第四章 图形的相似（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（深圳专用，北师大版）

第四章 图形的相似（A卷·提升卷） 考试时间：60分钟，满分：100分 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）如图，在△ABC中，DE∥AB，若，CD＝6，则AC的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【详解】解：∵DE∥AB， ∴， ∵，CD＝6， ∴， ∴AC＝10 故选：D． 2．（3分）如图，直线a∥b∥c，直线m、n分别与直线a、b、c相交于点A、B、C和点D、E、F，若AB＝2，AC＝5，DE＝3，则EF＝（　　） A． B． C．4 D． 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，求出DF，进而求出EF． 【详解】解：∵a∥b∥c， ∴， ∵AB＝2，AC＝5，DE＝3， ∴， 解得：DF， ∴EF＝DF﹣DE3， 故选：D． 3．（3分）若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据得出b＝3a，再代入要求的式子进行计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴b＝3a， ∴． 故选：A． 4．（3分）如图是凸透镜成像示意图，CD是蜡烛AB通过凸透镜MN所成的虚像．已知蜡烛的高AB为5.4cm，蜡烛AB离凸透镜MN的水平距离OB为6cm，该凸透镜的焦距OF为10cm，AE∥OF，则像CD的高为（　　） A．15cm B．14.4cm C．13.5cm D．9cm 【分析】先证△CAE∽△COF得出，再证△OAB∽△OCD，根据相似三角形的对应边成比例得出，即可求出CD的长． 【详解】解：由题意得，AB∥MN，AE∥OF，AB∥CD， ∴四边形ABOE是平行四边形， ∴AE＝OB＝6cm， ∵AE∥OF， ∴△CAE∽△COF， ∴， ∴， ∴， ∵AB∥CD， ∴△OAB∽△OCD， ∴， ∴， ∴CD＝13.5cm， 故选：C． 5．（3分）如果两个相似三角形的相似比是1：3，那么它们的面积比是（　　） A．1：3 B．1：9 C．1： D．3：1 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解决问题即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比是1：3， ∴这两个相似三角形的面积比＝1：9， 故选：B． 6．（3分）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，且B为OE的中点，则△ABC与△DEF的面积比为（　　） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5 【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，AB∥DE，根据相似三角形的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵B为OE的中点， ∴， ∵△ABC与△DEF位似， ∴△ABC∽△DEF，AB∥DE， ∴△OAB∽△ODE， ∴， ∴（）2， 故选：C． 7．（3分）如图，在△ABC中，DE∥AB，F为AB的中点，CF交DE于点G，且，则下列结论错误的是（　　） A． B． C．DG＝EG D． 【分析】由DE∥AB得出△EDC∽△ABC，△ECG∽△ACF，△BCF∽△DCG，根据相似三角形的性质进行判断． 【详解】解：∵DE∥AB， ∴△EDC∽△ABC，△ECG∽△ACF，△BCF∽△DCG， ∴，，， ∵， ∴， ∴，故A选项正确，不符合题意； ，故B选项正确，不符合题意； ∵F为AB的中点， ∴AF＝BF，， ∵，，， ∴ ∴DG＝EG故C选项正确，不符合题意； ∵，， ∴，故D选项不正确，符合题意； 故选：D． 8．（3分）如图，在▱ABCD中，AD＝5，E是BC上的一点，且，过点E作EF//CD，交BD于点F，射线AF交CD于点N，交BC的延长线于点M，则（　　） A． B． C． D． 【分析】由平行四边形的性质及三角形相似的判定方法得△MBF∽△ADF，，由平行线分线段成比例定理，，，即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD＝5， AD∥BC， AB∥CD， ∴△MBF∽△ADF， ， ∴ ∵EF∥CD， ∴， ， ∴， ， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9．（3分）如图，已知DE∥BC，则△ADE与△ABC的相似比是 　　． 【分析】根据平行可得△ADE∽△ABC，则相似比为． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C， ∴△ADE∽△ABC， ∴相似比为， 故答案为：． 10．（3分）如图，AC、BD交于点O，连接AB、CD，若要使△AOB∽△COD，可以添加条件 　∠A＝∠C（答案不唯一）　．（只需写出一个条件即可） 【分析】由相似三角形的判定方法可求解． 【详解】解：添加∠A＝∠C，且∠AOB＝∠COD， ∴△AOB∽△COD， 故答案为：∠A＝∠C（答案不唯一）． 11．（3分）已知，则　　． 【分析】由，得到，代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（3分）若3a﹣7b＝0，则　　． 【分析】由题意得到3a＝7b，再利用比例的基本性质即可得到答案． 【详解】解：∵3a﹣7b＝0， ∴3a＝7b， ∴． 故答案为：． 13．（3分）如图，△ABC折叠后B记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B'，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是 　2或　． 【分析】设BF＝x，则FC＝4﹣x，根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，根据折叠的性质得到B′F＝BF＝x，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：设BF＝x，则FC＝4﹣x， ∵AB＝AC＝3， ∴∠B＝∠C， ∵△ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上， ∴B′F＝BF＝x， 当∠B′FC＝∠B，而∠C公共，则△B′FC∽△ABC， ∴， 即， 解得x， 当∠FB′C＝∠B，则△FB′C∽△ABC，所以∠FB′C＝∠C， ∴FB′＝FC，即x＝4﹣x，解得x＝2， 即若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，BF的长度为2或． 故答案为：2或． 三．解答题（共7小题，满分61分） 14．（8分）如图，∠B＝∠D，∠1＝∠2．求证：△ABC∽△ADE． 【分析】已经有一对角相等，只需再证一对角相等即可．因为∠1＝∠2，所以∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，即∠BAC＝∠DAE．问题得证． 【详解】证明：∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠CAD＝∠2+∠CAD， ∴∠BAC＝∠DAE， 又∵∠B＝∠D， ∴△ABC∽△ADE． 15．（8分）如图，AE平分∠BAC，D为AE上一点，∠B＝∠C． （1）求证：△ABE∽△ACD； （2）若D为AE中点，BE＝4，求CD的长． 【分析】（1）根据角平分线定义可得∠BAE＝∠CAD，进而可以证明结论； （2）结合（1），根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠CAD， ∵∠B＝∠C． ∴△ABE∽△ACD； （2）解：∵D为AE中点，BE＝4， ∴AE＝2AD， ∵△ABE∽△ACD， ∴， ∴， ∴CD＝2． 16．（8分）如图，已知四边形ABCD的对角线AC、BD交于点F，点E是BD上一点，且∠BCA＝∠ADE，∠CAD＝∠BAE． （1）求证：△ABC∽△AED； （2）求证：BE•AC＝CD•AB． 【分析】（1）根据已知条件和角的和差得到∠BAC＝∠DAE，由于∠ACB＝∠ADE，即可得到结论； （2）根据相似三角形的性质得到，由∠BAE＝∠CAD，推出△ABE∽△ACD，由相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】证明：（1）∵∠BAE＝∠DAC，∠BAC＝∠BAE﹣∠CAE，∠DAE＝∠DAC﹣∠CAE， ∴∠BAC＝∠DAE， ∵∠ACB＝∠ADE， ∴△ABC∽△AED； （2）∵△ABC∽△AED， ∴， ∵∠BAE＝∠CAD， ∴△ABE∽△ACD， ∴， 即：BE•AC＝CD•AB． 17．（8分）如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC上的点，且DE∥AC，DF∥AE，，BF＝9cm，求EF和EC的长． 【分析】利用DF∥AE得到，求出FE＝6cm，BE＝BF+EF＝15cm，根据DE∥AC得到，由此求出CE＝10cm． 【详解】解：∵DF∥AE， ∴， ∵BF＝9cm， ∴FE＝6cm，BE＝BF+EF＝15cm， ∵DE∥AC， ∴， ∴CE＝10cm． 18．（10分）如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，BC＝5，AD＝9．点E在线段AC上，EF∥BC交AB于点F，EG∥CD交AD于点G，FG交AC于点H，连结BD． （1）试判断FG与BD的位置关系，并说明理由． （2）求的值． （3）若E为AC的中点，BD＝12，求FG的长． 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理得出，，于是得出，又∠FAG＝∠BAD，即可证得△AFG∽△ABD，得出∠AFG＝∠ABD，于是问题得证； （2）先证△BCM∽△DAM，得出，再证△AFH∽△ABM，得出，同理证得，于是推出，从而得解； （3）根据平行线分线段成比例定理先证点F是AB的中点，点G是AD的中点，得到FG是△ABD的中位线，根据三角形中位线定理即可求出FG的长． 【详解】解：（1）判断：FG∥BD．理由如下： ∵EF∥BC， ∴， ∵EG∥CD， ∴， ∴， ∵∠FAG＝∠BAD， ∴△AFG∽△ABD， ∴∠AFG＝∠ABD， ∴FG∥BD； （2）∵BC∥AD， ∴△BCM∽△DAM， ∴， 由（1）知FG∥BD，即FH∥BM， ∴△AFH∽△ABM， ∴， 同理得：， ∴， ∴； （3）∵EF∥BC， ∴， ∵E为AC的中点， ∴， ∴， 即点F是AB的中点， ∵EG∥CD， ∴， ∴， 即点G是AD的中点， ∴FG是△ABD的中位线， ∴． 19．（9分）小明在学习了相似以后，尝试用平面镜的反射原理测学校小广场旗杆的高度，如图，CD是旗杆，BD是水平地面，M是平放地面的一面平面镜，AB是眼睛到地面的距离，调整AB和M的位置，通过镜面反射（法线MN⊥地面BD，∠AMN＝∠CMN），当眼睛A正好在平面镜中看到旗杆顶端C时，测出AB＝1.7m，BM＝1.2m，DM＝8m． （1）求旗杆CD的高度（精确到0.1m） （2）为了减少误差，请提出一个合理化的建议． 【分析】（1）证明△ABM∽△CDM，推出，代入有关数据即可求出CD的长； （2）合理即可． 【详解】解：（1）∵∠AMN＝∠CMN，MN⊥BD， ∴∠BMA＝∠DMC． ∵∠MBA＝∠CDM＝90°， ∴△ABM∽△CDM， ∴， ∴， ∴C D≈11.3（m）； 答：旗杆CD的高度为11.3m； （2）多次测量，求平均值（答案不唯一）． 20．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，点D是BC边上的一个动点，点E在AC上，点D在运动过程中始终保持 ∠1＝∠B．设BD的长为x（0＜x＜8）． （1）求证：△DCE∽△ABD； （2）用含x的代数式表示CE的长；当CE＝2时，求x的值； （3）当x为何值时，△ADE为等腰三角形． 【分析】（1）根据等边对等角，可以证得∠B＝∠C，然后根据三角形的外角的性质，证得∠2＝∠3，根据有两个角对应相等的两个三角形相似即可证得； （2）根据相似三角形的对应边的比相等，即可用列方程求得x的值； （3）分三种情况进行讨论，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：（1）∵∠ADC＝∠1+∠2＝∠B+∠3，∠1＝∠B， ∴∠2＝∠3． 又∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∴△DCE∽△ABD； （2）∵△DCE∽△ABD， ∴，即， ∴CEx2x， ∵CE＝2， ∴x2x＝2， 解得：x＝2或6． 解这个方程，得x1＝2，x2＝6； （3）①当DA＝DE时，△DCE≌△ABD， ∴DC＝AB＝6，即8﹣x＝6．解得 x＝2． ②当EA＝ED时，∠DAE＝∠1＝∠B＝∠C． ∴△DAC∽△ABC． ∴，即． 解得 x． ③当AD＝AE时，点D与点B重合，点E与点C重合，此时x＝0． （或当AD＝AE时，∠1＝∠AED＞∠C， ∵∠1＝∠B＝∠C， ∴AD＝AE情况不成立． 综上所述，当x＝2或x时，△ADE为等腰三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 图形的相似（A卷·提升卷） 考试时间：60分钟，满分：100分 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）如图，在△ABC中，DE∥AB，若，CD＝6，则AC的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 2．（3分）如图，直线a∥b∥c，直线m、n分别与直线a、b、c相交于点A、B、C和点D、E、F，若AB＝2，AC＝5，DE＝3，则EF＝（　　） A． B． C．4 D． 3．（3分）若，则的值为（　　） A． B． C． D． 4．（3分）如图是凸透镜成像示意图，CD是蜡烛AB通过凸透镜MN所成的虚像．已知蜡烛的高AB为5.4cm，蜡烛AB离凸透镜MN的水平距离OB为6cm，该凸透镜的焦距OF为10cm，AE∥OF，则像CD的高为（　　） A．15cm B．14.4cm C．13.5cm D．9cm 5．（3分）如果两个相似三角形的相似比是1：3，那么它们的面积比是（　　） A．1：3 B．1：9 C．1： D．3：1 6．（3分）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，且B为OE的中点，则△ABC与△DEF的面积比为（　　） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5 7．（3分）如图，在△ABC中，DE∥AB，F为AB的中点，CF交DE于点G，且，则下列结论错误的是（　　） A． B． C．DG＝EG D． 8．（3分）如图，在▱ABCD中，AD＝5，E是BC上的一点，且，过点E作EF//CD，交BD于点F，射线AF交CD于点N，交BC的延长线于点M，则（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9．（3分）如图，已知DE∥BC，则△ADE与△ABC的相似比是 　 　． 10．（3分）如图，AC、BD交于点O，连接AB、CD，若要使△AOB∽△COD，可以添加条件 　 　．（只需写出一个条件即可） 11．（3分）已知，则　 　． 12．（3分）若3a﹣7b＝0，则　 　． 13．（3分）如图，△ABC折叠后B记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B'，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是 　 　． 三．解答题（共7小题，满分61分） 14．（8分）如图，∠B＝∠D，∠1＝∠2．求证：△ABC∽△ADE． 15．（8分）如图，AE平分∠BAC，D为AE上一点，∠B＝∠C． （1）求证：△ABE∽△ACD； （2）若D为AE中点，BE＝4，求CD的长． 16．（8分）如图，已知四边形ABCD的对角线AC、BD交于点F，点E是BD上一点，且∠BCA＝∠ADE，∠CAD＝∠BAE． （1）求证：△ABC∽△AED； （2）求证：BE•AC＝CD•AB． 17．（8分）如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC上的点，且DE∥AC，DF∥AE，，BF＝9cm，求EF和EC的长． 18．（10分）如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，BC＝5，AD＝9．点E在线段AC上，EF∥BC交AB于点F，EG∥CD交AD于点G，FG交AC于点H，连结BD． （1）试判断FG与BD的位置关系，并说明理由． （2）求的值． （3）若E为AC的中点，BD＝12，求FG的长． 19．（9分）小明在学习了相似以后，尝试用平面镜的反射原理测学校小广场旗杆的高度，如图，CD是旗杆，BD是水平地面，M是平放地面的一面平面镜，AB是眼睛到地面的距离，调整AB和M的位置，通过镜面反射（法线MN⊥地面BD，∠AMN＝∠CMN），当眼睛A正好在平面镜中看到旗杆顶端C时，测出AB＝1.7m，BM＝1.2m，DM＝8m． （1）求旗杆CD的高度（精确到0.1m） （2）为了减少误差，请提出一个合理化的建议． 20．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，点D是BC边上的一个动点，点E在AC上，点D在运动过程中始终保持 ∠1＝∠B．设BD的长为x（0＜x＜8）． （1）求证：△DCE∽△ABD； （2）用含x的代数式表示CE的长；当CE＝2时，求x的值； （3）当x为何值时，△ADE为等腰三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$