2024-2025学年沪教版九年级初中数学上学期期中模拟试卷 测试范围：相似三角形、锐角的三角比 2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

2024-2025学年沪教版九年级初中数学上学期期中模拟试卷 测试范围：相似三角形、锐角的三角比 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分（选择题）和（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1．（23-24九年级上·上海宝山·期中）的值等于（    ） A．； B．1； C．； D．. 2．（21-22九年级上·上海青浦·期中）如果两个相似三角形对应边之比是，那么它们的对应面积之比是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·上海金山·期中）已知点为线段的黄金分割点，如果，那么的长度为（    ） A． B． C． D． 4．（21-22九年级上·上海奉贤·期中）下列各组图形中，不一定相似的是（　　） A．两个矩形 B．两个等腰直角三角形 C．各有一个角是50°的两个直角三角形 D．各有一个角是100°的两个等腰三角形 5．（21-22九年级上·上海青浦·期中）在中，点D、E分别在的反向延长线上，下列不能判定的条件是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·上海嘉定·期中）如图，在中，是的平分线，与交于点M，，下列结论中正确的个数是（　　）    ① ；② ； ③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7．（23-24九年级上·上海普陀·期中）已知，那么 ． 8．（23-24九年级上·上海闵行·期中）已知：点P是线段的黄金分割点，其中较短，若，则 9．（23-24九年级上·上海杨浦·期中）如图，已知，，，，那么 ．    10．（20-21九年级上·上海·期中）化简：3＝ ． 11．（23-24九年级上·上海金山·期中）一段公路路面的坡度为，如果某人沿着这段公路向上行走了260米，那么此人升高了 米． 12．（九年级上·上海嘉定·期中）已知两个三角形是相似形，其中一个三角形的两个角分别为25º、55º，则另一个三角形的最大内角的度数为 ． 13．（23-24九年级上·上海松江·期中）如图，在中，，的中垂线交于点D，交于点E，若，，则的正切值为 ．    14．（19-20九年级上·上海浦东新·期中）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=6，现将△ABC沿ED翻折，使点A与点B重合，折痕为DE，则tan∠BED的值是 ． 15．（23-24九年级上·上海长宁·期中）如图，土坡是一个梯形，，斜坡长130米，坡度是，沿走上平台，可以坐电梯直达矩形观景台顶部，在点观察坡底点，俯角是，则观景台的垂直高度为 米．    16．（九年级上·上海·期中）如图，在△ABC中，，BE、AD分别是边AC、BC上的高，，，那么 . 17．（21-22九年级上·上海青浦·期末）如图，在矩形中，的角平分线与边交于点E，的角平分线与边的延长线交于点G，与边交于点F，如果，，那么 ． 18．（23-24九年级上·上海长宁·期中）已知在中，，（如图），把绕着点C按顺时针方向旋转，将点A、B的对应点分别记为点，如果为直角三角形，那么点A与点的距离为 ．    三、解答题：（本大题共9题，19-23题每题6分，24-27题每题7分，满分58分） 19．（21-22九年级上·上海青浦·期中）计算：． 20．（22-23九年级上·上海奉贤·期中）已知实数a、b、c满足，且．求：的值． 21．（22-23九年级上·上海嘉定·期中）如图，已知，与相交于点，点在线段上，，． (1)求证：； (2)求． 22．（23-24九年级上·上海松江·期中）如图，已知梯形是一水库拦水坝的横断面示意图，坝顶宽米，坝高18米，迎水坡的坡度，背水坡的坡度，求坝底宽． 23．（22-23九年级上·上海静安·期末）某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备在底层至层之间安装电梯，截面图如图所示，底层与层平行，层高为9米，、间的距离为6米，．        (1)请问身高米的人在竖直站立的情况下搭乘电梯，在处会不会碰到头部？请说明理由． (2)若采取中段平台设计（如图虚线所示），已知平台，且段和段的坡度，求平台的长度．（参考数据：，，） 24．（21-22九年级上·上海青浦·期中）如图，已知在中，点D为边的中点，点F在边上，点E在线段的延长线上，且，点M在线段上，且．    求证： (1)； (2)． 25．（23-24九年级上·上海崇明·期中）如图，在中，，平分，作交于点E，垂足为F．作，垂足为G．    (1)求证：． (2)求证：． 26．（23-24九年级上·上海嘉定·期中）已知，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴相交于A、B两点，且点C的坐标为，连接，与y轴相交于点D    (1)求线段的长度； (2)求点D的坐标； (3)点E在x轴上，如果和相似，求点E的坐标． 27．（21-22九年级上·上海青浦·期中）如图，已知直线与x轴、y轴交于点A、C，点A与点B关于直线轴对称，点D在直线上，且D在第三象限，． (1)求证：求点D及直线解析式； (2)求的正弦值； (3)如果P是射线上一点，且以点P，A，B为顶点的三角形与相似，求点P的坐标． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年沪教版九年级初中数学上学期期中模拟试卷 测试范围：相似三角形、锐角的三角比 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分（选择题）和（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1．（23-24九年级上·上海宝山·期中）的值等于（    ） A．； B．1； C．； D．. 【答案】B 【知识点】求角的正切值 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，根据即可求解，正确掌握几个特殊角的三角函数值是解题的关键，属于基础题． 【详解】解：． 故选：B． 2．（21-22九年级上·上海青浦·期中）如果两个相似三角形对应边之比是，那么它们的对应面积之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，关键是熟练掌握相似三角形对应边的比叫相似比，周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．根据相似三角形对应边的比叫相似比，面积的比等于相似比的平方解答即可． 【详解】解：两个相似三角形对应边之比是， 两个相似三角形的相似比为， 它们对应面积之比为． 故选：C． 3．（23-24九年级上·上海金山·期中）已知点为线段的黄金分割点，如果，那么的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查黄金分割点．根据黄金分割点分线段对应成比例，分成的两条线段中的较长的线段与原线段的比值为，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∵， ∴； 故选C． 4．（21-22九年级上·上海奉贤·期中）下列各组图形中，不一定相似的是（　　） A．两个矩形 B．两个等腰直角三角形 C．各有一个角是50°的两个直角三角形 D．各有一个角是100°的两个等腰三角形 【答案】A 【知识点】相似多边形 【分析】根据相似图形的定义，对应边成比例，对应角相等对各选项分析判断． 【详解】解：A. 两个矩形，四个角都是直角，但四条边不一定对应成比例，不一定相似，故符合题意； B. 两个等腰直角三角形，对应边成比例，对应角相等，符合定义，一定相似，故不符合题意； C. 各有一个角是50°的两个直角三角形，都有一个直角，根据两角对应相等，两三角形相似，故不符合题意； D. 各有一个角是100°的两个等腰三角形，100°的角一定是顶角，其余两角一定相等，故一定相似，故不符合题意； 故选A 【点睛】本题考查了相似图形，掌握相似图形的定义是解题的关键． 5．（21-22九年级上·上海青浦·期中）在中，点D、E分别在的反向延长线上，下列不能判定的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】利用“如果一条直线截三角形的两边或两边的反向延长线，对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边”逐项判断即可求解． 【详解】解：如图， A、若，则,故选项A不合题意； B、若，则,故选项B不合题意； C、若，则,故选项C不合题意； D、若，无法得到,故选项D符合题意． 故选：D 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的推论，准确掌握平行线分线段成比例定理推论是解题关键． 6．（23-24九年级上·上海嘉定·期中）如图，在中，是的平分线，与交于点M，，下列结论中正确的个数是（　　）    ① ；② ； ③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】证明两三角形相似 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟练的结合角平分线的含义，利用两角分别相等的两个三角形相似逐一分析判断即可． 【详解】解：∵，， ∴，故②符合题意； ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴，；故①④符合题意； 与只有一组角相等，无法证明相似， ∴故③不符合题意； 故选C． 二．填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7．（23-24九年级上·上海普陀·期中）已知，那么 ． 【答案】5 【知识点】比例的性质 【分析】根据题意可得，再代入，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：5 【点睛】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 8．（23-24九年级上·上海闵行·期中）已知：点P是线段的黄金分割点，其中较短，若，则 【答案】 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点，其中较短，， ， ， 故答案为：． 9．（23-24九年级上·上海杨浦·期中）如图，已知，，，，那么 ．    【答案】/ 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】根据平行线分线段成比例，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， 解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 10．（20-21九年级上·上海·期中）化简：3＝ ． 【答案】 【分析】平面向量的运算法则也符合实数的运算法则． 【详解】解：3＝3+﹣2+2＝（3﹣2）+（++2）＝ 故答案是：． 【点睛】考查了平面向量，解题的关键是掌握平面向量的计算法则． 11．（23-24九年级上·上海金山·期中）一段公路路面的坡度为，如果某人沿着这段公路向上行走了260米，那么此人升高了 米． 【答案】100 【知识点】用勾股定理解三角形、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】 本题考查解直角三角形的应用．设他沿着垂直方向升高了x米，根据坡度的概念用x表示出他行走的水平宽度，根据勾股定理计算即可．掌握坡度等于铅直高与水平距离的比值，是解题的关键． 【详解】解：设此人升高了x米， ∵坡度为， ∴他行走的水平距离为米， 由勾股定理得，， 解得： (负值舍去)， 即他沿着垂直方向升高了100米， 故答案为：100． 12．（九年级上·上海嘉定·期中）已知两个三角形是相似形，其中一个三角形的两个角分别为25º、55º，则另一个三角形的最大内角的度数为 ． 【答案】 【知识点】相似多边形的性质 【分析】先根据三角形的内角和定理得出一个三角形的最大内角度数，再根据相似三角形的对应角相等得出另一个三角形最大内角度数． 【详解】解：∵一个三角形的两个角分别为25°、55°， ∴第三个角，即最大角为180°-（25°+55°）=100°， ∵两个三角形相似， ∴另一个三角形的最大内角度数为100°， 故答案为：100°． 【点睛】本题主要考查相似图形，解题的关键是掌握三角形的内角和定理及相似三角形的性质． 13．（23-24九年级上·上海松江·期中）如图，在中，，的中垂线交于点D，交于点E，若，，则的正切值为 ．    【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的正切值、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，勾股定理，三角函数．由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质得到线段相等，再根据勾股定理求出的长即可，进行线段的等量代换是正确解答本题的关键． 【详解】解：设，则，   垂直平分， ， 在中，， ， 解得：，即， ， 故答案为：． 14．（19-20九年级上·上海浦东新·期中）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=6，现将△ABC沿ED翻折，使点A与点B重合，折痕为DE，则tan∠BED的值是 ． 【答案】； 【分析】由翻折的性质可知ED⊥AB，∠DEA=∠DEB，然后可证明∠BED=∠ABC，最后根据锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：由翻折的性质可知：ED⊥AB，∠DEA=∠BED． ∵∠A+∠DEA=90°，∠CBA+∠A=90°， ∴∠DEA=∠CBA． ∴∠BED=∠CBA． ∴tan∠BED=tan∠CBA= ． 故答案为． 【点睛】本题主要考查的是翻折的性质、锐角三角函数的定义，证得∠BED=∠CBA是解题的关键． 15．（23-24九年级上·上海长宁·期中）如图，土坡是一个梯形，，斜坡长130米，坡度是，沿走上平台，可以坐电梯直达矩形观景台顶部，在点观察坡底点，俯角是，则观景台的垂直高度为 米．    【答案】70 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、两直线平行内错角相等、用勾股定理解三角形 【分析】此题考查解直角三角形的应用，勾股定理，以及平行线的性质：根据正切定理设，勾股定理求出，由平行线的性质得出，求出米，即可得到答案． 【详解】解：如图，    ∵斜坡长130米，坡度是， ∴， 设， ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（米）． 故答案为：70． 16．（九年级上·上海·期中）如图，在△ABC中，，BE、AD分别是边AC、BC上的高，，，那么 . 【答案】 【详解】解：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC=1，∴BC=2．∵∠C=∠C，∠BEC=∠ADC=90°，∴△BEC∽△ADC，∴BC：AC=EC：DC，∴2：4=EC：1，∴EC=0.5． 17．（21-22九年级上·上海青浦·期末）如图，在矩形中，的角平分线与边交于点E，的角平分线与边的延长线交于点G，与边交于点F，如果，，那么 ． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合、利用矩形的性质证明 【分析】本题主要考查矩形的性质、相似三角形性质和判定以及等腰三角形的性质.先说明三角形，并求得的长，然后再说明，最后根据得出比例式，设，则，最后根据进行列方程并解方程即可. 【详解】解：.∵在矩形中，的角平分线与边交于点E， ∴,， ∴， ∵直角三角形， ∴ ， 又∵的角平分线与边的延长线交于点G，与边交于点F， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则 .∵ ∴ ， 解得. 故答案为：. 18．（23-24九年级上·上海长宁·期中）已知在中，，（如图），把绕着点C按顺时针方向旋转，将点A、B的对应点分别记为点，如果为直角三角形，那么点A与点的距离为 ．    【答案】或 【知识点】解直角三角形的相关计算、根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数的应用，运用分类思想是本题的关键． 根据为直角三角形，分两种情况：①当点在线段延长线上时，为直角三角形；②当点在线段BC上时，为直角三角形，依据线段的和差关系进行计算即可得到点A与点的距离． 【详解】解：分两种情况： ①当点在线段延长线上时，为直角三角形， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②当点在线段上时，为直角三角形， 同理可得，， ∴； 综上所述，点A与点的距离为． 故答案为：或．    三、解答题：（本大题共9题，19-23题每题6分，24-27题每题7分，满分58分） 19．（21-22九年级上·上海青浦·期中）计算：． 【答案】 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值的混合运算，先代入特殊角的三角函数值，再计算即可； 【详解】解： ． 20．（22-23九年级上·上海奉贤·期中）已知实数a、b、c满足，且．求：的值． 【答案】1 【知识点】比例的性质、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】设，则，，代入，可求出k的值，从而可求出a，b，c的值，最后再将a，b，c的值代入求值即可． 【详解】设，则，． ∵， ∴， 解得：， ∴，，， ∴． 【点睛】本题考查比例的性质，代数式求值．设参数k，从而由比例的性质求出a，b，c的值是解题关键． 21．（22-23九年级上·上海嘉定·期中）如图，已知，与相交于点，点在线段上，，． (1)求证：； (2)求． 【答案】(1)见解析 (2)． 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】（1）由，推出，得到，即可得到； （2）由，推出，由，推出，据此即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 22．（23-24九年级上·上海松江·期中）如图，已知梯形是一水库拦水坝的横断面示意图，坝顶宽米，坝高18米，迎水坡的坡度，背水坡的坡度，求坝底宽． 【答案】米 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】此题考查了坡度坡角问题．分别过点、作，，垂足分别为点、，分别在中，在中根据坡度的定义即可求解．注意构造直角三角形，并借助于解直角三角形的知识求解是关键． 【详解】解：分别过点、作，，垂足分别为点、， 根据题意，可知米，， ， 四边形是矩形， 米， 在中，背水坡的坡度， ， 米， 在中，迎水坡的坡度 ， 米， 米， 答：坝底的长度为米． 23．（22-23九年级上·上海静安·期末）某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备在底层至层之间安装电梯，截面图如图所示，底层与层平行，层高为9米，、间的距离为6米，．        (1)请问身高米的人在竖直站立的情况下搭乘电梯，在处会不会碰到头部？请说明理由． (2)若采取中段平台设计（如图虚线所示），已知平台，且段和段的坡度，求平台的长度．（参考数据：，，） 【答案】(1)不会，理由见解析 (2)7米 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】（1）先过点作，交于点，根据，，得出，再根据正切定理求出的长，然后与人的身高进行比较，即可得出答案； （2）根据的长求出，再过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，设，则，根据段和段的坡度，求出和的长，最后根据，即可求出答案． 【详解】（1）解：过点作，交于点，        ，， ， 不会碰到头部； （2）， ， 过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， 设，则， 段和段的坡度， ，， ， （米）．      【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是坡度角，关键是根据题意作出辅助线，构造直角三角形． 24．（21-22九年级上·上海青浦·期中）如图，已知在中，点D为边的中点，点F在边上，点E在线段的延长线上，且，点M在线段上，且．    求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【知识点】等边对等角、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查相似三角形证明、等腰三角形的性质，正确做出辅助线是解本题的关键. （1）根据等腰三角形的性质及题干条件证即可求解； （2）连接，由（1）结论可证，结合，进而即可求解； 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. （2）证明：如图，连接， ∵D为边的中点， ∴，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 25．（23-24九年级上·上海崇明·期中）如图，在中，，平分，作交于点E，垂足为F．作，垂足为G．    (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定．熟知相似三角形的判定定理和性质是正确解题的关键． （1）由已知条件先证∽，再得出对应成比例的线段即可； （2）先证≌，得出，再证∽，得出成比例的线段即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴． 又∵， ∴∽， ∴，即． （2）证明：∵平分， ∴． 又∵，， ∴≌， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴∽， ∴，即， ∴． 26．（23-24九年级上·上海嘉定·期中）已知，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴相交于A、B两点，且点C的坐标为，连接，与y轴相交于点D    (1)求线段的长度； (2)求点D的坐标； (3)点E在x轴上，如果和相似，求点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3)的坐标为或． 【知识点】用勾股定理解三角形、求一次函数解析式、解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）先求解A，B的坐标，再利用勾股定理计算的长度即可； （2）先求解直线的解析式，再求解直线与轴的交点坐标即可； （3）如图：连接，利用瑞三角函数证明，过作，而，证明四边形为平行四边形，，再证明，可得，再结合平行四边形的性质可得答案，当时，可得，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：令，则， ， ， 令，则， ， ， ； （2）如图，设直线的解析式为，    ， 解得， ， 令，则， ； （3）如图：连接， ， 轴，， ， ， ， ， ， ，    过作，而， ∴四边形为平行四边形，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，而， ∴，即， 当时， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，即， ∴，即， 综上：的坐标为或． 【点睛】本题考查的是一次函数与坐标轴的交点坐标问题，利用待定系数法求解一次函数的解析式，勾股定理的应用，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 27．（21-22九年级上·上海青浦·期中）如图，已知直线与x轴、y轴交于点A、C，点A与点B关于直线轴对称，点D在直线上，且D在第三象限，． (1)求证：求点D及直线解析式； (2)求的正弦值； (3)如果P是射线上一点，且以点P，A，B为顶点的三角形与相似，求点P的坐标． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【知识点】求角的正弦值、相似三角形的判定与性质综合、几何问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）求解，设，利用，可得，设直线解析式为，再利用待定系数法求解解析式即可； （2）过作，连接，求解直线的解析式为，可得直线与轴的交点，利用，再进一步求解即可； （3）如图，证明，，分当，则，当，则，再进一步求解即可； 【详解】（1）解：直线与轴、轴交于点、， ，， 点与点关于直线轴对称， ， 点在直线上， 设， ， ， ∴或，经检验符合题意； ∵D在第三象限， ． 设直线解析式为， ， ， 直线解析式为． （2）解：过作，连接， 同理可得：直线的解析式为， 当时，则， ∴直线与轴的交点， ， ， ， ∵，， ∴， 中，． （3）解：如图， 由，可得， 直线的表达式为， ， 即，， 当，则， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形时， ∴； 当，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，即， ∴， ． 综上，或． 【点睛】本题考查的是一次函数的几何应用，勾股定理的应用，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线，清晰的分类讨论是解本题的关键. ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$