1.4充分条件与必要条件课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.4 充分条件与必要条件 课时1 温故知新： 1.并集、交集、全集和补集的概念：自然语言、符号语言、图形语言 2.并集、交集和补集的性质 一、新课引入 前几节课我们学习了集合，集合语言是现代数学的基本语言。今天，我们要学习的常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，也是逻辑思维的基本语言，有助于提高我们理解数学概念、定理、结论之间的逻辑关系。 新课探究 问题1:什么是命题？命题的一般形式是什么？ 一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题. 判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题. 若p，则q 命题的条件 命题的结论 一般形式： 1.命题 问题2 将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并指出命题的条件与结论. (1) 对顶角相等； (2) 两个全等三角形的面积相等； (3) 三角形的内角和等于180° 若一个平面图形是三角形，则它的内角和等于180°. 若两个角是对顶角，则这两个角相等. 若两个三角形是全等三角形，则这两个三角形面积相等. 思考1(教材P17) 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？ (1) 若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； (2) 若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； (3) 若x2-4x+3=0，则x=1； (4) 若平面内两条直线a和b均垂直于直线l，则a∥b. 在命题（1）（4）中，由条件p可以得到结论q，所以它们是真命题。 在命题（2）（3）中，由条件p不能得到结论q，所以它们是假命题。  命题真假 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 条件关系 p⇒q p⇏q p是q的充分条件， q是p的必要条件 p不是q的充分条件， q不是p的必要条件 2.充分条件与必要条件 充分条件与必要条件 如果“若p,则q”为真命题，我们就说由p可以推出q，记作p⇒q。并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件。 定义 探究：充分条件与必要条件 若我是山东人，则我是中国人。 条件p：我是山东人 结论q：我是中国人 真命题 若我是山东人，则有充分的理由说明我是中国人 我是中国人，是我是山东人的必不可少条件 即：我是中国人，是我是山东人的必要条件。 即：我是山东人，是我是中国人的充分条件。 (教材P18例1节选) 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件?  (1) 若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； (2) 若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； (3) 若x2=1，则x=1； (4) 若x，y为无理数，则xy为无理数. p⇒q p⇒q p⇏q p⇏q 是 是 不是 不是 思考2(教材P18) 例2(1)给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，即“四边形的两组对角分别相等”.这样的充分条件唯一吗？如果不唯一，那么你能再给出几个不同的充分条件吗？ ①若四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形； ②若四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形； ③若四边形的两条对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形. 我们说p是q的充分条件是指条件p可以推出结论q。但不意味着只有这一个条件才能推出q。比如：x>3和x>2都是x>0的充分条件 例3(教材P19例2节选) 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件?  (1) 若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等； (2) 若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形； (3) 若x=1，则x2=1； (4) 若xy为无理数，则x，y为无理数. p⇒q p⇒q p⇏q p⇏q 是 是 不是 不是 思考：判断p是q的什么条件 p：x > 1 q：x > 3 q⇒p 因此q是p的充分条件，p是q的必要条件 小范围 大范围 从集合的角度理解 p：x∈A，q：x∈B (1)若p是q的充分条件 (2)若p是q的必要条件 则A⊆B 则B⊆A 判断充分(必要)条件的方法 (1)定义法；(2)集合法. 练习 (1)若“x>1”是“x>a”的充分条件，则a的取值范围是________. (2) 使x>3成立的一个充分条件是( ) A. x>4 B. x>0 C. x>2 D. x<2 a≤1 A 练习.已知 p：实数x满足，其中； q：实数x满足－2≤x≤3. 若p是q的充分条件，求实数的取值范围． 1.4 充分条件与必要条件 课时2 通过上节课的学习我们知道了导致结论成立的条件可能不唯一，x>3和x>2都能推出x>0，同样的条件也可能得出不同的结论，但生活中还有一些实例，比如：“人不犯我，我不犯人，人若犯我，我必犯人”像这种条件和结论唯一的结构，其实在我们数学上，也有很多类似的问题。 一、新课引入 新课探究 1.逆命题 将命题“若p则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q则p”称为原命题的逆命题。 原命题 若两直线平行，则同位角相等 逆命题 若同位角相等，则两直线平行 思考1(教材P20) 判断下列命题及其逆命题的真假？ (1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等， 则这两个三角形全等； (2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； (3)若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则ac<0. (4)若A∪B是空集，则A与B均是空集. 原命题 逆命题 真 真 真 真 假 假 假 假  命题真假 推出关系 条件关系 p⇔q p是q的充要条件 (等价条件) “若p，则q”为真命题 “若q，则p”为真命题 “若p，则q”为真命题 “若q，则p”为假命题 “若p，则q”为假命题 “若q，则p”为真命题 p⇒q，q⇏p p⇏q，q⇒p p是q的必要不充分条件 “若p，则q”为假命题 “若q，则p”为假命题 p⇏q，q⇏p p是q的既不充分 也不必要条件 p是q的充分不必要条件 例1(教材P21例3改编) 下列各题中， 判断p是q的什么条件? (1) p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分； (2) p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例； (3) p：xy>0，q：x>0，y>0； (4) p：x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，q：a+b+c=0(a≠0). p⇒q，q⇏p(充分不必要条件) p⇔q(充要条件) p⇏q，q⇒p(必要不充分条件) p⇔q(充要条件) 例2 下列各题中， p是q的什么条件? (x∈R) (1) p：x>3， q：x>2； (2) p：(x－1)·(x－2)＝0，q：x＝1； (3) p：-1≤x≤5，q：x≥ -1且x≤5； (4) p：x>0， q：x< -2. p⇒q，q⇏p； 小范围⇒大范围 p⇏q，q⇒p； p⇔q； p⇏q，q⇏p. p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 p是q的既不充分也不必要条件 探究：集合的角度判断充分必要条件 设集合A={|p()}和集合B={|q()} ，利用集合的包含关系来判断充要条件 B A A(B) 小范围 ⟹ 大范围 p是q的充要条件即 p是q的充分不必要条件即 p是q的必要不充分条件即 p是q的既不充分也不必要条件即AB且BA A B A B 或 B A A=B A⫋B B⫋A 课堂总结： 1.充分条件 2.必要条件 3.充要条件 解：由p：3a<x<a，即集合A＝{x|3a<x<a}． q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}． 因为p⇒q，所以A⊆B， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3a≥－2，,a≤3，,a<0，))即－eq \f(2,3)≤a<0， 所以a的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)≤a<0)))). $$