第四章 图形的相似（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（深圳专用，北师大版）

第四章 图形的相似（B卷·培优卷） 考试时间：60分钟，满分：100分 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，，DE＝4cm，则BC的长为（　　） A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm 2．（3分）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体AB的高为5cm，小孔O到地面距离OE为2cm，则实像CD的高度为（　　） A． B． C． D． 3．（3分）如图，△ABC中，∠A＝76°，AB＝8，AC＝6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）若，则的值为（　　） A． B． C． D． 5．（3分）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，EF⊥BD，垂足为点H，EF分别交AD、DC及BC的延长线于点E、M、F，且ED：CF＝1：2，则DH：DB的值为（　　） A． B． C． D． 6．（3分）一个三角形框架模型的三边长分别为20厘米、30厘米、40厘米，木工要以一根长为60厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是（　　） A．30厘米、45厘米 B．40厘米、80厘米 C．80厘米、120厘米 D．90厘米、120厘米 7．（3分）以O为位似中心，画出一个矩形，使得所画的矩形与矩形ABCD位似，且位似比为1：2，则所画的矩形可以是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝∠B＝40°，DE交线段AC于点E． 下面是某学习小组根据题意得到的结论： 甲同学：△ABD∽△DCE； 乙同学：若AD＝DE，则BD＝CE； 丙同学：当DE⊥AC时，D为BC的中点． 则下列说法正确的是（　　） A．只有甲同学正确 B．乙和丙同学都正确 C．甲和丙同学正确 D．三个同学都正确 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9．（3分）如果，那么b：a＝　 　：　 　． 10．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E是BC上一点，BE：EC＝2：3，AE交BD于F，则BF：FD等于 　 　． 11．（3分）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，若OA：OD＝1：3，△ABC的面积为3，则△DEF的面积为 　 　． 12．（3分）如图，AD是△ABC的中线，AE＝EF＝FC，BE交AD于点G，则　 　． 13．（3分）《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门一十五步有木，问出南门几何步见木？”其大意如下：如图，M、N分别是正方形ABCD边BC和DC的中点，正方形的边长为200步（“步”是我国古代的一种长度单位，类似于现在的米），出东门M继续往东走15步有一树木（点E），问出南门N继续往南走多少步恰好能看到位于点E处的树木（即点C在直线EF上）？则根据以上信息，算出FN的长是 　 　步． 三．解答题（共7小题，满分61分） 14．（9分）如图，△ABO是一个等腰三角形，按要求在方格纸上作图并解答后面的问题． （1）以MN为对称轴作△ABO的另一半，使其成为一个轴对称图形，并标注A、B两个顶点的对称点A′、B′． （2）把△ABO按2：1的比放大后，画在方格纸中合适的位置，并标注A、B、O的对应点A″、B″、O″． （3）如果△ABO的面积是40平方厘米，那么三个三角形的面积总和是多少平方厘米？ 15．（8分）如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF测量水平地面上树AB的高度，已知两直角边EF：DE＝2：3，他调整自己的姿势和三角形纸板的位置，使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，DM垂直于地面，测得AM＝21m，边DF离地面的距离为1.6m，求树高AB． 16．（9分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的13×12的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的△ABC． （1）以点C为中心，将△ABC在网格上放大到原来的2倍，得到△A1B1C．点A，B的对应点分别是A1，B1，画出△A1B1C； （2）以点B1为中心，将线段A1B1逆时针旋转90°，得到线段A2B1，画出线段A2B1； （3）填空：∠CB1A2＝　 　°． 17．（8分）如图所示，某测量工作人员头顶A与标杆顶点F、电视塔顶端E在同一直线上，已知此测量人员的头顶距地面的高AB为1.7m，标杆FC的长为3.4m，且测量人员与标杆的距离BC为3.5m，标杆与电视塔的距离CD为6.5m，AB⊥BC，FC⊥BD，ED⊥BD，求电视塔的高DE．（结果精确到0.1m） 18．（8分）图Ⅰ是大拇指广场示意图及测量其高度的方案，图Ⅱ是求大拇指高度AB的示意图．如图Ⅱ，在C处放置一根高度为2m且与地平线BF垂直的竹竿IC，点A，I，D在同一直线上，测得CD为3m．将竹竿IC平移5m至E处，点A，G，F在同一直线上，测得EF为5m．求大拇指的高度． 19．（10分）已知在锐角△ABC中，∠BAC的平分线AD交边BC于D，∠ACB的平分线CF交边AB于F，AD与CF交于O，连接BO并延长交AC于E． （1）尺规规范作图，写出已知； （2）求证：BE平分∠ABC； （3）求证：． 20．（9分）完成下列各题： （1）问题背景：如图①，已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE； （2）尝试应用：如图②，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝60°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 图形的相似（B卷·培优卷） 考试时间：60分钟，满分：100分 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，，DE＝4cm，则BC的长为（　　） A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm 【分析】根据平行线，得到△ADE∽△ABC，由相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∵，DE＝4cm， ∴， ∴BC＝6cm， 故选：A． 2．（3分）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体AB的高为5cm，小孔O到地面距离OE为2cm，则实像CD的高度为（　　） A． B． C． D． 【分析】先证明△COE∽△CAB得到，再证明△BOE∽△BDC得到，再把①和②相加变形得到，然后把AB＝5cm，OE＝2cm，代入计算即可，利用平行线构建相似三角形，然后用相似三角形对应边的比相等的性质求相应线段的长或表示线段之间的关系． 【详解】解：依题意， ∵OE∥AB， ∴△COE∽△CAB， ∴， ∵OE∥CD， ∴△BOE∽△BDC， ∴， 则①+②得， ∴， ∴， ∵AB＝5cm，OE＝2cm， ∴， 解得， 故选：A． 3．（3分）如图，△ABC中，∠A＝76°，AB＝8，AC＝6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意； B、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意； C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似， 故本选项符合题意； D、阴影三角形中，∠A的两边分别为6﹣2＝4，8﹣5＝3，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意． 故选：C． 4．（3分）若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据得出b＝3a，再代入要求的式子进行计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴b＝3a， ∴． 故选：A． 5．（3分）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，EF⊥BD，垂足为点H，EF分别交AD、DC及BC的延长线于点E、M、F，且ED：CF＝1：2，则DH：DB的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】先由菱形的性质得到AD∥BC，AC⊥BD，AD＝BC，再证明AC∥EF，进而证明四边形AEFC是平行四边形，得到AE＝CF，由此可得到DE：BF＝1：5，再证明△DEH∽△BFH，得到，则． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，AC⊥BD，AD＝BC， ∵EF⊥BD， ∴AC∥EF， ∴四边形AEFC是平行四边形， ∴AE＝CF， ∵ED：CF＝1：2， ∴ED：AE＝1：2， ∴ED：AD＝ED：BC＝1：3， ∴DE：BF＝1：5， ∵AD∥BC， ∴△DEH∽△BFH， ∴， ∴， 故选：D． 6．（3分）一个三角形框架模型的三边长分别为20厘米、30厘米、40厘米，木工要以一根长为60厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是（　　） A．30厘米、45厘米 B．40厘米、80厘米 C．80厘米、120厘米 D．90厘米、120厘米 【分析】讨论：若20厘米、30厘米、40厘米的对应边分别为60厘米、x厘米、y厘米，根据相似的性质； 若20厘米、30厘米、40厘米的对应边分别为x厘米、60厘米、y厘米，根据相似的性质得； 若20厘米、30厘米、40厘米的对应边分别为x厘米、y厘米、60厘米，根据相似的性质得，然后利用比例的性质分别计算出各组对应值即可． 【详解】解：①设20厘米、30厘米、40厘米的对应边分别为60厘米、x厘米、y厘米， 根据题意得： 解得x＝90，y＝120； ②设20厘米、30厘米、40厘米的对应边分别为x厘米、60厘米、y厘米， 根据题意得：， 解得x＝40，y＝80 设20厘米、30厘米、40厘米的对应边分别为x厘米、y厘米、60厘米， 根据题意得：， 解得x＝30，y＝45． 故选：C． 7．（3分）以O为位似中心，画出一个矩形，使得所画的矩形与矩形ABCD位似，且位似比为1：2，则所画的矩形可以是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【分析】分别连接并延长AO，BO，CO，DO，即可根据位似的性质判断． 【详解】解：分别连接并延长AO，BO，CO，DO，根据图形可得只有③中矩形的各点在延长线上，如图： 故选：C． 8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝∠B＝40°，DE交线段AC于点E． 下面是某学习小组根据题意得到的结论： 甲同学：△ABD∽△DCE； 乙同学：若AD＝DE，则BD＝CE； 丙同学：当DE⊥AC时，D为BC的中点． 则下列说法正确的是（　　） A．只有甲同学正确 B．乙和丙同学都正确 C．甲和丙同学正确 D．三个同学都正确 【分析】在△ABC中，依据三角形外角及已知可得∠BAD＝∠CDE，结合等腰三角形易证△ABD∽△DCE；结合AD＝DE，易证△ABD≌△DCE，得到BD＝CE；当DE⊥AC时，结合已知求得∠EDC＝50°，易证AD⊥BC，依据等腰三角形“三线合一”得BD＝CD． 【详解】解：在△ABC中， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B＝40°， ∵∠B+∠BAD＝∠CDE+∠ADE，∠ADE＝∠B＝40°， ∴∠BAD＝∠CDE， ∴△ABD∽△DCE， 甲同学正确； ∵∠C＝∠B，∠BAD＝∠CDE，AD＝DE， ∴△ABD≌△DCE， ∴BD＝CE， 乙同学正确； 当DE⊥AC时， ∴∠DEC＝90°， ∴∠EDC＝90°﹣∠C＝50°， ∴∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝90°， ∴AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴BD＝CD， D为BC的中点， 丙同学正确； 综上所述：三个同学都正确． 故选：D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9．（3分）如果，那么b：a＝　12　：　1　． 【分析】根据题中，运用比例性质恒等变形得到b：a＝12：1， 【详解】解：∵， ∴， 则b：a＝12：1， 故答案为：12，1． 10．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E是BC上一点，BE：EC＝2：3，AE交BD于F，则BF：FD等于 　2：5　． 【分析】通过证明△ADF∽△EBF，可求解． 【详解】解：∵BE：EC＝2：3， ∴BE：AD＝2：5， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴△ADF∽△EBF， ∴BF：FD＝BE：AD＝2：5， 故答案为：2：5． 11．（3分）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，若OA：OD＝1：3，△ABC的面积为3，则△DEF的面积为 　27　． 【分析】根据位似图形的概念得到AB∥DE，证明△OAB∽△ODE，根据相似三角形的性质得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵△ABC与△DEF是位似图形， ∴△ABC∽△DEF，AB∥DE， ∴△OAB∽△ODE， ∴， ∴， ∵△ABC 的面积为3， ∴△DEF的面积为27， 故答案为：27． 12．（3分）如图，AD是△ABC的中线，AE＝EF＝FC，BE交AD于点G，则　　． 【分析】先证明DF是△CEB中位线，推出DF∥BE，BE＝2DF，再证明GE是△ADF中位线，推出，进而求出结果． 【详解】解：∵AD是△ABC的中线， ∴点D是BC中点， ∵EF＝FC， ∴点F是EC中点， ∴DF是△CEB中位线， ∴DF∥BE，BE＝2DF， ∴GE是△ADF中位线， ∴， 设GE＝x，则DF＝2x，BE＝4x， ∴BG＝3x， ∴， 故答案为：． 13．（3分）《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门一十五步有木，问出南门几何步见木？”其大意如下：如图，M、N分别是正方形ABCD边BC和DC的中点，正方形的边长为200步（“步”是我国古代的一种长度单位，类似于现在的米），出东门M继续往东走15步有一树木（点E），问出南门N继续往南走多少步恰好能看到位于点E处的树木（即点C在直线EF上）？则根据以上信息，算出FN的长是 　　步． 【分析】证明△CNF∽△EMC，得到，即可求出FN的长． 【详解】解：由题意可知，CM＝100步，CN＝100步，EM＝15步， ∵EM∥CD， ∴∠E＝∠FCN， 又∵∠EMC＝∠CNF＝90°， ∴△CNF∽△EMC， ∴， ∴， ∴（步）， 故答案为： 三．解答题（共7小题，满分61分） 14．（9分）如图，△ABO是一个等腰三角形，按要求在方格纸上作图并解答后面的问题． （1）以MN为对称轴作△ABO的另一半，使其成为一个轴对称图形，并标注A、B两个顶点的对称点A′、B′． （2）把△ABO按2：1的比放大后，画在方格纸中合适的位置，并标注A、B、O的对应点A″、B″、O″． （3）如果△ABO的面积是40平方厘米，那么三个三角形的面积总和是多少平方厘米？ 【分析】（1）根据轴对称的性质即可作出A、B两个顶点的对称点A′、B′； （2）根据网格即可把△ABO按2：1的比放大，进而得A、B、O的对应点A″、B″、O″； （3）根据位似比得△A″B″O″的面积：△ABO的面积＝4：1，即为可以解决问题． 【详解】解：（1）如图，A′、B′即为所求； （2）△A″B″O″即为所求； （3）∵△A″B″O″是△ABO按2：1的比放大后的图形， ∴△A″B″O″的面积：△ABO的面积＝4：1， ∵△ABO的面积是40平方厘米， ∴△A″B″O″的面积是160平方厘米，△△A′B′O的面积是40平方厘米， ∴三个三角形的面积总和是40+40+160＝240（平方厘米）． 15．（8分）如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF测量水平地面上树AB的高度，已知两直角边EF：DE＝2：3，他调整自己的姿势和三角形纸板的位置，使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，DM垂直于地面，测得AM＝21m，边DF离地面的距离为1.6m，求树高AB． 【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似，求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB． 【详解】解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D， ∴△DEF∽△DCB， ∴， ∴． ∵AM＝CD＝21m， ∴BC＝14m， ∴AB＝AC+BC＝1.6+14＝15.6（m）． 答：树高15.6m． 16．（9分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的13×12的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的△ABC． （1）以点C为中心，将△ABC在网格上放大到原来的2倍，得到△A1B1C．点A，B的对应点分别是A1，B1，画出△A1B1C； （2）以点B1为中心，将线段A1B1逆时针旋转90°，得到线段A2B1，画出线段A2B1； （3）填空：∠CB1A2＝　45　°． 【分析】（1）延长AC到A1使CA1＝2CA，延长BC到B1使CB1＝2CB，则△A1B1C满足条件； （2）利用网格特点和旋转的性质画出点A1的对应点A2即可； （3）先利用勾股定理的逆定理证明△ABC为等腰直角三角形，则∠ACB＝45°，再根据位似的性质得到∠A1＝∠A＝90°，接着根据旋转的性质得到∠A1BA2＝90°，于是可判断AA1∥B1A2，然后根据平行线的性质得到∠CB1A2＝∠ACB＝45°． 【详解】解：（1）如图，△A1B1C为所作； （2）如图，线段A2B1为所作； （3）∵AC2＝12+32＝10，AB2＝12+32＝10，BC2＝22+42＝20， ∴BC2＝AB2+AC2， ∴△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°， ∵AC＝BC， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴∠ACB＝45°， ∵△A1B1C与△ABC为位似图形， ∴∠A1＝∠A＝90°， ∵线段A1B1逆时针旋转90°， ∴∠A1BA2＝90°， ∴AA1∥B1A2， ∴∠CB1A2＝∠ACB＝45°． 故选：45． 17．（8分）如图所示，某测量工作人员头顶A与标杆顶点F、电视塔顶端E在同一直线上，已知此测量人员的头顶距地面的高AB为1.7m，标杆FC的长为3.4m，且测量人员与标杆的距离BC为3.5m，标杆与电视塔的距离CD为6.5m，AB⊥BC，FC⊥BD，ED⊥BD，求电视塔的高DE．（结果精确到0.1m） 【分析】过点A作AH⊥ED分别交FC于点G，交ED于点H，再利用相似三角形的性质建立方程求解即可． 【详解】解：过点A作AH⊥ED分别交FC于点G，交ED于点H， 如图所示． ∴AG＝BC＝3.5，GH＝CD＝6.5，AB＝GC＝HD＝1.7． ∵AB∥FG∥EH， ∴△AFG∽△AEH， ∴， 即， 解得EH≈4.86． ∴DE＝EH+HD＝EH+AB＝4.86+1.7≈6.6（m）． 答：电视塔的高DE约为6.6m． 18．（8分）图Ⅰ是大拇指广场示意图及测量其高度的方案，图Ⅱ是求大拇指高度AB的示意图．如图Ⅱ，在C处放置一根高度为2m且与地平线BF垂直的竹竿IC，点A，I，D在同一直线上，测得CD为3m．将竹竿IC平移5m至E处，点A，G，F在同一直线上，测得EF为5m．求大拇指的高度． 【分析】根据题意可得△CDI∽△BDA，△GEF∽△ABF，根据相似三角形的性质列出比例式计算即可． 【详解】解：∵IC⊥BF，AB⊥BF， ∴IC∥AB， ∴△CDI∽△BDA， ∴， ∵GE⊥BF， ∴GE∥AB， ∴△GEF∽△ABF， ∴， ∵IC＝GE， ∴， ∵CD＝3m，EF＝5m，CE＝5m， ∴EF+CE＝10（m）， ∴， 解得BC＝7.5， ∵IC＝2m，， ∴， 解得AB＝7． 所以大拇指的高度为7m． 19．（10分）已知在锐角△ABC中，∠BAC的平分线AD交边BC于D，∠ACB的平分线CF交边AB于F，AD与CF交于O，连接BO并延长交AC于E． （1）尺规规范作图，写出已知； （2）求证：BE平分∠ABC； （3）求证：． 【分析】（1）根据角平分线的作法结合题意画出图形即可； （2）作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，OG⊥AB于G，由角平分线的性质定理得出OG＝OM，即可判定出BE平分∠ABC； （3）由△ABD和△ACD等高，得出S△ABD：S△ACD＝BD：CD，作DP⊥AB于P，DQ⊥AC于Q，由角平分线的性质定理可得：DP＝DQ，得出S△ABD：S△ACD＝AB：AC，从而推出，同理可得：，，即可得证． 【详解】（1）解：如图所示： 已知：△ABC为锐角三角形，DA平分∠BAC，CF平分∠ACB，AD与 CF交于O，连接BO并延长交AC于E； （2）证明：如图，作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，OG⊥AB于G， ∵DA平分∠BAC，ON⊥AC，OG⊥AB， ∴OG＝ON， 同理可得：OM＝ON， ∴OG＝OM， ∴BE平分∠ABC； （3）证明：∵△ABD和△ACD等高， ∴S△ABD：S△ACD＝BD：CD， 如图：作DP⊥AB于P，DQ⊥AC于Q， 由角平分线的性质定理可得：DP＝DQ， ∵，， ∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC， ∴BD：CD＝AB：AC，即， 同理可得：，， ∴． 20．（9分）完成下列各题： （1）问题背景：如图①，已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE； （2）尝试应用：如图②，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝60°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，，求的值． 【分析】（1）由题意得出，∠BAC＝∠DAE，则∠BAD＝∠CAE，可证得结论； （2）连接EC，证明△ABC∽△ADE，由（1）知△ABD∽△ACE，由相似三角形的性质得出，∠ABC＝∠ADE＝60°，可证明△ADF∽△ECF，得出，则可求出答案． 【详解】（1）证明：∵△ABC∽△ADE， ∴，∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE，， ∴△ABD∽△ACE； （2）解：如图，连接EC， ∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝60°， ∴△ABC∽△ADE，， 由（1）知△ABD∽△ACE， ∴，∠ABC＝∠ADE＝60°， ∴， ∵∠AFD＝∠EFC， ∴△ADF∽△ECF， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$