专题04二次函数代数类综合题期中考试30题专训-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（浙江专用）

专题04 二次函数代数类综合题期中考试30题专训 1．（2023秋•东阳市期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax+2（a＜0）与y轴交于点A． （1）求点A的坐标及抛物线的对称轴； （2）当0≤x≤3时，y的最大值是3，求当0≤x≤3时，y的最小值； （3）抛物线上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），若对于t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3，都有y1≠y2，直接写出t的取值的范围． 2．（2023秋•西湖区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝x2﹣2ax+3a，顶点坐标为（m，n）． （1）若函数图象关于直线x＝1对称，求函数的表达式； （2）求n的最大值； （3）是否存在实数a（a＞1），使得当1≤x≤4时，二次函数的最大值为最小值的2倍，若存在，求出a；若不存在，请说明理由． 3．（2023秋•余杭区期中）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+2bx+b2﹣2（b＞0）． （1）用含b的代数式表示抛物线顶点的坐标 　 　； （2）若抛物线经过点B（0，﹣1）， ①当﹣2＜x＜3，求y的取值范围； ②若k≤x≤2时，﹣2≤y≤7，结合函数图象，求出k的取值范围． 4．（2023秋•西湖区校级期中）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）过点A（2、0），B（3n﹣4，y1），C（5n+6，y2）三点． （1）若点A为此二次函数的顶点，求函数y的表达式． （2）已知n＜﹣5， ①若y1＝y2，求b+c的取值范围； ②若c＞0，试比较y1与y2的大小． 5．（2023秋•西湖区校级期中）在二次函数y＝x2﹣2tx+3（t＞0）中． （1）若函数图象的顶点在x轴上，求t的值． （2）若点（t，s）在抛物线上，令q＝t+s，求证：． （3）如果A（m﹣2，a），B（4，b），C（m，a）都在这个二次函数图象上，且a＜b＜3，求m的取值范围． 6．（2023秋•慈溪市校级期中）已知二次函数y＝ax2+bx+3（a＞0）． （1）若它的图象经过点A（﹣1，1），求a，b满足的关系式． （2）在（1）的条件下，当自变量x的值满足﹣1≤x≤2时，y随x的增大而增大． ①求a的取值范围； ②记W＝b2﹣4a2，求W的取值范围． （3）若它的图象经过点（m﹣4，p），（6，q），（m，p），且p＜q＜3，请直接写出m的取值范围． 7．（2023秋•丽水期中）已知二次函数y＝x2+bx+c． （1）该函数图象与x轴交于A、B两点，若点A坐标为（3，0），c＝﹣3． ①b的值是 　 　，点B的坐标是 　 　； ②若点M（m，y1）与点N（6，y2）在该抛物线上，且y1＜y2，求m的取值范围． （2）当x≤0时，y的最小值为2；当x＞0时，y的最小值为1，求该二次函数的表达式． 8．（2023秋•西湖区校级期中）已知抛物线y＝x2+bx+c（a为常数，a≠0）． （1）它的图象过点（2，1），（1，1），求b的值； （2）设M（x1，y1）、N（x2，y2）是抛物线上的两点，其中x1＜x2． ①当x1+x2＝4时，y1＜y2，求b的取值范围． ②若抛物线与x轴只有一个交点且x2＝x1+4，y1＝y2＝m时，求m的值； 9．（2023秋•萧山区期中）已知二次函数y＝（k﹣1）x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点． （1）求k的取值范围； （2）若函数图象与x轴有两个交点，且满足k2﹣k﹣2＝0． ①求k的值； ②当k≤x≤k+2时，求y的取值范围． 10．（2023秋•海曙区校级期中）定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“纵三倍点”．已知二次函数y＝x2﹣2x+c（c为常数）． （1）若（0，4）是该二次函数上的一点． ①P（3，a）也是该二次函数上的一点，则P 　 　“纵三倍点”（填“是”、“不是”）； ②求出该二次函数上的“纵三倍点”． （2）若该二次函数在﹣3≤x≤6的图象上存在两个纵三倍点，则c的取值范围是 　 　． 11．（2023春•柯桥区期中）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 y＝x2﹣2tx+1． （1）求该抛物线的对称轴（用含t的式子表示）； （2）若点M（t﹣2，m），N（t+3，n） 在抛物线y＝x2﹣2tx+1上，试比较m，n的大小； （3）P（x1，y1），Q（x2，y2） 是抛物线 y＝x2﹣2tx+1 上的任意两点，若对于﹣1≤x1＜3且x2＝3，都有y1≤y2，求t的取值范围； （4）P（t+1，y1），Q（2t﹣4，y2）是抛物线y＝x2﹣2tx+1上的两点，且均满足y1≥y2，求t的最大值． 12．（2023秋•上城区期中）在平面直角坐标系中，已知点A（1，3），B（2，4），C（2，6），直线y＝x+m经过点A，抛物线y＝ax2+bx+2恰好经过A，B，C三点中的两点． （1）求直线y＝x+m的解析式； （2）求a，b的值； （3）平移抛物线y＝ax2+bx+2使其顶点仍在直线y＝x+m上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最小值． 13．（2023秋•江干区校级期中）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c． （1）当b＝4，c＝3时， ①求该函数图象的顶点坐标； ②当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围； （2）当x≤0时，y的最大值为2；当x＞0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式． 14．（2023秋•义乌市校级期中）若二次函数y＝ax2+bx+c的x与y的部分对应值如表： x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 y 0 3 4 3 0 （1）求这个二次函数的表达式． （2）二次函数y＝ax2+bx+c图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2） ①若y1＝y2，当x＝x1+x2时，求y的值． ②若x1＝3且y1≥y2，求x2的取值范围． 15．（2023秋•义乌市期中）在平面直角坐标系中，二次函数图象的表达式为y＝ax2+（a+1）x+b，其中a﹣b＝4． （1）若此函数图象过点（1，3），求这个二次函数的表达式． （2）若（x1，y1）（x2，y2）为此二次函数图象上两个不同点，当x1+x2＝2时，y1＝y2，求a的值． （3）若点（﹣1，t）在此二次函数图象上，且当x≥﹣1时y随x的增大而增大，求t的范围． 16．（2023秋•上城区校级期中）在平面直角坐标系中，二次函数图象的表达式为y＝ax2+（a+1）x+a﹣4． （1）若此函数图象过点（1，3），求这个二次函数的表达式． （2）若（x1，y1）、（x2，y2）为此二次函数图象上两个不同点，当x1+x2＝2时，y1＝y2，求a的值． （3）若点（﹣1，t）在此二次函数图象上． ①直接用含a的代数式表示t； ②当x≥﹣1时y随x的增大而增大，求t的范围． 17．（2023秋•嘉兴期中）定义：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同的两个二次函数互为友好同轴二次函数．例如：y＝2x2+4x﹣5的友好同轴二次函数为y＝﹣x2﹣2x﹣5． （1）函数y＝﹣3x2+3x+1的对称轴为 　 　，其友好同轴二次函数为 　 　，两个函数表达式的二次项系数的关系是 　 　； （2）已知二次函数C1y＝ax2+4ax+4（其中a≠0且a≠1且a≠），其友好同轴二次函数记为C2． ①若函数C1的图象与函数C2的图象交于A、B两点（点A的横坐标小于点B的横坐标），求线段AB的长； ②当﹣3≤x≤0时，函数C2的最大值与最小值的差为8，求a的值． 18．（2023春•拱墅区校级期中）设二次函数y＝（x+1）（ax+2a+2）（a是常数，a≠0）． （1）若a＝1，求该函数图象的顶点坐标． （2）若该二次函数图象经过（﹣1，1），（﹣2，3），（0，﹣2）三个点中的一个点，求该二次函数的表达式． （3）若二次函数图象经过（x1，y1），（x2，y2）两点，当x1+x2＝2，x1＜x2时，y1＞y2，求证：a＜﹣． 19．（2023秋•安吉县期中）已知二次函数 y＝x2﹣2ax+1﹣a． （1）若图象过点（3，3），求抛物线顶点坐标． （2）若图象与坐标轴有两个交点，求a的值． （3）若函数图象上有两个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），且 x1+x2＝﹣1，求y1+y2的取值范围． 20．（2023秋•上虞区期中）设二次函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点． （1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（3，0），求函数y的表达式及其图象的对称轴． （2）若函数y的表达式可以写成y＝（x﹣h）2﹣3（h是常数）的形式，求b+c的最小值． （3）在（1）的条件下，若函数y的图象上有P（xP，yP），Q（xQ，yQ）两点，且，．求证：yP﹣yQ＞0． 21．（2023秋•西湖区期中）已知抛物线y＝ax2+3ax+c（a≠0）与y轴交于点A． （1）当a＝1，c＝2，求该抛物线与x轴交点坐标； （2）若a＝1，点P（m，n）在二次函数抛物线y＝ax2+3ax+c的图象上，且n﹣c＞0，试求m的值； （3）若点A的坐标是（0，1），当﹣2c＜x＜c时，抛物线与x轴只有一个公共点，求a的取值范围． 22．（2023秋•海曙区校级期中）在平面直角坐标系内，二次函数y1＝（x﹣a）2+a﹣1（a为常数）． （1）若函数y1的图象经过点（1，0），求函数y1的表达式． （2）若y1的图象与一次函数y2＝x+1的图象有两个交点，横坐标分别为﹣1，2，请直接写出当y1＞y2时x的取值范围． （3）已知（x0，n）在函数y1的图象上，当x0＞2a＞0时，求证：n＞﹣． 23．（2023秋•西湖区校级期中）已知二次函数y＝x2﹣2ax+1﹣a． （1）若图象过点（1，﹣1），求抛物线顶点坐标． （2）若图象与坐标轴有两个交点，求a的值． （3）若函数图象上有两个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1+x2＝﹣1，求证：y1+y2＞． 24．（2023春•萧山区期中）已知二次函数y＝x2﹣6ax+9（a为常数）． （1）若该函数图象过点（2，7），求a的值和图象顶点坐标； （2）在（1）的情况下，当﹣1≤x＜3时，求y的取值范围； （3）当x≥3，y随x的增大而增大，P（x1，y1），Q（x2，y2）是该函数图象上的两个点，对任意的3a﹣2≤x1≤5，3a﹣2≤x2≤5，y1，y2总满足y1﹣y2≤9a2+20，求a的取值范围． 25．（2023秋•平湖市期中）如图，直线y＝﹣x+3交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线y＝﹣+bx+c经过点A，点C，且交x轴于另一点B． （1）直接写出点A，点B，点C的坐标及抛物线的解析式； （2）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标； （3）将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O′A′，若线段O′A′与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围． 26．（2023秋•江干区校级期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣4ax+1． （1）若抛物线过点A（2，﹣3），求该抛物线的解析式； （2）当0≤x≤5时，y的最小值是﹣1，则当0≤x≤5时，求y的最大值； （3）已知直线y＝﹣2x+9与抛物线y＝ax2﹣4ax+1存在两个交点，若两交点到x轴的距离相等，求a的值． 27．（2023秋•江干区校级期中）已知二次函数y＝mx2+2mx+3，其中m≠0． （1）若二次函数的图象经过（1，0），求二次函数表达式； （2）若该二次函数图象开口向下，当﹣2≤x≤2时，二次函数图象的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为5，求点M和点N的坐标； （3）在二次函数图象上任取两点（x1，y1），（x2，y2），当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2，求a的取值范围． 28．（2023秋•滨江区校级期中）已知二次函数y＝a（x+2a﹣1）（x﹣a+2）（a是常数，a≠0）． （1）当a＝1时，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标． （2）若此函数图象对称轴为直线x＝﹣2时，求函数的最小值． （3）设此二次函数的顶点坐标为（m，n），当a≠1时，求的最大值． 29．（2023秋•浙江期中）新定义：我们把抛物线与抛物线其中ab≠0）称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为．已知抛物线的“关联抛物线”为C2． （1）写出抛物线C2的函数表达式（用含a的式子表示）y2＝　 　，顶点坐标为 　 　． （2）对于C1和C2，当y1＞y2时，求x的取值范围． （3）若a＞0，当a﹣3≤x≤a﹣1时，C2的最大值与最小值的差为2a，求a的值． 30．（2023秋•义乌市期中）定义：将函数C的图象绕点P（0，n）旋转180°，得到新的函数C1的图象，我们称函数C1是函数C关于点P的相关函数． 例如：当n＝1时，函数y＝（x﹣6）2+3关于点P（0，1）的相关函数为y＝（x+6）2﹣1． （1）当n＝0时， ①二次函数y＝x2关于点P的相关函数为 　 　； ②点A（2，3）在二次函数y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）关于点P的相关函数的图象上，求a的值； （2）函数y＝﹣x2+关于点P的相关函数是y＝x2，则n＝　 　； （3）当n﹣1≤x≤n+3时，函数y＝﹣2x2+nxn2的相关函数的最小值为7，求n的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二次函数代数类综合题期中考试30题专训 1．（2023秋•东阳市期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax+2（a＜0）与y轴交于点A． （1）求点A的坐标及抛物线的对称轴； （2）当0≤x≤3时，y的最大值是3，求当0≤x≤3时，y的最小值； （3）抛物线上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），若对于t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3，都有y1≠y2，直接写出t的取值的范围． 【分析】（1）令x＝0可得A的坐标，用配方法把解析式化为顶点式即可得抛物线对称轴； （2）0≤x≤3时，y的最大值是3，可知抛物线开口向下，且对称轴x＝1，故最大值是顶点纵坐标，可求出a及抛物线解析式，又抛物线开口向小时，离对称轴越远，函数值越小，可知x＝3时函数取最小值，即可得到答案； （3）根据题意列出不等式，解不等式即可得到答案． 【解答】解：（1）令x＝0得y＝2， ∴A（0，2）， ∵y＝ax2﹣2ax+2＝a（x﹣1）2+2﹣a， ∴二次函数图象的对称轴是直线x＝1； （2）由a＜0可知抛物线开口向下， ∵对称轴是直线x＝1，当0≤x≤3时，y的最大值是3， ∴最大值在顶点处取得， ∴2﹣a＝3，解得a＝﹣1， ∴二次函数表达式为y＝﹣x2+2x+2， ∵抛物线开口向下时，离对称轴越远，函数值越小， ∴当x＝3时，y有最小值，y＝﹣32+2×3+2＝﹣1； （3）∵二次函数图象的对称轴是直线x＝1，y1≠y2， ∴P（x1，y1），Q（x2，y2）不关于对称轴x＝1对称， ∴x1+x2≠2恒成立，即x1+x2＞2成立或x1+x2＜2成立， ∴t+（t+2）≥2或（t+1）+（t+3）≤2， 解得t≥0或t≤﹣1． ∴t的取值的范围t≥0或t≤﹣1． 2．（2023秋•西湖区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝x2﹣2ax+3a，顶点坐标为（m，n）． （1）若函数图象关于直线x＝1对称，求函数的表达式； （2）求n的最大值； （3）是否存在实数a（a＞1），使得当1≤x≤4时，二次函数的最大值为最小值的2倍，若存在，求出a；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据对称轴为直线x＝1得到﹣＝1，解得a＝1，代入得到函数的表达式为y＝x2﹣2x+3； （2）化成顶点式，根据顶点坐标为（m，n），得到n＝﹣a2+3a，化为n＝﹣a2+3a＝﹣（a2﹣3a）＝﹣（a﹣）2+，得到n的最大值为； （3）由1≤x≤4得到当x＝1时，y＝1+a，当x＝4时，y＝16﹣5a，再根据顶点（a，﹣a2+3a），对称轴为直线x＝a，二次函数的最大值为最小值的2倍，分情况讨论确定． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2﹣2ax+3a图象关于直线＝1对称， ∴﹣＝1， ∴a＝1， ∴函数的表达式为y＝x2﹣2x+3； （2）∵y＝x2﹣2ax+3a＝（x﹣a）2﹣a2+3a， ∵顶点坐标为（m，n）， ∴n＝﹣a2+3a＝﹣（a2﹣3a）＝﹣（a﹣）2+， ∴n的最大值为； （3）当x＝1时，y＝1+a， 当x＝4时，y＝16﹣5a， 顶点（a，﹣a2+3a），对称轴为直线x＝a， 当1＜4＜a时，1+a＝2（16﹣5a），解得a＝（舍去）， 当1＜a＜2.5时，16﹣5a＝2（﹣a2+3a），无解， 当2.5≤a＜4时，1+a＝2（﹣a2+3a）， 解得a1＝（不合题意，舍去），a2＝（舍去）， 综上所述，不存在实数a（a＞1），使得当1≤x≤4时，二次函数的最大值为最小值的2倍． 3．（2023秋•余杭区期中）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+2bx+b2﹣2（b＞0）． （1）用含b的代数式表示抛物线顶点的坐标 　（﹣b，﹣2）　； （2）若抛物线经过点B（0，﹣1）， ①当﹣2＜x＜3，求y的取值范围； ②若k≤x≤2时，﹣2≤y≤7，结合函数图象，求出k的取值范围． 【分析】（1）把抛物线的解析式化成顶点式即可； （2）①把点B坐标代入抛物线的解析式，求出抛物线的解析式，结合图形，再求当﹣2＜x＜3时，y的取值范围； ②根据二次函数的性质，即可求出k的取值范围． 【解答】解：（1）∵y＝x2+2bx+b2﹣2＝（x+b）2﹣2， ∴顶点坐标为（﹣b，﹣2）， 故答案为：（﹣b，﹣2）； （2）①把（0，﹣1）代入y＝x2+2bx+b2﹣2（b＞0）得b2﹣2＝﹣1， 解得b＝1，或b＝﹣1（舍去）， ∴b＝1， ∴解析式为：y＝x2+2x﹣1， ∴图象开口向上，对称轴为x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣2）， ∴x＝3时，y＝14， 当﹣2＜x＜3时，y的取值范围为﹣2≤y＜14； ②当y＝7时，x2+2x﹣1＝7， 解得x＝﹣4或2， ∵图象开口向上，对称轴为x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣2）， ∴当k≤x≤2时，﹣2≤y≤7，k的取值范围为﹣4≤k≤﹣1． 4．（2023秋•西湖区校级期中）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）过点A（2、0），B（3n﹣4，y1），C（5n+6，y2）三点． （1）若点A为此二次函数的顶点，求函数y的表达式． （2）已知n＜﹣5， ①若y1＝y2，求b+c的取值范围； ②若c＞0，试比较y1与y2的大小． 【分析】（1）根据顶点式写出即可； （2）①由抛物线过点A，得到c＝﹣4﹣2b，由y1＝y2，可知﹣＝，得到b＝﹣8n﹣2，即可得到b+c＝﹣4﹣b＝﹣4+8n+2＝8n﹣2，由n＜﹣5，可得b+c＜﹣42； ②由c＞0可知﹣4﹣2b＞0，则﹣＞1，通过求得3n﹣4﹣（5n+6）＝﹣2n﹣10＞0，3n﹣4＜﹣19可知点B，点C在对称轴的左侧，由二次函数的性质可求解． 【解答】解：（1）∵点A（2，0）为二次函数y＝x2+bx+c的顶点， ∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2； （2）①∵二次函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）过点A（2、0），B（3n﹣4，y1），C（5n+6，y2）三点， ∴4+2b+c＝0， ∴c＝﹣4﹣2b， 若y1＝y2，则﹣＝， ∴b＝﹣8n﹣2， ∴b+c＝﹣4﹣b＝﹣4+8n+2＝8n﹣2， ∵n＜﹣5， ∴8n﹣2＜﹣42， ∴b+c＜﹣42； ②若c＞0，则﹣4﹣2b＞0， ∴b＜﹣2， ∴﹣＞1， ∵n＜﹣5， ∴3n﹣4﹣（5n+6）＝﹣2n﹣10＞0，3n﹣4＜﹣19， ∴B（3n﹣4，y1），C（5n+6，y2）在对称轴的左侧，且点B距离对称轴较近， ∵a＝1＞0， ∴y1＜y2． 5．（2023秋•西湖区校级期中）在二次函数y＝x2﹣2tx+3（t＞0）中． （1）若函数图象的顶点在x轴上，求t的值． （2）若点（t，s）在抛物线上，令q＝t+s，求证：． （3）如果A（m﹣2，a），B（4，b），C（m，a）都在这个二次函数图象上，且a＜b＜3，求m的取值范围． 【分析】（1）根据顶点在x轴上，顶点的纵坐标是0，求出即可； （2）把点（t，s）代入解析式得到s＝t2﹣2t2+3＝﹣t2+3，由q＝t+s得到q＝﹣t2+t+3＝﹣（t﹣）2+，根据二次函数的性质即可证得结论； （3）根据A（m﹣2，a），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，可得二次函数y＝x2﹣2tx+3的对称轴直线x＝t即为直线x＝＝m﹣1，由t＞0，得m＞1，因m﹣2＜m，知A在对称轴左侧，C在对称轴右侧，抛物线y＝x2﹣2tx+3与y轴交点为（0，3），其关于对称轴直线x＝m﹣1的对称点为（2m﹣2，3），由b＜3，知4＜2m﹣2，m＞3；①当A（m﹣2，a），B（4，b）都在对称轴左侧时，y随x的增大而减小，有4＜m﹣2，可得m满足的条件为m＞6；②当A（m﹣2，a）在对称轴左侧，B（4，b）在对称轴右侧时，B（4，b）到对称轴直线x＝m﹣1距离大于A（m﹣2，a）到对称轴直线x＝m﹣1的距离，故4﹣（m﹣1）＞m﹣1﹣（m﹣2），得：m＜4，m满足的条件是3＜m＜4． 【解答】（1）解：根据题意得：＝＝0， 解得t＝或﹣， ∵t＞0， ∴t的值为； （2）证明：∵点（t，s）在抛物线y＝x2﹣2tx+3（t＞0）上， ∴s＝t2﹣2t2+3＝﹣t2+3， ∴q＝t+s＝﹣t2+t+3， ∴q＝﹣t2+t+3＝﹣（t﹣）2+， ∵﹣1＜0， ∴q有最大值， ∴． （3）∵A（m﹣2，a），C（m，a）都在这个二次函数的图象上， ∴二次函数y＝x2﹣2tx+3的对称轴直线x＝t即为直线x＝＝m﹣1， ∴t＝m﹣1， ∵t＞0， ∴m﹣1＞0， 解得m＞1， ∵m﹣2＜m， ∴A在对称轴左侧，C在对称轴右侧， 在y＝x2﹣2tx+3中，令x＝0得y＝3， ∴抛物线y＝x2﹣2tx+3与y轴交点为（0，3）， ∴（0，3）关于对称轴直线x＝m﹣1的对称点为（2m﹣2，3）， ∵b＜3， ∴4＜2m﹣2， 解得m＞3； ①当A（m﹣2，a），B（4，b）都在对称轴左侧时， ∵y随x的增大而减小，且a＜b， ∴4＜m﹣2， 解得m＞6， 此时m满足的条件为m＞6； ②当A（m﹣2，a）在对称轴左侧，B（4，b）在对称轴右侧时， ∵a＜b， ∴B（4，b）到对称轴直线x＝m﹣1距离大于A（m﹣2，a）到对称轴直线x＝m﹣1的距离， ∴4﹣（m﹣1）＞m﹣1﹣（m﹣2）， 解得：m＜4， 此时m满足的条件是3＜m＜4， 综上所述，3＜m＜4或m＞6． 6．（2023秋•慈溪市校级期中）已知二次函数y＝ax2+bx+3（a＞0）． （1）若它的图象经过点A（﹣1，1），求a，b满足的关系式． （2）在（1）的条件下，当自变量x的值满足﹣1≤x≤2时，y随x的增大而增大． ①求a的取值范围； ②记W＝b2﹣4a2，求W的取值范围． （3）若它的图象经过点（m﹣4，p），（6，q），（m，p），且p＜q＜3，请直接写出m的取值范围． 【分析】（1）依据题意，将点A（﹣1，1）代入解析式即可得解； （2）①依据题意，由a＞0，抛物线开口向上，故在对称轴右侧y随x的增大而增大，进而可以得解； ②依据题意，结合a的范围，将W看作a的二次函数进行计算可以得解； （3）依据题意，可得对称轴是直线x＝＝m﹣2，在结合图象过点（0，3），又经过点（m﹣4，p），（6，q），（m，p），且p＜q＜3，依据点与对称轴的距离进而可以计算得解． 【解答】解：（1）将点A（﹣1，1）代入解析式得，a﹣b+3＝1， ∴a＝b﹣2． （2）①由a＞0，抛物线开口向上，故在对称轴右侧y随x的增大而增大， 又﹣1≤x≤2时，y随x的增大而增大． ∴﹣≤﹣1． ∴≥1． 由a＞0， ∴b≥2a． 又由（1）b＝a+2， ∴a+2≥2a． ∴0＜a≤2． ②由题意，W＝（a+2）2﹣4a2 ＝﹣3a2+4a+4 ＝﹣3（a﹣）2+． 又0＜a≤2， ∴0≤W≤． （3）由题意， 二次函数过点（m﹣4，p），（m，p）， ∴对称轴是直线x＝＝m﹣2． 当x＝0时，y＝3， ∴二次函数图象过（0，3）． ∵抛物线开口向上， ∴在对称轴直线左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧是y随x的增大而增大． ∵图象过（0，3），（6，q）， 0＜6，而3＞q， ∴（0，3），（6，q）在对称轴直线x＝m﹣2的左侧或两侧． ①当（0，3），（6，q）在对称轴直线x＝m﹣2的左侧， 又由题意，（m﹣4，p）也在左侧，且p＜q＜3， ∴m﹣4＞6． ∴m＞10． ②（0，3），（6，q）在对称轴直线x＝m﹣2的两侧， ∴（0，3）在左侧，（6，q）在右侧． 又p＜q＜3， ∴2＜6﹣（m﹣2）＜m﹣2． ∴5＜m＜6． 综上，5＜m＜6或m＞10． 7．（2023秋•丽水期中）已知二次函数y＝x2+bx+c． （1）该函数图象与x轴交于A、B两点，若点A坐标为（3，0），c＝﹣3． ①b的值是 　﹣2　，点B的坐标是 　（﹣1，0）　； ②若点M（m，y1）与点N（6，y2）在该抛物线上，且y1＜y2，求m的取值范围． （2）当x≤0时，y的最小值为2；当x＞0时，y的最小值为1，求该二次函数的表达式． 【分析】（1）①利用待定系数法求得二次函数的解析式，再求得该函数图象与x轴的交点坐标即可； ②求得该函数图象的对称轴，找到点N（6，y2）于对称轴的对称点，根据二次函数的性质即可求解； （2）根据题意x≤0时，y的最小值为2；x＞0时，y的最小值为1，得出抛物线的对称轴在y轴的右侧，即b＞0，由抛物线开口向上，x≤0时，y的最小值为2，可知c＝2，根据顶点坐标的纵坐标为1，求出b＝2，即可得解． 【解答】解：（1）①把A（3，0），c＝﹣3代入y＝x2+bx+c，得， ，解得， ∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3， 令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，即（x+1）（x﹣3）＝0， 解得x＝3或x＝﹣1， ∴点B的坐标是（﹣1，0）； 故答案为：﹣2，（﹣1，0）； ②∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴该函数图象的对称轴为直线x＝1，且开口向上， ∴点N（6，y2）关于对称轴的对称点为（﹣4，y2）， ∵y1＜y2， ∴m的取值范围为﹣4＜m＜6； （2）∵x≤0时，y的最小值为2；x＞0时，y的最小值为1， ∴抛物线的对称轴x＝﹣在y轴的右侧， ∴b＜0， ∵抛物线开口向上，x≤0时，y的最小值为2， ∴c＝2， 又∵，y＝x2+bx+c， ∴b＝±2， ∵b＜0， ∴b＝﹣2， ∴二次函数的表达式为y＝x2﹣2x+2． 8．（2023秋•西湖区校级期中）已知抛物线y＝x2+bx+c（a为常数，a≠0）． （1）它的图象过点（2，1），（1，1），求b的值； （2）设M（x1，y1）、N（x2，y2）是抛物线上的两点，其中x1＜x2． ①当x1+x2＝4时，y1＜y2，求b的取值范围． ②若抛物线与x轴只有一个交点且x2＝x1+4，y1＝y2＝m时，求m的值； 【分析】（1）y＝x2+bx+c过点（2，1），（1，1），根据对称轴公式解决； （2）①M（x1，y1）、N（x2，y2）是抛物线上的两点，则y1﹣y2＝（x1﹣x2）（x1+x2）+b（x1﹣x2），由于x1+x2＝4，y1﹣y2＜0可得（x1﹣x2）（4+b）＜0，而x1＜x2，所以4+b＞0即可解决； ②y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，则c＝，根据x2、x1是x2+bx+﹣m＝0的两个根，x1+x2＝﹣b，x1•x2＝﹣m，因为x2﹣x1＝4，利用x2﹣x1＝即可解决． 【解答】解：（1）∵y＝x2+bx+c过点（2，1），（1，1）， ∴对称轴为：x＝， 解得：b＝﹣3， ∴b＝﹣3； （2）①设M（x1，y1）、N（x2，y2）是抛物线上的两点， ∴y1＝+bx1+c， y2＝+bx2+c， ∴y1﹣y2＝+bx1+c﹣﹣bx2﹣c ＝﹣﹣bx2+bx1 ＝（x1﹣x2）（x1+x2）+b（x1﹣x2）， ∵当x1+x2＝4时，y1＜y2， ∴此时y1﹣y2＜0，即4（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＜0， （x1﹣x2）（4+b）＜0， ∵x1＜x2， ∴x1﹣x2＜0， ∴4+b＞0， ∴b＞﹣4； ②∵y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点， ∴Δ＝b2﹣4×1×c＝0， 则c＝， ∴y＝x2+bx+， 当y1＝y2＝m时， ∴m＝+bx1+， m＝+bx2+， ∴x2、x1是x2+bx+﹣m＝0的两个根， ∴x1+x2＝﹣b，x1•x2＝﹣m， ∵x2＝x1+4， ∴x2﹣x1＝4， ∵x2﹣x1＝ ∴＝4 ∴＝4， 解得：m＝4， ∴m的值为4． 9．（2023秋•萧山区期中）已知二次函数y＝（k﹣1）x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点． （1）求k的取值范围； （2）若函数图象与x轴有两个交点，且满足k2﹣k﹣2＝0． ①求k的值； ②当k≤x≤k+2时，求y的取值范围． 【分析】（1）y为x的二次函数，则k≠1；函数图象与x轴有交点，则△≥0，即可求解； （2）①函数图象与x轴有两个交点，则k＜2且k≠1，即可求解； ②抛物线的对称轴 时，，x＝﹣1时，ymn＝﹣3，即可求解． 【解答】解：（1）∵y为x的二次函数， ∴k≠1． ∵函数图象与x轴有交点， ∴△≥0，即Δ＝4k2﹣4（k﹣1）（k+2）≥0， 解得：k≤2， 综上，k的取值范围为：k≤2且k≠1； （2）①∵函数图象与x轴有两个交点， ∴k＜2且k≠1． ∵k2﹣k﹣2＝0， ∴k1＝2（舍去），k2＝﹣1， ∴k＝﹣1； ②即当﹣1≤x≤1时，求 y＝﹣2x2+2x+1 的范围． 则抛物线的对称轴 时，，x＝﹣1时，ymn＝﹣3， ∴y的取值范围为：． 10．（2023秋•海曙区校级期中）定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“纵三倍点”．已知二次函数y＝x2﹣2x+c（c为常数）． （1）若（0，4）是该二次函数上的一点． ①P（3，a）也是该二次函数上的一点，则P 　不是　“纵三倍点”（填“是”、“不是”）； ②求出该二次函数上的“纵三倍点”． （2）若该二次函数在﹣3≤x≤6的图象上存在两个纵三倍点，则c的取值范围是 　﹣6＜c＜　． 【分析】（1）①先利用待定系数法求得抛物线的解析式，把P（3，a）代入解析式求得a的值，根据“纵三倍点”的定义判断即可； ②根据新定义，把（x，3x）代入y＝x2﹣2x+4，即可求得结果； （2）由题意得，三倍点所在的直线为y＝3x，根据二次函数y＝x2﹣2x+c的图象上存在两个纵三倍点转化为y＝x2﹣2x+c和y＝3x有两个交点，求Δ＞0，再根据x＝﹣3和x＝6时两个函数值大小即可求出． 【解答】解：（1）①∵（0，4）是二次函数y＝x2﹣2x+c（c为常数）上的一点， ∴c＝4， ∴二次函数解析式为y＝x2﹣2x+4， ∵P（3，a）也是该二次函数上的一点， ∴a＝9﹣6+4＝7， ∴P（3，7）， ∴P 不是“纵三倍点”； 故答案为：不是； ②把（x，3x）代入y＝x2﹣2x+4得，3x＝x2﹣2x+4，即x2﹣5x+4＝0， 解得x＝1或x＝4， ∴该二次函数上的“纵三倍点”为（1，3）和（4，12）． （2）由题意得，三倍点所在的直线为y＝3x， 在﹣3≤x≤6的范围内，二次函数y＝x2﹣2x+c的图象上存在两个纵三倍点， 即在﹣3≤x≤6的范围内，二次函数y＝x2﹣2x+c和y＝3x有两个交点， 令3x＝x2﹣2x+c，整理得，x2﹣5x+c＝0， 则Δ＝b2﹣4ac＝25﹣4c＞0，解得c＜， 把x＝﹣3代入y＝x2﹣2x+c得y＝15+c，代入y＝3x得y＝﹣9， ∴﹣9＜15+c，解得c＞﹣24； 把x＝6代入y＝x2﹣2x+c得y＝24+c，代入y＝3x得y＝18， ∴18＜24+c，解得c＞﹣6， 综上，c的取值范围为：﹣6＜c＜． 故答案为：﹣6＜c＜． 11．（2023春•柯桥区期中）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 y＝x2﹣2tx+1． （1）求该抛物线的对称轴（用含t的式子表示）； （2）若点M（t﹣2，m），N（t+3，n） 在抛物线y＝x2﹣2tx+1上，试比较m，n的大小； （3）P（x1，y1），Q（x2，y2） 是抛物线 y＝x2﹣2tx+1 上的任意两点，若对于﹣1≤x1＜3且x2＝3，都有y1≤y2，求t的取值范围； （4）P（t+1，y1），Q（2t﹣4，y2）是抛物线y＝x2﹣2tx+1上的两点，且均满足y1≥y2，求t的最大值． 【分析】（1）把解析式化成顶点式即可求得； （2）根据二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征即可判断； （3）分3种情况求解即可； （4）分两种情况讨论，根据题意列出关于t的不等式，解不等式即可解决问题． 【解答】解：（1））∵y＝x2﹣2tx+1 ＝（x﹣t）2﹣t2+1， ∴抛物线的对称轴为直线x＝t； （2）∵点M（t﹣2，m），N（t+3，n）在抛物线y＝x2﹣2tx+1上， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝t， 又∵|t﹣（t﹣2）|＝2，|t﹣（t+3）|＝3，2＜3， ∴点N（t+3，n）离抛物线y＝x2﹣2tx+1的对称轴距离较大， ∴n＞m； （3）∵抛物线的开口向上， ∴离抛物线y＝x2﹣2tx+1的对称轴距离较大，函数值越大． 当t＞3时，点P离对称轴远，不符合题意； 当﹣1≤t≤3时，由题意得， 3﹣t≥t﹣（﹣1）， 解得t≤1， ∴﹣1≤t≤1时，都有y1≤y2； 当t＜﹣1时，点Q离对称轴远，都有y1≤y2． 综上，当t≤1时，都有y1≤y2． （4）∵抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝t， ∴点P在抛物线y＝x2﹣2tx+1对称轴的右侧， ∵y1≥y2， ①当点Q在对称轴的右侧或在对称轴上，且在点P的左侧或与点P重合时满足条件， ∴2t﹣4≥t且2t﹣4≤t+1， 解得4≤t≤5； ②当点Q在对称轴的左侧，且点Q到抛物线对称轴的距离小于或等于点P到对称轴的距离时满足条件， ∴2t﹣4＜t，t﹣（2t﹣4）≤t+1﹣t， 解得3≤t＜4， 综上所述：当3≤t≤5时，满足题意． ∴t的最大值为5． 12．（2023秋•上城区期中）在平面直角坐标系中，已知点A（1，3），B（2，4），C（2，6），直线y＝x+m经过点A，抛物线y＝ax2+bx+2恰好经过A，B，C三点中的两点． （1）求直线y＝x+m的解析式； （2）求a，b的值； （3）平移抛物线y＝ax2+bx+2使其顶点仍在直线y＝x+m上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最小值． 【分析】（1）根据待定系数法求得直线的解析式，然后即可判断点B（2，3）在直线y＝x+m上； （2）因为直线经过A、B和点（0，1），所以经过点（0，1）的抛物线不同时经过A、B点，即可判断抛物线只能经过A、C两点，根据待定系数法即可求得a、b； （3）设平移后的抛物线为y＝（x﹣p）2+q+2，其顶点坐标为（p，q+2），根据题意得出p2+q+2＝p2+p+2＝（p+）2+，得出q的最小值． 【解答】解：（1）∵直线y＝x+m经过点A（1，3）， ∴3＝1+m，解得m＝2， ∴直线为y＝x+2； （2）∵直线y＝x+2经过点A（1，3），直线y＝x+2与抛物线y＝ax2+bx+2都经过点（0，2），点（0，2），A（1，3），B（2，4）在直线上，点（0，2），A（1，3）在抛物线上，直线与抛物线不可能有三个交点， ∵B（2，4），C（2，6）两点的横坐标相同， ∴抛物线只能经过A、C两点， 把A（1，3），C（2，6）代入y＝ax2+bx+2得， 解得a＝1，b＝0； （3）由（2）知，抛物线的解析式为y＝x2+2， 设平移后的抛物线的解析式为y＝（x﹣p）2+q+2，其顶点坐标为（p，q+2）， ∵顶点仍在直线y＝x+2上， ∴p+2＝q+2， ∴p＝q， ∵抛物线y＝（x﹣p）2+q+2与y轴的交点的纵坐标为p2+q+2， ∴p2+q+2＝p2+p+2＝（p+）2+， ∴当p＝﹣时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最小值为． 13．（2023秋•江干区校级期中）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c． （1）当b＝4，c＝3时， ①求该函数图象的顶点坐标； ②当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围； （2）当x≤0时，y的最大值为2；当x＞0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式． 【分析】（1）先把解析式进行配方，再求顶点； （2）根据函数的增减性求解； （3）根据函数的图象和系数的关系，结合图象求解． 【解答】解：（1）①∵b＝4，c＝3 时， ∴y＝﹣x2+4x+3＝﹣（x﹣2）2+7， ∴顶点坐标为（2，7）． ②∵﹣1≤x≤3中含有顶点（2，7）， ∴当 x＝2 时，y有最大值7， ∵2﹣（﹣1）＞3﹣2， ∴当x＝﹣1 时，y有最小值为：﹣2， ∴当﹣1≤x≤3时，﹣2≤y≤7． （2）∵x≤0时，y的最大值为2；x＞0时，y的最大值为3， ∴抛物线的对称轴 在y轴的右侧， ∴b＞0， ∵抛物线开口向下，x≤0时，y的最大值为2， ∴c＝2， 又∵， ∴b＝±2， ∵b＞0， ∴b＝2． ∴二次函数的表达式为 y＝﹣x2+2x+2． 14．（2023秋•义乌市校级期中）若二次函数y＝ax2+bx+c的x与y的部分对应值如表： x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 y 0 3 4 3 0 （1）求这个二次函数的表达式． （2）二次函数y＝ax2+bx+c图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2） ①若y1＝y2，当x＝x1+x2时，求y的值． ②若x1＝3且y1≥y2，求x2的取值范围． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）①当y1＝y2时，点A、B关于抛物线的对称性对称，即可求解；②观察函数图象即可求解． 【解答】解：（1）在表格上取点（﹣1，4）、（0，3）、（1，0）， 将上述各点代入函数表达式得：，解得：， 则抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3； （2）①当y1＝y2时，点A、B关于抛物线的对称性对称， 则x＝x1+x2＝2×（﹣1）＝﹣2，y＝﹣x2﹣2x+3＝3； ②如图，当x＝3时，y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣12，即A（3，﹣12）， 点A关于抛物线的对称点为（﹣5，﹣12）， 从图象看，y1≥y2，x2的取值范围为：x2≤﹣5或x2≥3． 15．（2023秋•义乌市期中）在平面直角坐标系中，二次函数图象的表达式为y＝ax2+（a+1）x+b，其中a﹣b＝4． （1）若此函数图象过点（1，3），求这个二次函数的表达式． （2）若（x1，y1）（x2，y2）为此二次函数图象上两个不同点，当x1+x2＝2时，y1＝y2，求a的值． （3）若点（﹣1，t）在此二次函数图象上，且当x≥﹣1时y随x的增大而增大，求t的范围． 【分析】（1）将（1，3），a﹣b＝4代入y＝ax2+（a+1）x+b即可； （2）由y1＝y2可得这两个点关于x轴对称，再利用对称轴公式计算即可； （3）由题意可得t＝a﹣5，分a＞0和a＜0分别求解即可． 【解答】解：（1）将（1，3），a﹣b＝4代入y＝ax2+（a+1）x+b得：3＝a+a+1+a﹣4， ∴a＝2， ∴b＝a﹣4＝﹣2， ∴这个二次函数的表达式为：y＝2x2+3x﹣2， （2）∵y1＝y2， ∴这两个点关于x轴对称， ∴， ∴， ∴， （3）∵点（﹣1，t）在二次函数图象上， ∴t＝a﹣a﹣1+a﹣4＝a﹣5， ∵当x≥﹣1时y随x的增大而增大， 当a＞0时，有， ∴0＜a≤1， ∴﹣5＜t≤﹣4， 当a＜0时，不符合题意舍去， ∴﹣5＜t≤﹣4． 16．（2023秋•上城区校级期中）在平面直角坐标系中，二次函数图象的表达式为y＝ax2+（a+1）x+a﹣4． （1）若此函数图象过点（1，3），求这个二次函数的表达式． （2）若（x1，y1）、（x2，y2）为此二次函数图象上两个不同点，当x1+x2＝2时，y1＝y2，求a的值． （3）若点（﹣1，t）在此二次函数图象上． ①直接用含a的代数式表示t； ②当x≥﹣1时y随x的增大而增大，求t的范围． 【分析】（1）将（1，3）代入y＝ax2+（a+1）x+a﹣4即可求解； （2）由y1＝y2可得这两个点关于x轴对称，再利用对称轴公式计算即可； （3）①将（﹣1，t）代入y＝ax2+（a+1）x+a﹣4可得t＝a﹣5； ②分a＞0和a＜0分别求解即可． 【解答】解：（1）将（1，3）代入y＝ax2+（a+1）x+a﹣4得：3＝a+a+1+a﹣4， ∴a＝2， ∴这个二次函数的表达式为：y＝2x2+3x﹣2， （2）∵y1＝y2， ∴这两个点关于x轴对称， ∴﹣＝， ∵x1+x2＝2， ∴＝1， ∴a＝﹣； （3）①∵点（﹣1，t）在二次函数图象上， ∴t＝a﹣a﹣1+a﹣4＝a﹣5； ②∵当x≥﹣1时y随x的增大而增大， 当a＞0时，有﹣， ∴0＜a≤1， ∴﹣5＜t≤﹣4， 当a＜0时，不符合题意舍去， ∴﹣5＜t≤﹣4． 17．（2023秋•嘉兴期中）定义：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同的两个二次函数互为友好同轴二次函数．例如：y＝2x2+4x﹣5的友好同轴二次函数为y＝﹣x2﹣2x﹣5． （1）函数y＝﹣3x2+3x+1的对称轴为 　x＝　，其友好同轴二次函数为 　y＝4x2﹣4x+1　，两个函数表达式的二次项系数的关系是 　和为1　； （2）已知二次函数C1y＝ax2+4ax+4（其中a≠0且a≠1且a≠），其友好同轴二次函数记为C2． ①若函数C1的图象与函数C2的图象交于A、B两点（点A的横坐标小于点B的横坐标），求线段AB的长； ②当﹣3≤x≤0时，函数C2的最大值与最小值的差为8，求a的值． 【分析】（1）由函数y＝﹣3x2+3x+1的对称轴为直线x＝＝﹣，由于二次项系数之和为1，对称轴为直线x＝，友好同轴二次函数为 y＝4x2﹣4x+1，据此判断系数关系即可； （2）①由C1y＝ax2+4ax+4，根据定义可得其友好同轴二次函数C2为y＝（1﹣a）x2+4（1﹣a）x+4，因为函数C1的图象与函数C2的图象交于A、B两点，两函数解析式联立解一元二次方程即可求得AB值； ②C2为y＝（1﹣a）x2+4（1﹣a）x+4，则对称轴为：x＝﹣2，分两种情况当1﹣a＞0时，当1﹣a＜0时，根据范围找到最大值和最小值，建立方程即可解决． 【解答】解：（1）由函数y＝﹣3x2+3x+1的对称轴为直线x＝＝﹣， 根据定义：其友好同轴二次函数的二次项系数为1﹣（﹣3）＝4， ∵对称轴为直线x＝＝， ∴一次项系数为：，常数项为：1 ∴其友好同轴二次函数为：y＝4x2﹣4x+1， 则二次项系数之和为1， 故答案为：4x2﹣4x+1；二次项系数之和为1； （2）①∵C1y＝ax2+4ax+4（其中a≠0且a≠1且a≠）， ∴其友好同轴二次函数C2为y＝（1﹣a）x2+4（1﹣a）x+4， ∵函数C1的图象与函数C2的图象交于A、B两点， ∴ax2+4ax+4＝（1﹣a）x2+4（1﹣a）x+4， 即（2a﹣1）x2+4（2a﹣1）x＝0， ∴x2+4x＝0， 解得：x＝0或x＝﹣4， 则y＝4或y＝4， 则A（﹣4，4），B（0，4）， ∴AB＝4； ②由①知：C2：y＝（1﹣a）x2+4（1﹣a）x+4， 则对称轴为：x＝﹣2， ∵﹣3≤x≤0， 当1﹣a＞0时，即a＜1， ∴开口向上，则x＝﹣2时，C2：y取最小值为4a， ∴x＝0时，C2：y取最大值为4， ∵函数C2最大值与最小值的差为8， ∴4﹣4a＝8， 解得：a＝﹣1， 当1﹣a＜0时，即 a＞1， ∴开口向下，则x＝﹣2时，C2：y取最大值为4a， ∵﹣3≤x≤0， 当x＝0时，C2：y取最小值为4， ∵函数C2最大值与最小值的差为8， ∴4a﹣4＝8， 解得：a＝3． 综上所述：a＝﹣1或3． 18．（2023春•拱墅区校级期中）设二次函数y＝（x+1）（ax+2a+2）（a是常数，a≠0）． （1）若a＝1，求该函数图象的顶点坐标． （2）若该二次函数图象经过（﹣1，1），（﹣2，3），（0，﹣2）三个点中的一个点，求该二次函数的表达式． （3）若二次函数图象经过（x1，y1），（x2，y2）两点，当x1+x2＝2，x1＜x2时，y1＞y2，求证：a＜﹣． 【分析】（1）当a＝1时，二次函数y＝（x+1）（x+4）＝x2+5x+4，即可求出顶点坐标； （2）先判断抛物线过点（0，﹣2），代入解析式即可求得a＝﹣2，从而求得抛物线的解析式； （3）分a＞0和a＜0两种情况，根据二次函数的增减性和已知条件列出a的不等式便可求得结果． 【解答】解：（1）当a＝1时，二次函数， ∴顶点坐标为； （2）当x＝﹣1时，y＝0≠1，因此不过（﹣1，1）点， 当x＝﹣2时，y＝（﹣2+1）（﹣2a+2a+2）＝﹣2≠3，因此不过（﹣2，3）点， 故抛物线过点（0，﹣2），代入得，2a+2＝﹣2， ∴a＝﹣2，∴抛物线的关系式为y＝﹣2（x+1）2； （3）∵二次函数y＝（x+1）（ax+2a+2）（a是常数，a≠0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），，0）， ∴函数图象的对称轴为直线， 当a＞0时，函数图象开口向上，∵当x1+x2＝2，x1＜x2时，y1＞y2， ∴， ∴， 解得，舍去； 当a＜0时，函数图象开口向下，∵x1＜x2时，y1＞y2， ∴， ∵x1+x2＝2，x1＜x2， ∴x1＜1， ∴， ∴． 故． 19．（2023秋•安吉县期中）已知二次函数 y＝x2﹣2ax+1﹣a． （1）若图象过点（3，3），求抛物线顶点坐标． （2）若图象与坐标轴有两个交点，求a的值． （3）若函数图象上有两个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），且 x1+x2＝﹣1，求y1+y2的取值范围． 【分析】（1）依据题意，把（3，3）代入二次函数的解析式可以计算得解； （2）分类讨论Δ＝0且抛物线不经过原点和Δ＞0且抛物线经过原点两种情况； （3）由抛物线解析式及x1+x2＝﹣1，可得． 【解答】解：（1）把点（3，3）代入 y＝x2﹣2ax+1﹣a，得a＝1， ∴函数解析式是 y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1， ∴抛物线顶点坐标（1，﹣1）； （2）∵二次图象与坐标轴有两个交点时，抛物线顶点在x轴上或者抛物线经过原点， ①抛物线顶点在x轴上，即抛物线与x轴有唯一交点． 令y＝0，即 x2﹣2ax+1﹣a＝0 则 Δ＝（﹣2a）2﹣4（1﹣a）＝0， 解得 ②抛物线经过原点，即1﹣a＝0解得a＝1， 当a＝1时，Δ＝4a2+4a﹣4＝4＞0，满足题意． 综上所述，a的值为 或 或1； （3）∵点A（x1，y1），B（x2，y2） 是函数 y＝x2﹣2ax+1﹣a 图象上有两个不同的点 ∴y1＝﹣2ax1+1﹣a，y2＝﹣2ax2+1﹣a， ∴y1+y2＝+﹣2a（x1+x2）+2﹣2a， ∵x1+x2＝﹣1， ∴x2＝﹣1﹣x1， ∴y1+y2＝+（﹣1﹣x1）2+2a﹣2a+2＝2+2x1+3＝2（x1+）2+， ∵点A，B是图象上有两个不同的点， ∴， ∴． 20．（2023秋•上虞区期中）设二次函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点． （1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（3，0），求函数y的表达式及其图象的对称轴． （2）若函数y的表达式可以写成y＝（x﹣h）2﹣3（h是常数）的形式，求b+c的最小值． （3）在（1）的条件下，若函数y的图象上有P（xP，yP），Q（xQ，yQ）两点，且，．求证：yP﹣yQ＞0． 【分析】（1）利用待定系数法计算即可； （2）根据等式的性质，构造以b+c为函数的二次函数，求函数最值即可； （3）在（1）的条件下求出yP﹣yQ＝（xP﹣xQ）（xP+xQ﹣4），根据，判断﹣＜xP+xQ﹣4＜0，﹣2＜xP﹣xQ＜﹣＜0，从而得出结论． 【解答】（1）解：由题意，二次函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）经过（1，0），（3，0）， ∴， 解得， ∴抛物线的解析y＝x2﹣4x+3， ∴抛物线对称轴是直线x＝＝2； （2）解：由题意，得y＝（x﹣h）2﹣3＝x2﹣2h+h2﹣3， 又∵y＝x2+bx+c， ∴b＝﹣2h，c＝h2﹣3 ∴b+c＝h2﹣2h﹣3＝（h﹣1）2﹣4， ∴当h＝1时，b+c的最小值是﹣4； （3）证明：在（1）的条件下，二次函数解析式为y＝x2﹣4x+3， ∴yP﹣yQ＝﹣4xP+3﹣（﹣4xQ+3）＝﹣﹣4（xP﹣xQ）＝（xP﹣xQ）（xP+xQ﹣4）， ∵，， ∴﹣＜xP+xQ﹣4＜0，﹣2＜xP﹣xQ＜﹣＜0， ∴（xP﹣xQ）（xP+xQ﹣4）＞0， 即yP﹣yQ＞0． 21．（2023秋•西湖区期中）已知抛物线y＝ax2+3ax+c（a≠0）与y轴交于点A． （1）当a＝1，c＝2，求该抛物线与x轴交点坐标； （2）若a＝1，点P（m，n）在二次函数抛物线y＝ax2+3ax+c的图象上，且n﹣c＞0，试求m的值； （3）若点A的坐标是（0，1），当﹣2c＜x＜c时，抛物线与x轴只有一个公共点，求a的取值范围． 【分析】（1）①由a＝1，c＝2可得抛物线解析式，令y＝0求解． ②根据抛物线解析式可得抛物线对称轴及开口方向，求出y＝c时x的值，进而求解． （2）由抛物线恒在x轴下方可得＜a＜0，由符合条件的整数a只有三个可得c的取值范围，进而求解． （3）由点A坐标求出c的值为1，求出直线x＝﹣2，直线x＝1与抛物线的交点坐标，分类讨论a＞0，a＜0两种情况，列不等式组求解． 【解答】解：（1）当a＝1，c＝2时， y＝x2+3x+2， 令y＝0，则x2+3x+2＝0， 解得x1＝﹣2，x2＝﹣1， ∴抛物线与x轴交点坐标为（﹣2，0），（﹣1，0）； （2）∵a＝1， ∴抛物线开口向上， ∵y＝ax2+3ax+c， ∴抛物线对称轴为直线x＝﹣， 将x＝0代入y＝ax2+3ax+c得y＝c， ∴抛物线经过（0，c）， 由抛物线对称性可得抛物线经过（﹣3，c）， ∵x＜﹣时，y随x增大而减小，x＞﹣时，y随x增大而增大，且n﹣c＞0， ∴m＜﹣3或m＞0． （3）∵点A的坐标是（0，1）， ∴c＝1， ∴y＝ax2+3ax+1， ∴﹣2＜x＜1时，抛物线与x轴只有一个公共点， 当x＝﹣2时，y＝4a﹣6a+1＝﹣2a+1， ∴直线x＝﹣2与抛物线交点坐标为（﹣2，﹣2a+1）， 当x＝1时，y＝a+3a+1＝4a+1， ∴直线x＝1与抛物线交点坐标为（1，4a+1）， ①当Δ＝9a2﹣4a＝0时，抛物线顶点在x轴上，满足题意， 解得a＝0（舍）或a＝． ②当a＞0时，若点（﹣2，﹣2a+1）在x轴上或x轴下方，点（1，4a+1）在x轴上方满足题意， 则， 解得a≥， ③当a＜0时，若（﹣2，﹣2a+1）在x轴上方，点（1，4a+1）在x轴下方满足题意， ∴， 解得a＜﹣． 综上所述，a＝或a≥或a＜﹣． 22．（2023秋•海曙区校级期中）在平面直角坐标系内，二次函数y1＝（x﹣a）2+a﹣1（a为常数）． （1）若函数y1的图象经过点（1，0），求函数y1的表达式． （2）若y1的图象与一次函数y2＝x+1的图象有两个交点，横坐标分别为﹣1，2，请直接写出当y1＞y2时x的取值范围． （3）已知（x0，n）在函数y1的图象上，当x0＞2a＞0时，求证：n＞﹣． 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）根据题意画出草图解答便可； （3）由题意可得当x＝0时的函数值小于当x＝x0时的函数值，列出不等式即可得出结论． 【解答】（1）解：∵函数y1的图象经过点（1，0）， ∴（1﹣a）2+a﹣1＝0， 解得：a＝0或1， ∴函数y1的表达式为y1＝x2﹣1或y1＝x2﹣2x+1； （2）解：根据题意作出草图如下， 由函数图象可知，当y1＞y2时x的取值范围是：x＜﹣1或x＞2； （3）证明：∵x0＞2a， ∴＞a， ∵抛物线的对称轴为直线x＝a，抛物线开口方向向上， ∴x＝0和x＝2a时的函数值相同， ∴由图象可知当x＝0时的函数值小于当x＝x0时的函数值， 即：n＞a2+a﹣1， ∵， ∴a2+a﹣1≥﹣， ∴n＞﹣． 23．（2023秋•西湖区校级期中）已知二次函数y＝x2﹣2ax+1﹣a． （1）若图象过点（1，﹣1），求抛物线顶点坐标． （2）若图象与坐标轴有两个交点，求a的值． （3）若函数图象上有两个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1+x2＝﹣1，求证：y1+y2＞． 【分析】（1）依据题意，把（1，﹣1）代入二次函数的解析式可以计算得解； （2）分类讨论Δ＝0且抛物线不经过原点和Δ＞0且抛物线经过原点两种情况； （3）由抛物线解析式及x1+x2＝﹣1，可得y1+y2＝2（x1+）2+＞． 【解答】（1）解：由题意，将（1，﹣1）代入二次函数的解析式y＝x2﹣2ax+1﹣a， ∴﹣1＝12﹣2a+1﹣a． ∴a＝1． ∴二次函数的解析式y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1． ∴顶点坐标为（1，﹣1）． （2）解：∵二次函数图象与坐标轴有两个交点时，抛物线顶点落在x轴上，或抛物线经过原点， ①抛物线顶点在x轴上时，令x2﹣2ax+1﹣a＝0， 则Δ＝（﹣2a）2﹣4（1﹣a）＝4a2+4a﹣4＝0， 解得a＝﹣±， 当a＝﹣±时，1﹣a＞0，满足题意． ②抛物线经过原点时，1﹣a＝0， 解得a＝1， a＝1时，4a2+4a﹣4＝4＞0，满足题意． 综上所述，a的值为或1； （3）证明：∵点A（x1，y1）、B（x2，y2）是函数y＝x2﹣2ax+1﹣a图象上两点， ∴y1＝﹣2ax1+1﹣a，y2＝﹣2ax2+1﹣a， ∴y1+y2＝+﹣2a（x1+x2）+2﹣2a， ∵x1+x2＝﹣1， ∴x2＝﹣1﹣x1， ∴y1+y2＝+（﹣1﹣x1）2+2a﹣2a+2＝2+2x1+3＝2（x1+）2+， ∵点A，B是图象上两点， ∴x1≠x2≠﹣， ∴y1+y2＝2（x1+）2+＞． 24．（2023春•萧山区期中）已知二次函数y＝x2﹣6ax+9（a为常数）． （1）若该函数图象过点（2，7），求a的值和图象顶点坐标； （2）在（1）的情况下，当﹣1≤x＜3时，求y的取值范围； （3）当x≥3，y随x的增大而增大，P（x1，y1），Q（x2，y2）是该函数图象上的两个点，对任意的3a﹣2≤x1≤5，3a﹣2≤x2≤5，y1，y2总满足y1﹣y2≤9a2+20，求a的取值范围． 【分析】（1）设（2，7）为点P，把点P（2，7）代入y＝x2﹣6ax+9中，求得即可； （2）求得对称轴为直线x＝，故当时取最小值，x＝﹣1时取最大值，据此即可求得y的取值范围； （3）由题意3a≤3，即可得到5﹣3a≥2，3a﹣（3a﹣2）＝2，从而求得5﹣3a≥2，3a﹣（3a﹣2）＝2，根据二次函数图象上点的坐标特征求得x＝3a时，y最小为9﹣9a2，x＝5时，y最大为34﹣30a，即可得到34﹣30a﹣（9﹣9a2）≤9a2+20，即可求得≤a≤1． 【解答】解：（1）∵y＝x2﹣6ax+9＝（x﹣3a）2﹣9a2+9， ∴顶点为（3a，9﹣9a2）， 把点P（2，7）代入y＝x2﹣6ax+9中得：4﹣12a+9＝7， 解得：， ∴抛物线的顶点为（，）； （2）由（1）得二次函数解析式为y＝x2﹣3x+9， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝， ∴当﹣1≤x＜3时函数在时取最小值为y＝﹣3×+9＝， 在x＝﹣1时取最大值为y＝1+3+9＝13， 故y的取值范围≤y≤13； （3）由题意得，抛物线开口向上， ∵当x≥3，y随x的增大而增大， ∴对称轴x＝3a≤3，即a≤1， ∴5﹣3a≥2，3a﹣（3a﹣2）＝2， ∴x＝3a时，y最小为9﹣9a2， x＝5时，y最大为34﹣30a， 所以34﹣30a﹣（9﹣9a2）≤9a2+20，解得a≥， 综上所述≤a≤1． 25．（2023秋•平湖市期中）如图，直线y＝﹣x+3交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线y＝﹣+bx+c经过点A，点C，且交x轴于另一点B． （1）直接写出点A，点B，点C的坐标及抛物线的解析式； （2）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标； （3）将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O′A′，若线段O′A′与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围． 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）由S四边形ABCM＝S△ABO+S△AOM+S△OCM，即可求解； （3）当A′（m+3，m）在抛物线上时，则﹣（m+3）2+（m+3）+3＝m，得到m＝﹣3±2；当点O′（m，m）在抛物线上时，有﹣m2+m+3＝m，得到m＝，即可求解． 【解答】解：（1）令x＝0，得y＝﹣x+3＝3， ∴A（0，3）， 令y＝0，得y＝﹣x+3＝0， 解得：x＝6， ∴C（6，0）， 把A、C两点代入抛物线表达式得， ，解得：， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+3， 令y＝0，得y＝﹣x2+x+3＝0， 解得：x＝﹣2，或x＝6， ∴B（﹣2，0）； 即点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（﹣2，0）、（6，0）， 抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+3； （2）连接OM，如图， 设M（x，﹣x2+x+3）， 则S四边形ABCM＝S△ABO+S△AOM+S△OCM ＝×3×2+×x×3+×2（﹣x2+x+3） ＝﹣x2+x+12， ∴当x＝3时，四边形ABCM面积最大，其最大值为， 此时M的坐标为（3，）； （3）∵将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O′A′，如图： ∴PO′＝PO＝m，O′A′＝OA＝3， ∴O′（m，m），A′（m+3，m）， 当A′（m+3，m）在抛物线上时， ﹣（m+3）2+（m+3）+3＝m， 解得：m＝﹣3±2； 当点O′（m，m）在抛物线上时，有﹣m2+m+3＝m， 解得：m＝， ∴当﹣3﹣2≤m≤﹣2或﹣3+2≤m≤2时，线段O′A′与抛物线只有一个公共点． 26．（2023秋•江干区校级期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣4ax+1． （1）若抛物线过点A（2，﹣3），求该抛物线的解析式； （2）当0≤x≤5时，y的最小值是﹣1，则当0≤x≤5时，求y的最大值； （3）已知直线y＝﹣2x+9与抛物线y＝ax2﹣4ax+1存在两个交点，若两交点到x轴的距离相等，求a的值． 【分析】（1）把A（2，﹣3）代入y＝ax2﹣4ax+1可得抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+1； （2）抛物线y＝ax2﹣4ax+1的对称轴为直线x＝﹣＝2，分两种情况：当a＞0时，根据当0≤x≤5时，y的最小值是﹣1，可得﹣1＝4a﹣8a+1，即可解得y＝x2﹣2x+1，故当x＝5时，y取最大值×52﹣2×5+1＝；当a＜0时，25a﹣20a+1＝﹣1，可解得y＝﹣x2+x+1，故当x＝2时，y取最大值﹣×22+×2+1＝； （3）联立，可解得直线y＝﹣2x+9与抛物线y＝ax2﹣4ax+1的两个交点为（﹣，），（4，1）；由两交点到x轴的距离相等，有||＝1，即可得a的值为﹣． 【解答】解：（1）把A（2，﹣3）代入y＝ax2﹣4ax+1得： ﹣3＝4a﹣8a+1， 解得a＝1， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+1； （2）抛物线y＝ax2﹣4ax+1的对称轴为直线x＝﹣＝2， 当a＞0时， ∵当0≤x≤5时，y的最小值是﹣1， ∴抛物线顶点为（2，﹣1）， ∴﹣1＝4a﹣8a+1， 解得a＝， ∴y＝x2﹣2x+1， ∵5﹣2＞2﹣0，抛物线开口向上， ∴当x＝5时，y取最大值×52﹣2×5+1＝； 当a＜0时， ∵5﹣2＞2﹣0，抛物线开口向下， ∴当x＝5时，y取最小值， ∵当0≤x≤5时，y的最小值是﹣1， ∴25a﹣20a+1＝﹣1， 解得a＝﹣， ∴y＝﹣x2+x+1， 当x＝2时，y取最大值﹣×22+×2+1＝； 综上所述，当a＞0时，y最大值为；当a＜0时，y最大值为； （3）联立， 解得或， ∴直线y＝﹣2x+9与抛物线y＝ax2﹣4ax+1的两个交点为（﹣，），（4，1）； ∵两交点到x轴的距离相等， ∴||＝1， 解得a＝﹣或a＝﹣； 当a＝﹣时，两交点重合，不符合题意，舍去； ∴a的值为﹣． 27．（2023秋•江干区校级期中）已知二次函数y＝mx2+2mx+3，其中m≠0． （1）若二次函数的图象经过（1，0），求二次函数表达式； （2）若该二次函数图象开口向下，当﹣2≤x≤2时，二次函数图象的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为5，求点M和点N的坐标； （3）在二次函数图象上任取两点（x1，y1），（x2，y2），当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2，求a的取值范围． 【分析】（1）把（1，0）点的坐标代入函数解析式中求出m即可； （2）根据抛物线开口向下得m＜0，根据函数图象的性质确定最高点和最低点，从而得出m的值，即可求出M点和N点的坐标； （3）分开口方向向上和开口方向向下两种情况，根据图象的增减性讨论a的取值范围． 【解答】解：（1）把（1，0）代入函数解析式得，m+2m+3＝0， ∴m＝﹣1， ∴函数解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3； （2）∵抛物线开口方向向下， ∴m＜0， ∵y＝mx2+2mx+3＝m（x+1）2+3﹣m， ∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，顶点为（﹣1，3﹣m），即最高点M（﹣1，3﹣m）， ∵点M的纵坐标为5， ∴3﹣m＝5， 解得m＝﹣2， ∴M（﹣1，5），y＝﹣2x2﹣4x+3， ∵﹣1﹣（﹣2）＜2﹣（﹣1）， ∴最低点N的横坐标为2，此时y＝﹣2×22﹣4×2+3＝﹣13， ∴N（2，﹣13）； （3）①当m＞0时， 则有当x≤﹣1时，y随x增大而减小， 当x≥﹣1时，y随x增大而增大， ∵当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2， 此时a+2≤﹣1， ∴a≤﹣3， ②当m＜0时， 则有当x≤﹣1时，y随x增大而增大， 当x≥﹣1时，y随x增大而减小， ∵当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2， 此时a≥﹣1， 综上，当m＞0时a≤﹣3；当m＜0时，a≥﹣1． 28．（2023秋•滨江区校级期中）已知二次函数y＝a（x+2a﹣1）（x﹣a+2）（a是常数，a≠0）． （1）当a＝1时，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标． （2）若此函数图象对称轴为直线x＝﹣2时，求函数的最小值． （3）设此二次函数的顶点坐标为（m，n），当a≠1时，求的最大值． 【分析】（1）将a＝1代入即可求函数的表达式； （2）令y＝0，即可求函数图象与x轴的交点坐标为（1﹣2a，0）（a﹣2，0），能得到抛物线的对称轴为直线x＝2，从而得到方程，求出a的值，即可求解； （3）根据解析式分别求出m＝﹣，n＝﹣a（a﹣1）2，则＝﹣（a﹣）2+，即可求的最大值为． 【解答】解：（1）当a＝1时，y＝（x+2﹣1）（x﹣1+2）＝（x+1）2， 即y＝x2+2x+1， ∴函数的表达式为y＝x2+2x+1； ∴顶点坐标为（﹣1，0）； （2）∵y＝a（x+2a﹣1）（x﹣a+2）， ∴当y＝0时，即a（x+2a﹣1）（x﹣a+2）＝0， 解得：x1＝1﹣2a，x2＝a﹣2， ∴函数图象与x轴的交点坐标为（1﹣2a，0）（a﹣2，0）， ∵此函数图象对称轴为直线x＝﹣2， ∴， 解得：a＝3， ∴y＝3（x+5）（x﹣1）， ∵a＞0，函数图象开口向上， ∴当x＝﹣2时，函数有最小值，此时y＝﹣27． ∴函数的最小值为﹣27； （3）函数图象与x轴的交点坐标为（1﹣2a，0），（a﹣2，0）， ∵此二次函数的顶点坐标为（m，n）， ∴m＝﹣，n＝﹣a（a﹣1）2， ∴＝﹣a（a﹣1）＝﹣（a﹣）2+， ∴≤， ∴的最大值为． 29．（2023秋•浙江期中）新定义：我们把抛物线与抛物线其中ab≠0）称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为．已知抛物线的“关联抛物线”为C2． （1）写出抛物线C2的函数表达式（用含a的式子表示）y2＝　ax2+2ax+a﹣2　，顶点坐标为 　（﹣1，﹣2）　． （2）对于C1和C2，当y1＞y2时，求x的取值范围． （3）若a＞0，当a﹣3≤x≤a﹣1时，C2的最大值与最小值的差为2a，求a的值． 【分析】（1）根据“关联抛物线”定义可知，抛物线C2的函数表达式y2＝ax2+2ax+a﹣2；即可得顶点坐标为（﹣1，﹣2）； （2）由y1＞y2，得2ax2+ax+a﹣2＞ax2+2ax+a﹣2，即ax（x﹣1）＞0，当a＞0时，x（x﹣1）＞0，可得x＜0或x＞1；当a＜0时，x（x﹣1）＜0，得0＜x＜1； （3）求出当x＝﹣1时，y＝﹣2．当 x＝a﹣3 时，y＝a（a﹣3+1）2﹣2＝a（a﹣2）2﹣2；当x＝a﹣1 时，y＝a（a﹣1+1）2﹣2＝a3﹣2；分三种情况讨论：Ⅰ．当a﹣3＜﹣1＜a﹣1，即0＜a＜2时，若0＜a≤1，a（a﹣2）2﹣2﹣（﹣2）＝2a，若1＜a＜2，a3﹣2﹣（﹣2）＝2a，Ⅱ．当a≥2时，a3﹣2﹣[a（a﹣2）2﹣2]＝2a，Ⅲ．当a≤0时，a（a﹣2）2﹣2﹣（a3﹣2）＝2a，分别解方程可得答案． 【解答】解：（1）根据“关联抛物线”定义可知，抛物线C2的函数表达式y2＝ax2+2ax+a﹣2； ∵y2＝ax2+2ax+a﹣2＝a（x+1）2﹣2， ∴顶点坐标为（﹣1，﹣2）； 故答案为：ax2+2ax+a﹣2；（﹣1，﹣2）； （2）∵y1＞y2， ∴2ax2+ax+a﹣2＞ax2+2ax+a﹣2， ∴ax（x﹣1）＞0， 当a＞0时，x（x﹣1）＞0， ∴x＜0或x＞1； 当a＜0时，x（x﹣1）＜0， ∴0＜x＜1； 综上所述，当a＞0时，x＜0或x＞1；当a＜0时，0＜x＜1； （3）∵C2：y＝a（x+1）2﹣2， ∴当x＝﹣1时，y＝﹣2． 当 x＝a﹣3 时，y＝a（a﹣3+1）2﹣2＝a（a﹣2）2﹣2； 当x＝a﹣1 时，y＝a（a﹣1+1）2﹣2＝a3﹣2； 根据题意可知，需要分三种情况讨论： Ⅰ．当a﹣3＜﹣1＜a﹣1，即0＜a＜2时， 若﹣1﹣（a﹣3）＞a﹣1﹣（﹣1），即0＜a≤1，则y大＝a（a﹣2）2﹣2；y小＝﹣2， ∴a（a﹣2）2﹣2﹣（﹣2）＝2a， 解得a＝2﹣或a＝2+（舍）或a＝0（舍）； 若﹣1﹣（a﹣3）＜a﹣1﹣（﹣1），即1＜a＜2时，y大＝a3﹣2；y小＝﹣2， ∴a3﹣2﹣（﹣2）＝2a， 解得a＝或a＝﹣（舍）或a＝0（舍）； Ⅱ．当﹣1≤a﹣3≤a﹣1，即a≥2时，y大＝a3﹣2；y小＝a（a﹣2）2﹣2． ∴a3﹣2﹣[a（a﹣2）2﹣2]＝2a， 解得a＝（舍）或a＝0（舍）； Ⅲ．当a﹣3≤a﹣1≤﹣1，即a≤0时，y大＝a（a﹣2）2﹣2，y小＝a3﹣2， ∴a（a﹣2）2﹣2﹣（a3﹣2）＝2a， 解得a＝（舍去）或a＝0（舍去）， 综上所述，a的值为2﹣或． 30．（2023秋•义乌市期中）定义：将函数C的图象绕点P（0，n）旋转180°，得到新的函数C1的图象，我们称函数C1是函数C关于点P的相关函数． 例如：当n＝1时，函数y＝（x﹣6）2+3关于点P（0，1）的相关函数为y＝（x+6）2﹣1． （1）当n＝0时， ①二次函数y＝x2关于点P的相关函数为 　y＝﹣x2　； ②点A（2，3）在二次函数y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）关于点P的相关函数的图象上，求a的值； （2）函数y＝﹣x2+关于点P的相关函数是y＝x2，则n＝　﹣　； （3）当n﹣1≤x≤n+3时，函数y＝﹣2x2+nxn2的相关函数的最小值为7，求n的值． 【分析】（1）①n＝0时，点P（0，0），则相关函数为：y＝﹣x2，即可求解； ②二次函数y＝ax2﹣2ax+a的顶点为：（1，0），新函数的顶点为（﹣1，0），则新函数的表达式为：y＝﹣a（x+1）2，将点A的坐标代入上式并解得：a＝﹣； （2）两个函数的顶点分别为：（0，）、（0，﹣），由中点公式即可求解； （3）分n≤﹣3、﹣3＜n≤1、n＞1三种情况，分别求解即可． 【解答】解：（1）①n＝0时，点P（0，0），则相关函数为：y＝﹣x2， 故答案为：y＝﹣x2； ②二次函数y＝ax2﹣2ax+a的顶点为：（1，0），新函数的顶点为（﹣1，0）， 则新函数的表达式为：y＝﹣a（x+1）2， 将点A的坐标代入上式并解得：a＝﹣； （2）两个函数的顶点分别为：（0，）、（0，﹣）， 由中点公式得：2n＝﹣，解得：n＝﹣， 故答案为：﹣； （3）y＝﹣2x2+nxn2的顶点为：（，﹣n2），则相关函数顶点为：（﹣，n2+2n）， 则相关函数的表达式为：y＝2（x+）2+n2+2n； ①当n≤﹣3时， 函数在x＝n+3时，取得最小值，即2（+3+）2+n2+2n＝7， 解得：n＝﹣或﹣1（舍去﹣1）， 故n＝﹣； ②当﹣3＜n≤1时， 函数在顶点处取得最小值，即n2+2n＝7， 解得：n＝﹣1（舍去）； ③当n＞1时， 同理可得：n＝或﹣1（舍去﹣1）， 综上，n＝﹣或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$