专题03 轴对称图形（考题猜想，易错必刷69题14种题型）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（苏科版）

专题03 轴对称图形（易错必刷69题14种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 轴对称图形 题型二 轴对称的性质 题型三 折叠问题 题型四 角平分线的判定与性质 题型五 垂直平分线的判定与性质 题型六 尺规作图（角平分线、垂线） 题型七 等腰三角形的判定 题型八 等腰三角形的性质 题型九 等腰三角形的存在性 题型十 等边三角形的判定 题型十一 等边三角形的性质 题型十二 含30度角的直角三角形 题型十三 斜边的中线定理 题型十四 轴对称中将军饮马问题 一．轴对称图形（共3小题） 1．如图，这是由8个边长相同的正六边形组成的图形，若在5个白色的正六边形中，选择2个涂黑，使涂黑的2个正六边形和原来3个被涂黑的正六边形恰好组成轴对称图形，则选择的方案最多有（    ） A．10种 B．9种 C．8种 D．6种 2．围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） 3．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点都在格点上． (1)在图1中找到一个格点，画出，使与全等，且以点为顶点的四边形是轴对称图形； (2)在图2中找到一个格点，画出，使与全等，且以点为顶点的四边形不是轴对称图形． 二．轴对称的性质（共3小题） 1．如图，在四边形中，，M，N分别是上的动点．当的周长最小时，的度数为（  ） A． B． C． D． 2．如图，，点M、N分别是边上的定点，、分别是边、上的动点，记，，当最小时，则 ． 3．如图，点P在四边形的内部，且点P与点M关于对称，交于点G，点P与点N关于对称，交于点H，分别交于点．    (1)连接，若求的周长； (2)若，求的度数． 三．折叠问题（共3小题） 1．如图，长方形沿直线、折叠后，点A和点D分别落在直线l上的点和点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，将长方形纸片沿折痕EF折叠，点，的对应点分别为点，，交于点，再把三角形沿折叠，点的对应点为点，若，则的大小是 ． 3．已知中，，，点A、B在外，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，，沿DE翻折得到，交于点G，作于点H，请直接写出除外长度为1的所有线段． 四．角平分线的判定与性质（共9小题） 1．如图，在中，平分交于点 D，，垂足为点E，且，则的周长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知四边形中，对角线平分，并且，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（    ） A．三个角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点 4．如图，，P是上一动点，则的最小值为 ．    5．如图，的内角和外角的角平分线，交于点，且，则 ． 6．如图，在中，的角平分线与的垂直平分线交于点O，连接．若，则 ．    7．如图，中，，，的平分线与边的垂直平分线相交于点，过点分别作，，垂足分别为、，求的长度．    8．如图，在的两边上分别取点M，N，连接．若平分，平分． (1)求证：平分； (2)若，且与的面积分别是16和24，求线段与的长度之和． 9．已知：如图，中，．      (1)【实践操作】 尺规作图：①作的平分线，交于点D； ②过点D作的垂线，交于点E； ③在线段上求作一点F，使． （要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)【灵活运用】 在（1）条件下，若，，则的长为_________． 五．垂直平分线的判定与性质（共12小题） 1．如图，中，，是的垂直平分线，垂足为D，交于F，若，的周长为，则（   ） A． B． C． D． 2．如图所示，有三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（    ） A．在两边高线的交点处 B．在两边中线的交点处 C．在两边垂直平分线的交点处 D．在两内角平分线的交点处 3．如图，中，，且垂直平分，交于点，交于点，若周长为，则为（　　） A．5 B．8 C．9 D．10 4．如图，在中，，，，和的平分线交于点，过点作分别交，于，，则的周长为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 5．如图，中，的角平分线与的中垂线交于点，过点分别作所在直线的垂线，垂足分别为，若，则的长为 ． 6．（1）已知正边形的一个外角是，则 ； （2）如图，在中，，的垂直平分线交于，的垂直平分线交与，则的周长等于 ； （3）如图所示，在中，已知点，，分别为，，的中点．且，则图中的面积 ； （4）中，厘米，，厘米，点为的中点．如果点在线段上以厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若点的运动速度为厘米秒，则当与全等时，的值为 厘米秒． 7．如图，为内一点，分别画出点关于，的对称点，，连接，交于点，交于点．若，则的周长为 ． 8．如图，在中，平分，平分，，与、分别相交于、两点．若，，则的周长是 ． 9．如图，在中，，是的中线，点E在上，且，连接，若，则的度数为 °． 10．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P．    (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 11．如图，在中，D是的中点，，，于点，若，，求的长．    12．如图①，点关于轴对称的对称点分别为，连接，交于，交于． (1)若的长为18厘米，求的周长； (2)若，，求的度数． (3)如图②，连接，若，求的度数． 六．尺规作图（角平分线、垂线）（共7小题） 1．如图， (1)求作一点P，使P至M，N的距离相等，且到的距离相等； (2)在上求一点Q，使最小． 2．如图在中，，    (1)请用尺规作图法在边上求作一点D．使；（保留作图哴迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，F是的反向延长线上一点，过点F作交线段于点E．若，，求的度数． 3．如图，在中，，且边上有一点D．请在图中用无刻度的直尺和圆规作图(不写作法，保留作图痕迹)． (1)作的平分线，交边于点E； (2)作，其中，点F在边上． 4．、是两条公路，、是两个村庄，通讯公司要在两公路之间建一座信号基站，要求到两条公路距离相等，并且到两村庄距离之和最小，请你用尺规作图帮通讯公司确定符合要求的位置点（保留作图痕迹，不写做法） 5．已知：如图所示． (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：作的平分线和的垂直平分线，它们的交点为D．（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，，过点D画，则的长为 ．（如需画草图，请使用备用图） 6．如图，中，，于点D． (1)请用无刻度的直尺和圆规在上求作一点O，使（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连接并延长交于点E，求证：． 7．已知． (1)用尺规作图作的中垂线交边上一点，（不写作法和过程，要保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，，求的周长． 七．等腰三角形的判定（共5小题） 1．已知中，．，在平面内找一点，使得，，都是等腰三角形，则这样的点有（    ）个 A．4 B．6 C．8 D．10 2．已知，，是的三边长，满足，据此判断的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 3．如图，在和中，，，与相交于点O． (1)求证：； (2)是 三角形． 4．如图，在中，，． (1)求证：； (2)若，平分，请直接写出的形状． 5．如图，在中，以为边作等边，以为边作等边，连并延长交于点． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． 八．等腰三角形的性质（共1小题） 1．如图，点 D，E 是等边三角形 的边上的点．已知 ，且．若，则等于（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 2．如图，在中，，，平分交于点，如果，为上一动点，那么的最小值为（   ） A．6 B．5 C．3 D．2 3．如图，在中，，，均为的高，连结交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，点，分别在边，上，，平分． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 5．如图，在中，，点D是上一点，于点E，于点F． (1)若点D是的中点，求证：； (2)若，求的度数． 九．等腰三角形的存在性（共4小题） 1．如图，在中，，点P在的三边上运动，当成为等腰三角形时，其顶角的度数是 ． 2．如图，，是延长线上一点，若，动点从点出发沿以的速度移动，动点从点沿以的速度移动，如果点、同时出发，用表示移动的时间，当 时，是等腰三角形？ 3．定义：如果一条线段将一个三角形分成两个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“二分线”：如果两条线段将一个三角形分成三个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“三分线”． (1)三角形内角度数如图1所示，在图中画出“二分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数． (2)图2是一个顶角为的等腰三角形，在图中画出“三分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数． (3)在中，其最小的内角，过顶点的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请直接写出的度数． 4．如图，在中，，，点在线段上运动（点D不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E． (1)当时， °， °． (2)若，试说明． (3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求的度数；若不可以，请说明理由． 一十．等边三角形的判定（共3小题） 1．如图，在中，，，分别是，的中垂线，，则 ． 2．如图，在中，，是上的一点，，过点作的垂线交于点，连接，相交于点． (1)求证：． (2)若，试判断的形状，并说明理由． 3．如图，点O是等边内一点，D是外的一点，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 一十一．等边三角形的性质（共2小题） 1．如图，已知等边三角形的边长为3，过边上一点P作于点为延长线上一点，取，连接，交于点M，则的长为 ． 2．数学模型学习与应用： (1)【模型学习】，如图1，，，于点C，于点E，由，得；又，可以通过推理得到，进而得到______， ．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型； (2)【模型应用】：如图2，为等边三角形，，，求证：； (3)【模型变式】：如图3，在中，，，于点E，于点D，，，则 ． 一十二．含30度角的直角三角形（共3小题） 1．如图，在中，垂直平分，分别交于点，平分，则的长为 ． 2．如图，是边长为的等边三角形，是边上一动点，由向运动（与、不重合），是延长线上一动点，与点同时以相同的速度由向延长线方向运动（不与重合），过作于，连接交于． (1)当时，求的长； (2)在运动过程中线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果发生改变，请说明理由． 3．如图，为等边三角形，，、相交于点，于． (1)求证：； (2)求的度数； (3)若，，求的长． 一十三．斜边的中线定理（共4小题） 1．如图，在等腰中，，点为的延长线上一点，连接，点分别为线段的中点，连接，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，分别是的高，M为的中点，，则的周长是 ． 3．如图， 在中， 于F，于E， M为的中点． (1)若 ，求的周长； (2)若求的度数． 4．如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，与交于点F，点G为的中点，．    (1)求证：． (2)若，求的度数． 一十四．轴对称中将军饮马问题（共6小题） 1．如图，在中，，分别以点为圆心，以适当长为半径画弧，两弧分别交于，画直线为的中点，为直线上任意一点，若的面积为15，则的最小长度为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．如图，中，，，，于点D，是的垂直平分线，交于点E，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为(　　)    A． B．4 C． D．5 3．如图，中，，，的面积为，于，是边的中垂线，点是上一动点，周长的最小是等于 ． 4．如图，已知点在锐角内部，，在边上存在一点，在边上存在一点，能使最小，此时 ． 5．如图，在中，，的垂直平分线交于，交于． (1)若，则的度数是______． (2)连接，若，的周长是，的面积是． ①求的长； ②点是线段上的动点，在直线上是否存在点，使由最小？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由． 6．【综合实践活动】 【问题背景】如图，，表示两个村庄，要在，一侧的河岸边建造一个抽水站，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站应该修建在什么位置？ 【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题： 如图，，是直线同侧的两个点，点在直线上．在何处时，的值最小． 画图：如图，作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点的位置即为所求． 证明：和关于直线对称 直线垂直平分 ________， 根据“________”（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一列条直线．）可得最小值为________（填线段名称），此时P点是线段和直线的交点． 【问题拓展】如图4，村庄的某物流公司在河的对岸有一个仓库（河流两侧河岸平行，即），为了方便渡河，需要在河上修建一座桥（桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直），请问桥修建在何处才能使得到的路线最短？请你画出此时桥的位置（保留画图痕迹，否则不给分）． 【迁移应用】光明区某湿地公园如图5所示，四边形为花海景区，，米，米，长方形为人工湖景区，为了方便市民观景，公园决定修建一条步行观光路线（折线），为起点，终点在上，米，为湖边观景台，长度固定不变米），且需要修建在湖边所在直线上，步行观光路线的长度会随着观景台位置的变化而变化，请直接写出步行观光路线的最短长度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$专题03 轴对称图形（易错必刷69题14种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！77 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 轴对称图形 题型二 轴对称的性质 题型三 折叠问题 题型四 角平分线的判定与性质 题型五 垂直平分线的判定与性质 题型六 尺规作图（角平分线、垂线） 题型七 等腰三角形的判定 题型八 等腰三角形的性质 题型九 等腰三角形的存在性 题型十 等边三角形的判定 题型十一 等边三角形的性质 题型十二 含30度角的直角三角形 题型十三 斜边的中线定理 题型十四 轴对称中将军饮马问题 一．轴对称图形（共3小题） 1．如图，这是由8个边长相同的正六边形组成的图形，若在5个白色的正六边形中，选择2个涂黑，使涂黑的2个正六边形和原来3个被涂黑的正六边形恰好组成轴对称图形，则选择的方案最多有（    ） A．10种 B．9种 C．8种 D．6种 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．将五块空白的正六边形变号，逐个判断即可作答． 【详解】如图， 涂黑的方案有：选择、、、、、、、时，均可得到轴对称图形， 即共计有8种， 故选：C． 2．围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） 【答案】A或C 【分析】根据轴对称图形的定义解答即可． 本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 【详解】根据轴对称图形的定义，发现放在B，D处不能构成轴对称图形，放在A或C处可以， 故答案为：A或C． 3．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点都在格点上． (1)在图1中找到一个格点，画出，使与全等，且以点为顶点的四边形是轴对称图形； (2)在图2中找到一个格点，画出，使与全等，且以点为顶点的四边形不是轴对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，全等三角形的判定，熟练掌握轴对称图形的性质、全等三角形的判定是解答本题的关键． （1）结合轴对称图形的性质以及全等三角形的判定画出图形即可； （2）根据全等三角形的判定画出图形即可． 【详解】（1）解：如图1，即为所求（答案不唯一）， ； （2）解：如图2，即为所求， ． 二．轴对称的性质（共3小题） 1．如图，在四边形中，，M，N分别是上的动点．当的周长最小时，的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查利用成轴对称的特征进行求解，作点A关于的对称点，关于的对称点，连接与的交点即为所求的点M、N，利用三角形的内角和定理和三角形的外角的性质，进行求解即可． 【详解】解：作点A关于的对称点，关于的对称点，则：． ∵的周长， ∴当四点共线时，的周长最短， 连接与的交点即为所求的点M、N，如图： ∵， ∴三点共线，三点共线， ， 由轴对称的性质得： 故选：B． 2．如图，，点M、N分别是边上的定点，、分别是边、上的动点，记，，当最小时，则 ． 【答案】/36度 【分析】本题考查轴对称最短问题、三角形外角的性质．作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则最小易知，，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论． 【详解】解：如图，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，当三点共线时，最小， ，， ， ， ， 故答案为：． 3．如图，点P在四边形的内部，且点P与点M关于对称，交于点G，点P与点N关于对称，交于点H，分别交于点．    (1)连接，若求的周长； (2)若，求的度数． 【答案】(1)12cm (2)134° 【分析】本题主经考查了轴对称与多边形综合．熟练掌握轴对称性质，多边形内角和公式，是解决问题的关键．n边形内角和公式． （1）根据轴对称性质得到，， ，得到的周长等于线段的长度，即为． （2）根据轴对称性质得到，，，，，根据四边形内角和为与，得到，根据五边形内角和为，得到． 【详解】（1）解：如图，∵点P与点M关于对称， ∴， ∵点P与点N关于对称， ∴， ∵， ∴的周长为． （2）解：∵点P与点M 关于对称， ∴， 即， ∵点P 与点N 关于 对称， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴． 三．折叠问题（共3小题） 1．如图，长方形沿直线、折叠后，点A和点D分别落在直线l上的点和点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查折叠的性质，根据折叠前后对应角相等可得，，结合可得答案． 【详解】解：由折叠知，， 又， ． 故选A． 2．如图，将长方形纸片沿折痕EF折叠，点，的对应点分别为点，，交于点，再把三角形沿折叠，点的对应点为点，若，则的大小是 ． 【答案】/128度 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握折叠的性质． 根据，得出，根据折叠得出，，，，求出，，根据平行线的性质得出，求出． 【详解】解：∵， ∴， 根据折叠可知：，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵长方形纸片中， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．已知中，，，点A、B在外，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，，沿DE翻折得到，交于点G，作于点H，请直接写出除外长度为1的所有线段． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，折叠的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先由，推出，然后证明出； （2）由（1）得，，得到，然后由折叠得到，然后证明出，得到，然后利用线段的和差求出． 【详解】（1）∵， ∴ ∴ ∴ 又∵， ∴； （2）由（1）得， ∴ ∵沿DE翻折得到， ∴， ∵ ∴， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴由折叠得， ∴． 综上所述，除外长度为1的所有线段有：，，，． 四．角平分线的判定与性质（共9小题） 1．如图，在中，平分交于点 D，，垂足为点E，且，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的性质和判定等知识点，能求出和是解题的关键． 根据角平分线定义和性质得出，根据全等三角形的判定得出，根据全等三角形的性质得出，求出，再求出的周长即可解答． 【详解】解：∵、平分交于点 D， ∴， 在和中， , ∴， ∴， ∵， ∴， ∵, ∴的周长为． 故选：D． 2．如图，已知四边形中，对角线平分，并且，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理、角平分线的判定定理、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．延长，，过点作、，垂足为，过点作于点，首先根据“角平分线上的点到角的两边的距离相等”可得，再证明，由“角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上”可知，进而可得，易得 平分，然后分别计算，的值，利用三角形内角和定理计算的度数即可． 【详解】解：如下图，延长，，过点作、，垂足为， 过点作于点， ∵平分，、， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 3．如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（    ） A．三个角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可． 【详解】解：根据角平分线的性质，集贸市场应建在三个角的角平分线的交点处． 故选：A． 4．如图，，P是上一动点，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了垂线段最短和角平分线的性质，根据垂线段最短得出时，的值最小，根据角平分线的性质得出，再求出答案即可，能熟记垂线段最短和角平分线上的点到这个角两边的距离相等是解此题的关键． 【详解】解：如图，过点作的垂线，交于点，    当时，有最小值， ∵，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 5．如图，的内角和外角的角平分线，交于点，且，则 ． 【答案】/64度 【分析】延长，过点作于点，作于点，作于点，根据角平分线的判定可知是的平分线，再利用角平分线的定义可知，最后利用三角形外角的性质即可解答．本题考查了角平分线的判定，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练运用角平分线的定义是解题的关键． 【详解】解：延长，过点作于点，作于点，作于点， ∵的外角的平分线与内角平分线交于点， ∴， ∴， ∴是的平分线， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．如图，在中，的角平分线与的垂直平分线交于点O，连接．若，则 ．    【答案】/72度 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，由角平分线的定义可得，再利用三角形的内角和定理可求得的度数，进而可求解． 【详解】解：垂直平分， ， ， 平分， ， ， ， ，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理求解的度数是解题的关键． 7．如图，中，，，的平分线与边的垂直平分线相交于点，过点分别作，，垂足分别为、，求的长度．    【答案】 【分析】连接，，由角平分线定理得到，，，由是的垂直平分线得到，由此证明，推出，再根据，即可求出答案． 【详解】解：如图，连接，，    ∵是的平分线，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定及性质，等角的余角相等，角平分线性质定理的运用，此题辅助线的连接是解题的关键． 8．如图，在的两边上分别取点M，N，连接．若平分，平分． (1)求证：平分； (2)若，且与的面积分别是16和24，求线段与的长度之和． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线．添加垂线，熟练掌握角平分线的判定与性质，三角形面积面积公式求三角形面积，是解题的关键． （1）过点P作，垂足为C，过点P作，垂足为D，过点P作，垂足为E，先利用角平分线的性质定理可得，再利用角平分线判定定理，即可解答； （2）根据，，可求出，从而可得，然后再利用，进行计算即可解答． 【详解】（1）如图，过点P作，垂足为C，过点P作，垂足为D，过点P作，垂足为E． ∵平分，，， ∴， ∵平分，，， ∴． ∴， ∴平分； （2）∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴， 即． ∴， 故线段与的长度之和为20． 9．已知：如图，中，．      (1)【实践操作】 尺规作图：①作的平分线，交于点D； ②过点D作的垂线，交于点E； ③在线段上求作一点F，使． （要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)【灵活运用】 在（1）条件下，若，，则的长为_________． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】（1）根据作法利用尺规作图即可． （2）由（1）得：是的角平分线，，， 利用角平分线的性质可得，，再利用三角形全等的判定及性质即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求．    （2）由（1）得：是的角平分线，，， ，， 在和中， ， ， ， 设，则， ， 在中，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了作图——尺规作图、全等三角形的判定及性质、角平分线的性质，熟练掌握尺规作图及全等三角形的判定及性质是解题的关键． 五．垂直平分线的判定与性质（共12小题） 1．如图，中，，是的垂直平分线，垂足为D，交于F，若，的周长为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段的垂直平分线性质，根据垂直平分线的性质可得，即可得出，根据的周长即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴ ∵是的垂直平分线， ∴， 又∵的周长为， ∴， ∴， 故选D． 2．如图所示，有三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（    ） A．在两边高线的交点处 B．在两边中线的交点处 C．在两边垂直平分线的交点处 D．在两内角平分线的交点处 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质的应用，根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点与线段的两个端点的距离相等即可求解，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，可知超市应建在，两边垂直平分线的交点处， 故选：． 3．如图，中，，且垂直平分，交于点，交于点，若周长为，则为（　　） A．5 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一的运用， 根据周长为，，可得，根据垂直平分线的性质可得，根据，可得，所以，由此即可求解． 【详解】解：∵周长为， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4．如图，在中，，，，和的平分线交于点，过点作分别交，于，，则的周长为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的性质，三角形的外角性质，利用等腰三角形的性质找出，是解答本题的关键． 利用平行线的性质和角平分线的性质，得到，根据三角形的外角性质，得到，得到，同理得到，由此求出答案． 【详解】解：根据题意得：， ， 平分， ， ， ， ， ， 同理，， ． 故选：． 5．如图，中，的角平分线与的中垂线交于点，过点分别作所在直线的垂线，垂足分别为，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．根据题意，连接，由垂直平分得到平分，，则，即可证明，则，即可得到的长． ，通过等边代换计算即可． 【详解】连接，如图： ∵垂直平分， ∴ 又∵平分，， ∴， ∴， ∴， ， 故答案为： 6．（1）已知正边形的一个外角是，则 ； （2）如图，在中，，的垂直平分线交于，的垂直平分线交与，则的周长等于 ； （3）如图所示，在中，已知点，，分别为，，的中点．且，则图中的面积 ； （4）中，厘米，，厘米，点为的中点．如果点在线段上以厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若点的运动速度为厘米秒，则当与全等时，的值为 厘米秒． 【答案】 8 10 /2平方厘米 2或3/3或2 【分析】（1）本题主要考查多边形外角和定理的应用．利用正多边形外角和除以外角的度数即可． （2）此题考查了线段垂直平分线的性质．由线段垂直平分线的性质可知、，从而可将的周长表示为，可求解． （3）本题主要考查三角形中线平分三角形面积．由点为的中点，可得，进一步求出，分别为的中点，即可求出答案； （4）本题主要考查全等三角形的性质．此题要分两种情况：当时，，计算出的长，进而可得运动时间，然后再求；当时，，计算出的长，进而可得运动时间，然后再求． 【详解】（1）解：正多边形的边数：， 故答案为：； （2）解：如图所示， 是的垂直平分线，是的垂直平分线， 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等， 的周长可， 的周长为， 故答案为：10； （3）解：为的中点， ， ∴ 即， ∵分别为的中点． ∴ 故答案为：； （4）解：当时，， 点为的中点， ， ∵， ， 点在线段上以厘米秒的速度由点向点运动， 运动时间时， ∵， ， ； 当时，， ，， ， ， ， 运动时间为， ， 故答案为：或 7．如图，为内一点，分别画出点关于，的对称点，，连接，交于点，交于点．若，则的周长为 ． 【答案】/5厘米 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟记轴对称的性质并灵活应用是解本题的关键． 由与 关 于对称，得到 为线段的垂直平分线，进而可得，，进而利用三角形周长公式计算即可求解 【详解】如图所示， 与 关 于对称， 为线段的垂直平分线， ，同理可得：， ， 的周长 故答案为： 8．如图，在中，平分，平分，，与、分别相交于、两点．若，，则的周长是 ． 【答案】12 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，涉及角平分线定义、平行线的性质等知识，根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，然后利用等量代换可得的周长，进行计算即可解答．熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键． 【详解】解：平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ，， 的周长 ， 故答案为：12． 9．如图，在中，，是的中线，点E在上，且，连接，若，则的度数为 °． 【答案】50 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质是解题的关键．由，是的中线，可得，，即，则，由，可得，根据，求解作答即可． 【详解】解：∵，是的中线， ∴，，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P．    (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】此题考查了线段垂直平分线的判定和性质，三角形内角和定理和四边形内角和，熟练掌握各个知识点是解题的关键． （1）连接、，，根据线段垂直平分线的性质和判定即可； （2）由线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理和四边形内角和定理进行求解． 【详解】（1）证明：连接、、，   垂直平分，垂直平分， ，， 点P在线段的垂直平分线上； （2）解：垂直平分，垂直平分， ，，， ，， 在中，，， ， 即，， 在四边形中，， 11．如图，在中，D是的中点，，，于点，若，，求的长．    【答案】10 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，依据全等三角形对应边相等进行求解．解题时注意：角平分线上的点到角两边的距离相等；线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 先连接，，过作于，根据角平分线的性质以及中垂线的性质，得出，，进而判定，即可得到，据此列出方程，求得的值，即可得到长． 【详解】解：连接，，过作于，   是的中点，， 垂直平分， ， ，， ， 又，， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， 设，则，， ， 解得， ． 12．如图①，点关于轴对称的对称点分别为，连接，交于，交于． (1)若的长为18厘米，求的周长； (2)若，，求的度数． (3)如图②，连接，若，求的度数． 【答案】(1)18厘米 (2) (3) 【分析】本题考查轴对称图形的性质． （1）直接利用轴对称的性质得出对应线段关系即可； （2）由轴对称的性质得出对应角的关系即可； （3）由轴对称的性质得出对应角的关系即可． 【详解】（1）解：点关于轴对称的对称点分别为 的周长为； （2）点关于轴对称的对称点分别为 垂直平分，垂直平分， ； （3）如图，连接， 点关于轴对称的对称点分别为 垂直平分，垂直平分， ． 六．尺规作图（角平分线、垂线）（共7小题） 1．如图， (1)求作一点P，使P至M，N的距离相等，且到的距离相等； (2)在上求一点Q，使最小． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，角平分线，利用轴对称解决线段和最小问题： （1）作的中垂线，的角平分线，两线的交点即为点； （2）作关于的对称点，连接与的交点即为点． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：如图，点即为所求． 2．如图在中，，    (1)请用尺规作图法在边上求作一点D．使；（保留作图哴迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，F是的反向延长线上一点，过点F作交线段于点E．若，，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）作的平分线，交于点：以点为圆心，以任意长度为半径作弧，交于点，再分别以为圆心，以大于的长度为半径作弧，交于点，连接并延长，交于点；结合角平分线的性质定理易知点可使得； （2）首先利用三角形内角和定理求得，再结合角平分线的定义求得的值，进而由“三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和”可求得的值，即可求得的度数． 【详解】（1）解：如下图所示，点即为所求；    理由如下： 过点作于点，过点作于点，如下图，    由作图可知，为的平分线， ∴， ∴， ∴； （2）解：如下图，    ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了尺规作图-基本作图、角平分线的定义及其性质定理、三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质等知识，正确理解角平分线的性质定理是解题关键． 3．如图，在中，，且边上有一点D．请在图中用无刻度的直尺和圆规作图(不写作法，保留作图痕迹)． (1)作的平分线，交边于点E； (2)作，其中，点F在边上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规基本作图．熟练掌握尺规基本作图：作角平分线，经过直线上一点作已知直线的垂线，是解决问题的关键． （1）利用尺规基本作图，作已知角的平分线，作出图形即可； （2）利用尺规基本作图，经过直线上一点作已知直线的垂线，用出图形即可． 【详解】（1）解：以点C为圆心，以适当长为半径画弧，交于M，N两点， 分别以点M，N为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P， 作射线交于点E， 线段即为所求作； （2）作直线， 以点E为圆心，以适当长为半径画弧交于K，L两点， 分别以点K，L为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点Q， 作射线交于点F， 连接， 即为所求作． 4．、是两条公路，、是两个村庄，通讯公司要在两公路之间建一座信号基站，要求到两条公路距离相等，并且到两村庄距离之和最小，请你用尺规作图帮通讯公司确定符合要求的位置点（保留作图痕迹，不写做法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了基本作图，线段垂直平分线的性质、两点之间，线段最短及角平分线的性质，作出的角平分线再作点关于对称的点连接交于点，点即为所求作的点，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等以及两点之间，线段最短． 【详解】解：如图所示，则点即为所求： ． 5．已知：如图所示． (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：作的平分线和的垂直平分线，它们的交点为D．（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，，过点D画，则的长为 ．（如需画草图，请使用备用图） 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线，角平分线，三角形全等的判定与性质． （1）根据点D到边的距离相等，即点D在的角平分线上，又根据，即点D在线段的垂直平分线上，所以，点D为的角平分线与线段的垂直平分线的交点，据此作图即可； （2）过点点D作交于点E，过点D作交于点F，由（1）知，证明，再证，推出，再根据即可求出的长 【详解】（1）解：如图，点D即为所求， （2）解：如图，过点作交于点E，过点D作交于点F， 由（1）知， 在与中， ， ， ， 在与中， ， ， ， ，即， ， ，， ． 故答案为：3． 6．如图，中，，于点D． (1)请用无刻度的直尺和圆规在上求作一点O，使（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连接并延长交于点E，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图尺规作垂直平分线，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握线段的垂直平分线性质及尺规作图方法． （1）作的垂直平分线交于，点即为所求； （2）由，得，由，得，即有，而，，故，从而． 【详解】（1）解：作的垂直平分线交于，如图所示： 点即为所求； （2）证明：由（1）知，， ， ， ， ，即， 又，， ， ． 7．已知． (1)用尺规作图作的中垂线交边上一点，（不写作法和过程，要保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题考查了作图—基本作图，线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用基本作图作的垂直平分线即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得出，再根据的周长，代入计算即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，点即为所作， （2）解：∵点为的中垂线与的交点， ∴， ∴的周长． 七．等腰三角形的判定（共5小题） 1．已知中，．，在平面内找一点，使得，，都是等腰三角形，则这样的点有（    ）个 A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据等腰三角形定义，画出图形即可解决问题． 【详解】解：如图，以点A为圆心，为半径画圆， 以点B为圆心，为半径画圆，以点B为圆心，为半径画圆， 以点C为圆心，为半径画圆，以点C为圆心，为半径画圆， 再作，，的垂直平分线，分别得到8个点P， 则满足条件的所有点的个数为8， 故选：C．    【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键． 2．已知，，是的三边长，满足，据此判断的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】将，进行因式分解，根据平方的非负性，即可得到，根据等边三角形的判定，即可求解； 本题考查了因式分解，平方的非负性，等边三角形的判定，解题的关键是：熟练掌握因式分解． 【详解】解：∵ ∴，即：， ∴，且，即：，， ∴， ∴是等边三角形， 故选：． 3．如图，在和中，，，与相交于点O． (1)求证：； (2)是 三角形． 【答案】(1)见解析 (2)等腰 【分析】本题主要考查了等角对等边，全等三角形的性质与判定： （1）利用即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，再根据等腰三角形的判定定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 故答案为：等腰． 4．如图，在中，，． (1)求证：； (2)若，平分，请直接写出的形状． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰直角三角形． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，等腰直角三角形的判定． （1）由平行证明，由等量代换得到，利用平行线的判定“内错角相等，两直线平行”证明，即可证明； （2）利用平行线的性质结合角平分线的定义求得，，据此即可得到是等腰直角三角形． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：是等腰直角三角形． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 5．如图，在中，以为边作等边，以为边作等边，连并延长交于点． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰三角形 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定、等边三角形的性质： （1）根据等边三角形的性质得，，，进而可得，再利用可证得，进而可求证结论； （2）由（1）得：，，进而可得，进而可得，进而可求解； 熟练掌握相关的判定及性质是解题的关键． 【详解】（1）证明： 和都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ． （2）由（1）得：，， 是直角三角形，且， ， ，， ， ， 是等腰三角形． 八．等腰三角形的性质（共1小题） 1．如图，点 D，E 是等边三角形 的边上的点．已知 ，且．若，则等于（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，根据题意证明，即可得出． 【详解】解：为等边三角形， ， ， ， ， 故选：C． 2．如图，在中，，，平分交于点，如果，为上一动点，那么的最小值为（   ） A．6 B．5 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了垂线段最短、角平分线的定义、含角的直角三角形性质等知识，熟练掌握含角的直角三角形性质是解题的关键．当时，的值最小，此时，，先求出，再由角平分线的定义得出，然后由含角的直角三角形性质即可得出结果． 【详解】解：如图，当时，的值最小， 此时，， ，， ， 平分， ， ， 故选：B 3．如图，在中，，，均为的高，连结交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂直平分线性质和判定，直角三角形性质，等腰三角形性质，根据题意得到垂直平分线段，得到，结合直角三角形性质得到，利用等腰三角形性质得到，再根据求解，即可解题． 【详解】解：为的高，且， 垂直平分线段， ， 为的高，即， ， ， ， ， 故选：A． 4．如图，在中，点，分别在边，上，，平分． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识点，掌握等腰三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，根据等腰三角形的性质即可证明结论； （2）根据平行线的性质得到，利用等边对等角得到，根据三角形内角和定理列方程求得的度数，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵． ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，则， ∴． 5．如图，在中，，点D是上一点，于点E，于点F． (1)若点D是的中点，求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、垂线的定义、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接，由等腰三角形的性质可得，，证明，即可得出； （2）先求出，由垂线的定义可得，求出，由等边对等角得出，即可得解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ，，点是的中点， ∴，， ， ， ， ∴； （2）解：， ， ， ， 在中，， ∴， ， ， ∴． 九．等腰三角形的存在性（共4小题） 1．如图，在中，，点P在的三边上运动，当成为等腰三角形时，其顶角的度数是 ． 【答案】100°或55°或70° 【分析】作出图形，然后分点P在AB上与BC上两种情况讨论求解． 【详解】解：①如图1，点P在AB上时，AP=AC，顶角为∠A=100°， ②∵∠ABC=25°，∠BAC=100°， ∴∠ACB=180°-25°-100°=55°， 如图2，点P在BC上时，若AC=PC，顶角为∠ACB=55°， 如图3，若AC=AP，则顶角为∠CAP=180°-2∠ACB=180°-2×55°=70°， 综上所述，顶角为105°或55°或70°． 故答案为：100°或55°或70°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，难点在于要分情况讨论求解，作出图形更形象直观． 2．如图，，是延长线上一点，若，动点从点出发沿以的速度移动，动点从点沿以的速度移动，如果点、同时出发，用表示移动的时间，当 时，是等腰三角形？ 【答案】6或18 【分析】分点P在线段OC上和点P在线段OB上两种情况，分别根据等腰三角形的定义列出等式，求解即可得． 【详解】解：由题意，分以下两种情况： （1）点P在线段OC上时，若ΔPOQ是等腰三角形，则只有OP=OQ才满足 因此有18−2t=t 解得t=6(s) （2）点P在线段OB上时，若ΔPOQ是等腰三角形， ∵ ∴ΔPOQ也是等边三角形 因此有2t−18=t 解得t=18(s) 综上，当t等于6s或18s时，ΔPOQ是等腰三角形 故答案为：6或18． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键． 3．定义：如果一条线段将一个三角形分成两个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“二分线”：如果两条线段将一个三角形分成三个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“三分线”． (1)三角形内角度数如图1所示，在图中画出“二分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数． (2)图2是一个顶角为的等腰三角形，在图中画出“三分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数． (3)在中，其最小的内角，过顶点的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)的度数为或或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和性质，三角形的内角和与三角形的外角性质，解题的关键是数形结合、分类讨论． （1）在上取一点，连接，使得，线段即为所求； （2）取的中点，再过点作于点，然后连接，即可求解； （3）分三种情况讨论：当，时，当，时，当时，当，时，根据三角形的内角和与三角形的外角性质求解即可． 【详解】（1）解：如图即为所求： （2）如图即为所求： （3）当，时，， ， ， ； 当，时，， ， ； 当时，， ， ， ； 当，时，，， ， ， 此时在中，其最小的内角为，故此种情况不符合题意； 综上所述，的度数为或或． 4．如图，在中，，，点在线段上运动（点D不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E． (1)当时， °， °． (2)若，试说明． (3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求的度数；若不可以，请说明理由． 【答案】(1)25；65 (2)详见解析 (3)可以，当的度数为或时，的形状是等腰三角形 【分析】（1）根据三角形内角和定理得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理计算，得到答案； （2）当时，利用，，得到，根据，证明； （3）分、、三种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算． 【详解】（1）解： ， ， ，， ， ， 故答案为：25；65； （2）解：，， ． ∴ ， ∵． ， ． 在和中， ， ； （3）解： 的形状可以是等腰三角形． ①当时，， ， ②当时，， ． ， 此时，点与点重合，不符合题意． ③当时，， ． 综上所述，当的度数为或时，的形状是等腰三角形． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，三角形外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 一十．等边三角形的判定（共3小题） 1．如图，在中，，，分别是，的中垂线，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查垂直平分线的性质和等边三角形的证明，熟练掌握垂直平分线的性质和等边三角形的判定是解题的关键，连接，，易证得为等边三角形，即可得到，进而得到答案． 【详解】解：连接，，如图所示， ∵，， ∴， ∵，分别是，的中垂线， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 2．如图，在中，，是上的一点，，过点作的垂线交于点，连接，相交于点． (1)求证：． (2)若，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析; (2)是等边三角形，理由见解析． 【分析】（）先证明，再推出是等腰三角形，由三线合一可证； （）先证明，再根据，即可证明是等边三角形； 本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的判定，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴是等腰三角形， ∴， ∴； （2）解：是等边三角形，理由如下： ∵，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． 3．如图，点O是等边内一点，D是外的一点，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 (3)当或或时，是等腰三角形 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定等知识． （1）根据全等三角形的性质得到，，再证明，即可证明是等边三角形； （2）先求出，根据全等的性质得到，即可求出，从而得到是直角三角形； （3）分别表示出，，，分①，②，③三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：是直角三角形．理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ， ∴． ①当时，则，即， ∴； ②当时，则，即， ∴； ③当时，则，即， ∴． 综上所述：当或或时，是等腰三角形． 一十一．等边三角形的性质（共2小题） 1．如图，已知等边三角形的边长为3，过边上一点P作于点为延长线上一点，取，连接，交于点M，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质和等边三角形的性质，根据题意作P作交于点F，证是等边三角形，再证明，利用全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】过P作交于点F． ∵是等边三角形， ∴． 又∵， ∴． ∴是等边三角形． ∴． 又∵， ∴． 在和中，， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 2．数学模型学习与应用： (1)【模型学习】，如图1，，，于点C，于点E，由，得；又，可以通过推理得到，进而得到______， ．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型； (2)【模型应用】：如图2，为等边三角形，，，求证：； (3)【模型变式】：如图3，在中，，，于点E，于点D，，，则 ． 【答案】(1)，； (2)见解析 (3)3 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，掌握“一线三等角”模型是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质可得答案； （2）根据，求出，利用证明△BDE≌△CFD即可得出结论； （3）根据，求出，利用证明，得到，，再根据线段的和差可得答案． 【详解】（1）解：由题意可知：， ∴DE，AE， 故答案为：，； （2）证明：是等边三角形， ， ∴， ， ， 又， ∴， ； （3）解：，， ， ， ， 又， ∴， ，， ， 故答案为：． 一十二．含30度角的直角三角形（共3小题） 1．如图，在中，垂直平分，分别交于点，平分，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，含的直角三角形的性质，先线段垂直平分线的性质得出，利用等边对等角得出，利用角平分线的定义得出，利用三角形内角和定理求出，利用角平分线的性质得出，利用含的直角三角形的性质求出，进而即可求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， 故答案为：6． 2．如图，是边长为的等边三角形，是边上一动点，由向运动（与、不重合），是延长线上一动点，与点同时以相同的速度由向延长线方向运动（不与重合），过作于，连接交于． (1)当时，求的长； (2)在运动过程中线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果发生改变，请说明理由． 【答案】(1) (2)不变， 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，的直角三角形的性质，以及平行线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）证得，证是含的直角三角形，得，再利用即可求解； （2）过作，证明，得，再证，利用即可求解． 【详解】（1）解：是等边三角形， ， ∵， ，， ∴，， ， 、同时出发，速度相同，即， ， ； （2）解：如图，过作，交于点， ，，， 是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 是等边三角形，， ， 为定值，即的长不变． 3．如图，为等边三角形，，、相交于点，于． (1)求证：； (2)求的度数； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)9 【分析】（1）根据等边三角形的性质，证明即可证得结论； （2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等和三角形外角的性质求得； （3）利用（2）的结果求得，所以由“30度角所对的直角边是斜边的一半”得到，则易求． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ，， 在与中， ， ∴； （2）由（1）知，，则， ， ； （3）如图，由（2）知． ， ， ， ，即． 一十三．斜边的中线定理（共4小题） 1．如图，在等腰中，，点为的延长线上一点，连接，点分别为线段的中点，连接，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，连接，根据等腰三角形三线合一的性质可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，熟记性质是解题的关键． 【详解】如图，连接， ∵，点为线段的中点， ∴， ∴， ∵点分别为线段的中点， ∴， 故选：． 2．如图，分别是的高，M为的中点，，则的周长是 ． 【答案】13 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半成为解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，先求出，再求的周长即可． 【详解】解：∵分别是的高，，M为的中点，， ∴在中，，在中，， 又∵， ∴的周长． 故答案为：13． 3．如图， 在中， 于F，于E， M为的中点． (1)若 ，求的周长； (2)若求的度数． 【答案】(1)14 (2) 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟练应用以上性质是解题的关键． （1）首先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，进而得出的周长； （2）根据等腰三角形的性质，得，，再根据三角形的内角和定理求出，，进而求出的度数，再根据等边对等角，即可得出答案． 【详解】（1）解：于F，于E，M为的中点， ，， ，， 的周长； 故的周长为14． （2）， ，，， ，， ， ∴ 故的度数为． 4．如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，与交于点F，点G为的中点，．    (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接，根据垂直的定义得到，等量代换得到，根据等腰三角形的性质得到结论． （2）根据余角的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，，设，根据三角形外角的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接，   是边上的高线， ， 是边上的中线， ， ， ， 点为的中点， ． （2）解：连接，   则， 点为的中点， ， ，， ，， 设，则，， ， ， ， ， ， ∵ ， ， ． 一十四．轴对称中将军饮马问题（共6小题） 1．如图，在中，，分别以点为圆心，以适当长为半径画弧，两弧分别交于，画直线为的中点，为直线上任意一点，若的面积为15，则的最小长度为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形的面积，三线合一定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是掌握垂直平分线的性质．如图，连接，．利用三角形的面积公式求出，再根据两点之间线段最短，线段的垂直平分线的性质判断即可． 【详解】解：如图，连接，． ∵， 为的中点， ∴， ，， ， 由作图可知：垂直平分线段， ， ， 的最小值为6， 故选：B． 2．如图，中，，，，于点D，是的垂直平分线，交于点E，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为(　　)    A． B．4 C． D．5 【答案】B 【分析】在上取一点P，连接，，，由垂直平分线的性质可知，从而得到，点D是定点，由两点之间线段最短可知，最小值为的长，再利用三角形的面积公式求即可． 【详解】解：在上取一点P，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴，    点D是定点，由两点之间线段最短可知：点P在上时，最小值为的长， ∵，， ∴， ∴， ∴最小值为4， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的面积公式，两点之间线段最短，垂直平分线的性质等知识，推导出最小值即为的长是解题的关键． 3．如图，中，，，的面积为，于，是边的中垂线，点是上一动点，周长的最小是等于 ． 【答案】 【分析】本题考查的是轴对称——最短路线问题，由于是等腰三角形，，故点是边的中点，根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论，熟知等腰三角形三线合一的性质是解题的关键． 【详解】∵是等腰三角形，， ∴点是边的中点， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴点关于直线的对称点为点， ∴的长为的最小值， ∴的周长最小． 4．如图，已知点在锐角内部，，在边上存在一点，在边上存在一点，能使最小，此时 ． 【答案】/100度 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题的应用、点到直线的距离最短，关键是确定、的位置．过的作关于的对称点，作于，交于，此时最短，即可求得的度数． 【详解】解：过的作关于的对称点，作于，交于，此时，根据点到直线的距离最短可知最短， ，， ， ，， ， ． 故答案为：． 5．如图，在中，，的垂直平分线交于，交于． (1)若，则的度数是______． (2)连接，若，的周长是，的面积是． ①求的长； ②点是线段上的动点，在直线上是否存在点，使由最小？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在，的最小值是 【分析】（1）根据等腰三角的性质，三角形的内角和定理，可得的度数，根据直角三角形两锐角的关系，可得答案； （2）①根据垂直平分线的性质，可得的关系，再根据三角形的周长，可得答案；②过点作于点，交于点，由垂直平分线的性质可得出，再利用垂线段最短可得出，再利用三角形面积即可得出 【详解】（1）解：若， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分线交与点N， ∴， ∴ 故答案为： （2）如图：连接， ①垂直平分． ， 又的周长是， ， ． ②过点作于点，交于点， 垂直平分 最小 的面积是． 的最小值是 【点睛】本题主要考查了等腰三角的性质，三角形的内角和定理，垂直平分线的性质，垂线段最短等知识， 掌握这些性质是解题的关键． 6．【综合实践活动】 【问题背景】如图，，表示两个村庄，要在，一侧的河岸边建造一个抽水站，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站应该修建在什么位置？ 【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题： 如图，，是直线同侧的两个点，点在直线上．在何处时，的值最小． 画图：如图，作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点的位置即为所求． 证明：和关于直线对称 直线垂直平分 ________， 根据“________”（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一列条直线．）可得最小值为________（填线段名称），此时P点是线段和直线的交点． 【问题拓展】如图4，村庄的某物流公司在河的对岸有一个仓库（河流两侧河岸平行，即），为了方便渡河，需要在河上修建一座桥（桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直），请问桥修建在何处才能使得到的路线最短？请你画出此时桥的位置（保留画图痕迹，否则不给分）． 【迁移应用】光明区某湿地公园如图5所示，四边形为花海景区，，米，米，长方形为人工湖景区，为了方便市民观景，公园决定修建一条步行观光路线（折线），为起点，终点在上，米，为湖边观景台，长度固定不变米），且需要修建在湖边所在直线上，步行观光路线的长度会随着观景台位置的变化而变化，请直接写出步行观光路线的最短长度． 【答案】【数学建模】， ① ，；【问题拓展】见解析【迁移应用】米 【分析】本题考查了轴对称—最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化，以后还会学习一些线段转化的方法． 【数学建模】由垂直平分线的性质得，由两点之间线段最短得； 【问题拓展】解过作垂直于河岸，使得，连接交另一河岸于，过 作垂直河岸于，即为所求； 【迁移应用】过作，使得，作关于直线对称点，连接交直线于，此时使得最短，最后由勾股定理求解即可． 【详解】，①，； 解：【问题拓展】桥修建在如图所示的位置才能使得到的路线最短； 解：【迁移应用】如图所示， 过作，使得，作关于直线对称点，延长交于，连接交直线于，此时使得最短， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵关于直线对称点， ∴，，, ∴， 在△中，由勾股定理得 ， ∴， 故步行观光路线的最短长度为米． $$