清单02 一元二次方程（12个考点梳理+题型解读+提升训练）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（华东师大版）

清单02一元二次方程（12个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】 一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。 注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件： （1）是整式方程，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程） （2）只含有一个未知数； （3）未知数项的最高次数是2。 【清单02】 一元二次方程的一般形式 一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。 注意：（1）ax²+bx+c=0中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程 （2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏掉前面的性质符号。 【清单03】一元二次方程的解 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二 次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解. 【清单04】 一元二次方程的重要结论 （1）若a+b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=1;若x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a+b+c=0。 （2）若a-b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=-1;若x=11是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a-b+c=0。 【清单05】 解一元二次方程 1.直接开方 注意： （1）等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数 （2）降次的实质是有一个一元二次方程转化为两个一元一次方程 （3）方法是根据平方根的意义开平方 2.配方法 用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是： ①化为一般形式； ②移项，将常数项移到方程的右边； ③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； ④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解． 总结： 3.公式法 用公式法求一元二次方程的一般步骤： （1）把方程化成一般形式， （2）求出判别式 4.因式分解 因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下： （1）移项，使方程的右边化为零； （2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积； （3）令每个因式分别为零； （4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。 【清单06】 一元二次方程的判别式 根的判别式： ① 时，方程有两个不相等的实数根； ② 时，方程有两个相等的实数根； ③时，方程无实数根，反之亦成立 【清单07】一元二次方程的根与系数 根与系数的关系：即的两根为，则，。利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如 解题技巧： 当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理 【清单08】一元二次方程的实际应用 1. 变化率问题 设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一次增长（或下降）后 为 ；第二次增长（或下降）后为 ²．可列方程为 ²=b 2. 传染、枝干问题 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 设每轮传染中平均一个人传染了x个人： 3. 握手、比赛问题 握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握次手。赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送张卡片。 4. 销售利润问题 （1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量； 5. 几何面积问题 （1）如图①，设空白部分的宽为x,则； （2）如图②，设阴影道路的宽为x,则 （3）如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则 6. 动点与几何问题 关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程. （2）每每问题中，单价每涨a元，少买b件。若涨价y元，则少买的数量为 【考点题型一】一元二次方程的概念 【典例1-1】下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】把方程化成一般形式，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【变式1-1】下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】如果关于x的方程是一元二次方程，那么m的取值范围为 ． 【变式1-3】把方程化为一元二次方程的一般形式是 ． 【考点题型二】一元二次方程的解 【典例2】已知方程由一个根是，则 的值是（        ） A． B． C． D． 【变式2-1】若关于x 的一元二次方程 有一个根为0，则a 的值为（    ） A． B．1 C． D．0 【变式2-2】如果关于x 的一元二次方程的一个解是，则 ． 【变式2-3】若是关于的方程的解，则的值为 ． 【考点题型三】解一元二次方程 【典例3】解方程： (1)； (2)． 【变式3-1】解方程： (1)； (2)； 【变式3-2】解方程： (1) (2) 【变式3-3】解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【考点题型四】根据判别式判断一元二次方程根的根的情况 【典例4】已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论m取何实数时，原方程总有两个实数根． (2)若原方程的两个实数根一个小于4，另一个大于5，求m的取值范围． 【变式4-1】一元二次方程方程的根的情况为（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有一个实数根 【变式4-5】关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【变式4-6】关于的一元二次方程，根的情况是（    ） A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【考点题型五】根据一元二次方程根的根的情况求参数 【典例5】关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 【变式5-1】若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A． B． C．，且 D． ，且 【变式5-2】若一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式5-3】已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（        ） A． B． C． D． 【考点题型六】一元二次方程根与系数的关系 【典例6】已知是方程的两个实数根，求： (1)和的值， (2)的值． 【变式6-1】若m、n是关于x的方程的两个根，则的值为（    ） A．4 B． C． D． 【变式6-2】已知是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【变式6-3】已知，是方程的两个根；求： ①的值；         ②的值． 【考点题型七】有关一元二次方程增长率问题 【典例7】近年来，长沙深入挖掘消费潜力，以网红品牌激活夜经济，进一步提升城市“烟火气”．某网红餐饮品牌斩获喜人业绩，据调查，该品牌某门店2023年1月的营业额为500万元，3月的营业额为720万元． (1)求该店2023年1月至3月营业额的月平均增长率： (2)若4月保持前两月营业额的月平均增长率不变，预计该店4月的营业额能否超过850万元？ 【变式7-1】据乘用车市场信息联席会数据显示，我国新能源车发展迅速，2024年4月至6月，新能源车月销量由68.3万辆增加到82.7万辆．设2024年4月至6月新能源车销量的月平均增长率为x，则列（ ） A． B． C． D． 【变式7-2】某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂第二季度平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】受益于国家对高新技术企业的大力扶持，某新材料企业的利润逐月增加．据统计，该企业今年一月的利润为128亿元，到三月末累计利润为608亿元，若该企业利润的月平均增长率相同． (1)求该企业从一月到三月利润的月平均增长率； (2)若该企业四月份保持前两个月利润的月平均增长率，求该企业四月份的利润． 【考点题型八】有关一元二次方程传播问题 【典例8】春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)经过三轮传染后共有多少人患了流感？ 【变式8-1】2022年8月，新冠肺炎疫情突袭成都，全体市民积极遵从防疫要求，经过半个月的努力，全市防疫工作取得阶段性的成果．为什么我们要进行居家静态管理？因为此肺炎变异毒株具有很强人传人的特性，若一人携带病毒未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患新冠肺炎，设每轮传染中平均每个人传染了x人，则根据题意可列出方程（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干、小分支的总数是91．设每个支干长出x个分支，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮就会有台电脑被感染．设每轮感染中平均一台电脑可感染台，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型九】有关一元二次方程单双循环问题 【典例9】我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．计划分为4组，每组安排28场比赛，设每组邀请个球队参加比赛，可列方程得（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】毕业前夕，班主任王老师让每一位同学为班级的其他同学发送祝福短信，全班一共发送条，这个班级的学生总人数是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】九（2）班元旦晚会上，某活动小组每两位同学间互赠一张贺卡、共赠贺卡132张，如果设活动小组有x名学生，则列出的方程化为一般式为 ． 【变式9-3】在某个网聊群中，若每人给其他成员都发一个电子红包，则该群共发了90个红包．求这个网聊群共有多少个人．设这个网聊群共有x个人，根据题意可列出方程为 ． 【考点题型十】有关一元二次方程面积问题 【典例10】如图所示，小明的爷爷想用长为25米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． 若花圃的面积刚好为54平方米． (1)设花圃段的长为x米，则的长可表示为______米． (2)求花圃段的长x的值． 【变式10-1】如图，要使用长为27米的篱笆一面利用墙（墙的最大可用长度为12米，靠墙的一面不用篱笆），围成中间隔有一道篱笆的长方形花在圃（中间的篱笆将长方形分成两个小长方形）．如果要围成面积为54平方米的长方形花圃，那么的长为多少米？ 【变式10-2】如图，利用一面墙（墙最长可利用28米），围成一个矩形花园．与墙平行的一边上要预留2米宽的入口（如图中所示，不用砌墙）．用砌60米长的墙的材料． (1)当矩形花园的面积为300平方米时，求的长； (2)能否围成500平方米的矩形花园，为什么？（计算说明） 【变式10-3】我校新城校区新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽20米．阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知喷漆面积为736平方米． (1)求通道的宽是多少米？ (2)据调查分析，停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 【考点题型十一】有关一元二次方程利润问题 【典例11】每年暑假是游泳旺季，今年我市某商店抓住商机，销售某款游泳服．6月份平均每天售出100件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，7月份该店准备采取降价措施，经过市场调研，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出10件． (1)若降价5元，求平均每天的销售数量； (2)当每件游泳服降价多少元时，该商店每天销售利润为6000元？ 【变式11-1】东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次（即最低档次）的产品每天生产 76 件，每件利润10元，调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元． (1)若生产的某批次蛋糕每件利润为16元，此批次蛋糕属第几档次产品； (2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件，若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘培店生产的是第几档次的产品？ 【变式11-2】某商店销售一款电风扇，平均每天可售出24台，每台利润60元．为了增加利润，商店准备适当降价，若每台电风扇每降价5元，平均每天将多售出4台． (1)当每台电风扇降价10元，则每台的利润_____元，平均每天多售出_____台． (2)若要使每天销售利润达到1540元，则每台需要降价多少元 (3)请问该电风扇每天销售利润能否达到2000元吗？请说明理由． 【变式11-3】某宾馆有客房间供游客居住，当每间客房的定价为每天元时，客房恰好全部住满；如果每间客房每天的定价每增加元，那么出租的客房就会减少间． (1)当某天客房全部住满时，客房收入为________元； (2)如果某天该宾馆的客房收入元，那么这天每间客房的定价是多少元？ 【考点题型十二】有关一元二次方程动点问题 【典例12】如图，在长方形中，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B运动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D运动，设运动时间为． (1)当t为何值时，四边形的面积为？ (2)当t为何值时，线段的长为？ 【变式12-1】如图，在中，，，．点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动，如果点，分别从点，同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止移动， 设运动的时间为． (1)当为何值时，的面积是面积的？ (2)当为何值时，的长为？ 【变式12-2】如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒． (1)当为何值时，的面积等于？ (2)当为何值时，的长度等于？ 【变式12-3】如图所示，已知在中，，，点Q从点A开始沿边向点B以的速度移动，点P从点B开始沿BC边向点C以的速度移动．    (1)如果P、Q分别从A、B两点出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)在（1）中，的面积能否等于？试说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02一元二次方程（12个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】 一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。 注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件： （1）是整式方程，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程） （2）只含有一个未知数； （3）未知数项的最高次数是2。 【清单02】 一元二次方程的一般形式 一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。 注意：（1）ax²+bx+c=0中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程 （2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏掉前面的性质符号。 【清单03】一元二次方程的解 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二 次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解. 【清单04】 一元二次方程的重要结论 （1）若a+b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=1;若x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a+b+c=0。 （2）若a-b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=-1;若x=11是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a-b+c=0。 【清单05】 解一元二次方程 1.直接开方 注意： （1）等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数 （2）降次的实质是有一个一元二次方程转化为两个一元一次方程 （3）方法是根据平方根的意义开平方 2.配方法 用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是： ①化为一般形式； ②移项，将常数项移到方程的右边； ③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； ④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解． 总结： 3.公式法 用公式法求一元二次方程的一般步骤： （1）把方程化成一般形式， （2）求出判别式 4.因式分解 因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下： （1）移项，使方程的右边化为零； （2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积； （3）令每个因式分别为零； （4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。 【清单06】 一元二次方程的判别式 根的判别式： ① 时，方程有两个不相等的实数根； ② 时，方程有两个相等的实数根； ③时，方程无实数根，反之亦成立 【清单07】一元二次方程的根与系数 根与系数的关系：即的两根为，则，。利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如 解题技巧： 当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理 【清单08】一元二次方程的实际应用 1. 变化率问题 设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一次增长（或下降）后 为 ；第二次增长（或下降）后为 ²．可列方程为 ²=b 2. 传染、枝干问题 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 设每轮传染中平均一个人传染了x个人： 3. 握手、比赛问题 握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握次手。赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送张卡片。 4. 销售利润问题 （1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量； 5. 几何面积问题 （1）如图①，设空白部分的宽为x,则； （2）如图②，设阴影道路的宽为x,则 （3）如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则 6. 动点与几何问题 关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程. （2）每每问题中，单价每涨a元，少买b件。若涨价y元，则少买的数量为 【考点题型一】一元二次方程的概念 【典例1-1】下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了一元二次方程定义，利用一元二次方程定义进行解答即可．关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2． 【详解】解：A、，是一元二次方程，故此选项符合题意； B、，当，时，是一元一次方程，故此选项不合题意； C、，即，是一元一次方程，故此选项不合题意； D、，含有2个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意； 故选：A． 【典例1-2】把方程化成一般形式，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式，进行去括号、移项、合并同类项求解即可． 【详解】解：方程化成一般形式为， 故选：B． 【变式1-1】下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可求解，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程． 【详解】、，是二元一次方程，原选项不符合题意； 、，是二元二次方程，原选项不符合题意； 、，是分式方程，原选项不符合题意； 、，是一元二次方程，原选项符合题意； 故选：． 【变式1-2】如果关于x的方程是一元二次方程，那么m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：，根据一元二次方程的一般形式即可解答． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 即， 故答案为：． 【变式1-3】把方程化为一元二次方程的一般形式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是：，，是常数且． 【详解】解：由，得 ， 即方程化为一元二次方程的一般形式为； 故答案为：． 【考点题型二】一元二次方程的解 【典例2】已知方程由一个根是，则 的值是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的解，解一元一次方程，把代入方程转化为一元一次方程，然后解方程即可，解题的关键是熟记把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 【详解】解：将代入原方程得：， 解得：， 故选：． 【变式2-1】若关于x 的一元二次方程 有一个根为0，则a 的值为（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程进行求解即可． 【详解】解：把，代入，得：， 解得：； 故选C． 【变式2-2】如果关于x 的一元二次方程的一个解是，则 ． 【答案】2023 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解答本题的关键是明确方程的解一定使得原方程成立． 把代入，可得，再代入，即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程的一个解是， ， 即， ． 【变式2-3】若是关于的方程的解，则的值为 ． 【答案】2027 【分析】此题考查了一元二次方程的解及代数式求值，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 把代入方程求出的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：把代入方程得：，即， 则原式， 故答案为：2027． 【考点题型三】解一元二次方程 【典例3】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法． （1）利用配方法解一元二次方程，即可得到答案； （2）先移项，然后利用因式分解法解一元二次方程，即可得到答案. 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ，； （2）解：， ， ， ， 或， ，． 【变式3-1】解方程： (1)； (2)； 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程， （1）利用因式分解法解方程； （2）利用配方法解方程； 解题的关键是掌握解一元二次方程的一般方法（直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法）并根据情况灵活选用适当的方法解方程即可． 【详解】（1）解：， ，即， ∴或， 解得：，； （2）解：， ， ， ∴， 解得：，． 【变式3-2】解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）利用直接开平方的方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得． 【变式3-3】解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）利用公式法解一元二次方程即可； （4）利用直接开方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： 或 ∴，； （3）解： ，， ∴，； （4）解： ∴，． 【考点题型四】根据判别式判断一元二次方程根的根的情况 【典例4】已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论m取何实数时，原方程总有两个实数根． (2)若原方程的两个实数根一个小于4，另一个大于5，求m的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个实数根；同时考查了因式分解法解一元二次方程及解一元一次不等式，掌握基础知识是解本题的关键． （1）根据一元二次方程的根的判别式的符号来证明即可： （2）先求出原方程的两个实数根，根据两个实数根一个小于4，另一个大于5，列出不等式，求出的取值范围． 【详解】（1）证明： ， 是非负数， ． 无论取何实数时，原方程总有两个实数根； （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得：，， 由方程两个实数根一个小于4，另一个大于5， 则有 ， 解得， 即的取值范围是． 【变式4-1】一元二次方程方程的根的情况为（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有一个实数根 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根的判别式即可求出答案． 本题考查了一元二次方程根判别式，熟练记忆根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴一元二次方程方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 【变式4-5】关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1），方程有两个不相等的实数根；（2），方程有两个相等的实数根；（3），方程没有实数根．根据根的判别式即可求出答案． 【详解】∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 【变式4-6】关于的一元二次方程，根的情况是（    ） A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据判别式来判断即可，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根． 【详解】解：∵， ∴关于的一元二次方程有两个实数根， 故选：A． 【考点题型五】根据一元二次方程根的根的情况求参数 【典例5】关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的根的判别式求参数，正确掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键．根据一元二次方程有实数根得到且，即可求出答案． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得且， 故选：D． 【变式5-1】若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A． B． C．，且 D． ，且 【答案】D 【分析】先根据一元二次方程的定义及根的判别式列出关于的不等式，求出的取值范围即可．本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的根的判别式． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ，， 解得：，且 故选：D． 【变式5-2】若一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根与判别式间的关系是解题的关键． 由方程无实数根即，从而得出关于m的不等式，解之可得． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数根， ， 解得：． 故选：D． 【变式5-3】已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据判别式的意义得到，然后求出不等式的解集即可． 【详解】解：根据题意得， 解得． 故选：B． 【考点题型六】一元二次方程根与系数的关系 【典例6】已知是方程的两个实数根，求： (1)和的值， (2)的值． 【答案】(1)， (2)8 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟悉此关系是解题的关键． （1）由一元二次方程根与系数的关系即可求解； （2）利用完全平方公式变形及根与系数的关系，整体代入即可求解． 【详解】（1）解：∵是方程的两个实数根， ∴，； （2）解： ． 【变式6-1】若m、n是关于x的方程的两个根，则的值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟知是一元二次方程的两根时，是解答此题的关键．先根据一元二次方程根与系数的关系求出，再代入化简后的代数式进行计算即可． 【详解】解：∵m，n是关于x的方程的两个实数根， ∴， ∴， 故选：A． 【变式6-2】已知是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，直接根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】∵是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式6-3】已知，是方程的两个根；求： ①的值；         ②的值． 【答案】①，② 【分析】本题考査了一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，．解题的关键是对代数式进行适当的变形，使已知两根之和与两根之积可以整体代入求值． 根据一元二次方程根与系数的关系得出，代入代数式即可求解． 【详解】解：①，是方程的两个根， ， ； ②，是方程的两个根， ， ． 【考点题型七】有关一元二次方程增长率问题 【典例7】近年来，长沙深入挖掘消费潜力，以网红品牌激活夜经济，进一步提升城市“烟火气”．某网红餐饮品牌斩获喜人业绩，据调查，该品牌某门店2023年1月的营业额为500万元，3月的营业额为720万元． (1)求该店2023年1月至3月营业额的月平均增长率： (2)若4月保持前两月营业额的月平均增长率不变，预计该店4月的营业额能否超过850万元？ 【答案】(1)该店2023年1月至3月营业额的月平均增长率为20% (2)预计该店4月的营业额能超过850万元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出一元二次方程成为解题的关键． （1）设该店2023年1月至3月营业额的月平均增长率为x，然后根据增长率问题列出方程求解即可； （2）根据（1）求得的增长率计算出4月份的营业额，然后与850万元比较即可． 【详解】（1）解：设该店2023年1月至3月营业额的月平均增长率为x， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该店2023年1月至3月营业额的月平均增长率为． （2）解：预计该店4月的营业额：（万元）． ∵， ∴预计该店4月的营业额能超过850万元． 【变式7-1】据乘用车市场信息联席会数据显示，我国新能源车发展迅速，2024年4月至6月，新能源车月销量由68.3万辆增加到82.7万辆．设2024年4月至6月新能源车销量的月平均增长率为x，则列（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查一元二次方程的应用， 设2024年4月至6月新能源车销量的月平均增长率为x，根据2024年4月至6月，新能源车月销量由68.3万辆增加到82.7万辆则可列出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设2024年4月至6月新能源车销量的月平均增长率为x， 根据题意有： 故选：D． 【变式7-2】某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂第二季度平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据增长率的等量关系，结合题意，列出方程即可． 【详解】解：设该厂第二季度平均每月的增长率为x，由题意，得： ； 故选B． 【变式7-3】受益于国家对高新技术企业的大力扶持，某新材料企业的利润逐月增加．据统计，该企业今年一月的利润为128亿元，到三月末累计利润为608亿元，若该企业利润的月平均增长率相同． (1)求该企业从一月到三月利润的月平均增长率； (2)若该企业四月份保持前两个月利润的月平均增长率，求该企业四月份的利润． 【答案】(1)该企业从一月到三月利润的月平均增长率为 (2)该企业四月份的利润为432亿元 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，（1）设该企业从一月到三月利润的月平均增长率为x，根据题意列一元二次方程求解即可； （2）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：设该企业从一月到三月利润的月平均增长率为x， 由题意，得， 化简，得， ， 解得，（舍去）， 答：该企业从一月到三月利润的月平均增长率为50%； （2）解：（亿元）， 答：该企业四月份的利润为432亿元． 【考点题型八】有关一元二次方程传播问题 【典例8】春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)经过三轮传染后共有多少人患了流感？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了个人 (2)经过三轮传染后共有人会患流感 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设每轮传染中平均一个人传染个人，根据经过两轮传染后共有人患了流感，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据经过三轮传染后患流感的人数经过两轮传染后患流感的人数经过两轮传染后患流感的人数，即可求出结论． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 根据题意得： ， ， ， ，（不合题意，舍去）， 每轮传染中平均一个人传染了个人； （2）解：（人）， 答：经过三轮传染后共有人会患流感． 【变式8-1】2022年8月，新冠肺炎疫情突袭成都，全体市民积极遵从防疫要求，经过半个月的努力，全市防疫工作取得阶段性的成果．为什么我们要进行居家静态管理？因为此肺炎变异毒株具有很强人传人的特性，若一人携带病毒未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患新冠肺炎，设每轮传染中平均每个人传染了x人，则根据题意可列出方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程解应用题，掌握一元二次方程解应用题的方法与步骤，抓住等量关系，根据每轮传染中平均每个人传染了x人，第一轮后一共携带病毒者有人，第二轮一共携带病毒者有，两轮相加列方程即可． 【详解】解：根据题意得：第一轮后一共携带病毒者有人，第二轮一共携带病毒者有， 则， 故选：D． 【变式8-2】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干、小分支的总数是91．设每个支干长出x个分支，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，由题意设每个支干长出个小分支，因为主干长出个（同样数目）支干，则又长出个小分支，则共有个分支，即可列方程，要根据题意分别表示主干、支干、小分支的数目，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键． 【详解】解：设每个支干长出个小分支， 根据题意列方程得：． 故选：A． 【变式8-3】某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮就会有台电脑被感染．设每轮感染中平均一台电脑可感染台，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键． 由题意知，第一轮后感染台，第二轮后感染台，然后列方程即可． 【详解】解：依题意得，， 故选：D． 【考点题型九】有关一元二次方程单双循环问题 【典例9】我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．计划分为4组，每组安排28场比赛，设每组邀请个球队参加比赛，可列方程得（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了列一元二次方程，审清题意、找准等量关系成为解题的关键． 设每组邀请个球队参加比赛，根据等量关系“计划分为4组，每组安排28场比赛”列方程即可． 【详解】解：由题意可得：． 故选:D． 【变式9-1】毕业前夕，班主任王老师让每一位同学为班级的其他同学发送祝福短信，全班一共发送条，这个班级的学生总人数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设这个班级的学生总人数是，则每一位同学需发送条祝福短信，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】解：设这个班级的学生总人数是，则每一位同学需发送条祝福短信， 根据题意得：， 整理得：， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴这个班级的学生总人数是， 故选：． 【变式9-2】九（2）班元旦晚会上，某活动小组每两位同学间互赠一张贺卡、共赠贺卡132张，如果设活动小组有x名学生，则列出的方程化为一般式为 ． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程．设全班有人．根据互赠卡片一张，则人共赠卡片张，列方程即可． 【详解】解：根据题意得， ，即， 故答案为：． 【变式9-3】在某个网聊群中，若每人给其他成员都发一个电子红包，则该群共发了90个红包．求这个网聊群共有多少个人．设这个网聊群共有x个人，根据题意可列出方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用；解题的关键是明确等量关系，从而构建方程．根据题意明确等量关系：人数（人数），列方程即可． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 【考点题型十】有关一元二次方程面积问题 【典例10】如图所示，小明的爷爷想用长为25米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． 若花圃的面积刚好为54平方米． (1)设花圃段的长为x米，则的长可表示为______米． (2)求花圃段的长x的值． 【答案】(1) (2)花圃段的长x的值为6 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是从实际问题中整理出一元二次方程模型并运用一元二次方程解决实际问题． （1）设花圃的宽为米，由长为25米的篱笆，在上用其他材料造了宽为1米的两个小门，列出长的代数式即可； （2）在上用其他材料造了宽为1米的两个小门，故长变为，根据面积为54，列出方程，解得． 【详解】（1）． 故答案为：； （2）， 化简得：， 解得：，． 当时，，不符合要求； 当时，，符合要求． 答：花圃段的长x的值为6． 【变式10-1】如图，要使用长为27米的篱笆一面利用墙（墙的最大可用长度为12米，靠墙的一面不用篱笆），围成中间隔有一道篱笆的长方形花在圃（中间的篱笆将长方形分成两个小长方形）．如果要围成面积为54平方米的长方形花圃，那么的长为多少米？ 【答案】的长应为6米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，表示出、的长，再找出题目中的等量关系，列出方程．设花圃的宽为米，用总长减去三个宽即为的长，则米，再利用矩形的面积公式列出方程求解即可． 【详解】解：设花圃的宽为米，则米， ， 解得：，， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意， 答：的长应为6米． 【变式10-2】如图，利用一面墙（墙最长可利用28米），围成一个矩形花园．与墙平行的一边上要预留2米宽的入口（如图中所示，不用砌墙）．用砌60米长的墙的材料． (1)当矩形花园的面积为300平方米时，求的长； (2)能否围成500平方米的矩形花园，为什么？（计算说明） 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，以及一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）设矩形花园，则，根据“矩形花园的面积为300平方米”可列出方程求解，且根据题意得到，即可得到的长； （2）根据题意可得方程，将其转化为一般形式，再利用根的判别式即可判断． 【详解】（1）解：设矩形花园，则， 则有， 解得：或， 墙最长可利用28米， ， ， 的长为； （2）解：不能，理由如下： 根据题意则有，即， ， 不能围成500平方米的矩形花园． 【变式10-3】我校新城校区新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽20米．阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知喷漆面积为736平方米． (1)求通道的宽是多少米？ (2)据调查分析，停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 【答案】(1)通道的宽是2米 (2)每个车位的月租金应上涨40元 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是设未知数，找出等量关系，正确列出方程． （1）设通道的宽是x米，则每一层的停车位可合成长为米，宽为米的矩形，再根据喷漆面积列出方程求解即可； （2）设每个车位的月租金上涨y元，则每个车位的月租金为元，少租出个车位，再根据月租金列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设通道的宽是x米，则每一层的停车位可合成长为米，宽为米的长方形， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：通道的宽是2米． （2）解：设每个车位的月租金上涨y元，则每个车位的月租金为元，少租出个车位， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又∵要优惠大众， ． 答：每个车位的月租金应上涨40元． 【考点题型十一】有关一元二次方程利润问题 【典例11】每年暑假是游泳旺季，今年我市某商店抓住商机，销售某款游泳服．6月份平均每天售出100件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，7月份该店准备采取降价措施，经过市场调研，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出10件． (1)若降价5元，求平均每天的销售数量； (2)当每件游泳服降价多少元时，该商店每天销售利润为6000元？ 【答案】(1)降价5元，平均每天的销售数量为件 (2)每件游泳服降价元或元时，该商店每天销售利润为6000元 【分析】本题考查列代数式及一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）利用平均每天的销售量每件商品降低的价格，即可得出结论； （2）设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天可售出件，利用总利润＝每件盈利×平均每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵销售单价每降低1元，平均每天可多售出10件，降价5元， ∴平均每天可多售出（件）， ∴若降价5元，平均每天的销售数量为（件）． （2）设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天可售出件， ∵商店每天销售利润为6000元， ∴， 解得：，， 答：每件游泳服降价元或元时，该商店每天销售利润为6000元． 【变式11-1】东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次（即最低档次）的产品每天生产 76 件，每件利润10元，调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元． (1)若生产的某批次蛋糕每件利润为16元，此批次蛋糕属第几档次产品； (2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件，若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘培店生产的是第几档次的产品？ 【答案】(1)第四档次产品 (2)该烘焙店生产的是第五档次的产品 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，根据数量关系列出一元二次方程是解决问题的关键． （1）根据生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元，即可求出每件利润为16元的蛋糕属第几档次产品； （2）设烘焙店生产的是第档次的产品，根据单件利润销售数量总利润，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：， 答：此批次蛋糕属第四档次产品； （2）设烘焙店生产的是第档次的产品， 则每天生产件，每件利润元， 根据题意得， 整理得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：该烘焙店生产的是第五档次的产品． 【变式11-2】某商店销售一款电风扇，平均每天可售出24台，每台利润60元．为了增加利润，商店准备适当降价，若每台电风扇每降价5元，平均每天将多售出4台． (1)当每台电风扇降价10元，则每台的利润_____元，平均每天多售出_____台． (2)若要使每天销售利润达到1540元，则每台需要降价多少元 (3)请问该电风扇每天销售利润能否达到2000元吗？请说明理由． 【答案】(1)50，8 (2)5或25元 (3)该电风扇每天销售利润不能达到2000元，理由见解答 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、根的判别式以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）牢记“当△时，方程无实数根”． （1）利用降价后每台电风扇的利润降价前每台电风扇的利润降低的价格，即可求出降价后每台电风扇的利润，利用平均每天可多出售电风扇的台数，即可求出平均每天可多出售电风扇的台数； （2）设每台需要降价元，则每台的销售利润为元，平均每天可售出台，利用总利润每台的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之即可得出结论； （3）假设该电风扇每天销售利润能达到2000元，设每台需要降价元，则每台的销售利润为元，平均每天可售出台，利用总利润每台的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，由根的判别式△，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即该电风扇每天销售利润不能达到2000元． 【详解】（1）解：根据题意得：当每台电风扇降价10元时，每台的利润为（元）， 平均每天多售出（台）， 故答案为：50，8； （2）解：设每台需要降价元，则每台的销售利润为元，平均每天可售出台， 根据题意得， 整理得， 解得，， 答：每台需要降价5或25元； （3）解：该电风扇每天销售利润不能达到2000元， 理由如下： 假设该电风扇每天销售利润能达到2000元，设每台需要降价元，则每台的销售利润为元，平均每天可售出台， 根据题意得：， 整理得， ， 原方程没有实数根， 假设不成立，即该电风扇每天销售利润不能达到2000元． 【变式11-3】某宾馆有客房间供游客居住，当每间客房的定价为每天元时，客房恰好全部住满；如果每间客房每天的定价每增加元，那么出租的客房就会减少间． (1)当某天客房全部住满时，客房收入为________元； (2)如果某天该宾馆的客房收入元，那么这天每间客房的定价是多少元？ 【答案】(1)36000 (2)这天每间客房的价格是200元或480元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据总收入每间客房的定价出租客房的间数，即可求出结论； （2）设这天每间客房的定价增加元，则当天出租了间客房，根据总收入每间客房的定价出租客房的间数，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再将其代入中即可求出结论． 【详解】（1）解：（元． 故答案为：36000． （2）解：设这天每间客房的定价增加元，则当天出租了间客房， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，； 当时，． 答：这天每间客房的价格是200元或480元． 【考点题型十二】有关一元二次方程动点问题 【典例12】如图，在长方形中，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B运动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D运动，设运动时间为． (1)当t为何值时，四边形的面积为？ (2)当t为何值时，线段的长为？ 【答案】(1)当t为5时，四边形的面积为 (2)当t为或时．线段的长为 【分析】本题考查了勾股定理、一元二次方程的应用等知识，正确表示运动过程中的相关线段、灵活应用勾股定理构建方程是关键； （1）先表示，．再利用面积公式列方程解题即可； （2）过点Q作于点M，则，表示．．再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：当运动时间为时，，． 由题意得， 解得． 答；当t为5时，四边形的面积为． （2）如图，过点Q作于点M，则， 由题意知．． 在中．由勾股定理得， 即， 解得，．经检验符合题意； 答：当t为或时．线段的长为． 【变式12-1】如图，在中，，，．点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动，如果点，分别从点，同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止移动， 设运动的时间为． (1)当为何值时，的面积是面积的？ (2)当为何值时，的长为？ 【答案】(1)当为1时，的面积是面积的 (2)当为或2时，的长度等于 【分析】本题是与三角形有关的动点问题，考查了勾股定理，一元二次方程， （1）由题意可求得、的长，从而可得关于t的一元二次方程，解方程即可； （2）根据勾股定理即可得到关于t的一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意知，， ∴， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∵的面积是面积的， ∴， ∴， 解得，（舍去）． ∴当为1时，的面积是面积的； （2）解：设秒后，的长度等于， 根据勾股定理，得，即， 整理得，， 解得，． ∴当为或2时，的长度等于． 【变式12-2】如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒． (1)当为何值时，的面积等于？ (2)当为何值时，的长度等于？ 【答案】(1)为5或7 (2)为或4 【分析】本题是与三角形有关的动点问题，考查了勾股定理，一元二次方程， （1）由题意可求得、的长，从而可得关于t的一元二次方程，解方程即可； （2）根据勾股定理即可得到关于t的一元二次方程，解方程即可； 【详解】（1）解：根据题意知，， ∴， ∴， 整理得，， 解得，． 故当为5或7时，的面积等于； （2）设秒后，的长度等于，根据勾股定理，得 ，即， 整理得，， 解得，． 故当为或4时，的长度等于． 【变式12-3】如图所示，已知在中，，，点Q从点A开始沿边向点B以的速度移动，点P从点B开始沿BC边向点C以的速度移动．    (1)如果P、Q分别从A、B两点出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)在（1）中，的面积能否等于？试说明理由． 【答案】(1)或 (2)不能，见解析 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用 （1）根据题意，找出等量关系列出方程求解即可． （2）判断某个三角形的面积是否等于一个值，只需根据题意列出方程，判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在． 【详解】（1）解：设后，的面积等于． 此时，． 由，得． 即，解得． 当时，的面积等于； 当时，的面积等于． （2）仿（1）得． 整理，得，因为，所以，此方程无解． 所以的面积不可能等于． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$