22.2 圆的切线（判定、性质、切线长定理等）（教学课件）数学北京版九年级上册

22.2 圆的切线 主讲： 京改版九年级上册 第22章 圆（下） 复习导入 相离 相切 相交 一条直线和一个圆有几种位置关系？ 学习目标 目标 1 目标 2 1.掌握理解切线判定定理、切线的性质； 目标 3 2.理解掌握切线长、切线长定理； 3.掌握理解内切圆、内心、外切三角形的定义及运用。 自学指导 仔细阅读教材P140---P146。用5分钟的时间看谁又快又好地解决以下问题： 1.切线的判定定理是什么？ 2.切线长定理是怎样的？ 实践 探究新知 经过⊙O上的一点A，怎样准确地画出⊙O的切线? A l 如图，连接OA，过点A画半径OA的垂线AB，那么直线AB是⊙0的切线，A 为切点。 想一想，这样画图的理由是什么? 圆心O到AB的距离等于半径，即AB为⊙O的切线，也就是说，经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 切线的判定定理 符号语言：∵ 直线l过⊙O半径OA的外端点A， 且l ⊥OA， ∴ 直线l是⊙O的切线，A为切点. 知识要点 现在，你有哪几种方法判定直线与圆相切？ 方法一：一条直线与圆有唯一公共点——公共点法； 方法二：圆心到直线的距离等于半径——距离法； 方法三：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的 直线是圆的切线——判定定理法. 典型例题 例 已知：如图，AB为⊙O的直径，AB＝1cm，BC=cm，AC＝1cm．判断直线AC与⊙O是否相切，并说明理由． 解：直线AC与⊙O相切，理由如下： ∵AB＝1cm，BC=cm， AC＝1cm， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°， ∴AC⊥AB， ∵AB为⊙O的直径， ∴直线AC与⊙O相切，A为切点． 解：直线AB与⊙O相切.理由如下： 例 已知：如图，直线AB经过⊙O上的点C，且OA=OB， CA=CB.判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由. 连接OC. ∵ OA=OB，CA=CB， ∴ AB⊥OC. ∵ OC为⊙O的半径， ∴ 直线AB经过⊙O半径的外端点C. ∴ 直线AB与⊙O相切，C为切点. 练一练 探究切线的性质 逆命题：如果一条直线是一个圆的切线，那么这条直线经过 这个圆一条半径的外端，并且垂直于这条半径. 2.你能写出切线的判定定理的逆命题吗？ 1.你能指出切线的判定定理的题设和结论吗？ 如果一条直线经过一个圆半径的外端，并且垂直于这条半径， 那么这条直线是这个圆的切线. 结论 题设 实践 探究新知 已知：直线l与⊙O相切于点A. 求证：l⊥OA. 4.如何证明这个猜想？ 反证法. 分析： 3.你认为切线的判定定理的逆命题是真命题吗？如果是真命题，请写出已知和求证. (1)假设命题的结论不成立； (2)从这个假设出发，经过推理论证，得出与定义、基本事实、 定理或题设相矛盾的结论； (3)由此判定这个假设不正确，从而肯定原命题的正确性. 反证法证明命题的一般步骤： 5.回忆反证法证明命题的一般步骤并完成证明. 证明：假设直线l与OA不垂直. 过点O作OC⊥l ，垂足为C. 根据垂线段最短可知OC < OA， 即圆心到直线的距离小于半径. ∴直线l 与⊙O相交. 这与已知条件“直线l与⊙O相切”相矛盾. ∴ l⊥OA. C 切线的性质定理 如果一条直线是一个圆的切线，那么这条直线经过这个圆一条半径的外端，并且垂直于这条半径. 符号语言： ∵直线l与⊙O相切于点A， ∴ l⊥OA. 知识要点 圆的切线垂直于过切点的半径. 用法：知切线，连半径，得垂直. 切线的性质 3.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径. 1. 一条直线与一个圆相切，这条直线和这个圆有唯一公共点. （定义） 2. 直线l与⊙O相切↔d=r.（定义引申） （圆心O到直线l的距离为d，圆的半径为r.） 知识要点 例 已知：如图，AB为半圆O的直径，CD为半圆O的一条切线，C为切点，AD⊥CD，垂足为D.求证：AC平分∠DAB . 典型例题 证明：连接OC. ∵CD为半圆O的一条切线， C为切点， ∴OC⊥CD. ∵AD⊥CD，∴AD∥OC， ∴∠1=∠3. ∵ OA=OC，∴∠2=∠3. ∴∠1=∠2. 3 2 1 ∴AC平分∠DAB. 已知：如图，P是⊙O 的直径CD的延长线上的一点， PA与⊙O相切于点A，∠P=30º. 求∠ACP度数. 练一练 解： 连接OA， ∵PA与⊙O相切于点A， ∴OA⊥PA. ∴∠PAO=90º. ∵∠P=30º，∴∠AOP=60º. ∵OA=OC，∴∠1 =∠2 . ∵∠AOP=∠1 +∠2，∴∠1 =∠2=30º . 即∠ACP=30º. 1 2 1.切线的性质定理是切线的判定定理的逆定理. 判定定理：连半径，证垂直，得切线； 作垂直，证半径，得切线. 性质定理：知切线，连半径，得垂直. 2.关注圆的切线与其它几何知识的综合应用，解决和圆有关的问题. 知识要点 知识小结 经过⊙O外的一点，可以画该圆的几条切线?画出图形并观察，你可以得到哪些结论? 如图，过⊙O外的一点P可以画圆的两条切线PA和PB，切点分别为A，B.可以证明△AOP≌△BOP.因此，PA=PB，∠APO=∠BPO经过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。 实践 探究新知 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 条件：从圆外一点引圆的两条切线. 结论：1.切线长相等（线段）；2.这点和圆心的连线平分两条切线的夹角（角）. 切线长定理 ∵PA，PB切⊙O于点A，B， ∴PA=PB，∠APO=∠BPO. 符号语言： 知识要点 例 一段圆柱形钢材放在V形支架中，如图是它的截面示意图，CA和CB都是⊙O的切线，切点分别是A，B，⊙O的半径为 cm，AB=6cm.求∠ACB的度数. 典型例题 解：连接OB，OC，交AB于点D . ∵ CA和CB都是⊙O的切线， 切点分别是A，B， ∴ AC=BC，CO平分∠ACB. ∴ ， . ∵ AB=6 ，∴ BD=3 . ∵ 在△BOD中，∠ODB=90°，OB= 2 ， ∴ ∠BOD=60°. ∵CB是⊙O的切线，B为切点，∴OB⊥BC . ∴∠OCB=30°. ∴∠ACB=2∠OCB =60°. 实践 探究新知 若想裁得的圆最大，它与三角形三边应有怎样的位置关系？ O O O 最大的圆与三角形三边都相切. O 如何用尺规作图法作出一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？ 作圆的关键是确定圆心和半径. 假设圆O是所求作的圆，且与三角形的三边分别相切于点D,E,F. 连接OA,OB,OC，OD,OE,OF. 圆心是三角形三条角平分线的交点. 半径是圆心到三角形一边的距离. 已知：△ABC. 求作：和△ABC的各边都相切的圆. 3.以O为圆心，OD长为半径作☉O. ☉O就是所求作的圆. 作法： 1.作∠ABC和∠ACB的平分线，两线交于点O. 2.过点O作OD⊥BC，垂足为点D. 当圆和三角形的三边都相切时， 我们称这个圆为三角形的内切圆. 如图：⊙O叫做△ABC的内切圆. △ABC叫做⊙O的外切三角形. 三角形的内心到三边的距离相等. 点O叫做△ABC的内心. 内切圆的圆心叫做三角形的内心. 这个三角形称为这个圆的外切三角形. 知识要点 知识要点 名称 定义 确定方法 图形 性质 外心 内心 三角形三边 中垂线的交 点． 到各顶点的距离相等． (外心不一定在三角 形的内部)． 三角形三条 角平分线的 交点． 到三边的距离相等． (内心一定在三角形内部)． 三角形外接圆的圆心． 三角形内切圆的圆心． 如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为E，F，G，AB＝9，BC＝13，AC＝10．求AE，BF和CG的长． 解：∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为E，F，G， ∴AE＝AG，BF＝BE，CG＝CF， 设AE＝AG＝m，BF＝BE＝n，CG＝CF＝x， ∵AB＝9，BC＝13，AC＝10， ∴ ∴AE，BF和CG的长分别为3，6和7． 典型例题 解得， 基础检测 如图，三角板、量角器和直尺如图摆放，三角板的斜边BC与半圆O相切于点C，点B、D、E分别与直尺的刻度1、9、19重合，则三角板直角边AC的长为（　　）   A． B． C．5 D．6 D 一展身手 如图所示，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于E，连接AD，则下列结论：①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OAAC；④DE是⊙O的切线，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 D 挑战自我 如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切于点A，连接OC，过点B作BD∥OC交⊙O于点D，连接CD并延长交AB的延长线于点E． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若AC＝2，tanE，求⊙O的半径的长． （1）证明：连接OD，则OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD， ∵BD∥OC，∴∠ODB＝∠DOC，∠OBD＝∠AOC， ∴∠DOC＝∠AOC， ∵OD＝OA，∠DOC＝∠AOC，OC＝OC，∴△DOC≌△AOC（SAS）， ∵AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切于点A，∴AC⊥AB， ∴∠ODC＝∠A＝90°， ∵OD是⊙O的半径，且CE⊥OD， ∴CE是⊙O的切线． （2）解：∵tanE，AC＝2， ∴AE＝2AC＝4， ∴CE2， ∵DC＝AC＝2， ∴DE＝CE﹣DC＝22， ∵∠ODE＝90°， ∴tanE， ∴ODDE（22）1， ∴⊙O的半径的长为1． 课堂小结 圆的切线 1.切线的判定定理：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 2.切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。 3.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 4.当圆和三角形的三边都相切时，我们称这个圆为三角形的内切圆. 5.内切圆的圆心叫做三角形的内心. 6.外切三角形的定义. 主讲： 感谢聆听 京改版九年级上册 $$