第02章 特殊三角形 章节整合练习（13个知识点+40题练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第02章 特殊三角形 章节整合练习（13个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．直角三角形全等的判定 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 知识点2．全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 知识点3．等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 知识点4．等腰三角形的判定 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 知识点5．等腰三角形的判定与性质 1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析． 3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决． 知识点6．直角三角形的性质 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． （2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 知识点7．勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 知识点8．勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 知识点9．命题与定理 1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 3、定理是真命题，但真命题不一定是定理． 4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 知识点10．轴对称的性质 （1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 由轴对称的性质得到一下结论： ①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称； ②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． （2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 知识点11．轴对称图形 （1）轴对称图形的概念： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． （2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． （3）常见的轴对称图形： 等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等． 知识点12．作图-轴对称变换 几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是： ①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足； ②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点； ③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形． ④作出的垂线为最短路径． 知识点13．轴对称-最短路线问题 1、最短路线问题 在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点． 2、 凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 章节题型整合练习 一．直角三角形全等的判定 1．（2020春•涟源市期末）如图，，添加一个条件：　　（写出一个条件即可），可使与全等． 2．（2022秋•台州期末）下列说法正确的是　　 A．面积相等的两个三角形全等 B．形状相同的两个三角形全等 C．三个角分别相等的两个三角形全等 D．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 3．（慈溪市校级月考）已知：如图，，点是的中点，平分，，垂足为． 求证：． 二．全等三角形的判定与性质 4．（2022秋•阳新县期末）如图，在中于点，为上一点连结交于点，若，，则与的和为　　 A． B． C． D． 5．（2023秋•长兴县期末）如图，在中，的平分线与的垂直平分线相交于点，过点作，，垂足分别为、． （1）求证：； （2）若，，求的周长． 三．等腰三角形的性质 6．（2023秋•拱墅区校级期中）如图，在中，，由图中的尺规作图得到射线，与交于点，点为的中点，连接，若，则的周长为　　 A． B．4 C． D． 7．（2023秋•柯桥区期末）等腰三角形中，则　　． 8．（2024•海曙区校级开学）如图，中，，的垂直平分线交于点． （1）若，求的度数 （2）若，，求的周长． 四．等腰三角形的判定 9．（2021秋•义乌市校级月考）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知、是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是　　 A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 10．（2020秋•萧山区校级月考）如图：已知在中，，，在直线上找点，使是等腰三角形，则的度数为　　． 11．（2022秋•西湖区校级期中）如图，中，，，平分交于点，交于点，求证：是等腰三角形． 五．等腰三角形的判定与性质 12．（2024•济南二模）如图，的面积为，平分，于，连接，则的面积为　　 A． B． C． D． 13．（2023秋•路桥区校级期中）如图，已知△．与的平分线，交于点，过点作，交，于点，．若，，则△的周长　　． 14．（2023秋•拱墅区校级期中）如图，在中，，点为的中点，边的垂直平分线交，，于点，，，连接． （1）求证：为等腰三角形； （2）若，求的度数． 15．（2022秋•鄞州区校级期末）（1）如图1，中，作、的角平分线相交于点，过点作分别交、于、． ①求证：； ②若 的周长是25，，试求出的周长； （2）如图2，若的平分线与外角的平分线相交于点，连接，试探求 与的数量关系式． 六．直角三角形的性质 16．（2022秋•南浔区期末）中，，，则　　 A． B． C． D． 17．（2023秋•路桥区校级期中）直角三角形的一个锐角是，则它的另一个锐角是 　　． 18．（2022秋•长兴县月考）在中，，，求的度数． 七．勾股定理 19．（2023秋•诸暨市校级期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为，，，．若，，则为　　 A．8 B．10 C．12 D．14 20．（2023秋•德清县月考）如图，在中，，，是射线上的一个动点，，则当为直角三角形时，的长为 　　． 21．（2023秋•义乌市校级期中）如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”． （1）如图，在中，，，求证：是“美丽三角形”； （2）在中，，，若是“美丽三角形”，求的长． 八．勾股定理的证明 22．（2022春•洪湖市期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为　　． 23．（2023秋•舟山期末）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年周中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，由四个全等的直角三角形，，，和中间一个小正方形拼成的大正方形中，点是的中点．连结，若，且，，在同一直线，则的长为　　 A． B． C．6 D．5 24．（2022秋•温州期末）如图，大正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成．点为小正方形的顶点，延长交于点，连结交小正方形的一边于点，若为等腰三角形，，则小正方形的面积为　　 A．15 B．16 C．20 D．25 25．勾股定理的证明多达200多种，有一位总统利用两个全等的△纸片，给出如下的一种摆法，，在同一直线上），再添上一条线，便可利用面积法证得．请你试着添一条线，并给出证明． 九．命题与定理 26．（2023秋•金东区期末）下列说法正确的是　　 A．命题一定是正确的 B．不正确的判断就不是命题 C．定理都是真命题 D．基本事实不一定是真命题 27．（2022秋•江干区校级期中）请写出“等腰三角形的两底角相等”的逆命题：　　． 28．（2022秋•下城区校级月考）如图，在和中，，，，在同一直线上．下面给出四个论断：①②③④． （1）任选三个为条件，余下一个为结论，写出所有的真命题（用序号〇〇〇〇表示）． （2）在所写命题中，选择一个真命题进行证明． 一十．轴对称的性质 29．（2023秋•嵊州市期末）如图，与△关于直线对称，，，则度数为　　 A． B． C． D． 30．（2023秋•瓯海区校级期末）如图，点是外一点，点，分别是，上的点，点关于的对称点落在线段的延长线上，点关于的对称点恰巧落在上．若，，，则线段的长为 　　． 31．（2021秋•西湖区校级月考）如图，在折纸活动中，小明制作了一张纸片，点，分别在边，上，将沿着折叠压平，与重合． （1）若，则　　； （2）若，则　　； （3）由（1）（2）探索与之间的数量关系，并说明理由． 一十一．轴对称图形 32．（2024春•双塔区校级期末）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 33．（2023秋•绍兴期中）2023年第19届亚运会是一场规模盛大的体育盛事，下列体育图标是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 34．（2021秋•浙江期末）如图，在的正方形网格中，其中有三格被涂黑，若在剩下的6个空白小方格中涂黑其中1个，使所得的图形是轴对称图形，则可选的那个小方格的位置有 　　种． 一十二．作图-轴对称变换 35．（2023秋•新昌县校级期中）如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，三角形的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）作出三角形关于直线的轴对称图形三角形； （2）求三角形的面积． 36．（2023秋•德清县校级期中）如图，△在直线的左侧，请按以下要求作出相应的图形． （1）作出△关于直线成轴对称的图形△； （2）用直尺和圆规作出△的边上的中线．（保留作图痕迹） 37．（2023秋•鹿城区校级期中）图1，图2均是的正方形网格，每个小正方形边长为1，点，均为格点（即网格线的交点）．只用直尺，分别按照下列要求画图． （1）在图1中，画一个锐角，使它是轴对称图形，且点在格点上． （2）在图2中，画一个，使得，且点在格点上． 一十三．轴对称-最短路线问题 38．（2023秋•德清县月考）如图，在中，，，，平分交于点，，分别是，上的动点，则的最小值为　　 A． B． C． D．6 39．（2023秋•衢州期末）如图，在中，，、分别是线段和上的两个动点，则的最小值为 　　． 40．（2020秋•衢州期末）如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设． （1）用含的代数式表示的长； （2）求的最小值； （3）根据（2）中的规律和结论，请在所给的网格中构图并求代数式的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02章 特殊三角形 章节整合练习（13个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．直角三角形全等的判定 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 知识点2．全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 知识点3．等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 知识点4．等腰三角形的判定 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 知识点5．等腰三角形的判定与性质 1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析． 3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决． 知识点6．直角三角形的性质 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． （2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 知识点7．勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 知识点8．勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 知识点9．命题与定理 1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 3、定理是真命题，但真命题不一定是定理． 4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 知识点10．轴对称的性质 （1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 由轴对称的性质得到一下结论： ①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称； ②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． （2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 知识点11．轴对称图形 （1）轴对称图形的概念： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． （2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． （3）常见的轴对称图形： 等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等． 知识点12．作图-轴对称变换 几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是： ①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足； ②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点； ③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形． ④作出的垂线为最短路径． 知识点13．轴对称-最短路线问题 1、最短路线问题 在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点． 2、 凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 章节题型整合练习 一．直角三角形全等的判定 1．（2020春•涟源市期末）如图，，添加一个条件：　　（写出一个条件即可），可使与全等． 【分析】由已知两三角形为直角三角形，且斜边为公共边，若利用证明两直角三角形全等，需要添加的条件为一对直角边相等，即或． 【解答】解：条件是（答案不唯一）， ， 在和中 ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题考查了直角三角形全等的判定的应用，能熟记定理是解此题的关键，注意：直角三角形全等的判定定理有，，，，． 2．（2022秋•台州期末）下列说法正确的是　　 A．面积相等的两个三角形全等 B．形状相同的两个三角形全等 C．三个角分别相等的两个三角形全等 D．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 【分析】根据全等三角形的判定，逐项判断即可求解． 【解答】解：、面积相等的两个三角形不一定全等，如同底等高的2个三角形，不一定相似，不符合题意； 、形状相同的两个三角形不一定全等，相似三角形的形状相同，不符合题意； 、三个角分别相等的两个三角形不一定全等，三个角相等的三角形可能是相似三角形，不符合题意； 、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 3．（慈溪市校级月考）已知：如图，，点是的中点，平分，，垂足为． 求证：． 【分析】求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，结合本题，证即可． 【解答】证明：，点是的中点， ， ， ， 平分， ； 在和中，， ， ． 【点评】此题考查简单的线段相等，可以通过全等三角形来证明，要判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． 二．全等三角形的判定与性质 4．（2022秋•阳新县期末）如图，在中于点，为上一点连结交于点，若，，则与的和为　　 A． B． C． D． 【分析】由于点，得，即可根据直角三角形全等的判定定理“”证明，得，，则，于是得到问题的答案． 【解答】解：于点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 与的和为， 故选：． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、“等边对等角”、直角三角形的两个锐角互余等知识，证明是解题的关键． 5．（2023秋•长兴县期末）如图，在中，的平分线与的垂直平分线相交于点，过点作，，垂足分别为、． （1）求证：； （2）若，，求的周长． 【分析】（1）连接、．证明可得出结论； （2）证明．得出．则可求出答案． 【解答】（1）证明：连接、． 平分，，， ． 在的中垂线上， ． 在与中， ，， ． ． （2）解：由（1）知， 又， ． ． 又， 的周长． 答：的周长为16． 【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 三．等腰三角形的性质 6．（2023秋•拱墅区校级期中）如图，在中，，由图中的尺规作图得到射线，与交于点，点为的中点，连接，若，则的周长为　　 A． B．4 C． D． 【分析】由尺规作图可知，为的平分线，结合等腰三角形的性质可得，，利用勾股定理得，进而可得，，即可得出答案． 【解答】解：由题意得，为的平分线， ， ，， 由勾股定理得，， 点为的中点， ，， 的周长为， 故选：． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，是考试中常见的题型． 7．（2023秋•柯桥区期末）等腰三角形中，则　或或　． 【分析】分是顶角，是顶角，是顶角三种情况，根据等腰三角形的性质和内角和定理求解． 【解答】解：已知等腰中，， 若是顶角，则， 所以； 若是顶角，则， 所以； 若是顶角，则． 故为或或， 故答案为：或或． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键． 8．（2024•海曙区校级开学）如图，中，，的垂直平分线交于点． （1）若，求的度数 （2）若，，求的周长． 【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解； （2）求出的周长，代入数据计算即可得解． 【解答】解：（1）的垂直平分线交于点， ， ， ； （2）的周长， ， ， ， ，， 的周长． 【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 四．等腰三角形的判定 9．（2021秋•义乌市校级月考）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知、是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是　　 A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【分析】当是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与、顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形；当是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，垂直平分线上的格点都可以作为点，然后相加即可得解． 【解答】解：如图，分情况讨论： ①为等腰的底边时，符合条件的点有4个； ②为等腰其中的一条腰时，符合条件的点有4个． 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形．分类讨论思想是数学解题中很重要的解题思想． 10．（2020秋•萧山区校级月考）如图：已知在中，，，在直线上找点，使是等腰三角形，则的度数为　、、、　． 【分析】分别根据当时，当时，当时，当时，求出答案即可． 【解答】解：在中，，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ， 的度数为：、、、． 故答案为：、、、． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定，利用分类讨论得出是解题关键． 11．（2022秋•西湖区校级期中）如图，中，，，平分交于点，交于点，求证：是等腰三角形． 【分析】由在中，，，易得，又由平分，，，即可证得，继而证得：为等腰三角形． 【解答】证明：在中，，， ，， ， 平分， ， ，， ， ， 即为等腰三角形． 【点评】此题考查了等腰三角形的判定、直角三角形的性质以及三角形外角的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 五．等腰三角形的判定与性质 12．（2024•济南二模）如图，的面积为，平分，于，连接，则的面积为　　 A． B． C． D． 【分析】根据已知条件证得，根据全等三角形的性质得到，得出，，推出，代入求出即可． 【解答】解：延长交于， 平分， ， ， ， 在和中，， ， ， ，， ， 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等． 13．（2023秋•路桥区校级期中）如图，已知△．与的平分线，交于点，过点作，交，于点，．若，，则△的周长　15　． 【分析】由已知条件根据平行线的性质、角平分线的性质及等腰三角形的判定与性质；可推出，．从而得到△的周长，答案可得． 【解答】解：平分， ． 又， ． ． ． 同理可得：． △的周长为： ， 故答案为：15． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质及角平分线的性质．有效的进行线段的等量代换是正确解答本题的关键． 14．（2023秋•拱墅区校级期中）如图，在中，，点为的中点，边的垂直平分线交，，于点，，，连接． （1）求证：为等腰三角形； （2）若，求的度数． 【分析】（1）连接，如图，利用等腰三角形的性质得到，则垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，，所以，从而得到结论； （2）利用等腰三角形的性质得到平分，则，再利用得到，接着根据互余计算出，然后根据三角形外角性质计算的度数． 【解答】（1）证明：连接，如图， ，点为的中点， ， 垂直平分， ， 垂直平分， ， ， 为等腰三角形； （2）解：，， 平分， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质：等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．也考查了线段垂直平分线的性质． 15．（2022秋•鄞州区校级期末）（1）如图1，中，作、的角平分线相交于点，过点作分别交、于、． ①求证：； ②若 的周长是25，，试求出的周长； （2）如图2，若的平分线与外角的平分线相交于点，连接，试探求 与的数量关系式． 【分析】（1）①由等腰三角形的性质和平行线的性质即可得到结论； ②根据三角形的周长公式即可得到结论； （2）根据角平分线的性质即可得出答案． 【解答】解：（1）①平分， ， ， ， ， ； ②的周长； （2）解：延长，做，，， 平分， ，， 平分， ，， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 六．直角三角形的性质 16．（2022秋•南浔区期末）中，，，则　　 A． B． C． D． 【分析】根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【解答】解：中，，， ， 故选：． 【点评】本题主要考查直角三角形的性质，掌握直角三角形中两锐角互余是解题的关键． 17．（2023秋•路桥区校级期中）直角三角形的一个锐角是，则它的另一个锐角是 　　． 【分析】根据直角三角形两个锐角互余可知另一个锐角为即可． 【解答】解：直角三角形两个锐角互余， 当直角三角形的一个锐角是时，则它的另一个锐角是． 故答案为：． 【点评】本题考查直角三角形的性质：直角三角形两锐角互余，熟练掌握互余的概念是解决问题的关键． 18．（2022秋•长兴县月考）在中，，，求的度数． 【分析】根据三角形的内角和定理和直角三角形的性质解答即可． 【解答】解：在中，， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理和直角三角形的性质，熟练掌握相关性质和定理是解答本题的关键． 七．勾股定理 19．（2023秋•诸暨市校级期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为，，，．若，，则为　　 A．8 B．10 C．12 D．14 【分析】利用勾股定理的几何意义解答． 【解答】解：由题意可知：，，，． 如图，连接， 在直角和中，， 即， ，， ． 故选：． 【点评】本题主要考查的是勾股定理的灵活运用，解答的关键是利用两个直角三角形公共的斜边． 20．（2023秋•德清县月考）如图，在中，，，是射线上的一个动点，，则当为直角三角形时，的长为 　3或7或1　． 【分析】利用分类讨论，当时（如图，由，，得到为等边三角形，于是有，由三角形内角和得到，即可求得； 当时，如图2，由对顶角的性质可得，易得，易得的长，利用勾股定理可得的长；当时，分两种情况讨论，情况一：如图1，情况二：如图3，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得结论．如图4中，时，求出即可． 【解答】解：当时，如图1， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ； 当时，如图2， ， ， ， 在直角三角形中， ； 当时，如图3， ，， ， ， 为等边三角形， ， 如图4中，当时， ， 故答案为：或或1． 【点评】本题主要考查了勾股定理，三角函数的定义，含直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线，分类讨论，数形结合是解答此题的关键． 21．（2023秋•义乌市校级期中）如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”． （1）如图，在中，，，求证：是“美丽三角形”； （2）在中，，，若是“美丽三角形”，求的长． 【分析】（1）过点作于，根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据“美丽三角形”的定义证明； （2）分边上的中线等于，边上的中线等于两种情况，根据勾股定理计算． 【解答】（1）证明：过点作于， ，， ， 由勾股定理得，， ，即是“美丽三角形”； （2）解：当边上的中线等于时，如图2， ， 当边上的中线等于时， ，即， 解得． 综上所述，的长是6或8． 【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么． 八．勾股定理的证明 22．（2022春•洪湖市期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为　3　． 【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长． 【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：， 每一个直角三角形的面积为：， ， ， 或（舍去）， 故答案为：3． 【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型． 23．（2023秋•舟山期末）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年周中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，由四个全等的直角三角形，，，和中间一个小正方形拼成的大正方形中，点是的中点．连结，若，且，，在同一直线，则的长为　　 A． B． C．6 D．5 【分析】利用勾股定理即可解答． 【解答】解：由题意得：，， ， 点是的中点， ，， ， 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，根据题意得推出是解题关键． 24．（2022秋•温州期末）如图，大正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成．点为小正方形的顶点，延长交于点，连结交小正方形的一边于点，若为等腰三角形，，则小正方形的面积为　　 A．15 B．16 C．20 D．25 【分析】由等腰三角形性质可得出，利用可证得，得出，根据余角的性质得出，进而推出，利用面积法求得，再运用勾股定理求得，即可求得答案． 【解答】解：设小正方形为，如图， 四边形和四边形是正方形， ，，， 为等腰三角形，且，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理，三角形面积等，利用面积法求得是解题的关键． 25．勾股定理的证明多达200多种，有一位总统利用两个全等的△纸片，给出如下的一种摆法，，在同一直线上），再添上一条线，便可利用面积法证得．请你试着添一条线，并给出证明． 【分析】连接，四边形的面积从大的一方面来说属于直角梯形，可利用直角梯形的面积公式进行表示；从组成来看，由三个直角三角形组成．应利用三角形的面积公式来进行表示． 【解答】解：连接，依题意，图中的四边形为直角梯形，为等腰直角三角形， 和的形状和大小完全一样 设梯形的面积为，则， 又， ． 因此，． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，需注意：组成的图形的面积有两种表示方法：大的面积的表示方法和各个组成部分的面积的和． 九．命题与定理 26．（2023秋•金东区期末）下列说法正确的是　　 A．命题一定是正确的 B．不正确的判断就不是命题 C．定理都是真命题 D．基本事实不一定是真命题 【分析】根据真、假命题的意义对、、进行判断；根据定理的定义对进行判断． 【解答】解：、命题有真命题与假命题，所以选项错误； 、不正确的判断是假命题，所以选项错误； 、定理都是经过推论、论证得到的真命题，所以选项正确； 、基本事实是真命题，所以选项错误． 故选：． 【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题；经过推论、论证得到的真命题称为定理． 27．（2022秋•江干区校级期中）请写出“等腰三角形的两底角相等”的逆命题：　两个角相等三角形是等腰三角形　． 【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题． 【解答】解：原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”， 命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个底角相等三角形是等腰三角形”， 故答案为：两个角相等三角形是等腰三角形． 【点评】本题考查了逆命题的概念，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题，难度适中． 28．（2022秋•下城区校级月考）如图，在和中，，，，在同一直线上．下面给出四个论断：①②③④． （1）任选三个为条件，余下一个为结论，写出所有的真命题（用序号〇〇〇〇表示）． （2）在所写命题中，选择一个真命题进行证明． 【分析】（1）题意进行自由组合就可以得出结论； （2）选择②④①③，可以得出，，由就可以得出就可以得出结论． 【解答】解：（1）由题意，得 ①②③④，①③④②，②③④①，②④①③； （2）②④①③． ， ． ， ， ． 在和中， ， ， ． 【点评】本题考查了题设与结论的关系的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时找到合适的命题证明三角形全等是关键． 一十．轴对称的性质 29．（2023秋•嵊州市期末）如图，与△关于直线对称，，，则度数为　　 A． B． C． D． 【分析】由轴对称的性质可得，再由三角形内角和定理进行计算即可． 【解答】解：和△关于直线对称，， ， 又， ， 故选：． 【点评】本题考查了轴对称的性质、三角形内角和定理，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 30．（2023秋•瓯海区校级期末）如图，点是外一点，点，分别是，上的点，点关于的对称点落在线段的延长线上，点关于的对称点恰巧落在上．若，，，则线段的长为 　7　． 【分析】根据对称的性质计算． 【解答】解：根据题意，得，，， 故， 故， 故答案为：7． 【点评】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解本题的关键． 31．（2021秋•西湖区校级月考）如图，在折纸活动中，小明制作了一张纸片，点，分别在边，上，将沿着折叠压平，与重合． （1）若，则　　； （2）若，则　　； （3）由（1）（2）探索与之间的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）先根据图形翻折变化的性质得出△，，，再根据三角形内角和定理求出及的度数，然后根据平角的性质即可求出答案； （2）同（1）； （3）根据（1）、（2）的规律即可得出结论． 【解答】解：（1）△是翻折变换而成， ，，， ， ． 故答案为：； （2）△是翻折变换而成， ，，， ， ， ； 故答案为：； （3）由（1）、（2）可知，． 【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 一十一．轴对称图形 32．（2024春•双塔区校级期末）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：选项、、不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， 选项能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 故选：． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 33．（2023秋•绍兴期中）2023年第19届亚运会是一场规模盛大的体育盛事，下列体育图标是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【解答】解：，，选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：． 【点评】本题主要考查了轴对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 34．（2021秋•浙江期末）如图，在的正方形网格中，其中有三格被涂黑，若在剩下的6个空白小方格中涂黑其中1个，使所得的图形是轴对称图形，则可选的那个小方格的位置有 　2　种． 【分析】直接利用轴对称图形的性质分析得出答案． 【解答】解：如图所示：在图中剩余的方格中涂黑一个正方形，使整个阴影部分成为轴对称图形，只要将1，2处涂黑，都是符合题意的图形． 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键． 一十二．作图-轴对称变换 35．（2023秋•新昌县校级期中）如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，三角形的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）作出三角形关于直线的轴对称图形三角形； （2）求三角形的面积． 【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可． 【解答】解：（1）如图，△即为所求； ； （2）△的面积． 【点评】本题考查作图轴对称变换，三角形的面积等知识，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 36．（2023秋•德清县校级期中）如图，△在直线的左侧，请按以下要求作出相应的图形． （1）作出△关于直线成轴对称的图形△； （2）用直尺和圆规作出△的边上的中线．（保留作图痕迹） 【分析】（1）首先作出、、三点关于的对称点，再连接即可； （2）首先作出的垂直平分线，确定的中点位置，再连接即可． 【解答】解：（1）如图1，△即为所求， ； （2）如图2，即为所求， ． 【点评】此题主要考查了作图轴对称变换，解答本题的关键是正确确定对称点位置以及线段的垂直平分线的作法． 37．（2023秋•鹿城区校级期中）图1，图2均是的正方形网格，每个小正方形边长为1，点，均为格点（即网格线的交点）．只用直尺，分别按照下列要求画图． （1）在图1中，画一个锐角，使它是轴对称图形，且点在格点上． （2）在图2中，画一个，使得，且点在格点上． 【分析】（1）根据轴对称图形的性质作图即可． （2）以点为直角顶点作等腰直角三角形即可． 【解答】解：（1）如图1，即为所求． （2）如图2，即为所求． 【点评】本题考查作图轴对称变换、等腰直角三角形，熟练掌握轴对称图形的性质、等腰直角三角形的性质是解答本题的关键． 一十三．轴对称-最短路线问题 38．（2023秋•德清县月考）如图，在中，，，，平分交于点，，分别是，上的动点，则的最小值为　　 A． B． C． D．6 【分析】如图所示：在上取点，使，过点作，垂足为．因为，推出当、、共线，且点与重合时，的值最小． 【解答】解：如图所示：在上取点，使，过点作，垂足为． 在中，依据勾股定理可知． ， ， 当、、共线，且点与重合时，的值最小，最小值为， 故选：． 【点评】本题主要考查的是轴对称最短路径问题，解题的关键是学利用对称，解决最短问题． 39．（2023秋•衢州期末）如图，在中，，、分别是线段和上的两个动点，则的最小值为 　9　． 【分析】作点关于的对称点，过点作于点，则取得最小值，证明，设，则，得到，证明，再求得，则，解得，即可求得答案． 【解答】解：作点关于的对称点，过点作于点， 则，， 取得最小值， ， ，， ， ， 设，则， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 解得， ，， ，即的最小值为9， 故答案为：9． 【点评】此题主要考查了轴对称的性质最短路径问题，掌握勾股定理，等腰三角形的判定和性质是关键． 40．（2020秋•衢州期末）如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设． （1）用含的代数式表示的长； （2）求的最小值； （3）根据（2）中的规律和结论，请在所给的网格中构图并求代数式的最小值． 【分析】（1）由勾股定理即可求解； （2）由表示点与点，的距离和，则当点、点、点共线时，最小，即可求解； （3）建立坐标系，将问题转化为轴上一点到点与到点的距离和最小，作点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为点，求出的长即可． 【解答】解：（1），， 与是直角三角形， ，设， ， 在中，， 在中，， ； （2）表示点与点，的距离和， 当点、点、点共线时，最小， 的最小值为； （3）如图建立坐标系， 表示轴上一点到点与到点的距离和最小， 作点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为点， ， ， ， ， 的最小值为5． 【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，灵活应用两点间距离公式是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$