7.1.1 正切 教案2024-2025学年苏科版数学九年级下册

7.1　正切（1） 教学目标 1．探索直角三角形中某锐角确定后其对边与邻边的比值也随之确定的过程，理解正切的意义； 2．通过操作、观察、思考、求解等过程，感受数形结合的数学思想方法、体会数学来源与生活又服务与生活的实质。培养学生理性思维的习惯，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力； 3．在解决问题的过程中，培养学生合作意识与创新精神，体会人生价值。 教学重点 正确理解锐角正切的概念，会将某些某些问题转化到直角三角形中进行解决。 教学难点 锐角正切概念的引进与理解。 教学方法 与 教学手段 合作探究与多媒体结合 教学过程 教师活动 学生活动 设计思路 引入新课 欣赏视屏 多媒体出示视频（小车爬坡测试视屏），供学生欣赏。体会生活中斜坡无处不在。 问题1、请注意观察，斜坡的陡缓程度与什么有关？如何量化？ 观察、并体会斜坡在生活中无处不在。 思考、体会斜坡如何用数学思维、数学语言用数据说明斜坡陡缓程度可能性。 通过爬坡演示，引发学生对确定坡度大小的确定的思考，从而得出坡角的概念。 探究新知 问题2、请注意观察两个三角形，那个坡面最陡？如何比较？ 追问：在这两个三角形中，角α，β一定相等吗？ 结论：在直角三角形中，坡角的对边与相邻的比值相等时，坡角也相等。 问题3、请同学们注意观察，若坡角的对边与相邻的直角边比不相等，坡角会变化吗？如何变化？ 问题4、若坡角不变，坡角的对边与邻边的比值会变化吗？ 如图，在锐角A的一边上任取一点B，自点B向另一边作垂线，垂足为C，得到Rt△ABC；再任取一点B1，自点B1向另一边作垂线，垂足为C1，得到Rt△AB1C1。按照步骤依次可得Rt△AB2C2、Rt△AB3C3、……，这样，我们可以得到无数个直角三角形． 通过对比观察，发现可以通过叠合两个坡角比较两个斜坡的陡缓程度。 发现“A”字形相似，并加以证明，发现“坡角的对边与相邻的比值相等时，坡角也相等。” 反思发现：上面结论只在直角三角形中成立。 认真观察、思考发现结论： ∠BAC对边与邻边的比值增大与坡角变大、∠BAC对边与邻边的比值减小与坡角减小。 猜想： RT△ABC对边与邻边的比值与坡角存在着某种关系。 观察、思考，并归纳、小结： Rt△ABC∽Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽Rt△AB3C3…，根据相似三角形的性质，得 因而： 定值 让学生初步体会倾斜的程度可以靠倾斜的角度来判断和辨别，引发思考：“边的必相等时，角的的大小不变”的错误判断。从而引入需要再直角三角形研究角与边的关系。 通过动画操作，引导学生直观感知及生活经验，引发对坡角的对边与邻边的比值变化与角度变化的思考，体会实物之间的内在联系。 利用学生对相似三角形相关知识的复习探究，使其发现“直角三角形中，角不变，则角所对的边与相邻的边的比值不变。” 提出概念 为了叙述方便，作出如下规定：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切（tangent）， 记作tan A，即tan A= 你能用同样的方法写出∠B的正切吗？ 类比、归纳、模仿给出答案。 由上面的探究，引发学生对变化中出现不变的量，从而顺势给出正切的定义。促进学生对这一知识点的理解。 例题讲解 例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， AC＝4，AB＝5，求tanA、tanB． A 4 C B 5 参考答案： 解：在Rt△ABC中，BC＝， tanA＝，tanB＝ 拓展： 通过计算tanA、tanB的值，你有什么新的发现吗？ 发表意见，表达观点，相互补充． 从而发现tanA与tanB互为倒数，即 tanA·tanB＝1．而且，根据定义，我们发现tanA·tanB＝·＝1，所以，我们能得到互余两个角的正切值互为倒数． 师生互动，锻炼学生的口头表达能力，培养学生勇于发表自己看法的能力，培养学生对所学知识的 理解和熟练度。 会进行简单的说理．在拓展环节，尽量让学生表达，或是在互相交流的基础上发表自己的看法，这样有利于学生对知识的进一步理解。 通过例2，再次引发学生“研究角与边之间的关系”需直角三角形中。从而引发对辅助线的做法的思考。 例题讲解 例2　如图，在等边三角形ABC中，CD⊥AB，垂足为D。求tanA．2 参考答案： 解：作CD⊥AB与D， 由题意知，AD＝． 在Rt△ACD中，根据勾股定理，得 CD＝＝，　　　　　　　 ∴tanA＝． 拓展： 通过计算tanA的值，你确定tan60º的么？30º呢？你还能得到其他的吗？ 发表意见，表达观点，相互补充．从而发现 tan60º，而 ∠ACD＝30º， tan∠ACD＝= ，即tan30º． 利用等腰直角三角形的特点，还能求出tan45º＝1． 随堂练习 1．如图，求下列图中各直角三角形中锐角的正切值． 运用本节课所学数学知识解决问题． 参考答案： 解：①在Rt△ABC中，∠C=90°， tan A＝，tanB＝． ②在Rt△ABC中，∠C=90°，故AC＝， tanA＝，tanB＝． ③在Rt△ABC中，∠C=90°，故AC＝， tanA＝，tanB＝ 2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， AB＝10，tanA，求AC、BC和tanB．A 10 B C 2．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝． 设BC为3m，则AC为4m，所以 tanB＝．又因为AB＝10，所以，所以， 所以BC＝3m＝6，则AC＝4m＝8． 3、如图所示，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，网格中，小正方形的边长均为1，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC'B'，则tan B'的值为_______.  以学代练，检测学生对本节课知识的掌握程度，考查了学生解决问题的综合能力。 通过练习1、2让学生体会不同位置摆放的直角三角形不会影响锐角的正切值，以及通过正切的逆用，进一步让学生体会正切的结果是一个比值。从而让学生在充分交流讨论的基础上进一步理解正切的意义。 网格中相关问题的探究，本就是中考中的重点，同时再次使学生体会角不变，正切值不变的直观体会。 课堂小结 通过今天的学习，你学会了什么？你会正确运用吗？通过这节课的学习，你有什么感受呢，说出来告诉大家． 共同小结． 师生互动，总结学习成果，体验成功． 作业布置 1．课本P99习题7.1第1、2题； 2．思考题（选做）：如图，求：tan15° 教师寄语 学习犹如爬坡，每前进一步都有难度，但每前进一步都能到达新的高度！愿同学们能在书山中攀的更高，愿同学们在25年的中考中都能达到理想的高度。 学科网（北京）股份有限公司 $$