第02章 对称图形——圆 章节整合练习（21个知识点+40题练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第02章 对称图形——圆 章节整合练习（21个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．圆的认识 （1）圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． （2）与圆有关的概念 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等． 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性． 知识点2．垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 知识点3．垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 知识点4．圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 知识点5．圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 知识点6．圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 知识点7．点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 知识点8．确定圆的条件 不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 知识点9．三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 知识点10．直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d＝r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 知识点11．切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 知识点12．切线的判定 （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 知识点13．切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 知识点14．切线长定理 （1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． （3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． （4）切线长定理包含着一些隐含结论： ①垂直关系三处； ②全等关系三对； ③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． 知识点15．切割线定理 （1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 几何语言： ∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线 ∴PT的平方＝PA•PB（切割线定理） （2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等． 几何语言： ∵PBA，PDC是⊙O的割线 ∴PD•PC＝PA•PB（切割线定理推论）（割线定理） 由上可知：PT2＝PA•PB＝PC•PD． 知识点16．三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 知识点17．正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 知识点18．弧长的计算 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 知识点19．扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 知识点20．圆锥的计算 （1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高． （2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． （3）圆锥的侧面积：S侧＝•2πr•l＝πrl． （4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl （5）圆锥的体积＝×底面积×高 注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等． ②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等． 知识点21．圆柱的计算 （1）圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长． （2）圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高 （3）圆柱的表面积＝上下底面面积+侧面积 （4）圆柱的体积＝底面积×高． 章节题型整合练习 一．圆的认识 1．（2024•建邺区校级开学）下列说法：①同一圆上的点到圆心的距离相等；②如果某几个点到一个定点的距离相等，则这几个点共圆；③半径确定了，圆就确定了，其中正确的是　　 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．（2022秋•如皋市校级月考）早在2000多年前的战国时期，《墨经》一书中就给出了圆的描述性定义：“圜（这里读，一中同长也”这就是说，圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合．其中，定点是 　　，定长是 　　． 二．垂径定理 3．（2024•高邮市一模）如图，已知的半径为10，的一条弦，若内的一点恰好在上，则线段的长度为整数的值有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（2023秋•工业园区校级月考）新定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦． （1）如图1，，是的等垂弦，，，垂足分别为，．求证：四边形是正方形； （2）如图2，是的弦，作，，分别交于，两点，连接．求证：，是的等垂弦． 三．垂径定理的应用 5．（2023秋•新北区校级月考）往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示．若水面宽，则水的最大深度为　　 A． B． C． D． 6．（2024•盐城三模）圆在中式建筑中有着广泛的应用．如图，某园林中圆弧形门洞的顶端到地面的高度为，地面入口的宽度为，门枕的高度为，则该圆弧所在圆的半径为 　　． 四．圆心角、弧、弦的关系 7．（2024•建邺区校级开学）如图，在中，若，则弦所对的弧的度数为　　． 8．（2023秋•宿城区月考）如图，在中，，于点，于点．求证：． 五．圆周角定理 9．（2024秋•吴中区校级月考）如图的半径为，弦、的长度分别为、，则弦、所夹的锐角　　． 10．（2022秋•仪征市校级月考）已知，△中，，以为直径的与，的交点分别为， （Ⅰ）如图①，求的大小； （Ⅱ）如图②，当时，求的大小． 六．圆内接四边形的性质 11．（2023秋•工业园区校级月考）如图，，，，是上的四个点，是的直径，，则的度数为　　 A． B． C． D． 12．（2023秋•赣榆区校级月考）如图，四边形是的内接四边形，是对角线，过点作交的延长线于点，． （1）求证：； （2）连接，若为的直径，求证：． 七．点与圆的位置关系 13．（2024•宜兴市模拟）如图，在中，，．点是平面内的一点，．将线段绕点按顺时针方向旋转一周，连接，取的中点，连接，则的取值范围是 　　． 14．（2022秋•灌云县月考）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，设运动时间为秒． （1）当时，的面积为 　　； （2）运动过程中，当、、、四点恰好在同一个圆上时，求的值． 八．确定圆的条件 15．（2023秋•吴江区月考）下列说法正确的是　　 A．经过三点可以作一个圆 B．等弧所对的圆心角相等 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．菱形的四个顶点在同一个圆上 16．（镇江月考）如图，四边形中，，，，，，试判断点、、、是否在同一个圆上，并证明你的结论． 九．三角形的外接圆与外心 17．（2024•姑苏区校级二模）若满足，的恰好有两个，则边的取值范围是　　 A． B． C． D． 18．（2024•睢宁县校级模拟）在中，若，，则面积的最大值为 　　． 一十．直线与圆的位置关系 19．（2023秋•鼓楼区校级月考）如图，在中，，，以为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是　　 A．点在内 B．直线与相离 C．点在上 D．直线与相切 20．（2024•梁溪区校级模拟）如图，点的坐标是，点是以为直径的上的一动点，点关于点的对称点为点，则的最小值为 　　． 一十一．切线的性质 21．（2024•高邮市校级模拟）如图，是的直径，点在的延长线上，切于点，若，则的度数为 　　． 22．（2024•邗江区校级三模）如图，在中，，以为直径的分别交，于点，，的延长线与的切线交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 一十二．切线的判定 23．（2023秋•栖霞区校级月考）下列说法中，正确的是　　 A．长度相等的弧是等弧 B．三点确定一个圆 C．垂直于半径的直线是圆的切线 D．同弧所对的圆周角相等 24．（2024•高邮市一模）如图，、、、四点在上，为的直径，于点，平分． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长； （3）若，，，求的长． 一十三．切线的判定与性质 25．（2023秋•南京月考）如图，为的直径延长线上的一点，与相切，切点为，点是上一点，连接．已知．下列结论： （1）与相切；（2）四边形是菱形；（3）；（4）． 其中正确的个数为　　 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 26．（2022•宜兴市一模）如图，在四边形中，，，，点在对角线上运动，为的外接圆，当与相切时，的半径为　　；当与四边形的其它边相切时，其半径为 　　． 一十四．切线长定理 27．（2022秋•广陵区校级期中）如图，、、是的切线，切点分别为、、，若，，则的长是　　 A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 28．（2020秋•姑苏区校级月考）如图，，是的切线，、为切点，是的直径，． （1）求的度数； （2）当时，求的长． 一十五．切割线定理 29．（2021秋•惠山区校级月考）如图，是的直径延长线上一点，切于点，若，，则的长为　　 A．无限长 B． C．4 D． 一十六．三角形的内切圆与内心 30．（2023秋•海陵区期末）如图，在中，，Ⅰ是的内心，连接并延长至点，使．则的度数是　　 A． B． C． D． 31．（2024•高邮市二模）如图，已知点是 的外心，点是的内心，连接，．若，则　　． 一十七．正多边形和圆 32．（2024•江都区二模）如图，在正十边形中，连接、，则　54　． 33．（2023秋•沛县月考）如图，正六边形的半径为4．求这个正六边形的周长和面积． 一十八．弧长的计算 34．（2024•东海县模拟）如图，正方形的边长为2，将长为2的线段的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动、如果点从点出发，沿图中所示方向按滑动到止，同时点从点出发，沿图中所示方向按滑动到止，在这个过程中，线段的中点所经过的路线的长为　　． 35．（2024•南京二模）如图，在半径为的中，是直径，点在上，且，弦（非直径）交于点． （1）如图①，若， （Ⅰ）连接，，求证：； （Ⅱ）的长为 　　． （2）如图②，若，求的长． 一十九．扇形面积的计算 36．（2022秋•姜堰区期末）公元前四世纪，希腊哲学家、科学史家欧德莫斯曾研究过对数学发展有重要影响的如下问题：如图，为的直径，过圆心作，交于点，以为圆心，为半径作，若，则　　． 37．（2023秋•工业园区校级月考）如图，将扇形沿方向平移，使点移到的中点处，得到扇形，若，，交于点． （1）连接，求的度数； （2）请直接写出阴影部分面积与扇形的面积、三角形的面积的数量关系；并求出阴影部分的面积． 二十．圆锥的计算 38．（2024•无锡）已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为　　 A． B． C． D． 39．（2023•工业园区校级模拟）如图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图，制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，将扇形围成圆锥时，、恰好重合，已知这种加工材料的顶角． （1）求图2中圆锥底面圆直径与母线长的比值； （2）若圆锥底面圆的直径为，求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留 二十一．圆柱的计算 40．（2022•锡山区一模）若圆柱的底面半径为，母线长为，则这个圆柱的侧面积为　　 A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02章 对称图形——圆 章节整合练习（21个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．圆的认识 （1）圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． （2）与圆有关的概念 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等． 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性． 知识点2．垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 知识点3．垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 知识点4．圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 知识点5．圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 知识点6．圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 知识点7．点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 知识点8．确定圆的条件 不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 知识点9．三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 知识点10．直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d＝r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 知识点11．切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 知识点12．切线的判定 （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 知识点13．切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 知识点14．切线长定理 （1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． （3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． （4）切线长定理包含着一些隐含结论： ①垂直关系三处； ②全等关系三对； ③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． 知识点15．切割线定理 （1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 几何语言： ∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线 ∴PT的平方＝PA•PB（切割线定理） （2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等． 几何语言： ∵PBA，PDC是⊙O的割线 ∴PD•PC＝PA•PB（切割线定理推论）（割线定理） 由上可知：PT2＝PA•PB＝PC•PD． 知识点16．三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 知识点17．正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 知识点18．弧长的计算 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 知识点19．扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 知识点20．圆锥的计算 （1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高． （2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． （3）圆锥的侧面积：S侧＝•2πr•l＝πrl． （4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl （5）圆锥的体积＝×底面积×高 注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等． ②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等． 知识点21．圆柱的计算 （1）圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长． （2）圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高 （3）圆柱的表面积＝上下底面面积+侧面积 （4）圆柱的体积＝底面积×高． 章节题型整合练习 一．圆的认识 1．（2024•建邺区校级开学）下列说法：①同一圆上的点到圆心的距离相等；②如果某几个点到一个定点的距离相等，则这几个点共圆；③半径确定了，圆就确定了，其中正确的是　　 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【分析】根据圆上的点到圆心的距离都等于圆的半径，可对①进行判断；根据到定点距离等于定长的点都在以定点为圆心，以定长为半径的圆上，可对②进行判断；根据半径确定了，圆的大小确定了，但是圆的位置不能确定，可对③进行判断；综上所述即可得出答案． 【解答】解：①圆上的点到圆心的距离都等于圆的半径， 同一圆上的点到圆心的距离相等， 故①正确； ②到定点距离等于定长的点都在以定点为圆心，以定长为半径的圆上， 如果某几个点到一个定点的距离相等，则这几个点共圆， 故②正确； ③半径确定了，圆的大小确定了，但是圆的位置不能确定， ③不正确， 综上所述：正确的是①②， 故选：． 【点评】此题主要考查了对圆的认识，正确的理解圆的有关概念是解决问题的关键． 2．（2022秋•如皋市校级月考）早在2000多年前的战国时期，《墨经》一书中就给出了圆的描述性定义：“圜（这里读，一中同长也”这就是说，圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合．其中，定点是 　圆心　，定长是 　　． 【分析】根据圆的集合定义直接回答即可． 【解答】解：圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合．其中，定点是圆心，定长是半径， 故答案为：圆心，半径． 【点评】考查了圆的认识，解题的关键是了解圆的集合定义，难度不大． 二．垂径定理 3．（2024•高邮市一模）如图，已知的半径为10，的一条弦，若内的一点恰好在上，则线段的长度为整数的值有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】连接，过点作于点，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，求出的范围，计算即可． 【解答】解：如图，连接，过点作于点， 则， 由勾股定理得：， 则， 线段的长度为整数的值有6、7、8、9共4个， 故选：． 【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理，熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键． 4．（2023秋•工业园区校级月考）新定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦． （1）如图1，，是的等垂弦，，，垂足分别为，．求证：四边形是正方形； （2）如图2，是的弦，作，，分别交于，两点，连接．求证：，是的等垂弦． 【分析】（1）根据垂直的定义及等垂弦定义推出四边形是矩形，根据垂径定理得出，即可判定矩形是正方形； （2）连接，由圆心角、弦的关系可得，由圆周角定理可得，，可证，可得结论． 【解答】（1）证明：，是的等垂弦，，， ， 四边形是矩形， ，是的等垂弦， ， ，， ，， ， 矩形是正方形． （2）证明：设交于点，连接， ，， ， ， ， ，， ， ， ，， ，是的等垂弦． 【点评】本题考查了垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题关键． 三．垂径定理的应用 5．（2023秋•新北区校级月考）往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示．若水面宽，则水的最大深度为　　 A． B． C． D． 【分析】连接，过点作于点，交于点，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而得出的长即可． 【解答】解：连接，过点作于点，交于点，如图所示： ， ， 的直径为， ， 在中，， ， 即水的最大深度为， 故选：． 【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 6．（2024•盐城三模）圆在中式建筑中有着广泛的应用．如图，某园林中圆弧形门洞的顶端到地面的高度为，地面入口的宽度为，门枕的高度为，则该圆弧所在圆的半径为 　1.3　． 【分析】设该门洞的半径的半径为 ，过点作于点，延长交圆于点，连接，则，，由垂径定理得，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【解答】解：设该门洞的半径的半径为 ， 如图，过点圆心作于点，延长交圆于点，连接， 则，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 即该门洞的半径为， 故答案为：1.3． 【点评】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键． 四．圆心角、弧、弦的关系 7．（2024•建邺区校级开学）如图，在中，若，则弦所对的弧的度数为　或　． 【分析】在优弧上取一点，连接、，在劣弧上取一点，连接、，利用圆周角定理求出，再利用圆内接四边形性质求出即可． 【解答】解：如图，在优弧上取一点，连接、，在劣弧上取一点，连接、， ， ， ， ， 弦所对的弧的度数为或， 故答案为：或． 【点评】本题考查圆周角定理，圆内接四边形性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． 8．（2023秋•宿城区月考）如图，在中，，于点，于点．求证：． 【分析】首先根据等弧所对的圆心角相等得到，然后利用角平分线的性质定理求解即可． 【解答】证明：在中，， ， 是的角平分线， ，， ． 【点评】此题考查了等弧所对的圆心角相等，角平分线的性质定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 五．圆周角定理 9．（2024秋•吴中区校级月考）如图的半径为，弦、的长度分别为、，则弦、所夹的锐角　　． 【分析】根据勾股定理的逆定理可证△是等腰直角三角形，故可求，又由已知可证△是等边三角形，所以，根据圆周角的性质可证，而，所以，再根据三角形的内角和定理可求． 【解答】解：连接、、、， ，，， ， △是等腰直角三角形， △是等边三角形， ，， ，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了圆周角定理、勾股定理的逆定理，熟练掌握圆周角定理是关键． 10．（2022秋•仪征市校级月考）已知，△中，，以为直径的与，的交点分别为， （Ⅰ）如图①，求的大小； （Ⅱ）如图②，当时，求的大小． 【分析】（Ⅰ）利用圆内接四边形的性质证明即可； （Ⅱ）连接．在△中，求出即可解决问题； 【解答】解：（Ⅰ）四边形 圆内接四边形， ， ， ， ， ． （Ⅱ）连接． ， ， 是直径， ， ， 【点评】本题考查圆周角定理、直径的性质、圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 六．圆内接四边形的性质 11．（2023秋•工业园区校级月考）如图，，，，是上的四个点，是的直径，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】由是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得，继而求得的度数，然后由圆周角定理，求得的度数． 【解答】解：是的直径， ， ， ， ， 故选：． 【点评】此题考查了圆周角定理．注意直径对的圆周角是直角定理的应用是解此题的关键． 12．（2023秋•赣榆区校级月考）如图，四边形是的内接四边形，是对角线，过点作交的延长线于点，． （1）求证：； （2）连接，若为的直径，求证：． 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质和邻补角的定义即可得到结论； （2）连接，根据圆周角定理得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论． 【解答】证明：（1）四边形是圆的内接四边形， ， ， ； （2）连接， 为圆的直径， ， ， ， ， ， 在与中， ， ． ． 【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键． 七．点与圆的位置关系 13．（2024•宜兴市模拟）如图，在中，，．点是平面内的一点，．将线段绕点按顺时针方向旋转一周，连接，取的中点，连接，则的取值范围是 　　． 【分析】取的中点，连接，，由直角三角形斜边中线的性质得到，由三角形中位线定理推出，由三角形三边关系定理得到，即可得到． 【解答】解：取的中点，连接，， ， ， 是中点，是中点， 是的中位线， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查三角形三边关系，直角三角形斜边中线，三角形中位线定理，关键是由直角三角形斜边中线的性质求出的长，由三角形中位线定理得到的长，由三角形三边关系定理即可求解． 14．（2022秋•灌云县月考）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，设运动时间为秒． （1）当时，的面积为 　28　； （2）运动过程中，当、、、四点恰好在同一个圆上时，求的值． 【分析】（1）由矩形的性质得出，，，由题意得出，，，，由矩形的面积减去三个直角三角形的面积，即可得出答案； （2）证出、、三点在以为直径的圆上，由圆周角定理得出，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【解答】解：（1）四边形是矩形， ，，， 由题意得：，， ，， 当时，，，，， 的面积， 故答案为：28； （2）， 、、三点在以为直径的圆上， 若点也在圆上，则， ，，，， ； 解得，， 当或时、、、四点恰好在同一个圆上． 【点评】本题考查了点与圆的位置关系，矩形的性质、三角形面积、勾股定理、等知识；熟练掌握勾股定理是解题的关键． 八．确定圆的条件 15．（2023秋•吴江区月考）下列说法正确的是　　 A．经过三点可以作一个圆 B．等弧所对的圆心角相等 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．菱形的四个顶点在同一个圆上 【分析】根据确定圆的条件、圆心角、弧、弦的关系、菱形的性质判断即可． 【解答】解：、经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，故本选项说法错误，不符合题意； 、等弧所对的圆心角相等，说法正确，符合题意； 、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项说法错误，不符合题意； 、菱形的四个顶点不一定在同一个圆上，故本选项说法错误，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查的是确定圆的条件、圆心角、弧、弦的关系、菱形的性质，熟记相关的性质是解题的关键． 16．（镇江月考）如图，四边形中，，，，，，试判断点、、、是否在同一个圆上，并证明你的结论． 【分析】连接，在中，利用勾股定理求得的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形即可证得． 【解答】解：、、、在同一个圆上． 证明：连接． 在直角中，， 在中，，即， 是直角三角形． 、、在以为直径的圆上． 又是直角三角形，则、、在以为直径的圆上． 点、、、在以为直径的圆上． 【点评】本题考查了直角三角形的性质，直角三角形的三个顶点在以斜边为直径的圆上． 九．三角形的外接圆与外心 17．（2024•姑苏区校级二模）若满足，的恰好有两个，则边的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】根据，求出的值，再根据满足条件的只有2个，得出的取值范围． 【解答】解：设，由正弦定理得：， 即，变形得：， 由题意得：当时，满足条件的有两个， ，解得：， 则的取值范围是， 故选：． 【点评】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角函数是解题的关键． 18．（2024•睢宁县校级模拟）在中，若，，则面积的最大值为 　　． 【分析】首先过作于，由弦已确定，可得要使的面积最大，只要取最大值即可，即可得当过圆心时，最大，然后由圆周角定理，证得是等腰直角三角形，则可求得的长，继而求得答案． 【解答】解：作的外接圆，过作于， 弦已确定， 要使的面积最大，只要取最大值即可， 如图所示，当过圆心时，最大， ，过， （垂径定理）， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】此题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理以及等腰直角三角形性质．注意得到当过圆心时，最大是关键． 一十．直线与圆的位置关系 19．（2023秋•鼓楼区校级月考）如图，在中，，，以为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是　　 A．点在内 B．直线与相离 C．点在上 D．直线与相切 【分析】过点作于，如图，利用等腰三角形的性质得到，则利用勾股定理可计算出，然后根据点与圆的位置关系的判定方法对选项和选项进行判断；根据直线与圆的位置关系对选项和选项进行判断． 【解答】解：过点作于，如图， ， ， 在中，， ， 点在外，所以选项不符合题意； ， 点在外，所以选项不符合题意； ，， 直线与相切，所以选项符合题意，选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设的半径为，圆心到直线的距离为，若直线和相交；直线和相切；直线和相离．也考查了点与圆的位置关系和等腰三角形的性质． 20．（2024•梁溪区校级模拟）如图，点的坐标是，点是以为直径的上的一动点，点关于点的对称点为点，则的最小值为 　　． 【分析】根据题意可知点运动的根据是以为圆心，以为半径的圆，设，则点在直线上，可得当直线与相切且在的下方时，的值最小，此时的值最小，设此时直线与轴交于点，与轴交于点，与直线的切点为，则点，，，，然后根据，求出即可． 【解答】解：连接，， 点关于点的对称点为点，点是以为直径的上的一动点，， 点运动的根据是以为圆心，以为半径的圆， 设，则点在直线上， 当直线与相切且在的下方时，的值最小，此时的值最小， 设此时直线与轴交于点，与轴交于点，与直线的切点为，则点，，， ， ， ， ， 解得， 的最小值为， 故答案为：． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，轴对称的性质，轨迹等知识，解题的关键是熟练掌握这些基本知识． 一十一．切线的性质 21．（2024•高邮市校级模拟）如图，是的直径，点在的延长线上，切于点，若，则的度数为 　　． 【分析】连接，根据切线的性质得，求出的度数，再根据圆周角定理计算的度数． 【解答】解：如图，连接， 切于点， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，熟知切线的性质与圆周角定理是解题的关键． 22．（2024•邗江区校级三模）如图，在中，，以为直径的分别交，于点，，的延长线与的切线交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【分析】（1）首先连接，由为直径，可得，又由是的切线，易证得．然后由，证得：； （2）首先连接，设，由勾股定理可得方程：求得，则，，． 根据，即可求出． 【解答】（1）证明：如图，连接． 为的直径， ， ． 是的切线， ， 即． ． ，， ． ． 解法二：是切线， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）如图，连接， ． 设， ， ，，． 在中，．即， ， ， ，，． ， ， ． 【点评】本题主要考查了切线的性质、三角函数以及勾股定理，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用是解答此题关键． 一十二．切线的判定 23．（2023秋•栖霞区校级月考）下列说法中，正确的是　　 A．长度相等的弧是等弧 B．三点确定一个圆 C．垂直于半径的直线是圆的切线 D．同弧所对的圆周角相等 【分析】根据等弧的概念、确定圆的条件、切线的判断定理、圆周角定理判断即可． 【解答】解：、能够互相重合的弧是等弧，长度相等的弧不一定是等弧，故本选项说法不正确，不符合题意； 、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项说法不正确，不符合题意； 、经过半径的外端，垂直于半径的直线是圆的切线，故本选项说法不正确，不符合题意； 、同弧所对的圆周角相等，本选项说法正确，符合题意； 故选：． 【点评】本题考查的是等弧的概念、确定圆的条件、切线的判断定理、圆周角定理，正确理解相关的概念和定理是解题的关键． 24．（2024•高邮市一模）如图，、、、四点在上，为的直径，于点，平分． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长； （3）若，，，求的长． 【分析】（1）连接，如图，先证明，再由得到，然后根据切线的判定定理即可得到结论； （2）由圆周角定理得到，则，利用平角定理可计算出，再根据含30度的直角三角形三边的关系，在中计算出，然后利用为等边三角形得到，所以； （3）设，则，，利用勾股定理得到，再由为直径得到，接着证明，然后利用相似比得，则可求出的值，从而得到的长． 【解答】（1）证明：连接，如图， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； （2）解：为直径， ， ， ， 在中，， ， ，， 为等边三角形， ， ； （3）解：设，则，， 在中，， 为直径， ， 而， ， ，即， ， ． 【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了相似三角形的判定与性质． 一十三．切线的判定与性质 25．（2023秋•南京月考）如图，为的直径延长线上的一点，与相切，切点为，点是上一点，连接．已知．下列结论： （1）与相切；（2）四边形是菱形；（3）；（4）． 其中正确的个数为　　 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】（1）利用切线的性质得出，进而得出，即可得出，得出答案即可； （2）利用（1）所求得出：，进而求出，即可得出答案； （3）利用全等三角形的判定得出，进而得出答案； （4）利用四边形是菱形，，则，则，求出即可． 【解答】解：（1）连接，， 与相切，切点为， ， 在和中， ， ， ， 与相切， 故（1）正确； （2）由（1）得：， 在和中， ， ， ， ， 四边形是菱形， 故（2）正确； （3）连接， ， ， 是直径， ， 在和中， ， ， ， 故（3）正确； （4）四边形是菱形，， ，则， ， 故（4）正确； 正确个数有4个， 故选：． 【点评】此题主要考查了切线的判定与性质和全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质等知识，熟练利用全等三角形的判定与性质是解题关键． 26．（2022•宜兴市一模）如图，在四边形中，，，，点在对角线上运动，为的外接圆，当与相切时，的半径为　2　；当与四边形的其它边相切时，其半径为 　　． 【分析】与相切于点，此时，，所以，，则，在中根据勾股定理列方程即可求出的长为2，即此时圆的半径为2；与相切于点，则，此时圆的半径为；与相切于点，连接、，，作于点，设的半径为，则，作于点，交于点，作于点，则，可推导出，，在中根据勾股定理列方程求出的值即可． 【解答】解：如图，与相切，连接，连接并延长交于点， 点到的距离等于的半径，且是的半径， 就是点到的距离， ， ， ，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ，， ，且， ， 或（不符合题意，舍去）， 的半径为2； 如图，点在边上， ， ， 与相切于点， ， ， 的半径为． 如图，与相切于点，连接、，，作于点，设的半径为， ， 四边形是矩形， ， ， 作于点，交于点，作于点，则， ， 四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）， 的半径为， 综上所述，的半径为或， 故答案为：2；或． 【点评】此题考查全等三角形的判定与性质、圆的切线的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数、解直角三角形等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 一十四．切线长定理 27．（2022秋•广陵区校级期中）如图，、、是的切线，切点分别为、、，若，，则的长是　　 A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【分析】由于、、是的切线，则，，求出的长即可求出的长． 【解答】解：、为的切线， ， 、为的切线， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键． 28．（2020秋•姑苏区校级月考）如图，，是的切线，、为切点，是的直径，． （1）求的度数； （2）当时，求的长． 【分析】（1）根据切线长定理推出，根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出，求出即可； （2）根据直角三角形性质求出，根据勾股定理求出，根据等边三角形的判定和性质求出即可． 【解答】解：（1），是的切线， ， ， ， 是的直径， ， ． （2）连接，则在中，，， ， 由勾股定理得：， ，， 是等边三角形， ． 【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，切线长定理，切线的性质，圆周角定理等知识点的应用，题型较好，综合性比较强，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力． 一十五．切割线定理 29．（2021秋•惠山区校级月考）如图，是的直径延长线上一点，切于点，若，，则的长为　　 A．无限长 B． C．4 D． 【分析】由已知可求得的长，再根据切割线定理得即可求得的长． 【解答】解：，， ， ， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了切割线定理的运用． 一十六．三角形的内切圆与内心 30．（2023秋•海陵区期末）如图，在中，，Ⅰ是的内心，连接并延长至点，使．则的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】连接，因为Ⅰ是的内心，，所以，，由，得，而，，所以，则，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接， Ⅰ是的内心，， ，， ， ， ，， ， ， 故选：． 【点评】此题重点考查三角形的内心的定义、等腰三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地作出辅助线并且推导出是解题的关键． 31．（2024•高邮市二模）如图，已知点是 的外心，点是的内心，连接，．若，则　35　． 【分析】连接，由，可得，根据三角形内角和求出，根据圆周角定理求出，由点是的内心，得． 【解答】解：连接，则， ， ， ， ， 点是的内心， 平分， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了三角形的外接圆与内切圆的概念、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、圆周角定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 一十七．正多边形和圆 32．（2024•江都区二模）如图，在正十边形中，连接、，则　54　． 【分析】找出正十边形的圆心，连接，，再由圆周角定理即可得出结论． 【解答】解：如图，设正十边形内接于，连接，， 正十边形的各边都相等， ， ． 故答案为：54． 【点评】本题考查的是正多边形和圆，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此题的关键． 33．（2023秋•沛县月考）如图，正六边形的半径为4．求这个正六边形的周长和面积． 【分析】根据正六边形的半径等于边长即可得出正六边形的周长，再由三角函数求出边心距，即可求出正六边形的面积． 【解答】解：正六边形的半径等于边长， 正六边形的边长； 正六边形的周长； ， 正六边形的面积． 【点评】本题考查的是正六边形的性质、三角函数、三角形面积的计算，解答此题的关键是熟知正六边形的边长等于半径． 一十八．弧长的计算 34．（2024•东海县模拟）如图，正方形的边长为2，将长为2的线段的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动、如果点从点出发，沿图中所示方向按滑动到止，同时点从点出发，沿图中所示方向按滑动到止，在这个过程中，线段的中点所经过的路线的长为　　． 【分析】根据直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，可知：点到正方形各顶点的距离都为1，故点所走的运动轨迹为以正方形各顶点为圆心，以1为半径的四个扇形，点所经过的路线为半径为1圆的周长，求出即可． 【解答】解：连接， 当在、之间运动时，及点形成直角三角形， 为中点， 总有， 点的运动轨迹是以点为圆心的四分之一圆． 同理，当在、之间运动时，点的运动轨迹是以点为圆心的四分之一圆， 点经过的路线为半径圆的周长，即为． 故答案为： 【点评】此题主要是考查了直角三角形的性质和弧长公式． 35．（2024•南京二模）如图，在半径为的中，是直径，点在上，且，弦（非直径）交于点． （1）如图①，若， （Ⅰ）连接，，求证：； （Ⅱ）的长为 　1　． （2）如图②，若，求的长． 【分析】（1）（Ⅰ）根据垂径定理以及线段中垂线的性质即可得出结论； （Ⅱ）利用圆周角定理，直角三角形的边角关系进行计算即可； （2）根据垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理进行计算即可． 【解答】证明：（1）（Ⅰ）连接， ，是的直径， ， 即是中垂线， ； （Ⅱ）连接， 是直径，点在上，且， ， ， ， 在中，，， ， 故答案为：1； （2）如图②，连接，，，过点作，垂足为， 由（1）可得，， 设， ，， ， ， 即， ， 在中，由勾股定理得，， ， 解得或舍去， ． 【点评】本题考查垂径定理，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形，掌握垂径定理，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形的判定和性质是正确解答的关键． 一十九．扇形面积的计算 36．（2022秋•姜堰区期末）公元前四世纪，希腊哲学家、科学史家欧德莫斯曾研究过对数学发展有重要影响的如下问题：如图，为的直径，过圆心作，交于点，以为圆心，为半径作，若，则　4　． 【分析】设的半径为，则，根据，即，求，然后代入求面积即可． 【解答】解：由题意知，，设的半径为，则， ，即， 解得， ， 故答案为：4． 【点评】本题考查了直径所对的圆周角为直角，扇形面积等知识．解题的关键在于正确表示阴影部分面积． 37．（2023秋•工业园区校级月考）如图，将扇形沿方向平移，使点移到的中点处，得到扇形，若，，交于点． （1）连接，求的度数； （2）请直接写出阴影部分面积与扇形的面积、三角形的面积的数量关系；并求出阴影部分的面积． 【分析】（1）， （2），． 【解答】（1）解：如图：连接， 将扇形沿方向平移，使点移到的中点处，得到扇形， 为中点，， 是的垂直平分线， ， 又， 为等边三角形， ， ； （2）解： ， 为中点，， ， 在△中，， ， ， ， ． 【点评】本题考查了扇形的面积公式和平移的性质，熟悉扇形的面积计算公式及图形平移的特点是解决本题的关键． 二十．圆锥的计算 38．（2024•无锡）已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为　　 A． B． C． D． 【分析】根据圆锥的侧面积公式即可求解． 【解答】解：， 故选：． 【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是掌握圆锥的侧面积公式． 39．（2023•工业园区校级模拟）如图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图，制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，将扇形围成圆锥时，、恰好重合，已知这种加工材料的顶角． （1）求图2中圆锥底面圆直径与母线长的比值； （2）若圆锥底面圆的直径为，求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留 【分析】（1）由于圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用弧长公式得到，从而求出即可； （2）先根据等腰直角三角形的性质得到，再利用扇形的面积公式，利用进行计算． 【解答】解：（1）根据题意得， ， 与母线长的比值为； （2），，， 而， ， ． 答：加工材料剩余部分的面积为． 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰直角三角形的性质． 二十一．圆柱的计算 40．（2022•锡山区一模）若圆柱的底面半径为，母线长为，则这个圆柱的侧面积为　　 A． B． C． D． 【分析】圆柱侧面积底面周长高． 【解答】解：根据侧面积公式可得：． 故选：． 【点评】本题考查了圆柱的计算，解题的关键是弄清圆柱的侧面积的计算方法，圆柱的侧面积底面圆的周长高． 学科网（北京）股份有限公司 $$