上海市八年级上学期期中模拟卷02（沪教版八上：二次根式、一元二次方程、几何证明）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（沪教版）

2024-2025学年八年级上学期数学期中模拟试卷02 满分：100分 测试范围：二次根式、一元二次方程、几何证明 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 2．下列二次根式中，与属于同类二次根式的是　　 A． B． C． D． 3．下列方程中，是一元二次方程的是　　 A． B．为常数） C． D． 4．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 5．下列命题中是真命题的是　　 A．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 B．两条平行直线被第三条直线所截，则一组同旁内角的平分线互相垂直 C．三角形的一个外角等于两个内角的和 D．等边三角形既是中心对称图形，又是轴对称图形 6．如图，在中，，，垂足为点，平分，与相交于点，过点作，与边相交于点，那么下列结论中一定正确的是　　 A． B． C． D． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．的一个有理化因式是 　　． 8．化简：　 　． 9．将命题“同角的余角相等”，改写成“如果，那么”的形式 　　． 10．若，则　　． 11．计算：　　． 12．在实数范围内分解因式：　　． 13．不等式的解集是 　　． 14．若某等腰三角形的底和腰的长分别是一元二次方程的两根，则这个等腰三角形的周长是 　　． 15．如图在△中，，，，，那么　　． 16．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为　 　． 17．如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程为“差1方程”．例如是“差1方程”．若关于的一元二次方程是常数，且是“差1方程”，则的值为 　　． 18．中，，将绕点旋转，使得点落在直线上，记作点，点落在点处，则　　度． 三．解答题（共8小题，共58分） 19．计算：． 20．已知，求的值． 21．用配方法解． 22．解方程：． 23．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）求当为正整数时方程的根． 24．由于新冠疫情的影响，口罩需求量急剧上升，经过连续两次价格的上调，口罩的价格由每包10元涨到了每包16.9元． （1）求出这两次价格上调的平均增长率； （2）在有关部门大力调控下，口罩价格还是降到了每包10元，而且调查发现，定价为每包10元时，一天可以卖出30包，每降价1元，可以多卖出5包．当销售额为315元时，且让顾客获得更大的优惠，应该降价多少元？ 25．如图，在中，，过点作射线，过点作射线，使，且射线、交于点，过点作于点．求证：． 26．等腰直角的直角边，，点、分别从、两点同时出发，均以秒的相同速度做直线运动，已知沿射线运动，沿边的延长线运动，与直线相交于点．设点运动时间为秒，的面积为 ． （1）求出关于的函数关系式； （2）当点运动几秒时，？ （3）作于点，当点、运动时，线段的长度是否改变？如果不变，请直接写出的长度；如果改变，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级上学期数学期中模拟试卷02 满分：100分 测试范围：二次根式、一元二次方程、几何证明 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 【分析】最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的概念解答即可． 【解答】解：选项被开方数是小数，可以化成分数，有分母，不符合题意； 选项的被开方数含分母，不符合题意； 选项是最简二次根式，符合题意； 选项的被开方数中有能开的尽方的因数4，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了最简二次根式的概念，熟练掌握最简二次根式的概念是解题的关键． 2．下列二次根式中，与属于同类二次根式的是　　 A． B． C． D． 【分析】将几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式，由此判断即可． 【解答】解：、与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； 、与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； 、，与是同类二次根式，故此选项符合题意； 、，与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了同类二次根式以及二次根式的化简，熟知同类二次根式的概念是解题的关键． 3．下列方程中，是一元二次方程的是　　 A． B．为常数） C． D． 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【解答】解：．， ， ，是一元一次方程方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； ．当时，方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； ．是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； ．是一元二次方程，故本选项符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）是解此题的关键． 4．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】由方程有实数根即△，从而得出关于的不等式，解之可得． 【解答】解：根据题意得，△， 解得：， 故选：． 【点评】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根与判别式间的关系是解题的关键． 5．下列命题中是真命题的是　　 A．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 B．两条平行直线被第三条直线所截，则一组同旁内角的平分线互相垂直 C．三角形的一个外角等于两个内角的和 D．等边三角形既是中心对称图形，又是轴对称图形 【分析】利用全等三角形的判定方法对进行判断；根据平行线的性质和角平分线的定义对进行判断；根据三角形外角性质对进行判断；根据等边三角形的性质和中心对称的定义对进行判断． 【解答】解：、有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，所以选项为假命题； 、两条平行直线被第三条直线所截，则一组同旁内角的平分线互相垂直两直线平行，所以选项为真命题； 、三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和，所以选项为假命题； 、等边三角形不是中心对称图形，是轴对称图形，所以选项为假命题． 故选：． 【点评】本题考查了命题与定理：命题写成“如果，那么”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 6．如图，在中，，，垂足为点，平分，与相交于点，过点作，与边相交于点，那么下列结论中一定正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】延长交于，先由平行线的性质得，，再由角平分线的性质得，，然后证明，得出即可． 【解答】解：一定正确的是，理由如下： 延长交于，如图所示： ， ，， ，， 平分，， ，， 在和中， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行线的性质等知识；熟练掌握角平分线的性质，证明三角形全等是解题的关键． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．的一个有理化因式是 　　． 【分析】根据有理化因式的定义进行求解即可．两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式． 【解答】解：， 的一个有理化因式为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查分母有理化，正确记忆分母有理化的过程是解题关键． 8．化简：　　． 【分析】原式利用二次根式性质化简即可得到结果． 【解答】解：原式， 故答案为： 【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 9．将命题“同角的余角相等”，改写成“如果，那么”的形式 　如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．　． 【分析】根据“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论，即可解决问题． 【解答】解：命题“同角的余角相等”，可以改写成：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 故答案为如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 10．若，则　　． 【分析】直接利用二次根式有意义，则根号下部分不小于零，进而解不等式组得出答案． 【解答】解：， ， 解得：， 故， 则． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出的值是解题关键． 11．计算：　　． 【分析】先利用的积的乘法和平方差公式进行计算，再根据二次根式的乘法法则进行计算即可． 【解答】解：， ， 故答案为：． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则是解题的关键． 12．在实数范围内分解因式：　　． 【分析】先把配方，再利用平方差公式分解比较简便． 【解答】解： ． 故答案为：． 【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握完全平方式、平方差公式是解决本题的关键． 13．不等式的解集是 　　． 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项，系数化为1可得． 【解答】解：， 移项得：， 合并得：， 系数化为1得：， 故答案为：． 【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 14．若某等腰三角形的底和腰的长分别是一元二次方程的两根，则这个等腰三角形的周长是 　16　． 【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长．首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理列出不等式，确定是否符合题意． 【解答】解：解方程，得，， 当2为腰，7为底时，不能构成等腰三角形； 当7为腰，2为底时，能构成等腰三角形，周长为． 故周长为16． 故答案为：16． 【点评】本题从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去． 15．如图在△中，，，，，那么　　． 【分析】先证明△△，得到，根据三角形的内角和与平角的定义推出与相等，再利用三角内角和定理整理即可得出结论． 【解答】解：， ， 在△和△中， ， △△， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形全等的性质与判定．通过三角形全等利用角的等量代换得到是正确快速解答本题的关键． 16．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为　或　． 【分析】根据题意，一种情况为等腰三角形为锐角等腰三角形，根据垂直的性质外角的性质即可推出顶角为，另一种情况为等腰三角形为钝角三角形，根据三角形内角和定理和垂直的定理即可推出顶角为． 【解答】解：①此等腰三角形为钝角三角形， 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为， 此三角形的顶角， ②此等腰三角形为锐角三角形， 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为， 此三角形的顶角． 故顶角的度数为或． 故答案为：或． 【点评】本题主要考查外角的性质、三角形内角和定理，垂直的性质，关键在于根据题意分析讨论，认真的进行计算． 17．如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程为“差1方程”．例如是“差1方程”．若关于的一元二次方程是常数，且是“差1方程”，则的值为 　或　． 【分析】根据题意可得，可得，求得，再根据一元二次方程的根与系数的关系可得，求得，从而可得，再解分式方程即可． 【解答】解：关于的一元二次方程是“差1方程”， ， ，即， ， ， 又， ，即， ， ，即， 解得或， 故答案为：或． 【点评】本题考查新定义、一元二次方程的根与系数的关系、解分式方程、完全平方公式，理解新定义求得，，是解题的关键． 18．中，，将绕点旋转，使得点落在直线上，记作点，点落在点处，则　19或71　度． 【分析】分两种情况：当在线段延长线上时和当在线段上时，根据旋转的性质和三角形的内角和定理、三角形的外角的性质，分别求解即可． 【解答】解：当在线段延长线上时，连接，如图所示： 将绕点旋转，使得点落在直线上，记作点，点落在点处， ，， 又， ， ， ， ， ； 当在线段上时，连接，如图所示： 将绕点旋转，使得点落在直线上，记作点，点落在点处， ，， ， ， 综上所述，或． 故答案为：19或71． 【点评】本题考查了旋转的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角的性质，解本题的关键在分别画出图形进行解答． 三．解答题（共8小题，共58分） 19．计算：． 【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键． 20．已知，求的值． 【分析】先把分子分母因式分解，则约分得到原式，接着分母有理化得到，利用倒数的定义得到，然后把它们代入计算即可． 【解答】解：原式 ， ， ， 原式． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值：正确进行分式的加减运算是解决问题的关键． 21．用配方法解． 【分析】利用配方法解一元二次方程即可． 【解答】解：， 移项得， 二次项系数化成1得， 配方得，即 ， 解得，． 【点评】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 22．解方程：． 【分析】根据因式分解法解一元二次方程的步骤先移项，再因式分解，然后分别进行计算即可． 【解答】解：， ， ， ， 或， ，． 【点评】此题考查了一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程的步骤是本题的关键． 23．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）求当为正整数时方程的根． 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，列不等式即可； （2）由（1）求出，代入原方程，解方程即可． 【解答】解：（1）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， △， 解得：， 的取值范围为； （2）为正整数， ， 原方程为， 即， 解得：，， 若为正整数时，方程的根为1和3． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟知一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的两个实数根；当△时，方程有两个相等的两个实数根；当△时，方程无实数根是解题的关键． 24．由于新冠疫情的影响，口罩需求量急剧上升，经过连续两次价格的上调，口罩的价格由每包10元涨到了每包16.9元． （1）求出这两次价格上调的平均增长率； （2）在有关部门大力调控下，口罩价格还是降到了每包10元，而且调查发现，定价为每包10元时，一天可以卖出30包，每降价1元，可以多卖出5包．当销售额为315元时，且让顾客获得更大的优惠，应该降价多少元？ 【分析】（1）设这两次价格上调的平均增长率为，利用经过两次上调价格后的价格原价这两次价格上调的平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设每包应该降价元，则每包的售价为元，每天可售出包，根据每天该口罩的销售额为315元，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合要让顾客获得更大的优惠，即可得出每包应该降价3元． 【解答】解：（1）设这两次价格上调的平均增长率为， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：这两次价格上调的平均增长率为． （2）设每包应该降价元，则每包的售价为元，每天可售出包， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 又要让顾客获得更大的优惠， 的值为3． 答：每包应该降价3元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 25．如图，在中，，过点作射线，过点作射线，使，且射线、交于点，过点作于点．求证：． 【分析】过点作，垂足为点，连接，证明，得，，然后根据线段的和差即可解决问题． 【解答】证明：如图，过点作，垂足为点，连接， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到． 26．等腰直角的直角边，，点、分别从、两点同时出发，均以秒的相同速度做直线运动，已知沿射线运动，沿边的延长线运动，与直线相交于点．设点运动时间为秒，的面积为 ． （1）求出关于的函数关系式； （2）当点运动几秒时，？ （3）作于点，当点、运动时，线段的长度是否改变？如果不变，请直接写出的长度；如果改变，请说明理由． 【分析】（1）分、两种情况，根据三角形的面积公式计算； （2）解一元二次方程得到答案； （3）分点在线段上、点在线段的延长线上两种情况，证明、，根据全等三角形的性质解答即可． 【解答】解：（1）当，即点在线段上时， ，， 则， 当，即点在线段的延长线上时， ，， 则， 综上所述：； （2）， 当，， 整理得：， △， 则方程无实数根， ，， 整理得：， 解得：，（舍去）， 当点运动时，； （3）线段的长度不变， 理由如下：如图，当点在线段上时，过作，交直线于点， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 当点在线段的延长线上时，同理可得，， 综上所述：线段的长度不会改变，． 【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$