－ (舍去)或t＝－ ； 若t≤－1≤t＋1，即－2≤t≤－1，y的最小值是－8，不符合题意； 若t>－1，则当x＝t时，y最小， ∴y＝2t2＋4t－6＝－ ， 解得t＝－ 或t＝－ (舍去). 综上所述，t的值是－ 或－ . 例2题图② $$