专题04 轴对称图形（考题猜想，压轴必刷54题10种题型）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（苏科版）

专题04 轴对称图形（压轴必刷54题10种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 根据轴对称的性质求解 题型二 折叠问题 题型三 角平分线的判定与性质压轴 题型四 垂直平分线的判定与性质压轴 题型五 等腰三角形的判定与性质压轴 题型六 等边三角形的判定与性质压轴 题型七 含30度角的直角三角形压轴 题型八 斜边的中线定理压轴 题型九 将军饮马求最值 题型十 轴对称综合问题 一．根据轴对称的性质最值（共4小题） 1．如图，在中，，点P、Q分别是边上的动点，则的最小值等于（    ）      A．4 B． C．5 D． 2．如图，在中，平分交于点，点，分别是线段、上一动点，且，，则的最小值为 ． 3．如图，是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图．（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．    (1)如图，请画出的高和中线； (2)如图，是的角平分线，请画出的角平分线，并在射线上画点，使． 4．如图，在中，，，射线，的夹角为，过点作于点，直线交于点，连接．    (1)如图1，射线，都在的内部． ①设，则 （用含有的式子表示）； ②作点关于直线的对称点，则线段与图1中已有线段 的长度相等； (2)如图2，射线在的内部，射线在的外部，其他条件不变，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 二．折叠问题（共6小题） 1．如图，在三角形中，点D，E是边上两点，点F在边 上，将三角形沿折叠得三角形，交于点H，将三角形沿折叠恰好得到三角形，且．下列四个结论： ①； ②； ③； ④； ⑤若，则． 其中，一定正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．如图，在中，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，若，则的长是（    ）．    A． B． C． D．2 3．如图，在中，，D是边上的定点，E是上的动点，沿折叠，点C落在点F处．当与的一边平行时，的度数是 ． 4．如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，在三角形纸片中，，，将纸片沿着折叠，使得点落在边上的点处．设，则能使和同时成为“准直角三角形”的值为 ．    5．在七下的学习中，我们研究了双内角平分线的夹角和内外角平分线的夹角问题，昆昆同学在自主探究的过程中又发现了一类新的问题，他的探究过程如下：    【探索研究】： （1）如图1，在中，平分、平分，相交于点M，若，则______； 【初步应用】： （2）如图2，在中，平分、平分，相交于点M，若将沿折叠使得点A与点M重合，若，求的度数； 【拓展延伸】： （3）在四边形中，，点P在射线上运动（点P不与C，D两点重合），连接， 的角平分线交于点Q，若，，直接写出和，之间的数量关系． 6．在学习“图形的认识”一章时，老师组织同学们通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【操作1】将长方形纸片的一角向长方形内部折叠，使角的顶点落在点处，为折痕，如图1； 【操作2】在图1条件下，点是线段上一点，角顶点沿线段折叠，点落在点处，且点在长方形内． 【任务】 (1)在图1中，若，求的度数； (2)在操作2中，当点刚好落在线段上时，如图2，求的度数； (3)在操作2中；当点不在线段上时，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 三．角平分线的判定与性质压轴（共8小题） 1．已知：如图，平分，，，下列结论：①；②；③， .其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 2．如图，已知：四边形中，对角线平分，，，并且，那么的度数为 3．如图，是的角平分线，点B在射线上，是线段的中垂线交于E，．若，，则 ． 4．如图，在的边，上取点，，连接，平分，平分，若，的面积是，的面积是，则的周长是 ． 5．（1）【问题解决】 如图①， ， 平分， 点 F在上， 的两边分别与， 交于点 D， E． 当， 时，则 与的数量关系为 ； （2）【问题探究】 如图②，在（1）的条件下，过点 F作两条相互垂直的射线，，分别交，于点 M， N， 判断 与的数量关系， 说明理由； （3）【迁移应用】 某学校有一块四边形的空地，如图③所示，，是的平分线，，，直接写出该空地的面积． 6．【问题背景】 如图，在中，，，是的角平分线，它们相交于点． 【初步探究】（1）如图1，连接，求证：点在的平分线上； 【深入探究】（2）如图2，延长交于点，过点作于点于点，并连接，试判断与的大小关系； 【拓展延伸】（3）如图3，延长交于点，连接交于点，过点作于点，于点，请问和有何数量关系？ 7．如图，在锐角三角形中，，是角平分线，分别是，的高，点E在上，且，动点F在边上（不包括两端点），连接． 【问题感知】 (1)填空： （填“”，“”或“”）； 【探究发现】 (2)若，小杰经过探究，得到结论：．请你帮小杰证明此结论； 【类比探究】 (3)若，请判断上述结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； 【拓展提升】 (4)已知，，，若点E关于DF的对称点落在边AC上，连接，请直接写出的面积． 8．在中，平分交于点．    (1)如图1，若，则　 　．（直接写出结果） (2)如图2，点为延长线上的一点，于点，当时，求的度数． (3)如图3，平分的外角交的延长线于点，连，点是延长线上的一点且，请探究与之间是否存在某种数量关系，写出你的结论并加以证明． 四．垂直平分线的判定与性质压轴（共5小题） 1．如图，在五边形中，，，，，在、上分别找到一点 M、N，使得的周长最小，则的度数为（　　 ）    A． B． C． D．   ∵， ∴， ∴， ∵，， 且，， 2．如图，在中，，，的角平分线与的垂直平分线交于点．，，垂足分别为，．则 ． 3．如图，在中，D为中点，，，于点F，，，则的长为 ．    4．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【阅读理解】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长到点，使，连接．根据________可以判定________，得出________． 这样就能把线段，，集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是________． 【方法感悟】 当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑做“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，使问题解决． 【问题解决】 （2）如图，在中，是边上的中线，是上一点，且，延长交于点，求证：． 【拓展应用】 （3）如图3，中，，，是的中线，，，且，直接写出的长． 5．八年级的同学在一次探究试验活动中发现，解决几何问题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线（延长的线段等于中线长）或延长过中点的线段，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中，进而使得问题得以解决． (1)如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围； (2)如图2，在中，点D是的中点，点M在边上，点N在边上，若． 求证：； (3)如图3，和均为等腰直角三角形，且，连接，，点D为边的中点，连接．请直接写出与的数量关系和位置关系． 五．等腰三角形的判定与性质压轴（共7小题） 1．如图，等腰中，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，下面的结论：①；②；③是等边三角形；④．其中正确的个数为（　　）个 A．4 B．3 C．2 D．1 2．如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，于点E，连接分别交，于点F，G，过点A作分别交，于点P，H，则下列结论正确的是（   ） ①；②；③；④；⑤． A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④⑤ 3．如图，在中，于点D，过点A作，且，上有一点F，连接，若，，，则 ． 4．如图，，D为的垂直平分线上一点，且，，则 ．    5．如图，中，，，P为外一点，，，点Q为上一点，连接交于D，若，，则 ． 6．如图，在中，，，为边的中点，点、分别在射线、上，且， 连接． (1)如图1，当点、分别在边 和上时，连接， ① 证明 ：． ② 直接写出，和的关系是： (2)探究：如图2，当点E、F 分别在边、的延长线上时，，和的关系是： (3)应用：若，，利用上面探究得到的结论，求的面积． 7．如图，，，，． (1)如图1，、、之间的数量关系为 ； (2)如图2，点F为的中点，连接． ①求证：． ②判断与的位置关系，并说明理由． 六．等边三角形的判定与性质压轴（共6小题） 1．如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．有以下结论：①；②PQAE；③；④；⑤为等边三角形；⑥平分．上述结论正确的有（  ）个      A．4 B．5 C．6 D．7 2．如图，锐角中，，，的面积是，，，分别是三边上的动点，则周长的最小值是 ． 3．如图，在中，，分别以、和为边在外部作等边三角形、等边三角形和等边三角形，连接、和交于点P，则、、、中某三条线段存在等量关系是 ． 4．已知在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且． (1)【特殊情况，探索结论】 如图①，当点E为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：______（填“＞”“＜”或“＝”）． (2)【特例启发，解答题目】 如图②，当点E为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论，______（填“＞”“＜”或“＝”）． 理由如下，过点E作，交于点F（请你完成以下解答过程）． (3)【拓展结论，设计新题】 在等边三角形中，点E在直线上，点D在的延长线上，且，若的边长为1，，求的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）． 5．（1）如图1，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点，．求证：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，，，三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．试探索的数量关系，并说明理由． （3）拓展与应用：如图3，，是，，三点所在直线上的两动点，，三点互不重合），点为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，，若，试判断的形状．    6．在中，，D为延长线上一点，点E为线段的垂直平分线的交点，连接． (1)如图1，当时，则______°； (2)当时， ①如图2，连接，判断的形状，并证明； ②如图3，直线与交于点F，满足，．P为直线CF上一动点．当的值最大时，请探究表示与之间的数量关系并说明理由． 七．含30度角的直角三角形压轴（共5小题） 1．如图，已知，C是内部的一点，且，点D、E分别是上的动点，若周长的最小值等于3，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，等边三角形的边长为4，D是边的中点，E在边上，，点F在边的延长线上，且，则的长为 ． 3．如图，在四边形中，平分，且． (1)求证：； (2)如图2，其余条件不变，若______． (3)如图3，其余条件不变，若，判断的数量关系，并说明理由． 4．夯实基础： （1）如图1，点P是的角平分线上的一点，于点E，与点F，有以下结论：①；②；③，其中正确的是____________． 理解应用：    （2）图2，点D是的平分线上一点，点A，点B分别在边上，且，探究与之间有怎样的数量关系？并证明； 拓展延伸： （3）如图3，点D是的平分线上一点，点A，点B分别在边上，，且，探究之间有怎样的数量关系？并说明理由． 5．如图，在等边中，点E为边上任意一点，点D在边的延长线上，且． (1)当点E为的中点时（如图1），则有__________（填“>”“<”或“=”）； (2)如图2，若点E为上任意一点，猜想与的数量关系，并证明你的猜想． (3)在等边三角形中，点E在直线上，点D在直线上，且，若的边长为2，，直接写出的长． 八．斜边的中线定理压轴（共5小题） 1．如图，在等边中，于D，E是线段上一点，F是边上一点，且满足，G是的中点，连接，则下列四个结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的个数有（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，在中，，点E为的中点，在中，，连接，，，若，，则的度数为（      ） A． B． C． D． 3．如图，分别是的高，M为的中点，，则的周长是 ． 5．如图1，在中，，，为中点，为射线上一动点．    (1)连接，求证：是等边三角形． (2)当点在线段上（如图1所示的位置）， ①尺规作图：连接，在右侧作等边，直线与直线交于点．（不写作法，保留作图痕迹） ②连接，在①的条件下，求证：． (3)点在射线运动的过程中，当为等腰三角形时，请求出的度数． 九．将军饮马求最值（共3小题） 1．如图，中，，，，于点D，是的垂直平分线，交于点E，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为(　　)    A． B．4 C． D．5 2．如图，中，，，的面积为，于，是边的中垂线，点是上一动点，周长的最小是等于 ． 3．如图，在中，，的垂直平分线交于，交于． (1)若，则的度数是______． (2)连接，若，的周长是，的面积是． ①求的长； ②点是线段上的动点，在直线上是否存在点，使由最小？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由． 一十．轴对称综合问题（共6小题） 1．在中，，分别以和为边在外部作等边三角形、等边三角形和等边三角形，连结和交千点P，则以下结论中①；②；③；④．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，在中，，点是射线上两点，且，若，，则下列结论中①是等腰直角三角形；②；③；④．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，都是等边三角形，将绕点旋转，使得点在同一直线上，连接．若，则的长是 ． 4．如图，是等腰直角三角形，为边上一点，为边上一动点，连接，以为边并在的左侧作等边，连接，则的最小值为 ．（提示：直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半） 5．如图，中，，点在延长线上，，，连接交与点，且． (1)如图，求证：； (2)如图，过点作于点，，连接，求证：平分； (3)如图，在（）的条件下，过点作的垂线交的延长线于点，，，求的长． 6．【初步感知】 （1）如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点（点D不与点B，点C重合）．以为边向右侧作等边，连接．求证：； 【类比探究】 （2）如图2，若点D在边的延长线上，随着动点D的运动位置不同，线段，，之间的数量关系为__________，请证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接，．请问：是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$专题04 轴对称图形（压轴必刷54题10种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 根据轴对称的性质求解 题型二 折叠问题 题型三 角平分线的判定与性质压轴 题型四 垂直平分线的判定与性质压轴 题型五 等腰三角形的判定与性质压轴 题型六 等边三角形的判定与性质压轴 题型七 含30度角的直角三角形压轴 题型八 斜边的中线定理压轴 题型九 将军饮马求最值 题型十 轴对称综合问题 一．根据轴对称的性质最值（共4小题） 1．如图，在中，，点P、Q分别是边上的动点，则的最小值等于（    ）      A．4 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】由勾股定理可得，作A关于的对称点，过点作，交于点，交于点，根据对称可得：，得到当三点共线时，最小，再根据垂线段最短，得到时，最小，据此求解即可． 【详解】解：在中，， ∴ 作A关于的对称点，过点作，交于点，交于点，    ∵， ∴当三点共线时，最小， ∵垂线段最短， ∴时，最小， 连接， ∵关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴． 故选D． 【点睛】本题主要考查利用轴对称求线段和最小问题．熟练掌握通过构造轴对称解决线段和最小是解题的关键． 2．如图，在中，平分交于点，点，分别是线段、上一动点，且，，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查轴对称最短问题，坐标有图形性质，正方形的性质等知识，作点关于的对称点，连接，过点作于点．证明，再根据，求出，可得结论．解题的关键是掌握利用轴对称解决最短问题． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，过点作于点． 平分， 点关于的对称点在上， ， ， ，， ， ， ， 的最小值为4． 故答案为：4． 3．如图，是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图．（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．    (1)如图，请画出的高和中线； (2)如图，是的角平分线，请画出的角平分线，并在射线上画点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，与相交于点，即为的高，连接，与相交于点，连接，即为中线； （2）找到格点，连接交于点，连接并延长交于点，即为的角平分线；找到格点，连接交于点，连接并延长，交于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，    （2）解：如图所示，找到格点，连接交于点，连接并延长交于点，即为的角平分线； 找到格点，连接交于点，连接并延长，交于点，则点即为所求；      理由如下：∵是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是正方形，则， 则是的角平分线， ∴是角平分线的交点， 则是的角平分线； ∵是的角平分线， ∴ ∴ 又是等腰直角三角形， ∴ ∴， ∴ ∵关于对称， ∴ ∴， ∴， ∵，分别是的中点， ∴ ∴，即 ∴， ∴ 在中， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了无刻度直尺作图，作三角形的中线，高线，角平分线，全等三角形的性质与判定，轴对称的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 4．如图，在中，，，射线，的夹角为，过点作于点，直线交于点，连接．    (1)如图1，射线，都在的内部． ①设，则 （用含有的式子表示）； ②作点关于直线的对称点，则线段与图1中已有线段 的长度相等； (2)如图2，射线在的内部，射线在的外部，其他条件不变，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)①；② (2)，证明见详解 【分析】（1）①根据，即可获得答案； ②连接，证明，即可获得答案； （2）作点关于直线的对称点，连接，设，证明，由全等三角形的性质可得，即可获得结论． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∵， ∴； ②如下图，连接，    由对称的性质可得，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：①；②； （2），证明如下： 作点关于直线的对称点，连接，如下图，    由对称的性质可得，，， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 二．折叠问题（共6小题） 1．如图，在三角形中，点D，E是边上两点，点F在边 上，将三角形沿折叠得三角形，交于点H，将三角形沿折叠恰好得到三角形，且．下列四个结论： ①； ②； ③； ④； ⑤若，则． 其中，一定正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】由折叠的性质可得；由折叠的性质可得，，则，，，由，可得，，则，由，可得，则，进而可判断②的正误；由题意知，无法判断与的关系，进而可判断③的正误；由，则，，可得，即，进而可判断④的正误；根据，可得，整理得，即，则，进而可判断⑤的正误； 【详解】解：由折叠的性质可得；①正确，故符合要求； 由折叠的性质可得，， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，②正确，故符合要求； ∵，无法判断与的关系，③错误，故不符合要求； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，④正确，故符合要求； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴，⑤正确，故符合要求； 综上：①②④⑤正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，全等的性质，三角形内角和、三角形外角的性质等知识．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 2．如图，在中，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，若，则的长是（    ）．    A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】由折叠的性质可得：，，，如图，过点D作于点M，作于点N，则可得，则， ，求出，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可得：，，，如图，过点D作于点M，作于点N，则，    ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查折叠变换，三角形的面积，能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键． 3．如图，在中，，D是边上的定点，E是上的动点，沿折叠，点C落在点F处．当与的一边平行时，的度数是 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了图形的折叠变换及性质，平行线的性质，三角形的内角和定理等知识，先求出，再根据折叠的性质得，然后根据当与的一边平行，分下两种情况进行讨论：①当时；②当时，又有两种情况：（ⅰ）点F在上方时；（ⅱ）当点F在下方时，分情况进行求解即可； 【详解】解：， ． 由折叠的性质得， ． 当与的一边平行，有以下两种情况： ①当时（如图），， ， ， ， ； ②当时，又有两种情况： （i）点F在上方时（如图）． ， ， ， ， ； （ⅱ）当点F在下方时（如图）． 设， ， ， ， ． ， ， 解得， ． 综上所述，符合题意的的度数是或或． 4．如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，在三角形纸片中，，，将纸片沿着折叠，使得点落在边上的点处．设，则能使和同时成为“准直角三角形”的值为 ．    【答案】 【分析】本题考查新定义，折叠的性质，三角形内角和定理，由，， 得，根据将纸片沿着折叠，使得点落在边上的点处，可得，当为“准直角三角形”时，或，可解得或， 当时， 即， 可得，，， 故不是“准直角三角形”； 当时，即， 可得，， 是“准直角三角形”，即可得到答案，理解新定义，掌握折叠的性质和三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】∵，， ∴， ∵将纸片沿着折叠，使得点落在边上的点处， ∴， 当为“准直角三角形”时， ∴或， 解得或， 当时， 即， ∴， ∴， ∴， 此时，， 故不是“准直角三角形”； 当时，即， ∴， ∴， ∴， 此时， ∴是“准直角三角形”， 综上所述，能使和同时成为“准直角三角形”的值为， 故答案为：． 5．在七下的学习中，我们研究了双内角平分线的夹角和内外角平分线的夹角问题，昆昆同学在自主探究的过程中又发现了一类新的问题，他的探究过程如下：    【探索研究】： （1）如图1，在中，平分、平分，相交于点M，若，则______； 【初步应用】： （2）如图2，在中，平分、平分，相交于点M，若将沿折叠使得点A与点M重合，若，求的度数； 【拓展延伸】： （3）在四边形中，，点P在射线上运动（点P不与C，D两点重合），连接， 的角平分线交于点Q，若，，直接写出和，之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）；（3）当点P在点D左侧时，；当P在D、C之间时， 【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）先由折叠的性质和平角的定义得到，进而求出，同（1）即可得到答案； （3）当点P在点D左侧时，当P在D、C之间时，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：； （2）由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴同（1）原理可得， 故答案为：； （3）当点P在点D左侧时，如图3-1所示， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴ ；    当P在D、C之间时，如图3-2所示： 同理可得，， ∴ ；    综上所述，当点P在点D左侧时，；当P在D、C之间时，． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质，折叠的性质，熟知相关知识是解题的关键． 6．在学习“图形的认识”一章时，老师组织同学们通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【操作1】将长方形纸片的一角向长方形内部折叠，使角的顶点落在点处，为折痕，如图1； 【操作2】在图1条件下，点是线段上一点，角顶点沿线段折叠，点落在点处，且点在长方形内． 【任务】 (1)在图1中，若，求的度数； (2)在操作2中，当点刚好落在线段上时，如图2，求的度数； (3)在操作2中；当点不在线段上时，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)或，理由详见解析． 【分析】本题主要考查了折叠的性质，有关角平分线的计算，熟练掌握图形折叠前后对应角相等，对应线段相等是解题的关键． （1）根据折叠的性质，可得，即可求解； （2）①根据折叠的性质，可得，，从而得到，即可求解； ②分两种情况：当点在点的左侧时，当点在点的右侧时，即可求解． 【详解】（1）解：由折叠性质可知：， ， ， ； （2）解：由折叠性质可知：，， ， ， 即； （3）解： ，，之间的数量关系为： 或． 理由：由折叠性质可知：，， ①当点在点的左侧时，如图3， ， ， ； ②当点在点的右侧时，如图4， ， ， ， 综上所述，，，之间的数量关系为： 或． 三．角平分线的判定与性质压轴（共8小题） 1．已知：如图，平分，，，下列结论：①；②；③， .其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．过作，交的延长线于，证，进而得出①正确，再证，进而得到③④正确，没有条件能证明②，进而即可解决问题． 【详解】解：如图，过作，交的延长线于， 平分，，， ， 在和中， ， ， ， ， ，故①正确； ， ， ， 在和中， ， ， ， ，故③正确； ，故④正确； ， ，故②错误， 综上所述：正确的是①③④． 故选：D． 2．如图，已知：四边形中，对角线平分，，，并且，那么的度数为 【答案】 【分析】延长和，过点作于点，过点作于点，根据是的平分线可得出，故，过点作于点，可得出，，进而得出为的平分线，得出，再根据即可得出结论．本题考查了角平分线的性质，以及三角形的全等和三角形的内角和定理，注意知识点的综合运用． 【详解】解：延长和，过点作于点，过点作于点， 是的平分线 在与中， ， ， ， 又 ， 为的平分线， 过点作于点， 在与中， ， ， ， ． 在与中， ， 为的平分线 ， 在中， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 3．如图，是的角平分线，点B在射线上，是线段的中垂线交于E，．若，，则 ． 【答案】 【分析】连接，过E作于R，交于Q，交于O，根据角平分线性质和线段垂直平分线的性质得出，，根据全等求出，求出，求出，求出的度数，再求出，求出，根据三角形的外角性质求出，再求出答案即可． 【详解】解：连接，过E作于R，交C于Q，交于O， ∵是线段的中垂线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意： ① 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ② 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 4．如图，在的边，上取点，，连接，平分，平分，若，的面积是，的面积是，则的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，过作与， 于，于，连接，利用角平分线的性质和三角形的面积可得，根据的面积的面积的面积的面积，进行计算即可求出，进而得到的周长，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：过作与， 于，于，连接， ∵平分， 平分， ∴，， ∴， ∵，的面积， ∴， ∴， ∵的面积，的面积， ∴的面积的面积的面积的面积， ∴， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 5．（1）【问题解决】 如图①， ， 平分， 点 F在上， 的两边分别与， 交于点 D， E． 当， 时，则 与的数量关系为 ； （2）【问题探究】 如图②，在（1）的条件下，过点 F作两条相互垂直的射线，，分别交，于点 M， N， 判断 与的数量关系， 说明理由； （3）【迁移应用】 某学校有一块四边形的空地，如图③所示，，是的平分线，，，直接写出该空地的面积． 【答案】（1）；（2），理由见详解；（3） 【分析】（1）根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得； （2）先根据四边形内角和等于可得，由可得，再根据证明，则可得； （3）过C点作于E点，的延长线于F点．由（2）得，则可得，，进而可得．证明，则可得，由、可求得的长，进而可得、的长，由此可得的值，即可得的值． 【详解】（1）解：∵平分， 点 F在上，且， ， ∴． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵四边形中，， ∴， ∴， 又， ， ， 在和中， ， ， ． （3）解：如图，过C点作于E点，的延长线于F点， 由（2）得， ，， ， ∵是的平分线， ， 又，， ， ， 又， ， ， 解得， ， ， ， 答：该空地的面积为． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 6．【问题背景】 如图，在中，，，是的角平分线，它们相交于点． 【初步探究】（1）如图1，连接，求证：点在的平分线上； 【深入探究】（2）如图2，延长交于点，过点作于点于点，并连接，试判断与的大小关系； 【拓展延伸】（3）如图3，延长交于点，连接交于点，过点作于点，于点，请问和有何数量关系？ 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查了角平分线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）过点作的垂线段，分别交于点，证明即可解答； （2）过点作的垂线段，交的延长线于点，可得，证明，可得，即可解答； （3）过点作的垂线段，交于点，过点作于点于点，同（2）中原理可得平分，可得即可解答。 【详解】（1）证明：如图，过点作的垂线段，分别交于点， ，是的角平分线， ， 点在的角平分线上（到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上）； （2），理由如下： 如图，过点作的垂线段，交的延长线于点， 是的角平分线，， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ； （3）解：如图，过点作的垂线段，交于点，过点作于点于点， 根据（2）中原理可得， 是的平分线， ， ， 平分，，， ． 7．如图，在锐角三角形中，，是角平分线，分别是，的高，点E在上，且，动点F在边上（不包括两端点），连接． 【问题感知】 (1)填空： （填“”，“”或“”）； 【探究发现】 (2)若，小杰经过探究，得到结论：．请你帮小杰证明此结论； 【类比探究】 (3)若，请判断上述结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； 【拓展提升】 (4)已知，，，若点E关于DF的对称点落在边AC上，连接，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 (4)或 【分析】（1）由角平分线的性质定理可得； （2）作于点可证明，再证明得到； （3）延长交的延长线于点，证明，得，从而得，再由角平分线的判定可得． （4）分两种情况讨论：和时，分别画出图形，求出和，得的面积． 【详解】（1）∵平分，，分别是，的高 ∴． 故答案为：． （2）证明：如图1，作于点， 在和中 ， ∴（）， ∴． 又由（1）知， ∴， 在和中 ， ∴（）， ∴． （3）成立， 证明：如图2， ∵， ∴， 延长交的延长线于点， ∴， ∴， 在和中 ， ∴（） ∴，． ∵， ∴， 又∵，， ∴平分， ∴． （4）当时，如图3，在线段上取点，使得． ∵， ∴点是点关于的对称点， ∴， ∴， 可得， ∴，， ∴， ∴． 当时，如图4， 在线段上取点，使得， 同理可得，， ∴． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和判定以及三角形全等的判定，关键是解决拓展提升时，要分和两种情况讨论． 8．在中，平分交于点．    (1)如图1，若，则　 　．（直接写出结果） (2)如图2，点为延长线上的一点，于点，当时，求的度数． (3)如图3，平分的外角交的延长线于点，连，点是延长线上的一点且，请探究与之间是否存在某种数量关系，写出你的结论并加以证明． 【答案】(1) (2) (3)，见解析 【分析】（1）过点作于，作于，根据角平分线的性质得，根据三角形的面积公式即可求解； （2）设，则，，据此知，结合可得答案； （3）过点作于点，于点，，交延长线于点，证明得，从而得到平分，根据三角形外角的性质得，则，根据三角形外角的性质及平角的定义即可得到答案． 【详解】（1）解：过点作于，作于，   ， 平分交于点， ， ，， ， 故答案为：； （2）解：设，则， ， 平分， ， ， ， ， ； （3）解：， 证明：如图3，过点作于点，于点，，交延长线于点，   ， 平分，平分， ， 又， ， ， ， 平分， ， ，即， ， 则 ， ． 【点睛】本题主要三角形的内角和定理、外角的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识点，解题的关键是掌握角平分线的性质和三角形外角的性质． 四．垂直平分线的判定与性质压轴（共5小题） 1．如图，在五边形中，，，，，在、上分别找到一点 M、N，使得的周长最小，则的度数为（　　 ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据要使的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，A关于和的对称点，，即可得出，进而得出即可得出答案． 【详解】解：作A关于和的对称点，，连接，，交于M，交于N，则，即为的周长最小值．作延长线，   ∵， ∴， ∴， ∵，， 且，， ∴， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键． 2．如图，在中，，，的角平分线与的垂直平分线交于点．，，垂足分别为，．则 ． 【答案】 【分析】本题主要是全等三角形的判定与性质、角平分线与垂直平分线的性质问题； 连接，，证明推出，，证明，推出，可得结论． 解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【详解】解：如图，连接，， 是的平分线，，， ，， 在和中， ， ， ，， 是的垂直平分线， ． 在和中， ， ， ， ． ，， ． 故答案为：． 3．如图，在中，D为中点，，，于点F，，，则的长为 ．    【答案】 【分析】连接，过点E作，交的延长线于N，由，可得；由D为中点，，则可得；证明，再证明即可求得结果． 【详解】解：连接，过点E作，交的延长线于N，如图， ∵，， ∴； ∵D为中点，， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵，，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． ∴    故答案为：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握这两个性质是关键． 4．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【阅读理解】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长到点，使，连接．根据________可以判定________，得出________． 这样就能把线段，，集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是________． 【方法感悟】 当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑做“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，使问题解决． 【问题解决】 （2）如图，在中，是边上的中线，是上一点，且，延长交于点，求证：． 【拓展应用】 （3）如图3，中，，，是的中线，，，且，直接写出的长． 【答案】（1）；（2）详见解析；（3）8 【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题． （1）延长到点，使，根据定理证明，可得结论； （2）根据点是的中点，延长到点，得到，利用全等三角形的对应角相等，对应边相等进行等量代换，得到中的两个角相等，然后用等角对等边证明等于． （3）延长交于，证明，则，所以，根据线段垂直平分线的性质可得的长． 【详解】（1）解：如图1，延长到点，使， ∵是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：； （2）证明：如图，延长到点，使得，连接． ∵是边上的中线(已知)， ∴， 在和中， ， ， 又， ， ， ， ， 即：， ． （3）解：如图3，延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∵是中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴． 5．八年级的同学在一次探究试验活动中发现，解决几何问题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线（延长的线段等于中线长）或延长过中点的线段，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中，进而使得问题得以解决． (1)如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围； (2)如图2，在中，点D是的中点，点M在边上，点N在边上，若． 求证：； (3)如图3，和均为等腰直角三角形，且，连接，，点D为边的中点，连接．请直接写出与的数量关系和位置关系． 【答案】(1) (2)见解析 (3)， 【分析】（1）延长至，使，连接，由证明得出，在中，由三角形的三边关系即可得出结论； （2）延长至点，使，连接、，同（1）得：，由全等三角形的性质得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系即可得出结论； （3）延长至，使，连接，同（1）得：，由全等三角形的性质得出，，证出，证明得出，，则．延长交于，证出，得出，即可． 【详解】（1）解：延长至，使，连接，如图1， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，由三角形的三边关系得：， ，即， ； （2）证明：延长至点，使，连接、，如图2： 同（1）得：， ， ，， ， 在中，由三角形的三边关系得：， ； （3）解：，，理由如下： 延长至，使，连接，如图3， 同（1）得：， ，， ， ， 即， ， ， 和是等腰直角三角形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ． 延长交于， ， ， ， ， ， 即，． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线—倍长中线，构造三角形全等是解决问题的关键． 五．等腰三角形的判定与性质压轴（共7小题） 1．如图，等腰中，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，下面的结论：①；②；③是等边三角形；④．其中正确的个数为（　　）个 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线是解答本题的关键． ①根据等边对等角，可得、、则，据此即可求解；②因为点是线段上一点，所以不一定是的角平分线，据此即可求解；③证明且，即可证得是等边三角形；④先证明，则． 【详解】解：①如图1，连接， ， ， ， ， ， ， ∴，故①正确； ②由①知：， ∵点是线段上一点， ∴与不一定相等，则与不一定相等，故②不正确； ③∵， ， ， ， ， ， ∴是等边三角形；故③正确； ④如图2，在上截取，连接， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴；故④正确； ∴正确的结论有：①③④． 故选：B． 2．如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，于点E，连接分别交，于点F，G，过点A作分别交，于点P，H，则下列结论正确的是（   ） ①；②；③；④；⑤． A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④⑤ 【答案】C 【分析】由等边三角形和等腰三角形的性质可得是等腰三角形且顶角，根据三角形内角和定理先求得、的度数，再证明，根据全等三角形的性质和直角三角形的性质逐一进行判断即可． 【详解】解：∵为等边三角形，为等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰三角形，， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴，故④正确； ∵， ∴， ∴，故⑤不正确， 综上所述：结论正确的是①②④， 故选：C． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． 3．如图，在中，于点D，过点A作，且，上有一点F，连接，若，，，则 ． 【答案】5 【分析】在上截取，连接，过点作，先证明，得到，，再证明，得到，进而得到，推出，设，则，根据同高三角形的面积比等于底边比，得到，即可得出结果． 【详解】解：在上截取，连接，过点作， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：5． 【点睛】本题考查中垂线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识点，综合性强，难度大，属于填空题中的压轴题，正确的添加辅助线，构造特殊三角形和全等三角形，是解题的关键． 4．如图，，D为的垂直平分线上一点，且，，则 ．    【答案】/36度 【分析】连接，过点D作交于点，与交于点，根据垂直平分线的性质得出，根据等边对等角得出，等量代换得出，根据三条边对应相等的两个三角形是全等三角形，全等三角形的对应角相等得出，根据等角对等边得出，推得，根据等边对等角得出，结合对顶角相等得出，即，据此设，则，根据三角形内角和定理列出方程，求得，即． 【详解】解：连接，过点D作交于点，与交于点，如图：    ∵D为的垂直平分线上一点， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，且， ∴， ∴， 设，则， 故， 解得：， 即． 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，对顶角的性质等．熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 5．如图，中，，，P为外一点，，，点Q为上一点，连接交于D，若，，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查全等三角形的应用，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质等知识．延长到，使得，连接交于．设，则．先证明，得到，，，得到，，进而证明，根据证明，即可求出． 【详解】解：如图，延长到，使得，连接交于．设，则． ∵，， ∴， ∵，，， ， ，，， ∴， ， ， ∵， ， ∵， ， ， ， ． 故答案为：4． 6．如图，在中，，，为边的中点，点、分别在射线、上，且， 连接． (1)如图1，当点、分别在边 和上时，连接， ① 证明 ：． ② 直接写出，和的关系是： (2)探究：如图2，当点E、F 分别在边、的延长线上时，，和的关系是： (3)应用：若，，利用上面探究得到的结论，求的面积． 【答案】(1)①见解析；② (2) (3)或17 【分析】本题为三角形的综合应用，涉及知识点有等腰三角形的性质、全等三角形的判定及其性质及三角形的面积等，根据图形构造全等三角形求解即可。 （1）①连接，即可证明；②根据，看图即可得出结论； （2）连接，即同（1）可证明，根据看图即可得出结论； （3）根据（1），（2）中的结论，代入求解即可。 【详解】（1）证明：①如图，连接 在中，，为边的中点， ∴,, ∴, ∴是等腰直角三角形， ∴, ∴, ∵, ∴, ∵, ∴, 在和中， , ∴. ②∵, ∴, 根据图中所示， , ∵为边的中点， ∴. ∴. （2）解：如图，连接 在中，，为边的中点， ∴,, ∴, ∴是等腰直角三角形， ∴, ∴, ∴, 即, ∵, ∴, ∵, ∴, 在和中， , ∴. ∵, ∴, 根据图中所示， , ∵为边的中点， ∴. ∴. （3）如（1）中结论， ∵，， ∴, , ∵, ∴. ②如（2）中结论， ∵，， ∴, , ∵, ∴ 7．如图，，，，． (1)如图1，、、之间的数量关系为 ； (2)如图2，点F为的中点，连接． ①求证：． ②判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①见解析；②垂直，见解析 【分析】（1）证明，利用周角的定义，三角形内角和定理计算即可得出结论； （2）①延长至M，使，连接，证明，得出，，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； ②延长交于点N，由全等三角形的性质得出，证出，则可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：①延长至M，使，连接， ∵点F为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． ②延长交于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的判定和性质，余角的性质，补角的性质，构造倍长中线法证明全等，熟练掌握构造倍长中线法证明全等是解题的关键． 六．等边三角形的判定与性质压轴（共6小题） 1．如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．有以下结论：①；②PQAE；③；④；⑤为等边三角形；⑥平分．上述结论正确的有（  ）个      A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】①由于和是等边三角形，可知，，，从而证出，可推知；故①正确；③由得，加之，，得到，所以；故③正确；②根据③，再根据推出为等边三角形，又由，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；④利用等边三角形的性质，，再根据平行线的性质得到，于是，可知④正确；⑤由，可得，可证是等边三角形，可知⑤正确；⑥过点C作于H，于G，得，则平分，进一步解答可知⑥错误． 【详解】解：①等边和等边， ，，， ， 在和中， ， ， ； 故①正确； ③（已证）， ， （已证）， ， ， 在与中， ， ， ； 故③正确； ②， ， 是等边三角形， ， ， ∴； 故②正确； ④， ， 等边， ， ∴， ， ． 故④正确； ， ， 又， 是等边三角形，故⑤正确； ⑥如图，过点作于，于， ，， ， 平分， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 当平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，互相矛盾， ⑥错误， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形判定与性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的判定定理等知识，证明三角形全等是解题的关键． 2．如图，锐角中，，，的面积是，，，分别是三边上的动点，则周长的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】根据对称性质，将周长转换为一条直线，如图所示（见详解），作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，，三角形是等边三角形，周长，即最小就是的值最小，的面积是，，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，， ∴，即是的垂直平分线，是的垂直平分线，且， ∵， ∴，即， ∴三角形是等边三角形， ∴， ∴当点在一条直线上时，周长，即最小就是的值最小， 根据点到直线垂线段最短，可知当时，最小，即周长最小， ∵的面积是，，即， ∴，即周长最小， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查点的对称性找最短路径，垂直平分线的性质，等边三角形的性质，理解和掌握垂直平分线的性质，对称轴的性质找最短路径的方法是解题的关键． 3．如图，在中，，分别以、和为边在外部作等边三角形、等边三角形和等边三角形，连接、和交于点P，则、、、中某三条线段存在等量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质； 证明，，可得，，求出，在上截取，连接，证明，再证，可得，进而可得． 【详解】解：∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 如图，在上截取，连接， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．已知在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且． (1)【特殊情况，探索结论】 如图①，当点E为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：______（填“＞”“＜”或“＝”）． (2)【特例启发，解答题目】 如图②，当点E为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论，______（填“＞”“＜”或“＝”）． 理由如下，过点E作，交于点F（请你完成以下解答过程）． (3)【拓展结论，设计新题】 在等边三角形中，点E在直线上，点D在的延长线上，且，若的边长为1，，求的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）． 【答案】(1)＝ (2)＝，见解析 (3)，画图见解析． 【分析】（1）根据等边三角形性质得到，，结合E是中点，得到，根据等腰三角形性质得到，由三角形外角性质得到，得到 ，即得； （2）以下解答为：，根据等边三角形性质得到．得到，得到 为等边三角形，推出．根据等腰三角形性质得到．结合三角形外角性质得到 ．得到．得到．即得； （3）证明，根据，得到，根据，得到，结合，得到，得到，即得． 【详解】（1）∵在等边三角形中，，且E是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：＝； （2）以下解答过程为： ∴， ∵为等边三角形， ∴． ∴， ∴ 为等边三角形， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∴． 故答案为：＝； （3）如图． ∵等边的边长为1，， ∴, ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形．熟练掌握等边三角形的判定和性质 ，等腰三角形的判定和性质，含的直角三角形性质，三角形外角性质，全等三角形的判定和性质，是解决问题的关键． 5．（1）如图1，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点，．求证：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，，，三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．试探索的数量关系，并说明理由． （3）拓展与应用：如图3，，是，，三点所在直线上的两动点，，三点互不重合），点为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，，若，试判断的形状．    【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）等边三角形 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质； （1）根据垂直的定义得到，根据等角的余角相等得到，根据“”证明，根据全等三角形的性质即可得到； （2）根据，得到，由定理证明，根据全等三角形的性质得到，，得出结论； （3）根据等边三角形的性质得到，证明，得到，证明，得到，，求出，根据等边三角形的判定定理得到答案． 【详解】（1）证明：直线，直线， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2），理由如下： 如图2，， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）由（2）可知，， ，， 和均为等边三角形， ，， ，即， 在和中， ， ， ，， ， 为等边三角形． 6．在中，，D为延长线上一点，点E为线段的垂直平分线的交点，连接． (1)如图1，当时，则______°； (2)当时， ①如图2，连接，判断的形状，并证明； ②如图3，直线与交于点F，满足，．P为直线CF上一动点．当的值最大时，请探究表示与之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2)①等边三角形，证明见解析；②，证明见解析 【分析】（1）利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，四边形内角和定理解决问题即可； （2）①证明即可推出为等边三角形；②作点D关于直线的对称点，连接．当点P在的延长线上时，的值最大，此时，再利用全等三角形的性质证明，可得结论． 【详解】（1）解：∵点E为线段的垂直平分线的交点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：①证明：∵点E为线段的垂直平分线的交点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形； ②． 证明：∵为等边三角形, ∴,, 如图，作点D关于直线的对称点，连接． ∴, ∴，则点P在的延长线上时，的值最大，此时． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴． ∴， ∴． ∵,, ∴， ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． 七．含30度角的直角三角形压轴（共5小题） 1．如图，已知，C是内部的一点，且，点D、E分别是上的动点，若周长的最小值等于3，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查轴对称最短路径问题，涉及垂直平分线的性质，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质等，设点C关于的对称点为M，关于的对称点为N，当点D、E在上时，的周长为，此时周长最小，由可得为等边三角形，进而可得． 【详解】解：作点C关于的对称点为M，关于的对称点为N，连接， 由轴对称的性质可得，， ， 当点D、E在上时，等号成立，如图： 由轴对称的性质可得垂直平分线段，垂直平分线段， ，，，， ，， 为等边三角形， ， ． 故选D． 2．如图，等边三角形的边长为4，D是边的中点，E在边上，，点F在边的延长线上，且，则的长为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定及性质，含的直角三角形的性质等知识，熟练运用各个定理是解题的关键． 解法一：过点D分别作于点M，作于点N，连接，证明及可证明，在中，利用即可求出，再求出，即可求出结果； 解法二：过点D作，交于点G，证明即可证明，再根据中位线定理，求得，即可求得结果． 【详解】解法一：如解图①，过点D分别作于点M，作于点N，连接， ∵D是的中点， ∴是的平分线，， ，， ， ， ， ， ， 在中，，， ，同理，， ， ，． 多解法 解法二：如解图②，过点D作，交于点G， 则，，． ， ， ∵， ∴是等边三角形， 又∵D是边的中点 ∴， ， ． ∵D是的中点，∴G是的中点， ， ，， 故答案为：1． 3．如图，在四边形中，平分，且． (1)求证：； (2)如图2，其余条件不变，若______． (3)如图3，其余条件不变，若，判断的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)60 (3)，见解析 【分析】（1）过点C作于点E，交延长线于点F，角平分线的性质，得到，证明，即可得证； （2）延长交于点E，证明，得到，证明，进而求出，即可得出结果； （3）过点C作交延长线于点E，于点F，先证明，得到，再证明，得到，根据线段的和差关系，以及含30度角的直角三角形的性质，即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，过点C作于点E，交延长线于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，延长交于点E， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：60； （3）解：，理由如下： 如图，过点C作交延长线于点E，于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形和全等三角形，是解题的关键． 4．夯实基础： （1）如图1，点P是的角平分线上的一点，于点E，与点F，有以下结论：①；②；③，其中正确的是____________． 理解应用：    （2）图2，点D是的平分线上一点，点A，点B分别在边上，且，探究与之间有怎样的数量关系？并证明； 拓展延伸： （3）如图3，点D是的平分线上一点，点A，点B分别在边上，，且，探究之间有怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】（1）①②③；（2）．理由见解析；（3）．理由见解析． 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了角平分线的定义和定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键． （1）证明，由全等三角形的性质得出，，，则可得出结论； （2）过点作于点，于点，证明，得出； （3）过点作于点，于点，证明，得出，证出，则可得出结论． 【详解】解：（1）平分， ， ，， ， ， ， ，，， 故答案为：①②③； （2）． 理由：过点作于点，于点，   平分， ， ，， ， ， ， ． （3）． 理由：过点作于点，于点，    由（1）知，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 5．如图，在等边中，点E为边上任意一点，点D在边的延长线上，且． (1)当点E为的中点时（如图1），则有__________（填“>”“<”或“=”）； (2)如图2，若点E为上任意一点，猜想与的数量关系，并证明你的猜想． (3)在等边三角形中，点E在直线上，点D在直线上，且，若的边长为2，，直接写出的长． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)的长为2或6 【分析】（1）根据三线合一定理和三角形外角的性质证明即可得到答案； （2）过作交于，先证明是等边三角形，再证明即可得到答案； （3）分在的延长线和在的延长线上两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵三角形是等边三角形，点是的中点， ∴平分，， ， 又， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 如图，过作交于， ∵是等边三角形， ， ∴， 即． ∴是等边三角形． ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：∵三角形是等边三角形， ， 如图所示：当在的延长线上时，过点作交直线于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当在的延长线上时，如图，过点作交延长线于， 同理可以求得， ， ， 故的长为2或6． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 八．斜边的中线定理压轴（共5小题） 1．如图，在等边中，于D，E是线段上一点，F是边上一点，且满足，G是的中点，连接，则下列四个结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的个数有（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边三角形和等腰三角形的性质，有一角为的直角三角形的性质，根据题意逐一判断即可，熟练掌握等腰三角形和等边三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：连接，如图    ∵是等边三角形， ∴， ， ∵， ∴，故①符合题意； ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 故②符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故③符合题意； ∵，是的中点， 故④符合题意； ， ∴， 又∵ ∴， ∴，故⑤符合题意． 故选：． 2．如图，在中，，点E为的中点，在中，，连接，，，若，，则的度数为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形性质，三角形外角性质．根据直角三角形性质得到，再结合等腰三角形的性质和三角形外角性质得到，，进而得到，即可解题． 【详解】解：，点E为的中点， ， ， ， ， ， ， 同理可得， ， 故选：B． 3．如图，分别是的高，M为的中点，，则的周长是 ． 【答案】13 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半成为解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，先求出，再求的周长即可． 【详解】解：∵分别是的高，，M为的中点，， ∴在中，，在中，， 又∵， ∴的周长． 故答案为：13． 5．如图1，在中，，，为中点，为射线上一动点．    (1)连接，求证：是等边三角形． (2)当点在线段上（如图1所示的位置）， ①尺规作图：连接，在右侧作等边，直线与直线交于点．（不写作法，保留作图痕迹） ②连接，在①的条件下，求证：． (3)点在射线运动的过程中，当为等腰三角形时，请求出的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)①作图见解析；②证明见解析 (3)的值为或或或 【分析】（1）根据直角三角形的性质及等边三角形的判定定理即可得到结论； （2）①根据等边三角形的定义，按照题目要求求解即可得到结论；②连接，根据直角三角形的性质得到，根据等边三角形的性质得到，，得到，根据等边三角形的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到结论； （3）分四种情形：如图中，当时，设，如图中，当时，设，如图中，当时，设，分别构建方程求解即可． 【详解】（1）证明：，为中点， ， ， 是等边三角形； （2）①解：如图所示：   等边即为所求； ②证明：连接，如图所示：   ，， ， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 垂直平分线段， ； （3）解：如图中，当时，设，    则， ， ； 如图中，当时，设，    则， ， ； 如图中，当时，设，    则有， ， ； 如图中，当时，设，则，   ，， ，解得， 综上所述，的值为或或或． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了直角三角形性质、等边三角形的判定和性质、尺规作图作相等线段、全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的判定和性质、等腰三角形的性质及角的和差倍分关系等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 九．将军饮马求最值（共3小题） 1．如图，中，，，，于点D，是的垂直平分线，交于点E，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为(　　)    A． B．4 C． D．5 【答案】B 【分析】在上取一点P，连接，，，由垂直平分线的性质可知，从而得到，点D是定点，由两点之间线段最短可知，最小值为的长，再利用三角形的面积公式求即可． 【详解】解：在上取一点P，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴，    点D是定点，由两点之间线段最短可知：点P在上时，最小值为的长， ∵，， ∴， ∴， ∴最小值为4， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的面积公式，两点之间线段最短，垂直平分线的性质等知识，推导出最小值即为的长是解题的关键． 2．如图，中，，，的面积为，于，是边的中垂线，点是上一动点，周长的最小是等于 ． 【答案】 【分析】本题考查的是轴对称——最短路线问题，由于是等腰三角形，，故点是边的中点，根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论，熟知等腰三角形三线合一的性质是解题的关键． 【详解】∵是等腰三角形，， ∴点是边的中点， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴点关于直线的对称点为点， ∴的长为的最小值， ∴的周长最小． 3．如图，在中，，的垂直平分线交于，交于． (1)若，则的度数是______． (2)连接，若，的周长是，的面积是． ①求的长； ②点是线段上的动点，在直线上是否存在点，使由最小？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在，的最小值是 【分析】（1）根据等腰三角的性质，三角形的内角和定理，可得的度数，根据直角三角形两锐角的关系，可得答案； （2）①根据垂直平分线的性质，可得的关系，再根据三角形的周长，可得答案；②过点作于点，交于点，由垂直平分线的性质可得出，再利用垂线段最短可得出，再利用三角形面积即可得出 【详解】（1）解：若， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分线交与点N， ∴， ∴ 故答案为： （2）如图：连接， ①垂直平分． ， 又的周长是， ， ． ②过点作于点，交于点， 垂直平分 最小 的面积是． 的最小值是 【点睛】本题主要考查了等腰三角的性质，三角形的内角和定理，垂直平分线的性质，垂线段最短等知识， 掌握这些性质是解题的关键． 一十．轴对称综合问题（共6小题） 1．在中，，分别以和为边在外部作等边三角形、等边三角形和等边三角形，连结和交千点P，则以下结论中①；②；③；④．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】证明，，可得，，进一步可判断①②，证明，求出，进一步可判断③，在上截取，连接，证明，再证，可得，进而可得，进一步可判断④． 【详解】解：∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 同理可得， ∴，，， ∴，故①②符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴，， ∴，故③符合题意； 如图，在上截取，连接， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴；故④符合题意； 故选D 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质；熟练的确定全等三角形是解本题的关键． 2．如图，在中，，点是射线上两点，且，若，，则下列结论中①是等腰直角三角形；②；③；④．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】结合，，可证明，即可判断结论①；证明，结合全等三角形的性质可得，即可判断结论②；结合，易得，进而可知，即可判断结论③；证明，由“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”可得，，结合，易得，即可判断结论④． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形，故结论①正确； ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即，故结论②正确； ∵， ∴，， ∴， ∴，故结论③正确； ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，故结论④正确． 综上所述，结论正确的有①②③④，共计4个． 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、含角直角三角形的性质、三角形外角的定义和性质等知识，熟练掌握直角三角形的性质、证明是解题的关键． 3．如图，都是等边三角形，将绕点旋转，使得点在同一直线上，连接．若，则的长是 ． 【答案】3 【分析】根据等边三角形的性质，,解答即可． 本题考查了等边三角形性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 答案为：3． 4．如图，是等腰直角三角形，为边上一点，为边上一动点，连接，以为边并在的左侧作等边，连接，则的最小值为 ．（提示：直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半） 【答案】7 【分析】以为边在左侧作等边三角形，连接，延长交于点P，先证明，得到，当点三点共线时，有最小值，此时，即，则，由角所对的直角边等于斜边的一半，得到，进而得到，再根据角所对的直角边等于斜边的一半，得到，即可得出结果． 【详解】解：如图，以为边在左侧作等边三角形，连接，延长交于点P， ∵和是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 如图，当点三点共线时，有最小值， 此时，， ， ，即， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：7． 【点睛】本题考查直角三角形的特征及等边三角形的综合应用，涉及动点问题，三角形全等的判定与性质，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，把求最小值问题转化为求最小值． 5．如图，中，，点在延长线上，，，连接交与点，且． (1)如图，求证：； (2)如图，过点作于点，，连接，求证：平分； (3)如图，在（）的条件下，过点作的垂线交的延长线于点，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)． 【分析】（）由直角三角形的性质得，，再由，，得，再证明即可； （）直接证明，根据全等三角形三角形的性质即可； （）由（）得：，，，通过角度和差得，证明，则，，然后证明，则，，设，则，，，然后根据面积公式即可求解； 本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）由（）得：， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分； （3）由（）得：，，， ∵， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 由（）得， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设，则，，， ∵， ∴， ∴． 6．【初步感知】 （1）如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点（点D不与点B，点C重合）．以为边向右侧作等边，连接．求证：； 【类比探究】 （2）如图2，若点D在边的延长线上，随着动点D的运动位置不同，线段，，之间的数量关系为__________，请证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接，．请问：是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）；证明见解析；（3）有；8 【分析】本题考查三角形综合，全等三角形的判定，等边三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）由和是等边三角形，推出，，，又因为，则，即，利用证明即可； （2）证明，得出，结合，则； （3）在射线上截取，连接，易证，则，，得出是等边三角形，则，即点E在角平分线上运动，在射线上截取，连接，证明，得出，推出，由三角形三边关系可得，，即当点E与点C重合时，时，有最小值． 【详解】（1）证明：和是等边三角形， ，，． ， ，即． 在和中， ， ． （2）解：， 和是等边三角形， ，，． ， ，即． 在和中， ， ． ， ， ． （3）解：有最小值，在射线上截取，连接， ， ∵和是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，， ∵， ∴， 是等边三角形， ， ∴，， 即点E在角平分线上运动， 在射线上截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由三角形三边关系可得，，即当点E与点C重合时，时，有最小值， ∵，， ∴， ∴ 的最小值为8． $$